Solución de la interacción ión-láser en varios regímenes
Hector Moya-Cessa
Instituto Nacional de Astrofísica, Optica y ElectrónicaTonantzintla, Pue.
http://speckle.inaoep.mx/ICSSUR/hector_moya.htm
Resumen
• Atrapamiento de iones• Interacción ión-láser (intensidad baja, sin
dependencia en t)• Solución para diferentes intensidades.• Invariantes para el problema dependiente de t,
generalización de una transformación• A futuro: 2 modos, muchos iones• Conclusiones
http://tf.nist.gov/ion/
Solución del problema independiente de t,para baja intensidad
Energía energía interacción dipolarvibracional del ión
Consideramos una onda plana
Parámetro de Lamb-Dicke
2
2x
Operador de desplazamiento de Glauber Baker-Hausdorff
Hamiltoniano de interacción
ˆ ˆ
ˆ ˆ/ / 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ/ / 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
n n
n n
ix ix
ix n ix n n
ip ip
ip n ip n n
e pe p
e pe p x
e xe x
e xe x p
Efectos de operadores de desplazamientoEn funciones de posición y momento
<<
Aproximaciónde onda rotante(RWA)
xsF ~);(
D. LEIBFRIED, D. M. MEEKHOF, B.E. KING, C. MONROE, W.M. ITANO AND D.J. WINELAND
0
( ) ( 1) , | | ,n
n
W n n
Solución para diferentes intensidades
22 11
21
12
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 0
z A A
A
A
Matrices de pauli
Podemos considerar ahora intensidad baja<<, o alta >> y obtener hamiltonianos efectivos (via pequeñas rotaciones), L.M. Arévalo-Aguilar and H. Moya-Cessa, Phys. Rev. A65, 053413 (2002). Generalized Qubits of the Vibrational Motion of a Trapped Ion
^ ^†
1 ( )1
a aU e ^^†
2 ( )2
a aU e
1 2(2 )
2 2(2 )
^ ^ ^
( 1/ 2)2 x z zH n n
O el caso intermedio ~,<<1, =0
^ ^
( )2z
iH n a a
Conocido como modelo de Jaynes-Cummingsen la interacción átomo con campo cuantizado
Más soluciones para parámetros arbitrarios:podemos encontrar algunos eigenestadosdel hamiltoniano H. Moya-Cessa, D. Jonathan and P.L. Knight
J. OF MODERN OPTICS 50, 265 (2003). A family of exact eigenstates for a single trapped ion interacting with a laser field
^ ^2 2^
2 21( )2 2 2 z
p qH t E E
Se puede usar teoría de Floquet. En P.J. Bardroff, C. Leichtle, G. Schrade, and W.P. SchleichPhys. Rev. Lett. 77, 2198 (1996) demuestran que se puede obtenertodavía interacciones k-fonones
2 ( ) 2 cos( )rft a q t Micro-movimiento
Frecuencia dependiente de t
Veamos ahora el problema con INVARIANTES de movimiento
2
21( ) ,
2
qI q q
2 ( ) 0q t q
2 3( ) 1/t
2
2[ ( )] 0
dE V x
dx
2
21( ) ,
2
d dI
dx dx
23
2[ ( )] 1/
dE V x
dx
Oscilador armónico dependiente de t, clásico
Invariante de Ermakov-Lewis
Ecuación de Ermakov
Lewis, PRL (1967).
2^^ ^ ^
21( )
2
qI p q
^ ^2 2^
2 ( )2 2
p qH t
Compresión y desplazamiento
^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( )
22i qi q p pq
S e D e
Caso cuántico
||i H
t
^ ^ ^
| | |S D T
2 2^ ^^
0 0 2
^ ^
| 1 1| , ( ) ( )
( ) 2 2
2
p qi H H t n
t t
q i pa
Se ha factorizado la dependencia temporal
H. Moya-Cessa and M. Fernández Guasti PHYSICS LETTERS A 311, 1 (2003). Coherent states for the time dependent harmonic oscillator: the step function
cos[ ( , ) ]A B
A B tA B A B
^^ ^ ^ ^ 2ln^ ^( )
22i qi q p pq
S e D e
^^ ^ ^†T qT q
^ ^( ) ( )( )
2i a a i a a
T zH t n g e e
2( )t
^ ^
^ ^2 2^
2 21( )2 2 2
L Lik q i t ik q i tz
p qH t e e
†
†
2 21
2
2 2
i iD D
Ri i
D D
^ ^* †( ) ( )( )
2R zH t n a a
2 3( ) 1/t
2 ( ) 0t
1( )2
i
2
dti
e
2
21
dt
( )* 1( )
i t dte i
J.M. Vargas-Martínez and H. Moya-CessaJ. of Optics B6, S618-S620 (2004). Solution of a trapped ion with time dependent frequency
Futuro también: considerar N iones: ¿Es posibletransformar el Hamiltoniano independiente de t?¿Y el dependiente de t?
Conclusiones
• Se ha mostrado una transformación que permite obtener un hamiltoniano lineal en operadores de creación y aniquilación para la interacción ión-láser.
• Se ha generalizado para el caso dependiente de t, mediante métodos que involucran invariantes del oscilador armónico dependiente de t.