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20
12
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má
tic
os
Fundamentos Matemáticos
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1
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Nombre: SOLUCIÓN Calificación
Grupo: 1PM1 Fecha:12-04-2012
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Instrucciones:
• La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas propuestos Uso de identidades fundamentales
Utilice identidades fundamentales para simplificar la expresión. Hay más de una forma correcta
para cada respuesta.
3
sec tanx x−
Solución
Utilizamos un conjugado en el denominador
( )
( )
( )
2 2
3 sec tan3 sec tan
sec tan sec tan sec tan3 sec tan
13 sec tan
x xx x
x x x x x xx x
x x
++• =− + −
+=
= +
Verifique la identidad
( )( )
csccot
sec
xx
x
−= −
−
Solución
Utilizamos la propiedades de propiedades de funciones pares e impares
csc( ) csc
sec( ) sec
x x
x x
− = −− =
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( )1/csc( )
sec( ) 1/ cos( )
cos( )
( )
cos
cot
sen xx
x x
x
sen x
x
senxx
−− =− −
−=−
=−
= −
Problema de Ley de Senos
Distancia. Un bote navega al este, paralelo a la línea costera, a una velocidad de 10 millas por
hora. En un instante dado, el rumbo hacia el faro es S70°E y 15 minutos después el rumbo es de
S63°E (vea la figura). El faro esta ubicado en la línea costera. ¿Cuál es la distancia desde el bote
hasta la línea costera?
70° 63°
d
N
S
E O
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Solución
En 15 minutos el barco ha viajado ( ) 1 1010
4 4d v t mph hr millas = • = =
( )
( )
180 20 (90 63 )
7
10 / 4
7 207.0161
277.
180 90 20 70
180 70 110
180 110 63 7
01613.2
y
sen seny
dsen
d millas
ó
θ
θ
θθ
θ= − ° + ° = °= − = °= ° − ° + ° = °
= ° − ° − ° + °= °
=° °
≈
° =
≈
Problema de Ley de Cosenos
Distancia. Dos barcos zarpan de puerto a las 9:00 a.m. Uno navega con rumbo de N53°O a 12
millas náuticas por hora y el otro navega con rumbo S67° O a 16 millas náuticas por hora.
Aproxime la distancia a la que se encuentran al mediodía.
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Solución
( )( )( )( )
1
2
12 / 3 36
16 / 3 48
d v t millas hr hr millas
d v t millas hr hr millas
= • = =
= • = =
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
180 53 67 60
2 cos
36 48 2 36 48 0.5
1872
43.3
C
c a b ab C
c millas
= ° − ° − ° = °= + −
= + −=
≈
Sistema de ecuaciones de 1 ó 2 Variables
Resuelva en forma grafica o algebraica los siguientes sistemas de ecuaciones
2 2
3 7 6 0
4
x y
x y
− + = − =
Solución
2 2
3 7 6 0 Ecuación 1
4 Ecuación 2
x y
x y
− + = − =
Despejando 3 6
Ecuación 37
xy
+=
Substituyendo en la ecuación 2 tenemos:
22 3 6
47
xx
+ − =
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Desarrollando la última ecuación
( )
22
2 2
2
9 36 364
49
49 9 36 36 196
40 36 232 0
294(10 29)( 2 0 , 2
10
x xx
x x x
x x
x x x
+ +− =
− + + =
− − =
− + = ⇒ = −
Sustituyendo en la ecuación 3 tenemos:
( )
( )
( )
3 29 /10 629 3 6 21;
10 7 7 103 2 63 6
2; 07 729 21
: , , 2,010 10
xx y
xx y
Soluciones
++= = = =
− ++= − = = =
−
Problemas de Sistemas de Ecuaciones
Análisis del punto de equilibrio. Una compañía de software invierte 16,000 dólares para producir
un paquete que se venderá por 55.95 dólares. Cada unidad puede producirse por 35.45 dólares.
a. ¿Cuántos paquetes debe vender para lograr el punto de equilibrio?
b. ¿Cuántos debe vender para una ganancia de 60,000 dólares?
Solución
35.45 16,000, 55.95
)
55.95 33.45 16,000
20.50 16,000
781
)
60,000 55.95 (35.45 16,000)
60,000 20.50 16,000
76,000 20.50
3708
C x R x
a
R C
x x
x
x unidades
b
P R C
x x
x
x
x unidades
= + =
== +=
≈
= −= − += −=
≈
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Sistemas de ecuaciones con tres variables
Resuelva el sistema de ecuaciones por Gauss Jordan y verifique cualquier solución
3 5 5 1
5 2 3 0
7 3 0
x y z
x y z
x y z
− + = − + = − + =
Solución
3 5 5 1
5 2 3 0
7 3 0
6 10 10 2
5 2 3 0 2 .1
7 3 0
8 7 2
0 38 32 10 -5 .1 .2, 7 .1 .3
0 55 46 14
8 7 2
0 2090 1760 550 55
0 2090 1748 532
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z Eq
x y z
x y z
x y z Eq Eq Eq Eq
x y z
x y z
x y z E
x y z
− + = − + = − + =
− + = − + = − + =
− + = + − = − + − + + − = −
− + = + − = − − + =
.2, 38 .3
8 7 2
0 2090 1760 550 .2 .3
0 0 12 18
312 18
23
38 32 10 12
3 18(1) 7 2
2 2
1 3: , 1,
2 2
q Eq
x y z
x y z Eq Eq
x y z
z z
y y
x x
Solución
−
− + = + − = − + + − = −
− = − ⇒ =
− = − ⇒ =
− + = ⇒ = −
− −
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Problemas de sistemas de ecuaciones de tres ó más variables
Mezcla Acida. Un químico necesita 10 litros de una solución acida al 25%, misma que se mezclara
a partir de tres soluciones que sus concentraciones son 10%, 20% y 50%. ¿Cuántos litros de cada
solución satisfacen la condición?
a. Utilice 2 litros de la solución al 50%
b. Utilice la menor cantidad posible de la solución al 50%
c. Utilice la mayor cantidad posible de la solución al 50%
Solución
a) Se usan dos litros de solución al 50%: Por lo tanto hacemos x = concentración de
solución al 10%, y = concentración de solución al 20%:
8 8 Ecuación 1
(0.10) (0.20) 2(0.50) 10(0.25) Ecuación 2
Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2
0.10 0.20(8 ) 1 2.5
0.10 1.6 0.20 1 2.5
0.10 0.1
x y y x
x y
x x
x x
x
+ = ⇒ = −+ + =
+ − + =+ − + =
− =
Por lo tanto tendremos que:
x = 1 Litro al 10%de solución
y = 7 Litros al 20% de solución
Nos dan 2 litros de solución al 50% lo cual no es posible
b) Para usar la menor cantidad de solución al 50%, el químico no debe utilizar la
concentración al 10%
Hacemos:
x = Concentración al 20%
y = Concentración al 50%
10 10 Ecuación 1
(0.20) (0.50) 10(0.25) Ecuación 2
Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2
(0.20) (10 )(0.50) 10(0.25)
(0.20) 5 0.50 0.25
0.30 2.5
x y y x
x y
x x
x x
x
+ = ⇒ = −+ =
+ − =+ − =
− = −
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Tenemos que:
18
3x = Litros al 20% de solución
21
3y = Litro al 50% de solución
c) Para usar la mayor cantidad posible de solución al 50%, el químico no deberá usar la
concentración al 20%
Por lo tanto tendremos:
x = Concentración al 10%
y = Concentración al 50%
( )10 10 Ecuación 1
0.10 (0.50) 10(0.25) Ecuación 2
Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2
0.10 0.50(10 ) 2.5
0.10 5 0.50 2.5
0.40 2.5
x y y x
x y
x x
x x
x
+ = ⇒ = −+ =
+ − =+ − =
− = −
Tenemos que:
16
4x = Litros al 10% de solución
33
4y = Litro al 50% de solución