Tema 4
La elección óptima del consumidor
2
Racionalidad económica
• Postulado básico:
Un individuo elige siempre la cesta preferida de entre todo el conjunto de alternativas factibles
• El conjunto presupuestario constituye el conjunto de elección
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Problema matemático
• Podemos formular matemáticamente nuestro problema como:
02
,01
& 2211
)2
,1
(
2,
1
xx
mxpxpasujeto
xxuxx
Max
4
Problema de elección
• ¿Cómo podemos hallar dicha cesta?
• Consideramos que ambos bienes son realmente “bienes”
• Resolvemos el problema primero gráficamente y después matemáticamente
5
Elección óptima restringida
x1
x2
6
Elección óptima restringida
Cestas alcanzables
x1
x2
x2*
x1* m/p1
m/p2
7
Elección óptima restringida
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) proporciona la mayor utilidad (alcanza la C.I. más alta) entre todas lascestas alcanzables
m/p1
m/p2
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Elección óptima restringida
x1
x2
x1*
x2*
(x1*,x2*) es, por tanto, la cestaóptima
m/p1
m/p2
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La cesta óptima• Si (x1*,x2*) es interior y las preferencias
son convexas, satisface dos condiciones:
• (1) Está localizada en la RP: p1x1* + p2x2* = m
• (2) Tangencia: la pendiente de la RP, -p1/p2, y la pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) coinciden:
|RMS (x1*,x2*) |= p1/p2
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La cesta óptima
x1
x2
x1*
x2*
(1)(x1*,x2*) está localizada en la RP:
p1x1* + p2x2* = m
m/p1
m/p2
11
La cesta óptima
x1
x2
x1*
x2*
(2) Tangencia: La pendiente de la C.I. en (x1*,x2*) es igual a la pendiente de la RP
m/p1
m/p2
12
La cesta óptima
• ¿Cómo podemos utilizar esta información para resolver nuestro problema matemáticamente?
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La cesta óptima: ejemplos
• Supongamos que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:
U x x x xa b( , )1 2 1 2
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La cesta óptima: ejemplos
• Supón que el consumidor tiene preferencias Cobb-Douglas:
U x x x xa b( , )1 2 1 2
ba xaxx
UUM 2
11
11
121
22
ba xbxx
UUM
15
La cesta óptima
• Calculamos la RMS:
1
21
21
21
1
2
121 bx
ax
xbx
xax
x/U
x/U)x,x(RMS
ba
ba
16
La cesta óptima
• La RMS es:
• Condición de tangencia:
RMS (x1*,x2*) = -p1/p2
1
21
21
21
1
2
1
1
221 bx
ax
xbx
xax
x/U
x/U
dx
dx)x,x(RMS
ba
ba
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La cesta óptima
• Condición de tangencia:
***
*
12
12
2
1
1
2 xap
bpx
p
p
bx
ax (1)
• (x1*,x2*) pertenece a la RP:
mxpxp **2211 (2)
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La cesta óptima
• Despejamos
xbpap
x21
21
* * (1)
p x p x m1 1 2 2* * . (2)
p x pbpap
x m1 1 21
21
* * .
Sustituimos
obteniendo
Esto se puede simplificar a ….
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La cesta óptima
22 p
m
ba
bx*
Sustituyendo en la condición de tangencia:1
1 p
m
ba
ax*
mxpa
ba *
11
Despejando:
20
La cesta óptima
• Con las preferencias Cobb-Douglas, el individuo gasta una proporción fija de la renta en cada bien
• Gasta la proporción a/(a+b) en el bien 1 y la proporción b/(a+b) en el bien 2
21
La cesta óptima
2p
m
ba
b
x1
x2
1p
m
ba
a
22
La cesta óptima
• Resumiendo, con preferencias regulares, la cesta óptima se halla resolviendo las dos condiciones: tangencia y pertenencia a la RP
23
Otra interpretación• La condición de tangencia se puede
rescribir como:
2
*2
1
*
p
UM
p
UM1
•En el óptimo, cada bien comprado debería proporcionar la misma utilidad marginal por euro gastado en el bien
24
Otra interpretación
• Si no se diese la igualdad, la renta disponible no estaría distribuida óptimamente entre el consumo de los bienes
• La utilidad podría incrementarse si gastáramos más renta en el bien cuya utilidad marginal por euro gastado es mayor
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Otra interpretación
• Por ejemplo, supongamos que p1 = 20, p2 = 5, UM1 = 40 y UM2 = 15
• Vemos que UM1/p1 = 2 < UM2/p2 = 3
• Puedo reducir x1 en 1 unidad y aumentar x2 en 4 unidades gastando lo mismo
• La utilidad aumenta: baja en 40 por reducir x1 y sube en 60 por aumentar x2
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Preferencias no convexas
x1
x2
Las cestas óptimas
Una de las cestas obtenidas con las 2 condiciones minimiza la satisfacciónentre todas las situadas en la RP
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Preferencias no convexas
• Por lo tanto, la condición de tangencia es necesaria pero no suficiente para la optimalidad
• Es suficiente con preferencias convexas
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La demanda del consumidor
• La elección óptima se denomina cesta demandada por el consumidor.
• La función de demanda es aquella que relaciona la cesta óptima con los precios y la renta. Se escribe:
• x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m)
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Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
RMS = -a/b
U(x1,x2) = ax1 + bx2
30
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
RMS = -a/b
Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b
m/p1
m/p2
31
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
RMS = -a/b
Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b
m/p1
m/p2
32
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
22 p
mx *
x1 0*
RMS = -a/b
Pendiente RP= -p1/p2 con p1/p2 >a/b
m/p1
33
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
1
*1 p
mx
x2 0*
RMS = - a/b
Pendiente RP = -p1/p2 con p1/p2 < a/b
m/p2
34
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
RMS = -a/b
Pendiente RP= -p1/p2=-a/bm/p2
m/p1
35
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
x1
x2
Todas las cestas situadas en la RP proporcionan la mismasatisfacción
m/p2
m/p1
36
Soluciones esquina: sustitutivos perfectos
En resumen, dada la función de utilidad U(x1,x2) = a x1 + b x2, la cesta óptima es:
0
121 ,),( **
p
mxx
221 0
p
mxx ,),( **
si p1/p2 < a/b
si p1/p2 > a/b
si p1/p2 = a/b
2
11
11
0p
xpm
p
mx
**2
* x ,
37
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
x1
x2M
ejor
38
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
x1
x2
m/p1
m/p2
39
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
x1
x2
¿Cuál es la cesta preferida?
m/p1
m/p2
40
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
x1
x2
La cesta óptima
m/p1
m/p2
0
41
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
x1
x2
La cesta óptima
La cesta obtenida con las 2 condiciones minimiza la satisfacciónentre todas las situadas en la RP
m/p1
m/p2
0
42
Soluciones esquina:preferencias cóncavas
La cesta óptimam/p2
m/p1 x1
x2
0
43
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
44
Complementarios perfectos
x1
x2
RMS = 0
U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
45
Complementarios perfectos
x1
x2
RMS = -
RMS = 0
U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
46
Complementarios perfectos
x1
x2
RMS = -
RMS = 0
RMS no definida
U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
47
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
48
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
¿Cuál es la preferida?
49
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
La cesta óptima
50
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
x1*
x2*
51
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
x1*
x2*
(1) p1x1* + p2x2* = m(2) x2* = (a/b)x1*
52
Complementarios perfectos
(1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1*.
Sustitutimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = m
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Complementarios perfectos
(1) p1x1* + p2x2* = m; (2) x2* = (a/b)x1*
Sustituimos x2* de (2) en (1): p1x1* + p2(a/b)x1* = mcon lo que:
21
2
21
1
ppab
mx
pba
p
mx
** ;
54
Complementarios perfectos
x1
x2U(x1,x2) = min{ax1,bx2}
x2 = (a/b)x1
21 pba
p
m
21 ppabm
55
Complementarios perfectos
• Los dos bienes siempre se consumen juntos en una proporción de (a/b) unidades del bien 2 por unidad del bien 1. Esta combinación constituye una cesta completa
• Cada cesta “completa” cuesta p1+(a/b)p2 por lo que el individuo se podrá comprar un máximo de m/[p1+(a/b)p2] cestas completas
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Bienes neutrales y males• En el caso de los bienes neutrales o
males, el consumidor gasta toda su renta únicamente en la mercancía que le reporta satisfacción (el que es realmente un “bien”)
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La condición de la RMS
• En el caso de solución interior y preferencias convexas el cociente de precios nos da el valor de la RMS, es decir, cuánto está dispuesto a sacrificar de un bien el consumidor para obtener una mayor cantidad del otro
• El hecho de que los precios no son números arbitrarios, sino que reflejan cómo valoran los consumidores los bienes en el margen es una de las ideas fundamentales en Economía
58
La condición de la RMS
• La observación de diferentes elecciones a diferentes precios nos da información sobre las preferencias del individuo, porque conocemos su RMS en diferentes puntos
59
La condición de la RMS
• Como los precios son iguales para todo el mundo, todos los consumidores que consuman de los dos bienes tendrán la misma RMS
• Por lo tanto, todos los consumidores valorarán de la misma forma una variación marginal del consumo
60
La condición de la RMS
• El precio de un litro de leche es 1€ y un cuarto de kilo de mantequilla cuesta 2€
• La RMS de todos los consumidores debe ser 2: hay que darles un cuarto de kilo de mantequilla para que les compense por renunciar a 2 litros de leche
61
La elección del impuesto
• El Gobierno desea recaudar Z euros• ¿Qué tipo de impuesto debe imponer, uno
sobre la renta o uno sobre la cantidad?• RP original: p1x1+p2x2=m• Impuesto sobre la cantidad: gravamos el
bien 1 al tipo t. RP con t:
(p1+ t)x1+p2x2=m• La pendiente es: –(p1+ t)/p2
62
La elección del impuesto
• La elección óptima dependerá del valor de t y cumplirá las dos condiciones:
(1) (p1+ t)x1* + p2x2*=m
(2) |RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2
• Recaudación: t es elegido de forma que
tx1* = Z
• Considera ahora un impuesto sobre la renta que recauda la misma cantidad
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La elección del impuesto
• La nueva RP es: p1x1+p2x2=m-Z
• La pendiente es: –p1/p2
• Cesta óptima: (x1**, x2**)
• La cesta óptima satisface las dos condiciones:
(1) p1x1** + p2x2**=m-Z
(2) |RMS(x1**, x2**)|= p1/p2
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La elección del impuesto
• ¿Sigue siendo la cesta óptima con t asequible?
• Si lo fuese, entonces se cumpliría que p1x1* + p2x2*≤ m-Z
• Sabemos que (p1+ t)x1* + p2x2*= m y que tx1* = Z
• Lo podemos reescribir como: p1x1*+p2x2* = m-Z
• Como es asequible, pertenece a la RP
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La elección del impuesto
• ¿Es óptima? No! La condición de tangencia no se cumple:
• La nueva RP no es tangente, sino que corta a una C.I. en (x1*, x2*)
• Es posible mejorar el bienestar del individuo consumiendo una mayor cantidad del bien 1: (x1**, x2**)
|RMS (x1*, x2*)|= (p1+ t)/p2 > p1/p2
66
La elección del impuestox2
x1m/p1
m
x1´
x2´
Suponemos p2 = 1
67
La elección del impuestox2
x1
x2*
x1* m/(p1+ t) m/p1
m
68
La elección del impuestox2
x1x1* m/(p1+ t) m/p1
mm-p1x1*
m-(p1+t)x1*
Ingresos gobierno:tx1*=Z
69
La elección del impuestox2
x1
x2*
x1*
Nueva RP:p1x1+p2x2=m-ZParalela a la original
m/(p1+ t) (m-Z)/p1 m/p1
m
m - Z
70
La elección del impuestox2
x1
x2*
x2**
x1* x1**
La cesta (x1*, x2*) no es óptima con el impuestosobre la renta
71
La elección del impuestox2
x1
x2*
x2**
x1* x1**
Mismos ingresos: ZCon el impuesto sobre la renta se alcanza un mayor bienestar
m - Z
m
72
La elección del impuesto
• Conclusión: Un impuesto sobre la renta es superior a un impuesto sobre la cantidad que recaude los mismos ingresos para el Gobierno ya que el consumidor disfrutará de un mayor bienestar
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Limitaciones
• Muchos individuos con diferente renta• Un impuesto sobre la renta uniforme para
todos los consumidores no es necesariamente mejor que un impuesto sobre la cantidad uniforme (piénsese en el consumidor que no consume de bien 1)
• Si la renta proviene del trabajo, al gravarla se desincentivará el conseguirla
• Análisis parcial: no hemos considerado la respuesta de la oferta al impuesto