Taller 0 - Matemáticas Especiales - Pre-requisitos

I. Álgebra lineal.

1. Repase y responda las siguientes preguntas.

a) ¿Qué es un espacio vectorial?b) ¿Qué es una base para un subespacio vectorial?c) ¿Qué es el producto interno en Rn?d) ¿Qué significa que dos vectores sean ortogonales?e) ¿Qué es una base ortonormal para un subespacio vecto-

rial?f) ¿Qué es un valor propio de una matriz o transformación

lineal?g) Si se conoce un valor propio λ de una matriz A, cómo se

calcula un correspondiente vector propio?

2. Sea x = [1, 0, 1] y V el subespacio de R3 generado por losvectores [1, 1, 1], [0,−1, 1].

a) ¿x ∈ V ?b) Halle una base ortonormal para V .c) Calcule la proyección de x sobre V .

3. Calcule los valores y vectores propios de las siguientes matri-ces:

a)

[−5 22 −2

], b)

[0 1−1 0

]II. Cálculo.

1. Suponga que la altura de la marea, en metros, y como funcióndel tiempo en horas a partir de la media noche, está dada enmetros por

M(t) = 2 cos

(1

6π(t− 2)

)+ 4, t > 0

a) ¿Cuáles son el período y la frecuencia de M?b) ¿A qué horas ocurre la marea alta?c) Calcule M ′(t). ¿Cuáles son sus unidades y significado?

2. ¿Qué es una serie de Taylor y eso para qué sirve? Cuál es laserie de Taylor de la función f(x) = ekx.

3. Sea t el tiempo en segundos y f : [0,∞) → R2 dada porf(t) = [2t, 1−5t2] la posición de una partícula en movimientoen el plano. ¿Cómo se calcula la derivada de f, cuáles son susunidades y qué significado tiene?

4. Suponga que una coraza esférica metálica, con radio exteriorigual a 2 metros, y radio interior igual a 50 cm, tiene unadensidad que depende del radio así: ρ(r) = 10+4r gm/cm3.¿Cuánto pesa la coraza?

Febrero, 2014. Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Co-lombia, Sede Medellín.

5. Suponga que la altura de un terreno es la función H :[−50, 50]× [−50, 50]→ [0,∞) dada por

H(x, y) = 1500e−x2−y2

2500 ,

donde (x, y) son coordenadas en km respecto a un punto dereferencia, y H es la altura en metros respecto al nivel demar.

a) ¿Cuál es el área del terreno?b) ¿Cuál es la altura máxima del terreno?c) Calcule ∇H. ¿Cuál es su significado y unidades?d) Si yo camino desde el centro del terreno a la esquina con

coordenadas (50, 50) a una velocidad de 5 m/s, cuál esuna función r(t) que describa mi trayectoria?

e) ¿Calcule la derivada de H(r(t)). Cuáles son sus unidadesy significado?

f) ¿Cuáles son las unidades y el significado de∫ 50

−50

∫ 50

−50H(x, y) dx dy?

III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1. Sea P (t) la población de cierto cultivo de bacterias. Supongaque inicialmente habían 5 individuos, pero la velocidad dereproducción es igual a 0.5 veces el tamaño de la poblaciónmisma.

a) Escriba el enunciado como un problema de valor inicialpara la función P .

b) Calcule la función P .

2. Suponga que la temperatura de un pan al salir del hornosatisface la siguiente ecuación diferencial:

dT

dt= k(T − T ∗), T (0) = T0

donde k y T ∗ son constantes positivas, T0 > 30.

a) Halle la solución T (t).b) ¿Cuál es el significado y las unidades de las constantes

k, T ∗, T0?

3. Sea suponga que un cuerpo de masa m = 9kg está suspen-dido de un resorte y que la altura y(t) en metros a la cual seencuentra el cuerpo, satisface el siguiente problema

my′′ = −cy′ − ky, y(0) = y0

a) Suponga que y0 = 0,15, c = 100, k = 890. ¿Cuáles sonlas unidades y el significado de y0, k y c?

b) Para esos valores de y0, k, c, halle la solución y(t).c) ¿Qué sucede con el cuerpo para tiempos muy grandes?