Problemas de Algebra Lineal. GIIC- GIIS Curso 2012-2013
Tema 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejercicio 1. Halla una forma escalonada, el rango, y las matrices canonica por filasy de paso para cada una de las siguientes matrices:
A =
−1 1 −2
1 1 02 1 1
;B =
−1 2 3 4 5
1 2 1 3 20 4 4 7 7
; C =
1 1 00 2 1
−1 0 1
; D =
1 −1−2 2
3 −3
;
E =
1 2 3−1 1 1
3 3 50 3 4
;F =
1 −1 1 2 13 −3 8 10 3
−2 2 −1 −3 −4
; G =
1 1 60 2 8
−1 0 1
;
Ejercicio 2. Siendo A =
(1 −1 1
−1 0 −1
)y B =
(1 2 1
−1 −2 −1
), hallar k para
que rg(A + kB) < 2.
Ejercicio 3. Calcula la inversa, si existe, de las siguientes matrices:
(a) A =
1 −1 12 1 20 0 1
; (b) B =
1 −1 22 1 13 0 3
; (c) C =
1 0 0a 1 0b c 1
;
(d) D =
1 0 0 02 1 0 03 3 1 04 4 4 1
; (e) E =
1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 1
; (f) F =
1 2 3 4 50 1 2 3 40 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 0 1
;
(g) G =
1 1 2 12 3 6 31 2 5 31 1 2 2
; (h) H =
1 1 2 42 3 6 91 2 5 61 1 2 5
Ejercicio 4. Calcula la inversa, si existe, de la matriz
A =
1 a a2 a3
0 1 a a2
0 0 1 a0 0 0 1
1
Ejercicio 5. Calcula, segun los valores de n, el rango de las matrices:
(a) An =
n + 1 1 11 n + 1 11 1 n + 1
; (b) Bn =
n + 1 1 n1 n + 1 10 0 n
.
Obten la matriz inversa en los casos que se pueda.
Ejercicio 6. Resuelve, por el metodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuacioneslineales:
(a)
x− 3y + z = −22x + y − z = 6x + 2y + 2z = 2
; (b)
x + y + z + t = −2x− y − z + t = −4x− y + z + t = −6x + y − z + t = 0
; (c)
3x + y − z = 10x− 2y − z = −2−x + y + z = 02x− y − 3z = 7
;
(d)
2x + 3y − z = 0x− y + z = 0x + 9y − 5z = 0
(e)
x + 2y + z + 2t + 4u = 4−2x− 4y − z − 3t− 6u = −62x− 4y + t + 4u = 43x + 6y + z + 4t + 7u = 8
; (f)
2x + y − z + t = 0x + 2y + z − t = 03x− y − 2t = 0
;
Ejercicio 7. Discute, segun los valores reales de los parametros, los siguientes sistemaslineales:
(a)
x− 3y + 5z = 22x− 4y + 2z = 15x− 11y + 9z = k
; (b)
x + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
; (c)
x− 2y + 3z = 12x + ky + 6z = 6−x + 3y + (k − 3)z = 0
;
(d)
y + z = 2x + y + z = ax + y + a = 2
; (e)
ax + by + z = 1ax + y + bz = 1ax + y + z = b
; (f)
ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 1
;
(g)
ax + by + 2z = 1ax + (2b− 1)y + z = 1ax + by + (b + 3)z = 2b− 1
(h)
x− y = 23x + 2y = 44x + y = a
; (i)
ax + ay + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a
;
(j)
x− y − z + at = cx + y + z + t = 0x− y + z − t = 12x + y − z + t = −8
;
Resuelve, cuando sea posible, los que dependen de un unico parametro.
Ejercicio 8. Resuelve la ecuacion matricial Ax = b donde
2
A =
(1 −1
−1 1
)y (a) b =
( −11
)o (b) b =
(1
−1
)
Ejercicio 9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:
(a)
1 0 12 1 03 1 0
X =
6 4 27 6 510 8 6
(b) X
1 −2 20 1 01 −1 1
=
1 0 1−2 1 0
1 3 −2
(c)
1 2 −1 −1−1 −1 −2 0
1 1 1 00 1 1 −1
X =
−4 6 2 2−2 −2 1 4
0 3 0 −22 0 −1 −2
Ejercicio 10. Siendo A =
(1 23 m
), m ∈ R, encuentra todas las matrices B
cuadradas de orden 2 tales que AB = 0.
Ejercicio 11. Obten todas las matrices B que conmutan con la matriz diagonal
D =
(x 00 y
)con x, y ∈ R.
Ejercicio 12. Encuentra todos los polinomios p(x) de grado 2, con coeficientes reales,tales que:
(a) p(1) = 2, p(−1) = 4 y p(3) = 16; (b) p(1) = p(−1) = 0
Ejercicio 13. Elimina parametros en las siguientes ecuaciones parametricas:
(a)
x = 1 + αy = 2 + αz = 1− 3α
; (b)
x = 1− 3α + βy = α− 2βz = 2 + β
; (c)
x = αy = βz = γ
;
(d)
x1 = a + 2b− cx2 = a− bx3 = 3bx4 = b + cx5 = a− b + 2c
; (e)
x1 = a + b + 2cx2 = a + 2b + 3cx3 = a + cx4 = 0x5 = a− b
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