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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
TÉCNICAS AVANZADAS DE SERIES TEMPORALES PARA LA PREDICCIÓN
ECONÓMICA Y EL ANÁLISIS DE COYUNTURA
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Técnicas avanzadas de series temporales
PREDICCIÓN ECONÓMICA
Control y planificación: gestión de inventarios, previsión de ventas, planificación de la producción, etc.Marketing: Las decisiones sobre precios y gastos en publicidad se basan en predicciones de respuestas a las ventas en distintosescenarios.Economía: Los Gobiernos usan las predicciones en el contexto de la política económica y fiscal, mientras que las empresas lasusan para su planificación estratégica, puesto que las fluctuaciones económicas generalmente tienen efectos a nivel de industria y empresa. Especulación Financiera: Los analistas financieros buscan beneficios con la predicción de las series de rendimientos de los activos.Demografía: Los nacimientos, muertes, inmigrantes, emigrantes son características que se predicen de forma rutinaria.
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Técnicas avanzadas de series temporales
En un ejercicio de predicción se necesita:
(a) Una adecuada especificación del problema de predicción.
(b) Reunir toda la información relevante, de acuerdo a la anterior especificación.
(c) La formulación de un modelo para procesar toda la informacióny producir la predicción.
Un modelo nunca puede llegar a ser una descripción completamente exacta de la realidad, porque para ello se tendría que desarrollar un modelo tan complejo que no sería útil en la práctica.
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PREDICCIONES E INNOVACIONES
• Los agentes económicos planifican de acuerdo con predicciones.
• La predicción se denomina “expectativa”.
• La discrepancia entre la “expectativa” y la realidad se denomina“innovación”.
• La innovación es la única nueva información contenida en losnuevos datos observados.
• Cuando una nueva observación llega, el agente no actúa de acuerdo con la magnitud publicada, sino en respuesta a sucorrespondiente innovación.
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Técnicas avanzadas de series temporales
HORIZONTE DE PREDICCIÓN Y PRECISIÓN EN LAS PREDICCIONES.
• El horizonte de predicción se define como el número de períodos entre hoy y la fecha de la predicción que hacemos. Las consideraciones corto, medio o largo plazo dependerán del problema considerado.– Para un director de ventas, un horizonte de un año podría
ser el largo plazo.– Para un Ministro de Fomento, un horizonte de dos años
podría ser el corto plazo.
• La PRECISIÓN en la predicción depende de:– El tipo de variable a predecir. – El horizonte de predicción.– El método de predicción.
• Asociada a la correcta especificación del modelo• Asociada a la estimación de los parámetros.
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Técnicas avanzadas de series temporales
SERIES TEMPORALES ECONÓMICAS• Los fenómenos económicos cambian a lo largo del tiempo. • Para entederlos, se necesita medirlos en el tiempo. • En esta medición, el orden temporal es esencial.
TAL MEDICIÓN GENERA UNA SERIE TEMPORAL.
• Una serie temporal económica es:– Una secuencia de valores que corresponden a cierto
fenómeno económico. – Ordenados a lo largo del tiempo. – Y generalmente registrados en intervalos equidistantes.
• La longitud del intervalo es fija, dependiendo de:– la naturaleza del fenómeno y– el coste de conseguir los datos.
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Técnicas avanzadas de series temporales
VARIABLES MACROECONÓMICAS DE INTERÉS
• Entre otras– PIB– Inversión– Producción Industrial– Consumo Privado– Ventas al por menor.– Ventas de automóviles– Empleo en la industria.– Empleo en el sector de servicios.– Inflación– Comercio Exterior– Indicadores de Confianza de los
Consumidores– ...
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Técnicas avanzadas de series temporales
-40
-30
-20
-10
0
10
1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
CONFIND
Indicador de Confianza de los Consumidores en la UM
CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES ECONÓMICAS
Las series económicas presentan distintas regularidades: tendenciales, estacionales, cíclicas.
No presenta un tendencia sistemática a crecer, sino más bien fuertes oscilaciones alrededor de una media.
Otras serie con estas características podría ser la tasa de desempleo.
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Técnicas avanzadas de series temporales
145
150
155
160
165
170
1995 1996 1997 1998 1999 2000
IPC Alimentación en E.E.U.U.
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
180000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
MATRICULACION_VEHICULOS
Matriculación de vehículos en España
Presenta evolución tendencial, fuerte estacionalidad y comportamiento cíclico.
Este comportamiento se puede observar en series de actividad.
Presenta una tendencia sistemática a crecer.
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Técnicas avanzadas de series temporales
Rendimientos mensuales de INTEL
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98
INTEL
No presenta evolución tendencial, ni correlaciones importantes. Sin embargo, muestra signos de heterocedasticidad.
Este comportamiento se puede observar en series financieras.
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Técnicas avanzadas de series temporales
PROCESOS ESTOCÁSTICOS:Xt : Un proceso estocástico, es una colección {Xt; t=1,2,...,T} de variables aleatorias ordenadas en el tiempo.
Características:E(Xt) = medida de posición central en el momento t = µtVar(Xt) = medida de dispersión en el momento t =γot Cov (Xt, Xt+k ) = medida de la relación lineal entre las observaciones = γkt
( )( )[ ]
)(00 ktt
ktkt
ktktttkt XXE
−
−−
=
−−=
γγγρ
µµγ Función de autocovarianzas
Función de autocorrelación
Una Serie Temporal es la realización de un proceso estocástico
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Técnicas avanzadas de series temporales
Procesos estacionarios: Un proceso estacionario no presenta evolución en media ni en varianza y la relación entre las observaciones en dos momentos del tiempo diferentes sólo dependedel número de observaciones que distan entre ambas y no del momento en el que se calculan.
Una serie temporal Xt es débilmente estacionaria si(1) E(Xt) = constante = µ(2) Var(Xt) = constante =γo(3) Cov (Xt, Xt+k ) solo depende de k = γk
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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
A
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
SERIE1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
SERIE2
¿Cómo distinguir entre estas tres series?- Función de autocorrelación teórica- Función de autocorrelación estimada
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Técnicas avanzadas de series temporales
Estimación de las características del proceso:
Empíricamente: Sean x1, x2, ..., xT los datos observados
( )
( )( )
( )grandes) muestras(en 1,0
ˆ
ˆˆˆ
1
ˆˆ
ˆ
1
2
1
1
2
0
1
≈
−
−−=
−
−=
=
∑
∑
∑
∑
=
+=−
=
=
TN
X
XX
T
X
T
X
T
ii
T
kikii
k
T
ii
T
ii
µ
µµρ
µγ
µ
con lo cual, una autocorrelación es distinta de cero si no pertenece al siguiente intervalo:
±
T196.1
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Técnicas avanzadas de series temporales
Ruido blanco:Una serie at es ruido blanco si es impredecible:
E(at) = 0Var(at) = cor(at, at-j) = 0 ∀ j ≠0
Un ruido blanco es un proceso estocástico estacionario.Un proceso estocástico estacionario puede ser, en general, predecible y
por tanto, no ser un ruido blanco.
2aσ
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelos de series temporalesxt = f (información conocida) + ruido blanco
predecible + impredecible
Hasta el momento t-1 se tiene la siguiente información:Valores pasados de la serie: x1, x2, ..., xt-1Innovaciones pasadas: a1, a2, ..., at-1
Según la información disponible, hay tres tipos de modelos:
xt = f (a1, a2, ..., at-1) + at Modelos de medias móviles (MA)
xt = f (x1, x2, ..., xt-1) + at Modelos autorregresivos (AR)
xt = f (x1, x2, ..., xt-1 , a1, a2, ..., at-1) + at Modelos mixtos (ARMA)
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Técnicas avanzadas de series temporales
Descomposición de Wald: Dado un proceso Xt de media 0, estacionario de segundo orden, se puede representar de la forma:
con at ruido blanco.
jtj
jt aX −
∞
=∑=
0ψ ∑
∞
=
∞<=0
20 ,1
jjψψ
!++++= −−− 332211 ttttt aaaaY ψψψ
Este teorema dice que cualquier proceso estocástico estacionario
Tiene las siguientes implicaciones:- la importancia de una innovación es menor cuanto mayor sea el tiempo que ha transcurrido desde que ocurrió- Es una caracterización poco operativa puesto que requeriría la estimación de infinitos parámetros.
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Técnicas avanzadas de series temporales
PROCESOS DE MEDIAS MÓVILES
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelo de medias móviles de orden q: MA(q)El modelo incorpora las últimas q innovaciones.
qtqtttt aaaaX −−− −−−−= θθθ !2211
Para comprender las características de este modelo, se analizan primero algunos casos simplificados.
Modelo de medias móviles de orden 1: MA(1)El modelo incorpora la innovación actual y la anterior.
11 −−= ttt aaX θCon at un proceso ruido blanco con desviación típica residual aσ
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Técnicas avanzadas de series temporales
( )( ) ( )( )
( )
>
=+−
==
>=−
==
+==
==
−
−
10
11,
101
,cov
1
0
21
1
21
2210
ksi
ksiXXcorr
ksiksi
XX
XVXE
kttk
akttk
at
t
θθ
ρ
σθγ
σθγµ
Características del modelo MA(1)
- siempre es estacionario.- sólo la primera autocorrelación es distinta de cero.
21
Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2
-1
0
1
2
MA(1);_-0.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-3
-2
-1
0
1
2
3 MA(1);_0.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
�� � � � � �
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
��
��
�� �� �� �� ��
( )4.0
5.015.0
25.115.01
21
20
−=+−=
=×+=
ρ
γ ( )4.0
5.015.0
25.115.01
21
20
=+
=
=×+=
ρ
γ
FAC
1,5.0 1 =−= − attt aaX σ 1,5.0 1 =+= − attt aaX σ
22
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelo de medias móviles de orden 2: MA(2)El modelo incorpora la innovación actual y la anterior.
2211 −− −−= tttt aaaX θθcon at un proceso ruido blanco con desviación típica residual aσ
( )( ) ( )
( )
>
=++
−
=++−−
==
++==
==
−
20
2)1(
1)1(
)1(
,
1
0
22
21
2
22
21
21
222
210
ksi
ksi
ksi
XXcorr
XVXE
kttk
at
t
θθθθθθθ
ρ
σθθγµ
Características del modelo MA(2)
- siempre es estacionario.- sólo las dos primeras autocorrelaciones son distintas de cero.
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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
��������
��������
���������� �� �� ��
-1.00-0.80-0.60-0.40-0.200.000.200.400.600.801.00
1 2 3 4 5
tt aLLX )2.09.01( 2+−=
Ejemplo:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
25 50 75 100 125 150 175 200
MA2
Función de autocorrelación
( )
>=−=
==
=
−
20211.0139.0
,
85.10
ksiksiksi
XXcorr kttkρ
γ
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Técnicas avanzadas de series temporales
- Siempre es estacionario- Solo q innovaciones pasadas entran en el modelo- µx = 0 , - γo = (1+θ1
2+…+ θq2) σa
2.
- La función de autocorrelación se corta tras q retardos.- Las innovaciones persisten q períodos.- Sólo q predicciones hacia el futuro son distintas de 0 y la incertidumbre hacia el futuro es acotada.
Modelo de medias móviles de orden q: MA(q)El modelo incorpora las últimas q innovaciones.
qtqtttt aaaaX −−− −−−−= θθθ !2211
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Técnicas avanzadas de series temporales
NOTACIÓN: Operador de retardos L
==
==
==
−
−
−
−
−
−
bttb
bttb
tt
tt
tt
tt
aaLXXL
aaLXXL
aLaXLX
general,en , ,2
22
2
1
1
En el caso de un polinomio de medias móviles MA(q):
tq
q
qtqtttt
aLLL
aaaaX
)1( 221
2211
θθθ
θθθ
−−−−=
=−−−−= −−−
!
!
Polinomio en el operador de retardos LFiltro de medias móviles (porque está aplicado a las innovaciones).
Observación: Suma de una serie geométrica
gggg
−=++++
111 32 ! Pero para que sea convergente debe
ser |g|<1
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Técnicas avanzadas de series temporales
PROCESOS AUTORREGRESIVOS
27
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelo autorregresivo de orden p: AR(p)El modelo incorpora la información de las últimas p observaciones.
tptpttt aXXXX ++++= −−− φφφ !2211
Otras formulaciones:
tptpttt aXXXX =−−−− −−− φφφ !2211
( ) ttp
p aXLLL =−−−− φφφ !2211
Polinomio en el operador de retardos LFiltro de autorregresivo (porque está aplicado a la propia variable).
28
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelo autorregresivo de orden 1: AR(1)El modelo incorpora la última observación.
ttttt aXLaXX =−+= − )(1 ó 111 φφ
Estacionariedad: Para comprobar esta característica es preciso conocer cómo afectan las innovaciones en el modelo.
( )!
!
−−−−=
=−−−−=
=−
=⇒=−
−−− 33
22
11
33221
11
11
111
)(1)(1
tttt
t
tttt
aaaa
aLLLL
aXaXL
φφφ
φφφφ
φ
La condición de estacionariedad:
( ) 11 10
2642111
<⇔∞<=++++ ∑∞
=
φφφφφi
ii!
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Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
( )( )
( )( ) k
kkttk
kkkttk
at
t
XXcorr
XX
XV
XE
11
11
1
01
22
10
,
,cov1
10
φρφρ
γφγφγ
σφ
γ
µ
===
===
−==
==
−−
−−
Características del modelo AR(1)
- Hay infinitas correlaciones distintas de cero. - Las autocorrelaciones tienden a cero exponencialmente.- Las autocorrelaciones siguen la misma ecuación en diferencias que el proceso AR(1) original
30
Dpto. de Estadística ,Estr.Eca.y O.E.I.Universidad de Alcalá de Henares.
Técnicas avanzadas de series temporales
��������������
��������������
��������������
�����������
�����������
�����������
���������
���������
���������
��������
��������
���������������
�������
�������������
������
������
�����������
�����
�����
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
1 2 3 4 5 6 7
��������������
��������������
�������������� ���������
���������
���������
������
������
������ ������
������
������
������
������
������ ���� ���� ���� �� �� ��
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
0
2
4
6
25 50 75 100 125 150 175 200
AR1POS
-4
-2
0
2
4
6
25 50 75 100 125 150 175 200
AR1NEG
kk 7.0=ρ
( )kk 7.0−=ρ
ttt aXX += −17.0
ttt aXX +−= −17.0
Ejemplos:
31
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelo autorregresivo de orden 2: AR(2)El modelo incorpora las dos últimas observaciones.
tttttt aXLLaXXX =−−++= −− )(1 ó 2212211 φφφφ
Estacionariedad:
)(1)(1
)(1)(1
21
221
221
LGLGa
LLaXaXLL
t
tttt
−−=
=−−
=⇒=−−φφ
φφ
La condición de estacionariedad:
)1( polinomio del inversas raíces las y siendo ,1y 1 2212121 LLGGGG φφ −−<<
32
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Técnicas avanzadas de series temporales
Ejemplo ( ) tt aXLL =+− 235.02.11
El polinomio autorregresivo se puede descomponer de la siguiente forma:
( ) ( )( )LLLL 5.017.0135.02.11 2 −−=+−Con lo cual:
( ) ( )( ) ( ) ( )LLLLLL 5.015.2
7.015.3
5.017.011
35.02.111
2 −−+
−=
−−=
+−
y aplicado a la secuencia de innovaciones:
( ) ( )( ) t
ttt
aLaLLaLLX!
!!
+×−×+×−×+=
=+++−+++=222
2222
)5.05.27.05.3()5.05.27.05.3(1
5.05.015.27.07.015.3
Las inversas de las raíces del polinomio 0.7 y 0.5 son las que restringen el comportamiento de los coeficientes
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Técnicas avanzadas de series temporales
FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN
La función de autocorrelación sigue la misma ecuación en diferencias que el proceso AR(2) original:
2211
2
11 1
−− +=−
=
kkk ρφρφρφφρ
kkk GAGA 2211 +=ρLa solución para k>2 es:
con G1 y G2 las raíces inversas del polinomio AR y A1 y A2 constantes a determinar.
•Si G1 y G2 son reales, el decrecimiento de las autocorrelaciones será la suma de dos exponenciales•Si G1 y G2 son complejas conjugadas, el decrecimiento será de forma sinusoidal.
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Técnicas avanzadas de series temporales
Tipos de raíces que se pueden obtener con un AR(2) y comportamientos que inducen
PACFFAC
Reales
Complejas
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Técnicas avanzadas de series temporales
TRIÁNGULO DE ESTACIONARIEDAD PARA UN AR(2)
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Técnicas avanzadas de series temporales
Función de autocorrelación parcial:Permite distinguir entre un proceso AR(1) y un AR(2).La función de autocorrelación parcial de orden k es una medida de la relación lineal entre las observaciones separadas por k períodos, independientemente de los valores intermedios
Ejemplos:
tttttt
ttt XXXaXXaXX
→→
+=+=
−−−−−
−12
1211
11
φφAR(1)
AR(2)ttttttt XXXaXXX →→++= −−−− 122211 ,φφ
Existe relación entre Xt-2 y Xt tanto en el modelo AR(1) como en el AR(2), pero en el caso del AR(1) es indirecta (si se eliminaran los efectos de Xt-1 ya no existiría esta relación)
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Técnicas avanzadas de series temporales
Nuevas consideraciones sobre los procesos de medias móviles
Concepto de invertibilidad: La invertibilidad de un proceso es la condición que permite estimar las innovaciones. Un proceso es invertible si se puede escribir como una combinación lineal infinita de las observaciones pasadas.MA(1)
!
!
−−−+=⇒
=++++⇒
=−
⇒−=
−−− 33
22
11
33221
11
11
11)1(
)1()1(
ttttt
tt
tt
tt
XXXXa
aXLLL
aL
XaLX
θθθ
θθθθ
θ
Para que la representación sea convergente, el parámetro debe ser inferior a la unidad en valor absoluto. (Al igual que ocurría con la condición de estacionariedad para los procesos autorregresivos).
38
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Técnicas avanzadas de series temporales
FAC PACF
FAC y PACF para modelos MA
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Técnicas avanzadas de series temporales
COMPORTAMIENTO DUAL DE LOS PROCESOS MA Y AR
Estacionariedad Invertibilidad F. Autocorrelación F. Autocorrelación Parcial Predicciones
MA(q) Siempre Depende Se corta tras q retardos
Estructura exponencial o sinusoidal
q predicciones distintas de cero sin estructura
AR(p) Hay que comprobarlo Siempre
Estructura exponencial o
sinusoidalSe corta tras p retardos
Infinitas predicciones distintas de cero pero que
tienden a cero con estructura exponencial o
sinusoidal
40
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Técnicas avanzadas de series temporales
PROCESOS MIXTOS: AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIAS
MÓVILES
41
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Técnicas avanzadas de series temporales
Modelos Mixtos: ARMA(p,q)Incluyen p retardos de la propia variable y q innovaciones pasadas.
tq
qtp
p
tqtqttptpttt
aLLLXLLL
aaaaXXXX
)(1)(1 221
221
22112211
θθθφφφ
θθθφφφ
−−−−=−−−−
+−−−−+++= −−−−−−
!!
!!
Parte autorregresiva.Responsable de la estacionariedad.Responsable de la estructura de la función de autocorrelación y en las predicciones.
Parte de medias móviles.Responsable de la invertibilidad.Responsable de la ausencia de estructura de la función de autocorrelación y en las predicciones.
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Técnicas avanzadas de series temporales
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ARMA(1,1)
tt aLXL )(1)(1 11 θφ −=−
Estacionariedad: A partir de la representación de medias móviles del proceso:
( ) tkk
t
tt
aLLLX
aLLX
!! +−++−+−+=⇒
⇒−−=
− )()()(1
)(1)(1
1112
11111
1
1
1θφφθφφθφ
φθ
El proceso es estacionario si el parámetro autorregresivo es inferior a la unidad en valor absoluto.
Invertibilidad: A partir de la representación autorregresiva del proceso. De igual manera, el proceso será invertible si el parámetro de medias móviles es inferior a la unidad en valor absoluto.
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FAC PACF
FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL DE LOS PROCESOS ARMA(1,1).
1
12
21 )21()1)((
−==
+−−−=
kk φρρφρρ
θφθφθθφρ
Tras la primera autocorrelación, las siguientes se comportan según la parte AR
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• El proceso será estacionario si la mayor raíz del polinomio autorregresivo G, satisface |G|<1.
• El proceso será invertible si la mayor raíz del polinomio de medias móviles H satisface |H|<1.
• Los modelos MA(q), AR(p) or ARMA(p,q) estacionarios e invertibles siempre tienen – (1) Una representación AR– (2) Una representación MA.
• El correlograma del proceso presenta q-p+1 retardos distintos de cero sin estructura y decrecimiento a 0 como mezcla de exponenciales y sinusoidales posteriormente.
• El correlograma parcial del proceso presenta un comportamiento dual.• Al igual que el correlograma simple, las predicciones se prolongarán sin
estructura durante q períodos y posteriormente decrecerán exponencialmente a 0, según las raíces del polinomio AR.
• Al ser el proceso estacionario la incertidumbre en la predicción está acotada.
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ARMA(p,q) EN GENERAL
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Resumen de procesos estacionarios
• En los procesos estacionarios la persistencia de las innovaciones es menor en el tiempo.• Los modelos AR, MA y ARMA son capaces de describir el comportamiento de los procesos estacionarios con una cantidad pequeña de parámetros.• En los procesos AR la persistencia de las innovaciones, la función de autocorrelación y las predicciones presentan un comportamiento decreciente a cero como mezcla de exponenciales y sinusoidales.• En los procesos MA la persistencia de las innovaciones, la función de autocorrelación y las predicciones se prolongan q períodos sin estructura.• Los modelos ARMA combinan las propiedades de los procesos AR y MA.• La función de autocorrelación parcial sirve para determinar el orden de los procesos AR.
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