11
Problemas del transporte
Taller 5
2
PROBLEMA 8.2-10
Es necesario planear el sistema de energa de un nuevo edificio. Las tres fuentes posibles de energa son electricidad, gas natural, y una unidad de celdas solares.
Los requerimientos diarios de energa (todos medidos en las mismas unidades) en el edificio en cuanto a luz elctrica, calefactores de agua y calefactores de ambiente son:
3
Electricidad 20 unidades
Calefactores de agua 10 unidades
Calefactores de ambiente 30 unidades
El tamao del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades pero no hay limite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer slo comprando la energa elctrica ( a un costo de $50 por unidad). Las otras dos necesidades energticas se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinacin de fuentes.
4
Electricidad Gas natural Celdas solares
Calefactores de agua
Calefactores
de ambiente
$ 90 $ 60 $ 30
$ 80 $ 50 $ 90
5
El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con las necesidades de energa.
Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada.
Utilice el mtodo de aproximacin de Vogel para obtener una solucin BF inicial para este problema.
A partir de la solucin inicial BF, aplique en forma interactiva el mtodo simplex de transporte para obtener una solucin ptima.
6
Demanda
Oferta
50 80
? 50
? 40
20 30
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
Ilumi-nacin
Calefac-tores agua
AireAcondi
-cionado
27
Para construir la tabla de costos y requerimientos apropiada, debemos restringir la oferta de electricidad y gas natural.
ElectricidadLo mximo que estaran dispuestos a comprar sera 60
Gas NaturalLo mximo que estaran dispuestos a comprar sera 40
8
Demanda
Oferta
50 80
? 50
? 40
20 30
60
40
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
Ilumi-nacin
Calefac-tores agua
AireAcondi-cionado
Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)
9
El nodo ficticio de demanda debe absorber las unidades que no se asignan.
(60+40+30) - (20+30+10) = 70
Demanda
Oferta
50 80 ?
? 50 ?
? 40 ?
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
Ilumi-nacin
4(F)Calefac-
tores agua
AireAcondi
-cionado
10
Es imposible obtener iluminacin a partir de gas natural
y celdas solares, por lo que este costo debe ser M.
Demanda
Oferta
50 80 0
M 50 0
M 40 0
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
Ilumi-nacin
4(F)Calefac-
tores agua
AireAcondi
-cionado
El no asignar unidades no debe costar nada.
11
Debemos obtener una S.B.F inicial mediante el
mtodo de Vogel
12
Diferencia
por columna
Demanda
Oferta
50 80 0
M 50 0
M 40 0
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
Ilumi-nacin
4(F)Calefac-tores agua
Diferencia
porrengln
AireAcondi-cionado
M-50 10 030
50
50
30
M - 50
20 40
Seleccionar X11=20Eliminar
columna 1
313
Diferencia
por columna
Demanda
Oferta
80 0
50 0
40 0
30 70
40
40
30
90
60
30
10
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
4(F)Calefac-
tores agua
Diferencia
porrengln
AireAcondi
-cionado
10 030
80
50
30
Seleccionar X14=40Eliminar
rengln 1
8040
30
14
Diferencia
por columna
Demanda
Oferta
50 0
40 0
30 30
40
30
60
30
10
Gas natural
Celdas solares
4(F)Calefac-
tores agua
Diferencia
porrengln
AireAcondi
-cionado
10 030
50
30
Seleccionar X24=30Eliminar
Columna 4
5030 10
15
Diferencia
por columna
Demanda
Oferta
50
40
30
10
30
60
30
10
Gas natural
Celdas solares
Calefac-tores agua
Diferencia
porrengln
AireAcondi-cionado
1030
10
10
Seleccionar X32=10Eliminar
Columna 230
10 20
16
Diferencia
por columna
Demanda
Oferta
50
40
30
10
20
Gas natural
Celdas solares
Diferencia
porrengln
AireAcondi-cionado
10
Seleccionar X23=10Seleccionar X33=20
10
20
20
17
Veamos como qued la S.B.F Inicial
Demanda
Recur-sos
50 80 0
M 50 0
M 40 0
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
4(F)
Vj
UiIlumi-nacin
Calefac-tores agua
AireAcondi-cionado
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
20 40
30
10
10
20
Z= 2600
18
Despus de obtener una S.B.F inicial, se verifica si
es ptima mediante la prueba de optimalidad.
419
PRUEBA DE OPTIMALIDAD.
Una S.B.F es ptima si y slo si Cij - Ui - Vj 0 para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteracin actual.
Como el valor de Cij - Ui - Vj debe ser cero si Xij es V.B, Ui y Vj satisfacen el conjunto de ecuaciones Cij = Ui + Vj para cada (i,j) tal que Xij es bsica.
20
Miremos los Ui y Vj
0
50 40 0
0
50
-10
Demanda
Recur-sos
50 80 0
M 50 0
M 40 0
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
4(F)
Vj
UiIlumi-nacin
Calefac-tores agua
AireAcondi-cionado
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
20 40
30
10
10
20
Z= 2600
21
Una S.B.F es ptima si y slo si Cij - Ui - Vj 0 para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteracin actual.
0
50 40 0
0
50
-10
Demanda
Recur-sos
50 80 0
M 50 0
M 40 0
20 30 70
60
40
30
90
60
30
10
4(F)
Vj
UiIlumi-nacin
Calefac-tores agua
AireAcondi-cionado
Electricidad
Gas natural
Celdas solares
20 40
30
10
10
20
Z= 2600
50
M-50
M-40
20
30
10
22
Cmo todos los Cij - Ui - Vj 0 esta es la solucin ptima, y la mejor manera de asignar las fuentes
sera:
20 unidades IluminacinElectricidad
40 unidades sin asignar
Gas Natural10 unidades Aire acondiconado
30 unidades sin asignar
Celdas solares
10 unidades Calefactores agua
20 unidades Aire acondiconado
23
EL PROBLEMA DE LA RUTA MINIMA
Un camin debe viajar de Nueva York a los Angeles. Se debe formular un problema de transporte balanceado, que pueda usarse para encontrar la ruta de Nueva York a Los Angeles que utiliza el mnimo costo.
Veamos 24
Nueva York
3
1
3
1
St. Louis
2
Cleveland
4Dallas
2
2
Los Angeles
1
525
MATRIZ DE COSTOS
N.Y CL St. LD L.A Destinos
0 2 3 1 M 1+1
M
M
M
M
0 4 1 3 1
Origen
M 0 1 2 1
M M 0 2 1
M MM 0
11
1
1 1 1+1
N.Y
CL
D
St. L
L.A
26S.B.F inicial obtenida mediante el mtodo de la esq. nor.
Origen
Destino
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
1
1
0
1
0 2 3 0 1
-1M M M M 0
1 1 01
1 0
1
1
1
0
1
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
27
Iteraciones.
Paso 1:
Se determina Cij - Ui - Vj para seleccionar la variable que entra a la base.
Cij - Ui - Vj representa la tasa a la cual cambia la funcin objetivo si se incrementa la V.N.B Xij .
La que entra debe tener un Cij - Ui - Vjnegativo (se elige el ms negativo).
Veamos 28
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
En este caso entra X33
1 1 0
1 0
1
1
1
0
-3M-1
1
1
0
1
0 2 3 0 1
-1
M-1
M-1
M+1
M-3
M-3
M-1
-4
-1
1
1
M-4
M-2
M-1
M+1
29
Iteraciones.
Paso 2:
Al incrementar el valor de una variable (entrarla a la base) , se genera una reaccin en cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo las restricciones.
La primera V.B que disminuya su valor hasta cero ser la variable que sale.
sigue 30
Solamente existe una reaccin en cadena que incluye a la V.B entrante, y algunas V.B actuales.
Existen celdas donadoras y celdas receptoras. Luego para saber en cuanto se puede incrementar la V.B entrante, se escoge el menor valor entre las celdas donadoras y esta es la que sale de la base (en caso de empates se elige arbitrariamente).
Veamos
631
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 1 0
1 0
1
1
1
0
-3M-1
1
1
0
1
0 2 3 0 1
-1
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M-1
M-1
M+1
M-3
M-3
M-1
-4
-1
1
1
M-4
M-2
M-1
M+1
+
-
+
-1
0 1
32
Iteraciones.
Paso 3:
Para determinar si la solucin es ptima, se debe calcular nuevamente Ui y Vj , y luego para cada V.N.B, Cij - Ui - Vj .
Se detiene cuando todos los Cij - Ui - Vjpara las V.N.B sean positivos.
Veamos
33
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 1 0
1
1
0
-3M-1
-3
1
0
-3
0 2 3 0 5
-5
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M+3
M+3
M+5
M+1
M+1
M+3
3
-3
1
M
M+2
M-5
M+5
1
0 1
4
En este caso entra X22
34
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 1 0
1
1
0
-3M-1
-3
1
0
-3
0 2 3 0 5
-5
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M+3
M+3
M+5
M+1
M+1
M+3
3
-3
1
M
M+2
M-5
M+5
1
0 1
4
+
-
+
-0
1 0
35
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 1 0
1
1
0
M+2
-3
-2
0
-3
0 2 3 3 5
-5
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M+3
M+3
M+5
M+1
M+1
M+3
0
0
-2
M
M+2
M-5
M+2
1
1
1
0 3
En este caso entra X14
36
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 1 0
1
1
0
M+2
-3
-2
0
-3
0 2 3 3 5
-5
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M+3
M+3
M+5
M+1
M+1
M+3
0
0
-2
M
M+2
M-5
M+2
1
1
1
0 3+
-
+
-
10
1
737
0 3 1 M
M 4 1 3
M 0 1 2
M M 0 2
1 1 1 2
2
1
1
1
1
2
0
M
M
1
Vj
Ui
M M M M 0
1 0 0
1
1
0
M+2
-3
-2
0
-3
0 2 3 1 5
-5
Origen
Destino
Vj
N.Y CL St. LD L.A
N.Y
CL
D
St. L
L.A
M+3
M+3
M+5
M+1
M+1
M+3
2
0
M
M+2
M-5
M+4
1 3
1 3
1
2
Solucin ptima
Z=338
La ruta ser :
St. LouisNueva York Los Angeles
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