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1
PRACTICA 01: TEORIA DE
CONJUNTOS
1) Sean los conjuntos
A { { } }
Indique (V) o falso (F) en cada
proposicin.
{{ }}
{ }
{ }
{ { }}
A) VVVV B) VVFF C) FVFF
D) FFVV E) FVFV
SOLUCIN:
{{ }} (Falso)
{ } (Verdadero)
{ } (Falso)
{ { }}
(Falso)
2) Sean A, B y C tres conjuntos
contenidos en
U=
ACA
8)( CBnAPn
23CBn Calcular: n(Ac)
A) 26 B) 28 C) 30 D) 24 E) 22
SOLUCIN:
C
8
U=30 B
3A y
x
( ) 8
3
n P A
n A
23n B C
3) Dado los siguientes conjuntos:
,, APBA ABC y CPD
DBCalcular
A) B B) C C) D D) A E) BA SOLUCIN:
A
B P A {{ } }
C B A {{ } } { } { }
D P C {{ } }
{ }
4) Dado los conjuntos:
6;5;4;3;2;1A 9;8;7;6;4;1;0B
Sea m el nmero de subconjuntos no
vacos de A que son disjuntos con B y
n es el nmero de subconjuntos no
vacos de B que son disjuntos con A.
Calcular m+n.
A) 21 B) 22 C) 25 D) 190 E) 26
SOLUCIN:
5) Sean los conjuntos:
{ }
{ }
Cuntos subconjuntos propios tiene
?
A) 3 B) 7 C) 63 D) 15 E) 31
SOLUCIN:
{ }
{ }
{ }
{ }
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2
6) Dados los conjuntos iguales A y B:
{ }
{ }
Halle
A) 18 B) 21 C) 23
D) 25 E) 27
SOLUCIN:
7) Sean los conjuntos:
{ }
{ }
Determine
A) B B) C) BA
D) BAc E) A
SOLUCIN: { }
{ }
{ }
{ }
8) Sean Ay B dos conjuntos tales que:
Calcular cuntos subconjuntos
propios tiene ?
A) 7 B) 127 C) 63
D) 31 E) 15
SOLUCIN:
A
7
B
y5-y
x
9) Se dispone de 6 tipos de vidrios, los
cuales se combinan para obtener
sabores distintos a los que se tiene.
Cuntos nuevos sabores se podrn
obtener. Si al mezclar siempre se
realiza con una misma cantidad de
cada vino?
A) 57 B) 59 C) 58
D) 55 E) 54
SOLUCIN: { }
Total de combinaciones
Pide vinos distintos
Vinos conocidos
10) Cuntos de los 1600 alumnos estn
inscritos en teatro pero no en canto?
Sabiendo que: 600 estn inscritos en
teatro, 650 en canto, 250 en teatro y
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3
baile, 350 en canto y baile, 200 en
teatro y canto, 950 en baile, 150
llevan los 3 cursos.
A) 390 B) 410 C) 405
D) 280 E) 400
SOLUCIN:
C(650)
B(950)
T(600)
U=1600
300 250
500
100 200
50
150
11) En el cumpleaos de Paolo Guerrero
hay 60 personas y se observa que la
cantidad de personas que tienen
reloj pero no casaca son la quinta
parte de los que tienen reloj y casaca
y la cuarta parte de los que tienen
casaca pero no reloj. Si 30 personas
no tienen reloj. Cuntas personas no
tenan reloj ni casaca?
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 54
SOLUCIN:
R C
n 4n5n
x
U=60
12) En una academia se realiz una
encuesta y se obtuvo los siguientes
resultados: el 30% postulan a San
Marcos y el 80% a la UNI, de los que
no postulan a la UNI el 20% postulan a
San Marcos, si 800 estudiantes no
postulan a ninguna de las
universidades mencionadas.
Cuntos estudiantes postulan a
ambas universidades?
A) 1300 B) 1000 C) 1200
D) 1500 E) 1400
SOLUCIN:
SM UNI
800
U=100k
(30k) (80k)
26k4k
Solo San Marcos:
13) De un grupo de 590 alumnos se
observ, que 200 no postulan a la UNI,
300 no postulan a San Marcos y 50 no
postulan a ninguna de estas dos
universidades Cuntos postularon a
ambas universidades?
A) 100 B) 120 C) 125
D) 130 E) 140
SOLUCIN:
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4
UT=510
S
50
a x b
14) Un total de 90 alumnos dio 3
exmenes para aprobar un curso y se
observ que los que aprobaron solo
un examen representan el quntuplo
de los que aprobaron solo 2
exmenes resulta el triple de los que
desaprobaron los 3 exmenes. Si el
nmero de los que desaprobaron los
3 exmenes es igual al nmero de los
que aprobaron los 3 exmenes
Cuntos aprobaron el curso?
Considere que para aprobar es
necesario que aprueben por los
menos 2 exmenes.
A) 36 B) 12 C) 16
D) 20 E) 18
SOLUCIN:
A
C
a d b
e f
c
x
B
T=90
15) A una conferencia asistieron 60
piuranos, 90 apurimeos 70 tacneos.
Se observ que entre los tacneos y
piuranos haba 100 personas que
usaban lentes 12 corbatas, pero no
tenan lentes y 48 apurimeos usaban
lentes o corbata. Halle la cantidad de
personas que no usaban lentes ni
corbatas y cuya procedencia era
piurana o apurimea, si 9 tacneos
no usaban lentes ni corbata.
A) 48 B) 51 C) 56
D) 62 E) 67
SOLUCIN:
Lentes Corbata Ni lentes Ni corbata
TOTAL
Piur a c x 60
Apur e f y 90
Tacn b d 9 70
total - - - 220
16) 80 alumnos rindieron una prueba que
contiene los cursos de mineraloga,
Geologa y Explosivos con el siguiente
resultado:
Se anul 8 pruebas y el resto aprob
por lo menos un curso
Los que aprobaron Mineraloga,
desaprobaron Geologa y Explosivos
Hay 15 alumnos que aprobaron
Geologa y Explosivos
Cuntos aprobaron un solo curso?
A) 58 B) 53 C) 51
D) 57 E) 52
SOLUCIN:
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5
M
E
ab
c
G
T=80
15
17) En el momento de la hora loca en
una fiesta se observ que el nmero
de varones que no bailaban era el
doble del nmero de personas que
estaban bailando y adems el
nmero de damas que no bailaban
es al nmero de varones como 2 es a
5. Si en total asistieron 104 personas.
Cuntas personas no bailaban?
A) 82 B) 78 C) 72
D) 39 E) 26
Bailan No bailan Total
Hombres x 4x 5x
Mujeres x 2x 3x
Total 2x 6x 8x
18) En un concierto asistieron 4200
personas, se observ que de las
mujeres son solteras. De los
hombres se sabe que son los del
total de mujeres y del numero de
mujeres casadas estn embarazadas.
Cuntas mujeres casadas no estn
embarazadas?
A) 1125 B) 1225 C) 1425
D) 1135 E) 1120
SOLUCIN:
{
{
{
19) De un grupo de 70 ingresantes a la
UNI, se observa que la cantidad de
varones cinco veces ms que la de
mujeres; 53 varones no son
cachimbos de Ingeniera de Minas y
las mujeres ingresantes que no son de
Ingeniera de Minas ni de Ingeniera
electrnica, son tantas como los
cachimbos de Ingeniera de Minas.
Cuntas mujeres son de Ingeniera
de Minas o de Ingeniera electrnica?
A) 4 B) 3 C) 6
D) 7 E) 8
SOLUCIN:
H
M
M E
U=70
=6x
=xa
a
x y
p
q
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6
20) Dados 3 conjuntos A, B y C con
elementos
respectivamente. Si A y B tienen
elementos comunes; A y C tienen
elementos comunes B y C tienen 2 y
adems hay un nico elemento
comn a los tres. Calcule [ ]
A)
B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
B=3n
C=n-1
A=n
Un/2
n/4
1
2
1
n/2-1
n/4-1
[ ]
*
(
)+ *
+
[
(
*] [
]
[
] [
]
21) En una batalla intervinieron 300
hombres de los cuales 54 fueron
heridos en la cabeza, 48 fueron
heridos en el brazo, 58 fueron heridos
en la cabeza y brazo, 20 fueron
heridos en la pierna y brazo, 12 fueron
heridos en la cabeza y pierna. Si el
42% de los que intervinieron en la
batalla fueron heridos, averige
cuantos fueron heridos en las 3 partes
del cuerpo mencionado.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
SOLUCIN:
B(48)
P(58)
C(54)
U=300
a b
c
p r
q
x
Heridos:
( )
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PRACTICA 02: NUMERACION
1) Sabiendo que a y b son cifras
significativas diferentes. Halle el valor
de N en el sistema decimal.
a)200 b)231 c)251 d)401 e)301
SOLUCIN:
1 2 3 4
N = 12(3) + 534(6) +230(4)
N = 5 + 202 + 44
N = 251
2) Si:
Calcular:
a)7 b)8 c)9 d)10 e)11
SOLUCIN:
Se observa que:
Luego a + b + n + d = 1 + 2 + 3 + 2=8
3) Sabiendo que:
en cuntos sistemas de numeracin
se escribe con 4 cifras?
a)2 b)3 c)4 d)5 e)12
SOLUCIN:
a = 1 8b + 8c + 5 = 48 + 10a + b
1
7b + 8c = 53
3 4
Luego 1000(n) 10 000(n)
n3 n4
43 44
53 54
Entonces el nmero de bases es 2
4) en cuntos sistemas de numeracin
se representan con tres cifras, el
siguiente numeral capica?
(
) (
*
a)6 b)7 c)9 d)8 e)12
SOLUCIN:
(
) (
*
a=2,4 b=2,3,6
para que sea capica
a=2 b=3
1221(5) = 186
Luego 100(n) 186 1000(n)
n2 186 n3
62 63
72 73
82 83
92 93
102 103
112 113
122 123
132 133
en 8 sist. De numeracin
5) Cuntos nmeros al ser expresados
en base 5 y 4 se escriben con 3 y 4
cifras respectivamente?
a)60 b)62 c)59 d)63 e)61
SOLUCIN:
N =
100(5), 101(5), .. 444(5)
25, 26, 27, .. 124
1000(4), 1001(4, .. 3333(4)
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8
N = 64, 65, 66, ..255
Numero de valores de (N) es 61
6) Si:
Halle
a)12 b)13 c)14 d)15 e)16
SOLUCIN:
Luego tenemos que:
Entonces tenemos:
5 + 1 = m
m = 6
3 4
7) La cantidad de nmeros de la forma:
(
*
a)15 b)25 c)35 d)50 e)75
SOLUCIN:
Entonces 5 x 5 = 25
8) en qu sistema de numeracin
existen 294 nmeros de la forma
?
a)duodecimal b)hexadecimal
c)decimal d)undecimal
e)nonario
SOLUCIN:
n 3 n 1 n 2
(n - 3)(n 2)2 = 6 . 72
n = 294
9) Calcule a+b. Si:
a)7 b)9 c)8 d)10 e)11
SOLUCIN:
= 655
1 + 2 + 3 +.+ 9 = 45
lleva 4
4+
a + b
10) Se sabe que:
Determine
a)4 b)6 c)7 d)8 e)10
SOLUCIN:
[ ]
c =2; b = 0; a = 5 a +b +c = 7
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9
11) Si: ( )
Cul es la suma de las cifras del CS
del numero escrito en la base
a)17 b)18 c)19 d)20 e)22
SOLUCIN:
( )
= 172
12) Si:
Hallar m+n
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
SOLUCIN:
( )
( )
13) Si:
Calcule el mximo valor de:
a)10 b)12 c)15 d)13 e)14
SOLUCIN:
12
24132
231422
16722
46062
2
55
5
75
xxxdxcbxa
abcd
abcd
abcd
xmxelpidencomo
14) Si: Adems
Calcule
a)6 b)4 c)10 d)7 e)8
SOLUCIN:
1. nnnaba
naba .57
3.57171
457.310 pq
4531 pq
31 4
7 4
1
44 5133 pq
75 qp
15) Si:
Adems:
Calcule
a)21 b)23 c)22 d)24 e)20
SOLUCIN:
se divide
a+b+x+y+m+n = 2+4+4+7+1+3=21
16) Si:
(
* (
* (
*
Determinar:
a)10 b)18 c)15 d)12 e)9
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10
SOLUCIN:
(
* (
* (
*
166 =
a x n = 12
17) El mayor nmero del sistema binario
de siete cifras, se expresa en el
sistema nonario como . Hallar
a)8 b)7 c)5 d)9 e)6
SOLUCIN:
18) Un numeral de tres cifras consecutivas
crecientes de base 9 se expresa en
base 8 con tres cifras, donde su
primera cifra es la central del inicial.
Cuntos nmeros cumplen con la
condicin?
a)1 b)3 c)2 d)5 e)4
SOLUCIN:
19) Convierta el mayor numeral de tres
cifras diferentes de la base (n+1) a
base (n-1). D como respuesta el
producto de cifras en base decimal.
a)164 b)196 c)229 d)190
e)198
SOLUCIN:
n
3
/
+ 4n / 1
/ /
6
/
/
20) Al convertir un nmero a dos sistemas
de numeracin, de bases pares
consecutivas se han obtenido las
siguientes representaciones:
. si la suma de la base
menor y la cifra c es menor que 12.
Hallar el nmero.
a)320 b)189 c)37 d)307 e)309
SOLUCIN:
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11
5
6
Como x es par: x=6
304 + c = 289 + 6c
15 = 5c
3 = c
= 304 + c = 307
21) Dado:
Indicar el resultado de dicha suma.
a)2530 b)2640 c)2650 d)2655
e)2660
SOLUCIN:
S = 5 (12 + 22 +32 +42 . + 102 + 112 )
S = 5 (
)
S = 2530
22) Si la siguiente suma tiene 20 trminos,
determine la suma de cifras de la
suma:
indicar el resultado de dicha suma.
a)15 b)16 c)17 d)18 e)19
SOLUCIN:
S = 3.12 2.1 + 3.22 2.2 + 3.32 2.3 + 3.42 2.4
S = 3 (12 + 22 +32 2) -
S = 8190
Suma de las cifras = 18
23) La cantidad de nmeros de cuatro
cifras que tienen por lo menos una
cifra par y por lo menos una cifra
impar es:
a)7750 b)7800 c)1850 d)7875
e)8500
SOLUCIN:
que por lo menos tenga una cifra par
y otra impar.
a b c d a b c d a b c d
1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 1
4 2 2 2 3 3 3 3
6 4 4 4 5 5 5 5
8 6 6 6 7 7 7 7
8 8 8 9 9 9 9
9. 10. 10. 10 4 .5 .5 .5 5. 5. 5. 5
TOTAL = 9000 - 500 - 625
TOTAL = 7875
24) Si:
Hallar:
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
Entonces y = 5 ; x + z = 5
x + y + z = 10
Nos piden hallar:
En suma vertical
= (12)
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12
PRACTICA 03: DIVISIBILIDAD,
NUMEROS PRIMOS Y MCM-MCD
1) La cantidad de nmeros de la forma
que son divisibles por 13
es:
a) 3 b)5 c)7 d)10 e)13
SOLUCIN:
13
13
13
hay 10 formas
2) Hallar sabiendo que el numero
es mltiplo de 126
a) 6 b)8 c)9 d)10 e)11
SOLUCIN:
126
{
2
7
9
2
7
7
7
9
9
cumple para
3) Cuntos nmeros de la forma
son mltiplos de 56?
a)22 b)23 c)24 d)25 e)26
SOLUCIN:
56
,7
8
7
7
7
8
8
Si
8
Si
8
8
8
8
8
Total de formas: 22
4) Determine la cantidad de nmeros
que hacen posible
7
a)150 b)360 c)301 d)299 e)300
SOLUCIN:
7
( 7
*
7
7
Restos potenciales:
7
7
7
}
3
Luego
Total de formas: 300
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13
5) Cul es el menor valor para x para
que: 5
?
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
SOLUCIN:
5
5
5
5
5
}
( )
( ) 4
(
4
)
4
4
4
, cumple para
6) Si se cumple que: , ( ) 12
7
Halle
a)68 b)18 c)24 d)49 e)54
SOLUCIN:
( ) 12
12
12
12
.12
/
12
12
12
12
12
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7) Hallar n sabiendo que en dicho
sistema de numeracin existen 56
nmeros capicas de 4 cifras que son
mltiplos de n+1.
a)7 b)8 c)9 d)11 e)12
SOLUCIN:
1n
1n
1n
[ ] 1n
siempre es mltiplo de 1n
Luego:
8) Cules son las dos ultimas cifras del
numeral que se obtiene al convertir
al sistema ternario?
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
9
9
9
9
9
9
9
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14
9) Doa Peta compro cuadernos de s/3;
s/.4 y s/.11. Si en total compro 22
cuadernos y gasto s/87. La diferencia
entre las cantidades compradas de
s/3 y de s/4 es:
a)10 b)7 c)13 d)6 e)14
SOLUCIN:
Precios
s/. 3
s/. 4
s/. 11
Cantidad
x
y
z
Gasto
3x
4y
11z
22 87
8
8
8
10) Si se divide : ( )
entre 7 cul es el residuo que se
obtiene?:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
SOLUCIN:
( )
= 7
7
= 7
= 7
7
7
7
}
7
7
7
11) Calcular el menor valor de a+b
sabiendo que tiene la
mayor cantidad de divisores primos.
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
SOLUCIN:
es primo
Menor valor
12) Si: y se sabe que: el
nmero de divisores d M es el
cudruple del nmero de divisores de
N. Cuntos divisores compuestos
tiene ?
a)78 b)79 c)80 d)81 e)82
SOLUCIN:
Luego:
13) Si tiene divisores. Cuntos
divisores tiene ?
a)10 b)9 c)15 d)18 e)49
SOLUCIN:
( )
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15
14) Calcular la cantidad de los divisores
de 9360 que sean mltiplos de 6.
a)60 b)32 c)28 d)12 e)18
SOLUCIN:
( 6
* ( 6
*
15) Si el numero ,
tiene 810 divisores
mltiplos de 68, el valor de n es:
a)5 b)6 c)7 d) 8 e)9
SOLUCIN:
16) Si el numero tiene 32
divisores que son mltiplos de 6 pero
no de 5. En cuntos ceros termina A,
cuando se escribe en base quince?
a)2 b)4 c)5 d)1 e)3
SOLUCIN:
5U 6 50
Total:
6
17) Hallar el menor de dos nmeros
enteros, sabiendo que: Ambos
nmeros son de dos cifras y la
diferencia entre su MCM y MCD vale
243.
a)28 b)36 c)40 d)42 e)43
SOLUCIN:
;
18) El MCD de y es 75
Calcular a)12 b)13 c)14 d)15 e)16
SOLUCIN:
( ) 75
19) Se tiene dos nmeros que tienen 9 y 8
divisores y su MCD tiene 6 divisores. Si
su MCM es un nmero de dos cifras.
Hallar el menor de los nmeros.
a)18 b)36 c)24 d)48 e)16
SOLUCIN:
{
menor
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16
20) Sabiendo que el MCD de y es 9
y el producto de y es 2268.
Calcula el MCM de y .
a)25452 b)25524 c)25245
d)24524 e)25425
SOLUCIN:
( )
.
/
21) Si: ,
Calcular el valor de r:
a)21 b)36 c)43 d)81 e)48
SOLUCIN:
22) El MCD del mayor nmero de 80 cifras
de la base 8 y del mayor nmero de
120 cifras de la base 4, expresado en
la base dos tiene como suma de
cifras.
a)108 b)120 c)256 d)124 e)240
SOLUCIN:
{
}
{ }
{ }
{ }
23) Si: ; y son numerous primos
absolutos, tales que: .
Determine a+b+x:
a)7 b)6 c)8 d)10 e)9
SOLUCIN:
; ;
.
24) Hallar la cantidad de nmeros
naturales menores que 1200, si:
a)80 b)30 c)180 d)40 e)120
SOLUCIN:
[ ]
(
* (
*
Hay 80 nmeros que son menores
que 200 y PESI con 200.
25) Si se divide el producto de los 150
primeros nmeros primos entre 4
luego el residuo es:
a)2 b)4 c)5 d)1 e)3
SOLUCIN:
4
4
4
4
4
4
4
4
4
26) Si el Tiene n divisors.
Cuntos divisores tiene el MCM de
los mismos?
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17
a)
b)
c)
d)
e)
SOLUCIN:
27) Si ; el es 720 y
es el valor . La suma de
todos los posibles valores de es:
a)1000 b)1010 c)1020
d)1030 e)1040
SOLUCIN:
{
Suma de valores de x: 1040
28) Si el producto de n primos
consecutivos, la suma de estos
nmeros primos es:
a)77 b)65 c)72 d)59 e)98
SOLUCIN:
29) Si: ,
Entonces el es:
a)90 b)120 c)150 d)180 e)210
SOLUCIN:
Ejm:
Si
Si
Entonces podemos afirmar
30) Cuantos divisores positivos
compuestos tiene el MCM de los
menores nmeros primos de 1; 2; 3; ;
n cifras respectivamente?
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
31) Cuntos divisores tiene el nmero
?
a)8 b)9 c)10 d)15 e)18
SOLUCIN:
Cumple para
32) Si: tiene 15 divisores entonces
es:
a)3 b)4 c)5 d)6 e)7
SOLUCIN:
( )
33) Cuntos nmeros menores que
10000 tienen 21 divisores?
a)3 b)4 c)5 d)6 e)2
SOLUCIN:
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Hay dos formas.
34) La suma de los valores de N
menores que 100 tal que:
27
a) 127 b)81 c)135 d)150 e)162
SOLUCIN:
27
( 27
*(81
* ( 27
* 27
( 27
* ( 27
* ( 27
* 27
( 27
* ( 27
*( 27
* 27
27
27
PRACTICA 04: FRACCIONES
1) Al dividir
entre una fraccin
f irreductible se obtienen cocientes
que son enteros. La suma de los
trminos del mayor valor de f es:
A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) 19
SOLUCIN:
8
3
Con
2) Calcular Si
A) 24 B) 72 C) 108 D) 126 E)
192
SOLUCIN:
9
; 9
3) Cuntas fracciones positivas propias,
de trminos consecutivos menores
que 0,95 existen?
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19
A) 817 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
SOLUCIN:
4) Cuntas fracciones propias
irreductibles existen cuyo
denominador es un nmero de dos
cifras y dan origen a un decimal
peridico mixto con tres cifras en el
periodo y el 3 como cifra no
peridica?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
SOLUCIN:
son PESI
dos fracciones
5) Si f es una fraccin irreductible:
Calcular a+b+c+d
A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIN:
Si:
Cumple
Si:
No
cumple
6) Si:
genera un nmero decimal
peridico puro con mas de una cifra
peridica, adems c, b, a son cifras
consecutivas en orden creciente
menor que 5.
Hallar a+b+c
A) 3 B) 10 C) 12 D) 9 E) 8
SOLUCIN:
7) Halar el valor de la cifra a para que
la fraccin
origina una
fraccin decimal peridica mixta con
15 cifras en su parte no peridica.
A) 8 B) 5 C) 9 D) 3 E) 2
SOLUCIN:
20 2 20 5
10 2 4
5 2
2 2
1
= para
que tenga 15 cifras NO PESI
8
8
8
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20
8) La ltima cifra del periodo del nmero
decimal que origina la fraccin
es:
A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5
SOLUCIN:
(
(7)
9) Cuntas fracciones propias
irreductibles existen; tales que la suma
de sus trminos sea igual a 50 y que
origina una decimal peridico puro
de 3 cifras?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIN:
; son 2 fracciones
10) Cuantas fracciones propias
irreductibles de denominador
existen en la base 5?
A) 6 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7
SOLUCIN:
propia e irreductible
son PESI
11) Si f =
es irreductible, al expresarlo en
el sistema senario tiene x cifras no
peridicas e y cifras peridicas. Hallar
x-y
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2
SOLUCIN:
En base 6 la parte no peridica en la
origina el 2 y 3
La parte peridica la origina
cifras no peridicas
cifras peridicas
cifra peridica
cifra peridica
12) Cuando la fraccin propia e
irreductible
se convierte al sistema
de base seis, la diferencia entre el
nmero de cifras de la parte
peridica y de la parte no peridica
es:
A) 3 B) 2 C) 0 D) 4 E) 1
SOLUCIN:
propia e irreductible
son PESI
cifras no peridicas = 2
cifras peridicas = 2
13) En qu sistema de numeracin
se
expresa como 0,414141...
A) 10 B) 7 C) 9 D) 6 E) 8
SOLUCIN:
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14) La fraccin propia e irreductible
genera m cifras no peridicas n cifras
peridicas. Hallar m+n
A) 31 B) 28 C) 18 D) 43 E) 38
SOLUCIN:
5 cifras peridicas
6 cifras peridicas
15) Si
y
Hallar
A) 5 B) 6 C) 7 D) 2 E) 9
SOLUCIN:
16) Si: 0,
Hallar
A) 9,8 B) 10,4 C) 10,2 D) 10,6 E)
10,6
SOLUCIN:
.
/
( )
17) Despus de perder los 5/8 de su
dinero, 3/7 del resto y los 5/12 del
nuevo resto, una persona gano 5400
soles y de este modo su perdida
quedo reducida a 1/5 de la cantidad
de dinero inicial que tena. Cul era
esta cantidad?
A) 8000 B) 8400 C) 8600 D)
9000 E) 1000
SOLUCIN:
Tiene Pierde Queda
(
*
(
*
(
*
(
*
Luego
Tiene:
Gana:5400
Pierde:
; Tiene:
18) El nmero de fracciones propias
menores que
cuyos trminos son
enteros consecutivo son.
A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
SOLUCIN:
19) Halle , Si:
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22
y
0,
A) 146 B) 246 C) 256 D) 300 E) 316
SOLUCIN:
0,
20) Si:
Calcular
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
SOLUCIN:
21) Cul es el valor del numerador.
Si:
A) 39 B) 37 C) 41 D) 43 E) 35
SOLUCIN:
15
{
5
3
22) Halle la suma de los trminos de una
fraccin propia e irreductible,
sabiendo que al convertirlo a los
sistemas de base 5 y 7 se obtienen
fracciones peridicas puras de dos
cifras peridicas cada una, cuyas
ltimas cifras son iguales, y la primera
de una de ellas es el doble de la otra.
A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11
SOLUCIN:
23) Hallar las dos ltimas cifras del
peridico que genera la fraccin:
A) 99 B) 97 C) 98 D) 87 E) 78
SOLUCIN:
8
7
x
0 1
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23
8 7
0
9 9 8 7
24) Calcular el valor de a+b+c, si:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
SOLUCIN:
25) Calcular x+y+z. Si:
A) 12 B) 14 C) 25 D) 10 E) 8
SOLUCIN:
( )
( )
26) Si:
, posee una
cantidad impar de divisores. Halle
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 13
SOLUCIN:
Si
Si
;
27) Cuntos valores puede tomar ?
y CA es de cifras
significativas.
A) 22 B) 23 C) 20 D) 25 E) 17
SOLUCIN:
[ ]
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24
Si:
4
4
28) La suma de las inversas de los
nmeros , es una
fraccin cuyo duplo origina el
nmero decimal 1, donde:
. Halle
A) 1680 B) 1763 C) 1935
D) 2024 E) 2115
SOLUCIN:
(
*
Tenemos:
29) Sabiendo qu4e la inversa de la
fraccin:
es un entero.
Halle la suma de los valores enteros
positivos de n para que cumplan
con lo anterior.
A) 38 B) 67 C) 83 D) 76 E) 69
SOLUCIN:
; es divisible por 45
30) Calcule mximo, si:
A) 46 B) 90 C) 95 D) 97 E) 114
SOLUCIN:
0, (a+2) (b-2) =
es divisible por 99
Si
Si
Si
31) Dada la fraccin irreductible:
Si es el
menor numeral que tiene 12 divisores
y no es mltiplo de 5, calcule la suma
de cifras de 3N.
A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 7
0, (a+2) (b-2) =
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25
SOLUCIN:
;
Piden suma de cifras de
32) 32. Se tiene un reservorio cilndrico
cuya capacidad es de 171 litros, con
dos orificios: el primer orificio en el
fondo, deja salir tres litros cada dos
horas y el segundo, a 2/3 de altura
del cilindro encima del primer orificio,
deja salir cinco litros en 3 horas. Si el
reservorio est lleno y abierto los
orificios, En qu tiempo quedara
vaco?
A) 94h B) 120h C) 52h D) 71h E)
84h
SOLUCIN:
Juntos
Luego:
Tambin:
33) Si:
genera un decimal peridico
puro
0,
y . Luego es:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
SOLUCIN:
son exactos
para que tenga 6 cifras
, en donde p es primo
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26
PRACTICA 05:RAZONES Y
PROPORCIONES, REGLA DE TRES Y
PORCENTAJES
1) El producto de los trminos diferentes
de una proporcin geomtrica
continua es 1728. Calcule la razn de
la proporcin sabiendo que la suma
de los trminos extremos es 74.
A) 8 B) 10 C) 7 D) 5 E)6
SOLUCIN:
2) En una proporcin geomtrica
continua de trminos positivos, los dos
primeros suman 36. Si los extremos
suman 60, entonces la menor tercera
proporcional es:
A) 12 B) 10 C) 14 D) 16 E) 8
SOLUCIN:
=
k ;
+ck=36 +c=60
c=
c (
= 60
3(
3
0=2
(2k-1)(k+3)
k=
k=-3
c=48
a=12 menor
3) La razn aritmtica de dos nmeros
es a su producto como 36 veces su
razn geomtrica es a 100 veces su
suma., si los nmeros donde tres cifras.
Hallar la diferencia del mximo valor
que puede tomar la suma de dichos
nmeros de tres cifras.
A) 1566 B) 1666 C) 1672 D)
1766 E) 1768
SOLUCIN:
100
64
a=5k b=4k
como son tres cifras kmin=25 a=125 b=100 a=995 b=796
4) Si
=
(a-b)(c-d)= Calcular
el valor de: N=
A) B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
=
=k-1
N=
N=
N= N=
a+b=225
min
a+b=1791
max
NOBEL Academia Preuniversitaria Solucionario Aritmtica CEPU VERANO 2015-III
27
5)
=
ef.ab-cd=714.
Tambin =52. Calcular e+f
A) 75 B) 76 C) 73 D) 74
E) 72
SOLUCIN:
=
=52
=
=
= f=56
e=16 c+f=72
6) Los valores de m. n y p son enteros
positivos y menores, luego en la
expresin:
Hallar k+m+n+p, (k
A) 85 B) 87 C) 89 D) 90
E) 92
SOLUCIN:
m=27 n=19 p=35 k=6 m+n+p+k=87
7) Si:
Halle la razn armnica de x e y:
A)
B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
=
=k
x =2a ; y = 3a +3
a = 4 ; x = 8 ; y = 15
La media armnica:
8) Si
a, b, c, d, k y 8000 Calcular la suma de cifras de K
A) 8 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5
SOLUCIN:
Luego:
9) Un canguro avanza 3km en 20
minutos dando 1800 saltos. Cuntos
saltos de doble longitud debe dar en
48 minutos para avanzar 9Km?
A) 2000 B) 2300 C) 2700 D)
4500 E) 1600
SOLUCIN:
3 y 20 1800 9 2y 48 x
10) 18 obreros pueden hacer una obra
en 42 das pero 12 de ellos
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28
aumentaron su eficiencia por lo cual
la obra se termino en 36 das. En que
fraccin aumentaron su eficiencia
dichos obreros?
A)
B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
Obreros Das
18 42
6 + 12(x+1) 36
11) Cuando faltaban 21 das para
terminar una obra se retiran 9 obreros,
8 das despus se contratan p obreros
terminando la obra 7 das antes de lo
previsto. Hallar el valor mnimo de p
A) 7 B) 14 C) 15 D) 35 E) 25
SOLUCIN:
Ya se hizo 21 das
n obreros
Ya se hizo
8 das
(n-9)
obreros
6 das
(N - 9 p) ob.
[ ]
12) Un grupo de obreros pueden hacer
una obra en 21 das. Si despus de
haber hecho el 25% de la obra los 2/3
del grupo aumenta su rendimiento en
25%. Hallar el tiempo (en das) que se
emplea para hacer la obra.
A) 18
B) 17
C) 18
D)
E) 19
SOLUCIN:
n obreros
21 das
n obreros
das
(n/3+2n/3.125%
)obreros
(x-21/4) das
(
* (
*
(
*
13) Para fijar el precio de un artculo, se
incrementa en a% el costo; al vender
se hace un descuento del 60%, se
observa que hay una perdida del 10
%. Hallar a
A) 50 B) 75 C) 100 D)
125 E) 130
SOLUCIN:
14) Un comerciante compro 1800 litros de
vino a S/. 40 el litro, luego los envasa
en botellas de de litro. Si los
envases costaron s/. 500 el ciento, los
corchos costaron S/. 18 el ciento y el
envasado s/. 640. Si deseamos ganar
el 30% despus de pagar el IGV;
cada botella se debe vender a:
A) 54,8 B) 61,4 C) 75, 2 D) 81,5 E) 84,6
SOLUCIN:
Precio del vino =
Precio del envase:
Corchos:
NOBEL Academia Preuniversitaria Solucionario Aritmtica CEPU VERANO 2015-III
29
Envasado
15) De un vaso lleno de whisky se
reemplaza sucesivamente el 25%, 20%
y 10% de su contenido por agua,
whisky y agua respectivamente.
Qu porcentaje del contenido es
alcohol, si el whisky contiene 10% de
alcohol?
A) 2,8B) 3,6C) 7,2 D) 14,4 E) 28,8
SOLUCIN:
Volumen de Wisky = V
1)quita 25%, queda 75%V
2)quita 20%, queda 80%(75%V)
Pero se agrega Wisky 20%V
Total=80%(75%V)+20%V=80%V
3)quita 10%, queda 90%(80%V)
volumen de Wisky=72%V
% alcohol=10%(72%V)=7,2%V
16) Una obra puede ser realizada por dos
grupos de obreros de igual eficiencia.
El primer grupo lo puede realizar en
20 Das y el segundo grupo en 30 das.
Si se emplea la tercera parte del
nmero de obreros del primer grupo y
la mitad del segundo grupo. En
cuantos das terminaran la obra?
A) 27 B) 30 C) 33 D) 35 E) 36
SOLUCIN:
Grupo Das
A 20
B 30
x
Luego:
(
*
17) Juan compra un artefacto y lo vende
con un beneficio de 8%. Si hubiera
ganado el 8% del precio de venta
anterior habra ganado 8 soles ms.
Determinar el precio de compra de
dicho artefacto.
a)1000 b)1250 c)1350
d)1400 e)1200
SOLUCIN:
Ganancia:
18) En un escuadrn de aviones y otro de
barcos se dirigen a una isla. Durante
el viaje, uno de los pilotos observa
que el nmero de aviones es al
nmero de barcos como 1 es a 2. Uno
de los marineros observa que el
nmero de barcos es al nmero de
aviones como 3 es a 2. Cuntas
naves son?
a)16 b)12 c)14 d)20 e)30
SOLUCIN:
El piloto:
El marinero:
19) Dos corredores van al encuentro con
velocidades que estn en la relacin
de 8 a 5. Luego de cierto tiempo, el
primero reduce su velocidad en ,
mientras que el otro lo incrementa en
4/5. Desde este instante transcurre 2/3
del tiempo anterior y ambos se
encuentran a 231m del extremo ms
cercano. Calcule la distancia que los
separa inicialmente.
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30
a)483 b)500 c)640 d)520 e)550
SOLUCIN:
tV=8k
2t/3V=6k
2t/3V=9k
tV=5k
A BA B
8kt 4kt 6kt 5kt12kt 11kt=231
kt=21
20) Si:
Calcule:
a)1 b)k c)1/k d) e)1/
SOLUCIN:
21) Sea la siguiente serie:
Calcule
a)3 b)4 c)5 d)7 e)12
SOLUCIN:
Hacemos:
Luego reemplazando:
22) Al vender un artculo se descont el
40%, pero aun as se gana el 30% de
su costo. Si la utilidad neta es el 75%
de la ganancia bruta y los gastos
ascendieron a s/.90, Cul es el
precio fijado?
a)800 b)700 c)2600 d)9900 e)1250
SOLUCIN:
Pero:
ADICIONALES PARA CANAL 2
23) En una fiesta el 30% del nmero de
hombres es mayor que el 20% del
nmero de mujeres en 120, siendo el
nmero de mujeres el 30% del nmero
de hombres. Qu cantidad de
hombres no bailan si se sabe que el
50% de las mujeres que no bailan son
tantas como las mujeres que estn
bailando?
a)400 b)315 c)345 d)395 e)450
SOLUCIN:
NOBEL Academia Preuniversitaria Solucionario Aritmtica CEPU VERANO 2015-III
31
Tambin:
Adems:
B NB
H a x 500
M a y 150
Por dato:
Adems:
24) En un campo de batalla,
sobrevivieron tantos soldados como
el 150% de los que no sobrevivieron,
de los sobrevivientes el 25% resultaron
ilesos. Si estos ltimos fueron
destacados a 2 campamentos en
relacin de 5 a 7. Cuntos soldados
haban, si la cantidad de no
sobrevivientes es mnimo y cuadrado
perfecto a la vez?
a)120 b)160 c)200 d)240 e)180
SOLUCIN:
{ ,
Tambin:
; k=2 para que sea un cuadrado perfecto
25) En una serie de razones geomtricas
se cumple que el producto de los
trminos de cada una de las razones
es: 12; 48; 108; ;2700. Adems la
suma de los cuadrados de los
consecuentes es 4960. Determinar el
nmero de razones.
a)13 b)14 c)15 d)5 e)8
SOLUCIN:
tiene 15 razones
26) Si:
Determine:
; si:
a)2 b)4 c)6 d)8 e)10
SOLUCIN:
De la frmula:
0 .
/1
27) Si:
y
NOBEL Academia Preuniversitaria Solucionario Aritmtica CEPU VERANO 2015-III
32
Calcule sabiendo que:
a)8 b)16 c)12 d)120 e)24
SOLUCIN:
28) Se tiene una mezcla de 1375 litros de
agua y vino en un recipiente. Se
extrae la tercera parte de su
contenido y se reemplaza con vino,
se repite esta operacin hasta
obtener como volumen final de agua
media vez ms que el volumen inicial
de vino. Halle la diferencia inicial de
volmenes de vino y agua, si adems
la cantidad de extracciones es mayor
que uno y los volmenes iniciales son
enteros.
a)848 b)620 c)554 d)1055 e)1000
SOLUCIN:
Inicio Final
X: agua 3y/2
Y: vino vino
Se Disminuyendo 1/3 de agua en
cada extraccin:
1
queda:
2
(
) queda:
3
(
) queda:
n . queda:
Luego:
Cumple para n=4
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33
PRACTICA 06: EXPRESIONES
ALGEBRAICAS, TEORA DE
EXPONENTES Y POLINOMIOS
1) Resolver:
A) B) C) D) E)
N.A.
SOLUCIN:
[ ] *
+
2) Si:
Es idnticamente nulo, calcular el valor
de:
(
*
A) 60 B) 61 C)62 D)63 E)64
SOLUCIN:
(
*
(
*
3) Resolver:
A) 2/3 B) 3/4 C)1/2 D)4/3 E)2/5
SOLUCIN:
4) Si el polinomio:
Es idnticamente nulo. Entonces,
determine el valor de:
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4
SOLUCIN:
5) Reducir:
{ }
a)1 b)0 c) d)
e)
SOLUCIN:
6) Sabiendo que la siguiente expresin
algebraica se reduce a un monomio
de dos variables.
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34
Donde los grados relativos de esas
variables, son iguales. Halle su
coeficiente.
A) 2 B) 4 C)6 D)8 E)16
SOLUCIN:
7) Seale la suma de los exponentes de
x e y luego de reducir:
*
+
,
-
Sabiendo que
Donde:
A) 2 B) 4 C)6 D)8 E)10
SOLUCIN:
Hacemos un cambio de variable:
*
+
,
-
[ (
)(
)]
.{ (
)(
)}
(
)(
)
8) Si el polinomio:
Es completo y ordenado. Calcule
A) 27 B) 30 C)36 D)51 E)72
SOLUCIN:
9) Si ; adems:
Entonces: es:
A) B)
C)
D)2 E)
SOLUCIN:
;
10) Determina el grado del polinomio P, si
se sabe que la suma de los
coeficientes de P sea un trmino
independiente como -43 es a 1
A) 11 B) 12 C)13 D)14 E)15
SOLUCIN:
[ ]
[ ]
11) Luego de Resolver:
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35
(
*
Indicar el valor de
A) B) 8 C) D) E)
SOLUCIN:
(
*
(
*
( )
(
* (
)
(
*
(
*
(
*
(
*
Nos pide:
(
*
12) Sea P(x) un polinomio de grado
, Q(x) es un polinomio de grado
y R(x) es un polinomio de grado
. Si al grado de:
es 31.
Determine el grado de
A) 5 B) 6 C)9 D)10 E)12
SOLUCIN:
13) Hallar una relacin entre x e y en:
A) y=x B) y=3x C)y=2x
D)2x=3y E)y=4x
SOLUCIN:
(
*( )
(
*( )
(
*( )
14) Dado el polinomio homogene.
Determine: a+m+p, sabiendo que
respecto a x, es un polinomio completo y
ordenado.
A) 18 B) 19 C)20 D)21 E)22
SOLUCIN:
Es homogneo:
Es completo y ordenado
15) Reducir:
A) 9 B) C)27 D)18 E)
SOLUCIN:
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36
16) Los polinomios:
y
Son polinomios idnticos, es decir
. Calcule
A) 6 B)8 C)10 D)12 E)14
SOLUCIN:
Donde:
17) Hallar el valor de x en:
A) -4 B)4 C)2 D)3 E)-1/2
SOLUCIN:
(
)
18) = 2)
19) Simplificar { }
A) 5/6 B)1/5 C)2 D)3 E)5
SOLUCIN:
20) Si el termino independiente del
polinomio P.
Es 1600. Entonces el valor de
es:
A) 4 B)7 C)12 D)15 E)19
SOLUCIN:
;
(
*
. (
*
/
(
*
Cumple para:
21) De la igualdad:
Calcular:
A) 2 B)4 C)5 D)7 E)10
SOLUCIN:
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37
22) Sea es un
polinomio homogneo. Determine el
polinomio que debe
agregarse al polinomio para
que el polinomio resultante sea un
polinomio homogneo y completo,
tal que la suma de sus coeficientes
sea 7 y su valor numrico para a
sea 4.
A) B)
C) D) E)
SOLUCIN:
Para que P siga siendo homogeneso
y completo.
y=-1;
23) Si: Calcular:
(
)
A) B) C)1 D)3 E)
SOLUCIN:
( )
(
)
(
*
( )
24) Sean P y Q dos polinomios de variable
x, tales que
(
)
Entonces determine el
A) 42 B)48 C)52 D)54 E)60
SOLUCIN:
(
)
;
Nos pide:
[ ]
25) Indicar el exponente final de x en:
A)
B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
Por induccin:
Con 1 rad.
Con 2 rad.
Con 3 rad.
Para el exponente:
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38
26) Sea el polinomio:
Si entonces
determine el valor de
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
27) Luego de efectuar:
[
](
*
A) B) C) D) E)4
SOLUCIN:
[
]
[
]
28) Dado el polinomio:
Halle la suma de sus coeficientes para el
mayor valor que puede tomar n:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
29) Resolver:
A) 1 B) C) D) E)
SOLUCIN:
30) Si P es un polinomio definido por:
Entonces el nmero de valores
enteros que admita n es:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
Adems: 2
y 7
31) Si: ; calcular:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
32) La suma de los grados absolutos de
todos los trminos de un polinomio
homogneo y completo de dos
variables es 132. Cul es el grado
absoluto?
A) 10 B) C) D) E)
SOLUCIN:
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39
33) Si:
Es un polinomio homogneo.
Entonces determina el valor de k.
A) -5 B) C) D) E)
SOLUCIN:
Para que el polinomio exista:
5
34) La suma de los coeficientes del
siguiente polinomio homogneo:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
35) es
un polinomio completo y ordenado
en forma ascendente.
Determine el valor de:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
Completo, ordenado y ascendente
36) El polinomio:
,
Es completo y ordenado.
Halle el valor de:
A) B)10 C)12 D)14 E)
SOLUCIN:
37) Si:
Para todo , determine el valor de:
A) B) C) D)
E)
SOLUCIN:
Si
Si
Si
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40
PRACTICA 07: PRODUCTOS
NOTABLES, COCIENTES NOTABLES Y
DIVISION DE POLINOMIOS
1) Estando { } y siendo
compute el valor numrico de:
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
Solo cumple si:
2) Siendo:
Calcule:
A)25 B)26 C)27 D)28 E)29
SOLUCIN:
Haciendo cambio de variable:
Reemplazando:
(
*
( )
(
*
(
)
3) Verificndose que:
(
)
(
*
Calcule el valor de:
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
(
)
(
*
4) Luego de reducir:
Con obtenemos:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
Haciendo cambio de variable:
Reemplazando:
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41
5) Si y con
evaluar:
A) B)
C) D) E)
SOLUCIN:
Finalmente
6) Teniendo en cuenta las condiciones:
Indique el valor numrico de:
A)3 B)2 C)-27 D)0 E)1
SOLUCIN:
7) A partir de la condicin:
Calcular:
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
Luego:
Ident. Auxiliar:
8) Tres nmeros reales x; y;z verifican la
igualdad:
Con esto evaluar la expresin:
A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4
SOLUCIN:
Entonces:
9) Indique el valor de la fraccin:
para
(
) cuando
y es positivo
A)
B)
C)
D)
E)
SOLUCIN:
.
/
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42
.
/
Luego:
10) Seale el valor numrico de:
; para
A)-190 B)-191 C)-192 D)-193 E)-194
SOLUCIN:
Hacemos cambio de variable:
De (II)-(I)
(
)
Entonces:
[ ]
Reemplazando:
[
]
11) Si: { } con y
cumplindose que:
entonces el valor de:
; es:
A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4
SOLUCIN:
12) Si:
;
Calcular:
(
*
(
)
A)12 B)13 C) D)
E)11
SOLUCIN:
(
*
(
)
Reemplazando:
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43
13) Si:
.
/
Hallar:
(
*
A) B) C) D) E)No se
puede calcular
SOLUCIN:
(
*
(
*
( )
(
*
14) Si: , el valor de:
A) B) C) D) E)
SOLUCIN:
Reemplazando:
15) Al dividir el polinomio
entre
; se obtiene un residuo
mximo . Hallar la suma de los
coeficientes de .
A)-1/2 B)-1/5 C)-3/5 D)-5/2 E)-1/4
SOLUCIN:
)
2 0 3 1 -3 2 1 -1
-2 -1 1 1 -1/2 9/4
-1 4 1
1 1/2 -1/2
9/2 1/2 -3
-9/2 -9/4 9/4
-7/4 -3/4
16) Si , se divide entre , el residuo
es 8, cuando se divide entre el
residuo es -6. Hallar los coeficientes
del residuo cuando P(x) es dividido
entre siendo
A) B) C)
D) E)
SOLUCIN:
Aplicando el teorema del Resto
De la Prop:
Si
Si
17) En la divisin:
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44
El residuo es 4. Hallar la suma de los
coeficientes del dividendo
A)10 B)11 C)12 D)13 E)14
SOLUCIN:
a a 0 a 1 1 1 -1
-a -a a a 0 a
0 a a
0 0 0
a a 1
-a -a a
0 a+1
18) El resto de la divisin
Es R(x). Hallar R(2)
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
1 -3 0 0 3 -1 1 0 0 0 -1
-1 0 0 0 1 1 -3
-3 0 0 4 -1
3 0 0 0 -3
0 0 4 -4
19) Hallar el resto de R(x) en la divisin:
A) B)
C) D)
E)
SOLUCIN:
1 -2 3 0 -3 1 1 -3 2 0
-1 3 -2 0 1 1 4
1 1 0 -3
-1 3 -2 0
4 -2 -3 1
-4 12 -8 0
10 -11 1
20) El termino del lugar 4 del cociente de
contiene un x cuyo grado
relativo es 0. Hallar la suma de
coeficientes de dicho cociente.
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
21) Cul es el residuo en la siguiente
divisin?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
SOLUCIN:
Teorema del Resto:
22) Proporcionar el resto de dividir:
A)0 B)x+1 C)x+2 D)x-5 E)2x-5
SOLUCIN:
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45
Si
Si
23) Si m es el grado absoluto del tercer
trmino del cociente notable.
Hallar el valor de :
A)12 B)16 C)22 D)24 E)28
SOLUCIN:
[ ]
Luego:
24) Si un trmino del cociente notable
generado por:
Se obtiene un trmino que contiene a
halla el valor de es:
A)16 B)9 C)10 D)11 E)17
SOLUCIN:
Luego:
25) En la divisin notable exacta
uno de los trminos del
cociente notable es .
Halle el lugar que ocupa dicho
trmino, contando a partir del final.
A)6 B)7 C)11 D)22 E)26
SOLUCIN:
Para hallar el lugar de termino
empezando del final:
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46
26) Si:
Es un cociente notable, hallar el
grado absoluto del quinto trmino de
su desarrollo.
A)90 B)94 C)86 D)96 E)84
SOLUCIN:
Termino de lugar 5
PRACTICA 08: FACTORIZACIN,
MCD, MCM, FRACCIONES
1) Si P es un polinomio factorizable
definido por
entonces un factor primo es.
a) x-y+z b) x-y+z+1 c) x-y-z d) x-y-z+1
e) x+y+z
SOLUCIN:
2) Si P es un polinomio factorizable
definido por
, entonces un factor es:
a) b) c) x+c d) x-2c e) x-3c
SOLUCIN:
Cambio de variable:
3) Si P(x)= es un
polinomio factorizable, entonces un
factor primo es
a) b) c) d) e)
SOLUCIN:
[ ]
[ ]
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47
4) Si P es un polinomio factorizable
definido por P(a, b, c)=
, entonces un factor
primo es:
a) a+b b) a+b+c c) a+b+2c d) a-b-c
e) a+c
SOLUCIN:
5) Al factorizar el siguiente polinomio
Halle el factor primo de menor
trmino independiente.
a) x-6 b) x-5 c) x-9 d) x-3
e) x-7
SOLUCIN:
[ ]
[ ]
6) Si el siguiente polinomio
P(x,y)=(
factorizable, entonces un factor
primo es.
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
Cambio de variable:
Reemplazando:
7) Si el polinomio
es factorizable, entonces un
factor primo es:
a) m+n b) 2m-n c) 3n+2m
d) 5m+n e) n-2m
SOLUCIN:
8) Si P(x,y)= +3xy(x+y) es
polinomio factorizable, entonces halle
la suma de coeficientes de unos de
sus factores primos.
a) 5 b) 3 c) 6 d) 9 e) 10
SOLUCIN:
[ ]
[ ]
[ ]
9) Si el polinomio
P(a,b,c)= es factorizable, entonces
halle un factor primo.
a) 2a-b b) c-2a c) a-b d) 3c-b
e) 4a -3b
SOLUCIN:
Si:
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48
10) Si el siguiente polinomio
P(x,y,w,z)=15
es factorizable, halle
la suma de sus factores primos.
a) 16xz-6wy+5 b) 6xz-8wy+7
c) 8xz-8wy+5 d) 15xz+5 e) 8xz-6wy
SOLUCIN:
Si:
11) Si P(x,y)=5
es un polinomio factorizable,
entonces un factor primo es.
a) x+y+7 b) 5x-2y+1 c) x-y-7
d) 15x+2y-1 e) x-y+7
SOLUCIN:
12) Si P(x)=5x-15+ es un
polinomio factorizable, entonces un
factor primo es:
a) 3x-1 b) x+5 c) 2x+4
d) e)
SOLUCIN:
13) Sabiendo que el mximo comn
divisor (MCD) de los polinomios:
P(x)=2
Q(x)=
Halle el valor de E=
a) 3/4 b) 4/3 c) 2 d) 5/2
e) 10/3
SOLUCIN:
1 2 -1 3 m
1 2 -4
-2 1 -2
2 1 0 0
1 1 1 0 n
1 1 -2
-2 2 -4
1 2 0 0
14) Si P y Q son dos polinomios
factorizables definidos por
P(x)= 2 - Q(x)= 10 - entonces si MCD(P,Q) es:
a) 3 b) c) 3 d) e)
SOLUCIN:
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49
10 -9 17 -6
2/5 4 2 6
10 5 15 0
(
*
15) Si el M.C.D. de los polinomios
M(x;y)=48 N(x;y)=36 P(x;y)=72 Es 12 , entonces es a) 0 b) 2 c) 3 d) -4 e) 5
SOLUCIN:
Luego:
16) Sabiendo que el producto del M.C.M.
y M.C.D. de dos polinomios es .
Y la suma de ambos polinomios es
. Determinar la suma de los
coeficientes del M.CM.
a) -5 b) -1 c) 0 d) 4 e) 7
SOLUCIN:
Propiedad:
17) Sean Py Q dos polinomios
factorizables definidos por
P(x)= Q(x)= Si el M.C.D. (P,Q) es (x-1)(x+3),
entonces el M.CM.(P,Q) es:
a) (x-1)(x+3)(x+2)
b) (x-1)(x+2)(x-2)
c) (x-1)(x+3)(x-2)
d) (x+1)(x+3)(x+2)
e) (x-1)(x-2)(x+2)(x+3)
SOLUCIN:
1 4 a b
1 1 5 a+5
1 5 a+5 0
-3 -3 -6
1 2 0
1 0 c d
1 1 1 c+1
1 1 c+1 0
-3 -3
1 -2 0
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50
18) Al reducir,
se
obtiene:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
SOLUCIN:
19) Halle:
a) 1/x b)
c) x d) x+1 e)
2/x
SOLUCIN:
20) Sumar:
a)
b)
c)
d)
e)
SOLUCIN:
21) Si la fraccin algebraica
se
descomponen en dos fracciones
parciales de numeradores Ay B, halle:
A+B
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
SOLUCIN:
22) Hallar El valor de A:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIN:
23) Simplificar:
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51
a) x+1 b) x-1 c) x+2 d) x-2 e) 1
SOLUCIN:
24) Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIN:
25) Efectuar:
SOLUCIN:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
26) Efectuar:
(
) (
)
a)1+x b)1-x c) 1 d)1+x2 e)1-x2
SOLUCIN:
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52
PRACTICA 09: RADICACION,
ECUACIONES E INECUACIONES
1) Al efectuar:
se obtiene
a)-1 b)4 c)3 d)2 e)1
SOLUCIN:
( )
2) Indicar uno de los radicales simples
de la expresin:
a) b) c) d) e)-
SOLUCIN:
De la frmula de radicales dobles:
3) Hallar el valor reducido de:
. /
a)125 b)100 c)96 d)80 e)576
SOLUCIN:
(
)
( )
4) Hallar uno de los radicales simples de
la expresin:
;
a) b)
c) d) e)C o D
SOLUCIN:
1 -2 3 -2
1 1 -1 2
1 -1 2 0
5) El radical doble:
equivale a
Calcular
a)200 b)225 c)215 d)23 e)25
SOLUCIN:
( )
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53
( )
( ) ( )
6) Si el radical doble:
se desdobla
en simples, determina el valor de (
)
a)3 b)2 c)1 d)1/2 e)1/3
SOLUCIN:
. /
. /
7) El equivalente de la expresin
irracional
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
( )( ) ( )( )
8) Proporcione el denominador racional
de la expresin
a)1 b)2 c)5 d)14 e)15
SOLUCIN:
9) Indique el denominador de la
expresin
a)1 b)2 c)-6 d)7 e)14
SOLUCIN:
Cambio de variable:
Reemplazando:
10) Halle el denominador racional de la
expresin
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54
a)1 b)2 c)3 d)6 e)0
SOLUCIN:
Cambio de variable
11) Descomponer en radicales sencillos e
indicar uno de los radicales simples.
(
* (
*
a)
b)
c)
d)
e)
SOLUCIN:
(
*
12) Hallar el equivalente de:
a) b) c)
d) e)
SOLUCIN:
13) La igualdad:
Se verifica, si a toma el valor de:
a)60 b)64 c)66 d)62 e)68
SOLUCIN:
( )
( )
14) Indicar un radical simple de:
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55
a)
b)
c) d) e)
SOLUCIN:
(
)
(
)
15) Racionalizar la fraccin:
a)
b)
c)
d) e)
SOLUCIN:
(
)
(
)
16) Simplificar:
a)
b) c)5 d)1/5 e)2/5
SOLUCIN:
( )
( )
17) Una raz de es
. Hallar el valor de
a) b) c)-4 d)4 e)0
SOLUCIN:
Cumple para
18) Resolver:
Indicando luego la suma de las
races:
a)37 b)-37 c)36 d)-43 e)86
SOLUCIN:
De la propiedad, para:
19) . Si la
suma de sus races es igual al doble
de su producto hallar k:
a)1 b)1/2 c)-1/2 d)2 e)-2
SOLUCIN:
De la propiedad, para:
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56
Del enunciado:
(
*
20) Resolver la ecuacin en x:
a)ab+1 b)ab-1 c)ab d)1 e)0
SOLUCIN:
Haciendo cambio de variable:
(
*
21) Luego de resolver la ecuacin:
Calcule la suma de sus soluciones:
a)17 b)18 c)19 d)20 e)21
SOLUCIN:
(
)(
)
22) Si { } es el conjunto solucin de la
ecuacin:
Halle el valor de :
a)98 b)99 c)100 d)101 e)102
SOLUCIN:
Hacemos cambio de variable:
Tambin:
23) Si { } es el conjunto solucin de la
ecuacin: , tal que
, calcule el valor de k.
a)8 b)9 c)10 d)11 e)12
SOLUCIN:
24) Determina las suma de las races
enteras de la ecuacin:
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
SOLUCIN:
6 -41 97 -97 41 -6
1 6 -35 62 -35 6
6 -35 62 -35 6 0
2 12 -46 32 -6
6 -23 16 -3 0
3 18 -15 3
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57
6 -5 1 0
25) Halle el conjunto solucin de la
inecuacin:
a)*
b) [ c) [
d) *
e)
SOLUCIN:
elevando al
cuadrado:
;
1 233
*
26) Halle el conjunto solucin de la
inecuacin:
a) ] b) ] [
c) ] *
d) ] *
e)
SOLUCIN:
1 2+ +-
1 2 73
] [
27) Halle el conjunto solucin de la
inecuacin:
|| | |
a) b) [ c)[ ]
d) ] e) ]
SOLUCIN:
| | {
Primero:
S1:
Segundo:
| |
| |
S2:
Tercero:
S=S1 S2
-1 0 S: ]
28) Halle el conjunto solucin de la
inecuacin:
a)
b)
c) d)
e)
SOLUCIN:
Puntos crticos:
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+ +- --2 -7 1
5
29) Si [ { } , con es el
conjunto solucin de la inecuacin
, entonces el valor de
es:
a)-6 b)-5 c)4 d)5 e)6
SOLUCIN:
Puntos crticos:
+ +--2 4
[ { }
[ { }
30) Si: { }
Es el conjunto solucin de la
inecuacin
| | | |
| | | |
Halle el valor de
a)0 b)1 c)4 d)14 e)15
SOLUCIN: | | | |
| | | | 0 | | | |
| | 1 0
| | | |
| | 1
| | | |
| | | |
Puntos crticos:
+-3
+ +- - --2 -1 1 2
{ }
{ }
31) Determine el conjunto solucin de la
ecuacin:
| | || | |
a),
- b) ,
- c) ,
-
d) e) ,
-
SOLUCIN:
Propiedad:
| | | |
| | | |
| | | |
Propiedad:
| | [ ]
37
-1
{
}
32) Si { } es el conjunto solucin de la
ecuacin:
| | | | | |
Halle el valor de
a)24 b)35 c)39 d)40 e)44
SOLUCIN:
| | {
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Puntos crticos:
[ [ [
2 5 2
I) Si:
II) Si: [
III) Si: [
IV) Si: [
(
*
33) Determine la suma de las races de la
ecuacin:
| | | |
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
SOLUCIN:
| | | |
| |
| |
| |
34) Resuelva la siguiente ecuacin
| | | | ; e indique la
suma de los cuadrados de las races
de la ecuacin dada.
a)61 b)74 c)85 d)89 e)97
SOLUCIN:
| | | |
| |
| |
| |
35) Determine el conjunto solucin de la
ecuacin:
| | | | ||
a){ } b) { } c) { } d) [
e) [
SOLUCIN:
| | | |
[
36) Halle el conjunto solucin de la
ecuacin cuya variable es x
a){ } b) { } c) { }
d) { } e) { }
SOLUCIN:
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PRACTICA 10: RELACIONES Y
FUNCIONES
1) Sea la funcin afn:
tal que
Determine
a)-5 b)-1 c)0 d)5 e)10
SOLUCIN:
Como f es una funcin afn:
Luego:
Reemplazando:
2) Si f es una funcin definida por
cuyo dominio es
[ ] [ ] Halle el
a) b) { } c)
d) { } e) [ ] [ ]
SOLUCIN:
Tabulando:
x y
-4
-2
-1
1
15
3
0
0
x
15
3
(0;-1)
[ ] [ ]
3) Dadas las funciones:
Determine el
a)*
+ b) *
+ c) *
+ d)
e)*
SOLUCIN:
(
*
(
* (
*
(
*
(
*
(
*
]
(
* (
*
(
*
(
*
(
* [
*
+
4) Al determinar el dominio de la
funcin definida mediante la regla.
se obtiene ] { }.
Calcule el valor de
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
SOLUCIN:
] { } ] { }
5) Si es una funcin, cuya regla
de correspondencia es:
Entonces el
es:
a)[ ] b) [ ] c) [ ]
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d) [ ] e) [ ]
SOLUCIN:
-1 1
-+ +
[ ]
Luego:
Entonces:
[ ]
6) Se f una funcin definida por:
Halle el
a)[ ] b) [ ] c) [ ]
d) [ ] e) [ ]
SOLUCIN:
[ ] [ ]
-53
5
-2
[ ]
7) Determine el rango de la funcin:
[ ]
a)[ ] b)[ ] c)
d) [ ] e) [ ]
SOLUCIN:
x y
1
2
3
2
[ ]
8) Determinar el dominio de la funcin
de:
| |
a)[ ] b) c) ]
d) [ ] e) [ ]
SOLUCIN:
| | | |
| |
]
/.(-1)
/(+1)
[ ]
-1 1
-+ +0
[ ]
9) Determina el rango de la funcin:
a){ } b){ } c)
d) e)
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SOLUCIN:
{ }
10) Sea la funcin:
Entonces el es:
a) b) c){ } d) e)
SOLUCIN:
Reemplazando en la funcin:
{ }
{ }
11) Determine el valor de a en el
conjunto:
{
}
a)1/2 b)3/4 c)1 d)2 e)4
SOLUCIN:
Si f es inyectiva:
Por dato:
12) Sea la funcin:
*
determine el
valor de a.b; si f es suryectiva.
a)0 b)2 c)6 d)8 e)10
SOLUCIN:
[ [
Luego:
13) Si: [ ] f es
suryectiva, determine [ ] dar
como repuesta
a)2 b)4 c)6 d)8 e)10
SOLUCIN:
es suryectiva
[ ] [ ]
14) Si | | es una
funcin suryectiva, entonces el
conjunto B es:
a) [ b) [ c) [
d) e) [
SOLUCIN:
Como es suryectiva
Si:
Si:
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{ } [
15) Sean f y g dos funciones definidas
por:
{ }
{ }
Halle la suma de los elementos del
rango de
a)12 b)14 c)16 d)18 e)20
SOLUCIN:
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
Luego:
{ }
{ }
16) Sean las funciones:
{ }
Halle la suma de los elementos del
rango de la funcin
a)12 b)13 c)17 d)26 e)48
SOLUCIN:
{ }
[
{ }
{ }
{ }
{ }
17) Si f y g son dos funciones definidas
por:
[
]
[
]
Halle el
a)*
+ b) *
+ c) *
+ d) *
+e) [ ]
SOLUCIN:
[
]
[
]
[
] [
] [
]
18) Sean f y g dos funciones definidas
por:
{ }
{ }
Determine la verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes afirmaciones:
I) La funcin 5f tiene como dominio
al conjunto { }
II) La suma de los elementos del
rango de es 10
III) (
) { }
a)FFV b)FFF c)FVV d)VFF e)VVV
SOLUCIN:
I) { } es FALSA
{ }
{ }
II) [ ] es
VERDADERA
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{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
IV) (
) { } es VERDADERA
Si:
(
* { }
19) Sea la funcin definida por:
,
Si halle el
Rango de g.
a){ } b) { } c) { } d) { } e) { }
SOLUCIN:
,
{
{ }
{ }
20) Si f y g son dos funciones cuyas
graficas se muestran en la figura
adjunta:
4
-2 2
-1
x
2
-2 2
-2
x
y
g
Halle
a)12 b)13 c)14 d)15 e)16
SOLUCIN:
Para el 1er grafico:
Para el 2do grafico:
14
21) Dadas las funciones:
{ }
es una funcin identidad
Halle el mayor elemento del rango de la
funcin:
a)1/2 b)3/4 c)1 d)3/2 e)7/2
SOLUCIN:
{ }
(
* { }
{ (
*
}
{
}
22) Sean las funciones:
{ }
{ }
Determine la suma de los elementos
del rango de
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
f
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SOLUCIN:
{ }
{ }
De estos que pertenecen al dominio de f
son: 0 y 1.
{
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