LINEAS DE TRANSMISIÓNLINEAS DE TRANSMISIÓN
En las comunicaciones, las líneas de transmisión llevan señales telefónicas, datos de computadoras en LAN, señales de televisión en sistemas de televisión por cable y señales de un transmisor a una antena o de una antena a un receptor. Las líneas de transmisión son enlaces importantes en cualquier sistema. Son más que tramos de alambre o cable. Sus características eléctricas son sobresalientes, y se deben igualar a las del equipo para obtener comunicaciones adecuadas.
Las líneas de transmisión también son circuitos. En frecuencias muy altas donde las longitudes de onda son cortas, las líneas de transmisión actúan como circuitos resonantes y aun como componentes reactivos en VHF y UHF, y frecuencias de microondas, la mayor parte de los circuitos sintonizados y filtros se utilizan con líneas de transmisión.
REQUERIMIENTOS PARA REQUERIMIENTOS PARA LAS LÍNEAS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓNTRANSMISIÓN
Hay dos requerimientos principales en una línea de transmisión: 1) la líneas deberá introducir la mínima atenuación y distorsión a la señal y 2) la línea no deberá radiar señal alguna como energía radiada.
TIPOS DE LÍNEAS DE TIPOS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓNTRANSMISIÓN
Líneas de transmisión de conductor paralelo: Existen dos tipos: Uno se conoce como línea de transmisión de cable abierto y es un conductor paralelo de dos cables. Consiste simplemente de dos cables paralelos, espaciados muy cerca y solo separados por aire. Los espaciadores no conductivos se colocan a intervalos periódicos para apoyarse y mantenerse a la distancia, entre la constante de los conductores. La distancia entre los dos conductores generalmente está entre 2 y 6 pulgadas.
El dieléctrico es simplemente el aire, entre y alrededor de los dos conductores en donde se propaga la onda TEM. La única ventaja real de este tipo de línea de transmisión es su construcción sencilla. Ya que no hay cubiertas, las pérdidas por radiación son altas y es susceptible a recoger ruido.
Los cables gemelos son otra forma de línea de transmisión para un conductor paralelo de dos cables. Los cables gemelos también son llamados cable de cinta.
Los cables gemelos esencialmente son igual que una línea de transmisión de cable abierto, excepto que los espaciadores que están entre los dos conductores se reemplazan con un dieléctrico sólido continuo. Esto asegura los espacios uniformes a lo largo de todo el cable. Típicamente, la distancia entre los dos conductores es de 5/16 de pulgada, para el cable de transmisión de televisión. Los materiales dieléctricos más comunes son el teflón y el polietileno.
Cable de par trenzado. Se forma doblando ("trenzando") dos conductores aislados juntos. Los pares se trenzan frecuentemente en unidades y las unidades, a su vez, están cableadas en el núcleo. Estas se cubren con varios tipos de fundas, dependiendo del uso que se les vaya a dar. Los pares vecinos se trenzan con diferente inclinación (el largo de la trenza) para poder reducir la interferencia entre los pares debido a la inducción mutua. Las constantes primarias del cable de par trenzado son sus parámetros eléctricos, que están sujetas a variaciones del ambiente físico y dependen de las variaciones en la fabricación.
Par de cables protegido con armadura. Para reducir las pérdidas por radiación e interferencia, frecuentemente se encierran las líneas de transmisión de dos cables paralelos en una malla metálica conductiva. La malla se conecta a tierra y actúa como una protección. También evita que las señales se difundan más allá de sus limites y evita que la interferencia electromagnética llegue a los conductores de señales. Consiste de dos conductores de cable paralelos separados por un material dieléctrico sólido. Toda la estructura está encerrada en un tubo trenzado conductivo y luego cubierto con una capa protectora de plástico.
Líneas de transmisión coaxial o concéntrica
Se utilizan extensamente, para aplicaciones de alta frecuencia, para reducir las pérdidas y para aislar las trayectorias de transmisión. El cable coaxial básico consiste de un conductor central rodeado por un conductor exterior concéntrico (distancia uniforme del centro). A frecuencias de operación relativamente altas, el conductor coaxial externo proporciona una excelente protección contra la interferencia externa. Sin embargo, a frecuencias de operación más bajas, el uso de la protección no es costeable. Además, el conductor externo de un cable coaxial generalmente está unido a tierra.
Hay dos tipos de cables coaxiales: líneas rígidas llenas de aire y líneas sólidas flexibles. El material aislante es un material de polietileno sólido no conductivo que proporciona soporte, así como aislamiento eléctrico entre el conductor interno y el externo. El conductor interno es un cable de cobre flexible que puede ser sólido o hueco.
Ambos tipos de cables coaxiales son inmunes a la radiación externa y pueden operar a frecuencias mas altas que los cables paralelos.
DEFINICIÓN DE LÍNEA DE DEFINICIÓN DE LÍNEA DE TRANSMISIÓNTRANSMISIÓN
Las líneas de transmisión son las interconexiones que transmiten la energía electromagnética de un punto a otro. Esta energía puede ser usada en forma de luz, de calor, de trabajo mecánico, o para transmitir información oral, musical fotográfica o estadística.
PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE PARÁMETROS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓNTRANSMISIÓN
Desde el punto de vista de circuitos la línea de transmisión tiene dos terminales en las que la energía se alimenta y dos terminales donde se recibe la energía. En consecuencia la línea de transmisión se puede considerar como una red de cuatro terminales.
R.- Resistencia en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo ambos conductores. Ohms/metro.
L.- Inductancia en Serie de la línea por unidad de longitud, incluyendo la inductancia debida al flujo magnético interno y externo a los conductores de la línea. Henrios/metro.
G.- Conductancia en paralelo de la línea por unidad de longitud. Representa pérdidas que son proporcionales al cuadrado del voltaje entre los conductores o al cuadrado del campo eléctrico en el medio. Generalmente G representa una pérdida interna molecular de los materiales aislantes dieléctricos. Siemens/metro.
C.- Capacidad en paralelo de la línea por unidad de longitud. Farads/metro.
Para una línea sin pérdidas R=G=0 y el cambio en el voltaje dV (o el cambio en la corriente dI) en una distancia dx está dado por:
(1) (2)
Derivando la primera respecto a x y la segunda respecto a t, se obtiene:
Ecuación de onda de una línea de transmisiónSe observa que
)( 1 Vmdt
dIL
dx
dV)( 1 Am
dt
dVC
dx
dI
2
2
2
2 1
dx
Vd
LCdt
Vd
)(1 1 msvvelocidadLC
Dada la siguiente figura: Para una
variación senoidal de V e
I y con R y G 0, se
tiene el caso más
general de una impedancia en serie:
Y una entrada en derivación:
)( 1 mjXRLjRZ L
)( 1 SmjBGCjGY C
De esta manera la ecuaciones 1 y 2 se convierten en:
(3) (4)Diferenciando estas ecuaciones respecto
a x para una línea uniforme con Z e Y constantes se obtiene:
La raíz cuadrada de ZY es la constante de propagación que es un número complejo:
IZdx
dV VY
dx
dI
0
0
2
2
2
2
ZYIdx
Id
ZYVdx
Vd
Es decir:=constante de atenuación y
=constante de fase y están dadas por:
= longitud de onda (m)Así una solución general para el
voltaje de línea es:
)( 1 radmj
)(Re 1 NpmZY
)(Im2 1 radmZY
)()(2
)(1 VeeVeeVV xtjxxtjx
Y para la corriente de línea es:
Los primeros términos de las dos ecuaciones anteriores representan la propagación en la dirección x negativa y los segundos términos, la energía de propagación en la dirección x positiva.
Para la energía de propagación en una dirección:
)(2)(1 xtjxxtjx ee
YZ
Vee
YZ
VI
)(
CjG
LjR
Y
Z
I
VZ linea
Esta es la impedancia característica de la línea.
Para una línea sin pérdidas R=G=0 tenemos:
Resistencia característica de
la línea.La velocidad de la energía, o velocidad
con que la energía se propaga es:
Donde:Si R=G=0 tenemos:
C
LZ linea
)(Im
1 msZY
v
))(( CjGLjRZY LCjZY
Y la velocidad de onda en línea:
EJEMPLO:Una línea de transmisión uniforme
tiene como constantes R=12m/m, G=1.4S/m, L=1.5H/m, y C=1.4nF/m. A f=7KHz. Encuentre:
a)Impedancia característicab)Atenuación en dB/km
)(1 1 msLCLC
v
SOLUCIÓN:
)104.1)(7000)(2()104.1(
)105.1)(7000)(2()1012()
96
63
xjx
xjx
CjG
LjRZa
7.881062
801067
101575.6104.1
06597.0012.06
3
56 x
x
jxx
jZ
48633.32864.10803967.1501283.1070 jZ
)3.278.32( jZ
))((Re) CjGLjRb
))104.1)(70002(104.1(())105.1)(70002()1012((Re 9663 xjxxxjx
)101575.6104.1)(06597.0012.0(Re 56 jxxj
Entonces:
De la relación:1Np=20log(e)=8.686dB
3881.168101298.4Re)103125.8100453.4(Re 676 xjxx)100215.2100555.2Re()194.8410032.2Re( 343 jxxx
Km
dB
Km
mx
Np
dBx
m
Npx 78.1
1
1000
1
686.8100555.2 4
Fórmulas de impedancias de Fórmulas de impedancias de las líneas de transmisiónlas líneas de transmisión
La impedancia Z de la línea de transmisión está dada por:
Para una línea coaxial:
Donde:Como ya sabemos:Integrando se obtiene:
lClL
C
LZ linea
VVl
Q
l
C l
b
a
rdrEV
rE lr
2
a
bV l ln
2
En consecuencia:
Del mismo modo:
Donde:
Entonces:
Por consiguiente:
abVl
C l
ln
2
I
drBl
L
b
a
r
r
IBr
2
a
b
l
Lln
2
a
b
lClL
Zr
r ln2
1
0
0
Para r=1, se tiene que: Línea coaxial
En forma similar: Línea de dos conductores Conductor sobre plano terreno
a
bZ
r
log138
0
a
DZ
r
log276
0
a
hZ
r
2log
1380
EJEMPLO:Una línea de un solo conductor de
10cm de radio sobre el plano terreno, tiene una impedancia de 75. Encuentre la altura h, si r=3.
SOLUCIÓN
a
hZ
a
hZ r
r
2log
138
2log
138 00
a
h
a
h 2log9413.0
2log
138
375
hh
2
8735.0
1.0
210 9413.0 .436.436.0 mmmh
Energía, potencia y vector de Energía, potencia y vector de PoyntingPoynting
La potencia transmitida por una línea de transmisión, en notación de circuitos es:
P=VI (W)En forma más general si V e I varían en forma
senoidal con respecto al tiempo y no están en la misma fase, la potencia promedio es:
P=½V0I0 cos
En notación de campo, la densidad de potencia S está dada por el vector de Poynting, que es el producto cruz de los vectores de campo eléctrico y magnético E y H. Es decir
S = E X H (W m-2)El resultado de esta expresión es el vector
de Poynting instantáneo. El vector de Poynting promedio se obtiene integrando el vector de Poynting instantáneo sobre un período y dividiendo entre un período. En notación compleja se obtiene mediante:
Donde:Sprom = Sax = promedio del vector de
Poynting = Angulo de fase entre Ey y Hz en rad o
grados
)(cos2
1)Re(
2
1 2* WmaxHzEyHxES prom
E = Eyay = ayEyejt, Vm-1
H* = Hz*az = azHze-j(t-), Am-1
Este último es el conjugado complejo de H.
Las cantidades H y H* tienen la misma dirección espacial pero difieren en signo en sus factores de fase.
De esta manera la magnitud promedio del vector de Poynting está dada por:
)(cos2
1)Re(
2
1 2* WmHEHES zyzyprom
Puesto que la impedancia intrínseca del medio es:
La magnitud del vector de Poynting promedio se puede escribir como:
O:
Además:
Cuando =90, Sprom = 0
00 ZH
E
H
EZ
)Re(2
1)Re(
2
10
2
0* ZHZHHS zzzprom
)1
Re(2
1)Re(
2
1
0
2
0
*
ZE
Z
EES y
yyprom
cos2
1cos
2
1
0
2
0
2
Z
EZHS z
zprom
Similarmente para V e I, la potencia promedio está dada por:
Las barras de valor absoluto de Ey y Hz indican magnitud pico que se pueden indicar también mediante un subíndice 0. Es decir:
Otra opción es usar valores del promedio cuadrático de la raíz (rms). Entonces:
cos2
1cos
2
1
0
20
00 Z
VZIPprom
0
0
zz
yy
HH
EE
0707.0 VVrms 0707.0 IIrms yrmsy EE 707.0)(
zrmsz HH 707.0)(
Por tanto tenemos:
Y también
EJEMPLO:Encuentre la potencia promedio de una
linea de transmisión para la cual V=180sen(260t) Volts, e I=600sen(260t + 24) mAmpers.
SOLUCIÓN:
coscos0
)(2
0)(2
Z
EZHS
rmsyrmszprom
coscos0
)(2
0)(2
Z
VZIS
rmsrmsprom
WxPprom 3.49)24cos(6.018021
EJEMPLO:Considere una línea de transmisión de
dos conductores con un espaciamiento centro a centro de 1m y opera con una diferencia de potencial de 4160V(rms). La razón del espaciamiento centro a centro al diámetro del conductor es de 3 a 1. Encuentre la potencia transmitida. Considere r=1
SOLUCIÓN:Diámetro de conductor = 2a = (1/3)mRadio del conductor = a = (1/6)m
Con esto la impedancia característica es:
Entonces la potencia transmitida es:
2156log1276
log276
0 aD
Zr
KWZoV
Prms
prom 5.80215)4160( 22
LINEA DE TRANSMISIÓN LINEA DE TRANSMISIÓN UNIFORMEMENTE TERMINADA Y LA UNIFORMEMENTE TERMINADA Y LA
VSWRVSWRHasta ahora solo hemos considerado líneas
de longitud infinita. Analicemos ahora el caso donde la línea de transmisión de impedancia característica Zo termina en una impedancia ZL. La carga está en x=0 y la distancia positiva se mide a lo largo de la línea a la izquierda. El voltaje y corriente total se expresan como la resultante de dos ondas viajeras moviéndose en direcciones opuestas como en una línea de transmisión infinita
En una línea terminada la onda a la derecha es la onda incidente y la onda a la izquierda es la reflejada
Vo e Io son el voltaje y la corriente debido a la onda incidente y V1 e I1 el voltaje y la corriente debido a la onda reflejada de la carga. El voltaje resultante V en un punto en la línea es la suma de Vo y V1 en el punto.
Es decir: V = Vo + V1
Donde: =corrimiento de fase
en la cargaEn la carga x=0 se tiene Vo=Vo y
V1=V1ej de tal forma que en la carga la razón del voltaje reflejado e incidente está dado por:
Donde v es el coeficiente de reflexión para el voltaje. Se concluye que:
jx
x
eVV
eVoVo
11
vVo
V
VoV
11
xx veeVoV
Del mismo modo para las corrientes:I = Io + I1
Donde: =diferencia de fase I y V
La razón entre la corriente reflejada e incidente esta dada por:
i es el coeficiente de reflexión para la corriente. De donde resulta:
)(11
jx
jx
eII
eIoIo
iIo
I
IoI
11
xxj ieeeIoI
Además v y i se pueden expresar en términos de la impedancia característica Zo y de la impedancia de carga ZL. Así, en cualquier punto de la línea:
En la carga (x=0)
Y así de la expresiones anteriores se tiene:
1
1
1
1
I
V
I
V
Io
Vo
Io
VoZo
I
VZL
Zo
VVo
Zo
V
Zo
Vo
ZL
V 11
Considerando que V=Vo+V1 se tiene que:
Despejando V1/Vo:
Coeficiente de reflexión para el voltajePara impedancias de carga reales ZL
variando de 0 a , v varía de -1 a 1.Similarmente se puede demostrar que: Coeficiente de reflexión para la corriente
Zo
VVo
ZL
VVo 11
vZoZL
ZoZL
Vo
V
1
vZoZL
ZoZLi
La razón V/I en cualquier punto x en la línea da la impedancia Zx en el punto viendo en dirección a la carga:
Considerando la expresión de v y aplicando identidad al exponencial, esta última expresión se puede escribir como:
Impedancia a una distancia
x de la carga
)(
)(xxj
xx
ieeeIo
veeVo
I
VZx
xx
xx
vee
vee
Io
VoZx
xZLZo
xZoZLZoZx
tanh
tanh
Si la línea está en circuito abierto ZL= y la ecuación se reduce a:
Si la línea está en corto circuito ZL=0 se tiene:
Como =+j. Se tiene que:
El producto de la impedancia de la línea cuando es cortocircuito y circuito abierto
xZox
ZoZx
coth
tanh
xZoZx tanh
xxsenjsenhxx
xxsenjxxsenhx
coscosh
coshcostanh
xxj
xjxx
tantanh1
tantanhtanh
es igual al cuadrado de la impedancia característica Zo:
Donde Zca=Zx para una línea en circuito abierto y Zcc=Zx para una línea en cortocircuito.
Si la línea es sin pérdidas (=0), las relaciones anteriores se reducen a lo siguiente:
Impedancia distancia Circuito abiertox
ZcaZccZo
ZcaZccZo
2
xjZLZo
xjZoZLZoZx
tan
tan
xjZoxj
ZoZx
cot
tan
CortocircuitoSe observa que la impedancia para
una línea sin pérdidas de circuito abierto o de cortocircuito es una reactancia pura.
xjZoZx tan
EJEMPLO:¿Cuál es la impedancia de la línea Zo
para acoplar una carga ZL a un valor deseado Zx utilizando una sección de acoplamiento x=/4?
SOLUCIÓN: xjZLZo
xjZoZLZoZx
tan
tan
42
tan
42
tan
42
tan
42
tan
jZL
jZoZo
jZLZo
jZoZLZoZx
ZxZLZoZL
ZoZoZx 2 ZxZLZo
EJEMPLO:¿Cuál es la impedancia Zo de la línea
de transmisión que se requiere para acoplar una carga ZL=100 a una línea de 50?
SOLUCIÓN:
71.70)50)(100(Zo
En una línea sin pérdidas, la razón de voltaje de onda estacionaria (VSWR) está dada por:
Se infiere que:
Y de esta forma:
Imin
Imax
Vmin
VmaxVSWR
VoVVo
V
VVo
VVoVSWR
11
11
1
1
vVo
V
1
1
1
1
1
VSWR
VSWRv
v
vVSWR
EJEMPLO:Una señal de 10V se aplica a una
línea de transmisión coaxial de 50 terminada en una carga de 200. Encuentre:
a)Coeficiente de reflexión para voltajeb)Magnitud de voltaje reflejadoc)Magnitud de corriente reflejadaSOLUCIÓN:a)
6.0250
150
50200
50200
ZoZL
ZoZLv
b)
c)
EJEMPLO:Un tipo común de línea de transmisión
para microondas, la RG59U, tiene una impedancia de circuito abierto 15025 y una impedancia de corto circuito de 37.5-35. ¿Cuál es la impedancia característica?
VVvVoVVo
Vv 6)10)(6.0(1
1
AV
Zo
VI
I
VZo 12.0
50
6110
1
1
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:Encuentre la impedancia de una línea
de transmisión en una distancia de /8 de una carga de 400.
SOLUCIÓN
)355.37)(25150( ZcaZccZo
575105625Zo
82
tan40050
82
tan5040050
tan
tan
j
j
xjZLZo
xjZoZLZoZx
Es decir:
875.821128.403
125.71128.40350
40050
5040050
j
jZo
75.7550Zo
CARTA DE SMITHCARTA DE SMITHLa carta de Smith consiste en la
representación gráfica, en el plano del coeficiente de reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias, evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos cálculos.
Resistencias (conductancias)
constantes
Hacia el Generador
Hacia la Carga
Circuitoabierto(Z=)
CortoCircuito(Z=0 )
Círculo unitario
(r=1/g=1)
Reactancias (suceptancias)
constantes
Círculo r=0
El problema inicial es localizar cualquier carga especificada sobre la carta. La impedancia de carga o admitancia de carga específica no se lee directamente de la carta, ya que lo que está ubicado sobre ella es una impedancia de carga normalizada que es la razón entre la impedancia de carga ZL y la impedancia característica Zo:
Siempre que ZL y Zo sean iguales el punto aparecerá sobre el círculo unitario, el cual también incluye el centro de la carta.
Zo
ZLZn
Los círculos a la derecha del centro son mayores que la unidad y los que están a la izquierda son menores que la unidad. El círculo más exterior o perímetro representa el valor 0 (carga en cortocircuito). El extremo derecho de la línea central representa el círculo de valor , el cual se reduce a un simple punto.
La carta de Smith también acomoda admitancias de carga, donde la parte resistiva se grafica como conductancia (G)
El otro parámetro de la impedancia de carga es el elemento reactivo representado por una serie de arcos que emanan del lado derecho del círculo.
La línea central representa el valor de reactancia o susceptancia 0, que es el caso de carga resistiva pura.
Cualquier impedancia o admitancia de carga normalizada puede localizarse en la intersección de circulo y de arcos
EJEMPLO:Dada una línea de transmisión con una
Zo=100Localice las siguientes cargas sobre la
carta de Smith:a)ZL=200b)ZL=(300+j50)c)ZL=(75-j150)d)ZL=(0+j400)
EJEMPLO:Dada una línea de transmisión con
Zo=200, localice las siguientes cargas sobre la carta de Smith como admitancias normalizadas.
a)YL=(0-j0.1)Sb)YL=(0.005+j0.003)Sc)YL=(0.02-j0.006)Sd)YL=(0.003+j0)Se)ZL=(200-j200)f)ZL=(75+j300)
En la carta de Smith el circulo exterior está dividido en unidades de longitudes de onda que comienzan en el extremo izquierdo y abarcan media longitud de onda. La marca exterior se incrementa desde 0 a 0.5 en dirección de las manecillas del reloj y representa el alejamiento de la carga hasta el generador. El interior del mismo círculo se numera en dirección opuesta, también de 0 a 0.5 y representa la dirección hacia la carga, alejándose del generador.
El siguiente círculo interior designado como “ángulo del coeficiente de reflexión en grados” comienza con cero en el extremo derecho del circulo y divide cada mitad de éste en 180. Las dos últimas escalas corriendo horizontalmente bajo el círculo, tienen varias funciones. El extremo izquierdo de la escala más inferior correlaciona SWR y decibeles y los relaciona con la SWR de la carga localizada en la carta de Smith. El extremo derecho de esta escala más inferior define pérdidas por reflexiones en dB.
La escala superior a la más inferior en su extremo izquierdo identifica pérdida de transmisión, correlacionando coeficiente de pérdida y dB, y los relaciona con la SWR indicada en la carta de Smith.
El último grupo de valores que están al extremo derecho de esta escala superior incluye el coeficiente de reflexión, correlacionándolo con razones de voltaje y potencia, relacionándolos a todos ellos con la SWR indicada en la carta de Smith.
CALCULOS PARA UN ACOPLADOR CALCULOS PARA UN ACOPLADOR DE IMPEDANCIAS DE DE IMPEDANCIAS DE /4/4
Una carga que consiste en resistencia y reactancia se puede acoplar a la línea de transmisión. La consideración básica es alejarse de la carga a una distancia, que es una fracción de longitud de onda y en la cual la impedancia de la línea aparece como una resistencia pura.
En la figura, la posición A es la localización de la carga compleja. La longitud l desde la carga lleva al punto B. La impedancia vista desde el punto B de regreso a la carga debe aparecer como una resistencia pura de algún valor no necesariamente igual a Zo. La sección /4 de impedancia Zo’ se inserta en el punto B. Esta sección termina adecuadamente a la línea de transmisión y evita la formación de ondas estacionarias en la línea principal.
EJEMPLO:Dada una línea de transmisión con una
Zo=100 y una impedancia de carga ZL=(150+j150). Diseñe una sección acopladora /4.
SOLUCIÓN:1.Normalizar la carga2.Localizar Zn en la carta de Smith (punto
A)3.Trazar un círculo de SWR (con centro en
1.0 y que pase por A)4.El valor de SWR se ubica donde el círculo
5.15.0100
15050j
jZn
corta a la recta en el sentido de las manecillas del reloj. (SWR=7)
5. Trazar una recta radial desde 1.0 que pase por A hasta la circunferencia [C(0.162)]
6. La distancia en longitudes de onda, alejándose de la carga, entre el punto C y D es: 0.25-0.162=0.0882. Este valor es la distancia desde el punto del cual se ve a la carga como puramente resistiva y es ahí donde se inserta de sección /4.
7. Para determinar la impedancia característica
de esta sección, se calcula la resistencia vista al final de l y se multiplica por Zo. Esta resistencia es un valor normalizado por lo que se calcula como: R=(7)(100)=700. Por tanto:
EJEMPLO:Dada una línea de transmisión con
Zo=300 y una impedancia de carga ZL=(450-j150), determine las ubicaciones requeridas y el valor de una sección acopladora /4, si la frecuencia de la señal es 600MHz
6.264)700)(100('Zo
1. Normalizar ZL y ubicarlo en la carta (A)
2. Dibujar el círculo SWR y anotar el valor correspondiente (SWR=1.85) este es el punto B y representa una SWR desacoplada
3. Trazar un radio desde el centro de la circunferencia que pase por A [C(0.296)]
4. Desde el punto C y en el sentido de las manecillas del reloj ubicar el punto D sobre el círculo SWR donde la impedancia es resistencia pura (Rn=0.54). En este caso
5.05.1300
150450j
jZn
tenemos: R=(0.54)(300)=162. La distancia es: l=0.5-0.296=0.204
5. Como f=600MHz, la distancia se puede convertir en cm.
6. Se inserta la sección acopladora /4 y se encuentra su impedancia Zo’
cmcm
l
cm
sxs
cmx
f
c
2.10)204.0)(50(
50110600
1036
10
220)162)(300('Zo
CALCULOS PARA UN TROMBÓN DE CALCULOS PARA UN TROMBÓN DE ACOPLAMIENTOACOPLAMIENTO
La ventaja de un trombón acoplador respecto a una sección acopladora /4 es que se usa un tramo de línea del mismo tipo que la línea principal. Además se pueden diseñar líneas de trombones múltiples para acoplamiento de impedancia en un amplio rango de frecuencias.
El trombón se conecta en paralelo con la línea de transmisión a una distancia l1 desde la carga. La longitud del trombón es l2. El punto B se selecciona para proporcionar una admitancia Y=1jB, donde G es unitaria, significando que R=Zo y la línea principal se acopla respecto a la componente resistiva. La componente de susceptancia (jB) puede ser cualquier valor y puede ser positiva o negativa. La longitud de un trombón cortocircuitado se selecciona para que proporcione una susceptancia jB que cancela
la reactancia vista en la línea donde el trombón está unido a la línea.
EJEMPLO:Dada una línea de transmisión de 150
terminada en una carga ZL=(200-j300), determine la ubicación y longitud de un acoplador tipo trombón cortocircuitado.
SOLUCIÓN:1. Se calcula Zn
(puntoA)2. Dibujar el círculo SWR pasando por A (su
valor es muy alto, 4.9)
233.1150
300200j
jZn
3. Se extiende la línea radial pasando por A hasta el otro extremo del círculo SWR pasando por el centro para obtener el punto B (0.23+j0.36) y continuar la línea hasta obtener el punto C (0.057). El punto B es la admitancia de la carga normalizada.
4. Se extiende la línea radial desde el centro pasando por la intersección del círculo SWR y el círculo r=1 para obtener el punto D (1+j1.8) y continuar la línea hasta el perímetro exterior para obtener el punto E(0.183). La distancia desde la carga hasta la
unión del acoplador trombón con la línea principal es: 0.183-0.057=0.126=l1
5. Se determina la longitud real del trombón. Como la susceptancia vista en la unión es +j1.8, la susceptancia aportada por el trombón será –j1.8. En el punto F(jB=-j1.8) el perímetro de la carta indica 0.33. La longitud del trombón está determinada por el arco que comienza en el lado derecho girando en el sentido de las manecillas del reloj hasta el punto F: l2=0.33-0.25=0.08
EJEMPLO:Diseñe un acoplador trombón
cortocircuitado, para una carga ZL=(150+j225) para una línea de 75 cuando la frecuencia es de 500MHz.
SOLUCIÓN:1.Normalizamos ZL: (A)2.Dibujamos el circulo SWR (SWR=7)3.Extender línea radial pasando por A
hasta obtener el punto B (0.15-j0.23), continuar la línea hasta el punto D (0.464)
3275
225150j
jZn
4. Anotar el valor de la intersección entre el circulo de r=1 y el circulo SWR para obtener el punto D(1+j2.2). Dibujar radio desde el centro pasando por D hasta el perímetro, para obtener el punto E (0.192). Entonces la distancia desde la carga hasta el punto donde se localizará el acoplador trombón es: l1=(0.5-0.464)+0.192=0.228 cmcml
cmx
x
68.13)228.0)(60(1
6010500
1036
10
5. La susceptancia vista por el trombón es +j2.2 por lo que se ubica el punto F(-j2.2) sobre el arco –j2.2 y se traza una línea radial desde el punto 1.0 y que pase por F encontrando el valor 0.378. La longitud del trombón es:
cmcml
l
08.4)068.0)(60(2
068.025.0318.02
DESACOPLAMIENTO DE DESACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIA CON VARIACIÓN DE IMPEDANCIA CON VARIACIÓN DE
FRECUENCIAFRECUENCIALa sección /4 y el trombón se diseñan
con longitudes para una frecuencia específica. Si la portadora se cambia en frecuencia, o si las bandas laterales de la portadora son un porcentaje significativo de ésta, el acoplamiento de impedancia ya no será válido. Esto da como resultado la formación de ondas estacionarias sobre la línea de transmisión que originalmente había sido diseñada como una línea plana.
EJEMPLO: (Sección acopladora /4)Dadas ZL=(225-j37.5), Zo=75,
f=800MHz, diseñe una sección acopladora /4 y determine el desacoplamiento si la frecuencia se incrementa 10% (880MHz)
SOLUCIÓN:1. (A)2.Dibujar el circulo SWR desde el centro
pasando por A (SWR=3.1). Extender el radio pasando por A hasta el perímetro, obteniendo B (0.261)
5.0375
5.37225j
jZn
3. Determinar la distancia a la sección acopladora /4 en el punto C (0.5)
4. Anotar el valor correspondiente al punto D (0.32+j0) y calcular la Z de la sección.
5. Para f=880MHz tenemos:
Se dibuja el arco l’ desde B abarcando 0.263, es decir: 0.263-0.239=0.024 (punto E)
239.0261.05.0 l
cmx
xlf
clongitud 96.8)239.0(
10800
1036
10
24)75)(32.0(R 42.42)75)(24('Zo
263.0103
)96.8(10880)('
10
6
x
x
c
longitudfl
6. Se dibuja una línea radial desde E, anotar la intersección con el circulo SWR, se obtiene F (0.33+j0.14)
7. El punto F representa la impedancia normalizada de la sección /4, ya no es puramente resistiva,y su longitud es 10% mayor, es decir: 0.275. Su valor es:
8. Normalizamos ZL’ en términos de Zo’ (G)9. Dibujamos un círculo SWR’ desde el
centro pasando por G
)5.1075.24()75)(14.033.0(' jjZL
25.058.042.42
5.1075.24' j
jZn
10. Dibujamos la línea radial desde el centro pasando por G hasta el perímetro, se obtiene H (0.056).
11. Trazar un arco de 0.275 empezando en H. Es decir: 0.056+0.275=0.331 (punto I)
12. Trazar una línea radial desde el centro hasta I. Anotar la intersección con el círculo SWR’. Se obtiene J (1.19-j0.65) Esta es la impedancia normalizada presentada a la línea de transmisión principal. El valor real es:
57.275.50)42.42)(65.019.1('' jjZL
13. Normalizando ZL’’ en términos de Zo se tiene: (K)
14. Se ubica K y se dibuja el círculo SWR’’. Se observa que el punto K está prácticamente sobre el círculo SWR’ y que el círculo SWR’’ está aproximadamente en 1.75. Entonces se concluye que:
El sistema propiamente acoplado en 800MHz. Está desacoplado a 880MHz con una SWR=1.75.
37.067.075
57.275.50'' j
jZn
EJEMPLO: (Trombón acoplador)Diseñe un acoplador cortocircuitado para
Zo=200, ZL=(40-j100) para f=500MHz. Calcule SWR para 600MHz.
SOLUCIÓN:1. (A)2.Dibujar en circulo SWR pasando por A.
Se observa SWR=63.Dibuje la línea radial desde A pasando
por el centro, encontrando B=(0.7+j1.7) hasta el punto C (0.175)
5.02.0200
10040j
jZn
4. En la intersección del círculo SWR y r=1 se obtiene el punto D=(1+j2.1). Continúe la radial hasta el perímetro obteniendo el punto E (0.188)
5. La distancia desde la carga hasta el acoplador es: l1=0.188-0.175=0.013
6. l2 es el arco desde 0.25 hasta las longitudes de onda correspondientes jB=-j2.1 resultando el punto F (0.324): l2=0.324-0.25=0.074
cmx
xlf
clongitud 78.0013.0
10500
1031
6
10
.44.4074.010500
1032
6
10
cmx
xlf
clongitud
7. Para f=600MHz tenemos:
8. Dibujamos el arco l1’ desde el punto C hasta G=0.175+0.0156=0.191
9. Se dibuja la línea radial a través de G. La intersección con el círculo SWR se obtiene H=(1.05+j2.15). Esta es la admitancia presentada a la línea por l1en la frecuencia más alta.
10. Dibujamos el arco l2’ comenzando en 0.25 hasta el punto I=0.25+0.0888=0.3388.
0888.0103
)10600)(44.4('2
0156.0103
)10600)(78.0('1
10
10
10
6
x
xl
x
xl
11. Este punto representa una admitancia
–jB=-j1.58 (punto I). Entonces, la admitancia total vista en la unión entre el acoplador y la línea es la admitancia presentada por l1 y el acoplador y esta dada por:
(punto J)12. Se ubica este punto y se traza el
círculo SWR’. Se observa que SWR’=1.7, por lo que se puede considerar al acoplador todavía útil a 600MHz.
57.005.158.115.205.1 jjjYtotal