Sistemas de control TI-2233
Miguel Rodríguez
1ª clase
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Un buen control será posible si tenemos una buena representación del sistema, modelo matemático.– Los Sistemas pueden ser: Lineales o no Lineales,
estáticos o dinámicos, Variantes o invariantes en el tiempo.
– Utilizaremos la transformada de Laplace para hallar el sistema de ecuaciones diferenciales que describe un sistema.
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Función de Transferencia– Relación entre las entradas del sistema u(t) y las
salidas y(t) puede ser escrita en la forma de una ecuación diferencial.
Donde
)()(
)()(
011
1
011
1
tubDbDbDb
tyaDaDaDm
mm
m
nn
n
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22 etcty
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dt
dtDy
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Transformada de Laplace
Hallando la salida en función de la entrada tenemos:
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011
1
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1
sUbsbsbsb
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mm
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nn
n
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011
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bsbsbsbsG
nn
n
mm
mm
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Ejemplo
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• La respuesta al impulso
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 90
1
Time
0 10 20 30 40 50 60 70-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
δ(t)
4)(
2
2
ss
ssG
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Respuesta al impulso instante t=0
• Para el 2º instante
• Para todos los instantes
• Se llega a la función de convolución
}'2'0/)(')0({lim)(0'
tttgtutyt
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tttttgttutyt
n
kt
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0')'(')'(lim)(
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Sistemas de control Representaciones de sistemas
• En termino de la integral de convolución tenemos:
• Recordemos las propiedades de la convolución
• Al intercambiar la funciones tenemos la respuesta del sistema en función a la entrada
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tgtudtttgtutyt
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thtutgtuthtgtu
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sUsGsYdtttutgtyt
L
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• Linealización: (El Péndulo un sistema no linear)
• Si es pequeño podemos truncar la serie
de Taylor para el seno
• Y el sistema linealizado sería
sin
2
2
l
g
dt
d
!7!5!3
sin753
l
g
dt
d
2
2
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• Sistema masa-resorte
• En el intervalo –x1≤ x ≤x1
podemos aproximar
linealmente el modelo a:
)(2
2
xfdt
xdM
kxdt
xdM
2
2
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• Diagramas de Bloques• Básico
)()()( sUsGsY
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• Diagramas de Bloques–Manipulación
• Cascada
• Moviendo un punto de salida
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• Diagramas de Bloques–Moviendo un punto de suma
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• Diagramas de Bloques– Lazo de realimentación
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Diagramas de Bloques (Ejemplo)
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Diagramas de Bloques (Ejemplo)
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Diagramas de Bloques (Ejemplo)
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Diagramas de Bloques (Ejemplo)
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• Diagramas de Bloques (Ejemplo)
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• Diagramas de Bloques• Revisar el ejercicio de la figura 2.19. Hacer los
problemas 2.1-2.6.
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• Sistemas físicos –Mecánicos
– Eléctricos
– Etc.• Basados en principios físicos como:
– Balance de masa y conservación de la energía
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• Sistemas físicos – Redes Electrícas• Modelo de un circuito RC
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• Sistemas físicos – Sistemas Mecánicos Elementos• Translación (Leyes de Newton)
– Amortiguador
– Resorte
–Masa
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• Sistema mecánicoHallar F(s)/W1(s)
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• Sistema mecánico
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• Sistema mecánico rotacional– Variables • Torque q(t)
• Velocidad angular (t)
• Resistencia rotacional
• Compliancia (Resorte rotacional)
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• Sistema mecánico rotacional– Inercia rotacional
• Hallar Q(s)/(s)
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• Sistema mecánico rotacional
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• Analogía con circuitos eléctricos
Eléctrica Mecánica Mecánica (rotacional)
Corriente , I(s) Fuerza, F(s) Torque, Q(s)
Voltaje, V(s) Velocidad, W(s) Velocidad angular, W(s)
Conductancia, 1/R Amortiguador , B Damper, B
Inductancia, L Compliancia del resorte, 1/K
Compliancia Torsional, 1/K
Capacitancia,C Masa, M Inercia, J
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• Ejemplo:
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Componentes Electromecánicos– El Motor DC
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• Componentes Electromecánicos– El Motor DC• Ecuaciones físicas de
Transformación
• Existen dos configuraciones, armadura controlada o rotor controlado
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1 titKtv
titiKtq
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fame
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• Componentes Electromecánicos– El Motor DC
Control por la armadura
Donde
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SLR
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• Componentes Electromecánicos– El Motor DC• Control por armadura
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Componentes Electromecánicos– El Motor DC
Control por campo
Donde
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K
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Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Componentes Electromecánicos– El Motor DC
Control por rotor
Sistemas de control Representaciones de sistemas
• Hacer los problemas 2.11-2.17
• Hacer el problema 2.7 (otra representación de sistemas físicos)
Sistemas de control Ejercicios
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