7/29/2019 Solucin Leccin Primer Parcial II Trmino 2012
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ANLISIS NUMRICO AYUDANTE: JULIO RUANO LIMA
RESOLUCIN LECCIN PRIMER PARCIAL
Aproxime con una exactitud de 10-4
el valor de x en que la grafica de y=exproduce el punto ms
cercano a (2,0).
La grafica del problema planteado es la siguiente, donde el punto azul corresponde al punto dado como
dato y el verde al punto que queremos hallar.
Se conoce que la funcin distancia en el plano
est dada por:
Seanxo, yo elpunto dado como dato y sea x,y un
punto cualquiera de la curva dada. Se tiene:
La funcin ofrece un mnimo cuando su derivada
se iguala a cero, por lo que:
De aqu se obtiene que la funcin a la cual se
debe hallar sus races sea la siguiente:
Aproximando por mtodo de Newton, y escogiendo como punto de aproximacin inicial a x=0.3.
Se obtiene el algoritmo de Newton y las iteraciones:
n Xn Xn+1 tol
0 0.3 0.273705307 2.63E-02
1 0.273705307 0.273149828 5.55E-04
2 0.273149828 0.273149589 2.39E-07
Por lo tanto el valor dex para el cual la grafica se encuentra ms cercana a (2,0) es x=0.273149589.
Obtener una aproximacin a la solucin de x-p(x)=0
x p(x)
0.3 0.740818
0.4 0.670320
0.5 0.606531
0.6 0.548812
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Se construye el polinomio de Lagrange de grado 3 con los datos proporcionados para luego generar
iteraciones mediante algn mtodo escogido y hallar la solucin pedida.
Recordamos que el polinomio de Lagrange tendr la forma:
Resolviendo los productos entre losLf(x) para cadax se obtiene:
Debemos recordar que lo solicitado fue x=p(x), se puede resolver el problema mediante el mtodo de
Newton, para lo cual se usa el algoritmo aplicndolo aF(x)=p(x)-x=0:
Con una buena aproximacin inicial se concluye que el punto solicitado esx=0.565611.
*Grfica dep(x)-x.
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En el sistema de ecuaciones siguiente, los datos han sido redondeados como se indica. Calcule el
error absoluto y el error relativo de la solucin aproximada, adems de la cota del error:
El error absoluto est dado por:
El error relativo est dado por:
La cota del error necesita el nmero de condicin, que a su vez requiereA-1.
El numero de condicinK(A), est dado por el producto de las normas de A & A-1.
El vectorr=b-Ax, es el siguiente:
Con todos los valores conocidos, la cota del error relativo resulta:
Rubrica usada para calificacin:
1 Tema (4 puntos):
Grafica y funcin distancia 2 puntos
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Algoritmo 1 punto
Aproximacin 1 punto
2 Tema (4 puntos)
Expresar cada Li 1 punto
Hallar polinomio de Lagrange 1 punto
Expresar funcin a resolver y algoritmo 1 punto
Respuesta 1 punto
3 Tema (2 puntos)
Error absoluto 0.5 puntos
Error relativo 0.5 puntos
Cota del error 1 punto
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