1
SISTEMAS ELECTRÓNICOS Grados en Ingeniería de Sistemas de
Comunicaciones, Sistemas Audiovisuales, Telemática y Tecnologías de Telecomunicación
Ejercicios propuestos Tema 4: “Osciladores Sinusoidales”
2
EJERCICIO 1 El circuito de la figura representa un oscilador sinusoidal:
Datos : Amplificadores operacionales ideales R = 100kΩ R2 = 270kΩ C = 1.2nF SE PIDE:
a) Indique de qué tipo de oscilador se trata e identifique las redes Aosc y βosc del mismo.
b) Obtenga el circuito equivalente genérico (resistencia de entrada, ganancia de tensión y resistencia de salida) en pequeña señal a frecuencias medias de la red Aosc.
c) Obtenga la expresión de la ganancia de lazo (Aosc·βosc(jω)) del oscilador, justificando las aproximaciones que realice en los cálculos.
d) Deduzca la frecuencia de oscilación, fosc. e) Deduzca las condiciones de arranque y mantenimiento. ¿Arrancaría el
oscilador con los valores de los componentes dados? Razone su respuesta. f) En caso de que el sistema no arranque para los valores de los componentes
dados, ¿qué componente del circuito modificaría y que valor le daría para que el oscilador arranque? Razone su respuesta.
SOLUCIÓN
a) Indique de qué tipo de oscilador se trata e iden tifique las redes A osc y ββββosc del mismo.
Se trata de un oscilador sinusoidal RC en puente de Wien.
R
+
-
R2
R
+
-
R
R
C
C
R
+
-
+
-
R2
R
+
-
R
R
+
-
+
-
R
R
C
C
3
b) Obtenga el circuito equivalente genérico (resist encia de entrada, ganancia de tensión y resistencia de salida) en pequeña seña l a frecuencias medias de la red A osc .
Analizando primero la red Aosc (amplificador), para obtener su circuito equivalente a frecuencias medias (ganancia a frecuencias medias, Av, resistencia de entrada, RiA y resistencia de salida RoA se tiene, teniendo en cuenta que los amplificadores operacionales son ideales:
V
V
R
R
R
R
R
R
V
VAv
oA
iA 7.2· 22 ==
−
−==
0
100
=Ω==
oA
iA
R
kRR
c) Obtenga la expresión de la ganancia de lazo (A osc ·ββββosc (jωωωω)) del oscilador,
justificando las aproximaciones que realice en los cálculos. Abriendo el lazo, para calcular ( )jwA oscosc β· para aplicar el criterio de Barkhausen, se
tiene:
Analizando el circuito:
( ) ( ) RCjCR
RCjAvAv
RCj
RR
Cj
RCj
R
AvRZRZ
RZ
V
V
V
V
V
VjA
CC
C
iA
oA
i
o
iA
ooscosc ωω
ω
ωω
ωωββ
ββ
31
.·
1
11
·||
||··
222 +−=
+++
+=++
===
d) Deduzca la frecuencia de oscilación, f osc .
R
+
-
R2
R
+
-
R
R
C
C
Aosc
ββββoscR
+
-
R2
R
+
-
R
R
C
C
R
+
-
+
-
R2
R
+
-
R
R
+
-
+
-
R
R
C
C
Aosc
ββββosc
+
-
R2
R
+
-
R
RViA
VoA
RiA
RoA
+
-
+
-
R2
R
+
-
R
R
+
-
+
-
R
RViA
VoA
RiA
RoA
RC
C
+
Av.ViARiAViA
+
-
RiA=RV
oA=Viβ
+
-
Voβ
+
-
RC
C
+
Av.ViARiAViA
+
-
RiA=RV
oA=Viβ
+
-
Voβ
+
-
4
Aplicando el criterio de Barkhausen, para la fase, obtenemos la frecuencia de oscilación:
( ) ( )( ) kHz3.1RC2
1f
RC
10CR10j·AImk20j·A oscosc
222oscoscoscoscosc ≅=⇒=⇒=−⇒=⇒+=∠
πωωωβπωβ
e) Deduzca las condiciones de arranque y mantenimie nto. ¿Arrancaría el oscilador con los valores de los componentes dados? . Razone su respuesta
Condición de mantenimiento: ( ) 313
1· =⇒=⇒= AvAv
jA oscωβ
Condición de arranque: ( ) 3313
1· 2 >⇒>⇒>⇒>R
RAv
AvjA oscωβ
Con los valores de los componentes dados: 37.22 <=R
R por lo que el oscilador no
arrancaría.
f) En caso de que el sistema no arranque para los v alores de los componentes dados, ¿qué componente del circuito mod ificaría y que valor le daría para que el oscilador arranque?. Raz one su respuesta.
Para que el oscilador arranque hay que aumentar la ganancia a frecuencias medias del amplificador, sin modificar el resto de componentes del circuito, por lo que hay que aumentar R2. Cambiando R2, por ejemplo, por una resistencia de 310kΩ.
5
EJERCICIO 2 La figura representa el esquema de un oscilador sinusoidal,
DATOS: Q1: VBEactiva =0.6V VCEsat=0.2V ββββ=160 VT=25mV ro→→→→∞∞∞∞ Cµµµµ = 0 Cππππ = 0
SE PIDE:
a) Indique de qué tipo de oscilador se trata e identifique las redes A* y β* del mismo.
b) Obtenga el punto de funcionamiento en continua de Q1. c) Obtenga el circuito equivalente genérico (resistencia de entrada, ganancia de
tensión y resistencia de salida) en pequeña señal a frecuencias medias de la red A*. (Si no ha resuelto el apartado anterior considere ICQ1=1mA)
d) Obtenga la expresión de la ganancia de lazo (A*·β*(jω)) del oscilador, justificando las aproximaciones que realice en los cálculos.
e) Deduzca el valor de la pulsación angular de oscilación (ωosc) del circuito. f) ¿Arrancaría el oscilador con los valores de los componentes dados en la figura
3? Justifique su respuesta. SOLUCIÓN:
a) Indique de que tipo de oscilador se trata e iden tifique las redes A* y ββββ* del mismo.
Se trata de un oscilador LC de tipo Colpitts. La red A* la forman Q1, R1, R2, RE, RC y CE y la red β* la forman C1, L2, C3 y CC.
b) Obtenga el punto de funcionamiento en continua d e Q1. El circuito equivalente del amplificador en continua es:
R1=20k
R2=20k
RC=3k
RE=5.4k
Q1
+12V
+12V
C3=100n
C1=100n
L2=2m
CE→∞
CC→∞
R1=20k
R2=20k
RC=3k
RE=5.4k
Q1
+12V
+12V
C3=100n
C1=100n
L2=2m
CE→∞
CC→∞
6
Resolviendo el circuito, despreciando la corriente de base y suponiendo que Q1 está en activa se tiene:
2,1221
25.614.56·12
RRC
BE
EECBEactivaBEB IA
IImA
R
VIIVVVVVR
RR
VV <<==⇒==≅⇒=−=⇒=
+= µ
β y 16.3··12 QVVIRIRVV CEsatCCEECE ⇒>=−−= está en ACTIVA.
c) Obtenga el circuito equivalente genérico (resist encia de entrada, ganancia de tensión y resistencia de salida) en pequeña seña l a frecuencias medias de la red A*. (Si no ha resuelto el apartado anteri or considere I CQ1=1mA)
El circuito equivalente del amplificador en pequeña señal a frecuencias medias es:
donde V
mA
V
Igk
I
Vr
T
Cm
B
T 404 ==Ω==π
Analizando el circuito se tiene:
a. Ganancia del amplificador a frecuencias medias:V
VRgA CmV 120−=−=
b. Resistencia de entrada del amplificador a frecuencias medias:Ω≅= krRRRiA 9.2|||| 21 π
c. Resistencia de salida del amplificador a frecuencias medias:Ω== kRR CoA 3
d) Obtenga la expresión de la ganancia de lazo (A*· ββββ*(jωωωω)) del oscilador, justificando las aproximaciones que realice en los cálculos.
R1=20k
R2=20k
RC=3k
RE=5.4k
Q1
+12V
+12V
R1=20k
R2=20k
RC=3k
RE=5.4k
Q1
+12V
+12V
RCR1||R2 rπ
gm·vπvπ
+
-
+
-
voA
+
-
viA
RiARoA
RCR1||R2 rπ
gm·vπvπ
+
-
+
-
voA
+
-
viA
RiARoA
7
Dibujando el circuito equivalente en pequeña señal a frecuencias medias del oscilador, abriendo el lazo en el punto que conecta la salida de la red β* con la entrada de la red A*, se tiene:
Analizando el circuito, suponiendo que iAoscC RZ <<
ω3 (suposición que se comprobará
posteriormente) se tiene:
( ) ( )3C2L1C3C2L1CoA
3C1C
XXXXXXjR
XXAv)jw(**·A
+•−++••=β
e) Deduzca el valor de la pulsación angular de osci lación ( ωωωωosc ) del circuito. A la frecuencia de oscilación
0XXX0)j(**·AIm(0)j(**·A 3C2L1Coscosc =++⇒=⇒=∠ ωβωβ Por lo que nos queda:
s
krad
CC
CCL
CL
C oscosc
oscosc
100·
·
10
11
31
312
32
1
≅
+
=⇒=−+− ωω
ωω
Se comprueba ahora la suposición inicial realizada en el análisis:
Ω=<<Ω= kRZ iAoscC 9.21003 ω
f) ¿Arrancaría el oscilador con los valores de los componentes dados en la figura 3? Justifique su respuesta.
La condición de arranque del oscilador 1)(**· >oscjA ωβ queda en este caso
1
3
C
CAV > que si se cumple, por lo que el oscilador si arrancaría con los valores de los
componentes dados.
C3C1
L2
RiA
RoA
ViA AvViA
+
-
+
+
-
VoA=Viβ
Ziβ
RiA
+
-
VoβC3C1
L2
RiA
RoA
ViA AvViA
+
-
+
+
-
VoA=Viβ
Ziβ
RiA
+
-
Voβ
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EJERCICIO 3 El circuito de la figura es un oscilador que utiliza un cristal de cuarzo de 5 MHz:
Datos: Amplificador operacional ideal, R1 = 10kΩ, R2 = 20kΩ, RP = 100kΩ, R3 = 100 Ω, C1 = 100pF, C2 = 22pF SE PIDE:
a) Deduzca las expresiones de la frecuencia de oscilación y de las condiciones de arranque y mantenimiento del oscilador. Justifique todas las aproximaciones que realice en los cálculos.
b) ¿Cual será la frecuencia de oscilación?. c) Determine el rango de valores de la posición del cursor (α) del potenciómetro
RP para los que el oscilador arrancaría. SOLUCIÓN EJERCICIO 5:
a) Deduzca las expresiones de la frecuencia de osci lación y de las condiciones de arranque y mantenimiento del oscilad or. Justifique todas las aproximaciones que realice en los cálculos.
Abriendo el lazo de realimentación se tiene el siguiente circuito:
El circuito oscilará a la frecuencia de resonancia del cristal de cuarzo (5MHz), por lo que:
)3.318()10(511 Ω>>ΩMHzCZkR
Analizando el circuito, por tanto, se tiene que la ganancia de lazo es:
( ) ( )12123
12·)(CSCCCS
CCv ZZZZZZR
ZZAjT
+•+++••
=ω
+
-
R1R2
R3
ααααRp
C2C1
+
-
R1R2
R3
ααααRp
C2C1
C2
LSCs
R1
R3
-
+
Vi
Av·ViA
+
-
ViA
A
++
-
VoA=Viββββ
Ziββββ
R1+
-
Voββββ
Cristal de cuarzo
C1C2
LSCs
R1
R3
-
+
Vi
Av·ViA
+
-
ViA
A
++
-
VoA=Viββββ
Ziββββ
R1+
-
Voββββ
Cristal de cuarzo
C1
9
donde Av es la ganancia del amplificador a frecuencias medias1
2 ·
R
RRA P
v
α+−=
y ZS es la impedancia equivalente del cristal de cuarzo. Sustituyendo las expresiones de las impedancias en función de las reactancias se tiene:
( ) ( )12123
12
··)(
CSCCCS
CCv XXXXXXRj
XXAjT
+•−++••−
=ω
Aplicando el criterio de Barkhausen se tiene que el circuito oscilará a ωosc t.q.
0)(Im(2º0)( =⇒+=∠ oscosc jTkjT ωπω , que viene dada por:
021 =++ CCS XXX
Teniendo en cuenta que la capacidad serie del cristal (CS) es 21,CCCS << se tiene:
MHzCL SS
sosc 5··21 πωω ===
La condición de arranque queda: 2
1
1
21)(C
CA
X
XAjT v
C
Cvosc >⇒>⇒>ω
Y la condición de mantenimiento: 2
1
1
21)(C
CA
X
XAjT v
C
Cvosc =⇒=⇒=ω
b) ¿Cual será la frecuencia de oscilación?.
El circuito oscilará a la frecuencia de resonancia serie del cristal MHzfosc 5=⇒
c) Determine el rango de valores de la posición del cursor ( αααα) del
potenciómetro R P para los que el oscilador arrancaría. Para que el oscilador arranque:
⇒>⇒>⇒>⇒> 5.41)(2
1
1
2vv
C
Cvosc A
C
CA
X
XAjT ω
25.0·5.4
5.4· 21
1
2 >⇒−
>⇒>+ ααα
P
P
R
RR
R
RR
Por lo tanto, el oscilador arrancará para: 125.0 ≤< α
10
EJERCICIO 4 Los osciladores que se muestran en las Figuras P1.1 y P1.2 presentan como principal característica el generar dos o tres señales sincronizadas, que guardan un desfase constante entre ellas (v1 y v2 para la Figura 2.1 y vA, vB y vC para la Figura P1.2).
Figura P 1.1
Figura P 1.2
Se pide: 1. Para los circuitos de las Figuras P1.1 y P1.2 obtener la expresión de la
ganancia de lazo.
2. Para los circuitos de las Figuras P1.1 y P1.2 obtener la expresión de la frecuencia de oscilación en función de las resistencias y condensadores que los componen.
3. Calcular R y C para que la frecuencia de oscilación del circuito de la Figura P1.1 sea 100 kHz. Justificar el desfase que existe entre las señales v1 y v2.
4. Para el circuito de la Figura P1.2, calcular R2 y C para que la frecuencia de las señales generadas sea 50Hz. Calcular el valor de R1 para que se pueda iniciar la oscilación. Determinar primero la expresión teórica y después proponer un valor numérico razonable.
5. Demostrar que el desfase entre las señales generadas, vA, vB, vc, es 120º. Dibuje la tensión de las señales vA, vB, vc.
6. Justificar razonadamente para qué sirven los diodos Dz1 y Dz2 así como los diodos D1 y D2. ¿Qué diferencia existe entre el funcionamiento de ambas parejas?.
R
R
R
C
C
C
Dz1Dz2
V1
V2
R2
R1
C
R2
R1
C
R2
R1
C
vA vB vC
D2
D1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
EJERCICIO 5 En el circuito de la Figura 1 se muestra el esquema de un oscilador a cristal asaí como el circuito equivalente del cristal utilizado (Figura 2) y el comportamiento de su reactancia en función de la frecuencia.
DATOS:
Transistor: Vcc = 5V; ICQ = 0,75 mA, VBE = 0,7 V; βo = 125; VT = 25mV XTAL: Cs = 0,007 pF; Cp = 5 pF; Ls = 100,55 mH; Rs = 40 Ω fs = 5,999 MHz; fp = 6,003 MHz
Se pide: 1. Dibujar el circuito en pequeña señal para el oscilador, indicando claramente
que elementos constituyen el amplificador y la red de realimentación, β. Indicar además que puntos son la entrada y salida del amplificador y de la red de realimentación.
2. Para el rango de frecuencias de oscilación compare la impedancia del condensador C3 con el de la resistencia de carga RL.
3. Para el rango de frecuencias de oscilación justifique si el cristal está cargado con la impedancia de entrada del amplificador.
4. A partir de los cálculos realizados en los apartados 2 y 3, dibuje de nuevo el esquema en pequeña señal del oscilador, separando las redes A y β. Indique el punto por donde se debe abrir el lazo para estudiar la ganancia de lazo y obtenga la expresión de la ganancia de lazo A.β en función de las impedabcias de los condensadores y del cristal.
5. Una vez obtenida la ganancia de lazo, calcule el valor de la frecuencia de oscilación, fo. NOTA: Se recomienda comprobar qué comportamiento (inductivo o capacitivo) deberá presentar el cristal y a que frecuencias se produce dicho comportamiento.
6. Calcular el valor de C1 para que se garantice el arranque del oscilador. 7. Sería posible utilizar un amplificador operacional (Ao = 100 dB y polo
dominante en 15 Hz) para implementar este oscilador utilizándolo en vez del transistor bipolar.
X1
XTAL
C2
33 pF
C1
R3
180 ΩΩΩΩ
R1
680 kΩΩΩΩRc
270 ΩΩΩΩ
RL
120 ΩΩΩΩ
C3
22 nF
+ Vcc
A
B
A
B
Cs
Ls
Rs
Cp
XXTAL
ffS fpXXTAL < 0
Capacitivo
XXTAL > 0
Inductivo
XXTAL < 0
Capacitivo
Figura 1 Figura 2 Figura 3
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
EJERCICIO 6 El amplificador operacional del circuito de la figura puede considerarse ideal.
Se pide:
1. Deduzca la impedancia de entrada (zi), la ganancia en tensión (Vo/Vi) y la impedancia de salida (zo) del amplificador.
Se utiliza este amplificador para construir un oscilador por desplazamiento de fase paso alto:
2. Represente el esquemático del oscilador, el amplificador como un bloque funcional y la red de realimentación dependiente de la frecuencia con los componentes necesarios, utilizando resistencias de 10 kΩ.
3. Deducir las condiciones de oscilación y de arranque/mantenimiento del oscilador.
4. Valores de todos los componentes necesarios para que el circuito oscile a una frecuencia de 1kHz.
Nota: Se adjunta la función de transferencia de una red en escalera, por si le resulta de utilidad en los cálculos del problema:
1·6·5
1
2
1
2
2
1
3
2
11
2
+
+
+
=
Z
Z
Z
Z
Z
Zv
v
SOLUCIÓN:
1. Deduzca la impedancia de entrada (zi), la gananc ia en tensión (Vo/Vi) y la impedancia de salida (zo) del amplificador.
Como el amplificador operacional es ideal las corrientes por sus terminales de entrada serán nulas y, al haber realimentación negativa, puede aplicarse el principio de cortocircuito virtual. Con todo ello nos queda.
• Impedancia de entrada, zi:
Rix
vxzi ==
• Impedancia de salida, zo
v1 v2
Z1 Z1 Z1
Z2 Z2 Z2
+-
RF
R
vx
ix
zi
++-
RF
R
vx
ix
zi
+-
RF
R
vx
ix
zi
+
34
0ix
0
ix
vxzo ===
• Ganancia de tensión (Vo/Vi)
R
RF
Vi
VoAv
RF
Vo
R
Viii RFR −==⇒−=⇒=
Se utiliza este amplificador para construir un osci lador por desplazamiento de fase:
2. Represente el esquemático del oscilador, el ampl ificador como un bloque funcional y la red de realimentación dependiente de la frecuencia con los componentes necesarios, utilizando resistencias de 10 kΩΩΩΩ.
Con zi = R = 10k ΩΩΩΩ.
3. Deducir las condiciones de oscilación y de arran que/mantenimiento del
oscilador. Analizando la red β (con el efecto de carga de la red A (zi=R)) se tiene:
( )( ) ( )( )
( )( )( ) 3CR2R
3R2CR1R
21RCi
3R3C32R
32R2C21R
21RCi
I·ZZ2I·Z0
I·ZI·ZZ2I·Z0
I·ZRI·ZZV
I·ZI·ZII·Z
II·ZI·ZII·Z
I·ZRI·ZZV
++−=−++−=
−+=⇔
+=−−+=−
−+= ββ
Resolviendo por Cramer, nos queda:
+-
RF
R
vx
ix
zo
++-
RF
R
vx
ix
zo
+
+-
RF
R
ViVo+
+-
RF
R
ViVo+
+-
zi
-
+
viAv·vi
C C C
R R
Red β
Red A
+-
zi
-
+
viAv·vi
C C C
R R
Red β
Red A
C C C
R R R
+
-
Voβ
+
-
Viβ
I1 I
2I3
C C C
R R R
+
-
Voβ
+
-
Viβ
I1 I
2I3
35
( )( ) ( ) ( ) 2RCR
2RRC
2CRRC
i2
R3
Z·ZZ2Z·ZZZZ2·ZZ
V·ZI
+−+−++= β
Por lo tanto,
( )( ) ( ) ( ) 2RCR
2RRC
2CRRC
3R
i
o3Ro
Z·ZZ2Z·ZZZZ2·ZZ
Z
V
VI·ZV
+−+−++=⇒=
β
ββ
Sustituyendo ZR = R y ZC = 1/jωC y operando nos queda
156)(
222333
333
++−−−=
RCjCRCRj
CRjj
V
V
i
o
ωωωωω
β
β
Para obtener la frecuencia de oscilación, aplicamos el criterio de Barkausen:
0))(Im(2º0)(·
1)(·1)(·
=⇔+=∠=
⇒=oo
oo
jkjA
jAjA
ωβπωβωβ
ωβ
En este caso RC
CRj ooo6
10610))(Im( 222 =⇒=−⇒= ωωωβ
Para obtener las condiciones de arranque y mantenimiento, calculamos
296
15
·6
1
)(· R
RF
R
RF
jA o =−
=ωβ
Condición de arranque: RRFjA o 291)(· >⇒>ωβ
Condición de mantenimiento: RRFjA o 291)(· =⇒=ωβ
4. Valores de todos los componentes necesarios para que el circuito oscile a una
frecuencia de 1 kHz. Para obtener la frecuencia de oscilación pedida:
nFC
kRRC
o 5.6102·10·6
1
10
2·106
1
34
3
≅=⇒
Ω=
==
ππω
Para que el oscilador arranque:
Ω>⇒
Ω=>⇒>
kRFkR
RRFjA o 29010
291)(· ωβ. Por ejemplo RF=300kΩ
36
EJERCICIO 7 Se pretende determinar si el circuito de la Figura 1 oscila y en qué condiciones.
Figura 1
Para ello, se pide:
1. Calcular la expresión de la ganancia de lazo A.β(jω). 2. Determinar la frecuencia de oscilación en función de los valores de los
componentes del circuito. 3. Calcular la condición de arranque y mantenimiento de la oscilación en función
de los componentes del circuito. 4. Considerando C1 = C2 = 1 nF, y que fo = 1 MHz, ¿cuál sería el valor mínimo de
la impedancia de entrada del amplificador, para que los cálculos anteriores resultasen correctos?
5. Justificar razonadamente cuál de los tres siguientes circuitos (Figura 2, 3 o 4) puede ser utilizado como amplificador, conectándose sus terminales vi y vo a las correspondientes etiquetas del circuito de la Figura 1.
Figura 2 Figura 3 Figura 4
L
A
R
C1
C2vovi
+
-
R2
R1
vovi
+
-
R2
R1vo
vi
vovi
+VCC
37
38
39
40
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