7/25/2019 Significado de Simbolos Matematicos Frecuentemente Usados
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GUIA
TEORICO/PRACTICO
MATEMATICABASICA
3ER
AO
1
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SIGNIFICADO DE SIMBOLOS MATEMATICOSFRECUENTEMENTE USADOS
Smbolo Signifcado= Igual a Distinto de Equivalente a< Meno que! Ma"o que# Meno o igual que
$ Ma"o o igual que% Im&lica' Si " solo si( )o lo tanto* )aa todo+ )etenece ,)etenece a-. /o &etenece a0 al que2 Infnito
3 E4iste5 /o e4iste6 7ngulo8 Disciminante9 :ni;n de conuntos Intesecci;n de conuntos> ?onunto vaco@ ?onunto de los nAmeos natuales B@ = C1 F G H JK@L ?onunto am&liado de los nAmeos natuales B@ = C 1 F G H
J = @ 9 CJKN ?onunto de los nAmeos enteos BN = C H G F 1 1 F G H JK
NP ?onunto de los nAmeos enteos &ositivos BNP = C1 F G HJK
NQ ?onunto de los nAmeos enteos negativos BNQ = C H G F 1JK
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R?onunto de los nAmeos acionales BR = C
a
b 0a b + N b a
b &imos ente siJ Dos nAmeos enteos se dice que son &imos entes cuando su Anico diviso comAn es la unidadT Eem&los de nAmeos
acionalesU
14
3 ;58
6
27
2
1 ;8 etcTK
V
?onunto de los nAmeos iacionales BSon nAmeos no acionales
es deci que no se &ueden e4&esa como Ca
b 0a b + N b
a b &imos ente siJ Dos nAmeos enteos se dice que son &imosente s cuando su Anico diviso comAn es la unidadT Eem&los de
nAmeos iacionalesU W X WH X etcTK
Y El conunto de los nAmeos eales ,&imea dimensi;n BZ1K-TEs elconunto [omado &o los nAmeos acionales e iacionales es
deci Y = R 9 VY\ El &lano ,segunda dimensi;n Z-] Ee de las coodenadas B4K o ee de las abscisas^ Ee de las coodenadas B"K o ee de las odenadas]P Semiee B4K &ositivo]Q Semiee B4K negativo^P Semiee B"K &ositivo^Q Semiee B"K negativo_a_ M;dulo de a
Sen,4- Seno de 4
?os,4- ?oseno de 4g,4- angente de 4
7,a4 a"- )unto 7 de coodenadas a4" a"B)unto de Y\ en coodenadascatesianasK
F
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Criterio de divisibilidad
1T :n nAmeo natual es divisible &o cuando temina en ceo o en ci[a&aT
T :n nAmeo natual es divisible &o F si la suma de sus ci[as esmAlti&lo de FT
FT :n numeo natual es divisible &o G cuando temina en dos ceos ocuando el numeo [omado &o las dos Altimas ci[as de la deec`a,unidad " decena- es divisible &o GT
GT :n nAmeo natual es divisible &o H cuando temina en ceo o cincoTHT :n nAmeo natual es divisible &o si es divisible &o " F a la veTT :n nAmeo natual es divisible &o cuando se&aando la &imea ci[a
de la deec`a multi&licndola &o estando este &oducto de lo quequede a la iquieda es o mAlti&lo de
T :n nAmeo natual es divisible &o cuando sus tes Altimas ci[as sonceos o es mAlti&lo de T
T :n nAmeo natual es divisible &o si la suma de sus ci[as esmAlti&lo de T
T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si la ci[a de las unidades es T1T :n nAmeo natual es divisible &o 11 si la di[eencia ente las
ci[as que ocu&an los lugaes &aes " la de los im&aes de deec`a aiquieda son o mAlti&lo de 11T
11T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si es divisible &o F " &o Ga la veT
1T :n nAmeo natual es divisible &o 1F cuando se&aando la&imea ci[a de la deec`a multi&licndola &o estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1F
1FT :n nAmeo natual es divisible &o 1G si es &a " divisible &o T1GT :n nAmeo natual es divisible &o 1H si es divisible &o F " &o H
a la veT
G
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1HT :n nAmeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deec`a multi&licndola &o H estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1T
1T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si es divisible &o F " &o a la veT
1T :n nAmeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deec`a multi&licndola &o 1 estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1T
1T :n numeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deec`a multi&licndola &o estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1
1T :n numeo natual es divisible &o F cuando se&aando la&imea ci[a de la deec`a multi&licndola &o 1 estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de F
T :n numeo natual es divisible &o H cuando temina en dosceos o cuando el numeo [omado &o las dos Altimas ci[as de ladeec`a ,unidad " decena- es divisible &o HT
ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES
1T a (b+c )=ab+ac
T ,a b-= ,a- ab bFT ,a h b- = ,a- h ab b
GT ,a b c- = ,a- ,b- ,c- ab ac bcHT ,a b-,a h b- = ,a-h ,b-
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS EPONENTES
1T am an= am n
T ,ab-m
= am
bm
FT ,am-n= amLn
GT am=1
am
HT a
m
an = am h n
H)aa todo a 1
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T ( ab )m
=a
m
bm
T am
n =nam
T a1
= aT a
0
= 1
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS RADICALES
En las siguientes &o&iedades se es&ecifca que el ndice de las acestiene que se di[eente de ceo " si el mismo es &a la cantidad subadical tiene que se ma"o o igual a ceo al menos que se es&ecifque locontaioT 7dems todo denominado debe se di[eente de ceoT
1T n
an
= aT
na
m
= am
n
FT n
an
b =n
ab
GT (na )
m
=nab
HT m
n
a =mn
a
T bn
a=n
bna
T n
a
b=
n
anb
ALGUNAS PROPIEDADES DEL !ALOR ABSOLUTO OMODULO
1T a2
= lal
T _a_ = _a_FT _ab_ = _a_ T_b_
GT |ab| = |a||b|HT j_a_ = _ja_T _a_= a
b
Solo si j 0
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T _a_ = a
T Si _a_ = j % a = jT Si _a_ = _b_ % a = b
1T Si
a
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FT x1,2 = ca
EL DISCRIMINANTE
a e4&esi;n b24 ac que a&aece como cantidad sub adical ,en
la [oma com&leta- se denomina disciminante " detemina elcacte de las solucionesT 7siU
=b24ac
Ti"os de ra#$es %sa&do el dis$ri'i&a&te(
Si 8 ! % as aces son eales " di[eentesT Si 8 = % as aces son eales e igualesT Si 8 < % /o tiene aces ealesT
PROCEDIMIENTO PARA COMPLETAR ELCUADRADO
En tminos geneales el &oceso im&lica `alla el nAmeo
que debe agegase a la suma x2+bx &aa obtene un
cuadado &e[ectoT 7qu se obseva queU
(x+b2 )2
=x2+bx+( b2 )2
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)o lo tanto en geneal se debe agega a 4 b4 el
cuadado de la mitad del coefciente de ] es deci ( b2 )2
&aa obtene el cuadado &e[ecto (x+
b
2
)2
.
CONCLUSION(
Si tenemos un &olinomio de la [oma x2+bx o x2bx "
queemos com&leta el cuadado lo que debemos `acees&ectivamente es lo siguienteU
4 b4 = (x+b2 )2
( b2 )2
4 b4 = (xb2 )2
( b2 )2
ALGUNOS METODOS DE RESOLUCION DE UN
SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOSINCOGNITAS
METODO DE RESOLUCION
Obseve que antes de com&leta elcuadado el coefciente del tmino
cuadtico es 1 &o lo tanto si se tieneun &olinomio de la [oma a4 b4
&imeo se debe saca [acto comAn a "luego se a&lica el &ocedimiento
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E)EMPLO(esolve el siguiente sistema de ecuaciones
{x+2y=4 (i )2xy=3(ii)
1T 7naliamos el sistema " decidimos cual es la inc;gnita ms[cil de elimina mediante la suma de ecuacionesT Estainc;gnita debe tene el mismo coefciente &eo con signocontaio en ambas ecuacionesTEn este eem&lo eliminaemos la inc;gnita y , &aa lo cual
deaemos igual ecuaci;n (i) " multi&licaemos a (ii) &o
T 7s se obtiene el sistemaU
{ x+2y=44x2y=6
T Se suman miembo a miembo ambas ecuacionesesultandoU
{ x+2y=44x2y=65x=10
x=10
5=2
kinalmente la soluci;n del sistema es [xy]=[21]
METODO DE IGUALACION
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E)EMPLO(Zesolve el siguiente sistema de ecuaciones
{x+2y=4 (i )2xy=3(ii)
1T Se des&ea la misma inc;gnita de cada una de lasecuaciones del sistemaT En este caso des&eando la
inc;gnita x obtenemosU
x=42y (iii)
2x=3+y
x=3+y2
(iv)
T Igualamos las ecuaciones (iii) " (iv) " des&eamos la
inc;gnita estanteT
42y=3+y
2
84y=3+y
5=5yy=1
FT Se sustitu"e el valo de la inc;gnita des&eada en (iii) o(iv). )o eem&lo sustitu"endo en (iii) esultaU
x=42 (1 )x=2
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kinalmente la soluci;n del sistema esU [xy]=[21]
RESOLUCION DE UNA ECUACION LINEAL CON DOSINCOGNITAS
GRADO DE LIBERTAD
Grado de libertad(Es el que nos indica a cuantas inc;gnitas&uedo asignale valoes abitaios en un sistema que tenga ms
inc;gnitas que ecuacionesT
TT = ,/umeo de inc;gnitas- h ,/umeo de ecuaciones-
Si TT = n n 1 entonces no &uedo asigna a n inc;gnitas
valoes abitaiosT ,Si es &osible esolve un sistema deecuaciones de este ti&o entonces el mismo tend infnitassoluciones-
E)EMPLO(Zesolve la siguiente ecuaci;n 2=0
2=0(i)
a ecuaci;n tiene infnitas soluciones vamos a detemina una deellasT
)aa =1en( i ) resulta:
2 (1 )=0=2
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kinalmente una de las infnitas soluciones esU []=[12]OBSER!ACION(El valo abitaio que se le da a una de lasinc;gnitas &uede se cualquie nAmeo eal &eo lo ideal es quesea a conveniencia como en este caso que se le dio a la inc;gnita el valo 1 "a que as al des&ea la inc;gnita nos dio como
esultado un numeo enteo " no [accionaio "0o adicalT Se `acee[eencia a esto "a que en deteminados &oblemas el `ec`o deque &odamos obtene una soluci;n con el nAmeo meno de[acciones "0o adicales nos a`oaa &ate del clculoT
RACIONALI*ACION DE DENOMINADORES
Si una [acci;n contiene adicales en el denominado se dice quela misma no est sim&lifcada en este caso se debe tans[omaen ota equivalente que no contenga adicales en el denominado
Si el denominado de una [acci;n es una a cuadada &aaeliminala debemos multi&lica " dividi dic`a [acci;n &o lamisma a as el adical desa&aece del denominado " &asaaal numeadoT
E)EMPLO(Zacionalia la siguiente [acci;n
3
25
De acuedo a lo dic`o anteiomente se tieneU
3
25=
3
255
5
35
2(5)2
35
25
3
25=
35
10
1F
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FACTORI*ACION DE POLINOMIOS
FACTOR COMUN(
?uando obsevamos que una e4&esi;n algebaica de ms de un
tmino tiene en comAn uno o vaios [actoes decimos que&odemos saca el [acto o [actoes comunes &aa de esta maneaa&lica la &o&iedad distibutivaT
E)EMPLO(
Descom&one en [actoes sacando [acto comAnU
3x+2x=2x (x+1)
DIFERENCIA DE CUADRADOS
:na di[eencia de cuadados es la manea de [actoia&olinomios con e4&esiones cuadticas que se estan ente s "es igual a suma &o di[eenciaT
E)EMPLO(
x24=x222=(x+2) (x2)
TRINOMIO DE CUADRADO PERFECTO
:n tinomio cuadado &e[ecto es igual a un binomio al cuadadoT
E)EMPLO(x
2+6x+9=(3+x )2
1G
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FACTORI*ACION DE UN POLINOMIO DE GRADO
SUPERIOR A DOS
:tiliamos el teoema del esto " la egla de Zuni &aa encontalas aces enteasT
E)EMPLO(kactoia el siguiente &olinomioU P (x )=2x4+x38x2x+6
1T omamos los divisoes del tmino inde&endienteU 1 FT
T 7&licando el teoema del esto sabemos &aa que valoes ladivisi;n es e4actaT
P(1)=214+138121+6=2+181+6=0
FT Dividimos &o ZuniT
GT Zeescibimos el &olinomio
(x1)(2x3+3x25x6)
:na a es x=1.
1H
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?ontinuamos ealiando las mismas o&eaciones al segundo[actoT
polvemos a &oba &o 1 &oque el &ime [acto &oda estaelevado al cuadadoT
P(1)=213+3125160
P (1)=2!(1)3+3!(1)25!(1)6=2+3+56=0
(x1)(x+1)(2x2+x6)
Ota a es x=1.
El tece [acto lo &odemos enconta a&licando la ecuaci;n de gado o tal como venimos `acindolo aunque tiene elinconveniente de que s;lo &odemos enconta aces enteasT
El 1 lo descatamos " seguimos &obando &o r1T
P(1)=2!(1)2+(1)60
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P(2)=2!22+260
P(2)=2!(2)2+(2)6=2!426=0
(x1)!(x+1)!(x+2)!(2x3)
Sacamos [acto comAn en el Altimo binomio " encontamos unaa acionalT
2x3=2(x32 )
a [actoiaci;n del &olinomio quedaU
P (x )=2x4+x38x2x+6=2(x1)!(x+1)!(x+2)!(x32 )
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as aces sonU x=1 ; x=1 ; x=2; x=3
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MODULO DE UN !ECTOR
El m;dulo de un vecto es la longitud del segmento oientado quelo defne es un nAmeo siem&e &ositivo " solamente el vectonulo tiene m;dulo ceoT
1T ?lculo del m;dulo conociendo sus com&onentes
EEM)OU
T ?lculo del m;dulo conociendo las coodenadas de los&untos
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EEM)OU
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
a distancia ente dos &untos es igual al m;dulo del vecto que
tiene de e4temos dic`os &untosT
E)EMPLO(
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EEZ?I?IOS)ZO):ESOS
1 Ra$io&ali+a$i,& del ti"o
Se '%lti"li$a el &%'erador - el de&o'i&ador "or .
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E.e'"los:
1
2
Ra$io&ali+a$i,& del ti"o
Se '%lti"li$a &%'erador - de&o'i&ador "or .
E.e'"los(
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3 Ra$io&ali+a$i,& del ti"o
^ en geneal cuando el denominado sea un bi&o'io $o& al'e&os %& radi$al
Se '%lti"li$a el &%'erador - de&o'i&ador "or el$o&.%0ado del de&o'i&ador
El conugado de un binomio es igual al binomio con el signo
cental cambiadoU
Ta'bi1& te&e'os 2%e te&er e& $%e&ta 2%e( s%'a "ordi4ere&$ia es i0%al a di4ere&$ia de $%adrados
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E.er$i$ios "ro"%estos de ra$io&ali+a$i,&(
52
23=2223
6 2
422=
4+224
3 32=32
2
7 1
35
=3
52
5
81
32=32
9 23
2+3=11627
: 1
235=
23+57
;
2
2=2
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5= 2
354
=5
23
3
55 1
33=
3
32
3
56 2
3+3=
333
532
23=2223
E.er$i$ios "ro"%estos de i&e$%a$io&es(
5 2 (x+1 )3 (x2 )1
>5? @
6 2x+1 x+3=x 2
>@?6
3 {3 (25x ) 1812x
x22x+10
G
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56? 7
7 x+3>5 s"l :x>2
8 9x+2