Seminario de Diseo de Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Sintona Emprica Ziegler Nichols
Funcin de Transferencia del Controlador PID
Modelo del Proceso
Considere el sistema de control de la Figura, cuyo proceso tiene la funcin de transferencia:
Problema 1
En el laboratorio de simulacin se encontraron los parmetros de la curva de reaccin:
Rediseo mediante Backward sTTz
zs 1.0,
1
s
sssPID
1.3
323.22.758.5)(
2
zz
zzzPID
961961
172983682819602)(
2
2
Disee un controlador proporcional para el sistema digital descrito por P(z) con un periodo de muestreo T=0.1s para obtener: a. Una frecuencia amortiguada de rad/seg b. Una constante de tiempo de seg c. Plotear las respuestas debido a una entrada escaln unitario
Problema 2
)5.0)(1(
1)(
zzzP
5d
5.0
Determinamos la ubicacin de los polos en lazo cerrado.
65.285.01.05 radTd
La constante de tiempo viene dado por:
n
1 segradn /2
5.0
1
El factor de amortiguamiento puede ser usado directamente en la ubicacin de los polos deseados.
Los resultados tambin pueden ser obtenidos analticamente usando la ecuacin caracterstica para los polos conjugados del sistema en lazo cerrado.
Determinamos la ubicacin de los polos en lazo cerrado.
TneK2
5.0
TT
dnn ezeTzKzz
222 )cos(25.05.1
zeTzT
dn )cos(25.1
571.1)cos(2
5.11
TLn
T dn
25)1( 222 nd
Si el factor de amortiguamiento es entonces rad/s 3.0 24.5n
23.05.02
1 TneKK
De la segunda condicin obtendremos otra valor de ganancia K.
21
5.0
n
srade
T
nT
d /127.42
5.1cos
1 1
436.0
1)(
1
2
2
n
dw
sraddn /586.41 2
2
17.05.02
2 TneKK
La planta Gp(s) y su respectiva discretizacin por ZOH de un sistema en lazo abierto vienen dados por las funciones de transferencia:
Problema 3
(a) Analice la estabilidad por Jury. Pruebe el valor de la ganancia que hace al sistema marginalmente estable.
(b) Analizando el sistema mediante root locus encuentre los puntos de ruptura y luego calcule las ganancias en estos puntos. Qu significado tienen estos valores encontrados?. Fundamente.
(c) Escriba las lneas de cdigo que resuelven el valor de la ganancia K desde el root locus discreto para plotear la salida debido a una entrada escaln unitario.
Probando las condiciones para la estabilidad por Jury.
98.23,0)9459.08465.0()1)(821.1078582.0(1)1()1( 22 KKKQ
84.2406.207433.08465.01 KK
La ganancia critica para la marginalidad.
98.23K
0KEn esta condicin consideramos que
Calculando la ganancia K en los puntos de ruptura:
z
p zGK
)(
1
Para z1
Para z2
0)(
dz
zdG p
006883.0148661.0078582.0 2 zz
083.1,8090.0 21 zz
58.21 K
38.42 K
Ruptura
Cdigo MATLAB
Se desea calcular la frecuencia que aparece en la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado que tiene como funcin de transferencia:
Problema 4
Calculo de las races:
sTzz
zzF 02.0,
9307.090.1
00756.000778.0)(
2
09307.090.12 zz
1679.095.02,1 jz
9647.022 me IRmag 1750.0tan 2
2
1
e
m
R
Iang
Determinamos el factor de amortiguamiento y posteriormente la frecuencia natural.
7955.1)(1
magLnT
2011.0222
Tang
T
sradn /93.8
Considere el sistema en lazo abierto:
Problema 5
32
3)(
2
sssP
Polos y ceros en lazo abierto del sistema.
Plotear la respuesta al escaln del sistema a lazo abierto usando Matlab (tsim=10s). Es posible saber la caracterstica de la respuesta?. En caso afirmativo fundamente su respuesta.
K=2
Considere un modelo identificado proveniente desde un experimento del laboratorio del curso control digital. Considere T=0.05s.
Problema 6
)01.74)(8.200(
5487.40995)(
sssP
Disee un controlador Deadbeat dado por la funcin de transferencia:
2
2
1
10
2
2
1
10
)(
)(
zezee
zuzuu
zE
zU
Calculando los polos de la planta con integrador.
0,01.74,8.2000)01.74)(8.200( cbasss
ssssP
423
4
10486.18.274
101.4)(
Definiciones del algoritmo.
008.0)(2
baa
KA
g
0590.0)(2
bab
KB
g
0510.0)(
)(2
ab
baKC
g
7586.2ab
KD
g
Resolvemos la ecuacin de coeficientes de la seal de control de la forma U(z)=u0+u1*z
-1+u2*z-2 en este caso es una ecuacin de 3x3
N*U=M;
4102924.21 aTeQ
4675.391 bTeR
aTaT
aTaT
BBBR
AQeAQeAQN2
2
ReRe
111
0
0
)/(1 DT
M
0790.0
0
4342.71 TMNU
Diseo del controlador Deadbeat.
)3(),2(),1( 210 UuUuUu
bTaT
t
bTaT
t BeAeDTmBeAeDTmBAm22
20 2,,
)()(1),(1,1 012020010 mmummuemmuee tttt
01481.0343.0
07899.010042.32434.7)(
2
9
zz
zzzC
Discretizando la planta.
623
2
10078.102476.0025.1
0001958.004594.008838.0)(
zzz
zzzP