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Page 1: Soluciones Estelares

Una clase de soluciones estelares

Estevez Delgado, GabinoFacultad de Quımico Farmacobiologıa, UMSNH, [email protected]

Estevez Delgado, Joaquın, Corona Patricio Gabino, Rojas Sanchez Adriana, and Lopez Bolanos EduardoFacultad de Ciencias Fısico-Matematicas, UMSNH,

[email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

El interes sobre la estructura y las consecuencias de las soluciones a las ecuaciones que describen soluciones interiores de estrellasrelativistas estaticas y esfericamente simetricas ha sido una cuestion que ha estado presente desde hace siglos. Construir solucionesanalıticas aun en el caso estatico y esfericamente simetrico no es una tarea sencilla, debido a la no linealidad de las ecuaciones. Laconstruccion de soluciones contribuye a entender mejor y resolver algunos problemas astrofısicos presentes cuando se tiene un campogravitacional fuerte. Considerando una forma especıfica para la funcion de masa estelar hemos podido construir una clase de solucionesestelares fısicamente aceptables, asociadas a un fluido perfecto. Sus caractersticas con relacion a la presion, densidad y velocidad delsonido son analizadas.

En [1] se presenta un analisis de 127 soluciones estelares de estas solo 16 pasanla pruebas de regularidqad y condiciones fisicas, y unicamente 9 tiene una veloci-dad del sonido monotona decreciente. Recientemente se han contruido otras solu-ciones fısicamente aceptables [2]. Siguiendo una estrategia similar a la presentadaen [2] contruimos una solucion estelar nueva. Para el caso estatico y esfericamenesimetrico la metrica puede expresarse como:

ds2

= −e2ν(r)

dt2

+ e2λ(r)

dr2

+ r2(dθ

2+ sin

2θdφ

2) (1)

Para un tensor de energıa moemento asociado a un fluido perfecto las ecuacionesde Einstein implican:

1

r2[r(1 − e

−2λ)]′= ρ −

1

r2(1 − e

−2λ) +

2ν′

re−2λ

= P (2)

e−2λ

(ν′′

+ ν′+

ν′

r− ν

′λ′ −

λ′

r) = P (3)

Hemos tomamos las unidades tales que c = 1 y 8πGc4

= 1. Este sistema de ecuacio-

nes determina el comportamiento del campo gravitacional para un fluido perfecto.Haciendo el siguiente cambio de variables [2]

x = Cr2, Z(x) = e

−2λ(r), A

2y2(x) = e

2ν(r), (4)

Donde A y C son constantes arbitrarias obtenemos el siguiente conjunto de ecua-ciones:

1 − Z

x− 2Z =

ρ

C4Z

y

y+

Z − 1

x=

ρ

C(5)

4Zx2y + 2Zx

2y + (Zx − Z + 1)y = 0 (6)

La ventaja de este sistema de ecuaciones es que la ultima ecuacion podemosverla como una ecuacion diferencial de segundo orden no homogoenea en y y linealde primer orden no homogeneo en Z para un y y Z dadas respectivamente. Deacuerdo a las condiciones de regularidad de la geometrıa en el origen (determinados

por el escalar de Kretschmann) elegimos [3]: y(x) =a1x+b1ax+b

. Con esta forma de y,

reemplazandola en (6) es posible contruir una solucion para la ecuacion que resultaen Z con a1 = 15s, b1 = 1, b = 1, a = s, y su forma exacta es:

Z(x) = 1 −((32s(9s2x2 + 34sx + 33) − (1 + sx)4)C1)x

(3sx + 7)3(5sx + 1)(7)

donde C1 es una constante de integracion. De aqui en adelante por simplicidadsupondremos C1 = 0 en cuyo caso:

ρ(x) = −32Cs(−72s3x3 − 1434s2x2 − 2048sx − 693 + 135s4x4)

k(k(5sx + 1)2(3sx + 7)4)(8)

P (x) = −256s(−3sx − 14 + 3s2x2)C

(7 + 15sx)(5sx + 1)(3sx + 7)3(9)

Es conveniente reexpresar la solucion en la forma estandar en el que la metrica es[4]:

ds2

= −e−2φ

dt2

+ dr2

+ (1 − 2m(r)

r)−1

dr2

+ r2dΩ

2(10)

donde m(r) representa la funcion de masa de la estrella, y con respecto a la cual

la densidad y presion son: 8ρ = 1r2

dmdr

8P =2(r−2m)

r2dΦdr

− 2mr3

La solucion sera fısicamente aceptable si satisface las siguientes condiciones [2]

1. tǫ(−∞,∞) r > 0 θǫ(0, π) Φǫ(0, 2π) lımr→0m(r)

r3= C1

lımr→01r

dΦdr

= C2 lımr→0d2Φdr2

= C3

donde C1, C2, C3, son constantes. Ademas para la densidad y las presionesrequerimos

2. ρ(r) > 0 y P (r) > 0 en el interior de la estrella i.e. 0 < rb (donde el rbes el radio de la estrella)

3. Sobre la frontera, i.e. r = rb, ρ(rb) ≥ 0 y P (rb) = 0

4. La densidad y presiones deben ser monotonas decrecientes i.e.dρdr

< 0

dPdr

< 0

5. La velocidad del sonido no puede ser mas rapida que la velocidad de la luz

Luego de redefinir las constantes tenemos que la densidad, la presion y la masaestan dadas por:

ρ(r) =32(2r0

2r2(36r4 + 717r02r2 + 1024r0

4) + 693r08 − 135r8)r0

2

k(5r2 + r02)2(3r2 + 7r0

2)4(11)

P (r) =256(3r0

2r2 + 14r04 − 3r4)r0

4

(7r02 + 15r2)(5r2 + r0

2)(3r2 + 7r02)3

(12)

m(r) =16(9r4 + 34r0

2r2 + 33r04)r3r0

2

3r2 + 7(r02)3(5r2 + r0

2)(13)

Se puede verificar de manera directa que las condiciones 1 a 5 se satisfacen. Porejemplo existe un valor de r en donde la presion se anula, este define la frontera yesta dado por

rb =

3 +√

177r0√

6> 0 (14)

de donde la masa de la estrella M = m(rb) =

3+√

177(81√

3−11√

59)√

2r01176

> 0.

Por otro lado la densidad y la presion central son:

Pc =512

343r02

ρc =3168

343r02

(15)

En la g’rafica presentada se observa el comportamiento de la densidad, la pre-sion y la masa. En esta se tiene que P < ρ y visualmente tambien se corrobora queesta solucion cumplen con las condiciones (1 a 5). Como conclusion tenemos quehemos sido capaces de construir una nueva solucion fisicamente aceptable.Referencias:

1. Physical Aceptability of Isolated, Static, Spherically Symmetric, PerfectFluid Solutions or Einsteins Equations.M.S.R. Delgaty and Kayll Lake,gr-qc/9809013v1 2Sep 1998.

2. S.K. Maurya Y.K. ,Gupta, A family of physically realizable perfect fluidsperes representing a quark stars in general relativity, Astrophisys SpaceSci, DOI 10.1007/10509-011-0810-Y

3. Joaquin Estevez Delgado y Gabino Estevez Delgado, Reporte de Investi-gacion (2012)

4. R.Wald, General Relativity, The University of Chicago (1984).