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TEMA 7. VECTORES.GEOMETRA ANALTICA.
1.- Halla el vector b
tal que1
3
2
c a b
, siendo ( 1, 3)a
y (7, 2)c
.
Solucin:
Sea 1 2( , )b b b
. Entonces,
1 1
1 2
2 2
7 3 1 2 201(7, 2) 3( 1,3) ( , ) ( 20,22)
2 9 1 2 222
b bb b b
b b
2.- Expresa el vector (1,5)a
como combinacin lineal de los vectores (3, 2)b
y
14,
2c
.
Solucin:
Sean my ntales que a mb nc
. Por tanto,
1 3 41(1,5) (3, 2) 4,
5 2 1 22
m nm n
m n
. Resolviendo el sistema de ecua-
ciones, se obtiene la solucin41 34
,13 13
m n .
As, podemos decir que 41 3413 13
a b c
3.- Cules de los siguientes pares de vectores forman una base?
a) (3, 1), ( 3,1)u v
b)2
(2,6), , 23
u v
c) (5, 4), (5, 4)u v
Solucin:
a)
No forman una base porque v u
b)
No forman una base porque1
3v u
c)
S forman una base, porque no existe R tal que v u
.
4.- Sea u
un representante del vector libre AB
:
a)
Halla las coordenadas de u
, sabiendo que (5, 3)A y (3, 4)B .
b)
Halla las coordenadas del punto Bsabiendo que ( 3,1)A y (5,4)u
.c) Halla las coordenadas del punto Asabiendo que ( 1,7)B y (3,4)u
.
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Solucin:
a) Llamando (5, 3)a
y (3,4)b
a los vectores de posicin de los puntosAy
Btenemos que (3,4) (5, 3) ( 2,7)AB b a
.
b)
( 3,1) (5,4) (2,5)b a u
.
c) ( 1,7) (3,4) ( 4,3)a b u
.
5.- Dado el romboide de vrtices (1,1), (7,1), (5, 3) y ( 1, 3)A B C D , demuestra vecto-
rialmente que el cuadriltero que se obtiene al unir los puntos medios de cada lado
es un paralelogramo.
Solucin:
Sean M, N, Py Q los puntos medios de los ladosAB,BC, CDy DA. Las coordenadas de los puntos me-
dios son: (4,1), (6, 2), (2,3) y (0, 2)M N P Q . Se tiene
que MN QP
y MQ NP
. En efecto,
(6, 2) (4,1) (2,1); (2,3) (0, 2) (2,1)
(0, 2) (4,1) ( 4,1); (2,3) (6, 2) ( 4,1)
MN QP MN QP
MQ NP MQ NP
6.- Dados los puntos ( 3,5), (4,6), ( 1,9) y (8,6)A B C D :
a) Halla el mdulo, el argumento y las coordenadas de los vectores yAB CD
.
b) Calcula las coordenadas de dos vectores unitarios de la misma direccin y senti-
do que yAB CD
.
c) Calcula las coordenadas de un vector de mdulo 2 en la direccin de BC
y ensentido opuesto.
Solucin:
a)
2 2 1(4,6) ( 3,5) (7,1); 7 1 50 5 2; arg arctg 8 7 '48, 4 ''7
AB AB AB
2 2(8,6) ( 1,9) (9, 3) ; 9 ( 3) 90 3 10 ;CD CD
3arg arctg 34133'54, 2 ''9
CD
.
b) Basta multiplicar yAB CD
por el inverso de su mdulo:
7 1 7 2 2
, ,10 105 2 5 2
AB
AB
;
9 3 3 10 10
, ,10 103 10 3 10
CD
CD
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c) 2 2( 1,9) (4,6) ( 5,3); ( 5) 3 34BC BC
. Multiplicando BC
por
2
34
se obtiene un vector de mdulo 2 y sentido opuesto a BC
:
2 2 5 34 3 34( 5,3) ,
17 1734 34BC
.
7.- Dados los vectores de la figura:
a) Determina las coordenadas de yu v
respecto de la
base cannica.
b) Halla , ,u v u v
.
c) Halla u v
.
d)
Halla la proyeccin de u
sobre v
.e)
Calcula el ngulo que forman yu v
.
f) Encuentra un vector unitario en la direccin y el sentido del vector u
.
g) Halla un vector ortogonal a u
de mdulo 1.
Solucin:
a) (5,2) ; ( 3,3)u v
.
b)
2 2 2 2
2 2
5 2 29 ; ( 3) 3 18 3 2
(2,5); 2 5 29
u v
u v u v
c) (5, 2) ( 3,3) 15 6 9u v
d) Proyeccin de u
sobre9 3 3 2
23 2 2
u vv
v
e) 9 3 3 58cos ,5829 3 2 58
u vu v
u v
3 58, arccos 11311 54,9358
u v
f) Basta multiplicar el vector u
por el inverso de su mdulo:
5 2 5 29 2 29, ,
29 2929 29
uw
u
g) El vector ( 2,5)p
es ortogonal a u
, ya que 0p u
. Por tanto, el vector
2 29 5 29,
29 29
q
es unitario y ortogonal a u
.
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8.- Prueba, con ayuda del producto escalar, el teorema del coseno.
Solucin:
En el tringulo ABC de la figura construimos
los vectores ,a CB b AC y c BA
. De estaforma, a b c
. Multiplicando esta igualdad
escalarmente por s misma,
2 2 2
2a a b c b c a b c b c
Por tanto, 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cosa b c b c b c a b c bc
9.- Puede ser el mdulo del vector suma de dos vectores de mdulo 10 y 5, respec-
tivamente, mayor que 15? Y menor que 4?
Solucin:
Sean ya b
tales que 10 y 5a b
. Para hallar el mdulo del vector suma, se
aplica el teorema del seno del siguiente modo,
2 2 2| | | | | | 2 | || | cos( , ) 100 25 100cos( , )a b a b a b a b a b
. Como
1 cos( , ) 1a b
, se tiene que 225 | | 225a b
; luego 5 | | 15a b
. As pues,
es imposible que el mdulo del vector a b
sea mayor que 15 o menor que 4.
10.-Sean yu v
dos vectores tales que 2 2( ) 25 y ( ) 9
u v u v
. Calcula el pro-
ducto escalar u v
.
Solucin:
Se tiene que:
2 2 2
2 2 2
25 ( ) 2
9 ( ) 2
u v u v u v
u v u v u v
Restando ambas expresiones se obtiene que 16 4 u v
. Luego 4u v
.
11.-Dos vectores ya b
son tales que 10, 10 3 y 20a b a b
. Halla el n-
gulo que forman ya b
.
Solucin:
Aplicando el teorema del coseno, se tiene que
2 2 2
| | | | | | 2 | || | cos( , )a b a b a b a b
.Por tanto,
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2
2 220 10 10 3 2 10 10 3 cos( , ) 400 100 300 200 3 cos( , )a b a b
.
Luego
cos( , ) 0a b
y as,
( , ) 90a b
.Los vectores ya b
son ortogonales.
12.-Sean A,B, Cy Dcuatro puntos arbitrarios del plano. Demuestra que se verificasiempre:
0AB CD AC DB AD BC
Solucin:
Llamando [ ], [ ] y [ ]u AB v AC w AD
, se tiene que
[ ] , [ ] y [ ]CD w v DB u w BC v u
. Sustituyendo
estos valores en la expresin inicial:
( ) ( ) ( ) 0
AB CD AC DB AD BC
u w v v u w w v u u w u v v u v w w v w u
13.- Sea AB un segmento de longitud myMsu punto medio. Si Pes un punto cual-
quiera del plano y des su distancia aM, demuestra que se cumple:
2
2
2
mPA PB d
Solucin:
De la figura se deduce que PA PM MA
y PB PM MB
. As,
2
2
2 2
| | | | | | cos(180 )
| | | | cos | | | | cos180
cos cos2 2 2 2
PA PB PM PM PM MB PM MA MB MA
PM PM MB
PM MA MB MA
m m m md d d d
2
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14.- Demuestra vectorialmente que el ngulo inscrito en una semicircunferencia es
recto.
Solucin:
Sean yu OB v AO OC
. Entonces,
AB u v y BC v u
.
2 2 2 2( ) ( ) | | | | 0AB BC u v v u v u r r
.
Por lo tanto, los vectores AB y BC
son ortogonales.
15.- Demuestra vectorialmente que las tres alturas de un tringulo concurren en un
punto.
Solucin:
Sea Hel punto de interseccin de las alturas queparten de los vrtices A y B. Se tiene que
0 0HA BC y HB AC
. Se trata de probar que
0HC AB
.
( ) ( )HC AB HA AC AC CB
HA AC HA CB AC AC AC CB
( ) 0AC HA AC CB AC HB .
16.- Calcula la ecuacin vectorial y las ecuaciones paramtricas de cada una de las si-
guientes rectas:
a) La recta que pasa por el punto ( 3,1)P y lleva la direccin del vector
( 1, 2)u
.
b) La recta que pasa por los puntos (2, 3)A y (1,4)B .
c) La recta que tiene como vector director ( 3,3)u
y corta a la parte positiva del
eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.d) La recta que tiene como vector director (2, 5)u y corta a la parte negativa del
eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.e) La recta que tiene como vector director (3,7)u
y corta al eje de ordenadas en
un punto que dista 2 unidades negativas del origen de coordenadas.
Solucin:
a) Ecuacin vectorial: : ( , ) ( 3,1) ( 1, 2)r x y .
Ecuaciones paramtricas:3
:1 2
xr
y
b)
Tomamos como vector director de la recta el vector ( 1, 7)AB
.
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Ecuacin vectorial: : ( , ) (2, 3) ( 1,7)r x y .
Ecuaciones paramtricas:2
:3 7
xr
y
c) Ecuacin vectorial: : ( , ) (3, 0) ( 3, 3)r x y .
Ecuaciones paramtricas:3 3
:3
xr
y
d) Ecuacin vectorial: : ( , ) ( 2,0) (2, 5)r x y .
Ecuaciones paramtricas:2 2
:5
xr
y
e) Ecuacin vectorial: : ( , ) (0, 2) (3,7)r x y .
Ecuaciones paramtricas: 3:2 7
xry
17.- Calcula la ecuacin continua y la ecuacin general de cada una de las siguientes
rectas:
a)
Pasa por el punto ( 3, 4)A y tiene la direccin del vector (1, 2)u
.
b) Pasa por los puntos (2, 5)P y (5,1)Q .
c)
Pasa por el origen de coordenadas y por el punto ( 3, 4)B .d)
Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extre-
mos (1, 3)M y (5,2)N .
Solucin:
a) Ecuacin continua:3 4
1 2
x y
Ecuacin general: 2 10 0x y
b) Tomamos como vector director el vector1
(1,2)3
PQ
Ecuacin continua:2 5
1 2
x y
Ecuacin general: 2 9 0x y
c) Ecuacin continua:3 4
x y
Ecuacin general: 4 3 0x y
d) El punto medio del segmento MNes el punto1 5 2 3 1
, 3,2 2 2
P
.
Podemos tomar como vector director de la recta el vector 2 (6, 1)OP
.
Ecuacin continua:6 1
x y
Ecuacin general: 6 0x y
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71
18.- Halla las ecuaciones paramtricas de las rectas:
a) 2 3r y x c)1 3
1 02 4
t x y
b) 4 3 6 0s x y d) La recta que pasa por (0,0)O y tiene pendiente 2m
Solucin:
a) La recta pasa por el punto (0,3)P . Como (2,1)n
es un vector normal, un
vector director es (1, 2)u
. Las ecuaciones paramtricas de la recta son:
3 2
xr
y
b) La recta pasa por el punto (0,2)P . Como (4,3)n
es un vector normal, un
vector director es ( 3,4)u
. Las ecuaciones paramtricas de la recta son:
3
2 4
xr
y
c)
La recta pasa por el punto (2,0)P . Como1 3
,2 4
n
es un vector normal, un
vector director es ( 3,2)u
. Las ecuaciones paramtricas de la recta son:
2 3
2
xr
y
d) La recta es 2y x , que pasa por el punto (0,0)O . Como (2,1)n
es un vec-
tor normal, un vector director es (1, 2)u
. Las ecuaciones paramtricas de la
recta son:
2
xr
y
19.- Halla la ecuacin general y la ecuacin normal cannica de la recta que tiene a
(2,4)n como vector normal y pasa por el punto medio del segmento AB siendo(0, 2)A y ( 3,0)B .
Solucin:
El punto medio del segmento AB es3 0 2 0 3
, , 12 2 2
M M
. La ecua-
cin normal es3
2 4( 1) 02
x y
. La ecuacin general ser,
2 4 7 0x y
, y como 20 2 5n
, la ecuacin normal cannica es,
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2 4 7 1 2 70 0
2 5 2 5 2 5 5 5 2 5x y x
20.- Calcula la ecuacin vectorial, las ecuaciones paramtricas, la ecuacin general y la
ecuacin explcita de la recta ren los siguientes casos:
a)
Pasa por el punto ( 3,6)P y es paralela a la recta de ecuacin 2 3 5 0x y .b) Corta a los ejes coordenados en los puntos (0, 3)P y ( 1,0)Q .
Solucin:
a)
La direccin de la recta es la del vector (3,2)u
y pasa por el punto ( 3,6)P .
Por tanto:
Ecuacin vectorial: ( , ) ( 3, 6) (3, 2)x y
Ecuaciones paramtricas:3 3
6 2
x
y
Ecuacin general: 3 6 2 3 24 03 2
x y x y
Ecuacin explcita:2
83
y x
b) La direccin es la del vector ( 1, 3)PQ
.
Ecuacin vectorial: ( , ) (0, 3) ( 1,3)x y
Ecuaciones paramtricas:3 3
x
y
Ecuacin general:3
3 3 01 3
x yx y
Ecuacin explcita: 3 3y x
21.- Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
a)
31 2
: :1
12
tx
xr s
y ty
d)1 1 7
: 7 : 02 2 2
r x y s x y
b) : 3 2 7 : 2 3 8r x y s x y e) 1: : 4 8 02 2xr s x yy
c)2 1
: 2 5 0 : 5 03 3
r x y s x y f) : 2 3 :2
xr y x s y
Solucin:
a)
Los vectores directores de las rectas son1 1
(1, 1) ,2 2
r su u
. Como el
punto (3,1)P de sno pertenece a r, ya que3 1 2
1 1 0
, las rectas son
paralelas.
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b)3 2
2 3
las rectas son secantes. Se cortan en el punto (1, 2)P
.
c) sse puede escribir como 2 15 0x y y al ser2 1 5
2 1 15
las rectas
son paralelas.
d)
sse escribe como 7 0x y
, que es la misma expresin de r, por lo que las
rectas con coincidentes.
e) 4(1 ) 2 2 8 0 3 . Las rectas son secantes y se cortan en el pun-
to (4, 8)P
.
f) Las pendientes de las rectas son 2rm y1
2sm . Las rectas son secantes y se
cortan en el punto6 3
,5 5
P
.
22.- En cada caso, calcula el valor del parmetro kpara que las rectas tengan la posicin
relativa indicada:
a) : 1 0; : 4 3 0r x ky s kx y , paralelas.
b)
: 2 4 0; : 3 4 0r kx y k s x y , coincidentes.
c) : 2 5 1 0; :3 2 0r kx y s x ky , paralelas.
Solucin:
a) Ha de verificarse que 21 1
4 24 3
kk k
k
b)
Ha de verificarse que2 4 2
1 3 4 3
k kk
c)
Ha de verificarse que 22 5 1
2 153 2
kk
k
que no tiene solucin. Por
tanto, las rectas no pueden ser paralelas.
23.- Calcula la ecuacin del haz determinado por las rectas secantes : 2 3r y x y
: 3 5s y x y halla la recta de este haz que pasa por el punto ( 2,2)P .
Solucin:
La ecuacin del haz es 2 3 (3 5) 0x y x y . Si la recta pasa por
( 2, 2)P , se tiene que 4 2 3 ( 6 2 5) 0 . Luego 913
. Por tanto, la recta
buscada es
92 3 (3 5) 0 26 13 39 27 9 45 0 4 6 0
13x y x y x y x y x y
24.- Dado el tringulo de vrtices (1,3), ( 1,2) y (0, 3)A B C :
a) Calcula las coordenadas del baricentro.
b) Calcula las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro.
c) Calcula las ecuaciones de dos mediatrices y las coordenadas del circuncentro.
d)
Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo.
e) Calcula la ecuacin de la recta de Euler.
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Solucin:
a) El baricentro es1 1 0 3 2 3 2
, 0,3 3 3
G G
b)1 2 1 3
: :5 3 0 : : 5 14 01 5 5 1
BC BC A A
x y x yr r x y h h x y
1 3 1 2: : 6 3 0 : 6 11 0
1 6 6 1AC AC B B
x y x yr r x y h h x y
Resolviendo el sistema que forman las dos ecuaciones de las alturas:
5 14 0 29 25Ortocentro: ,
6 11 0 11 11
x yH
x y
c)
1 3: : 2 5 0
2 1AB ABx y
r r x y
Punto medio de AB :1 1 2 3 5
, 0,2 2 2
M M
5 2: : 4 2 5 01 2AB ABx ym m x y
1 3: : 6 3 0
1 6AC ACx y
r r x y
. El punto medio de AC es1
,02
N
. Por
tanto,1 2
: : 2 12 1 06 1AC AC
x ym m x y
. Resolviendo el sistema que forman
las ecuaciones de las dos mediatrices,
4 2 5 0 29 3Circuncentro: ,
2 12 1 0 22 22
x yC
x y
d) El radio de la circunferencia es2 2
29 3 5490( , ) 1 3 3,37
22 22 484d C A u
e) La recta de Euler es 53 87 58 0x y .
25.- Dado el cuadriltero de vrtices5
(1,1), (5,2), (3,3) y 1,2
A B C D
:
a) Demuestra que es un trapecio.
b)
Calcula el punto donde se cortan las diagonales.
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c) Comprueba que la recta que une los puntos medios de los dos lados no paraleloses paralela a las bases del trapecio.
Solucin:
a) Los ladosAByDCson paralelos porque
los vectores (4,1)AB
y 12,
2DC
son
proporcionales pues 2AB DC
.
b)
: 0 7 7,
: 8 21 0 3 3
AC
DB
r x yE
r x y
c)
Los puntos medios de los lados no paralelos
son1 1 1 5 2 7
, 1,2 2 4
E E
y
5 3 2 3 5, 4,
2 2 2F F
. La recta que
pasa por los puntos E y F es paralela a los lados AB y DC, ya que los vectores
(4,1)AB
,1
2,2
DC
y
33,
4EF
son proporcionales.
26.- Halla el punto de la recta : 2 1 0r x y que equidista de los puntos (2,2)A y
( 2, 4)B .
Solucin:
El punto buscado ser la interseccin de la recta rcon la mediatriz del segmento
AB . El punto medio del segmento AB es
2 2 2 4
, (0,3)2 2M M
.
La mediatriz del segmento AB es:3
2 3 01 2
x ym m x y . El punto
de interseccin es:2 1 0
( 1,1)2 3 0
x yP
x y
27.- Calcula el rea del tringulo de vrtices los puntos de corte de las rectas:
: 3 14r x y
: 3 5 14s x y
: 2 7t x y
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Solucin:
Los vrtices del tringulo son:
3 14(2,4)
3 5 14
x yA
x y
3 14
( 1, 5)2 7
x yB
x y
3 5 14
( 3,1)2 7
x yC
x y
.
La longitud de la base es: ( , ) 9 1 10d A B u
La longitud de la altura es:| 3 3 14 | 14 7 10
( , )510 10
d C AB u
.
El rea es: 2
1410
10 72
S u
28.- Los vrtices opuestos de un cuadrado son los puntos (0,3)A y (4,0)C . Cules son
las coordenadas de los otros dos vrtices? Cul es el rea del cuadrado?Solucin:
Una de las diagonales del cuadrado es la recta quepasa por los puntosAy C:
3: : 3 4 12 0
4 3AC ACx y
r r x y
. La dia-
gonal mide 2 2( , ) 4 3 25 5d A C u y su
punto medio es0 4 3 0 3
, 2,
2 2 2
M M
. SiD
es otro vrtice del cuadrado, el vector MD
es proporcional al vector (3,4)ACn
y su
mdulo vale5
2u . Entonces,
(3, 4) (3 ,4 )MD
y 2 25 1 3
(3 ) (4 ) 5 , 22 2 2
MD MD
.
Si ( , )D a b son las coordenadas del puntoD, entonces:
3 3 7 7, 2 2, ,
2 2 2 2a b D
. Por ltimo, si ( , )B a b son las coordenadas
del cuarto vrtice, comoMes el punto medio de BD :
3 7 2 7 2 1 1 1 12, , , ,
2 2 2 2 2 2 2
a ba b B
.
El lado del cuadrado mide:2 2
1 1 5 2( , ) 3
2 2 2l d A B u
. Y por tanto el
rea vale: 2 225
2S l u .
7/25/2019 Solucin Tema 7
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77
29.- En el paralelogramo de vrtices ABCD se conocen las coordenadas de los puntos(0,3)A , (1,0)B y (6,1)C . Calcula la medida de sus diagonales y el ngulo que
forman.
Solucin:
El punto medio de ACes (3,2)M . ComoM
es el punto medio de BD , si ( , )D a b son las
coordenadas del vrtice que falta, entonces:
1 0, (3, 2) (5, 4)
2 2
a bD
. Las medidas
de las diagonales son:
2 2( , ) 6 ( 2) 40 2 10d A C u y
2 2
( , ) 4 4 32 4 2d B D u
.El ngulo que forman las diagonales es:
| | | 24 8 |cos 0, 447 63 26
2 10 4 2| | | |
AC BD
AC BD
30.- Calcula las rectas que pasan por el punto (1,2)P y que determinan con los ejes
coordenados un tringulo de rea 4,5 unidades cuadradas.
Solucin:
Las rectas que pasan por el punto Pson de la forma
2 ( 1)y m x . Los puntos de corte de la recta con
los ejes coordenados son los puntos (0,2 )A m y
2,0
mB
m
. El rea del tringulo ser:
2 2
2(2 )
94 4 9 5 4 0
2 2
mm
mS m m m m m
Resolviendo la ecuacin de segundo grado obtenemoslos valores
1 2
4, 1m m
. Por lo tanto, las rectas
pedidas son: 4 6, 3r y x s y x .
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