Índice
1. Sistemas de Coordenadas
2. Transformaciones Básicas1. Traslación2. Escalado3. Rotación Plana4. Afilamiento5. Deformaciones
3. Composición de Transformaciones
4. Rotación General
5. Transformación de Sistemas de Coordenadas
Introducción• Nos movemos en un mundo 3D
• Se debe permitir trabajar directamente con objetos 3D
xy
z
• Sin embargo al final siempre habrá que generar una image 2D en pantalla
• Las transformaciones son las mismas que antes, añadiendo una tercera componente
– traslaciones– rotaciones– escalados
Sistemas de Coordenadas• Una escena 3D se define por los puntos,
líneas y planos que la componen
• Necesitamos un sistema para poder referenciar las coordenadas, al igual que ocurría en 2 dimensiones
• Hace falta un tercer eje, Z, perpendicular al X y al Y
• Cualquier punto se describe entonces como una terna de valores (x, y, z)
• Para el sentido del eje Z se usa la regla de la mano derecha
X
Y
Z
(2,0,0)
(2,0,0)
(2,0,0) (2,0,0)
(2,0,0)
(2,0,0) (2,0,0)
(2,0,0)
Transformaciones 3-D• Son extensiones de las transformaciones en dos dimensiones
• En el caso 2D teníamos inicialmente matrices 2x2, pero eso sólo nos permitía operaciones del tipo
• Por eso pasamos a matrices 3x3, utilizando coordenadas homogéneas
• Por tanto, en 3-D, aplicando la misma regla, habrá que pasar a matrices 4x4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=
21
21),()','(bbaa
yxyx byaxx +='
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅=
321
321
321
)1,,()1,','(cccbbbaaa
yxyx cbyaxx ++='
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅=
4321
4321
4321
4321
)1,,,()1,',','(
ddddccccbbbbaaaa
zyxzyx dczbyaxx +++='
),,( zyxP =
)',','(' zyxP = ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1010000100001
zyx ttt
TTPP ⋅='
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
z
y
x
tzztyytxx
'''
Traslación
• La transformación inversa sería
• Para trasladar objetos, trasladamos sólo sus vértices y redibujamos
• En forma matricial:
• Reposiciona un objeto desplazándolo a las nuevas coordenadas
X
Y
Z
P = (x, y, z)
P’ = (x’, y’, z’)
),,( zyx tttT −−−
),,( zyxP =
)',','(' zyxP = ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1000000000000
z
y
x
ss
s
SSPP ⋅='
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
zszysyxsx
z
y
x
'''
Escalado con respecto al origen
• La transformación inversa sería
• Para trasladar objetos, trasladamos sólo sus vértices y redibujamos
• En forma matricial:
• La posición del punto se multiplica por una constante
• Hay que especificar tres factores de escala
X
Y
Z
P = (x, y, z)P’ = (x’, y’, z’)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
zyx sssS 1,1,1
Rotación Plana alrededor del eje Z• El eje de rotación es paralelo a uno de los ejes principales
• El signo del ángulo viene dado por la regla de la mano derecha
• El punto al rotar permanece en el plano perpendicular al eje de rotación
• La expresión para la rotación en el eje Z es X
Y
Z
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyxyyxx
'cossin'sincos'
θθθθ
RP = (x, y, z)
P’ = (x’, y’, z’)
Z
X
Y
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=
1000010000cossin00sincos
θθθθ
ZR ZRPP ⋅='
• En forma matricial:
Rotación Plana alrededor del eje X• Para calcular la expresión de rotación alrededor del eje X, intercambiamos las variables
P = (x, y, z)
P’ = (x’, y’, z’)
X
Y
Z
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−=
=
θθθθ
cossin'sincos'
'
zyzzyy
xx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyxyyxx
'cossin'sincos'
θθθθ
Alrededor del eje Z Alrededor del eje X
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
10000cossin00sincos00001
θθθθ
XR
XRPP ⋅='
• En forma matricial:
Rotación Plana alrededor del eje Y• Para calcular la expresión de rotación alrededor del eje Y, intercambiamos las variables
P = (x, y, z)
P’ = (x’, y’, z’)
Y
Z
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−==+=
θθ
θθ
cossin''
sincos'
zxzyy
zxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyxyyxx
'cossin'sincos'
θθθθ
Alrededor del eje Z Alrededor del eje Y
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
=
10000cos0sin00100sin0cos
θθ
θθ
YR
YRPP ⋅='
• En forma matricial:
Afilamiento (shearing)• Consiste en llevar todos los puntos de una recta que pasa
por el origen sobre uno de los ejes principales
• Ejemplo: afilar la línea y = bz sobre el eje z
• Del mismo modo se transforma la línea x = az en el eje z
⎩⎨⎧
=−=zzbzyy
''
Y
Z y = bz
⎩⎨⎧
=−=zzazxx
''
X
Z x = az
Afilamiento 3-D• Combinando ambos afilamientos 2D
obtenemos el 3D se toma una línea arbitraria que pasa por el origen, y se mueve al eje z, dejando los valores de z fijos
X
Y
Zy = bz
x = az
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−=
zzbzyyazxx
'''
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
10000100100001
baA
Ejemploa) Afilar la recta que pasa por los puntos (0,0,0) y (8,10,6)
b) Obtener las nuevas coordenadas del punto P = (4,5,3)
• Primero calculamos la expresión de la recta:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
tztytx
6108
⎩⎨⎧
==
3/53/4
zyzx
• La transformación entonces queda:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=−=
zzzyyzxx
'3/5'3/4'
• Y la matriz:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
1000013/53/400100001
A• El punto afilado queda:
)3,0,0(' =⋅= APP
Deformaciones• Son transformaciones no lineales, donde la magnitud de la transformación depende de
cada punto
• Hasta ahora, las transformaciones han sido del tipo:
• Donde:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+++==+++==+++==
3333
2222
1111
),,('),,('),,('
dzcybxazyxFzdzcybxazyxFydzcybxazyxFx
Z
Y
X
MPP ⋅='
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
4321
4321
4321
4321
ddddccccbbbbaaaa
M
• Esto permite expresiones del tipo:
• Estas expresiones son lineales, es decir, combinación lineal de x, y, z
• Cuandos las funciones FX, FY, y FZ no sean lineales DEFORMACIÓN
Tapering• Consiste en escalar dos de las tres coordenadas del punto, utilizando un factor de
escala que depende de la tercera coordenada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
zzysyxsx
y
x
'''
donde⎩⎨⎧
==
)()(
zfszfs
y
x
• Ejemplo: f(z) = 2z
Y
Z
X
Y
Z
X
Tapering
• La función f(z) puede ser lineal (sencilla), o puede ser todo lo complicado que se quiera
• Ejemplo: f(z) = sin z
NOTAS:
• La mayoría de las veces es obligatorio mallar el objeto
• El mallado puede ser selectivo: mallar con más detalle donde haya más curvatura
• Hay que tener en cuenta que para el ordenador, el objeto no es más que un conjunto de vértices y aristas discreto
Twisting• Consiste en escalar dos de las tres coordenadas del punto, utilizando un factor de
escala que depende de la tercera coordenada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−=
zzyxyyxx
'cossin'sincos'
θθθθ
donde )(zf=θ
• NOTAS:
• Si no se malla, el resultado no sale poligonal
• Si el eje de deformación no coincide con eje z (sino que está desplazado) habrá que trasladar primero y deshacer la traslación después
Animación con deformaciones
• Podemos deformar un objeto en el fotograma t0, y luego en el fotograma t1
• Luego el ordenador interpola entre ambos para los fotogramas intermedios
t0y
t1
y
t2
y
traslaciónescalado
• La interpolación puede ser lineal o configurable por el usuario
tt0 t1
0%
100%
tt0 t1
0%
100%
50%
80%
Deformaciones de caja• Un tipo distinto de deformaciones
son las deformaciones de caja
• Se coloca una caja mallada alrededor del objeto, y se deforman los vértices
• El sistema calcula la expresión de la deformación resultante, y le aplica la misma transformación al objeto interior
• Se usa mucho en software de modelado, para modelar objetos imperfectos a partir de una forma básica ideal
…continuación…• Como el eje del twist no coincide con el eje z,
habrá que llevarlo primero hasta él, hacer el twist, y devolver el prisma a su sitio
( ) ( ) )0,0,5(...0,0,5)( TTTzD wist ⋅⋅−=
• Ahora calculemos el ángulo del twist
• Cómo no nos dicen como es la deformación en los puntos intermedios, asumimos una interpolación lineal
– En z=0, rotamos 0 grados– En z=2, rotamos 36 grados– En z=4, rotamos 72 grados
z10πα =
• Para mover el prisma hay que trasladarlo en x cinco unidades a la izquierda
…continuación• La matriz del twist será:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
100001000000
10cssc
zTwistπ
• Y la matriz final de la trasnformación será:
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
−=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−=
1055501000000
)0,0,5(10
0,0,5)(
sc
cssc
TzTTzD wistπ
donde⎩⎨⎧
⋅−=⋅−=
)10/sin()10/cos(
zszc
ππ
• Para obtener el punto A=(5,3,4) transformado:
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
−
⋅=⋅=
10)5/2sin(55)5/2cos(5010000)5/2cos()5/2sin(00)5/2sin()5/2cos(
1,4,3,5)4('
ππ
ππππ
DAA
( )1,4),5/2cos(3,5)5/2sin(3' ππ +=A
Composición de Transformaciones• El escalado, la traslación y la rotación son transformaciones lineales, ya que los nuevos
puntos se calculan a partir de combinaciones lineales de las componentes de los puntos originales (las deformaciones no lo son!)
• Se define TRANSFORMACIÓN AFÍN a una combinación de transformaciones lineales aplicadas a un objeto
• Cada transformación vendrá representada por una sola matriz, que se obtendrá multiplicando las matrices de cada una de las transformaciones, y en el mismo orden en el que queremos que se apliquen
• Este hecho es el que impulsó la creación de las tarjetas gráficas (aceleradoras)
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo de las líneas, pero no sus ángulos y longitudes
Rotación de 45º Escalado en x
Transformación de planos• Hasta ahora hemos visto que las transformaciones se aplican solamente a los puntos
• Para transformar líneas transformaremos sólo sus dos extremos, y pintaremos la línea en el nuevo sitio
• Para trasnformar polígonos transformaremos sólo sus vértices
• Para transformar un plano del que sólo conocemos su ecuación, habrá que transformar los coeficientes de la ecuación!
• Sea el plano Ax + By + Cz + D = 0
• Llamemos N al vector N = [ A, B, C, D], donde se cumple que (A, B, C) es el vector normal al plano (ocurre lo mismo con una recta)
• La ecuación del plano en forma matricial puede ponerse como
donde P = [x, y, z, 1]
0=⋅ TPN
Transformación de planos• Sea M la transformación afín aplicada al plano
• Para transformar puntos sueltos del plano haríamos P’ = P M
• Pero para obtener la ecuación completa del plano transformado necesitamos hacer
N’ = N Q, donde Q es una matriz que tenemos que calcular
• Se ve claro que M no es igual a Q
escalando
• Para deducir la matriz Q partimos de la ecuación del plano transformado:
• Y de aquí deducimos que:
• Aunque en la práctica es mejor hacer
( ) 0...0'' =⋅⋅⋅⇒⇒=⋅ TTT PMQNPN
( ) 1−= TMQ
( )TMQ 1−=
Ejemplo
x
y
2
3
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
==
1000010000cossin00sincos
)(αααα
αZRM
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
== −
1000010000cossin00sincos
1 αααα
TMQ
( )6,0,32,32' csscQNN −−+−=⋅=
06)32()32(' =+−−++−= ycsxscP
• Para el caso alfa = PI:
0632' =++= yxP
Cálculo automático de una transformación afín• A veces es necesario llevar un objeto de una posición y orientación a otra.
• Por ejemplo, si tu aplicación tuviese una opción de centrar el objeto en algún sitio concreto.
• ¿Cómo calculamos la matriz de transformación que me hace eso?
• Ejemplo:
Z
X
Y
P1
P2
P3
Z
X
Y
P1
P2
P3
• Solución: dividiendo el problema en subproblemas más sencillos, y combinando todas las transformaciones
… continuación …1) Trasladamos P1 al origen
Z
X
Y
P1
P2
P3
Z
X
Y
P1
P2
P3
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=−−−
1010000100001
),,(
111
111
zyx
zyxT⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
)1,',','(')1,',','('
)1,0,0,0('
3333
2222
1
zyxPzyxP
P
… continuación …2) Rotamos sobre el eje Y, hasta llevar el segmento P1P2 sobre el plano YZ
Z
X
Y
P1
P2
θZ
X
Y
P1
P2
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=−
10000/'0/'00100/'0/'
)(1212
1212
dzdx
dxdz
RY θ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)1,'','',''('')1,,',0(''
)1,0,0,0(''
3333
122
1
zyxPdyP
P
d1
( ) ( )222
21 '' zxd +=
… continuación3) Rotamos sobre el eje X, hasta llevar el segmento P1P2 sobre el eje Z
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
10000/''/''00/''/''00001
)(2222
2222
dzdydydz
RX φ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)1,''',''','''(''')1,,0,0('''
)1,0,0,0('''
3333
22
1
zyxPdP
P
( ) ( )222
22 '''' zyd +=
Z
X
Y
P1
P2
φ
Z
X
Y
P1
P2
d2
… continuación4) Rotamos sobre el eje Z, hasta llevar el punto P3 al plano YZ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=
1000010000/'''/'''00/'''/'''
)( 3333
3333
dydxdxdy
RZ α⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
)1,'''',,0('''')1,,0,0(''''
)1,0,0,0(''''
333
22
1
zdPdP
P
( ) ( )232
33 '''''' zxd +=Z
X
Y
P1
P3
d3α
Z
X
Y
P1
P2
P3
La matriz final es: )()()(),,( 111 αφθ ZXY RRRzyxTM ⋅⋅−⋅−−−=
Rotación General• Las rotaciones planas tenían como eje uno de los ejes principales
• Ahora usaremos como eje de rotación una recta cualquiera, que ni siquiera debe pasar por el origen de coordenadas
• La recta vendrá dada por dos puntos, P1 y P2
• La ecuación paramétrica de la recta es:
donde el vector (a, b, c) indica la dirección de la recta
• Para resolver el problema hacemos como anteriormente: dividirlo en subproblemas más sencillos
X
Y
Z
P1
P2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+−=+=+−=+=+−=
1112
1112
1112
)()()(
zctztzzzybtytyyyxatxtxxx
… continuación …1) Trasladamos P1 al origen
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=−−−
1010000100001
),,(
111
111
zyx
zyxT⎩⎨⎧
==
)1,,,(')1,0,0,0('
2
1
cbaPP
X
Y
Z
P1
P2
X
Y
Z
P1
P2
…continuación…2) Rotamos en X, hasta que la recta se coloque sobre el plano XZ
⎩⎨⎧
==
)1,,0,(')1,0,0,0('
12
1
daPP
X
Y
Z
P1
P2
Y
Z
(0,b,c)
221 cbd +=
d1
φ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
10000//00//00001
)(11
11
dcdbdbdc
RX φ
…continuación…3) Rotamos en Y, hasta que la recta se coloque sobre el eje Z
⎩⎨⎧
==
)1,,0,0(')1,0,0,0('
22
1
dPP
X
Y
Z
P1
P2
X
Z
(a,0,d1)
21
21 dad +=
α
d2
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=−
10000/0/00100/0/
)(212
221
ddda
dadd
RY α
… continuación4) Rotamos en Z el ángulo que queríamos rotar
5) Hacemos la rotación inversa
6) Hacemos la rotación inversa
7) Deshacemos la traslación inicial
Finalmente, la matriz de transformación completa para una rotación general será el resultado de multiplicar las siete anteriores
X
Y
Z
)( φ−XR
)(αYR
)(θZR θ
),,( 111 zyxT
),,()()()()()(),,( 111111 zyxTRRRRRzyxTM XYZYX ⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−−−= φαθαφ
Transformación de Sistemas de Coordenadas• Hasta ahora hemos visto cómo transformar un conjunto de puntos de un objeto en otro,
mientras el sistema permanece fijo
• A veces querremos expresar los puntos del objeto en función de un sistema de coordenadas diferente
• Normalmente, los objetos vienen definidos en un sistema local
• Cuando se monta la escena, todos los puntos deben estar referidos a un único sistema global
xy
z
x yz
x y
z
Caso 2D• Sea el punto P, de coordenadas (8,4) con respecto al
sistema XY
• ¿Qué coordenadas tendrá P respecto al sistema UV?
La operación es equivalente a aplicarle a P la misma transformación que tendríamos que aplicarle al sistema nuevo (UV) para llevarlo al viejo (XY)
X
Y
U
VP=(8,4)
5
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=−
105010001
)0,5(T )1,4,3()0,5(' =−⋅= TPP
… continuación• Y si el sistema UV estuviese rotado con respecto al
XY,
• ¿Qué coordenadas tendrá P respecto al sistema UV?60º
X
Y
U
VP
• La solución es la misma: utilizar la tranformación que lleva el sistema nuevo (UV) al viejo (XY)
( ) ( )( ) ( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
10003/cos3/sin03/sin3/cos
)3/( ππππ
πR )1,93.8,54.0()3/(' ≈⋅= πRPP
Caso general 2D• Dado un sistema UV localizado en el punto (a,b), y
rotado un ángulo alfa con respecto al sistema XY, la matriz de cambio de sistema de referencia viene dada por:
P
X
Y
U
V
)(),( αRbaTM ⋅−−=
• Siempre habrá que trasladar en primer lugar, para no mover el sistema nuevo de sitio en la rotación
(a,b)
• Pero existe un problema no siempre es tan fácil calcular el ángulo de rotación entre ambos sistemas (en 2D puede pero en 3D es muy difícil!)
• Lo más normal es que el sistema nuevo (UV) venga dado por la posición de su origen, y por las componentes de sus direcciones, es decir, los vectores u,v
• ¿Cómo podemos calcular la rotación de forma más sencilla?
X
Y U=<ux,uy>
V=<vx,vy>
(a,b)
… continuación• Supongamos que los dos sistemas tienen el mismo origen
• Los ejes del sistema nuevo son:
X
Y
U
V
α⎩⎨⎧
>=<>=<
yx
yx
vvvuuu
,,
⎩⎨⎧
>=<>−=<
αααα
cos,sinsin,cos
vvvuuu
• Es fácil ver que las componentes de los vectores son:α
• En realidad, lo importante no es calcular el ángulo a rotar, sino la matriz de rotación:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
1000cossin0sincos
)( αααα
αR
• Pero si los vectores u,v estuvieran normalizados, la matriz podría ponerse como: ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
10000
)( yy
xx
vuvu
R α
Caso 3D• En 3D puede aplicarse la misma técnica para obtener la
matriz de rotación!
• De no ser así, para llevar el sistema nuevo (UV) al viejo (XY) habría que hacer 3 rotaciones diferentes
• Dado un sistema UVW definido por los vectores unitarios
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<
>=<>=<
zyx
zyx
zyx
wwww
vvvvuuuu
,,
,,,,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1000000
zzz
yyy
xxx
wvuwvuwvu
R
X
Y
Z
• La matriz de rotación necesaria para llevar el sistema nuevo al viejo se forma de la siguiente manera:
U
V
W
U
V
W
Caso general 3D• Dado un sistema UVW localizado en el punto (a,b,c),
definido por los vectores unitarios {u,v,w}, la matriz de cambio de sistema de referencia viene dada por:
RcbaTM ⋅−−−= ),,(
• Siempre habrá que trasladar en primer lugar, para no mover el sistema nuevo de sitio en la rotación
X
Y
Z
(a,b,c)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=
1000000
1010000100001
zzz
yyy
xxx
wvuwvuwvu
cba
M
… continuación• Si los vectores {u,v,w} no fueran unitarios, puede que eso
signifique que el sistema nuevo está a una escala diferente
• Ejemplo: un sistema en metros y otro en centímetros
• Para llevar el nuevo al viejo habrá que escalar por 100X
Y
U
V
• Caso general: sean {LU, LV, LW} las longitudes de los vectores {u,v,w}
• Para obtener la matriz de cambio de sistema final habrá que multiplicar por la matriz de escalado siguiente: ⎟⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10000/10000/10000/1
1,1,1
w
v
u
wvu LL
L
LLLS
• La matriz final de cambio de sistema es entonces: ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−−−=
wvu LLLSRcbaTM 1,1,1),,(
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