Solución de Ecuaciones No Lineales
METODOS COMPUTACIONALES
Prof. Oscar Tinoco G.
Introducción• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es
determinar valores de x que cumplan con la condición f (x) = 0. A estos valores les denominamos raíces o ceros de la ecuación.
• Para polinomios de primer a tercer orden existen fórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la situación se complica.
• En muchos casos no se puede resolver la ecuación de forma analítica, salvo por aproximaciones sucesivas.
0573),(
010),(2
2
xyyyxv
xyxyxu
La solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que hacen a las funciones u y v iguales a cero.
METODOS GRÁFICOS
• Son útiles porque proporcionan un valor inicial a ser usado por otros métodos.
Ejemplo: Localice gráficamente las raíces de f (x) = 0, siendo:
Los métodos gráficos consisten en graficar la función f(x) y observar donde la función cruza el eje x.
Solución• En primer lugar, se debe reescribir la ecuación
f (x) = 0 . . . (1)
• a una forma equivalente
f1(x) = f2(x) . . . (2)
• Siendo f1 y f2 funciones cuyas gráficas sean más simple que la de f . Asimismo las raíces de (1) serán soluciones de (2), ie, los puntos de intersección de f1 y f2.
El razonamiento
• De la ecuación, entonces f (x) = 0 |x| =
• Haciendo: f1(x) = |x|, f2(x) =
• Luego, graficamos las funciones f1 y f2.
• Del gráfico verificamos que el punto( único) de intersección, x, se sitúa en el intervalo 1, 0.
La gráfica
Existencia de raíces
• Teorema (Bolzano)
• Sea f : [a, b] R una función continua en [a, b] tal que f (a) * f (b) < 0. Entonces existe c a, b tal que f (c) = 0.
• M
El teorema en gráfica
Ejemplo 1 040138.667 146843.0 xe
xxf
x f(x)4 34.114889388 17.65345264
12 6.06694996316 -2.26875420820 -8.400624408
Encontrar la raíz de:
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25
Ejemplo 2
x f(x)0.00 1.000.25 1.330.50 -0.890.75 0.311.00 -1.531.25 -0.891.50 0.441.75 -0.462.00 1.872.25 0.412.50 0.212.75 0.313.00 -1.903.25 -0.063.50 -0.903.75 0.054.00 1.594.25 -0.014.50 1.454.75 -0.485.00 -1.02
-2.50
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
Ejemplo 2 (cont.)
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
4.18 4.20 4.22 4.24 4.26 4.28 4.30 4.32
Grafica de: f(x) = sen 10x + cos 3x
x f(x)4.20 0.084.21 0.054.22 0.024.23 0.004.24 -0.014.25 -0.014.26 -0.014.27 0.014.28 0.044.29 0.074.30 0.11
Tarea
Utilice Excel y/o Matlab para resolver los siguientes problemas.
a) Determine las raíces reales de: f(x) = –0.5x2 + 2.5x + 4.5
Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática.
b) Determine las raíces reales de: f(x) = 5x3 – 5x2 + 6x – 2
Gráficamente.
Métodos para Solución
• Método de Bisección• Método de Falsa Posición• Método de la Secante• Método de Newton - Raphson• Iteración del Punto Fijo
Método de la Bisección Requisitos:
• f (x) es continua en el intervalo [a, b] , f (a) y f (b) deben tener signo opuesto.
• Definición (Método de la Bisección)
• Dado un intervalo [a, b] que contiene un cero de f (x) , en cada iteración, el método de la Bisección reduce el intervalo que contiene al cero a un 50%.
• Los requisitos garantizan la existencia de al menos una raíz r en [a, b] tal que f (r) = 0 y el método de Bisección converge
Método de la Bisección
Se trata de encontrar los ceros de
f(x) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.
y = f(x)
x
y
a
b
f(b)
f(a)
Método de la bisección
De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p [a,b] tal que f(p) = 0.
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.
El proceso se repite hasta la lograr la precisión deseada.
Gráficamente
Ejemplo• Encontrar la raíz de la función f (x) = x3 − 3x + 1 en el
intervalo [0, 1].
Solución:
• f (x) es continua.
• f (0) = 1, f (1) = −1 f (a) * f (b) < 0.
• Podemos usar el método de Bisección para encontrar la raíz.
Iterando
Algoritmo
Gráficamente
Analíticamente
Cuantas Iteraciones hacer
• Teorema (Teorema de la Bisección)
• Si f es continua en [a, b], y existe s, una única raíz de f (x) = 0. Si f (a) *f (b) <0 entonces:
• y la sucesión {xk} converge a la raíz s.
a b x f(x) (b-a)/20 0 1 0.5 -0.375 0.51 0 0.5 0.25 0.265625 0.252 0.25 0.5 0.375 -0.07226563 0.1253 0.25 0.375 0.3125 0.09301758 0.06254 0.3125 0.375 0.34375 0.0093689 0.031255 0.3475 0.375 0.36125 -0.03660631 0.013756 0.36125 0.375 0.368125 -0.05448817 0.0068757 0.368125 0.375 0.3715625 -0.06339007 0.00343758 0.3715625 0.375 0.37328125 -0.06783115 0.001718759 0.37328125 0.375 0.37414063 -0.07004922 0.000859375
Encontrar la raíz de la función f (x) = x3 − 3x + 1 en el intervalo [0, 1].
Nota
• Podemos determinar a priori el número de iteraciones ”n” a efectuar, para garantizar una aproximación de la raíz con un error absoluto máximo de . Se exigirá que:
Ejemplo
• Usar el método de la bisección para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo [1, 2] con una precisión de 3 c.d.e
Solución• a = 1; b = 2
• f (x1) = −0,1823 <0; f (1) >0; f (2) <0
• De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,1.5]
• a=1; b=1.5
• La nueva aproximación es
Acotando el número de iteraciones
• Con una precisión de 3 cifras decimales exactas:
• Se requiere como mínimo: 11 iteraciones:
Finalmente
Ventajas• Simple y fácil de implementar.
• Se evalúa solo una función por iteración.
• El tamaño del intervalo que contiene el cero es reducido al 50% después de cada iteración.
• El número de iteraciones pueden ser determinado a priori.
• No se necesita la derivada.
• La función no tiene que ser diferenciable.
Desventajas
• Lenta.
• Aproximaciones intermedias buenas podrían ser descartadas.
Ejemplo: Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones f(x) = 4 + cos(x+1), g(x) = ex sen(x)
Ejemplo: Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones f(x) = 4 + cos(x+1), g(x) = ex sen(x)
Volumen del abrevadero
h
r
L
rh
ab
rhsenb
a2sectorarea r
rhsen 1
22ba
rhsenrr /
2sectorarea 122 a
2212 /2
triangularareasectorareaA hrhrhsenr
22
2alturabase2triangulararea hrh
2212 /
2hrhrhsenrLLAV
TareaUn abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es
V = L [ 0.5 r2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]
Escriba un programa en MatLab que lea los datos de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar la solución.
h
r
L
Introducción al Método de la Falsa Posición
• ¿Cuál es la recta que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b))?
• ¿Cuál es la intersección de la con el eje X?
Método de la Falsa Posición1. Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signo distinto de f(b).
2. Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partes proporcionales a f(a) y f(b).
3. La intersección de esta recta con el eje X es una aproximación a la raíz.
4. Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que la función cambie de signo.
5. Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisión deseada.
Gráficamente
Ejemplo
• Usar el método de la falsa posición para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo [1, 2].
Solución
• a = 1; b = 2
• F(x1) = - 0.087384509 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0
• El nuevo intervalo: [1, 1.397410482]
• La nueva aproximación es: 1.32 1130513
Ejemplo en Excel
xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr)12.0000000 16.0000000 14.9113077 6.0669500 -2.2687542 -0.254277512.0000000 14.9113077 14.7941976 6.0669500 -0.2542775 -0.027257212.0000000 14.7941976 14.7817001 6.0669500 -0.0272572 -0.002907612.0000000 14.7817001 14.7803676 6.0669500 -0.0029076 -0.000310012.0000000 14.7803676 14.7802255 6.0669500 -0.0003100 -0.0000330
040138.667 146843.0 xex
xfEncontrar la raíz de:
Método de la Secante
• Dada una función f (x) continua en el intervalo [a, b] donde existe una única raíz, es posible determinar una aproximación de la raíz a partir de la intersección de la secante de la curva en dos puntos x0 y x1 con el eje X.
MÉTODO DE LAS SECANTES
• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalúan los valores de la función:
f(x0) = f(x1)
• Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.• El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
Algoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1
2) Se calcula f(xi) y f(xi-1)3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de la
secante4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una nueva
raíz
Gráficamente
• Este método requiere 2 valores iniciales de x. • Sin embargo no se necesita que f(x) cambie de signo, por lo
que no es un método cerrado.
Ejemplo 1
Resolver: xlog(x) – 10 = 0, mediante el método de la secante
x y1 -102 -9.397943 -8.5686364 -7.591765 -6.505156 -5.3310927 -4.0843148 -2.775289 -1.411817
10 0
0 2 4 6 8 10 12
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
y
y
Gráficamente
Ejemplo 1
Resolver: xlog(x) – 10 = 0Para el método de la secante, se necesitan dos valores iniciales, pero a diferencia del método de bisección estos puntos no tienen que estar alrededor de la raíz, sino que tienen que estar próximos.Se toma entonces Xo=8, X1=9
𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0
𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )
Ejemplo 1
Resolver: xlog(x) – 10 = 0𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0
𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )
Ejemplo del Método de Secante• Problema 6.5 (Chapra, Canale):Determine la menor raíz real de:
a) Gráficamenteb) Usando el método de la secante para un valor de Es
con tres cifras significativas
32 5.2172211)( xxxxf
Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf
x y-1 30.5
-0.5 4.560 -111 -18.52 -73 8.54 135 -8.5
a) Gráficamente
4.0x
Resolución Problema 6.532 5.2172211)( xxxxf
b) Por el método de la secante (Es<0.05%)
Iteración xi-1 xi xi+1 Es(%)1 -1 0 -0.2651 -2 0 -0.2651 -0.4123 35.73 -0.2651 -0.4123 -0.3793 8.74 -0.4123 -0.3793 -0.3813 0.525 -0.3793 -0.3813 -0.3813 0.004
𝐎𝐉𝐎 :𝑥2=𝑥1− 𝑓 (𝑥1 )( 𝑥1−𝑥0
𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥0 ) )
Ejercicio
• Usar el método de la secante para aproximar la raíz de:
• comenzando con x0 = 0 , x1 = 1.
Solución• Tenemos que f (x0) = 1 y f (x1) = −0,6321
• Sustituimos en la fórmula de la secante para calcular la aproximación x2:
…………….. completar
PROPUESTOS
Consideraremos las siguientes ecuaciones f(x) = 0 y valores iniciales.1. f(x) = x 2 − 4, x0 = 3 (y x1 = 3.01 para secante)2. f(x) = tan(x − 2), x0 = 3 (y x1 = 3.01 para secante)3. f(x) = x − sen(x) − 5 = 0, x0 = 6 (y x1 = 6.01 para secante)4. f(x) = x − sen(x) − 5 = 0, x0 = 4 (y x1 = 4.01 para secante)
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