Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 1Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Teoría e Ingeniería de Teletráfico
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 2Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
IntroducciónTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 3Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
¿Qué es la “Teoría de Teletráfico”?Es la aplicación de las teorías de probabilidades a la solución de problemas de planificación, evaluación de desempeño, operación y mantenimiento de sistemas de telecomunicaciones
Principales funciones de la Ingeniería de Teletráfico:◦ Caracterización de la demanda de tráfico
◦ Objetivos del grado de servicio (GoS)
◦ Controles y dimensionamiento del tráfico
◦ Vigilancia de la calidad de funcionamiento
Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)
Parte de esta presentación se basa en
ITU–D Study Group 2 Question 16/2
Handbook “TELETRAFFIC ENGINEERING”
June 2006
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 4Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Principales funciones de la Ingeniería de Teletráfico
Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 5Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Conjunto de recursos
Intensidad Instantánea de Tráfico Traffic Intensity
La intensidad instantánea de tráfico en un conjunto de recursos es la cantidad de recursos ocupados en un determinado instante de tiempo
◦ Los “recursos” pueden ser líneas urbanas, servidores, o cualquier tipo de elemento que puede ser compartido por varios usuarios
recurso librerecurso ocupado
Instantánea
n recursos
ocupados
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 6Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Conjunto de recursos
Intensidad Promedio de TráficoLa ocupación de cada recurso puede variar con el tiempo.
◦ En cada instante t, hay n recursos ocupados
Evolución
en el
tiempo
n(t) recursos
ocupados
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 7Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad Promedio de Tráfico
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 8Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad Promedio de Tráfico
Donde n(t) es la cantidad de recursos ocupados en cada instante t y T es un tiempo fijo
Y(T) es adimensionada (“tiempo” / “tiempo”)
T
dttnT
TY0
)(1
)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 9Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
ErlangUnidad de medida de tráfico (definición de la CCIF* del 28 de octubre de 1946):
* Le Comité Consultatif International des Comunications Telephoniques a grande distance
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 10Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Unidades de TráficoErlang (E):
◦ Un Erlang corresponde a una intensidad promedio de tráfico de una hora por hora
◦ Equivalente a un recurso ocupado en forma permanente
Cientos de segundos por hora o Hundred call seconds per hour (CCS): ◦ Un CCS corresponde a una intensidad promedio de tráfico de 100 segundos por hora (puede ser
asociado a la duración de una llamada típica)
◦ 36 CCS = 1 E
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 11Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Volumen de tráfico (Traffic Volume)Es el tráfico total cursado en un periodo de tiempo T
◦ Integral en el tiempo de la intensidad de tráfico
Se mide en Eh (Erlang-horas) o Es (Erlang-segundos)
Es la suma de todos los tiempos de ocupación en el periodo medido
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 12Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad de llamadas (Call Intensity)Promedio de llamadas por unidad de tiempo
tiempodeunidad
llamadas
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 13Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad de llamadas (Call Intensity)
Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,
durante 10 días, de lunes a viernes
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 14Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad de llamadas (Call Intensity)
Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,
cada día
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 15Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad de llamadas (Call Intensity)
Llamadas por minuto, entre las 8:00 y las 13:00 de un día particular
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 16Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Intensidad de llamadas (Call Intensity)
Llamadas por minuto, en una hora (entre las 10 y las 11),
en un día particular
Llamadas por minuto
0
10
20
30
40
50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Minuto (10:xx)
Can
tid
ad
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 17Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tiempo medio de ocupación (Mean Holding Time)Duración media del tiempo de ocupación
◦ Por ejemplo: Duración media de las llamadas
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 18Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico en función de intensidad de llamadas y ocupación media
serviciodetasasd
servicioporsegundososmediaduraciónd
ssegundo
llamadas
)(1
)(
1
1
d
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 19Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico en función de intensidad de llamadas y ocupación media
1 s
)(1
1
smediaduración
ssegundo
llamadas
/1
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 20Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico en función de intensidad de llamadas y ocupación media
El tráfico A se puede calcular como
dA
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 21Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Hora pico (Busy Hour)Período de 60 minutos que tiene el máximo de tráfico, tomado en intervalos de 15 minutos
◦ Por ejemplo: La hora pico puede ser de 9:15 a 10:15
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 22Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Hora pico (Busy Hour)La relación entre el tráfico en la
hora pico y el tráfico diario total es del orden del 12%
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 23Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
% tráfico respecto al total diario
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 24Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico Ofrecido (Offered Traffic)Es el tráfico que se cursaría si no existiera rechazo dentro de la red
◦ Se podría cursar con “infinitos” recursos
UsuariosTráfico
OfrecidoRed Usuarios
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 25Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico Cursado (Carried Traffic)Es el tráfico que efectivamente cursado por la red
◦ Típicamente “se puede medir”
UsuariosTráfico
OfrecidoRed
Tráfico Cursado
Usuarios
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 26Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico Perdido o Rechazado (Lost Traffic)Es el tráfico que NO pudo ser cursado por la red
UsuariosTráfico
OfrecidoRed
Tráfico Cursado
Perdid
o
Usuarios
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 27Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico de DesbordeOverflow TrafficEs el tráfico que no pudo ser cursado por una red y es derivado a otra red
UsuariosTráfico
OfrecidoRed 1
Tráfico Cursado
Usuarios
Desb
ord
e
Red 2
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 28Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Generación de tráfico
Probabilidad de error del usuario
Probabilidad de errores técnicos y
bloqueo
Probabilidad de cada resultado posible
Reintentos
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 29Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Reintentos cuando el destino está ocupadoHistograma de los
reintentos en función del tiempo de reintento luego del intento inicial, cuando el destino
está ocupado
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 30Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Modelos MatemáticosTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 31Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Proceso de ArribosLos procesos de arribo se pueden describir matemáticamente como procesos estocásticos puntuales
Tiempo entre arribos: - Variable aleatoria
- No se produce arribos múltiples- En promedio, λ arribos por unidad de tiempo
tiempo
arribos
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 32Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Proceso de ArribosAl asumir que cada “tiempo entre arribos” se modela con la misma variable aleatoria, queda implícito que la distribución de arribos es independiente del tiempo
◦ Puede ser cierto durante períodos cortos de tiempo
Llamaremos A a la variable aleatoria que modela el tiempo entre arribos
T
dttaTP0
)()(AA(T)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 33Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Proceso de ArribosEl tiempo medio entre arribos (el valor esperado) se puede calcular como
¿Cómo definir A?
El “tiempo entre arribos” se puede modelar con una distribución exponencial de parámetro λ
0
)(1
dttta
t
t
eta
etA
)(
1)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 34Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo: 360 llamadas por hora
segundo
llamadas
hora
llamadas1.0360
)(101
llamadasentrepromediotiempollamada
segundos
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 20 40 60
t
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 20 40 60
t
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 20 40 60
t
tetA 1)(teta )(
ttetta )(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 35Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Propiedades de la distribución Exponencial de parámetro λ
Valor esperado
Varianza var A = E(A2) – E(A)2
1)( AE
2
1)var(
A
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 36Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Propiedades de la distribución exponencial“No tiene memoria”:
)()|( hPThTP AAA
h
th
T
hT
T
t
hT
t
T T
t
hPdteee
e
dte
dte
ThTP
dtedttaTP
)()(
)()(
)(
AAA
A
La distribución de probabilidad del arribo de una nueva llamada no depende de cuanto tiempo haya pasado desde el arribo de la última llamada
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 37Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Relación entre la distribución Exponencial y la de Poisson
Si los tiempos entre arribos son exponenciales de parámetro λ , el número de arribos N que ocurren en un lapso de tiempo T tiene un distribución de Poisson de parámetro λT
!
)()(
N
eTNP
TN
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N= cantidad de llamadas para T=60 seg
segundo
llamadas1.0
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 38Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Duración de las llamadasDuración de llamadas:
- Variable aleatoria- En promedio, de duración
d=1/µ
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 39Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Duración de las llamadasAl asumir que la duración de las llamadas se modela con la misma variable aleatoria, queda implícito que la distribución de la duración es independiente del tiempo
◦ Puede ser cierto durante períodos cortos de tiempo y para un mismo tipo de llamadas
Llamaremos S a la variable aleatoria que modela la duración de llamadas
T
dttsTSPTS0
)()()(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 40Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Duración de las llamadasLa duración media de las llamadas (el valor esperado) se puede calcular como
La duración de las llamadas se puede modelar con una distribución Exponencial de parámetro µ=1/d
0
)(1
dtttsd
t
t
ets
etS
)(
1)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 41Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo: duración media de 3 minutos
1180/1
180
segundos
segundosd
d
t
ed
ts
1
)( d
t
ted
tts
1
)(
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0 200 400 600
t
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 100 200 300 400 500 600
t
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 42Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Modelo con “infinitos recursos”TEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 43Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
ConsideracionesConsideramos un sistema con ∞ recursos idénticos, trabajando en paralelo
◦ “Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Hay ∞ fuentes que pueden generar tráfico
Una llamada es aceptada en el sistema si existe por lo menos un recurso disponible, y cada llamada ocupa un único recurso
◦ “Accesibilidad completa” (full accessibility)
◦ Dado que hay ∞ recursos, las llamadas son siempre aceptadas
El arribo de llamadas se puede modelar como un proceso de Poisson de parámetro λ llamadas por segundo
◦ “Tráfico de Chance Pura”
La duración de las llamadas tiene una distribución exponencial de parámetro µ=1/d segundos-1
El tráfico se puede modelar como un proceso de “nacimiento y muerte”◦ Proceso simple de Markov
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 44Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosDefinimos el estado del sistema [i] como la cantidad de recursos ocupados i.
En un instante determinado, el sistema se encuentra en el estado [i]
0 1 2 i -1 i i +1 i +2
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 45Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosCon el tiempo pueden existir transiciones entre estados
Entre un tiempo t y t +dt, solo existen transiciones simples
◦ La probabilidad de arribo o fin de más de 2 llamadas en dt es despreciable
0 1 2 i -1 i i +1 i +2
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 46Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosDemostración para el caso de arribos:
Probabilidad de N arribos en un tiempo T:
)1(2
)(
2
)()2(
)1(
0
!
)()(
22
PTeT
P
TTeP
T
N
eTNP
T
T
TN
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 47Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosEn una situación de equilibrio estadístico, el sistema se encontrará en el estado [i] una proporción de tiempo p(i)
p(i) es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado [i]
0 1 2 i -1 i i +1
p(i) = probabilidad del estado i
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 48Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosLa probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1] en un intervalo de tiempo T, es la probabilidad de que exista un arribo en ese intervalo de tiempo.
Si T es muy pequeño, esa probabilidad es
0 1 2 i -1 i i +1
TTeP T )1(
T
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 49Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosLa probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1] durante un tiempo corto T
◦ Es lineal con T
◦ Solo depende de la tasa de arribos λ, pero no del estado [i] en el que se encuentre el sistema◦ Hay “infinitas fuentes” generadoras de tráfico
0 1 2 i -1 i i +1
TTTTT T
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 50Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosLa probabilidad de pasar del estado [i] al [i-1] en un intervalo de tiempo T, es la probabilidad de que termine una llamada en t < T
La probabilidad de que termine 1 de las i llamadas del estado [i] es
Como hay i llamadas p( [i] → [i-1] )=iµT
)0(...)2
)(1(1)(
1)(
2
TparaTT
TTS
eTS T
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 51Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estadosSi T es muy pequeño, la probabilidad de pasar del estado [i] al [i-1] en un intervalo de tiempo T
◦ Es lineal con T
◦ Es inversamente proporcional a la duración media d◦ Es proporcional a µ=1/d
◦ Es proporcional a la cantidad de llamadas (recursos ocupados) en el sistema◦ Es proporcional a i
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 52Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estados
0 1 2 i -1 i i +1
TTTTT T
Ti )1( TiTi )1( T2T
Válido para T muy pequeño
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 53Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ecuaciones de nodop(i) es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado [i]
La cantidad media de “saltos” del estado [0] al estado [1] en el intervalo T es λTp(0)
◦ La cantidad de “saltos” del estado [0] al estado [1] por unidad de tiempo es λTp(0)/T=λp(0)
La cantidad media de “saltos” del estado [1] al estado [0] en el intervalo T es µTp(1)
◦ La cantidad de “saltos” del estado [1] al estado [0] por unidad de tiempo es µTp(1)/T= µp(1)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 54Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ecuaciones de nodo
0 1
)1()0( pp
Transiciones por unidad de tiempo
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 55Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ecuaciones de nodo
)()()1()1()1(
)()()1()1()1(
0
ipiipiip
ipiipipiip
i
i -1 i i +1
)1( ii
Transiciones por unidad de tiempo
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 56Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
En equilibro estadístico, la cantidad de transiciones del estado [i-1] al [i] deben ser iguales a las transiciones del estado [i] al [i-1]
Ecuaciones de corte
)()1(
0
ipiip
i
i -1 i
i
Transiciones por unidad de tiempo
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 57Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
NormalizaciónEl sistema siempre estará en uno de los posibles estados
◦ La suma de todas las probabilidades de los estados debe ser 1
1)(0
i
ip
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 58Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estadosAplicamos las ecuaciones de “corte”
....
)1()1()(
)()()1(
)1()1()2(
....
)3(3)2(
)2(2)1(
)1()0(
ipiip
ipiip
ipiip
pp
pp
pp
dA
)()1( ipiip
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 59Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
....
)0(!
)1()(
)0()!1(
)2(1
)1(
....
)0(23
)2(3
)3(
)0(2
)1(2
)2(
)0()1(
1
3
2
pi
Aip
i
Aip
pi
Aip
i
Aip
px
Ap
Ap
pA
pA
p
App
i
i
A
i
i
i
i
i
e
i
Ap
pi
A
ip
0
0
0
!
1)0(
1)0(!
1)(
Ai
ei
Aip
!)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 60Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo
¿Cuántos recursos de conmutación serán utilizados?
Sistema con “Infinitos recursos”
de conmutación
Usuarios que generan
600 llamadas por hora,
de 1 minuto de duración promedio
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 61Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo600 llamadas por hora = 600/3600 llamadas por segundo
◦ λ=1/6 seg-1
60 segundos de duración
◦ d=60 seg
◦ µ=1/60 seg-1
A = λ/µ= 10 Erlang
¿Cuántos recursos de conmutación serán utilizados?
Ai
ei
Aip
!)(
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p(i
)
i - cantidad de recursos ocupados
p(i) para A=10
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 62Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Características del tráfico con infinitos recursosNo hay “congestión”: Hay infinitos recursos y todos son accesibles
El tráfico cursado Y es igual al tráfico ofrecido
El tráfico perdido es 0
AeAei
AAee
i
AiiipY A
i
Ai
A
i
Ai
i
1
1
11 )!1(!)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 63Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Recursos finitos: Modelos de pérdidaTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 64Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
ConsideracionesConsideramos un sistema con n recursos idénticos, trabajando en paralelo
◦ “Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Una llamada es aceptada en el sistema si existe por lo menos un recurso disponible, y cada llamada ocupa un único recurso
◦ “Accesibilidad completa” (full accessibility)
Si todos los recursos están ocupados el sistema está “congestionado” y el intento de llamada es bloqueado
◦ El intento de llamada en este caso “desaparece”, no hay espera ni reintentos
◦ Modelo de pérdida (Lost Calls Cleared)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 65Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estados
0 1 2 i -1 i i +1
)1( ii)1( i2
Transiciones por unidad de tiempo
n
n
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 66Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
)0(!
)1()(
....
)0(!
)1()(
....
)0(23
)2(3
)3(
)0(2
)1(2
)2(
)0()1(
3
2
pn
Anp
n
Anp
pi
Aip
i
Aip
px
Ap
Ap
pA
pA
p
App
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
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ip
0
0
0
!
1)0(
1)0(!
1)(
n
j
j
i
j
Ai
Aip
0 !
1
!)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 67Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
CongestiónHay “congestión” cuando todos los recursos están ocupados, o sea cuando el sistema está en el estado [n]
La probabilidad de que al llegar un “arribo” encuentre al sistema en el estado [n] es igual a la probabilidad estacionaria de que el sistema se encuentra en el estado [n]
◦ Esto es conocido como propiedad “Poisson Arrivals See Time Average” o PASTA, demostrada por Ronald W. Wolff en 1982
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 68Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
CongestiónHay “congestión” cuando todos los recursos están ocupados, o sea cuando el sistema está en el estado [n]
Por tanto, la probabilidad de que exista congestión es
),(
!
!)(
0
AnE
j
An
A
np Bn
j
j
n
Conocida como Fórmula de Erlang-B (publicada en 1917)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 69Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo
¿Qué probabilidad hay de que exista congestión?
Sistema con “10 recursos”
de conmutación
Usuarios que generan
600 llamadas por hora,
de 1 minuto de duración promedio
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 70Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemploλ=1/6 seg-1
µ=1/60 seg-1
A = λ/µ= 10 Erlang
%2121.0
!
10
1
!10
10)10,10(
10
0
10
j
jB
j
E
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 71Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo¿Cómo varía la probabilidad de bloqueo según la cantidad de recursos disponibles?
n
j
j
n
B
j
An
AAnE
0 !
1
!),(
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
p(b
loq
ueo
)
n- cantidad de recursos disponibles
EB(n,10)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 72Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Zoom
EjemploSi queremos que la probabilidad de bloqueo sea menor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?
0123456789
101112131415161718192021
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
n (
can
tid
a d
e re
cu
rso
s)
p- probabilidad de bloqueo
EB(n,10)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 73Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
EjemploSi queremos que la probabilidad de bloqueo sea menor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
n (
can
tid
a d
e re
cu
rso
s)
p- probabilidad de bloqueo
EB(n,10)
n=18
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 74Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tablas de Erlang-B
n
Probabilidad de bloqueo= En(A)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 75Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Características del tráfico con modelo de pérdida
Hay “congestión” cuando todos los recursos están ocupados
El tráfico cursado Y es menor al tráfico ofrecido A
(usando las ecuaciones de corte)
El tráfico perdido es
),(1
)(1)1()(11
AnEAY
npAiApiipY
B
n
i
n
i
),(),(1 AnAEAnEAAYAA BBlost
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 76Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Resumen de las Hipótesis utilizadas para Erlang-BChance pura
◦ El arribo de llamadas se modela según un proceso de Poisson
◦ El tiempo entre arribos de llamadas tiene una distribución exponencial
◦ Existen “infinitas” fuentes generadoras de tráfico
Duración de las llamadas◦ La duración de las llamadas tiene una distribución exponencial
Grupo homogéneo de recursos◦ Los recursos son idénticos, trabajando en paralelo
Accesibilidad completa◦ Una llamada es aceptada en el sistema si existe por lo menos un recurso disponible, y cada llamada
ocupa un único recurso
Sistema de pérdida◦ Si un intento de llamada no encuentra un recurso libre, se pierde
◦ No hay “reintentos”
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 77Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
GeneralizaciónDuración de las llamadas
◦ La fórmula es valida para cualquier distribución de duración de llamadas, y solo depende de la duración media d
◦ De hecho, solo depende del tráfico
dA
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 78Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Fuentes finitas¿Qué sucede si hay un número “finito” de fuentes generadoras de tráfico?
◦ A medida que las “fuentes” obtienen un recurso, quedan menos “fuentes” para generar tráfico
◦ Por lo tanto, la probabilidad de transición del estado [i] al [i+1] dependerá del estado [i]
0 1 2 i -1 i i +1
)(i)1( i)2()1()0( )1( i
n
)1( n
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 79Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Fuentes finitasInteresa en este caso la tasas de arribos por cada “fuente”
◦ En promedio γ arribos por unidad de tiempo por cada “fuente”
◦ Si hay S fuentes, la tasa total de arribos es
◦ Para el caso de ∞ fuentes aplica
S
)(lim 0, SS
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 80Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Fuentes finitasEl tráfico por cada “fuente” se puede definir como
a
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 81Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Diagrama de transición de estados
0 1 2 i -1 i i +1
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)1( iS)2( S
)1( S
S )1( iS
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Transiciones por unidad de tiempo
n
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 82Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estadosAplicamos las ecuaciones de “corte”
....
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ipiipiS
ipiipiS
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ppS
ppS
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 83Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
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i
aiSip
px
aSSSp
aSp
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i
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 84Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
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S
piiS
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Combinaciones de S tomadas de i
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 85Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estadosNormalización
n
i
is
i
n
i
is
i
is
i
n
i
aC
p
paC
paCip
ip
1
1
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1)0(
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 86Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
CongestiónHay “congestión” cuando todos los recursos están ocupados, o sea cuando el sistema está en el estado [n]
Por tanto, la probabilidad de que exista congestión es
),,()(
0
SnaE
aC
aCnp Engset
in
i
S
i
nS
n
Conocida como Fórmula de Engset (publicada en 1918)
Tore Olaus Engset
1865-1943
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 87Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Características del tráfico de pérdida y fuentes finitas
Hay “congestión” cuando todos los recursos están ocupados
El tráfico cursado Y es
EnSSa
aY
EnSaaYaSY
EnSaiipaiSpanpnSaipiSaY
ipiSaipiSaiipY
n
i
n
i
n
i
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n
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1
011
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 88Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Resumen de las Hipótesis utilizadas para EngsetChance pura
◦ El arribo de llamadas se modela según un proceso de Poisson
◦ El tiempo entre arribos de llamadas tiene una distribución exponencial
◦ Existe un número finito S de “fuentes generadoras” de tráfico, que es mayor a la cantidad de recursos n (S>n)
Duración de las llamadas◦ La duración de las llamadas tiene una distribución exponencial
Grupo homogéneo de recursos◦ Los recursos son idénticos, trabajando en paralelo
Accesibilidad completa◦ Una llamada es aceptada en el sistema si existe por lo menos un recurso disponible, y cada llamada ocupa un
único recurso
Sistema de pérdida◦ Si un intento de llamada no encuentra un recurso libre, se pierde
◦ No hay “reintentos”
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 89Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Recursos finitos: Modelos de demoraTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 90Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
ConsideracionesConsideramos un sistema con n recursos idénticos, trabajando en paralelo
◦ “Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Una llamada es aceptada en el sistema si existe por lo menos un recurso disponible, y cada llamada ocupa un único recurso
◦ “Accesibilidad completa” (full accessibility)
Si todos los recursos están ocupados el sistema está “congestionado” y la llamada se pone en “cola de espera”
◦ La “cola de espera” no tiene límites◦ Pueden existir ∞ llamadas en espera
◦ Cuando una llamada ingresa a la “cola de espera”, se mantiene hasta que llega su turno◦ NO hay “abandonos”
◦ Modelo de demora (Delay Systems)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 91Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Cola de esperaRecursos
Diagrama de transición de estados
0 1 2 i n
ni2
Transiciones por unidad de tiempo
n+1
nn
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 92Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estadosAplicamos las ecuaciones de “corte”
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....
)1()(
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....
)1()1()(
....
)1()0(
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npnnp
npnnp
ipiip
pp
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 93Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
....
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)1(
....
)0(2
)1(2
)2(
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ni
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 94Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Deducción de las probabilidades de estados
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An
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n
A
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Ap
n
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1
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Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 95Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Probabilidad de que exista demoraLa probabilidad de que una llamada ingrese a la cola de espera (es decir, que no pueda ser atendida inmediatamente) es la probabilidad de que el sistema se encuentra en cualquiera de los estados [i] mayores o iguales a [n]
ni
ipWaitp )()0(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 96Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Probabilidad de que exista demora
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0
Conocida como Fórmula de Erlang-C
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 97Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Probabilidad de que existan llamadas en esperaLa probabilidad de que existan llamadas en espera es la probabilidad de que el sistema se encuentra en cualquiera de los estados [i] mayores estrictos a [n]
),()()0(1
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AipLp C
ni
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 98Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Número promedio de llamadas en espera
),()(
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2
11
111
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nA
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k
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kn
k
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Aip
ni
i
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 99Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Número promedio de llamadas en espera cuando hay cola
¿Cuántas llamadas en promedio habrá en espera, si sabemos que existe cola de espera?
An
nL
An
Anp
nA
nAnp
kp
knkp
L
L
nk
k
L
0
2
1
1
0
)(
)1()(
)(
)(
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 100Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tiempo promedio de espera¿Cuánto tiempo en promedio deberá esperar una llamada hasta ser atendida?
Teorema de Little (John Little, 1961):
◦ La cantidad promedio de llamadas en espera L es igual a la tasa de arribos λ multiplicada por la demora media W
◦ Es válido para cualquier sistema de encolamiento, sin importar la distribución de arribos ni la distribución de la duración del servicios o llamadas
WL John Dutton Little
1928-
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 101Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tiempo promedio de espera
),(
),(1
AnEAn
dW
dA
AnEAn
ALW
C
C
Esta es la demora promedio para TODAS las llamadas◦ Algunas tuvieron demora, otras fueron atendidas sin demora
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 102Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Si una llamada es encolada, ¿cuánto tiempo en promedio deberá esperar para ser atendida?
Tiempo promedio de espera para las llamadas en cola
An
d
Waitp
WW
W
)0(0
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 103Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
GeneralizacionesTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 104Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Notación de KendallDavid George Kendall fue un matemático especializado en estadística
En 1953 Propuso una notación para describir modelos de encolamiento generales, según
◦ La distribución del proceso de arribos
◦ La distribución de la duración del servicio
◦ El número de “recursos”
David George Kendall
1918-2007
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 105Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Notación de Kendall
Notación: A/B/nA = Proceso de Arribos
B = Distribución del tiempo de servicio
n = número de recursos
Los valores de A y B pueden ser:◦ M = Proceso “Markoviano” (Poisson, distribución exponencial)
◦ D = Determinística
◦ G = General (Distribución arbitraria)
◦ Otros…
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 106Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Notación de Kendall - Ejemplo
M/M/n◦ Sistema de “chance pura” con proceso de arribo de Poisson, tiempos de servicios con distribución
exponencial y un número n finito de recursos
M/M/∞◦ Sistema de “chance pura” con proceso de arribo de Poisson, tiempos de servicios con distribución
exponencial y un número infinito de recursos
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 107Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Notación de Kendall – Extensión
A/B/n/K/S/XK = Capacidad total del sistema (K – n = número de posiciones para la cola de espera)
S = Número de “fuentes” generadoras de tráfico
X = Comportamiento de la cola◦ FIFO,LIFO,…
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 108Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico de desbordeEs el tráfico que no pudo ser cursado por una red y es derivado a otra red
UsuariosTráfico
OfrecidoRed 1
Tráfico Cursado
Usuarios
Desb
ord
e
Red 2¿Se puede aplicar Erlang-B al tráfico
sobre la Red 2?
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 109Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo
Tráfico ofrecido: A = 10 Erlang
Red 1: n=16 recursos
EB(n,A)=0.022 = 2.2% de probabilidad de bloqueo
Tráfico total perdido=10 E x 0.022 = 0.22 E = 2.2% del tráfico total ofrecido
Red 1, n=16
1 2 8 15 169 Tráfico Ofrecido
Perdid
o
A=10E
2.2%
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 110Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Red 2, n=8
Ejemplo
Tráfico ofrecido Red 1: A = 10 E
Red 1: n=8 recursos
EB(n,A)= 0.34 = 34% probabilidad de bloqueo
Tráfico perdido Red 1=10 x 0.34 = 3.4 E = Trafico ofrecido a Red 2
Red 1, n=8
1 2 8 15 169 Tráfico Ofrecido
Perdid
o
A=10E
DesbordeA=3.4E
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 111Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Red 2, n=8
Ejemplo
Tráfico ofrecido Red 2: A = 3.4 E
Red 2: n=8 recursos
EB(n,A)= 0.0145 = 1.45% de probabilidad de bloqueo
El tráfico perdido en la red 2 es Alost=3.4 x 0.0145= 0.049 E
= 0.49% del tráfico total ofrecido
Red 1, n=8
1 2 8 15 169 Tráfico Ofrecido
Perdid
o
Desborde
A=10E
0.49%
A=3.4E
Pero el valor real es 2.2%!!
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 112Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Tráfico de desbordeEl tráfico de desborde no cumple las hipótesis de Erlang-B
Es un tráfico que presenta características de “ráfagas”, en los momentos en que la Red anterior está completa.
Fue estudiado por Roger I. Wilkinson (en 1956) y por G. Bretschneider (en el mismo año)
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 113Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
EjemplosTEORÍA E INGENIERÍA DE TELETRÁFICO
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 114Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 1Una Empresa desea incorporar un sistema de “correo de voz” en su red, para todos sus usuarios
Se sabe que◦ Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz
◦ Cada comunicación con el correo de voz tiene una duración media de 2 minutos
◦ Por cada usuario, se espera que el correo de voz atienda en promedio 1 llamada en la hora pico
◦ Se acepta que de 100 intentos, 1 no consiga conectarse
¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de voz”?
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 115Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 1Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos de duración
A=λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E
¿Qué modelo aplicamos?◦ Erlang-B
◦ Engset
◦ Erlang-C
◦ …
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 116Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 1
30
35
40
45
50
55
60
0 0.1 0.2
n (
ca
nti
da
de r
ecu
rso
s)
p- probabilidad de bloqueo
A=33.3
Erlang B
Engset 1000 usuarios
N=45 utilizando Erlang B
N=44 utilizando
Engset
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 117Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 1Utilizando las tablas de Erlang-B
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 118Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Engset vs Erlang-B
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 0.1 0.2
n (
ca
nti
da
de r
ecu
rso
s)
p- probabilidad de bloqueo
A=33.3
Erlang-B
Engset 1000 usuarios
Engset 500 usuarios
Engset 200 usuarios
Engset 100 usuarios
Engset 50 usuarios
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 119Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 2Una Empresa desea incorporar un sistema de “correo de voz” en su red, para todos sus usuarios
Se sabe que◦ Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz
◦ Cada comunicación con el correo de voz tiene una duración media de 2 minutos
◦ Por cada usuario, se espera que el correo de voz atienda en promedio 1 llamada en la hora pico
◦ Se acepta que de 100 intentos, 1 se vea demorada hasta ser atendida
¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de voz”?
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 120Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 2Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos de duración
A=λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E
¿Qué modelo aplicamos?◦ Erlang-B
◦ Engset
◦ Erlang-C
◦ …
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 121Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
30
35
40
45
50
55
60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
n (
ca
nti
da
de r
ecu
rso
s)
p- probabilidad de que la llamada sea demorada
A=33.3
Erlang C
Ejemplo 2
N=48 utilizando Erlang C
A=33.3 implicaN > 34
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 122Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 2Utilizando las tablas de Erlang-C
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 123Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Ejemplo 2¿Cuál será la demora promedio?
Si una llamada es demorada, ¿Cuál será su demora esperada?
ss
AnEAn
dW C 08.001.0
33.3348
120),(
sAn
d
Waitp
WW
W2.8
3.3348
120
)0(0
Tecnologías de Redes y Servicios de Telecomunicaciones 124Autor: Dr. Ing. José Joskowicz
Muchas Gracias!
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