7/26/2019 TEMA (I-E) EJEMPLO (1)
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Para el modelo que se muestra determine:
a) Autovalores
b)
Frecuencias propias
c) Autovectores
d) Matriz modal
e)
Auto vectores Normalizados
f) Matriz modal normalizada
M1=M2= 20 Kg.seg2
/ mtK1= 2000 Kg/mt
K2= 4000 Kg/ mt
Diagrama de cuerpo libre:
FH=0M1Z1(t) + (K1+K2)Z1(t) K2Z2(t)= 0
FH=0M2Z2(t) K2Z1(t) + K2Z2(t)=0
ORDENANDO MATRICIALMENTE:
M1 0 Z1(t) + (K1+ K2) K2 Z1 = 0
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0 M2 Z2(t) . -K2 K2 Z2 . 0
[M] {Z(t)} [K] Z
Recordar que el det [K] W2[M]=0
6000 -4000 . 20 0
- W2
-4000 4000 0 20.
(6000- 20 W2) -4000
=0
-4000 4000 20 W2
(6000 20 W2)(4000-20 W2)- (4000)2=024,000,000 120,000 W2-80,000W2+ 400 (W2)2- 16,000,000=0400(W2)2- 200,000 W2+ 8,000,000 =0
(W2)1,2 = (200,000 ((200,000)2-4(400)(8,000,000)))/2(400)
:. (W2)1,2= 250 206.15
W21=250 206.16 = 43.83 (rad/seg2)W22= 250 + 206.16 = 456.16 (rad/ seg2)
Frecuencias:
W1= (W21) = 6.62 rad/seg FRECUENCIAW2=(W22) = 21.36 rad/seg FUNDAMENTAL
Autovectores
([K]- W2[M]){Z} = {0}
6000 20 W21 -4000 11 = 0 Primer
-4000 4000- 20 W21 21 0 Autovec.
Sustituyendo el valor de W21 y desarrollando
5123.2 114000 21=0-4000 11+ 3123.2 21 =0
Para 11=1 ; 21= 1.281
Primer Autovector1 11.28
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=
6000-20W22 -4000 Segundo autovector
-4000 4000- 20 W22 W2= 2
Sustituyendo el valor W22
-3123.2 124000 22 =0-4000 125123.20 22=0
Para 12=1 ; 22=-0.78
= Segundo Autovector
Matriz Modal
= 1 1 No normalizada
1.28 -0.78
Autovectores normalizados :
1erAutovector Normalizado {1}{1}= ((M/([m]{1})){1} ; Asumiendo M=1
{1}= 1/([1 1.281] 20 00 20
= (1/7.27) =
2doAutovector Normalizado
.
= (1/{1 -0.78} )
=1/5.67 .
12
22
2 1-0.78
1
1.281
1.28
1
1.28
0.13
0.17
220 0
0 201
-0.7
1
-0.7
1
-0.780.176
-0.13
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=
La matriz modal Normalizada
=
Representacin
Determine la respuesta del sistema:
{Z(t)}
usando la informacin del problema anterior:
0.138 0.176
0.176 -0.13
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M1=M2= 0 Kg. Seg 2/mt
K1= 2000 Kg/mt
K2= 4000 Kg /mt
Excitaciones:
P1(t)= 200 cos 5t
P2(t)= 400 cos 5t
Respuesta para cada modo:
Mifi+ MiW2ifi(t)= { }T {P(t)}; (i=1,n)
Primer Modo:
M1f1(t) + M1W21f1(t) ={ 1}T{P(t)}
Dado que M es arbritario ; Mi=1 ; (i=1,n)
f1(t) + 43.84f1(t) = {0.138 0.177}
:. f1(t) + 43.84f1(t)= 98.4 cos 5t
Se demostr que para la vibracin forzada no amortiguada, si la excitacin era de
la forma Pocos wt; la repuesta del sistema es:
Z(t)= (Po/k)/(1-W2/Wn2) (cos wt) ;
:. f1(t)= (98.4/43.84)/(1-52/43.84) cos 5t
:. f1(t)= 5.22 cos 5t
Segundo Modo:
M2f2(t) + M2W22f2(t)= { 2}T{P(t)}
f2(t)+ 456.16f2(t) = -19.8 cos 5t
:. F2(t)=((-19.8/456.16)/(1-52/456.16)) cos 5t
:.f2(t)= -0.046 cos 5t
Recordar que ; {(t)}= []{f(t)}
200 cos 5t
400 cos 5t
7/26/2019 TEMA (I-E) EJEMPLO (1)
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=
Es la repuesta del sistema
=
Otro enfoque seria:
Primer modo:
=
= f1(t) =
=
Segundo modo
= = f2(t) =
=
Observando 2 y 3 nos damos cuenta de que la respuesta del sistema esta
bsicamente definida en el primer modo y que el aporte del segundo modo es
bastante mas pequeo que el del primero.
Por lo que al primer modo se le llama fundamental y a la frecuencia
correspondiente: frecuencia fundamental.
(t)
2(t)
0.138 0.177
0.177 -0.138
5.22 cos 5t
-0.046 cos 5t
1(t)
2(t)
0.712 cos 5t
0.930 cos 5t
Z1(t) 11
211
0.138
0.177
5.22 cos 5t 0.72 cos 5t
0.92 cos 5t
Z2(t) 12
22
2 0.177
-0.138
-0.046 cos 5t-0.00814 cos 5t
0.00635 cos 5t
7/26/2019 TEMA (I-E) EJEMPLO (1)
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:. Si sumamos ambas respuestas :
Z1(t) + Z2t =
Se nota que el segundo modo no aporta a la respuesta.
0.712 cos 5t
0.930 cos 5t
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