7/21/2019 Teora General de Cscaras
1/34
Teora General de Cscaras
7/21/2019 Teora General de Cscaras
2/34
Teora General de Cscaras
El anlisis terico de las cscaras, consisteen establecer en primer lugar las ecuaciones
de equilibrio de un elemento diferencial
cortado de la misma, bajo la accin de
solicitaciones externas, y en segundo
trmino las ecuaciones de compatibilidad de
las deformaciones , de manera tal de restituir
de esta forma la continuidad del elementocortado, despus de la deformacin de la
cscara.
7/21/2019 Teora General de Cscaras
3/34
Teora General de Cscaras
El material se supone continuo , istropo yhomogneo.
Hipotesis fundamentales:
De comportamiento elstico y lineal.
Las deformaciones elsticas son pequeas enrelacin al espesor de la cscara.
La normal a la superficie media se
mantiene tras la deformacin.
Se podrn despreciar las tensionesnormales perpendiculares a la sup. media.
7/21/2019 Teora General de Cscaras
4/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
S
R
Q
P
dSy
dS
x
2
1
1 + d 1
2 + d 2
n1
t1
t2
Los arcos diferenciales dSx y dSycorresponden a las longitudes del
elemento diferencial en coordenadas
curvilneas ortogonales.
9
8
7
21
12
2
2
222
1
1
111
rrFA
PSdr
dGdASd
PQdr
dEdAdS
y
x
rx
ry
Donde E, F y G son los coeficientes de la Primera Forma
Fundamental de la Teora de las Superficies
7/21/2019 Teora General de Cscaras
5/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
Dada una curva, sobre una superficie
La derivada de la long de arco:
Primera forma fundamentalde Teoria de Superficies
7/21/2019 Teora General de Cscaras
6/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
La curvatura total()
de una curva (t)
puede serdescompuesta entre la
curvatura medible
desde la superficie,
llamada curvatura
normal (kn) y la
curvatura no medibledesde la superficie,
llamada curvatura
tangencial o
geodsica (kg).
K= Kn+ Kg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Minimal_surface_curvature_planes-en.svg7/21/2019 Teora General de Cscaras
7/34
Curvatura Normal
Dada una curva C contenida en la superficie S, de vector de curvatura ken un punto P de la misma, se llama curvatura normal de C en el punto P,
Kn, a la proyeccin del vector ksobre el vector normal Na la superficie en P.
El vector curvatura de C en un
punto dado se define como :
y el vector tangente:
En definitiva, es:
7/21/2019 Teora General de Cscaras
8/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
S
R
Q
P
dS'1 - dS1
dw1dw2
dS'2
dS2dS
1
dS'1
1=y
2=x
1
2
12cos,
111'
101'
21
1
2
1
222
1112
2
11
1
222
2
1
2
111
22212
2
2
2
111
geodesicurvaturasderadios
dA
AdA
dAddA
A
sd
sdsdwd
dA
AdA
dAdd
A
A
sd
sdsdwd
14111
13111
2
1
212
2
2
1
2
211
1
1
AAASd
wd
A
AASd
wd
x
y
7/21/2019 Teora General de Cscaras
9/34
Teora General de Cscaras
P
2 = Cte
1= Cte
n1
r1
r 2 r2( 1,
2)
19
182
1
17
16
:
152
21
2121
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2212
1
2
2212
1
rrrrF
rnrnM
rnN
rnL
donde
dGddFdE
dNddMdL
rx
n
n
La segunda forma fundamental de la teora de superficies permite
encontrar el valor de la curvatura normal de la superficie,en direccin
de cualquier curva ubicada sobre ella
7/21/2019 Teora General de Cscaras
10/34
Formulacin de las ecuaciones de equilibrio
Se desprecian las tensiones normal z y las tangenciales zx y zy
Teora General de Cscaras
7/21/2019 Teora General de Cscaras
11/34
Teora General de CscarasCara 1= cte Cara 2= cte
I
7/21/2019 Teora General de Cscaras
12/34
Teora General de Cscaras
7/21/2019 Teora General de Cscaras
13/34
Teora General de Cscaras
Los esfuerzos y momentos se puedenreducir en forma vectorial poniendo:
(resultante en 2 = cte)
(resultante en 1 = cte)
(resultante en 2 = cte)
(resultante en 1 = cte)
Siendo la resultante de las fuerzas externas:(resultante de las fuerzas
externas sobre el elemento)
I
7/21/2019 Teora General de Cscaras
14/34
Teora General de Cscaras
7/21/2019 Teora General de Cscaras
15/34
Teora General de CscarasEl sistema vectorial debe estar en equilibrio
Equilibrio de fuerzas
En 2 = cte En 2 + d 2
En 1 = cte En 1 + d 1
Fuerzas exteriores
7/21/2019 Teora General de Cscaras
16/34
Teora General de CscarasEcuaciones de equilibrio vectorial
Fuerzas
Momentos
7/21/2019 Teora General de Cscaras
17/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
7/21/2019 Teora General de Cscaras
18/34
Teora General de CscarasTeora de las Superficies
Teniendo en cuenta las expresiones:
Siendo curvatura geodsica de 1
curvatura normal de 1
torsin de las curvas coordenadas
7/21/2019 Teora General de Cscaras
19/34
Teora General de Cscaras
Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en
coordenadas curvilneas ortogonales :
7/21/2019 Teora General de Cscaras
20/34
Teora General de Cscaras
Las ecuaciones de equilibrio de momentos en
coordenadas curvilneas ortogonales :
7/21/2019 Teora General de Cscaras
21/34
Teora General de Cscaras
Estas ecuaciones pueden escribirse en funcin
de los arcos diferenciales y los radios de
curvatura geodsicos, recordando:
Efectuado sus reemplazos obtendremos:
7/21/2019 Teora General de Cscaras
22/34
Teora General de Cscaras
60''''
50
40
30''''
20''
10''
yx
y
xy
x
y
yx
x
xyyxxy
y
y
xyyx
x
xy
x
xy
y
y
x
x
yxxy
y
yx
y
xy
x
x
x
y
y
x
y
y
x
x
yx
yx
xy
xy
y
y
x
x
yx
x
y
y
y
xyyx
x
yx
x
xy
x
x
xy
y
x
x
x
yxxy
y
yx
y
xy
x
x
r
M
r
M
r
M
r
MNN
QMMMM
S
M
S
M
QMMMM
S
M
S
M
ZQQ
S
Q
S
Q
r
N
r
N
r
N
r
N
Yr
Q
r
QNNNN
S
N
S
N
Xr
Q
r
QNNNN
S
N
S
N
Ecuaciones de equilibrio, expresadas en coordenadas curvilineas :
7/21/2019 Teora General de Cscaras
23/34
Teora General de Cscaras
DeformacionesLas deformaciones especficas:
Luego
Reemplazando, obtenemos
7/21/2019 Teora General de Cscaras
24/34
Las deformaciones especficas extensionales:
Teora General de Cscaras
21'
11
20'
11
2
1
2
122
1
1
2
1
211
2
y
y
x
x
r
wA
Au
A
v
A
r
wA
Av
A
u
A
)25('
1
'
1
)24('
1
'*
1
23'2
1
'
1
'
1
1
''
1
1
'
1
'*
1
22'2
12
1
2
1
1
2
21222
1
21
1111
2
211
2
122
1
12
xyxy
xy
yy
y
xyxyy
xyxxx
x
xyxy
rrxx
rrxx
uAvA
AArrr
vw
A
A
AA
r
v
r
uw
AArrxx
r
w
A
v
A
A
A
u
A
A
Deformacin de flexin
Deformacin de torsin
7/21/2019 Teora General de Cscaras
25/34
Teora General de Cscaras
)31()1()1(12
)2(
)30()()1(12
)2(
)29()()1(12
)2(
)28()1(2
2
)27(1
2
)26(1
2
2
3
2
3
2
3
2
2
xyyxxy
xyy
yxx
xyyxxy
xyy
yxx
XuhE
MM
XXhE
M
XXhE
M
hENN
u
hEN
u
hEN
Las ecuaciones esfuerzo-deformacin resultan:
7/21/2019 Teora General de Cscaras
26/34
7/21/2019 Teora General de Cscaras
27/34
Teora
General
de
Cscaras
7/21/2019 Teora General de Cscaras
28/34
Simplificacin para obtener la
ecuacin diferencial de las chapas.
Parmetros geomtricos
Plantearemos la ecuacin
paramtrica de las chapas:
)(0
)31(
xyplanoenestardebenz
qy
qx
y
x
Z= (-u )
2 + d 2
dx
dy
11 + d
xy
O
P
r ( 1, 2)
7/21/2019 Teora General de Cscaras
29/34
Parmetros geomtricos
Las cargas sern de superficie:
)(0)31(
xyplanoenestardebenzqy
qx
y
x
)32()(),()( 21 ttrtrr
El vector posicin ser:
Hacer variar alfa1 es lo mismo que variar x, por lo tanto ser:
jr
rir
r
jijyixr
ddyddx
yx
2
2
1
1
212,1
21
12
;
;
;
Los coeficientes de la
primera forma fundamental
sern:
)35(00;
)34(11
)33(11
21
12
2
2
1
1
FFrr
A
GGr
A
EEr
A
7/21/2019 Teora General de Cscaras
30/34
Parmetros geomtricos
Los coeficientes de la segunda forma fundamental :
Los radios de curvatura de las lineas coordenadas:
)37(
1
0,0
)36(1
0,0
)35(
1
0,0
22
2
1
2
21
2
21
2
22
2
1
2
22
2
22
2
22
2
1
2
21
2
21
2
FGE
rrr
M
r
FGE
rrrN
r
FGE
rrr
L
r
0'1
)38(0'
1
22
11
EL
rxcte
G
N
rxcte
x
y
La curvatura de torsin ser:)39(0
'
1
21
12
AA
M
EG
M
rx
xy
Por lo tanto ser:
xyyx rrr '''
7/21/2019 Teora General de Cscaras
31/34
Reemplazando en las ecuaciones de deformacin -
desplazamientos (20) a (24)
00
0
)40(
12
1
2
12
2
1
xy
y
x
xy
y
x
xxxx
xx
x
v
y
uvuy
vv
x
uu
7/21/2019 Teora General de Cscaras
32/34
Reemplazando en las ecuaciones de esfuerzos-
deformaciones (25) a (30)
0)1(2
2
)41(1
2
1
2
2
2
yxxyyx
yxxy
y
x
MMMMx
v
y
uhENN
x
u
y
vhEN
y
v
x
uhEN
7/21/2019 Teora General de Cscaras
33/34
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio
(1) al (5)los parmetros geomtricos:
011
011
'''
2
1
21
1
2
21
22
11
AAA
A
AA
rrrdydASd
dxdAdS
x
y
xyyx
y
x
yxyx
x
y
y
x
rrr
A
AA
AAA
dyddASd
dxddAdS
'''
011
)42(011
1
2
21
2
1
21
222
111
)44(0
)43(0
Yx
N
y
N
Xy
N
x
N
xyx
yxx
)45(0y
Q
x
Q yx
)47(0
)46(0
y
x
Q
Q
7/21/2019 Teora General de Cscaras
34/34
Obtencin de la ecuacin diferencial
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones esfuerzos-deformaciones
)44(0
)43(0
Yx
N
y
N
XyN
xN
xyx
yxx
0
)1(2
2
)41(1
2
1
2
2
2
yxxyyx
yxxy
y
x
MMMM
x
v
y
uhENN
x
u
y
vhEN
y
v
x
uhEN
Top Related