COMPONENTE PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICADEL ÁREA DE MATEMÁTICA CONORIENTACIÓN INTERCULTURAL
BLOQUE TEMÁTICO: SESIÓN DE APRENDIZAJE YDIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN ENMATEMÁTICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVELSECUNDARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR
MÓDULO FORMATIVO
III CICLO
Componente:PEDAGOGÍA Y DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA CON ORIENTACIÓN
INTERCULTURAL
Bloque Temático:SESIONES DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Jefe de Proyecto:Dr. Amador Vilcatoma Sánchez
Coordinador Académico:Lic. Alex ESPINOZA ESPINOZA
Diagramación y corrección de estilo:EQUIPO DE ESPECIALISTAS
Equipo de Especialistas:
Fabio Abraham CONTRERAS ORÉ Pablo José CARDENAS PERALTA Miguel Ángel VILA YUPANQUI Arturo Donato ESPINOZA CASAS Melitón CHIPANA VELIZ
PROGRAMA DE ESPECIALIZACIÓN EN MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEINSTITUCIONES EDUCATIVAS PÚBLICAS DEL NIVEL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA DE
EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR 2012 – 2014
III CICLO
Universidad Nacional del Centro del PerúFacultad de Educación
Dirección: Av. Mariscal Castilla Nº 3909 – El Tambo – Huancayo.Teléfono: 064 – 481081
Fax: 064 – 248595Página Web: www.uncp.edu.pe
© Reproducción: Derechos reservados conforme a ley. Se prohíbe la reproducción parcial o totaldel texto sin autorización del MED.
MAYO 2013
INDICEPag.
Presentación
I UNIDAD:Estrategias para enseñar geometría en relación al contexto socio-cultural
Esquema de contenidos 9
1.1Etnomatemática rural, urbano marginal.1.1.1 Etnomatemática1.1.2 Etnomatemática, matemática, educación1.1.3 Antecedentes
1.2 Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica dela sesión de aprendizaje.1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje1.2.3 Procesos cognitivos1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento.1.2.5 Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidades
1.3 APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE?1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes)1.3.2 Secuencia didáctica1.3.3 Evaluación
1.4 MOMENTOS Y PROCESOS1.4.1 Inicio del aprendizaje
1.5 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela.
1.6El enfoque centrado en la resolución de problemas1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución de
problemas.1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas
1.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA1.8 Capacidades matemáticas1.9 Escenarios de aprendizaje:1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, la
interculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática.1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer
un buen gobierno y tener un buen clima en el aula.1.10.2 Objetivos de la estrategia.1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad.
II UNIDAD:Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido
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21212122232325
262729
303235
40
40
4458
68
2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard2.2 La teoría de la transposición didáctica2.3 La perspectiva antropológica2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele.2.5 Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele
Rectas horizontales y verticales. ¿Cómo construir un juego de tangrama? Construcciones geométricas elementales doblando papel Construcción del triángulo equilátero doblando papel a partir de una hoja
a 4 Construcción directa del hexágono regular a partir de un rectángulo Triángulos isósceles inscritos en una hoja rectangular compartiendo dos
vértices contiguos del rectángulo. El tamaño a4. Comprobación doblando papel de la suma de los ángulos de un
triángulo. Área del triángulo. Trazado del incentro doblando papel. Igualdad de la distancia del
incentro a los lados. Trazado del circuncentro doblando papel. Igualdad de la distancia a los
vértices. Octógono regular Otra forma de obtener un hexágono regular Construcción del pentágono regular como nudo. Construcción de un pentágono regular a partir de un cuadrado La regla y el compás de la geometría clásica Algunas construcciones básicas:
Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso delcompás.Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compásConstrucción de ángulos rectosConstrucción de rectas paralelasDivisión de un segmento en n partesPolígono regular de 3 lados: Triángulo equiláteroPolígono regular de 4 lados: CuadradoPolígono regular de 5 lados: Pentágono regularPolígono regular de 6 lados: Hexágono regular
III UNIDAD:
Modelando fenómenos geométricos y trigonométricos del entorno, utilizando el
softwuare cabri geometre.
3.1 El uso de programas computacionales.
Software Cabri Geometry IILa ventana de Cabri Geometry IIElementos de la ventana Cabri Geometry II
3.2 Situaciones problemáticas de Geometría3.3 La trigonometría en la vida cotidiana
Trigonometría y ArquitecturaNavegación, Geografía y Astronomía
3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría
69707581
89909093
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TareaSituación problemática
3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría¿Qué significa demanda cognitiva?Las tareas de demanda cognitiva bajaLas tareas de demanda cognitiva alta
3.6Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzman3.7El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría
Materiales manipulativos para geometría plana
GLOSARIOBIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
131133140142142143147155161
171173
Estimado(a) docente participante:
El Módulo Formativo Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría, quese desarrolla en este Tercer Ciclo es parte del componente Pedagogía y Didácticadel área de Matemática con Orientación Intercultural, ha sido elaboradoconsiderando los lineamientos generales del Programa Nacional de EspecializaciónDocente 2012 – 2014, que tiene por finalidad promover y apoyar el desarrollopersonal, pedagógico y social de los profesores de educación secundaria de laespecialidad de Matemática. Poniendo énfasis en el desarrollo de su autonomíaprofesional y la capacidad para investigar, innovar y reflexionar críticamente sobre supráctica pedagógica para autoregularla, resignificarla y producir el saber pedagógico,orientando la afirmación de una docencia mediadora del diálogo intercultural, conactitud crítica frente a las inequidades que imposibilitan el diálogo y con capacidadpara indagar y proponer alternativas educativas pertinentes a cada contextosociocultural del país.
El presente material nos aproxima a unificar principios y criterios básicosfortaleciendo el diseño de sesiones de aprendizaje y el tratamiento de la Didáctica dela Geometría, su didáctica y el pensamiento variacional, valorando las diferenciasindividuales de sus estudiantes y fortaleciendo el trabajo cooperativo en su entornosociocultural.
El módulo formativo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometríaconsidera tres unidades: En la I Unidad se presenta la Etnomatemática, las sesionesde aprendizaje y estrategias para abordar un buen clima en el aula, utilizando comoherramienta para la resolución de problemas el software Cabri geometre; la II Unidadpresenta la transposición didáctica de Ives Chevallard, los modelos de enseñanza ylas fases de Van Hile, en la que se trata de fortalecer los enfoques teóricos referentesa las transformaciones didácticas que debe sufrir el saber sabio, pasando por el saberenseñado para terminar en el saber aprendido, utilizando como herramienta para laresolución de problemas los software Cabri Geometre; la III Unidad comprende losfenómenos y situaciones geométricas y trigonométricas, donde se trata de esbozar elfundamento teórico, elaborar situaciones problemáticas de geometría y trigonometríaque ocurren en el entorno del estudiante, utilizando como herramienta para laresolución de problemas el software Cabri Geometre.
El valor de este módulo radica en proporcionar, durante el desarrollo de lasclases presenciales, los marcos explicativos partiendo de las situacionesproblemáticas de los cuales los docentes pueden derivar modelos didácticos queorienten su actuación en el aula y, de otro lado, comprender la gradualidad ycomplejidad de los temas a tratar en Geometría, incidiendo en la formación de undocente crítico reflexivo que permita el manejo efectivo de procesos pedagógicosinterculturales que incidan en el logro de los aprendizaje de los estudiantes.
Los autores.
PRESENTACIÓN
RUTA FORMATIVA
El módulo de Sesión de aprendizaje y didáctica de la geometría se desarrolla en el III ciclo del
Programa de Especialización de matemática, en el marco del convenio establecido con la IFD facultad de educación de
la UNCP-Huancayo y el Ministerio de Educación.
Está dirigido a profesores en ejercicio de la especialidad de matemática del nivel de educación secundaria de la Región
Junín y Huancavelica
El modulo está estructurado en tres unidades teniendo en cuenta los temas afines para el cual, se tendrá en cuenta tres
aspectos:
Desde la práctica:
Que a partir de casos prácticos, es decir de actividades cotidianas y teniendo en cuenta el aspecto crítico-reflexivo e
intercultural, se propicia la reflexión de sus prácticas pedagógicas, se correlaciona con el bloque temático de la
Geometría e investigación Acción.
La reflexión teórica:
En esta parte se propone una serie de contenidos temáticos con la finalidad de reforzar el conocimiento relacionado a
las sesiones de aprendizaje y didáctica de la Geometría aplicando diversos ejemplos simulados, desarrollando modelos
didácticos y reforzando el marco teórico.
Herramientas para la nueva práctica:
Incorpora procesos didácticos, interculturales, desarrollando sus capacidades crítico reflexivo así como analizar,
razonar aplicar, comunicar y construir modelos didácticos para el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría
afianzando las técnicas de planificación del proceso de aprendizaje a través de las sesiones, que permiten afianzar los
nuevos conocimientos, y por último con actividades de metacognición.
Anexado a este material se desarrollará sesiones de aprendizaje donde se incluirá talleres de trabajo analítico y gráfico
participativo, medios y materiales como los diseñadores gráficos, y se indicará el logro de las competencias
específicas, contenidos e indicadores.
Competencia general
Ejecuta su plan de acción, organizando, sistematizando y evaluandopermanentemente los resultados de su propuesta pedagógica alternativa, paravalidarla, construyendo saber pedagógico desde la acción.
Competencia específica/Bloque temático
Desarrolla de forma creativa estrategias metodológicas de enseñanza yaprendizaje de la geometría y el diseño de sesiones de aprendizajespertinentes mediante la producción y uso de diversos recursos educativosorientados al desarrollo de las competencias en el área, así mismo, desarrollaespacios de reflexión de labor docente.
Indicadores de logro
Fundamenta su propuesta pedagógica innovadora tomando encuenta los principios de la pedagogía y la didáctica.
Incorpora en su propuesta pedagógica innovadora recursosdidácticos, actividades y estrategias de enseñanza aprendizajeque contribuyen al logro de aprendizajes significativos.
Selecciona los contenidos relevantes del área y los adecuateniendo en cuenta el enfoque del área, el contexto, lasdemandas y necesidades de los estudiantes.
Diseña la programación curricular teniendo como base lapropuesta pedagógica innovadora.
Registra los saberes locales y regionales y los incorpora en laplanificación curricular de corto y mediano plazo.
PRODUCTO ESPERADO
Informe preliminar de la ejecución de la propuesta pedagógica alternativa.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
I UNIDAD:Estrategias para enseñar geometría en relación al
contexto socio-cultural
Presentación
Estimado(a) docente participante, en este texto podrá encontrar unacercamiento general sobre la pedagogía y didáctica de lageometría, su relación con la Etnomatemática, asimismo, laoperativización de los escenarios de aprendizaje propuestos enlas rutas del aprendizaje, para promover el aprendizaje de calidaden los estudiantes. Asumiendo una actitud crítica y reflexiva frentea las propuestas de Ives Chevallar y de los esposos Van Hilereferente a la enseñanza y aprendizaje de la geometría.Promoviendo en el docente una actitud reflexiva y deinvestigación.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
UNIDAD I
Estrategias para enseñar geometría en relación al contextosocio-cultural
Estrategias
metodológicas
para abordar el
buen clima en el
aula
Diseños de sesión
de aprendizajeEtnomatemática
en geometría
ESQUEMA DE CONTENIDOS
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
“Tratar de conocer la realidad en la que vivennuestros alumnos es un deber que la prácticaeducativa nos impone: sin esto, no tenemosacceso a su modo de pensar y difícilmentepodremos, entonces, percibir lo que se saben ycómo lo saben”
Freire (2002, p. 86)
El cotidiano y la escuela
Los estudiantes que protagonizaron este estudio manejaban dinero, es decir, los
estudiantes hacían mandados a la tienda y
debían dar cuenta del dinero que les era
entregado para realizar ciertas compras, otros
estudiantes trabajaban como vendedores
informales en la plaza de mercado o en otros
lugares y debían desarrollar las habilidades
matemáticas que su trabajo les exigía.
Sin embargo, en sus prácticas escolares
parecía que los estudiantes no tuvieran las
habilidades matemáticas que por fuera de
ella sí habían desarrollado. Por ejemplo, los
estudiantes no realizaban, de forma
correcta, los algoritmos de la suma y de la
resta; además, no tenían claro aspectos
relativos al sistema decimal, utilizado por la
sociedad, y que la escuela enseña.
En este sentido, traemos a colación un interrogante propuesto por Freire (2002, p.32):
“¿Por qué no establecer una ‘intimidad’ necesaria entre los saberes curriculares
fundamentales para los estudiantes y la experiencia social que ellos tienen como
APRENDIZAJE ESPERADO:Diseña sesiones de aprendizaje de geometría con etnomatematica e
interculturalidad
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
12
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
personas?”. Aquí Freire cuestiona el porqué de la poca interrelación entre el currículo de
la escuela y la experiencia de vida de los estudiantes, si es precisamente en esa
experiencia de vida donde está presente un sin número de vivencias y conocimientos que
pueden ser retomados e integrados en el currículo de la escuela. Si esta relación
existiese, la escuela no sería vista como un espacio ajeno a la propia vida del estudiante;
como un sitio en el cual se recibe una gran cantidad de conocimientos sin saber qué
utilidad tienen para su vida.
Después de leer el texto anterior, contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Qué habilidades matemáticas desarrollan tus estudiantes fuera de la escuela,
en la comunidad donde laboras?
2. ¿Utilizan las habilidades matemáticas de su entorno en el aprendizaje en el
aula?
3. ¿Utilizas la etnomatemática para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje
en el aula?
1.1 Etnomatemática rural, urbano marginal.1.1.1 Etnomatemática
En la última década, la Etnomatemática se ha convertido en una nueva
vertiente del conocimiento
matemático y en una herramienta
imprescindible en la investigación
de la enseñanza de las
Matemáticas.
El término “etnomatemática”, que
todavía no figura en los
diccionarios, fue acuñado en los
años setenta por el profesor
brasileño Ubiratan D’Ambrosio para describir las prácticas matemáticas de
grupos que fueran culturalmente identificables. No debe asimilarse, aunque
también lo incluye, a estudios centrados en el desarrollo de las Matemáticas
de pequeños grupos indígenas.
PARTE 2: REFLEXION TEORICA
13
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La Etnomatemática puede referirse tanto a un grupo religioso, lingüístico e
incluso a una comunidad obrera concreta; en general, a todo grupo étnico
que en sus prácticas utilice sistemas simbólicos, métodos de cálculo,
mediciones o cualquier otra actividad del conocimiento que pueda
formalizarse matemáticamente. Sus actividades están coordinadas por el
ISGEm (International Study Group on Ethnomathematics), Grupo
Internacional de Etnomatemática, que fue fundado en EEUU en 1985, y
cuya finalidad es la de aumentar nuestra comprensión de la diversidad
cultural de las prácticas matemáticas, para aplicar este conocimiento a la
educación y el desarrollo.
El Primer Congreso Internacional de Etnomatemática se hizo en España,
concretamente en Granada, la primera semana de septiembre de 1998.
1.1.2 Etnomatemática, matemática, educaciónDonde, dentro de la Educación, "la Matemática se constituiría en una parte
de la Etnomatemática", por tanto para aprender Matemática invariablemente
se debe pasar por Etnomatemática.
a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la
antropología o historia.
b) La definición en sí misma depende de quién lo afirma, y culturalmente
es específico.
c) La práctica que describe es también culturalmente específica.
d) Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la
Matemática".
Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos
matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su
respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar,
clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar
e inferir".
"El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del
aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente
comprende:
14
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El sistema de numeración propio.
Las formas geométricas que se usan en la comunidad.
Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente
(tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen).
Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación;
procedimientos de inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos
matemáticos usuales.
Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los
conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos."
1.1.3 AntecedentesPerú es un país cuya realidad compleja se caracteriza por su diversidad.
Expresiones de esta diversidad son su diversidad geográfica y su
biodiversidad, y en relación con estas su multilingüismo y pluriculturalidad.
Según la información de los últimos censos nacionales realizados en el año
2007 y documentos de la Dirección de Educación Intercultural Bilingüe del
Ministerio de Educación, actualmente coexisten en Perú hablantes de 54
lenguas que pertenecen a 16 familias lingüísticas, siendo la lengua originaria
mayoritaria el quechua en sus variedades Cusco-Collao y Ayacucho-
Chanka.
Teniendo como premisa el reconocimiento de la compleja diversidad de la
realidad peruana, sobre todo desde inicios de los 70‟ y en el marco de
proyectos experimentales de educación bilingüe, se empezó a buscar
respuestas de tipo pedagógico que permitieran tener en cuenta no
solamente la diversidad lingüística sino también la diversidad sociocultural
en Perú, con la perspectiva de brindar una educación pertinente a los
estudiantes cuya lengua y cultura son originarias. En el siglo XXI, se ha
reforzado la línea de atención a la diversidad en las políticas educativas
oficiales, en concordancia con la Declaración Universal de la UNESCO
sobre la diversidad cultural, adoptada el 2 de noviembre de 2001. En efecto,
en el primer artículo de esta Declaración se manifiesta que la diversidad
cultural es patrimonio común de la humanidad: “La cultura adquiere formas
diversas a través del tiempo y del espacio. Esta diversidad se manifiesta en
la originalidad y la pluralidad de las identidades que caracterizan a los
15
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
grupos y las sociedades que componen la humanidad. Fuente de
intercambios, de innovación y de creatividad, la diversidad cultural es tan
necesaria para el género humano como la diversidad biológica para los
organismos vivos. En este sentido, constituye el patrimonio común de la
humanidad y debe ser reconocida y consolidada en beneficio de las
generaciones presentes y futuras”. El concepto de diversidad cultural, así
como el de biodiversidad, va más lejos en el sentido de que considera la
multiplicidad de las culturas en una perspectiva sistémica donde cada
cultura se desarrolla y evoluciona en contacto con las otras culturas.
Los antecedentes de la inclusión sistemática de las prácticas y saberes
matemáticos de la propia cultura como base para el desarrollo de
actividades conducentes a logros de aprendizaje de estudiantes hablantes
de una lengua originaria, en el área Matemática, en Perú datan de 1981-89.
En efecto, es en el marco del Proyecto Experimental de Educación Bilingüe,
cuando se realiza un estudio sobre el sistema matemático subyacente en
diversas manifestaciones socioculturales de comunidades quechuas y
aimaras (Villavicencio et al., 1983), y se reconoce la importancia de
considerar en la educación formal los conocimientos matemáticos del grupo
cultural al cual pertenece el educando como base para mejorar el nivel de
sus aprendizajes en el área Matemática (Villavicencio, 1990). Luego de la
institucionalización de la Educación Bilingüe en Perú expresada, entre otros,
en la incorporación de la Educación Bilingüe en la estructura orgánica del
Ministerio de Educación mediante la creación de la DIGEBIL (Dirección
General de Educación Bilingüe) en diciembre de 1987, en la primera
Estructura Curricular de Educación Bilingüe, publicada en el periodo 1988-
junio-1990 por la DIGEBIL, se hace referencia explícita a la importancia de
la etnomatemática propia como contenido a desarrollar en el proceso de
aprendizaje de los estudiantes en el área Matemática.
1.2 Modelos y procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de lasesión de aprendizaje.1.2.1 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje.
La sesión de aprendizaje es el conjunto de situaciones que cada docente
diseña, organiza con secuencia lógica para desarrollar un conjunto de
16
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
aprendizajes propuestos en la unidad didáctica, la sesión de aprendizaje
desarrolla dos tipos de estrategias de acuerdo a los actores educativos:
Del Docente: Estrategias de enseñanza o procesos pedagógicos
Del Estudiante: Estrategias de aprendizaje o procesos cognitivos /
afectivos / motores.
Estrategias de
Aprendizaje
Estrategias de Enseñanza
En este artículo me referiré a las estrategias de enseñanza o también llamados
Procesos Pedagógicos que se tienen presente al desarrollar la sesión de
aprendizaje.
Se define a los Procesos Pedagógicos como “actividades que desarrolla el
docente de manera intencional con el objeto de mediar en el aprendizaje del
estudiante” estas prácticas docentes son un conjunto de acciones intersubjetivas y
saberes que acontecen entre los que participan en el proceso educativo con la
finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y desarrollar competencias
para la vida en común. Cabe señalar que los procesos pedagógicos no son
momentos, son recurrentes y se acuden a ellos en cualquier momento que sea
necesario.
PROCESOS COGNITIVOS
PROCESOS PEDAGÓGICOS
SESI
ÓN
DE
APR
END
IZA
JE
17
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Los procesos pedagógicos son:
1. MOTIVACIÓN: Es el proceso permanente mediante el cual eldocente crea las condiciones, despierta y mantiene el interés delestudiante por su aprendizaje.
2. RECUPERACIÓN DE LOS SABERES PREVIOS: Los saberesprevios son aquellos conocimientos que el estudiante ya traeconsigo, que se activan al comprender o aplicar un nuevoconocimiento con la finalidad de organizarlo y darle sentido, algunasveces suelen ser erróneos o parciales, pero es lo que el estudianteutiliza para interpretar la realidad.
INIC
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3. CONFLICTO COGNITIVO: Es el desequilibrio de las estructurasmentales, se produce cuando la persona se enfrenta con algo que nopuede comprender o explicar con sus propios saberes.
4. PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: Es el proceso centraldel desarrollo del aprendizaje en el que se desarrollan los procesoscognitivos u operaciones mentales; estas se ejecutan mediante tresfases: Entrada – Elaboración – Salida.
CO
NST
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CC
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DEL
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5. APLICACIÓN: Es la ejecución de la capacidad en situacionesnuevas para el estudiante, donde pone en práctica la teoría yconceptuación adquirida.
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6. REFLEXIÓN: Es el proceso mediante el cual reconoce elestudiante sobre lo que aprendió, los pasos que realizó ycómo puede mejorar su aprendizaje.
7. EVALUACIÓN: Es el proceso que permite reconocer losaciertos y errores para mejorar el aprendizaje.M
ETAC
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N
18
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Lo anterior significa que sea cual fuera el esquema que se utiliza en una
sesión, deben diseñarse estrategias que comprendan los procesos
pedagógicos señalados, que viene a ser lo más importante de una sesión.
1.2.2 Elementos de una sesión de aprendizaje
M
O
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I
V
A
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I
Ó
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RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS
APLICACIÓN DE LO APRENDIDO /
TRANSFERENCIA A SITUACIONES NUEVAS
CONFLICTO COGNITIVO
PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
E
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A
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I
Ó
N
REFLEXIÓN SOBRE EL APRENDIZAJE
Sonprocesos
recurrentes yno tiene
categoría demomentos
fijos.
1. ¿Qué van aprender?
2. ¿Cómo van aprender?
3. ¿Con qué se va aaprender?
4. ¿Cómo y con quécompruebo que están
aprendiendo?
Aprendizajes esperados: Capacidades Actitudes Conocimientos
Secuencia Didáctica
Estrategias de aprendizaje Actividades de aprendizaje.
Recursos educativos
Medios Materiales Educativos
Criterios e indicadores
Técnicas Instrumentos de evaluación
19
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
1.2.3 Procesos cognitivos“Conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y coordinadas, por las
cuales se elabora la información procedente de las fuentes internas y
externas de estimulación”.
La cantidad de procesos cognitivos que involucra la manifestación de una
capacidad depende de su complejidad.
1.2.4 Proceso del desarrollo del pensamiento
En el diseño de una sesión de aprendizaje se debe tomar en cuenta este proceso,
partiendo del pensamiento sensorial hacia el nivel del pensamiento lógico.
COGNICIÓNMETA-
COGNICIÓN
DESARROLLO DELPENSAMIENTO
LÓGICO
DESARROLLO DELPENSAMIENTO
RACIONAL
DESARROLLO DELPENSAMIENTO
SENSORIAL
ETAPACONCEPTUAL
SIMBÓLICA
ETAPA INTUITIVOCONCRETA
ETAPA GRÁFICOREPRESENTATIVA
Capacidades de:
1. Aprender a aprender2. Aprender a emprender3. Aprender a vivir juntos4. Aprender a ser5. Aprender a pensar6. Aprender a hacer
Aprender la realidad quenos rodea a través denociones, conceptos,teorías, leyes, principios,símbolos, etc.
Aprender la realidad através de sus diversasformas y maneras derepresentarla y graficarlacomo un medio elementalde razonamiento.
Aprender la realidad através de diversassensaciones, es decir,mediante la informaciónque nos proporcionan lossentidos.
20
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
1.2.5 Sesión de aprendizaje. Operacionalización de capacidadesLas capacidades se desarrollan mediante estrategias/actividades de
aprendizaje que permitan activar en los estudiantes los procesos cognitivos
o motores que involucra la capacidad específica.
Ejemplo:
ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE
PROCESOS COGNITIVOS DE LA CAPACIDAD ANALIZA
BÚSQUEDA YRECEPCIÓN DE
LAINFORMACIÓN
OBSERVACIÓNSELECTIVA DE
LAINFORMACIÓN
DESCOMPOSICIÓNDEL TODO EN
PARTES
INTERRELACIONARLAS PARTES
PARA EXPLICARO JUSTIFICAR
ACTIVIDAD DEAPRENDIZAJE
ACTIVIDAD DEAPRENDIZAJE
ACTIVIDAD DEAPRENDIZAJE
ACTIVIDAD DEAPRENDIZAJE
LECTURAINDIVIDUAL
SUBRAYADO DELAS IDEAS
PRINCIPALES
ELABORACIÓN DELORGANIZADOR
GRÁFICO
EXPOSICIÓN
C A P A C I D A D
manejo dePROCESOS ESTRATEGIAS PROCEDIMIENTOS
PASOSSECUENCIADOS
FORMAS DEOPERAR
ALGORITMOSY/O
HEURÍSTICO
MÉTODOS
TÉCNICAS
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Función mediadora del docente en relación con los ejes curriculares
nacionales (aprender a ser, aprender a vivir juntos, aprender a aprender y
aprender a hacer).
Estrategias cognitivas y meta cognitivas para el aprendizaje.
Procesos pedagógicos y cognitivos en la secuencia didáctica de la sesión
de aprendizaje.
1.3 APRENDIZAJE: ¿ELEMENTOS DE UNA SESIÓN DE APRENDIZAJE?1.3.1 Aprendizajes esperados (capacidades, conocimientos y actitudes)
Los aprendizajes esperados están constituidos por las capacidades,
conocimientos y actitudes que se espera que el estudiante alcance al
término de la sesión, estos surgen de las capacidades, conocimientos y
actitudes previstas en la unidad didáctica.
No hay necesidad de que el profesor formule “aprendizajesesperados”, como se hacía con el DCN en proceso de articulación.Ahora estos aprendizajes están expresados en las capacidades decada área curricular.
Cuando las capacidades están expresadas en forma global pueden ser
desagregadas teniendo en cuenta los procesos o los conocimientos que
involucran.
1.3.2 Secuencia didácticaLa secuencia didáctica comprende el conjunto de actividades de aprendizaje
previstas para desarrollar los aprendizajes de la sesión. En cada secuencia
se van incluyendo los materiales que se utilizarán y el tiempo destinado para
cada actividad.
La columna vertebral de la sesión de aprendizajes son las estrategias
previstas para desarrollar los procesos cognitivos, motores o socio afectivos
que están involucrados en las capacidades.
Las estrategias para desarrollar los procesos pedagógicos (motivación,
recuperación de saberes previos, generación de conflictos cognitivos,
construcción del aprendizaje, aplicación del aprendizaje, etc.) se van
22
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
incorporando en los momentos que el docente considere oportunos y
pertinentes, de acuerdo con las situaciones de aprendizaje que se generen.
1.3.3 EvaluaciónPara la evaluación se deben formular los indicadores en función de los
criterios establecidos, de manera que permitan evaluar los aprendizajes
logrados en la sesión.
Es preciso indicar además que en cada sesión se debe evaluar, pero no es
necesario otorgar calificaciones en cada una de ellas.
MOMENTOS PEDAGÓGICOSSECUENCIA DE ACTIVIDADES
DIDÁCTICAS
1. Inicio del aprendizajeMotivaciónExploraciónProblematización
2. Construcción del aprendizaje
Integración de los saberes previos conel nuevo saber.Elaboración de su nuevo esquemaconceptual.
3. Aplicación o transferencia delaprendizaje
Práctica o aplicación
La evaluación está presente a lo largo de todo el proceso, tanto como actividaddel estudiante que está aprendiendo, como actividad didáctica del profesor queva controlando y retroalimentando el proceso de aprendizaje.
1.4 MOMENTOS Y PROCESOS1.4.1 Inicio del aprendizaje
La motivación consiste en:
Atraer la atención sobre el conocimiento.
Despertar el interés sobre el conocimiento.
Se trata de crear un clima favorable para el aprendizaje.
SESIÓN DE APRENDIZAJE
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Podemos motivar con diversos recursos:
Alguna noticia impactante actual
Juegos
Visitas
Gráficos y pistas para encontrar caminos
Imágenes
Dinámica grupal
Actividades vivenciales
Dramatizaciones
Una historia, etc.
Queda a criterio del docente el que más se adecue a su clase.
La exploración consiste en indagar sobre cuánto saben los estudiantes sobre
el conocimiento a tratar, ¿qué es lo que mis alumnos ya saben sobre esto?, es
decir sus saberes previos traídos desde la educación inicial, primaria,
vivencias; más sus saberes cotidianos obtenidos en el hogar o en su entorno
familiar y social.
La exploración puede darse a través de diversas actividades como:
Interrogantes
Prueba de entrada
Fichas
Mapas conceptuales para completar
Problematización:
El docente crea un conflicto cognitivo, enfrentando al estudiante a un nuevo
desempeño que debe tratar de resolver haciendo uso de todos sus recursos
disponibles. Cada cual aportará sus conocimientos y sus especulaciones,
analizando un aspecto que tiene relación con el tema a tratar en la que han
vertido opiniones contradictorias. Por ejemplo: Si estamos trabajando el tema
de valores podemos crear textos narrativos, instructivos, etc.
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La práctica autónoma: Es la transferencia, es decir, la capacidad desarrollada
en el estudiante para aplicar los conocimientos adquiridos cada vez que lo
necesite en su vida. Se estimula propiciando una práctica a una experiencia
concreta de la vida diaria.
Se les puede pedir que resuelvan dos o más problemas en clase, de esta
manera se les retroalimenta y el estudiante tiene la oportunidad de ejercitarse
y aplicar lo que ha aprendido en clase. A los que tienen dificultad el docente
les puede dar ejemplos y darles retroalimentación adicional, hasta que
demuestren que han tenido éxito en sus habilidades recién adquiridas, éxito
en lo que hacen y aprenden. Así los mantendremos motivados para seguir
aprendiendo.
Los estudiantes pueden trabajar en grupos cooperativos para compartir sus
respuestas, analizar cómo solucionaron el problema y cómo aplicaron la
información.
El momento de aplicación proporciona una multitud de oportunidades para el
desarrollo y utilización del pensamiento crítico porque aprovechan al máximo
lo que están aprendiendo, empiezan a comprender su significado y la manera
en que pueden tener cabida en sus bancos de información, conocimiento y
memoria.
Ampliar las ideas
Revisar las predicciones
Pensar acerca del punto en cuestión
Hablar acerca de él
Leer más acerca del mismo
Escribir acerca de este conocimiento
Transferir, utilizando o desecharlo
Relacionarlo con otras áreas
Apreciar y opinar
Juzgar y evaluar.
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1.5 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela
Asumimos el enfoque centrado en resolución de problemas o enfoque problémico
como marco pedagógico para el desarrollo de las competencias y capacidades
matemáticas, por dos razones:
La resolución de situaciones problemáticas es la actividad central de la
matemática.
Es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemática
con la realidad cotidiana.
Este enfoque supone cambios pedagógicos y metodológicos muy significativos,
pero sobre todo rompe con la tradicional manera de entender cómo es que se
aprende la matemática.
Este enfoque surge de constatar que todo lo que aprendemos no se integra del
mismo modo en nuestro conocimiento matemático.
EJEMPLO:
Una fórmula matemática o la enunciación de una propiedad matemática, pueden
adquirirse de forma superficial mediante un proceso de memorización simple. Esto
posibilitará su reproducción de forma más o menos literal, pero no su utilización
para la resolución de situaciones problemáticas.
Es posible disponer de muchos aprendizajes matemáticos que no sólo seamos
capaces de reproducir, sino de utilizar para dar respuesta a situaciones
problemáticas reales.
1.6 El enfoque centrado en la resolución de problemas ¿Cuál es la importanciadel enfoque centrado en la resolución de problemas?
Este enfoque consiste en promover formas de enseñanza-aprendizaje que den
respuesta a situaciones problemáticas cercanas a la vida real. Para eso recurre a
tareas y actividades matemáticas de progresiva dificultad, que plantean demandas
cognitivas crecientes a los estudiantes, con pertinencia a sus diferencias socio
culturales. El enfoque pone énfasis en un saber actuar pertinente ante una situación
problemática, presentada en un contexto particular preciso, que moviliza una serie
de recursos o saberes, a través de actividades que satisfagan determinados
criterios de calidad. Permite distinguir:
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a) Las características superficiales y profundas de una situaciónproblemática.
Está demostrado que el estudiante novato responde a las características
superficiales del problema (como es el caso de las palabras clave dentro de su
enunciado), mientras que el experto se guía por las características profundas
del problema (fundamentalmente la estructura de sus elementos y relaciones,
lo que implica la construcción de una representación interna, de interpretación,
comprensión, matematización, correspondientes, etc.).
b) Relaciona la resolución de situaciones problemáticas con el desarrollo decapacidades matemáticas.
Aprender a resolver problemas no solo supone dominar una técnica
matemática, sino también procedimientos estratégicos y de control poderoso
para desarrollar capacidades, como: la matematización, representación,
comunicación, elaboración de estrategias, utilización de expresiones
simbólicas, argumentación, entre otras. La resolución de situaciones
problemáticas implica entonces una acción que, para ser eficaz, moviliza una
serie de recursos, diversos esquemas de actuación que integran al mismo
tiempo conocimientos, procedimientos matemáticos y actitudes.
c) Busca que los estudiantes valoren y aprecien el conocimientomatemático.
Por eso propicia que descubran cuán significativo y funcional puede ser ante
una situación problemática precisa de la realidad. Así pueden descubrir que la
matemática es un instrumento necesario para la vida, que aporta herramientas
para resolver problemas con mayor eficacia y que permite, por lo tanto,
encontrar respuestas a sus preguntas, acceder al conocimiento científico,
interpretar y transformar el entorno. También aporta al ejercicio de una
ciudadanía plena, pues refuerza su capacidad de argumentar, deliberar y
participar en la institución educativa y la comunidad.
1.6.1 Rasgos principales del enfoque centrado en la resolución deproblemas
Los rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
a) La resolución de problemas debe impregnar íntegramente el currículo de
matemática.
La resolución de problemas no es un tema específico, ni tampoco una
parte diferenciada del currículo de matemática. La resolución de
problemas es el eje vertebrador alrededor del cual se organiza la
enseñanza, aprendizaje y evaluación de la matemática.
b) La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas
La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes
construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre
entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos.
c) Las situaciones problemáticas deben plantearse en contextos de la vida
real o en contextos científicos
Los estudiantes se interesan en el conocimiento matemático, le
encuentran significado, lo valoran más y mejor, cuando pueden
establecer relaciones de funcionalidad matemática con situaciones de la
vida real o de un contexto científico. En el futuro ellos necesitarán aplicar
cada vez más matemática durante el transcurso de su vida.
d) Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los
estudiantes
Los problemas deben ser interesantes para los estudiantes,
planteándoles desafíos que impliquen el desarrollo de capacidades y que
los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.
e) La resolución de problemas sirve de contexto para desarrollar
capacidades matemáticas
Es a través de la resolución de problemas que los estudiantes desarrollan
sus capacidades matemáticas tales como: la matematización,
representación, comunicación, utilización de expresiones simbólicas, la
argumentación, etc.
El enfoque centrado en la resolución de problemas surge como una alternativa de
solución para enfrentar en nuestro quehacer docente:
Las dificultades para el razonamiento matemático.
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Las dificultades para promover la significatividad y funcionalidad de los
conocimientos matemáticos.
El aburrimiento, desvaloración y falta de interés por la matemática.
Las dificultades para el desarrollo del pensamiento crítico en el aprendizaje de la
matemática.
El desarrollo de un pensamiento matemático descontextualizado.
1.6.2 Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas
Lograr que el estudiante:
Se involucre en un problema (tarea o actividad matemática) para
resolverlo con iniciativa y entusiasmo.
Comunique y explique el proceso de resolución del problema.
Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el
proceso de resolución del problema, partiendo de un conocimiento
integrado, flexible y utilizable.
Busque información y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje
significativo.
Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situación
problemática presentada.
Reconozca sus fallas en el proceso de construcción de sus
conocimientos matemáticos y resolución del problema.
Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de
manera conjunta para lograr una meta común.
¿Qué es una situación problemática?
Una situación problemática es una situación de dificultad ante la cual hay que
buscar y dar reflexivamente una respuesta coherente, encontrar una solución.
Estamos, por ejemplo, frente a una situación problemática cuando no disponemos
de estrategias o medios conocidos de solución.
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¿Qué es resolver una situación problemática?
Resolver una situación problemática es:
Encontrarle una solución a un problema determinado.
Hallar la manera de superar un obstáculo.
Encontrar una estrategia allí donde no se disponía de estrategia alguna.
Idear la forma de salir de una dificultad.
Lograr lo que uno se propone utilizando los medios adecuados.
1.7 COMPETENCIA MATEMÁTICA
Como una alter nativa a los modelos formativos tradicionales de aprendizaje
memorístico de matemáticas, los cuales difícilmente pueden ser aplicados a la vida
real, surge la competencia matemática.
a) Saber actuar: Alude a la intervención de una persona sobre una situación
problemática determinada para resolverla, pudiendo tratarse de una acción que
implique sólo actividad matemática.
b) Tener un contexto particular: Alude a una situación problemática real o
simulada, pero plausible, que establezca ciertas condiciones y parámetros a la
acción humana y que deben tomarse en cuenta necesariamente.
c) Actuar pertinentemente: Alude a la indispensable correspondencia de la acción
con la naturaleza del contexto en el que se interviene para resolver la situación
problemática. Una acción estereotipada que se reitera en toda situación
problemática no es una acción pertinente.
d) Seleccionar y movilizar saberes: Alude a una acción que echa mano de los
conocimientos matemáticos, habilidades y de cualquier otra capacidad
matemática que le sea más necesaria para realizar la acción y resolver la
situación problemática que enfrenta.
e) Utilizar recursos del entorno: Alude a una acción que puede hacer uso
pertinente y hábil de toda clase de medios o herramientas externas, en la
medida que el contexto y la finalidad de resolver la situación problemática lo
justifiquen.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
f) Utilizar procedimientos basados en criterios: Alude a formas de proceder que
necesitan exhibir determinadas características, no todas las deseables o
posibles sino aquellas consideradas más esenciales o suficientes para que
logren validez y efectividad.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
1.8 Capacidades matemáticas
La resolución de situaciones problemáticas es entonces una competencia
matemática importante que nos permite desarrollar capacidades matemáticas.
Todas ellas existen de manera integrada y única en cada persona y se desarrollan
en el aula, la escuela, la comunidad, en la medida que dispongamos de
oportunidades y medios para hacerlo.
En otras palabras, las capacidades matemáticas se despliegan a partir de las
experiencias y expectativas de nuestros estudiantes, en situaciones problemáticas
reales. Si ellos encuentran útil en su vida diaria los aprendizajes logrados, sentirán
que la matemática tiene sentido y pertinencia.
La propuesta pedagógica para el aprendizaje de la matemática toma en cuenta el
desarrollo de seis capacidades matemáticas, consideradas esenciales para el uso
de la matemática en la vida cotidiana. Éstas sustentan la competencia matemática
de resolución de problemas y deben abordarse en todos los niveles y modalidades
de la Educación Básica Regular. Estas seis capacidades son las siguientes:
Matematizar
Representar
Comunicar
Elaborar estrategias
Utilizar expresiones
simbólicas
Argumentar
Todas ellas están implicadas
en cualquier situación
problemática real, o
matemática. Pueden ser
utilizadas por nuestros
estudiantes cada vez que las
enfrentan para resolverlas.
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Matematizar: La matematización es un proceso que dota de una estructura
matemática a una parte de la realidad o a una situación problemática real. Este
proceso es eficaz en tanto pueda establecer igualdad en términos de la estructura
matemática y la realidad. Cuando esto ocurre las propiedades de la estructura
matemática corresponden a la realidad y viceversa. Matematizar implica también
interpretar una solución matemática o un modelo matemático a la luz del contexto
de una situación problemática.
Representar: Existen diversas formas de representar las cosas y, por tanto,
diversas maneras de organizar el aprendizaje de la matemática.
El aprendizaje de la matemática es un proceso que va de lo concreto a lo abstracto.
Entonces, las personas, los niños en particular, aprendemos matemática con más
facilidad si construimos conceptos y descubrimos procedimientos matemáticos
desde nuestra experiencia real y particular. Esto supone manipular materiales
concretos (estructurados o no), para pasar luego a manipulaciones simbólicas. Este
tránsito de la manipulación de objetos concretos a objetos abstractos está apoyado
en nuestra capacidad de representar matemáticamente los objetos.
Comunicar: El lenguaje matemático es también una herramienta que nos permite
comunicarnos con los demás. Incluye distintas formas de expresión y comunicación
oral, escrita, simbólica, gráfica.
Todas ellas existen de manera única en cada persona y se pueden desarrollar en
las escuelas si éstas ofrecen oportunidades y medios para hacerlo.
Elaborar diversas estrategias: Al enfrentar una situación problemática de la vida
real, lo primero que hacemos es dotarla de una estructura matemática. Luego,
seleccionamos una alternativa de solución entre otras opciones.
Si no disponemos de ninguna alternativa intentamos crearla. Entonces, cuando ya
disponemos de una alternativa razonable de solución, elaboramos una estrategia.
De esta manera, la resolución de una situación problemática supone la selección o
elaboración de una estrategia para guiar el trabajo, interpretar, evaluar y validar su
procedimiento y solución matemáticos. La construcción de conocimientos
matemáticos requiere también seleccionar o crear y diseñar estrategias de
construcción de conocimientos.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Expresar expresiones simbólicas: construir sistemas simbólicos con
características sintácticas, semánticas y funcionales peculiares.
El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la comprensión de las
ideas matemáticas, sin embargo éstas no son fáciles de generar debido a la
complejidad de los procesos de simbolización.
Argumentar: Esta capacidad es fundamental no solo para el desarrollo del
pensamiento matemático, sino para organizar y plantear secuencias, formular
conjeturas y corroborarlas, así como establecer conceptos, juicios y razonamientos
que den sustento lógico y coherente al procedimiento o solución encontrada.
Así, se dice que la argumentación puede tener tres diferentes usos:
Explicar procesos de resolución de situaciones problemáticas.
Justificar, es decir, hacer una exposición de las conclusiones o resultados a los
que se haya llegado.
Verificar conjeturas, tomando como base elementos del pensamiento
matemático.
1.9 Escenarios de aprendizaje:El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la
necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que
asegure una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al
desarrollo social. Es en este marco que el Ministerio de Educación, como una de
sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de
calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía, ciencia, tecnología y
productividad.
En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las
competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es
decir, como un medio para comprender, analizar, describir, interpretar, explicar,
tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas, haciendo uso de
conceptos, procedimientos y herramientas matemáticas.
Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a
tus manos, como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta
para que nuestros estudiantes puedan aprender. En él se formulan seis
capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la
competencia matemática y trabajarla de forma integral.
Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a
partir de una situación problemática, se desarrollan las seis capacidades
matemáticas, en forma simultánea, configurando el desarrollo de la competencia.
¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?
En esta sección desarrollaremos algunos puntos que nos ayudarán a mejorar
nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren los
aprendizajes matemáticos.
Desarrollando escenarios de aprendizaje
El desarrollo progresivo de las competencias en el área de Matemática se
manifiesta por medio de las capacidades de manera dinámica, lo que permite
generar condiciones adecuadas para los espacios de aprendizaje. La matemática
basada en la resolución de problemas requiere de contextos de aprendizaje donde
tengan lugar diversas experiencias, acciones y situaciones.
Por ello, es importante reconocer estos escenarios que actúan de forma
complementaria:
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
a) Sesión laboratorio matemático
El estudiante, a partir de actividades vivenciales y lúdicas, logra construir
conceptos y propiedades matemáticas. La experimentación le permite el
reconocimiento de regularidades para generalizar el conocimiento matemático.
b) Sesión taller matemático
El estudiante pone en práctica aquellos aprendizajes que ya ha desarrollado.
Despliega diversos recursos (técnicos, procedimentales y cognitivos) en la
intención de resolver situaciones problemáticas.
c) Proyecto matemático
Se pone en práctica el acercamiento de los conocimientos matemáticos a
aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto comprende un conjunto de
actividades para indagar y resolver una situación problemática real con
implicancias sociales, económicas, productivas y científicas.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
SESION DE APRENDIZAJEESCENARIO: LABORATORIO
Nombre: Identificamos las rectas y puntos notables en el triángulo.
I. PARTE INFORMATIVA:AREA: Matemática Ciclo: VI Grado(s) y
Sección(es):Dominio: Tiempo
Docente: Fecha: 4° Geometría 3 horaspedagógicas
II. PARTE INTENCIONAL: Propósito de la sesiónAprendizajeFundamental
Estándares de Aprendizaje Competencia
Hace uso desaberescientíficos ymatemáticos paraafrontar desafíosdiversos, encontextos reales oplausibles, desdeuna perspectivaintercultural.
Resuelve problemasgeométricos estableciendorelaciones entre conceptos,técnicas y procedimientos dedistintas áreas de lamatemática. Selecciona entrevarios procedimientos pararesolver problemas endiferentes contextosgeométricos, acorde a lascaracterísticas del problema.Conjetura sobre la base deexploraciones realizadas conherramientas tecnológicas yverifica proposicionesgeométricas mediante axiomasy demostraciones directas eindirectas.
Resuelve situaciones problemáticasde contexto real y matemático queimplican el uso de propiedades yrelaciones geométricas, suconstrucción y movimiento en elplano y el espacio, utilizandodiversas estrategias de solución yjustificando sus procedimientos yresultados.
Tema Transversal: Promoviendo práctica de valores con el ejemplo
SITUACION PROBLEMÁTICAUn agricultor tiene un terreno de formatriangular, quiere construir dentro unjardín de forma circular que cubra lamayor área posible para sembrarflores ornamentales. ¿Cómo leayudaría usted a diseñarlo?
ContextoSituación contextovivencial
Áreas afines- Ciencia tecnología y
ambiente.- Educación para el trabajo.- Persona, familia y
relaciones humanas.
Conocimiento:
Líneas y puntos notables en untriángulo.
PropósitosUtilizarconocimientosgeométricos pararesolver problemasen variadoscontextos.
Conocimientos previos
Segmentos, ángulos, puntomedio, perpendicularidad.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
III. PARTE OPERATIVA: Secuencia didácticaCAPACIDADES E
INDICADORESACTIVIDADES RECURSOS
Capacidades.
Matematiza, representa,comunica, elaboraestrategias, utiliza
expresiones simbólicas,argumenta
El especialista muestra el material didácticocon el que se va a trabajar el día de hoy.
Se va a solucionar situaciones problemáticasdesde el contexto de la vivencia del pobladorandino.
Se presenta la situación problemática.
ProyectormultimediaLaptopMaterialdidáctico.
Armar el materialdidáctico que utiliza en lasolución de la situaciónproblemática.
Representar de maneraenactiva el terreno de lacomunidad utilizando elmaterial didáctico.
Determinar el área delterreno desde el lugardonde se encuentrancada uno de sus hijos delpresidente de lacomunidad.
Elaborar un gráfico de laforma de determinar elárea del terreno de lacomunidad.
Argumentar la formacomo calculó el área delterreno en cada uno delos casos.
Comunicar a suscompañeros la forma desolución de la situaciónproblemática.
Simbolizar matemáticamente la forma dedeterminar el área delterreno de la comunidad.
Se les presenta el material didáctico, con elcual trabajará cada grupo.
Se les pide que la situación problemáticasea resuelto con la ayuda del material quetienen en su mesa.
Armen el triángulo, que represente alterreno del jardinero.
Construya una circunferencia con lacartulina y ubícala dentro del triángulo.
Une el punto centro de la circunferenciainscrita en el terreno triangular con cadauno de sus vértices.
Mide cada ángulo del interior del terrenotriangular cortado por las líneas que unenel vértice y el centro de la circunferencia.
Elabore el gráfico de la situaciónproblemática.
Argumenta los pasos que realizas en elproceso solución de la situaciónproblemática.
Comunique a sus compañeros la forma desolución de la situación problemática.
En términos matemáticos ¿Cómo llamaríausted al punto centro de la circunferenciainscrita en el triángulo?
Reflexionen:
Argumenta en forma coherente losprocesos que ha empleado para resolverel problema.
Resuelvan situaciones problemáticas:
¿Qué pasaría si el triángulo fueseacutángulo?
¿Qué pasaría si el triángulo fueserectángulo?
PapelesReglasTransportadorCompasLapicerosPlumonesMaterialdidácticomanipulable.
Metacognición¿Qué dificultades he vencido para resolver elproblema?¿Qué conocimientos nuevos he descubiertopara mejorar los que ya tenía?
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
IV. PARTE EVALUATIVA
TÉCNICAS: Trabajo grupal. Diálogo. Observación INSTRUMENTO: Lista de cotejo.
V. BIBLIOGRAFÍA: GARRIGA R. FranciscoMatemática Moderna II, editorial Norma, Cali Colombia. RAMOS P. Rafael y otros Matemática 1, editorial Norma, lima Perú
1.10 Estrategias metodológicas para abordar el buen clima en el aula, lainterculturalidad, la inclusión y la convivencia democrática.1.10.1 Estrategias y técnicas docentes para el control de la clase, ejercer un
buen gobierno y tener un buen clima en el aula.Justificación para su utilización en la mejora de la convivencia.El profesorado de secundaria se enfrenta en su práctica docente al reto
de proporcionar una respuesta educativa adecuada a una gran
diversidad de alumnado, siendo un reto permanente, resulta muy
complicado atender a las necesidades de algunos alumnos que muestran
conductas desadaptadas por desequilibrios emocionales y conductuales,
junto a un conjunto de estudiantes que se suman al fenómeno de
“disfunción en el aula” por diferentes razones.
“La disrupción en el aula” supone la alteración de la adecuada marcha
de la dinámica del aula y se traduce en un conglomerado de conductas
inapropiadas dentro del contexto específico de la clase que retarda y en
algunos casos impide el proceso de enseñanza y aprendizaje, se nutre
de malas relaciones interpersonales y de falta de comunicación entre los
miembros (Fernández, 2000).Por tanto, su repercusión excede a los
individuos sobre los que se centra la acción (estudiante-profesor) ya que
produce mayor fracaso escolar en el grupo clase y propicia un clima del
aula tenso donde se crean malas relaciones interpersonales tanto entre
profesores y estudiantes como entre los propios estudiantes.
La presencia de diferentes profesores en el aula de educación
secundaria, genera desorganización y supone una fuerte exigencia de
coordinación entre profesores para el control de la clase y de algunos
estudiantes, supone a su vez sumar esfuerzos para lograr pautas
concretas y claras de funcionamiento. La insuficiente clarificación y
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
asunción de las líneas, pautas disciplinarias y de funcionamiento del aula
por parte del profesorado desemboca en el abandono del control
ejercido sobre algunos estudiantes, insuficiente control diario de las
actividades de clase, etc. Estilos de intervención educativa del
profesorado no coincidentes pueden facilitar la presencia de grupo de
estudiantes incontrolados, ya que la incapacidad de control de la clase
por parte de un profesor puede actuar como un poderoso refuerzo de
posteriores conductas desordenadas, y no solo porque los estudiantes
puedan salirse con la suya sino porque justamente se divierten
comprobando el fracaso del profesor.
Cuando en el ámbito educativo se manifiesta un comportamiento del
adaptado, disruptivo, hemos de entender que se produce en un contexto.
Por tanto, la respuesta educativa para modificar o mejorar esa conducta
deberá afectar a ambos, ya que tienen un origen interactivo, es decir
estas manifestaciones dependen tanto de la situación personal del
alumno (de sus necesidades personales y sociofamiliares) como los
estímulos que interactúan.
Este documento se ofrece al personal docente de los centros de
educación secundaria como un instrumento de apoyo y orientación
sobre la respuesta educativa que pueden adoptar ante estos
comportamientos disruptivos.
Enfoques para su tratamiento
Resulta difícil determinar un único modelo teórico que permita abordar el
tratamiento de los problemas de conducta, puesto que las causas que
desencadenan estas conductas son complejas y variables, se sitúan en
factores personales (baja autoestima por su ineficacia ante las tareas
escolares, reacciones inadecuadas ante la frustración por ausencia de
éxito , déficit en habilidades sociales que afecta a las relaciones
interpersonales, ausencia de valores prosociales compatibles con el
contexto escolar y aprendidos en el ámbito familiar o sociocultural) del
individuo que interactúa en un contexto educativo diverso y diferente en
cada situación, momento.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El enfoque conductista de los problemas exige del profesor tener en
cuenta la conducta los estudiantes, sus consecuencias y el contexto en el
que se desarrolla.
La reacción (respuesta) del profesor y del contexto interpersonal,
situacional ante una conducta problemática determinará su aparición o
mantenimiento.
El estudiantes aprende, a través del condicionamiento operante, que
ciertas formas de comportamiento (conducta) parecen lograr la atención
que está buscando, por ello, ciertas formas de interactuar del profesor y
compañeros, que actúan como estímulos desencadenantes, refuerzan
su aparición y frecuencia.
Esta perspectiva no especula sobre los motivos, no tiene en cuenta lo
que pasa por la mente del estudiante, no considera que el alumno tome
conciencia de su conducta inadecuada.
Al contrario, el enfoque cognitivo, considera la actividad mental del
alumno, su mundo interior de pensamientos, motivos, intereses,
motivaciones y emociones. Intenta determinar el modo en como el
alumno interpreta y juzga su entorno, así como sus propias relaciones.
Pretende que el alumno realice una reestructuración cognitiva, es decir
se produzca una modificación y mejora de su forma de pensar sobre el
ambiente y sobre el mismo, así como a saber interpretarlo para favorecer
un cambio de actitudes que modifique su conducta.
La disminución de los problemas de conducta radicaría en hacer
relevante los aprendizajes, las tareas escolares, mejorando la motivación,
el interés del alumno, el cambio de actitudes y desarrollo de estrategias
de autocontrol.
Un rasgo fundamental del tratamiento cognitivo sobre el control de la
clase, es la posibilidad de prevenir muchos problemas antes de su
manifestación, el profesor debe analizar a los alumnos y hacer una
valoración profunda de las variables que influyen en su modo de
conceptuar los sucesos de clase adaptando la respuesta educativa a las
necesidades que el alumno presenta: mejorar la autoestima, su
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
autoeficacia y oportunidades de éxito en el ámbito académico, cambiar
actitudes y desarrollar estrategias de autocontrol.
Estos dos enfoques no son excluyentes sino complementarios en una
serie de puntos y coinciden parcialmente en una variedad de aspectos.
Además, hemos de contar con las aportaciones que ofrece el aprendizaje
social, el cual considera la importancia que tienen los condicionamientos
sociales en el surgimiento y mantenimiento de la conducta
desadaptadas.
Así pues, el estudio de una conducta en relación con el contexto en que
se aparece debe tener en cuenta:
• Que la influencia del medio sobre el sujeto está afectado por los
procesos cognitivos que determinan su percepción e interpretación.
• Que precisamente esos procesos inciden en la autoeficacia de la
persona, ya que influyen en la valoración que puede hacer de su
capacidad para realizar la conducta requerida y obtener un
resultado exitoso.
• Que unido a esos procesos, debe acompañarse el esfuerzo por
desarrollar estrategias de autocontrol y autorregulación.
• Que junto a este tipo de estrategias de autogobierno debemos
integrar otras basadas en el condicionamiento y en el aprendizaje
vicario (por observación o por modelado).
Con todo ello, nos resultará más fácil analizar la respuesta en interacción
con el ambiente en el que se manifiesta, lo que implica que
consideraremos la conducta como algo aprendido para hacer frente a
demandas autoimpuestas y/o impuestas por el entorno, convirtiendo el
desajuste en un problema de aprendizaje social susceptible de
readaptación a través de adecuados procesos de modificación tanto
internos como externos.
Entendemos, por tanto como alteración conductual en el contexto
educativo, como un proceso de inadaptación del individuo, incapaz de
ajustarse adecuadamente a su medio físico, académico o social,
generalmente con repercusión en su vida emocional, en su
comportamiento y en el propio medio en que se realiza.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
1.10.2 Objetivos de la estrategia.Nos planteamos como objetivos la prevención para minimizar en lo posible
la aparición de conductas no deseadas, ya que entendemos que el centro
educativo, con su estructura y organización, puede constituirse en sí mismo
en causa de problemas de adaptación. La prevención hace necesario
prestar la mayor importancia posible al logro de comportamientos que
permitan el aprendizaje y convivencia, ya que se presentan íntimamente
unidos. El control y el manejo del proceso de enseñanza y aprendizaje, al
clima del aula, al complejo mundo de relaciones interpersonales en el aula-
clase, así como a la motivación de los alumnos se hacen imprescindibles
en la mejora de la convivencia que permita el aprendizaje. La planificación
preventiva, que si bien, no va evitar que situaciones problemáticas surjan, al
menos conseguirá que disminuyan y se vivan con un talante más proclive a
las soluciones. Por ello, hemos determinado un primer apartado de
prevención a través de reglas básicas que orientan la gestión de la clase y
mejora del clima social de la clase.
La intervención ha de ser lo más coherente que sea posible, mediante
pautas de actuación a establecer por el profesorado con criterios comunes.
Estos recursos y estrategias docentes han de ser asumidas por todo el
equipo educativo en su totalidad, para que los alumnos perciban que existe
una coherencia en la actuación del profesorado ante las conductas no
deseadas o disruptivas. Cabe señalar, que somos conscientes de que
existen otras variables influyentes, los estímulos son diferente en cada
contexto, tanto personales (personalidades, formas de relación, estilos de
enseñanza, aprendizaje) como ambientales. Las técnicas de intervención
que más adelante expondremos, se derivan de enfoques conductuales,
cognitivos de la conducta y del aprendizaje social.
Descripción de la medida. Breve repaso de la mismaa) "Reglas" básicas de una buena gestión de la clase:
Necesarias para una adecuada prevención de conductas disruptivas
o no deseadas en clase, pretenden controlar el contexto en el que se
suelen producir estas conductas inadecuadas. Aquellos profesores que
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
no determinan su actuación en función de una serie de reglas que
facilitan el control y gestión, se muestran ambivalentes, actuando de
forma desordenada, impulsiva, desestructuran el proceso de la clase y
tienen más probabilidades de disrupción que aquellos que no las
establecen. Si el profesor resulta sensible a estas variables, podrá
manipularlas en cierta medida con objeto de eliminar las
circunstancias que aparentemente dan lugar al problema.
Se constituyen en alguna medida en modos de proceder que regulan
la actividad, permiten predecir la marcha de la clase, estructura la
actividad y le da seguridad. Muchas de ellas forman parte del estilo
docente de cada profesor y de su visión de cómo enseña, muy
influyente en el clima social del aula.
Pasan a formar parte de las estrategias de resolución de conflictos, de
los procesos de instrucción y de las maneras en que un profesor
determinado controla y gestiona su aula.
Las englobamos en los siguientes criterios: adaptación de Fontana La
Disciplina en el aula; Isabel Fernández Guía Para Convivencia en el
Aula:
Criterios organizativos: Organización eficaz de la clase; puntualidad;
ponerse rápidamente a la tarea y tratar de conseguir la atención;
colaboración de toda la clase.
Criterios metodológicos y curriculares: buena preparación; adaptación
de la programación a la diversidad del alumnado; brindar
oportunidades de éxito; garantizar oportunidades adecuadas de
actividades prácticas; mantener las notas al día; distribución justa y
equitativa de la atención del profesor.
Criterios socioemocionales: Utilizar una comunicación efectiva;
mantenerse alerta ante las incidencias de la clase; evitar
comparaciones; mantenimiento de las promesas; delegación en la
medida de lo posible de las tareas rutinarias de la clase a los alumnos;
crear expectativas positivas; establecimiento claro de límites dentro del
aula; cuidar el clima social y cohesión grupal.
44
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos,
materiales sobre “reglas básicas de una buena gestión de la clase”
inserto en el bloque prevención de problemas de conducta.
b) Eestrategias y técnicas docentes para el control de la clase:Constituyen recursos específicos que orientan al profesor sobre cómo
actuar ante un problema de conducta. Adaptación de Emilio Cidad
Maestro(1987) Modificación de Conducta en el Aula e Integración
Escolar; Equipos de Orientación Educativa y Psicopedagógica del
Principado de Asturias “Técnicas Básicas de la Disciplina ” y otros
autores Fontana , Vallés ...:
COMO IGNORAR:
Retirar la atención, no se debe reaccionar. La ignorancia sistemática es
el arte de ignorar los comportamientos que desagradan y prestar
atención positiva a los que agradan. Nunca debe hacerse una cosa sin
la otra.
Ejemplo: ante los chillidos de un alumno se debe ignorar y reforzar
cuando hable en un tono adecuado “que bien has hablado sin levantar
la voz” no se recomienda “que bien has hablado sin chillar” , porque
con esta última opción se pone atención en la conducta negativa que
queremos suprimir “chillar”.
COMO ELOGIAR:
Alabar el comportamiento, la conducta y no la personalidad. El
propósito de elogiar es aumentar conductas deseables, de modo que
es necesario hacer hincapié en qué conducta concreta se persigue.
El modo más eficaz de formar una buena conducta es moldearla con
elogios.
Ejemplo: has recogido muy bien la mesa, en vez de a todo lo que
obedezca se le diga que obediente eres, pues el alumno no pondrá la
atención en las conductas concretas a instaurar.
CÓMO ATENDER A LA CONDUCTA DESEADA:
Incidir sobre la conducta positiva y dar mensajes sobre los que se ha
de hacer, no sobre lo que se quiere corregir. Se puede activar la
45
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
extinción de las conductas indeseables reforzando las buenas
conductas con elogios y recompensas. Por ejemplo: se debe decir “me
parece muy adecuado que hayas permanecido sentado en tu lugar
durante la explicación” en vez de “ me parece muy adecuado que NO
te levantes” para ello se debe evitar decir NO y convertirlo en una
conducta positiva , calla en vez de decir no hables...
COMO USAR LA SOBRECORRECCION:
Es una alternativa para acabar con los comportamientos indeseables
persistentes. Utiliza consecuencias naturales para romper con los
malos hábitos y para enseñar comportamientos apropiados al mismo
tiempo.
Si un estudiante ha tirado papeles o a rayado la mesa debe limpiar el
lugar y la mesa en vez de que se quede sin recreo.
COMO PREMIAR:
Las recompensas de conductas deseables actúan como refuerzos que
hacen que el alumno se sienta bien por lo que ha hecho y quiera hacer
lo mismo más a menudo. Proporcionan motivación e inciden en la
autoestima.
COMO USAR EL "TIEMPO FUERA":
Supone apartar al alumno de una actividad o situación para que no
pueda tomar parte en esa actividad o recibir elogios y atención.
Un estudiante que insistentemente está interrumpiendo la clase sin
parar y los demás lo refuerzan con sus miradas y risas constantes,
debe salir de clase por un momento.
ASPECTOS A TENER EN CUENTA ANTE EL CASTIGO:
No se recomienda en castigo porque existen varios inconvenientes:
deteriora las relaciones, puede generar sentimientos negativos, baja
autoestima, puede actuar como reforzador. Es más aconsejable usar
técnicas positivas.
En sí mismo, el castigo no enseña al alumno a portarse bien. Para
animar al estudiante a actuar de la forma deseada, se deben definir,
46
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
enseñar y recompensar las conductas positivas que se quieren
establecer.
Cada uno de ellos se desarrolla en los documentos prácticos,
materiales “técnicas conductuales para el control de la clase”.
c) Estrategias del profesorado para enfrentarse a amenazasconcretas al control de la clase.Adaptación de diferentes autores Fontana Disciplina en el Aula, Vaello
Orts Las habilidades Sociales en el aula, Rodríguez y Luca de Tena
(2001): Programa de Disciplina en la Enseñanza Secundaria
Obligatoria.
GROSERÍAS
Definición: una aparente insolencia a alguna observación del profesor,
sea de tipo verbal o como una conducta desdeñosa de carácter
actitudinal, no verbal (marcharse y dejarlo hablando, suspiros mirando
al cielo, etc.). Objetivo del alumno es medir las fuerzas del profesor e
intentar desacreditarle frente al grupo para demostrar así su poder.
Busca ofender o desautorizar al profesor para ganar prestigio o
expresar su resentimiento. Cuando el profesor reacciona con un gesto
de enfado manifiesto, que muestra su ira, el alumno puede sentirse
satisfecho: él ha ganado.
Ante esto, el profesor debe no actuar impulsivamente, esperar unos
segundos. Evitar responder de la misma forma, no mostrar signos de
enfado. Conversación privada, intentando interrumpir el menor tiempo
posible.
Manifestar atención positiva a la conducta a instaurar, borrado de una
queja anterior por cada tiempo sin groserías. Entrenamiento en
reciprocidad, exigencia de respeto.
Compromiso público y contrato de conducta, junto con reflexión
individual mediante una registro por escrito “Analizo mi
comportamiento”.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
DESAFÍOS
Definición: Enfrentamiento al profesor negándose a seguir sus
órdenes: “no pienso hacerlo…”, “no me da la gana…”. Se opone a todo
lo que dice el profesor. Igual que arriba
Objetivo del estudiante: provocar al profesor con una negativa rotunda
para llamar su atención, para demostrar su poder, cuestionando la
autoridad del profesor, al cual procura enfurecerle reaccionando en
contra, puede que muestre rechazo por fracaso escolar continuado, su
conducta empeora si le miran o hacen caso, por ello se ha de hacer un
pacto con los satélites los que le siguen, le refuerzan. No suele
importarle las opiniones y valores de los demás. Suele burlarse y
criticar a los que no son como él.
Ante esto, el profesor debe mantener el control y permanecer callado.
Demorar la respuesta, posponer las explicaciones al final de clase.
Petición y entrenamiento en el respeto mutuo. Advertencia en privado,
pidiendo explicaciones sobre los motivos de su provocación. Evitar las
ironías. Centrarse en la conducta y no en el alumno.
Contrato de compromiso estudiante-profesor-padres. Reflexión sobre
su conducta con un registro por escrito “analizo mi comportamiento”.
Toma de conciencia del sentido y la necesidad de las normas, razone
por qué existe la norma que se ha violado y que de otra.
Triangulación de otro profesor o cargo directivo.
AGRESIÓN FÍSICA AL PROFESOR:
Definición: actuación violenta de un alumno hacia un profesor,
enfrentamiento físico. El agresor suele tener escaso autocontrol,
autoestima.
Ante esto, el profesor no debe responder con otra agresión. Pararle las
manos diciéndole tranquilízate, cálmate. Buscar la causa de esa
reacción e intentar llegar a una solución pacífica.
48
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
AGRESIONES FÍSICAS ENTRE ESTUDIANTES:
Definición: violencia física y verbal entre iguales, diferentes
manifestaciones de maltrato entre iguales, una entre ellas bullying,
acoso escolar continuado.
Ante esto, el profesor debe intervenir de forma rápida y decisiva. Suele
bastar una orden firme para que paren. Debe ser una acción tranquila:
los llamará por sus nombres y dirá “¡basta ya!”. Mediar a través de un
experto para que los estudiantes lleguen una solución negociada del
conflicto.
En el caso de bullying existen métodos específicos para intervenir
Método Pikas, círculo de amigos, entrenamiento en el autocontrol, ...
INCIDENTES VIOLENTOS:
Diferentes manifestaciones agresivas...
Ante esto, el profesor debe proporcionar una respuesta calmada y
decisiva, intentando que no se convierta en un espectáculo disolviendo
rápidamente y aislando a los implicados para buscar la descripción del
detonante del conflicto, qué ocurrió y posibles soluciones a través de
un compromiso mutuo y negociado con o sin sanción.
Contrato conductual con el agresor en el que intervengan los padres-
estudiante–profesor.
Adiestrar al violento en el control de la ira y la impulsividad.
HIPERACTIVIDAD:
Definición: alumno con déficit de atención, impulsividad y gran
actividad motriz que ocasiona con frecuencia disrupción en el grupo-
clase.
Conductas típicas: se muestra muy movido, no para, se levanta
constantemente, habla demasiado, no se concentra en las tareas, baja
o escasa atención. Es impulsivo, irreflexivo, suele buscar excusas para
todo, no suele ser consciente de que está haciendo algo malo. Puede
llegar a salirse de la clase sin ningún motivo.
49
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Ante esto, el profesor debe ubicarlo cerca y mantener una fijación
visual constante. Autorizar movimientos cada cierto tiempo; dar
responsabilidades que impliquen movilidad. Instrucciones constantes.
Alabar los logros y pequeños progresos, trazar actividades variadas y
cortas. Reforzar conductas más adaptativas (atender al profesor, estar
sentado...)
EL ESTUDIANTE INADAPTADO
Definición: alumno que presenta grandes dificultades para relacionarse
en todos los contextos que se desenvuelve: escolar, familiar, social,
manifestando una conducta desviada de la normalidad con alta
frecuencia.
Ante esto, el profesor debe conocer las características peculiares del
alumno para intentar responder de forma más adecuada. Para su
valoración y tratamiento se requiere el concurso de varios
especialistas. Se debe hacer consciente de su problema, a su vez
debe percibir que se le ayuda.
CLASE DESCONTROLADA
Definición Alto grado de disrupción en el aula que impide el proceso de
enseñanza y aprendizaje
Ante esto, el profesorado debe mostrarse unido y coherente con las
pautas a llevar a cabo. Deben valorarse las relaciones y los
comportamientos, las conductas disruptivas y establecer las conductas
a instaurar, reforzando las conductas adaptativas. Analizar las
relaciones en el grupo a través de un tets sociométrico, potenciar los
roles positivos o prosociales; reconducción de los roles obstructivos de
la convivencia o antisociales, sustituyéndolos por otros constructivos
(contratos de conducta, compromiso público, implicación de los
padres); inhibición de los roles incompatibles.
Para más información consultar materiales sobre “estrategias
concretas ante amenazas”.
Otros documentos prácticos sobre reflexión conductual “Cuestionario
de autoanálisis conductual” y “contrato conductual”.
50
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Procedimiento para implementarla en el centro. Secuencia de acciones yresponsables.Las medidas indicadas para prevenir o aminorar la aparición y frecuencia de
conductas disruptivas, así como para su intervención más directa, exigen la
actuación coherente del profesorado. Debe existir una cierta coherencia del
profesor en su actuación diaria ante un grupo aula, pero también debería
haber una cierta coherencia del equipo de profesores que imparte a un mismo
grupo-clase, por ello, se hace imprescindible establecer reuniones del equipo
docente para determinar:
Las reglas básicas mínimas de gestión del aula, que consideran
prioritarias en función de las características del grupo.
Determinar las actuaciones para mejorar el clima y cohesión grupal
de los alumnos de una clase.
Identificar las conductas disruptivas o desadaptadas de alumno/nos o
clase y establecer aquellas que se quieren instaurar para reforzarlas
positivamente y atender a las conductas deseadas.
Es necesaria la aceptación y puesta en marcha de las estrategias y
técnicas docentes para el control de la clase por parte de equipo
educativo que atiende al grupo para que sean más efectivas.
Se han de aprovechar situaciones conflictivas para que los profesores que
las conocen las expliquen a los profesores nuevos o a los que
desconozcan la técnica o se sientan inseguros ante su aplicación.
Resulta fácil olvidar la secuencia de pasos a realizar ante conductas
disruptivas si el profesor no está familiarizado con ellas, por ello, se hace
recomendable practicarlas incluso entre los mismos profesores que
presentan interés por aplicarlas. Se debe tener en cuenta que no siempre
obtendremos el efecto deseado, ya que las variables personales a veces
son impredecibles, hay que contar con un margen de fracaso en su
aplicación.
Valoración del proceso: el proceso de aplicación debe ser registrado
semanalmente, en un primer momento, por cada profesor para después
poder realizar un análisis comparativo (triangulación de datos) y establecer
actuaciones más efectivas durante el desarrollo.
51
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Los resultados positivos de la aplicación de éstas, animaran a la puesta en
práctica de la parte restante del equipo educativo.
Es imprescindible combinar las técnicas y estrategias con las reglas
básicas del control de la clase, ya que la gestión del aula, planificación,
metodología de trabajo, expectativas de logros, clima de la clase... todas
ellas están más o menos presentes en los incidentes disruptivos y confieren
claves interpretativas más allá del sujeto o sujetos protagonistas en los
incidentes, ya que se encuentran en el contexto, en las variables que
interactúan.
Sugerencias de aplicación, dificultades más comunes, buenasprácticas, combinación con otras medidas
a) Sugerencias de aplicación.
Sería necesario que se establecieran “protocolos de actuación de buenas
práctica” en el tratamiento de las conductas inadecuadas dentro del aula,
en las que se especificarán estrategias alternativas a las punitivas para el
tratamiento de las mismas. Estas estrategias deberían ser bien conocidas,
ejercidas dentro del aula y revisadas por un grupo amplio de profesores
para proporcionar consistencia y coherencia de actuación ante el
alumnado.
El contraste de estilos docentes que confluyen en un mismo grupo y en un
mismo centro, se constituyen en un banco de estrategias docentes que
amplíe las perspectivas individuales de cada profesor en su isla-aula. Ello
exige un cambio de perspectiva del profesor en la que impere la confianza,
el apoyo mutuo y la ayuda como elemento clave de mejora del clima del
aula y de intervención en la disrupción, lo cual repercute en el conjunto del
centro y no sólo sobre el profesor concreto que necesita ayuda.
Estimamos que la mayor dificultad del desarrollo de esta medida es la
actuación coherente del profesorado necesario para que el alumnado
perciba que todo el equipo educativo responde por igual ante una conducta
disruptiva o no deseada, puesto que existen otras variables contextuales y
personales que pueden incidir en un momento dado en la respuesta o
reacción del profesorado.
52
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La diferente perspectiva que cada profesor tenga sobre el conflicto derivado
de una disrupción, ya que cada profesor interpreta el escenario del aula
desde su propia visión y la forma peculiar en que afronta dichas situaciones
es un componente básico para su resultado final. Además, existen
diferentes estilos personales para afrontar los conflictos que se pueden
categorizar como agresivo, pasivo y asertivo que dan lugar a climas
sociales diferentes en el aula (agresividad, falta de responsabilidad y
respeto, beneficio mutuo). Por ello, la forma de actuar del profesor puede
convertirse en una variable condicionante en la prevención y en la
intervención.
b) Dificultades más comunes.
Destacamos como dificultad que puede existir para llegar acuerdos sobre
la gestión unificada del aula, los diferentes estilos de enseñanza y
personalidades de los profesores que interactúan en un mismo grupo-
clase diverso.
Tal vez la principal dificultad estriba en que las propias circunstancias
personales de cada profesor que nos puedan pillar fuera de juego y no
estemos preparados para reaccionar como sabemos, o que no nos
acordemos de cómo se aplica en ese momento. Hay que asumir un
porcentaje de errores, pero que van a disminuir rápidamente a medida que
utilicemos estas estrategias cotidianamente.
c) Combinación con otras medidas.
Con relación a la combinación con otras medidas y estrategias, existen
numerosas interacciones con todas aquellas que están directamente
relacionadas con la prevención de conductas disruptivas o desadaptadas.
Las estrategias que van destinadas a la mejora de la convivencia que
inciden en el clima social y cohesión grupal de la clase, programas
específicos de mejora de la convivencia:
P-1.Dinámicas de prevención y resolución de conflictos.
Habilidades sociales, asertividad, autocontrol, autoestima.
P-2.Los Proyectos de Educación Emocional
53
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
P-3.Programa de Asunción de Normas por el grupo
P-4.Mediación educativa
P-5.Acoso Escolar. (Método Pikas y otras cosas)
La tutoría como recurso para mejorar la convivencia, el tutor ejerce un
papel imprescindible en la implementación:
T-1.Tutoría en grupo.
T-2.Tutoría personal
T-3.Tutoría con familias.
T-4.Tutoría y coordinación de equipos educativos
En la adaptación de la respuesta educativa a la diversidad del alumnado de
un aula para la prevención de las conductas disruptivas, ya que se hace
necesaria recurrir a las estrategias de:
A-1.Aprendizaje COOPERATIVO
A-2.Interacción entre iguales
A-3.Otras metodologías y técnicas docentes
A-4.Adaptación de Unidades Didácticas al aula.
1.10.3 Estrategias para la atención a la diversidad.Medidas de atención a la diversidad
Todas las estrategias que se relacionan a continuación y que tienen que ver
con el modelo de Atención a la Diversidad derivado de la Orden de 4 de
junio de 2010, de la Consejería de Educación, Formación y Empleo, por la
que se regula el Plan de Atención a la Diversidad de los Centros Públicos y
Centros Privados Concertados de la Región de Murcia, tienen componentes
organizativos, curriculares y didácticos.
Todas estas medidas no son excluyentes. Se pueden utilizar de manera
complementaria.
La mayoría de estas estrategias se pueden aplicar de manera individual o
combinándolas con una o varias medidas de las aquí relacionadas.
Sin la pretensión de ser exhaustivo, este documento puede constituir una
primera toma de contacto con alguna de ellas.
a) Los métodos de aprendizaje cooperativo.
54
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Son estrategias de carácter organizativo y didáctico. De una parte
organizan al alumnado por medio de pequeños grupos de trabajo a la hora
de trabajar. Por otra el modelo de aprendizaje se realiza desde una
perspectiva cooperativa. Consiste, fundamentalmente, en que los alumnos
se ayuden para aprender trabajando en equipos reducidos. El grupo
cooperativo permite que la adquisición de conocimientos sea compartida,
fruto de la interacción y cooperación entre los miembros del grupo, por lo
que resulta muy positivo para que el alumnado con necesidades
específicas de apoyo educativo pueda aprender y autorregular sus
procesos de aprendizaje.
b) Aprendizaje por tareas.
Partimos de la idea de que una tarea es una actividad o conjunto de
actividades debidamente organizadas y enlazadas entre sí con el fin de
conseguir un fin o una meta determinada. Una tarea es un modelo de
secuencia didáctica organizada de tal forma que ayuda a los
estudiantes a lograr la realización de una actividad compleja
relacionada con distintas áreas de conocimiento y con la experiencia
vital de los propios estudiantes. Se trata de una estrategia que todos
los expertos la señalan como idónea para el desarrollo de las
competencias básicas.
c) El aprendizaje basado en proyectos.
El trabajo basado en proyectos se articula en base de los interrogantes
que formula el alumnado. Cada nuevo interrogante puede constituir un
nuevo proyecto y éste a su vez un nuevo aprendizaje. Esta forma de
organizar la enseñanza-aprendizaje implica asumir que los
conocimientos escolares no se articulan para su comprensión de una
forma rígida, en función de unas referencias disciplinares
preestablecidas y de una homogeneización de los individuos y de la
didáctica de las disciplinas.
d) El auto aprendizaje o aprendizaje autónomo.
Proceso mediante el cual los estudiantes asumen la iniciativa, con o sin
ayuda del profesorado, en el diagnóstico de sus necesidades de
aprendizaje, la formulación de sus objetivos, la identificación de los
55
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
recursos necesarios para aprender, la elección de las estrategias
adecuadas y la evaluación de los resultados de su aprendizaje. El auto
aprendizaje es algo que el ser humano posee en sí mismo y tiene la
función principal de aprender nuevas habilidades o mejorar las que ya
se poseen.
e) El aprendizaje por descubrimiento.
El sujeto no recibe los contenidos de forma pasiva, sino todo lo
contrario, de forma activa. Descubre los conceptos y sus relaciones, y
los reordena para adaptarlos a su esquema cognitivo. Los alumnos
deben ser estimulados a descubrir, a formular conjeturas y a exponer
sus propios puntos de vista. La utilización del descubrimiento y de la
intuición es propuesta por Bruner (1988) en razón de una serie de
ventajas didácticas como son: un mayor potencial intelectual,
motivación intrínseca, procesamiento de memoria y aprendizaje de la
heurística del descubrimiento.
f) El contrato didáctico o pedagógico.
Un contrato es un acuerdo negociado (oral o por escrito), precedido de
un diálogo entre profesor y alumno con la finalidad de conseguir unos
aprendizajes a través de una propuesta de trabajo autónomo, que
puede ser de carácter cognitivo, metodológico o actitudinal.
g) La enseñanza multinivel.
El diseño de actividades multinivel constituye otra forma de atender la
diversidad en el aula porque posibilita que cada estudiante encuentre,
respecto al desarrollo de un contenido, actividades acordes a su nivel
de competencia curricular. La enseñanza multinivel trata de dar
respuesta a la diversidad de niveles. Las claves de este procedimiento
está en la multiplicidad en la formas de aprender (estilos de
aprendizaje), el desglose de actividades en distintos niveles (de más
simple a más complejo) y en las formas de evaluar (utilizando variedad
de técnicas e instrumentos).
h) Los talleres de aprendizaje.
Los talleres son espacios donde se realizan actividades dirigidas y
sistematizadas, con una progresión de dificultad ascendente para
56
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
conseguir que el alumnado haga uso de diversos recursos y conozca
diferentes técnicas y procedimientos que posteriormente utilizará de
forma individual en el aula. En enfoque del taller debe contener
componentes experienciales y manipulativos.
i) La organización de contenidos por centros de interés.
Esta estrategia curricular obedece a la organización creativa del
currículum (objetivos, contenidos, competencias básicas y criterios de
evaluación) en torno a centros de interés. Estos intereses parten del
alumno y pueden ser propios del currículum, de relevancia social y de
interés personal de los estudiantes. Una vez organizados el currículum
a través de estos centros de interés pueden utilizarse en el desarrollo
de otra estrategia didáctica (tarea, proyecto, secuencia...). Ovide
Decroly (1871-1932), desde un enfoque globalizador, introduce los
centros de interés como propuesta pedagógica intentando dar
respuesta a las necesidades e intereses naturales de los alumnos.
j) El trabajo por rincones.
Los rincones son un modelo organizativo y de gestión del aula que
nos permite distribuir el espacio físico del que disponemos en una
estructura de diferentes microespacios que, relacionados con el
modelo curricular o didáctico que se desarrolle en el aula, coadyuvan a
conseguir los objetivos propuestos en el currículum. Así se puede
distribuir por rincones de contenidos (el rincón de lengua, rincón de los
problemas, rincón de los experimentos..); por rincones de habilidades (
el rincón de las construcciones, el rincón del teatro, el rincón de los
inventos, ..); por rincones de materiales (el rincón de las pinturas,
rincón de la biblioteca...). En cada uno de estos pequeños espacios se
realiza un tipo de actividad determinada y diferente.
k) Los grupos interactivos.
Los Grupos interactivos es una estrategia didáctica activa que usa el
diálogo como base del aprendizaje. Los grupos interactivos son una
forma de concretar el aprendizaje dialógico dentro del aula. Para ello
requieren una organización flexible del aula. El grupo clase se divide
en varios grupos heterogéneos, tanto en género como en nivel de
57
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
aprendizaje u origen cultural, donde más de un adulto dinamiza el
trabajo del alumnado. Cada grupo está tutelado por una persona
adulta. Estos adultos pueden ser profesores del mismo centro (tutores
o de apoyo), familiares, voluntariado, estudiantes etc...). Así se crea un
nuevo espacio de trabajo orientado a la aceleración del aprendizaje
comunicativo y cooperativo. La atención de los adultos permite un
seguimiento individualizado y grupal.
l) La gradación de las actividades.
Con esta estrategia didáctica, los maestros trabajan adecuaciones en
los elementos del currículo para atender a las necesidades de todos
sus alumnos haciendo énfasis en los contenidos procedimentales, por
medio de una graduación de las actividades en cuanto a su
complejidad.
m) La elección de materiales y actividades.
Visto desde la perspectiva de la elección de materiales y actividades
por parte del alumno, esta estrategia se basa en metodologías para el
aprendizaje activo y se apoya en un modelo de aprendizaje en el que
el papel principal corresponde al estudiante, quien construye el
conocimiento. El papel del profesor o maestro es proporcionar y
diseñar pautas, actividades, materiales o escenarios variados donde
los alumnos eligen aquellos que mejor se adaptan a su estilo de
aprendizaje a sus características y necesidades, tanto de forma
individual como colectiva de cada grupo.
n) El refuerzo y apoyo curricular de contenidos trabajados en clase,
especialmente en las materias de carácter instrumental.
Esta medida es básica. El diseño de actividades para todos de refuerzo
y de apoyo a currículo satisface la idea de inclusión, en el sentido de
que cada alumno pueda desarrollar sus capacidades y competencias al
máximo de sus posibilidades personales. Estas actuaciones de
refuerzo y apoyo curricular de los contenidos de las materias básicas
deberán contemplar las diferentes formas de acceso a la información,
de integración de los esquemas de aprendizaje y de las diferentes
58
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
formas de expresión de lo aprendido de cada alumno de forma
individual y del grupo, de manera colectiva.
o) El apoyo en el grupo ordinario.
(Apoyo Curricular). Los Grupos de Apoyo al profesor son un sistema
de apoyo interno formado por un grupo de profesores que colaboran
con sus compañeros en el análisis y búsqueda de soluciones a los
problemas que estos planteen al grupo. Apoyo al alumnado: La
atención a las necesidades de cada uno de los alumnos visto de
manera individual es uno de los ejes de la acción tutorial. Una vez
detectadas esas necesidades es imprescindible promover medidas de
apoyo individualizado que les proporcione orientación y respuestas
concretas a sus necesidades. Desde el modelo curricular de apoyo, no
se trata que se les proporcionen a este alumno medidas de
recuperación diferentes y aisladas, sino que desde una perspectiva
curricular, éstas estarán contempladas e insertas en las propias
decisiones y estrategias del centro y a partir de la propia programación
de aula con las consiguientes adaptaciones curriculares más o menos
significativas según las necesidades y potencialidades del alumnado.
Apoyo al grupo –Aula. No podemos confundirlo con la idea de apoyo
“dentro del aula”, el cual sólo se produce de forma física puesto que la
actuación continúa recayendo en el alumno/a determinado, en sus
necesidades, teniendo que ver o no las actividades allí realizadas con
lo que desarrolla el resto de la clase. Desde esta medida el foco de la
actuación es el aula como un todo global, en la que existen diversas
realidades. Tutor y Profesor de Apoyo aúnan esfuerzos para dar
respuesta a la realidad de su aula, partiendo desde la colaboración
como medio de atención para dar una respuesta adecuada y coherente
a todos y cada uno de los alumnos, sabiendo que un apoyo dirigido a
las necesidades del grupo –aula no repercutirá sólo sobre el grupo en
su totalidad, sino en cada alumno individualmente.
p) La tutoría entre iguales.
La tutoría entre iguales es un sistema de instrucción constituido por
una díada, en la que uno de los miembros enseña al otro, dentro de un
marco planificado externamente. Es una estrategia que trata de
59
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
adaptarse a las diferencias individuales en base a una relación que se
establece entre los participantes. Suelen ser dos compañeros de la
misma clase y edad, uno de los cuales hace el papel de tutor y el otro
de alumno. El tutor enseña y el alumno aprende. También puede darse
la tutoría entre compañeros de distinta edad o la tutoría con inversión
de roles.
q) La enseñanza compartida o co-enseñanza de dos profesores en el
aula ordinaria.
(Apoyo dentro del aula). Dos profesores enseñan juntos y comparten la
responsabilidad docente. Esta alternativa supone el aprovechamiento
de los recursos personales del centro (profesores de apoyo, profesores
de pedagogía terapéutica, profesores de compensatoria...) en el aula
ordinaria. En la Co-enseñanza, los profesionales participan en la
enseñanza en condiciones de paridad o igualdad. Se establece
durante un periodo de tiempo concreto todos los días, o ciertos días
semana. Los profesores son corresponsables de la actividad docente:
programan, realizan y evalúan conjuntamente. Reconocimiento de sus
fortalezas y debilidades de manera complementaria. Los profesores en
parejas se observan entre sí como medio para mejorar desarrollo
profesional.
r) Los agrupamientos flexibles de grupo. Son una respuesta organizativa
de los centros para atender las necesidades originadas por la
diversidad de los alumnos presentes en las aulas y sus diferentes
formas de aprender. Los agrupamientos flexibles consisten en la
organización de varios grupos a partir de uno o varios establecidos,
que serán atendidos cada uno de ellos por uno o varios profesores a la
vez. Son grupos que varían de tamaño y que se reúnen durante
periodos de distinta duración, e implica una utilización más eficaz del
personal docente disponible (Yates, 1990). A través de los grupos
flexibles se organizan a los estudiante en nuevas estructuras grupales
en función de su nivel académico y en determinadas áreas del
currículo, especialmente las áreas instrumentales (Rué, 1991). Los
agrupamientos flexibles se realizan en función de la progresión del
alumno y de su nivel de rendimiento. No hay cursos ni trimestres, ni
60
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
junio ni septiembre, ni promoción o no. La edad no importa. Lo
importante es adecuar el aprendizaje al nivel del alumno (Barrueco,
1984). Condiciones o requisitos (Darder y Gairín, 1994): Existencia de
grupos diferentes al grupo clase de referencia durante, al menos 2
horas Semanales, y para trabajar alguna área curricular. Los alumnos
pueden pasar de un grupo a otro en cualquier momento. Están
pensados para favorecer el trabajo con la diversidad de los alumnos,
nunca para facilitar el trabajo uniforme con grupos supuestamente
homogéneos.
s) Los desdoblamientos del grupo.
Esta estrategia organizativa que significa la separación de un grupo en
dos nuevos grupos, para desarrollar algunas actividades en otro
agrupamiento. Debe llevar aparejada el cambio de estrategia
metodológica en los momentos del desdoble. Esta estrategia es
utilizada habitualmente en idiomas, para realizar interacción oral entre
todos los alumnos o en laboratorio, donde la actividad práctica y los
espacios impiden la participación de toda la clase a la vez.
Esta medida, además, ofrece varias posibilidades:
o Enseñanza paralela:
Mismo contenido a la vez en los 2 grupos.
Diferente contenido en cada grupo y luego se cambia un grupo
por otro.
o Enseñanza alternativa:
1 profesor atiende a 1 grupo reducido que necesita refuerzo o
ampliación y el otro atiende a los demás.
t) La utilización flexible de espacios y tiempos en la labor docente.
Distribuir adecuadamente el espacio para compensar las dificultades
de determinados alumnos es una de las medidas ordinarias de
atención a la diversidad.
Esta estrategia metodológica pone de relieve la utilización de todos los
elementos que intervienen en los procesos de enseñanza y
aprendizaje al servicio del mismo. Así, los espacios y los tiempos se
61
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
deben distribuir en función del tipo de tarea a realizar y de las
necesidades que planteen los alumnos.
Una concepción flexible del tiempo implicaría no el mismo horario todo
el curso para determinadas materias, grupos o alumnos.
Los desdobles, desde la perspectiva de la atención a la diversidad para
todos, se deben realizar con profesores que previamente se hayan
coordinado en la actividad a desarrollar, desarrollando un mismo
currículum y sin que obedezca a criterios de homogeneidad en
habilidades, conocimientos o destrezas, la separación del grupo. La
reducción evidente del número de alumnos por grupo desdoblado debe
repercutir en una atención individualizada más acorde a las
necesidades de cada uno de los alumnos y del grupo desdoblado en
su conjunto.
u) La inclusión de las tecnologías de la información y la comunicación en
el trabajo diario de aula.
Consiste en aprovechar las Tecnologías de la Información y la
Comunicación, utilizando el ordenador como un instrumento más al
alcance del docente, que facilite el poder dar una respuesta ajustada a
las necesidades de su alumnado, y que ayuda en la eficacia de
algunas tareas del proceso de enseñanza y aprendizaje inherentes a la
labor del profesor
v) Las redes de colaboración y coordinación del profesorado para el
diseño de proyectos, programaciones y para el seguimiento y
evaluación del alumnado.
Las herramientas tecnológicas ofrecen la organización de redes en la
educación y posibilitan la colaboración entre expertos y profesionales
que trabajan en un mismo proyecto o en temas de interés común. En
este sentido, existen multitud de herramientas de Internet que ofrecen
diversas utilidades (espacios compartidos, toma de decisiones,
asignación de tareas, votaciones, gestión de grupos, etc.) que facilitan
este trabajo colaborativo.
62
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
II UNIDAD:
Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido
Geometría desde el saber sabio hasta el saber aprendido
Herramientaspara el
aprendizaje conel modelo Van
Hiele(papiroflexia,
mapasmentales, usode software,
regla ycompas).
Transposicióndidáctica” de
YvesChevallard.
ESQUEMA DE CONTENIDOS
Modelo deenseñanzay fases deVan Hiele.
63
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
2.1 Reseña biográfica de Yves Chevallard
Yves Chevallard nació el 1 de mayo de 1946 en
Francia. Es Licenciado en Matemáticas e investigador
de la Université d'Aix-Marseille II. Ha sido Director de
l'IREM de Aix-Marseille II; desde esa fecha se
desempeña como Catedrático Universidad IUFM d'Aix-
Marseille.
Es responsable de la formación inicial y continua de
profesores de matemáticas en el IUFM d’Aix-Marseille.
Miembro de la Association pour la Recherche en
didactique des mathématiques. Miembro del comité
científico de la colección Raisons éducatives publicada
por la Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Éducation de l’Université de
Genève.
Ha sido conferencista invitado en diferentes congresos y reuniones científicas.
También ha dirigido tesis doctorales. Desde el año 1971, publica artículos y textos
en diferentes revistas científicas. Es autor junto con Marinna Bosch y Josep Gascón
del libro “Estudiar Matemática; el eslabón perdido entre la enseñanza y el
aprendizaje” (Barcelona/ICE Horsori) y de una de las obras más difundidas en el
ámbito educativo de los países de habla hispana como es “La Transposición
Didáctica: del saber sabio al saber enseñado” (Bs. As./Aique grupo Editor).
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
LecturaHemos caracterizado el hacer matemáticas como un trabajo de modelización.Este trabajo convierte el estudio de un sistema no matemático o un sistemapreviamente matematizado en el estudio de problemas matemáticos que seresuelven utilizando adecuadamente ciertos modelos. Se puede destacar tresaspectos en este trabajo: La utilización rutinaria de modelos matemáticos yaconocidos; el aprendizaje (y la eventual enseñanza) de modelos y de la manerade utilizarlos; y la creación de conocimientos matemáticos, es decir de nuevasmaneras de modelizar los sistemas estudiados.Yves Chevallard et al. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entreenseñanza y aprendizaje. pp 57.
64
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:
4. ¿El problema central de la didáctica de las matemáticas es la enseñanza o en
aprendizaje?
5. ¿Hacer matemáticas es repetir adecuando los contenidos que ya fueron
estudiados por los creadores de la matemática?
6. ¿El trabajo del profesor de matemática consiste en vulgarizar los
conocimientos?
7. ¿Si la Trigonometría fue creada para resolver problemas de navegación, es en
ese mismo contexto que debe ser enseñada?
8. Si la respuesta es negativa, ¿Qué debe hacerse entonces?
2.2 LA TEORÍA DE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
Yves Chevallard (1991) ha creado una teoría de la “transposición didáctica”.
La importancia de este concepto, reside en el quiebre de la ilusión de
correspondencia entre el saber que se enseña y el conocimiento específico de la
disciplina en el ámbito académico pues, el saber que forma parte del sistema
didáctico no es idéntico al saber científico, y su legitimidad depende de la relación
que éste establezca desde el punto intermedio en el que se encuentra respecto de
los académicos y del saber banalizado de los padres.
La “transposición didáctica”, intenta proporcionar un esquema teórico de estudio
del proceso mediante el cual cierto conocimiento matemático, reconocido por la
El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico alsaber científico. Una asignatura denominada “matemática” no esidéntica a la ciencia “matemática”
La transposición didáctica es la transformación del saber científicoen un saber posible de ser enseñado, se interesa por establecer unarelación entre el saber sabio de los matemáticos y el saber aenseñar y de ésta al saber enseñado.
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
65
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
OBJETO DE SABER
OBJETO DE ENSEÑANZA
OBJETO A ENSEÑAR
sociedad de matemáticos; se transpone con el fin de llegar a ser enseñado, en un
ambiente totalmente distinto: el ámbito escolar (generalmente); esto es, representa
una conversión de un objeto del saber que se va a enseñar en un objeto de
enseñanza. Para que un niño de los primeros grados de educación primaria
desarrolle el pensamiento probabilístico, no se le debe enseñar el “cálculo de
probabilidades” que conoce un matemático. Hay necesidad de hacer una
transposición didáctica
Es decir se adecuan al contexto de la clase. Se produce una distancia entre el
saber a enseñar y el saber científico. La transformación de los conocimientos en su
proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la
descontextualización y finalmente una despersonalización.
El saber científico, tiene su historia, posee una epistemología. Para su
transformación en un saber a enseñar, es necesario que el Profesor conozca el o
los problemas que le dieron origen, el conjunto de conocimientos que se tenía en la
época de su creación, el conjunto de dificultades que se tuvieron que vencer, los
caminos que se evitaron, etc.
Para hacer la enseñanza más fácil se tamizan ciertas nociones ypropiedades, sacándolas de la red de actividades que le dieron,significado, motivación y uso
66
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Cuando Isaac Newton (1643-1727) comenzó sus trabajos, de lo que sería después
el cálculo infinitesimal, él estaba interesado en resolver la “velocidad de cambio” o
“fluxión” de magnitudes que varían de manera contínua o fluentes, tales como
longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, y logró resolver situaciones
contextualizadas; sin embargo, cualquiera que estudia hoy un curso de Análisis
Matemático, puede estudiarla sin hacer referencia a los problemas que le dieron
origen.
Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto
grado de despersonalización, que constituye un requisito para la publicidad del
saber.
Se hace necesario, el análisis de la epistemología del conocimiento matemático de
la matemática como saber sabio que pertenece a los investigadores a la
matemática y su relación con la matemática que debe ser enseñada, ya que,
evidentemente, son distintas.
El conocimiento Matemático, puede presentarse de diferentes formas, pero para los
matemáticos una de las formas clásicas es la presentación axiomática. Esta hace
posible definir este objeto de estudio en términos de nociones introducidas
previamente, permitiendo la organización de nuevos conocimientos en relación con
los ya adquiridos.
El conocimiento matemático provee al profesor y al alumno una manera de ordenar
y acumular en un mínimo de tiempo, un máximo de conocimientos, próximos al
conocimiento optimado, sin importar la sucesión de dificultades y preguntas que
provocaron la aparición de otros conceptos fundamentales, se usa en el
planteamiento de nuevos problemas, la inclusión de técnicas y preguntas que
permitieron buenos resultados en otros sectores, el rechazo de puntos de vista que
resultaron ser falsos y las discusiones en relación con ellos.
La construcción de un conocimiento, frecuentemente se encuentracontextualizada a la o las situaciones que le dieron origen, perofinalmente, el conocimiento científico que es aceptado por lacomunidad de científicos, se encuentra descontextualizada,despersonalizada
67
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El saber, como objeto del conocimiento de la comunidad de científicos que es
descontextualizada, ahora se vuelve a contextualizar con situaciones o problemas
acorde al momento de enseñanza y tomando como base los conocimientos que
tiene el alumno, algunas de la cuales no existían en la época en la que se elaboró
el conocimiento sabio.
Profesor
Saber
Estudianteo
Epistemología deldocente
Relación didáctica
(Asimétrica)
Concepciones dela cultura, de la
escuela, del saber
El saber a enseñar, es distinto, no se trata de una adaptación, sinode una reinvención.
Las situaciones de aprendizaje pueden tener característicasmuy originales. Se produce una epistemología del queaprende. El que aprende posee un conjunto de conocimientosdistinto de los conocimientos que se tenía en la época de sucreación, las dificultades que tienen que vencer, los caminosque se deben evitar, etc… son diferentes a las de loscientíficos.
68
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Uno de los temas que interesa a la transposición didáctica, es la cronología del
saber a enseñar, evidentemente, que esta cronología tiene dos direcciones. El
tiempo dedicado a la enseñanza, frecuentemente determinado por los documentos
oficiales, tales como el DCN o el DCR, pero el tiempo de aprendizaje, casi nunca o
nunca es considerado; pues, para el sistema didáctico clásico los alumnos se
encuentran en grupos homogéneos (pese al psicologismo).
Inicialmente, y porque el profesor es el que sabe más o porque ya sabe el saber a
enseñar, determina el tiempo dedicado a la enseñanza a través del conjunto de
actividades de aprendizajes, pero frecuentemente, esta cronología se destruye por
el propio aprendizaje (los alumnos tienen dificultades y requieren más tiempo de lo
previsto), en el mejor de los casos se reconstruye el tiempo, pero frecuentemente
no se considera y se pasa al siguiente saber a enseñar (lo que sucede, es problema
de los alumnos).
Los cronogramas de exámenes, casi nunca consideran el tiempo de enseñanza ni
de aprendizaje. Los profesores deben determinar el tiempo de enseñanza para
hacer coincidir con el cronograma de exámenes, pero no se toma en cuenta la
cronología de aprendizaje de los estudiante.
Se tiene la ficción de isomorfismo entre el tiempo de enseñanza con el tiempo de
aprendizaje. La relación tiempo de enseñanza con el tiempo de aprendizaje se
denomina la cronogénesis del saber.
Pero hay algo más: ¿se debe enseñar, por ejemplo, la sustracción de números
naturales, de la misma manera a los estudiantes trabajadores que ya tienen
experiencia con el manipulación del dinero y a los estudiantes citadinos sin tal
experiencia?. La respuesta parece obvia, existe pues, también una topogénesis del
saber. El aprendizaje es diferente según los lugares donde hay experiencia previa
del saber.
Frecuentemente el tiempo de aprendizaje no coincide con eltiempo de enseñanza
69
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Este y otros temas, son objetos de investigación para edificar sólidamente la
Didáctica de la Matemática, pues toda ciencia se edifica con la investigación,
aunque lo recíproco no es cierto, pues se puede hacer investigación científica, pero
el resultado no ser ciencia. Por esta razón, hay necesidad de que las Facultades de
Educación peruanas, reorienten sus programas de investigación.
Chevallard parte del análisis del sistema didáctico, que lo representa como una
relación ternaria entre los docentes, los estudiantes y el saber (que se enseña)
Así, alrededor del sistema didáctico aparece lo que el autor denomina noosfera y
que representa una suerte de tamiz en el cual interactúa dicho sistema con el
entorno social. La noosfera se encuentra representada por instituciones que
representan a los distintos integrantes, y todas ellas tienen sus propias
expectativas, cuando no sus propios caprichos. Las agrupaciones de docentes,
algunos opinan desde el punto de vista profesional, otros lo hacen desde la
perspectiva ideológica.
Por otra parte:
Además, las autoridades educacionales y sus instancias de supervisión y control,
están más interesados en el cumplimiento de las normas emitidas por el Ministerio
de Educación y elaboración de los diseños de aprendizaje, que realmente en los
Las instituciones de Padres de Familia, generalmente, tienen expectativasdistintas al sistema, por ejemplo, ingreso a las universidades (lo queprovoca, que muchas veces la acción educativa se desvíe hacia laalgoritmización, en lugar de la construcción del pensamiento matemático
Los productores del saber (Matemáticos asesores en el Ministerio deEducación), evidentemente, piensan desde el punto de vista de laestructura de la ciencia
Por otra parte el saber enseñado dentro del sistema didáctico,requiere la aprobación de la comunidad científica, pero también el delos padres que delegan en las instituciones la instrucción de sushijos
70
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
procesos mismos del aprendizaje, no se toma en cuenta ni la cronogénesis ni la
topogénesis.
2.3 La perspectiva antropológica
Una profundización de la teoría de la transposición didáctica, al mismo Y.
Chevallard le ha conducido a proponer una perspectiva antropológica.
Como se afirmó anteriormente, la actividad matemática escolar no está aislada,
sino que se integra dentro de las actividades matemáticas institucionales, los que
ahora pasan a constituirse en el objeto primario de las investigaciones didácticas.
Esta es la perspectiva antropológica, desde esta perspectiva la didáctica de la
matemática sería el estudio de hombre -las sociedades humanas- aprendiendo y
enseñando matemática.
El problema central de la didáctica es para Chevallard el estudio de la relación
institucional con el saber, de sus condiciones y de sus efectos, considerando el
conjunto de condicionantes cognitivos, culturales, sociales, inconscientes,
fisiológicos del alumno, que juegan o pueden jugar un papel en la formación de su
relación personal con el objeto de saber en cuestión.
Así pues, los enfoques clásicos se fundamentan científicamente en los aportes de
la psicología, y con énfasis en dos actores del proceso enseñanza-aprendizaje, que
responden al siguiente esquema:
Plantea que el objeto principal de estudio de la didáctica de lamatemática está constituido por los diferentes tipos de sistemasdidácticos -formados por los subsistemas: docentes, alumnos ysaber enseñado- que existan actualmente o que puedan ser creados,por ejemplo, mediante la organización de un tipo especial deenseñanza. (Yves Chevallard, 1989)
ENSEÑANZA APRENDIZAJE
71
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
En este esquema está ausente el ¿qué se aprende? y el ¿cómo se aprende? Sin
embargo todo profesor, sabe que el “aprendizaje” de los alumnos no es un
resultado mecánico de la “enseñanza” del profesor, sino del conjunto de acciones
que realizan tanto profesores como estudiantes cuando resuelven situaciones
específicas que son parte de un conocimiento matemático determinado.
No se aprende ni se enseña en el vacío, se aprende y se enseña un determinado
saber. Se aprende y se enseña matemática que existe en la sociedad. Se aprende
y se enseña a grupos sociales y mediante múltiples acciones. Este conjunto de
acciones que realizan los estudiantes y el profesor, Yves Chevallard, la ha
denominado “el eslabón perdido” o estudio. En este enfoque, la enseñanza, ocupa
el lugar de un subproceso del proceso de estudio, es decir:
El estudio es hoy el eslabón perdido entre una enseñanza que parece querer
controlar todo el proceso didáctico y un aprendizaje cada vez más debilitado por la
exigencia de que se produzca como una consecuencia inmediata, casi instantánea,
de la enseñanza.
ENSEÑANZA
APRENDIZAJE
ESTUDIO
No se puede hablar del proceso enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas, sin preguntarnos, ¿qué es la matemática?, en quéconsiste y para qué sirve hacer matemáticas. Sin embargo, estaspreguntas no sólo deben referirse a las matemáticas escolares, sinoen general, a toda la matemática que existe en la sociedad.
“ La Didáctica de la Matemática como ciencia trata de restituir alestudio en el lugar que le corresponde: el corazón del proyectoeducativo de nuestra sociedad. (…) Se propone considerar a laeducación de manera más amplia como un proyecto de estudiocuyos principales protagonistas son los alumnos. El profesordirige el estudio, el alumno estudia.”
72
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Así, el estudio como conjunto de actividades que se realiza con la intención de
apropiarse de un conocimiento ya establecido o en vías de constitución, se
convierte en el eje central de la nueva Didáctica de la Matemática. El proceso del
estudio está constituido por subprocesos, tales como:
La tarea escolar
Toma de apuntes y su sistematización
Resolución de problemas, individual o grupalmente
Resolución de problemas reales del entorno
Ejercitación, individual o grupalmente,
Lectura, comentario y exposición de temas específicos,
Aplicación y transferencia de determinados conocimientos,
Investigación bibliográfica o investigación científica,
Enseñanza sistematizada,
Clase magistral por parte del profesor u otro especialista,
Participación en conferencias, etc.
Es en este marco, el que la tarea del estudiante toma sentido: Hay necesidad que el
estudiante realice tareas de alta demanda cognitiva. Pues, las tareas de baja
demanda cognitiva, tales como la ejercitación y los ejercicios y problemas tipo, que
sólo reducen el tiempo de su ejecución sirven para reducir tiempos en la
realización mecánica, pero que pueden obstaculizar la comprensión.
Actualmente, la Didáctica de la Matemática se ocupa del proceso del estudio,
pasando los procesos de enseñanza y aprendizaje a un segundo plano, pero no por
ello de menor importancia.
Además, cuando se habla de un saber matemático ya constituido o en vías de
constitución, no sólo nos referimos a LAS MATEMÁTICAS ESCOLARES o
matemáticas que se encuentra en el DCN o en DCR, sino al PENSAMIENTO
MATEMÁTICO que el estudiante necesita para el desenvolvimiento en el mundo
social, del que es parte; por tanto, incluye la resolución de problemas reales que el
entorno social plantea al que aprende.
73
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El alumno se comporta como un matemático, aprender matemática se convierte en
hacer matemática, y la didáctica toma como objeto de estudio la epistemología del
aprendizaje, hay que explicar la evolución del pensamiento matemático, sus
dificultades y obstáculos, las simplificaciones, el paso del saber hacer a la
reconstrucción lógica, la conversión de las acciones físicas en conocimiento
matemático.
Entonces, ¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el
sentido propio del término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se
trata de hacer reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de
involucrarlos en un proceso de producción matemática donde su actividad tenga el
mismo sentido que tiene para los matemáticos que crean conceptos matemáticos
nuevos.
Hacer matemática no debería ser una actividad que permitiera a un pequeño
número de elegidos por la naturaleza o por la cultura acceder a un mundo muy
particular signado por la abstracción.
Hacer matemática es un trabajo del pensamiento, que construye conceptos para
resolver problemas, que plantea nuevos problemas a partir de los conceptos así
construidos, que rectifica los conceptos para resolver esos nuevos problemas, que
generaliza y unifica poco a poco esos conceptos en universos matemáticos que se
articulan entre ellos, se estructuran, se desestructuran y se reestructuran sin cesar.
No se trata de dar respuestas definitivas a estas cuestiones; por el contrario, cada
uno de los argumentos o de las cuestiones que se abordaron abre una gran
cantidad de nuevas preguntas, pero hay algo que es indiscutible y es que más allá
de qué matemática se enseñe o se aprenda en la escuela, debe ser una
matemática con sentido, que permita al alumno ingresar al universo matemático, no
sólo conocer y aprender los conceptos fundamentales de este edificio, sino también
conocer y practicar las actividades propias de esta ciencia, su forma de actuar, de
obtener nuevos resultados, de validarlos..., y que fundamentalmente le permita
involucrarse en el aprendizaje.
Es probable, que muchas personas opinen que todos o casi todos los subprocesos
descritos anteriormente ya se utilizan en la actualidad; sin embargo, conviene
74
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
resaltar, que en efecto, muchos de los denominados subproceso del proceso
didáctico del estudio ya son parte de la práctica de los docentes; pero no con la
importancia que considera la Didáctica Moderna.
No se trata de trabajos complementarios que formalmente preparan los estudiantes.
Se trata de considerarlas como las actividades centrales del aprendizaje, por tanto,
hay que analizarlos, corregirlos, respetar y discutir las respuestas, orientar o
reorientar hacia logros, etc., pues, en estos trabajo es donde se encuentran
plasmados los errores y dificultades que los seres humanos comenten cuando se
trata de aprender, y cuando ellos se superan se encuentra el sentido y significado
de los aprendizajes. Las limitaciones de los enfoques anteriores se centran en el
sentido y significado de lo que se aprende.
En los enfoques tradicionales, el sentido y significado de unaprendizaje se hace por sobredosis de ejercitación o aplicación de lateoría que se aprende o por la resolución de situaciones nuevas portransferencia.
En el enfoque de la Didáctica Moderna, el sentido y significado de un aprendizaje
se adquiere cuando se pone en juego lo que se está aprendiendo para resolver
situaciones problemáticas específicas, analizando los errores y las dificultades que
cometemos cuando estamos aprendiendo, lo que conducen a los modelos teóricos
que la sintetizan.
En el enfoque moderno: aprender, es otorgar sentido y significado alas construcciones cognitivas que realizamos y que se inician con lasacciones de todo tipo cuando se resuelven situacionesproblemáticas.
Estudiar significa mucho más que resolver ejercicios del texto o similares, aunque
esta actividad está incluida en el estudio. Sabemos que estudiar un concepto
involucra, entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos
de problemas se pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles
son los errores más comunes que se han cometido en la clase como parte de la
producción y por qué.
75
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Como es sabido, cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene
formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos. No se
estudia de la misma manera conceptos de las Ciencias Sociales y de las Ciencias
Naturales, y menos aún los conceptos de la Matemática.
Estas formas específicas deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir,
el estudiante no puede estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de
establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir el
conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio del
estudiante.
Estudiar matemáticas, supone, pues, resolver problemas, construirestrategias de validación, comunicar y confrontar con otros eltrabajo producido y reflexionar sobre el propio aprendizaje.
En la actualidad los alumnos estudian de manera independiente y en muy escasos
momentos –en general antes de un examen–. Las actividades de los estudiantes se
restringen al trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia
hacia el profesor. Esta dependencia se ve fortalecida por otras cuestiones. En las
clases de matemática no es común el uso de libros de referencia, con lo cual –en el
momento de estudiar– los alumnos sólo disponen de los apuntes que tomaron en
clase y de lo que el profesor explicó.
El aprendizaje no es la consecuencia inmediata de la enseñanza; nohay aprendizaje sin un trabajo personal del alumno, es decir sinestudio; contribuir a la organización del estudio del alumno deberíaser parte del proyecto del profesor.
Chevallard, manifiesta que cuando se trata de resolver problemas como actividad
matemática de aprendizaje, hay que distinguir por lo menos tres tipos de
actividades distintas:
Utilizar matemáticas conocidas: Consiste en resolver problemas a partir de las
herramientas matemáticas que ya se posee.
76
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Aprender y enseñar matemáticas: Cuando se presenta un problema y nos faltan
herramientas, la solución consiste en hacerse de esas herramientas, ya sea por
nosotros mismos o recurriendo a alguien que conoce los instrumentos que nos
falta.
Crear matemáticas nuevas: Se trata de resolver situaciones matemáticas o extra
matemáticas para lo que es necesario crear nuevos modelos o imaginar nuevas
utilizaciones para modelos antiguos.
En el 2013, el Profesor Alberto Aguilar de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión:
“Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes
logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos que propuse”, ante
esta situación, el profesor debe decidir: retiro esos temas en los que no tuvimos éxitos
deseados el año anterior.
Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especializazión, le sugieren
hacer una buena transposición didáctica de dichos temas. Si estarías en esta situación
¿Qué alternativa de solución darías?. ¿Por qué?
El Lic. Mario Carillo de la I.E. “27 de Mayo” - Quilcas reflexiona:
“En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes, existen
estudiantes con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de aprendizajes en
resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, a quienes no los he
atendido adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas
HERRAMIENTAS PARA LA NUEVAPRÁCTICA
PARTE 3:
ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
77
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear como
docente?
Ayuda a Mario a solucionar el problema que se le ha presentado.
¿Qué situaciones didácticas me permiten aproximarme a la visión antropológica de la
didáctica?
¿Qué transposición didáctica debo hacer para que mi silabo refleje mejor “el saber a
enseñar”?
¿Qué relación existe entre una transposición didáctica y el pensamiento variacional?
¿Qué relación existe entre la transposición didáctica y las tareas de alta demanda
cognitiva?
2.4 Modelo de enseñanza y fases de Van Hiele.
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
Lectura
Al efectuar los cálculos obtenemos: =Si hallamos el área del mismo trapecio sumando las áreas de los tres triángulos,
obtenemos = + + =Finalmente igualando A y simplificando se obtiene: = + qie no es sino elconocido teorema de Pitágoras.
r
r
n
n
m
m
78
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Después de leer el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Qué tipos conocimientos de base debe tener un estudiante para seguir la
demostración del teorema de Pitágoras, siguiendo los pasos seguidos por J.A.
Garfield?
2. ¿La demostración dada por J.A. Garfield, pertenece al álgebra o a la Geometría?
3. ¿Si este tipo de demostración. Consideras que es simple, entonces se puede
concluir que existen niveles de comprensión en la geometría?
4. ¿Qué entiendes por deducción formal?
5. ¿Toda demostración tiene que ser formal?
6. ¿Qué entiendes por rigor en una demostración?
La Teoría de van Hiele o Modelo de van Hiele o Niveles de van Hiele es una teoría de
enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio holandés van
Hiele.
El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-
Geldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se
desarrolla la teoría se conoce como Structure and Insight : A theory of mathematics
education.
La teoría propuesta por los esposos Van Hiele se ubica dentro de la concepción de
currículo de la matemática y específicamente en la elaboración de un currículo abierto de
la Geometría.
El modelo está conformado por Niveles y por Fases
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
Currículo abiertode Geometría
NIVELES: Ayudan a secuenciar los contenidos
FASES: Organizan las actividades del aprendizaje
79
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La idea básica del modelo, expresado en forma sencilla se resume en lo siguiente:
Estas características o propiedades del modelo de Van Hiele, se relacionan con los
Niveles.
Los niveles van Hiele son cinco, se suelen nombrar con números del 1 a 5, siendo esta
notación la más utilizada; aunque también existe la notación del 0 al 4, que es la que
utilizaremos en el presente texto.
El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles depensamiento. Según, este modelo, se requiere una adecuadainstrucción para que los alumnos puedan pasar a través de los distintosniveles
Al contrario de lo que piensa J. Piaget, considera que estos niveles noestán asociados con la edad, y concordando con J. Bruner, consideranque van asociados con cada aprendizaje, además cumplen con lassiguientes características:
No se puede alcanzar el nivel nsin haber pasado por el nivelanterior n-1, o sea, el progresode los alumnos a través de losniveles es secuencial.
Lo que es implícito en un nivelde pensamiento, en el nivelsiguiente se vuelve explícito
Cada nivel tiene su lenguajeutilizado (símbolos lingüísticos)y su significatividad de loscontenidos (conexión de estossímbolos dotándolas designificado.
Dos estudiantes con distintonivel no pueden entenderse.
80
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Ellos, en su serie de conferencias, manifestaban que al desarrollar la instrucción de
acuerdo a esta secuencia, permite promover al estudiante al nivel siguiente del que se
encuentra.
Los niveles, en notación que va del 0 al 4, se expresa de la manera siguiente:
A continuación, intentaremos hacer una descripción de cada nivel:
Nivel 0 : Visualización o reconocimiento
En este nivel se perciben los componentes y propiedades; los objetos se perciben en su
totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades.
Las descripciones son visuales y tendientes a asemejarlas con elementos familiares.
Experimentando con las figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades.
A pesar de la experimentación no se llegas todavía a clasificaciones. No se realizan
definiciones
Ejemplo: identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ángulos y
triángulos en diferentes posiciones en imágenes. (Si se trata del teorema de Pitágoras, en
este nivel, se juegan con triángulos rectángulos y no rectángulos y con varios tipos de
cuadriláteros)
Nivel 1: Análisis
Nivel 0 :Visualización oReconocimiento
Nivel 1 : AnálisisNivel 2 :
Ordenación oclasificación
Nivel 3 : DeducciónFormalNivel 4 : Rigor
81
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
De una manera informal pueden describir figuras por sus propiedades, pero no relacionar
unas propiedades con otras figuras o unas figuras con otras. No pueden elaborar
definiciones
Experimentan con figuras u objetos y establecen nuevas propiedades, pero no pueden
realizar clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.
Nivel 2: Ordenación y clasificación
Se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través
de sus propiedades (ya no solo visualmente). Señalan las condiciones necesarias y
suficientes que deben reunir. Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.
Realizan clasificaciones lógicas, se inicia el razonamiento matemático; se reconoce que
algunas propiedades se derivan de otras, estableces consecuencias de esas relaciones.
Pueden seguir demostraciones en presencia de los objetos, pero no asimilarlo en su
integridad.
Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un cuadrado tiene ángulos iguales, porque
tiene lados iguales. (En el caso del teorema de Pitágoras: Experimentando pueden
construir cuadrados sobre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo, y pueden
experimentar con figuras recortadas o recortándolas, que el cuadrado grande sobre la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos)
Nivel 3: Deducción formal
En este nivel ya pueden efectuar deducciones y demostraciones lógicas y formales,
estableciendo la necesidad de justificar las proposiciones planteadas.
82
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Se puede reestructurar una demostración experimental mediante la deducción a partir de
proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se pueden realizar
distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado.
Se puede comprender un sistema axiomático
Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos.
Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales. (En el caso del Teorema de
Pitágoras, se puede efectuar otra demostración, por ejemplo siguiendo el razonamiento
de nuestra lectura inicial: Demostración del Presidente J.A. Garfield.)
En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza
axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.
Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática
Ejemplo: demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un
paralelogramo se cortan en su punto medio. En este nivel se ubicaría también, la
demostración del teorema de Pitágoras, tal y como fue descrita en nuestra lectura inicial.
Nivel 4: Rigor
Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la
existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar.
Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento
es válido.
(En el caso del teorema de Pitágoras, se pueden efectuar la demostración mediante la
propiedad de la media proporcional geométrica, o la demostración clásica atribuida a
Pitágoras, y establecer equivalencias, clasificación de demostraciones, etc.)
Frecuentemente se considera que el nivel 4 es inalcanzable para los estudiantes y
muchas veces se prescinde de él, además, trabajos realizados señalan que los
estudiantes no universitarios, como mucho, alcanzan los tres primeros niveles. Es
importante señalar que, un o una estudiante puede estar, según el contenido trabajado,
en un nivel u otro distinto.
Algo importante que señalar: Los niveles se encuentran “secuancializados”, es decir
“jerarquizados; en otras palabras, los van Hiele considera que existe un orden inalterable
83
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
en los niveles. Y llegan a expresar que “lo que es inmplícito en un nivel se convierte en
explícito en el siguiente nivel”
Cambios de nivel. Fases del paso entre niveles
Las fases pueden dar pistas de cómo se puede secuenciar los contenidos curriculares de
la Geometría. Se trata, entonces, de la organización de las actividades dentro de una
unidad didáctica
Además de los niveles, que se refieren a la estructura de los contenidos geométricos de
la instrucción, los Van Hiele propones una secuenciación en fases de la instrucción o
proceso del desarrollo didáctico de los contenidos geométricos, y son los siguientes:
FASE 1: Preguntas/Información
Se trata de determinar, o acercarse lo más posible, a la situación real de los estudiantes.
Esta fase tiene por objetivo conocer lo que los estudiantes ya conocen y qué desconocen
para efectuar una adecuad secuenciación de aprendizaje. Esta fase, podría decirse que
se encuentra íntimamente vinculado con la propuesta ausubeliana: “Si tuviera que reducir
toda la Psicología Educativa a un solo principio diría lo siguiente: el factor más importante
que influye en el aprendizaje es lo que el estudiante sabe. Averígüese esto y enséñese
en consecuencia”.
Esta fase es oral, y mediante preguntas adecuadas se trata de establecer el punto de
partida de los estudiantes. Hay que esperar que las respuestas pueden estar en un nivel
concreto.
FASE 2: Orientación guiada o dirigida
FASE 1 :Información
FASE 2 :Orientqación
guiada o dirigidaFASE 3 :
Explicitación
FASE 4 :Orientación libre
FASE 5 :Integración
84
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Esta es la fase en la que el tacto docente es de suma importancia. Se trata de organizar
una serie de actividades concretas, secuenciados adecuadamente, para que los
estudiantes experimenten, descubran, comprendan, asimilen, expliquen, etc., las ideas,
conceptos, propiedades, relaciones, etc. Que se convertirán en el motivo y eje de la
siguiente fase..
No se trata de divertirse con el uso de materiales o situaciones concretas, se trata de
actividades que poseen una intencionalidad hacia la determinación de ideas y acciones
fundamentales de base para la siguiente fase
FASE 3: Explicación (Explicitación)
Esta fase se puede favorecer mediante situaciones de comunicación, se trata de una fase
de interacción, de intercambio de ideas y experiencias, entre estudiantes, en la que el rol
del profesor se debe limitar a una intervención sólo cuando se trata de contenidos nuevos
o no previstos.
El buen profesor participa sólo para permitir el uso adecuado y correcto del lenguaje
pertinente. Las representaciones semióticas diferenciales de los estudiantes deben
homogenizarse conforme a lo requerido por la situación y en el nivel correspondiente.
La interacción entre pares es importante, porque obliga a los propios estudiantes a
ordenar sus ideas, y argumentar de modo comprensible para los demás.
FASE 4: Orientación libre
Es la fase direccionada a adquirir lo previsto, por tanto aparecen actividades más
complejas orientadas a aplicar los esquemas mentales ganadas en las fases anteriores,
tanto de los contenidos como del lenguaje necesario.
Lo ideal son los problemas abiertos o las situaciones problemáticas igualmente abiertas,
que, sin embargo, deben ser abordables de diferentes maneras o que puedan de varias
respuestas igualmente valederas, de conformidad con la interpretación del enunciado.
Estas tareas deben ser de alta demanda cognitiva con la finalidad de que se produzca
una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje
cada vez de mayor potencia.
FASE 5: Integración
Se trata de una fase, no en la que aparecen nuevos conceptos, sino que se sintetizan los
que ya se han trabajado con anterioridad.
85
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Se trata de establecer una red interna de contenidos y procedimientos. Si hay necesidad
de una acomodación o simplificación para mejorar lo ya aprendido, hay necesidad de una
reorganización, que inclusive sustituya lo que ya se posee.
Es en esta fase, que si hay necesidad de efectuar una recuperación con determinados
estudiantes por algunos retrasos en la adquisición de los conocimientos, se organiza el
aula para tal efecto. Por ejemplo, responsabilizando a los más destacados de otros
grupos a efectuar las recuperaciones pertinentes.
El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el año
2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes logren
resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos geométricos que
propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente, ¿qué debería hacer para
mejorar mis sesiones de clases en el presente año?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?
Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y
fases para desarrollar una unidad de geometría escolar.
Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, describa Ud., una secuencia de niveles y
fases para desarrollar una unidad de trigonometría escolar
Investigue si el modelo de van Hiele ¿puede considerarse una propuesta constructivista?
¿Por qué?
HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICAPARTE 3:
ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN
86
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la transposición didáctica?
¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las tareas de alta demanda
cognitiva?
2.5. Herramientas para el aprendizaje de geometría con el modelo Van Hiele
Una hoja de papel A4 tiene la forma de un rectángulo de dimensiones 21 cm x 29,7cm. ¿Sabías que esas medidas tienen algunas propiedades importantes?. Por ejemplo,si recortas un cuadrado de 21 cm x 21 cm, la diagonal de dicho cuadrado mideexactamente el otro lado del papel A4, es decir 29,7 cm. Si ahora divides el papel A4en dos partes iguales por el lado más grande, la propiedad anterior se conserva.
Si ahora recortas un nuevo cuadrado de lado 29,7 cm – 21 cm = 8,7 cm. El pedazo depapel restante forma otro rectángulo que tiene la misma proporción del A4. El procesopude seguirse indefinidamente.
Uniendo los cuadrados resultantes como en la figura y dibujando arcos en lugar de lasdiagonales, se obtiene la Espiral de Arquímedes.
Existen muchaspropiedades geométricasque se pueden hacerdoblando y cortandopapeles.
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
PARTE 3o Herramientas para el aprendizaje con el modelo Van
Hiele (papiroflexia, mapas mentales, uso desoftware, regla y compas).
87
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
1. Rectas horizontales y verticales.
Para construir dos rectas perpendiculares, consecuentemente ángulos rectos,
usaremos la técnica del “doblado de papel”. (Algunos lo denominan papiroflexia).
Podemos utilizar cualquier papel, por ejemplo un A4.
Doblamos tal como indica la figura, y en segundo lugar volvemos a doblar el papel
haciendo coincidir el lado doblado anteriormente. Si desdoblamos el papel, las
huellas nos dan dos rectas perpendiculares. Si mantenemos si desdoblar, tenemos
una escuadra, que se puede utilizar como medidor de ángulos rectos.
1. Explique, por qué, al doblar una hoja de papel usado, tal y cómo se sugiere en los
gráficos, las líneas dibujadas en rojo, son líneas perpendiculares?
2. ¿Es verdad que dicho ángulo mide 90°?
2. ¿CÓMO CONSTRUIR UN JUEGO DE TANGRAMA?
El Tangramao simplemente Tangram es un juego chino muy antiguo. El libro más
antiguo conocido es el Ch’iCh’iaot’uho-pi que reúne 323 figuras, sin embargo el
juego tiene una antigüedad mayor, se cree que data aproximadamente de unos 800
años antes de nuestra era. Se die que fue conocido con el nombre de Chi ChiaoPan, que significa “juego de los siete elementos” o “tabla de la sabiduría”
Desde su aparición como rompecabezas o juego, el Tangrama ha sido objeto de
numerosos estudios muy serios, así en 1942, Fu Traing Wang y ChuanChihHsiung,
de la Universidad Nacional Chekiang, demostraron que sólo existen trece polígonos
convexos que se puede construir con el Tangrama.
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
88
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El Tangram, el milenario juego chino, no es un juego competitivo, sino un juego
individual o en grupo que estimula la imaginación y la fantasía creadora.
Hoy el tangram no sólo se utiliza como entretenimiento, se utiliza también en la
psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de la
enseñanza de la matemática, se utiliza para la introducción de conceptos de la
geometría plana, y para desarrollar capacidades psicomotrices e intelectuales en los
jóvenes estudiantes, pues, permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta
con la formación de ideas abstractas.
1. Desde la construcción de nuestro tangram, ya hacemos uso de propiedades
geométricas. Iniciamos haciendo un cuadrado de cartulina, lo doblamos por una
de sus diagonales y recortamos por la línea del doblez para obtener dos
triángulos. ¿Qué fracción del cuadrado es cada triángulo?, ¿Qué clases de
triángulos se han formado, por qué?
2. Tomamos uno de los dos triángulos obtenidos en el paso anterior y lo doblamos
por el vértice del ángulo recto, de tal manera que éste quede dividido en dos
ángulos iguales, y que los lados de igual tamaño del triángulo queden uno
sobrepuesto al otro, consecuentemente en dos partes iguales. Recortamos por el
doblez y así obtenemos las primeras piezas de nuestro tangram: dos triángulos.
¿Qué fracción del cuadrado es cada nuevo triángulo?, ¿Qué clases de triángulos
se han formado, por qué?
89
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3. Con el otro triángulo que quedó del cuadrado de cartulina hacemos lo siguiente:
doblamos el vértice del ángulo recto de tal manera que mire hacia el lado opuesto
del triángulo, y que la línea que resulte del doblado sea paralela a ese lado.
Recortamos por el doblez para obtener un triángulo –tercera pieza de nuestro
tangram – y un trapecio. ¿Qué fracción del cuadrado es este triángulo?
4. Tomamos el trapecio y lo doblamos por uno de los vértices del lado menor, de tal
manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor.
Recortamos por el doblez para obtener otro triángulo –cuarta pieza de nuestro
tangram– y un trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado es el nuevo
triángulo?
5. Doblamos el trapecio rectangular por el lado que tiene los ángulos rectos, de tal
manera que el doblez sea perpendicular tanto al lado menor como al lado mayor,
y dividimos en dos partes iguales el lado menor. Recortamos por el doblez y
obtenemos un cuadrado – quinta pieza de nuestro tangram – y de nuevo un
trapecio rectangular. ¿Qué fracción del cuadrado grande es el cuadrado cortado?,
¿Qué fracción del cuadrado grande es el trapecio rectangular que queda?
6. Tomamos el nuevo trapecio rectangular y doblamos de tal forma que el vértice del
ángulo recto del lado mayor coincida con el vértice del ángulo obtuso del lado
menor. Recortamos por el doblez y obtenemos un triángulo y un paralelogramo –
sexta y séptima piezas de nuestro tangram. ¿Qué fracción del cuadrado grande
90
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
es el paralelogramo cortado? ¿Qué fracción del cuadrado grande es el triángulo
cortado?, ¿Es cierto que el paralelogramo tiene el doble de área que el triángulo?
Ahora ya tienes las siete piezas de un tangram clásico. Debes mezclarlos y
comienza a construir figuras.
3. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ELEMENTALES DOBLANDO PAPEL
1. Línea que pasa por dos puntos: Se trata de conseguir que el doblez pase
simultáneamente por dos puntos previamente marcados. No es un ejercicio fácil si
la línea no tiene otra condición y no importa cuando sea necesario hacer trampa.
Con un lápiz unir los dos puntos, repasar la línea con objeto agudo no cortante, y
doblar por el segmento marcado.
2. Línea perpendicular a una dada: Doblamos el papel por la línea dada y hacemos
un nuevo doblez que lleve dicha línea sobre ella misma. La superposición de
cuatro ángulos que al desdoblar conforman un ángulo de 360º confirma el hecho
de la perpendicularidad.
3. Línea paralela a una dada: Perpendicular a una perpendicular.
4. Línea paralela a una dada que pasa por un punto: La segunda perpendicular se
hace pasar por el punto.
5. Mediatriz y punto medio de un segmento: Se hacen coincidir en el doblez los
extremos del segmento, con lo que éste se dobla sobre sí mismo teniéndose una
perpendicular.
6. Figura simétrica (punto simétrico, línea simétrica) respecto de otra respecto de
una línea: Se dobla el papel por la línea dada y la figura descansa sobre su
simétrica.
7. Bisectriz de un ángulo: Se dobla el papel de forma que coincidan las líneas que
forman el ángulo. (Tanto bisectrices como mediatrices son de fácil construcción).
91
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
4. CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO DOBLANDO PAPEL APARTIR DE UNA HOJA A 4
1. Doblando el papel A4 haciendo coincidir los
lados mayores del rectángulo, traza la paralela
media en el sentido largo del rectángulo.
2. Doblar el papel que lleva A sobre la paralela
media, se obtiene el punto A’ sobre la paralela
media y el punto C sobre uno de los lados del papel. El punto B se mantiene fijo
¿Es cierto, que el triángulo BCF es isósceles y de base CF?
¿Cómo son los ángulos: BFC y BCF? ¿Por qué?
¿Cómo es el ángulo CBF? ¿Por qué?
Hemos obtenido un triángulo equilátero partiendo de una hoja de papel A4. ¿Hay
algún problema si se intenta hacer sobre un papel rectangular cualquiera?
3. Doblar el papel hacia atrásprolongando el lado CA’. Tienes eltriángulo equilátero BCF.
4. ¿Puedes justificar por qué?
¿Qué ángulo forma el segmento BA´ con elsegmento CF ? ¿Por qué?.¿Qué es BA´ en el triángulo CBF?.¿Qué es A’ en el segmento CF. ¿Por qué?¿Qué es el segmento BA’ en el triánguloCBF?
C
D
92
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
5. CONSTRUCCIÓN DIRECTA DEL HEXÁGONO REGULAR A PARTIR DE UNRECTÁNGULO
Para la construcción de un hexágono regular, partimos de una situación análoga a la
anterior. Trazamos la paralela media en el sentido largo, como en el caso anterior;
sin embargo, ahora necesitamos además dos nuevas paralelas medias intermedias,
como en la figura.
Seguidamente se hacen los dobleces que se indican a continuación: Se doblan las
esquinas como en el caso anterior, pero sólo hasta las paralelas intermedias. Con un
lápiz se dibujan las prolongaciones de los segmentos resultantes de las dobleces,
que deben intersecarse en la paralela media del papel.
De ésta manera, se obtiene cinco de los vértices del hexágono regular. El sexto
vértice, se obtiene de varias maneras: a) Doblando hacia adentro, para obtener una
simetría por el punto de intersección en la paralela media. b) Doblando toda la figura
por alguna de las diagonales (prolongaciones del paso anterior)
Desdoblando el papel, puede identificar el
hexágono regular.
¿Puede justificar, por qué se dice que es un hexágono regular?
93
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
.
6. TRIÁNGULOS ISÓSCELES INSCRITOS EN UNA HOJA RECTANGULARCOMPARTIENDO DOS VÉRTICES CONTIGUOS DEL RECTÁNGULO. ELTAMAÑO A4.
1. Hay dos soluciones y ambas son fáciles. Justifica, ¿por qué, son triángulos
isósceles?
7. COMPROBACIÓN DOBLANDO PAPEL DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UNTRIÁNGULO. ÁREA DEL TRIÁNGULO.
1. Recorta un triángulo cualquiera. Apóyalo sobre el lado más largo. Doblando
traza una altura sobre ese lado.
bT C
B
A
D C
BA
De nuevo, para que la figura esté
completa hace falta que haya una relación
de medidas entre los lados del rectángulo.
¿Cuánto miden cada uno de los ángulos
internos? ¿Por qué? Sí se sabe que se ha
utilizado una hoja A4. ¿Cuánto mide cada
lado del hexágono?
hc
a
94
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
2. Doblando lleva B sobre T.
3.
A T-B C
4. Llevar tanto A como C sobre T.
8. TRAZADO DEL INCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LA DISTANCIADEL INCENTRO A LOS LADOS.
1. Recorta un triángulo cualquiera.
2. Traza doblando sus bisectrices (une de
dos en dos los lados que forman los
distintos ángulos). Observa que las tres
líneas se cortan en un punto (tiene que
salir bastante bien ya que el trazado de
bisectrices doblando es fácil). Marca por
las dos caras del papel ese punto y
nómbralo con la letra I. I recibe el
nombre de incentro del triángulo.
T-B-A-C
95
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3. Ahora vamos a trazar segmentos
perpendiculares desde I a los lados. Hacemos
resbalar un lado sobre él mismo doblando el papel,
aplastando sin marcar hasta que vemos aparecer en
el doblez el punto I. Sin perder la guía del lado
marcamos el doblez desde I hasta el lado.
Repetimos la operación en los otros lados.
Prueba que la distancia de I a los lados AB, AC y BC, son congruentes.
¿Cómo harías doblando papel?
9. TRAZADO DEL CIRCUNCENTRO DOBLANDO PAPEL. IGUALDAD DE LADISTANCIA A LOS VÉRTICES.
1. Recorta un triángulo acutángulo escaleno y traza sus mediatrices doblando
papel (haz coincidir de dos en dos
sus vértices). Comprueba que las
tres se cortan en un punto que
notaremos con la letra F y que
llamamos circuncentro.
96
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
2. Con un lápiz traza los segmentos AF, BF y CF.
Prueba que la distancia de F a los vértices A, C y B, son congruentes.
¿Cómo harías doblando papel?
De mayor ángulo en F debe ser el que se cierre abarcando a los otros dos.
3. La figura plegada nos muestra los ángulos M, N y P que son ………. Por
tanto miran al lado común bajo un ángulo de …….. y así M, N y P en esa
figura plegada están en una circunferencia de centro …………………… y radio
………………….
10. OCTÓGONO REGULAR
Vamos a construir un octógono regular por duplicación del número de lados de un
cuadrado o cuadrilátero regular. Este procedimiento puede generalizarse a algunos
otros polígonos regulares, por duplicación del número de lados. Primero construimos
un cuadrado, a partir de una hoja de papel A4. Llevamos un vértice hasta el lado
largo del rectángulo, se obtiene la diagonal del cuadrado. Unimos los dos puntos y
cortamos. Se tiene un cuadrado.
Doblando trazamos los
cuatro ejes de simetría del
cuadrado.
Una vez hecho esto,
doblamos haciendo coincidir dos ejes consecutivos:
97
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Sin desdoblar la figura, doblamos las
cuatro puntas no solapadas y
desdoblamos habiendo obtenido un
octógono regular:
La duplicación de lados es siempre posible tanto con compás como con plegado.
11. OTRA FORMA DE OBTENER UN HEXÁGONO REGULAR
Construyamos un triángulo equilátero, como ya fue descrito antes.
Ahora vamos a construir un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero,
siguiendo el método anterior de duplicación, o más rápidamente localizando su
centro (se puede hacer, siguiendo las pautas para hallar el incentro) y después
doblando las puntas hacia él:
La figura resultante está formada por un
hexágono regular y tres triángulos
equiláteros de igual lado que el
hexágono.
98
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
12. CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR COMO NUDO.
La forma más simple de hacer un pentágono regular es haciendo un nudo a partir de
una tira o rectángulo bastante alargado.
Busca el o los argumentos para demostrar que el pentágono que se acaba de
justificar que ajustando se obtiene realmente un pentágono regular veamos las dos
de hallar, realmente es un pentágono regular.
13. CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO REGULAR A PARTIR DE UN CUADRADO
Sea E el punto medio de BC. Tracemos la bisectriz de BEA.
Sea G en EA tal que EB = EG.
99
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Tracemos la bisectriz de EAB y sea X en BA tal que AG = AX. Sea M el punto medio
de BX y N su simétrico respecto a la mediatriz de BA. MN es el lado del pentágono
regular que buscamos. Transportemos esa medida.
14. LA REGLA Y EL COMPÁS DE LA GEOMETRÍA CLÁSICA
La regla y el compás de las construcciones geométricas elaborada por los griegos
son idealizaciones de la regla y compas del mundo real. Son conceptos matemáticos
abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos. Por tanto,
lo que se puede hacer con ellos son operaciones matemáticas, es decir:
idealizaciones de las acciones físicas que se pueden
hacer con un compás y una regla del mundo físico.
En ese sentido, el compás puede trazar circunferencias
de cualquier radio dado. Sólo puede abrirse entre puntos
que hayan sido previamente construidos, así que en
realidad su única función es trazar una circunferencia, o
parte de ella, con un centro predeterminado y un radio
también determinado por un punto prefijado. Además, se
trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra,
perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar.
Así mismo, la regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta
tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un
borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes,
permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una
recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se
desee) una de esas rectas.
Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones
ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad
manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-
paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas
100
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
A BA B
A BM
manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz
rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues
permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero
las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente,
más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.
Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un
simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier
construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés
científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el
siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre
ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y
trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que
desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Para estudiar la Geometría
Clásica, los griegos, fieles a su tradición, sólo se limitaron al uso de la regla y del
compás.
15. ALGUNAS CONSTRUCCIONES BÁSICAS:
15.1. Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso delcompás
Paso 1: Se toma el
compás y se traza desde
los extremos con una
misma abertura,
obteniéndose dos puntos
de corte como en la figura:
Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen.
Luego la intersección entre el segmento inicial y
la línea de unión de los puntos de corte será el
punto medio buscado.
101
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
VérticeW
15.2. Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás
Paso 1: Con una abertura arbitraria y a
partir del vértice del ángulo, se traza un
arco con el compás y se marcan los puntos
de corte.
Paso 2: Luego, a partir de los puntos
marcados y con la misma o con otra
abertura trazar con el compás y marcar el
punto de corte.
Paso 3: Finalmente al unir el
vértice y el punto de corte
“W”, se obtiene la bisectriz
del ángulo inicial.
15.3. Construcción de ángulos rectos
El procedimiento es similar para encontrar el punto medio. Al unir los puntos
C con D, se obtiene, CD perpendicular a AB, y como consecuencia, cuatro
ángulos rectos
Vértice
Vértice W
Bisectriz del ángulo
102
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
15.4. Construcción de rectas paralelas: Explique el procedimiento utilizado
describiendo lo señalado en la figura adjunta.
15.5. División de un segmento en n partes: Se trata de dividir el segmento WT
en 5 partes iguales, por ejemplo. Se dibuja una recta que pasa por W, con el
compás, se toma como unidad una longitud cualesquiera, por ejemplo WE1.
Se mide 5 veces y se obtiene el punto F. Se construye la recta que pasa por F
y T. Por cada punto del segmento WF medido con WE1 se traza una paralela
a FT. De esta manera el segmento WT queda dividido en 5 partes.
15.6. Polígono regular de 3 lados: Triángulo equiláteroEs el polígono regular con menor
número de lados que podemos
tener. Su construcción es muy
sencilla:
Trazamos una circunferencia con
centro en y radio y otra con
centro en y mismo radio. Esas
dos circunferencias se cortan en dos
F
103
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos y
obtenemos el triángulo equilátero .
15.7. Polígono regular de 4 lados: CuadradoLa construcción del cuadrado también es
sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en
y radio . Esa circunferencia corta al eje
en dos puntos. Tomamos uno de ellos,
digamos . Trazamos la recta paralela al eje
que pasa por y la recta paralela al eje
que pasa por . El punto de corte de las
mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos
, y obtenemos nuestro cuadrado.
15.8. Polígono regular de 5 lados: Pentágono regularLa construcción del pentágono es algo más
complicada que las anteriores, pero sigue
siendo ciertamente asequible:
Trazamos la paralela al eje que pasa por
, digamos . Se traza la mediatriz del
segmento obteniendo el punto como
corte con el eje . Trazamos la
circunferencia de centro y radio ,
digamos . Obtenemos el punto como
corte de con la recta .
Con centro en trazamos la
circunferencia de radio , ,
obteniendo el punto de corte con el eje
. Trazamos ahora la circunferencia de
centro y radio , . Obtenemos el
punto al cortar con y el punto
como corte con la mediatriz del segmento
104
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
. Para obtener el vértice que nos falta, , simplemente construimos el
punto simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los
vértices obtenemos el pentágono regular buscado.
15.9. Polígono regular de 6 lados: Hexágono regularLa construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:
Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos uno de
los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del hexágono. Trazamos
ahora la circunferencia de centro y radio . Obtenemos los puntos y
como cortes con las circunferencias anteriores y como corte con el eje .
Trazando la paralela al eje que pasa por obtenemos el último vértice S,
como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los
vértices obtenemos el hexágono regular buscado.
¿Las actividades geométricas más importantes que deben realizar los estudiantes
se refieren a las actividades de familiarización con el uso de instrumentos, o la
resolución de problemas de familiarización de las fórmulas? ¿Por qué?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el aula?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación acción?
¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol juega la papiroflexia?.
¿Siguiendo la teoría de los esposos van Hiele, qué rol desempeña las construcciones
con regla y compás?.
PARTE 3 HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA
ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
105
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y la papiroflexia?
¿Qué relación existe entre el modelo de van Hiele y las construcciones con regla y
compás?
¿La papiroflexia se puede considerar una tarea de alta o baja demanda cognitiva?.
¿Por qué?
¿Las construcciones con regla y compás se puede considerar una tarea de alta o
baja demanda cognitiva?. ¿Por qué?
Averiguar, en qué consistía los denominados tres problemas clásicos de la geometría
de los griegos.
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN
106
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
PresentaciónEstimado (a) docente participante en esta parte deltexto podrá encontrar estrategias y /o métodos depresentar los fenómenos geométricos ytrigonométricos, así, como también las situacionesgeométrica y trigonométricas, análisis einterpretación de la información proporcionada, demanera creativa y reflexiva haciendo el análisis dela realidad y empleando la tecnología como unsoftware, aplicando los recursos metodológicoselaborando estrategias didácticas, para laenseñanza.
III UNIDAD:MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y
TRIGONOMÉTRICOS DEL ENTORNO, UTILIZANDO
EL SOFTWUARE CABRI GEOMETRE
Niveles de demandacognitiva ensituaciones
problemáticas degeometría
Fenómenos ysituaciones
Trigonométricas
Tarea matemáticay situaciones
problemáticas engeometría
Fenómenos ysituaciones
Geométricas
MODELANDO FENÓMENOS GEOMÉTRICOS Y TRIGONOMÉTRICOS
DEL ENTORNO, UTILIZANDO EL SOFTWARE CABRI GEOMETRE
ESQUEMA DE CONTENIDOS
Resolución desituaciones
problemáticas segúnPolya - Guzmán.
107
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3.1 El uso de programas computacionalesEs el empleo de programas computacionales como el software, que pueden estar o
no estar en el computador o en diversas tecnologías vinculadas a internet.
Permiten reforzar, completar o servir de material pedagógico, en el desarrollo de
actividades educativas que potencien el aprender de modo entretenido y la
estimulación del pensamiento en los niños El uso de un software en geometría como
herramienta pedagógica facilita el ambiente de enseñanza y el aprendizaje, pues
producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En matemática el factor
imagen otorga un valor muy importante pues permite acercar el niño a los conceptos,
los saca del plano abstracto para llevarlo a un plano natural, por medio de la
animación de acuerdo a reglas o valores numéricos preestablecidos.
En estos programas los conceptos geométricos se pueden examinar y analizar
propiedades del espacio bi y tridimensional, así como las formas geométricas que se
encuentran en ellos. De la misma manera, se pueden realizar transformaciones,
traslaciones y reflexiones para analizar situaciones matemáticas, para presentar
argumentos matemáticos acerca de las relaciones geométricas, además de utilizar la
visualización, el razonamiento espacial y la modelación geométrica para resolver
problemas.
Es el empleo del programa computacional: Software Cabri Geomètre desarrollado
por Yves Baulac, Franck Bellemain y Jean Marie Laborde del laboratorio de
estructuras discretas y de didáctica LSD2 del instituto de Informática y Matemáticas
aplicadas de Grenoble (Imag) Francia.
El Cabri es un programa para geometría interactiva más utilizado en el mundo.
Incluye geometría analítica, transformacional y euclidiana. Sus funciones abarcan la
construcción de puntos, líneas, triángulos, polígonos, círculos y otros objetos
geométricos básicos.
El software seleccionado se consideró como un medio para desarrollar algunas
actividades sobre cuadriláteros, para profundizar el estudio de las propiedades de
estas figuras, a través de la construcción, medición y animación.
108
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Software Cabri Geometry II
Cabri Geometry es un
software de geometría
interactiva producida
por los franceses
Cabrilog empresa para
la enseñanza y el
aprendizaje de la
geometría y la
trigonometría. Fue
diseñado con la
facilidad de uso en
mente. El programa permite al usuario animar figuras geométricas, lo que demuestra
una ventaja significativa sobre los dibujados en una pizarra. Las relaciones entre los
puntos de un objeto geométrico se pueden demostrar fácilmente, que puede ser útil
en el proceso de aprendizaje. También hay gráficas y funciones de visualización que
permiten la exploración de las conexiones entre la geometría y el álgebra. El
programa se puede ejecutar en virtud de Windows.
Construye figuras geométricas
tan fácilmente (o más) que si lo
hicieras con un lápiz, regla y
compás sobre una hoja de papel.
Cabri II es un programa que
permite "hacer geometría" tanto
al estilo sintético como al estilo
euclídeo.
Permite experimentar, analizar
situaciones geométricas de muy
diverso tipo, permite comprobar resultados, inferir, refutar y también, aunque parezca
mentira, demostrar.
Este programa brinda una nueva dimensión a las construcciones ya que:
Permite manipular libremente las figuras.
109
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Permite actualizar las construcciones en tiempo real.
Se pueden dibujar lugares geométricos y envolventes a familias de curvas. Permite
realizar animaciones y construir gráficas de funciones asociadas a problemas
geométricos lo que es muy interesante para familiarizar a los alumnos con el concepto de
función y con el de gráfica de una función.
La ventana de Cabri Geometry II
En la siguiente ilustración se muestra la ventana de Cabri Geometry II, que contiene los
elementos esenciales del software Cabri Geometry II, Depues de la ilustración se ofrece
la descripción de cada elemento.
Nota: En la pantalla se ilustra la versión Macintosh. Las pantallas en los sistemas
Windows y DOS son similares, pero no idénticas.
Elementos de la ventana Cabri Geometry II Ventana de diseño: En esta región se generan las construcciones geométricas.
Barra de menús: La barra de menús contiene los menús comunes del
interface gráfico de usuarios para la gestión y edición de archivos, así como las
opciones de Cabri Geometry II.
Barra de herramientas: La barra de herramientas contiene las herramientas
que permiten generar construcciones. En esta barra hay once cuadros de
110
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
herramientas (ver en la siguiente ilustración). Para acceder a un cuadro de
herramientas, mantenga pulsado el botón del ratón sobre el icono. Se mostraran
los elementos del cuadro de herramientas.
Iconos distribuidos: Los iconos distribuidos sólo aparecen cuando se elige la
orden Mostrar atributos del menú. Estos iconos permiten modificar el aspecto de
los objetos. Puede crear una paleta de atributos (menú desplegable) arrastrando
un icono desde los iconos de atributos a la ventana de diseño.
Icono ayuda A: Haga clic en el icono de ayuda A para crear una ventana de
ayuda en la parte inferior de la pantalla, donde podrá ver útiles mensajes de ayuda
para cada orden. Haga clic de nuevo en A para suprimir la ventana ayuda.
Opción de menús ayuda: Puede hacer clic
en la opción menú Ayuda y seleccionar
Ayuda o bien pulsar la tecla F1 para activar y
desactivar la ventana ayuda.
Puntero de selección: El puntero de
selección es la herramienta principal para
seleccionar menús y generar construcciones.
La forma del puntero cambia según la
operación y el lugar actuales.
Cuadro de cierre: El cuadro de cierre la
ventana y crea un cuadro de dialogo que le
permite guardar el trabajo si no lo ha hecho
ya.
111
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Cuadro de zoom: El cuadro de zoom alterna el tamaño de la ventana entre el
tamaño actual y la pantalla completa.
Cuadro de tamaño: Arrastre el cuadro de tamaño a una nueva posición
redimensionar la ventana de diseño.
Barras de desplazamiento: Haga clic en las barras de desplazamiento o en las
flechas de desplazamiento mover el contenido de la ventana de diseño vertical u
horizontalmente.
3.2 Situaciones problemáticas de GeometríaCuando un área como la geometría tiene un prestigio de miles de años, cabe hacer
un recorrido a través del tiempo, para reconocer su importancia en el desarrollo de la
humanidad.
Para los egipcios, fue práctica y utilitaria, pues medían los terrenos después que eran
inundados por las crecidas del río Nilo y, para ello, utilizaban el método de la
triangulación. Podemos encontrar, en esta cultura, la culminación de una geometría
aplicada, tanto ligada a la resolución de problemas cotidianos como también a la
creación artística.
Según Proclo, Thales fue el primero que después de haber estado en Egipto lleva
esta disciplina a Grecia. Junto a las escuelas de aquella época (Alejandría, Pitagórica
y otras), como también nombres célebres como Apolonio, Eudoxio, Euclídes
transforman la geometría en una ciencia que se estructura con un razonamiento
lógico deductivo, la que emplea nociones comunes, postulados, axiomas, teoremas
que otorgan una categoría de rango universal; por lo tanto, surge como la primera
ciencia que construye el hombre en la antigua Grecia. Los griegos la consideraban
como una ciencia formativa que le ayudaba al hombre a razonar; no la estudiaban
112
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
con fines prácticos, sino como desarrollo de la mente humana. Platón decía “Dios
mismo geometriza” Seguramente, esta afirmación significaba que el universo estaba
regido por formas y números.
La proporción que se obtiene del rectángulo dorado, llamado también el número de
oro, se utilizó como símbolo de belleza desde los griegos hasta el renacimiento. La
aplicación de la proporción dorada o de la estrella pitagórica, plantea en las grandes
obras un nuevo significado de perfección de belleza.
En el siglo XVI, es el gran desarrollo de las nuevas geometrías: la proyectiva y la
descriptiva son términos con un nombre de origen común en las técnicas
perspectivas que la gran obra de Euclídes los “Elementos” había obviado. La
descriptiva puso el énfasis en la resolución gráfica, la Proyectiva en los modelos en
perspectiva. La nueva geometría que surgirá al servicio de las construcciones y de
las fortificaciones, necesitará de cálculos exactos y encontrará su respuesta en la
Geometría Analítica de Descartes (Alsina y otros 1989).
Las culturas orientales y precolombinas desarrollaron hermosos tallados o pinturas
en piedras, metales, telas basados en las transformaciones que realizaban de figuras
geométricas a través de traslaciones, rotaciones o simetría (Perero, 1994)
La idea de que la geometría es una ciencia que enseña a medir este conocimiento,
también, se encontraba presente en la península de Yucatán, territorio de la cultura
Maya. La serpiente emplumada y las fases de la luna son el punto de partida de esta
ciencia pues surgen el círculo, el cuadrado, el pentágono y las relaciones del número
de oro pitagórico. Este animal posee las formas geométricas antes descritas y
también un patrón perfecto que en la geometría todo lo rige (base 20). La geometría
se desarrolló y floreció de acuerdo a estas formas, y cayó para nunca levantarse,
cuando desapareció el modelo crotálico por la conquista española que erradicó sus
usos y sus costumbres (Díaz Bolio, 1995)
Con el nacimiento de la matemática moderna, la geometría deja de ser importante
frente a la Teoría de Conjuntos. A partir de 1960, comienza a verse un importante
avance en esta, teoría, en toda Latinoamérica y, finalmente, se encuentra que a
mediados de los 70; la Teoría de Conjuntos, como base de toda la matemática no
estaba permitiendo a los niños desarrollar competencias intelectuales, comenzando
con ello las primeras críticas. Los niños habían perdido capacidades concretas de,
113
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
modelización, de interpretación, de visualización. Por lo tanto, a principios de los 80,
en Europa se comienza a dar lugar, al estudio del Espacio y de la Geometría.
La geometría no ha logrado aún recuperar el lugar que le corresponde. Es un
proceso de transformación lento, de formación y capacitación para los nuevos
docentes, que son productos de un modelo diferente de enseñar (Gil Pérez, 1998).
En Chile, al igual que en
otros países, se
comienzan a efectuar
cambios importantes en
la educación pues las
demandas al sistema
escolar son el desarrollo
de nuevas
competencias,
necesarias para una
sociedad de la
comunicación e información globalizada.
Es así que, en el año 1999, se forma la Comisión de Nuevas Tecnologías de
Información y Comunicación que se propone doce iniciativas y entre ellas está la de:
Consolidar el Proyecto Enlaces y proyectarlo a una Segunda Fase que incluya todos
los establecimientos educacionales del país, robusteciendo la formación de
profesores y el desarrollo de contenidos.
El uso de tecnologías de la información y la comunicación en la Educación se
sustenta en la afirmación de que los recursos informáticos constituyen un apoyo
significativo en el proceso enseñanza-aprendizaje, comparados con otros medios,
debido a que presentan, además de texto y dibujos, animaciones, video y sonido,
permitiendo la interacción, la reorganización y búsqueda de un extenso contenido de
información, la descentralización de la información y la retroalimentación del usuario;
lo que hace que el estudiante responda de manera más efectiva y desarrolle
diferentes habilidades, destrezas y aprendizajes por la variedad de estímulos que se
le presentan.
Junto con las Políticas Educacionales que promueven el uso y la implementación de
recursos informáticos, es necesario que, hoy, el docente sea una persona que esté
114
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
preparado para promover el cambio educativo que responda a los requerimientos de
la sociedad.
Además durante el año 2000 el Ministerio de Educación llama a propuestas a
diversas instituciones para mejorar los rendimientos en Matemáticas y Lenguaje.
Ejemplos de problemas de la vida cotidiana yen Geometría
Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la
altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.
¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área
que va a pintar?
Martín necesita medir el
ancho del río que pasa cerca
de su propiedad, pero no
puede llegar al otro lado.
¿Cómo podría medir el ancho
del río?
Para resolver su problema, Martín hace lo siguiente:
1. Identifica un punto determinado al otro lado del río, en donde quiere medir el ancho
del río, por ejemplo el árbol (Punto A).
115
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
2. Del punto identificado (el árbol), traza una línea imaginaria sobre la longitud que
quiere medir. Ésta debe ser perpendicular al cauce del río para que la medida que
obtenga sea la adecuada (Punto B).
3. Se desplaza a uno de los lados del punto de observación, también de manera
perpendicular, a una distancia considerable (Punto C).
4. De ahí camina de manera perpendicular al cauce, alejándose del río para establecer
un segundo punto de observación (Punto D), a una distancia de 3 m.
5. Martín, desde el punto de observación 2, ve hacia el punto de referencia al otro lado
del río y pide ayuda para que por donde pasa la línea imaginaria que resulta al mirar el
punto de referencia desde el punto D, se ponga una marca (Punto E).
Ahora Martín tiene dos
triángulos semejantes, como
se muestra en el siguiente
croquis:
Si observa el croquis, se dará
cuenta que los triángulos ABE
y ECD son semejantes por lo
que se puede plantear que:
116
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3.3 LA TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA COTIDIANA
El puente del alamillo
Es una de las construcciones realizadas en Sevilla con motivo de la exposición
universal de 1992. Diseñado y construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto
Santiago Calatrava.
El puente tiene figura de arpa y un solo brazo soporta todo su peso. Tiene 140 m
de altura con una inclinación de 58°, del que parte una pareja de tirantes que lo
sujetan (de 300 m de longitud, los mas largos del mundo) y salva una luz de 200
m. Para su construcción se empleó una de las mayores grúas de tierra del mundo,
capaz de elevar 200 Tm a 150 m de altura.
El proyecto inicial fue realizar un puente igual que mirase en sentido contrario, en
el otro margen del rio; pero por motivos de presupuesto solo alcanzo para uno. El
ojo de la cabeza de caballo sirve como mirador.
¿Qué distancia hay entre el pie de la altura y el otro extremo del puente?
¿Qué longitud tiene el puente (la base)?
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
117
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Las matemáticas no solo se usan para sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. Si no
también su aplicación y el uso es en diversas actividades de la vida diaria ya sea directa
o indirectamente.
En este caso se tratará el uso de la trigonometría en la vida diaria pero primero;
¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es
"la medición de los triángulos". En términos generales, la trigonometría es el estudio de
las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante.
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en
todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se
aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en
la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas
en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias
entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
La trigonometría a aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la
construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. la
trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de
REFLEXIÓN TEÓRICAPARTE 2:
118
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera. Esto sería una aplicación
en el desarrollo tecnológico. Una aplicación o un aporte de la trigonometría en el
desarrollo científico serían en la elaboración de métodos numéricos por parte de
matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral que no se
pueda trabajar con los métodos convencionales. Otro aporte en el plano científico podría
ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos
parámetros trigonométricos.
¿Es la trigonometría una ciencia con pasado y futuro?
Si ya que la trigonometría la hemos utilizado y la vamos a utilizar cada vez más porque es
una herramienta que nos sirve para la diferentes carreras de ingeniera o simplemente
para la vida diaria.
En conclusión, la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual
no solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo
piensa, sino también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y
en sistemas de navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de
peralte en una carretera; la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver
problemas de la vida diaria y como ya saben también se utiliza mucho en la ingeniería; ve
a tu alrededor y veras siempre una figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de
fuerzas, etc. Y en general la trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria
y en algún momento de tu vida vas a poder ver esta materia en tu vida cotidiana ya sea
directa o indirectamente.
Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de
problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La
trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los triángulos.
Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación, ingeniería, topografía, la
geografía y muchos otros campos. Precisamente, la trigonometría es una rama de
las matemáticas que se ocupa de triángulos, círculos, ondas y oscilaciones.
Trigonometría y Arquitectura
No se puede separar la arquitectura de la trigonometría, que es fundamental para curvar
las superficies de los materiales de construcción, como el acero y el vidrio. La ciencia se
utiliza para encontrar las alturas de los edificios, o crear objetos tridimensionales a utilizar
en los edificios. La trigonometría se utiliza para hacer las demarcaciones de cubículos en
119
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
un edificio de oficinas. Es útil en el diseño de un edificio para predeterminar los patrones
geométricos y la cantidad de material y mano de obra necesaria para erigir una
estructura. Cuando el edificio se erige, no sólo será fuerte, tendrá mediciones precisas.
Imagen Digital
La misma ciencia se utiliza en la industria de la música. El sonido viaja en ondas que se
utilizan en el desarrollo de la música generada por el ordenador. Un equipo no va a
entender la música como un ser humano, sino que la representa matemáticamente por
las ondas sonoras que la constituyen. Precisamente, los ingenieros de sonido que
trabajan en la promoción de música computarizada y de alta tecnología, tienen que
aplicar la ley fundamental de la trigonometría: la función del seno y coseno. Los patrones
de las ondas musicales no son tan regulares como la función del seno y coseno, pero aún
es útil para el desarrollo de música computarizada.
Navegación, Geografía y Astronomía
La triangulación, que es una aplicación de la trigonometría, es utilizada por los
astrónomos para calcular la distancia a las estrellas cercanas. En geografía, se utiliza
para medir la distancia entre puntos de referencia. También se utiliza en los sistemas de
navegación por satélite. Por ejemplo, un piloto que despega del aeropuerto JFK de Nueva
York, tiene que saber en qué ángulo despegar y cuándo dar vuelta a un cierto ángulo en
el cielo con el fin de alcanzar el aeropuerto de Heathrow en Londres.
Ejemplos en la vida diaria de trigonometría
1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.
Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde
dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el
ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo
punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.
2) Convertir medidas de grados a radianes.
Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes
3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva
senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10
horas y es el día 355.
120
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
4) El puente de la Barqueta
El puente de la barqueta cuyo verdadero nombre es puente Mapfre, al ser la
entidad que lo financió, fue construido entre 1989 y 1992, como acceso al recinto
de la exposición universal. Fue diseñado por los ingenieros, Juan J. Arenas y
Marcos J. Pantaleón como un puente colgante, cuenta con un solo ojo apoyado
de orilla a orilla, su único arco es de acero atirantado por el propio tablero, mide
214 m, salvando una
luz libre de 168 m sin
apoyos intermedios y
con un ancho de 21,40
m. Fue construido en
tierra y girado hasta su
emplazamiento. En su
montaje definitivo uno
de los extremos se
desenganchó y volvió
al rio.
Si el diámetro de la circunferencia a la que pertenece el arco fuera de 270 m,
¿Cuánto medirá dicho arco?
121
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3.4 Tarea matemática y situaciones problemáticas en geometría
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
“En la mayor parte de las ciencias una generación derriba lo que otra había construido,
y lo que uno parecía haber demostrado firmemente otro lo deshace. Sólo en las
matemáticas cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura"
(Hermann Hankel).
A partir del texto,
¿Qué opinión le merece?
¿Conoce usted la evolución histórica de la Geometría?
¿A qué se debe según usted la evolución de la Geometría?
¿Sabe usted de qué trata la Geometría Afín?
122
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Situación problemática
1. En un viaje a Egipto no podemos perdernos la visita a sus pirámides.
Observa cómo puede medirse la altura de una pirámide. Si colocamos un
palo y medimos su sombra, como podemos medir la sombra de la pirámide,
basta con relacionar los triángulos rectángulos por semejanza.
¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos se puede construir una
pirámide?
En la situación problemática identifique el contenido, el contexto y el nivel
según PISA.
123
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
2. Un aserrador estima la altura de un árbol alto midiendo primero un árbol
pequeño alejado 125 pies del árbol alto; luego se desplaza de tal
manera que sus ojos estén en la visual de las copas de los árboles y
mide después que tan lejos está en árbol pequeño (véase la figura).
Suponga que el árbol pequeño mide 20 pies de altura, el hombre está a
25 pies del árbol pequeño y sus ojos están a 5 pies por arriba del suelo.
¿Cuánto mide el árbol más alto?
Esta parte del módulo se ha elaborado con la finalidad de manejar un lenguaje
matemático-gráfico que permita al participante identificar las leyes y principios
necesarios para resolver un problema de su entorno relacionado con la
geometría.
Aprendizaje esperado:
Diseñar estrategias didácticas para:
Enseñar el manejo de elementos geométricos unidimensionales,
bidimensionales y tridimensionales básicos de acuerdo con sus
propiedades.
124
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3.4.1 Tarea
La praxeología encuentra en
la Teoría Antropológica de lo
Didáctico la noción solidaria de
esquemas de conductas que
singularizas modos propios de
actuar conforme a
las instituciones sociales que se
dedican a la actividad
escolar matemática. Por lo tanto,
La tarea es una solicitud
institucional de acción puntual y particular en la dimensión del verbo y
adverbio frente una secuencia de eventos; concretamente, el género de la
tarea no existe más que bajo la forma de diferentes tipos de tareas cuyo
contenido está estrechamente especificado. Por ejemplo, demandar a los
estudiante de un curso geometría a calcular, la acción tendría un significado
incompleto y estaría carente de sentido, ¿Qué se calcula?¿El cálculo está
referido a cuál objeto? Muy distinto sería, Calcular el valor asociado de la
siguiente función ( ) = (50 − ) si el largo de la base es 10 m, este hecho
es una acción puntual y particular asociada al verbo calcular, lo cual supone
un objeto relativamente preciso. Se trata de una puesta en práctica
especialmente simple del principio antropológico basado en
un comportamiento social evocado por la acción cultural compartida en un
mismo nivel de frecuencia interpretativa por las partes involucradas (profesor-
estudiante). Las tareas no son datos de la naturaleza ni tampoco maniobras
divinas, son ajustes adaptativos de construcciones institucionales que diseña
el profesor con el objeto de provocar en sus estudiantes el dinamismo de
haciendo y aprendiendo el saber matemático.
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
125
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La puesta en práctica de la tarea representa la forma estática de la
praxeología, la cuestión dinámica y la razón de su génesis requiere una
manera de realizar las tareas, determinada por una manera de hacer.
Chevallard (1989) denomina el saber hacer una tarea en técnica, el autor
sospecha, que la técnica define la competencia matemática cuya
caracterización se ubica en:
1) Tener el compromiso por solucionar la tarea, esto es, estar sensibilizado
por el problema y asumir la responsabilidad por resolverlo.
2) Contar con los medios y recursos tanto cognitivo como instrumentales en
matemática para llevar a cabo la terea.
El componente que contiene a la Tarea (T) y su técnica (t), dibuja una forma
de praxeología relativa (T, t) denominada bloque práctico-técnico con el
objeto de dar significado a la práctica de la actividad escolar matemática y
que identificará genéricamente con lo que se llama un saber hacer tareas. El
saber hacer tarea debe estar precedido de los medios y recursos para
encarar dicha situación de reto, el saber. Serán las combinaciones inteligibles
de los dispositivos cognitivos de origen antropológico e instrumentales de
origen cultural, quienes estructuran el bloque de tecnologías (?) y teorías
matemáticas (T). El bloque de tecnologías y teorías (?,T) es el saber en
la Estructura Matemática, una ciencia de formalizaciones de un conjuntos de
leyes descubierta en el seno de su misma estructura mediante
un carácter deductivo de implicación lógica finita y sin contradicción,
subordinados a los sistemas de transformación que desembocan dentro de
su frontera, Angulo (2002). Pues bien, la tecnología es un discurso formal
interpretativo y justificativo que nace en la Estructura Matemática en su
naturaleza clasificatoria como algoritmo o como elemento de una clase; al
respecto Negel (1979) afirma:
Los sistemas formales que constituyen los matemáticos pertenecen
al grupo denominado matemática; la descripción, discusión y teorización que
se realiza en torno a los sistemas pertenecen a un grupo que lleva el epígrafe
de metamatemática.
126
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
En palabras de Chevallard (1989) tenemos "El bloque tecnológico-teórico no
es más que la conclusión de un discurso más amplio, que lo justifica o, como
se dice en matemática, que lo demuestra". Gascón (1998) sostiene que
"Llamaremos teoría asociadas a una técnica a la tecnología de sus
tecnología, esto es un discurso suficientemente amplio como para justificar e
interpretar la tecnología de dicha técnica". Entonces, el bloque de tecnología-
teorías (?,T) lo constituye la matemática y la metamatemática manipuladas
por las instituciones, con ello se consuma, según la metáfora de esta
posición, la praxeología completa (T,t,?,T) la cual surge como respuesta a la
matemática institucionalizada que organiza la actividad escolar en: prácticas
matemáticas que consta en tareas-técnicas (T,t,) utilizadas para llevar a
cabo el trabajo escolar, y el discurso razonado sobre dichas prácticas que
está constituido en dos niveles el de las tecnologías y el de la teoría (?,T).
3.4.2 Situación problemática
Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes
que posibilite, tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación
significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo
matemático.
Consideraciones para el diseño de la situación problemática
Estar frente a una situación problemática significa encontrarse en estado de
desequilibrio. Cada problema, teórico o práctico, pone de manifiesto la
existencia de una laguna o de
una perturbación. Resolver la
situación problemática es lograr
un nuevo estado de equilibrio
"...La solución de problemas de
modo organizado; resolución
que se apoya en un programa
lógico de operaciones
relacionadas entre si" (Luria,
A.R. y L. S. Tsvetkova la
127
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
resolución de problemas y sus trastornos pág. 9), es una de las formas como
definen Luria y Tsvetkova (1981) la actividad intelectual.
Dentro de la actividad intelectual se dan una serie de fases o procesos,
empezando por una pregunta específica sin respuesta inmediata, esta
pregunta orientada será luego el problema a resolver. La producción del
hombre, partiendo de los datos suministrados en el problema, confronta la
información y selecciona las operaciones que conducen a las respuestas
frente a los espacios de interrogación.
Criterios para diseñar una situación problema
La definición anterior pretende
acogerse a los siguientes
criterios:
La enseñanza y el aprendizaje
de las ciencias y las
matemáticas deben ocurrir
dentro de una concepción
constructivista del conocimiento,
esto es, el sujeto posee una
competencia cognoscitiva para asimilar los problemas y situaciones que se le
presentan. Si aparecen obstáculos para la asimilación, el sujeto deberá
modificar sus esquemas, reconstruyéndolos o acomodándolos, de modo qu e
el desequilibrio creado desaparezca y se constituya un nuevo equilibrio.
Los constructos científicos exigen, para ser interiorizados significativamente,
de las capacidades de generalización y abstracción, a su vez vinculadas con
la capacidad de reconocer semejanzas "olvidando" diferencias, y de
reconocer diferencias en presencia de semejanzas.
Las interacciones entre el estudiante, el objeto a conocer y el docente deben
ser fuertemente participativas. El estudiante, deseando conocer por él mismo,
anticipando respuestas, aplicando esquemas de solución, verificando
procesos, confrontando resultados, buscando alternativas, planteando otros
interrogantes. El docente, integrando significativamente el objeto de estudio
según los significados posibles para los estudiantes; respetando estados
128
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
cognoscitivos, lingüísticos y culturales; acompañando oportunamente las
respuestas y las inquietudes y; sobre todo, planteando nuevas preguntas que
le permitan al estudiante descubrir contradicciones en sus respuestas
equivocadas, o "abrirse" a otros interrogantes. En cuanto al objeto de
conocimiento, este no debe asumirse como un producto terminado, siempre
debería ofrecer posibilidades de profundización y ampliación. En diferentes
momentos del aprendizaje, el objeto poseerá diferentes significados, de
acuerdo a los logros de los estudiantes para comprenderlo en variados
sistemas teóricos, los que a su vez permitirán reconocerlo en distintos
sistemas de aplicación.
Los contenidos temáticos deben organizarse coherentemente alrededor de
objetos de conocimiento que potencialicen y faciliten variabilidad y riqueza de
preguntas y problemas.
La situación problema debe fomentar la movilización de habilidades básicas,
tanto del pensamiento científico como matemático. En cuanto al primero, son
generalmente reconocidas las habilidades para observar e interrogar los
fenómenos, además de sistematizarlos, estructurarlos y explicarlos. En
cuanto al segundo, la comprensión significativa de los conceptos, la
ejercitación de algoritmos y la resolución de problemas parecen dar cuenta de
lo esencial en cuanto a la habilidad matemática.
Referentes para el diseño de las situaciones problema
De acuerdo con nuestra
interpretación de la orientación
constructivista, abordaremos el
diseño de las estrategias de
intervención pedagógica hacia el
acompañamiento para el
aprendizaje de las cienc ias y la
matemática, de acuerdo al
siguiente orden:
La selección de un motivo o
problema inicial.
129
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
La organización básica de los contenidos temáticos que el motivo permite
trabajar.
La estructuración previa de niveles de conceptualización.
La selección de actividades y preguntas fundamentales.
La escogencia de los medios y los mediadores.
Las posibilidades de motivación hacia otros aprendizajes.
La evaluación de los procesos de aprendizaje detectables en la situación
problema.
La selección de los contenidos temáticos
Los contenidos temáticos, que se tratan en un currículo, poseen tres espacios
posibles de referencia: El saber universal o saber formal aceptado por cada
sector de la cultura, el saber particular requerido para una situación específica
y el saber por intereses individuales.
El referente universal.
En él se encuentran las respuestas a los objetos de estudio, sus orígenes, los
métodos para sustituir o crear conceptos, sus aplicaciones y las relaciones
con otros objetos. Puesto que es imposible dar cuenta de todo lo que es
importante en una área del conocimiento, es necesario recurrir a la opinión de
las comunidades académicas para seleccionar, a través de ellas, los
contenidos básicos de la enseñanza; afortunadamente existen suficientes y
variadas propuestas para elegir con gran probabilidad de acierto. El problema
aparece, generalmente, cuando se trata de precisar el significado, la
profundidad y el sentido de los conceptos que se van a trabajar en la escuela.
No es adecuado presentar los conceptos, tal y como están dados en los
saberes formales, ellos requieren ser reconceptualizados para que se ajusten
a las condiciones cognitivas y socio-culturales de los estudiantes. Se
constituye, entonces, en una tarea ineludible del educador, el trabajo de
reconceptualización en los contextos particulares y específicos.
Las categorías epistemológicas son de gran ayuda para efectuar este
proceso. Así, por ejemplo, si pensamos que en cualquier área de acción
130
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
pedagógica se pueden señalar cinco espacios de reflexión: el sistémico, el de
validación, el estructural, el de aplicación y el de explicación, el currículo
deberá orientar los contenidos temáticos hacia la comprensión de estos
espacios. En el espacio sistémico se dará cuenta de los objetos, las
operaciones y las relaciones; en el espacio de validación se tratarán los
métodos para aceptar o rechazar proposiciones y teorías; en el espacio
estructural se analizarán las propiedades generales comunes a varios
sistemas; en el espacio de aplicación se recurrirá a las prácticas y solución de
problemas, y en el espacio explicativo se analizarán los significados que
tienen las estructuras desde una o varias teorías más generales.
El referente particular.
Para que la educación tenga sentido social es necesario abordar temáticas de
interés nacional y regional; de este modo los estudiantes adquieren
elementos básicos para la participación ciudadana y para hacer uso de los
medios que les ofrece su entorno político y sociocultural. Una estrategia que
ha tenido gran éxito para incorporar estos elementos en el currículo, consiste
en diseñar situaciones problemáticas que motiven el estudio de los temas
requeridos. Situaciones que se refieran a la economía, el medio ambiente, la
política, la vida ciudadana y, en general, a una mejor calidad de vida.
El referente individual.
Las actitudes y aptitudes de los estudiantes deben ser reconocidas y
promovidas por el currículo. Por lo tanto, los educadores deberán disponer de
una variada y buena oferta de orientaciones, guías y talleres para que los
estudiantes puedan, no sólo ajustarse a sus limitaciones y posibilidades, sino
también ampliar y profundizar en sus conocimientos y habilidades.
131
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN:
En el año 2013, el Profesor Hugo de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión:
“Durante el año 2012, respecto a mi labor como docente no se abordaron los
temas desde situaciones problemicas por lo que los estudiantes no estaban
motivados en clase y no se lograron aprendizajes de calidad.
Sin embargo, algunos profesores que asistieron al Curso de Especialización,
le sugieren hacer sus clases desde situaciones problemicas. Si estarías en
esta situación ¿Qué decisión tomarias?. ¿Por qué?
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN:
El Lic. Miguel Rojas de la I.E. “9 de julio” reflexiona:
“En el aula del segundo grado que tiene mayor cantidad de estudiantes,
existen estudiantes con bajo nivel de conocimientos y deficiente logro de
aprendizajes en el tema de ángulos, a quienes no los he atendido
adecuadamente el año 2012. ¿Qué debo hacer para ayudarlos?. ¿Qué tareas
deben efectuar los estudiantes?. ¿Qué situaciones didácticas debo plantear
como docente?
Ayuda a Miguel a solucionar el problema que se le ha presentado
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN:
¿Identifique y mencione situaciones problemicas para la enseñanza de
volumen de sólidos geométricos?
Diseñe una sesión de aprendizaje en geometría para el tema de área de un
trapecio partiendo de una situación problemica en los tres escenarios de
aprendizaje.
PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVAPRÁCTICA
132
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
¿Qué relación existe entre la resolución de situaciones problemicas en
geometría y el pensamiento variacional?
3.5 Niveles de demanda cognitiva en situaciones problemáticas de geometría
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
En el contexto mundial, los educadores de matemáticas han sostenido de
forma convincente, que el desarrollo pleno del entendimiento matemático se
despliega en aulas que más que entregar conocimientos de conceptos, sus
principios o su estructura, se preocupan de situar a los estudiantes como
agentes activos de su aprendizaje (Schoenfeld, 2004).
Así, la literatura existente parece estar de acuerdo que los estudiantes
desarrollan de mejor manera sus habilidades matemáticas resolviendo
problemas que les planteen situaciones desafiantes, donde tengan que
imponer sentido a lo que hacen, tomar decisiones sobre qué hacer y cómo
hacerlo e interpretar las soluciones y acciones de su proceso de aprendizaje
(Stigler & Hiebert, 2004; Schoenfeld, 2004; Stein, Grover & Henningsen, 1996).
A partir del texto,
¿Cómo cree Ud. que la geometría se aprende con mayor facilidad?
¿La manipulación de objetos por parte de los estudiantes beneficia a la
comprensión de conceptos en geometría?
¿Cuál sería el orden, si es que se puede ordenar los escenarios de
aprendizaje?
Problema 1
Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, recto en B, y P un punto de lahipotenusa AC tal que AP + BP = PC. Si definimosα = <PBA y β = <PBC, calcule el valor de 6
133
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Problema 2
En la figura se muestran dos rectas paralelas L1 y L2, y un triánguloequilátero ABC. Si la distancia de A a la recta L2 es la mitad de ladistancia de A a la recta L1, calcule el valor de 3 .
Problema 3
Tres circunferencias pasan por los puntos P y Q. Una recta corta a esascircunferencias en los puntos A, B, C, D, E y F, como muestra la figura.Si AB = 5, EF = 4 y AF = 20, determina cuántos valores enteros puedetomar CD.
134
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
3.5.1 ¿Qué significa demanda cognitiva?
Es el nivel de complejidad que demanda una
tarea a partir del tipo de habilidad cognitiva
que se exige al estudiante. En este sentido los
ejercicios que realizan los estudiantes pueden
requerir mayor o menor esfuerzo cognitivo. La
demanda cognitiva es independiente de los
contenidos involucrados en los ejercicios o
tareas.
Los niveles de demanda cognitiva en las
tareas de matemática en la taxonomía de Stein
La taxonomía de Stein (2000) es la que permite analizar los niveles de
demanda cognitiva en el dominio de matemática.
La demanda cognitiva tiene dos niveles:
3.5.2 Las tareas de demanda cognitiva baja
Consisten en la memorización y la
aplicación rutinaria de algoritmos.
Las tareas de baja demanda
cognitiva se clasifican en categorías
de memoria y de procedimientos sin
conexiones. Los procedimientos sin
conexiones, no están conectados
con una comprensión más profunda
de los contenidos matemáticos
involucrados en la tarea. Cuando las
tareas son de estos dos tipos, los alumnos generalmente resuelven de 10 a
30 problemas o ejercicios en un periodo de clase.
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
135
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Características
• Constituidas tanto por la memorización de información, como por la
ejecución de los llamados procedimientos sin conexiones.
• Son las tareas rutinarias que se aprenden por repetición.
• Para su ejecución no es necesaria la comprensión de las nociones
involucradas, ni las razones, contextos o límites de su uso.
• Solo es necesario “aprender el procedimiento” para ejecutarlas.
3.5.3 Las tareas de demanda cognitiva alta
Refieren a otras maneras a través de las cuales
los alumnos pueden “pensar” acerca de las
relaciones existentes entre fracciones,
decimales y porcentajes. Estas formas de
demanda cognitiva alta, también exigen el uso
de procedimientos o algoritmos; sin embargo,
éstos están asociados con conceptos y
significados importantes de los contenidos
matemáticos involucrados en la tarea. Estas tareas, se clasifican como
procedimientos con conexiones o hacer
matemáticas, donde los algoritmos que se
aplican están asociados con una mayor
comprensión de significados y conceptos
matemáticos involucrados en la tarea. Los
estudiantes desarrollan mucho menos problemas
o actividades (a veces dos o tres) en un solo
periodo de clase.
Enfocan la atención en el uso de procedimientos destinados a desarrollar
niveles más profundos de comprensión de conceptos e ideas matemáticas.
Sugieren vías que constituyen una extensión de procedimientos generales
con conexiones cercanas a ideas conceptuales subyacentes.
136
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Características
• Se representan de múltiples formas (por ejemplo: diagramas visuales,manipulativos, símbolos, situaciones problemáticas).
• Se necesita conectar las ideas conceptuales que subyacen a los
procedimientos, a fin de completar exitosamente la tarea y desarrollar su
compresión.
• Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (no existe una víapredecible, una aproximación bien realizada, una vía dada por latarea, la instrucción o un ejemplo trabajado).
• Llevan a explorar y entender la naturaleza de los conceptos,
procedimientos o relaciones matemáticas.
• Demandan monitoreo y autorregulación de los procesos cognitivos.
• Llevan a conocimientos y experiencias relevantes, y a hacer un uso
adecuado de ellos a través de la tarea.
• Requieren que se analice la tarea y examine para delimitar las posibles
estrategias de solución.
• Pueden involucrar cierto nivel de ansiedad para el estudiante, debido a la
naturaleza impredecible del proceso de solución que se necesita.
Ejemplos de situaciones problemáticas
Ejemplo 1:
A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se
muestra en el gráfico de la derecha Susana tiene muchos cubos pequeños
como este. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros bloques.
Primero Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en el
gráfico A.
137
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Luego Susana hace los bloques macizos que se muestran en los gráficos B y
C.
PISA (2012)
Pregunta 1
¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se
muestra en el gráfico B?
Rpta. cubos.
Análisis de la pregunta:
Clasificación de la pregunta
Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para
formar un bloque.
Proceso: interpretar.
Contenido matemático: espacio y forma.
Contexto: personal.
Calificación de la respuesta
Respuesta correcta: 12 cubos.
Pregunta 2
¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque macizo
que se muestra en el gráfico C?
Rpta. cubos.
Análisis de la pregunta:
Clasificación de la pregunta
Descripción: hallar la cantidad de cubos de un tamaño determinado para
formar un bloque.
138
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Proceso: interpretar.
Contenido matemático: espacio y forma.
Contexto: personal.
Calificación de la respuesta
Respuesta correcta: 27 cubos.
Pregunta 3
Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que
realmente necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en el
gráfico C. Podría haber construido un bloque como el del gráfico C
pegando los cubos pequeños, pero dejándolo hueco por dentro.
¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque
como el que se muestra en el gráfico C, pero hueco?
Rpta. cubos.
Análisis de la pregunta:
Clasificación de la pregunta
Descripción: analizar posibilidades de adecuación de la solución de un
problema a una solución alternativa en una situación geométrica.
Proceso: formular.
Contenido matemático: espacio y forma.
Contexto: personal.
Calificación de la respuesta
Respuesta correcta: 26 cubos.
Ejemplo 2:
Saúl ha recibido como herencia un terreno
como el que se muestra a continuación, en él
se cumple que dos lados consecutivos son
siempre perpendiculares. Determine cuántos
m2 (metros cuadrados) mide el área de dicho
139
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
terreno, si las longitudes mostradas en la figura están expresadas todas en
metros.
(ONEM 2012) Segunda Fase - Nivel 2
Realice el análisis de esta pregunta e indique el resultado
3.6 Resolución de situaciones problemáticas según Polya – Guzmán
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por
ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y
"problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento
rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace
una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que
no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar
una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño
sea, es lo que distingue
un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta
distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la
persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño
puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de
los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes
96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma
cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta
pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".
A partir del texto,
¿Cuál es la diferencia entre problema y ejercicio geométrico?
¿En su práctica pedagógica, toma en cuenta e método de los cuatro pasos
de Polya?
¿Aplica Ud. El método heurístico en la resolución de problemas?
¿Qué otro método aplica en la resolución de problemas?
PARTE 1: DESDE LA PRÁCTICA
140
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DEPROBLEMAS
George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la
Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó
temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen
Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó
a la Universidad de Stanford en 1942.
En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o
cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para
entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su
enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que
simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus
estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los
siguientes cuatro pasos:
1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás
Paso 1: Entender el Problema.
¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
PARTE 2: REFLEXIÓN TEÓRICA
141
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se
define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón
4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más simple.
6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama
8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto.
10. Usar las propiedades de los Números.
11. Resolver un problema equivalente.
12. Trabajar hacia atrás.
13. Usar casos
14. Resolver una ecuación
15. Buscar una fórmula.
16. Usar un modelo.
17. Usar análisis dimensional.
18. Identificar sub-metas.
19. Usar coordenadas.
20. Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar
completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar
un nuevo curso.
142
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes
éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento
(¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo
fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en
el problema?
¿Adviertes una solución más sencilla?
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
EJEMPLO DE LA RESOLUCION DE UN PROBLEMA EMPLEANDO LOS4 PASOS DE POLYA
Problema 1:
¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de 10 lados?
Resolución:
Paso 1. Comprende el problema.
El problema pide que se determine el número de diagonales que tiene un
polígono de 10 lados.
Paso 2. Elabora un plan.
Podríamos dibujar este polígono de 10 lados y contar sus diagonales, pero
dibujar un polígono de 10 lados con sus diagonales es bien difícil.
Estrategia:
Un modo de resolver este problema es utilizando la estrategia resolver un
problema más sencillo antes; es decir, estudiar el número de diagonales de
polígonos con menor número de lados.
Paso 3. Ejecuta el plan.
Observa las figuras:
143
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Colocamos en una tabla los valores que observamos en las figuras
anteriores y analizamos la tabla para buscar algún patrón que nos ayude a
completarla:
Respuesta: Un polígono de 10 lados debe tener 35 diagonales.
Paso 4. Generalizando.
Algunas veces un patrón nos puede llevar a encontrar una regla general
que puede ser escrita como una expresión algebraica. Este es un ejemplo
de razonamiento inductivo.
El polígono de 3 lados tiene 0 diagonales.
El polígono de 4 lados tiene 2 diagonales.
El polígono de 5 lados tiene 2 + 3 = 5 diagonales.
…………………………..
El polígono de 10 lados tiene 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales.
Extendiendo este patrón:
Para el polígono de 11 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44
Para el polígono de 12 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54
………………………………………………………………………….
Para el polígono de n lados: 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n ¬- 2) diagonales.
La expresión algebraica 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n - 2) representa el número
de diagonales de un polígono de n lados.
144
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
• Verifica si esta expresión es correcta para calcular el número de
diagonales que tiene los de polígonos de 3 a 10 lados. Compara tus
resultados con la tabla anterior.
• Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales que debe
tener un polígono de 15 lados.
• Veamos otro razonamiento, inductivo también, para determinar el
número de diagonales de un polígono de n lados.
Piensa en un polígono de n lados. Ese polígono tendrá n vértices.
Como de cada vértice salen n - 3 diagonales porque de él mismo y los 2
lados contiguos no salen diagonales, para calcular el número de
diagonales que salen de cada vértice tenemos que hacer el producto:
n vértices • (n - 3)
Tenemos que dividir entre 2 ese resultado porque al hacer el producto
estamos contando 2 veces cada diagonal, pues la diagonal que va de un
vértice al otro y la que viene de ese vértice a sí mismo es la misma y se
está contando 2 veces.
Por tanto la expresión algebraica [n • (n - 3)] / 2 representa el número de
diagonales que tiene un polígono de n lados.
Si d representa el número de diagonales de un polígono podemos escribir:
d = [n • (n - 3)] / 2
Esta última igualdad es la fórmula que permite calcular el número de
diagonales que debe tener un polígono conociendo el número de lados que
tiene.
Utilizando la fórmula anterior calcula el número de diagonales que debe
tener un polígono de 10 lados y de uno de 15 lados. ¿Estos polígonos
tienen algún nombre especial?
145
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
ACTIVIDADES DE METACOGNICIÓN
El Profesor ABC de una cierta I.E. hace la siguiente reflexión: “Durante el
año 2012, respecto a mi labor como docente no logré que los estudiantes
logren resultados apropiados en el desarrollo de los conocimientos
geométricos que propuse”, ante esta situación, si yo fuera tal docente,
¿qué debería hacer para mejorar mis sesiones de clases en el presente
año?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi desempeño en el
aula?
¿Qué de lo aprendido me puede permitir mejorar mi plan de investigación
acción?
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN
Siguiendo la teoría de Polya, resuelva el siguiente los siguientes
problemas:
Problema 1: ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de área 529u2?
Problema 2: Un cilindro de revolución de 8cm de radio de la base contiene
agua hasta su mitad, se introduce un pedazo metálico de forma cubica y el
nivel de agua sube 8cm. Hallar la arista del pedazo metálico.
ACTIVIDADES DE EXTENSIÓN
Investigue si existe otra propuesta aparte de la de polya para resolver
problemas
¿Qué relación existe entre el modelo de polya y las tareas de alta
demanda cognitiva?
3.7 El material manipulativo para la enseñanza y aprendizaje de la geometría
El material manipulativo facilita los procesos de enseñanza y aprendizaje de los
alumnos, pues los alumnos experimentan situaciones de aprendizaje de forma
manipulativa, que les permite conocer, comprender e interiorizar las nociones
estudiadas, por medio de sensaciones (Área, 2010).
PARTE 3: HERRAMIENTAS PARA LA NUEVA PRÁCTICA
146
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Los sentidos son el medio natural por el cual adquirimos conocimiento. La vista, el
oído y el tacto permiten conocer el mundo e interpretarlo de manera personal y
única. El profesor pasa a ser el mediador del aprendizaje. En este sentido, Área
(2010) afirma:
En un proceso educativo, el educando o educanda construye su aprendizaje paso
a paso, avanzando pero también con retrocesos. En la tarea de aprender nadie le
puede sustituir: tiene que implicarse y esforzarse y tiene que aprender a
autorregular su propio proceso de aprendizaje (aprender a aprender). La función
del docente es ayudarle en este proceso de aprendizaje, acompañándole y
tomando las decisiones necesarias y poniendo todos los recursos posibles, entre
ellos los materiales didácticos. (Área, 2010, 16)
El conocimiento humano se adquiere por medio de los sentidos, el conocimiento
matemático específicamente utiliza el sentido del tacto, complementándolo con la
audición y la visión. Según Castro y otros (1997) los modelos como esquemas o
materiales estructurados, tales como materiales manipulativos, permiten la
formación de conceptos y el desarrollo de procedimientos matemáticos.
En nuestra experiencia, hemos observado que los docentes le han dado más
importancia a otros aspectos de las matemáticas y han relegado los contenidos
geométricos a un segundo plano, dejándolos para ser tratados en las últimas
unidades o simplemente no contemplarlos durante el curso, como manifiestan
Pérez y Guillén (2009). Sin embargo, hay que hacer un esfuerzo por recuperar la
enseñanza de la geometría en la educación obligatoria, para permitir al alumnado
desarrollar las competencias necesarias para la vida, de acuerdo con el currículo
obligatorio correspondiente a cada país. Otros autores, (Figuereas y otros, 2001;
Guillén y Figuereas, 2004 y 2005; Guillén et. Al., 2006; en Pérez S. y Guillén G.,
2007) han realizado investigación sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje
de la geometría y sobre las posibles causas que explican la situación actual de la
enseñanza de la geometría en primaria.
Para superar las dificultades que presenta la enseñanza de la geometría de
manera estática y con el exclusivo uso del cuaderno y libro del texto, Chamorro
(2003) fundamenta una “didáctica específica para la geometría”. En dichos
fundamentos se justifica el uso de material didáctico en la enseñanza y
aprendizaje de la geometría.
147
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Cascallana (1970) proporciona otra perspectiva sobre la enseñanza de la
geometría al considerar que existe una heterogeneidad dentro de la sociedad y
específicamente dentro de un mismo grupo curso, por lo tanto el uso de una única
estrategia no considera las diferencias que existen entre ellos, y por tanto es
necesario recurrir a otros medios como el uso de materiales. Además, sostiene
que las explicaciones verbales a toda la clase y la realización individual de
ejercicios, como único recurso, limita el aprendizaje a la mayoría de los alumnos.
Aún así, en la educación tradicional, las explicaciones verbales, los escritos en la
pizarra y la ejercitación individual, son los elementos básicos y casi exclusivos de
todos los días. Esto produce una gran brecha de aprendizaje entre el alumnado de
un mismo curso, ya que aquellos alumnos y alumnas que tienen un bajo nivel, no
alcanzan a comprender las explicaciones, mientras que aquellos con un alto nivel
se aburren y sólo reciben la información los de nivel medio.
De acuerdo a lo anterior asumimos que el protagonista del proceso de enseñanza
y aprendizaje es el alumnado, y por lo tanto su trabajo en las clases debe ser
activo, partiendo de un pensamiento concreto en donde debe manipular objetos
concretos y operar sobre ellos.
En este sentido estamos de acuerdo con Serrano (en Castro, 2007) cuando afirma
que:
En la enseñanza de la geometría los materiales didácticos proporcionan al alumno
la oportunidad de manipular, experimentar e investigar, ayudándole a desarrollar
gradualmente la visualización espacial”
Alsina, Burgués y Fortuny (en Castro, 2007), sostienen que el material didáctico
en geometría es muy importante en la adquisición de conceptos, relaciones y
métodos geométricos, ya que posibilitan una enseñanza activa de acuerdo con la
evolución intelectual del alumno.
Basados en los resultados de las referencias anteriores, hemos procedido a la
selección de los materiales que forman parte de nuestro cuestionario, que
básicamente responde a dos aspectos, recogidos en la clasificación de Flores
(2010): contenido y nivel educativo, como recoge el esquema de la figura 3.
148
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Figura 3: Esquema de clasificación de materiales manipulativos según Flores y otros
(2010)
En primer lugar determinamos el contenido que sería objeto de nuestro estudio,
en este caso Geometría, en la cual se observan dos elementos: geometría plana,
en que sólo se cuestiona el uso de materiales para polígonos e isometría plana. El
segundo elemento es geometría espacial, estudiando sólo el material manipulativo
para poliedros. En segundo lugar determinamos el contexto según el nivel
educativo, en nuestro caso el uso de materiales manipulativos en Educación
primaria, en algunos colegios de la Región Metropolitana en Chile.
También se hace uso de otros aspectos de la clasificación dada por Flores y otros
(2010), incluyendo una tabla (Tabla Nº 2) en el cuestionario aplicado en este
estudio, que permite obtener información sobre el uso de materiales manipulativos
en diversos contextos de aula.
Dificultades y errores en el uso del material
Coriat, Cañizares y Alsina (en Castro, 2007), incluyen una lista de errores y
dificultades que aparecen a la hora de utilizar materiales manipulativos en la
enseñanza de la geometría, entre los que destacamos los siguientes: sofisticación
del material (complejidad del objeto), utilización del material por el docente y no
por el alumno, poca cantidad de materiales, la no adecuación del concepto
presentado por el material, creer que el material ya asegura la adquisición de un
concepto, falta de recursos para obtener materiales. Estas dificultades dependen
en gran medida del uso que el docente haga del material en cuestión.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Materiales didácticos manipulativos en los siglos XX y XXI
A continuación señalamos solo algunos autores que justifican el uso de materiales
manipulativos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, en nuestros
tiempos.
Szendrei (1996) hace un recorrido por la historia, del uso de materiales concretos
en el aula. Comienza indicando la importancia en el uso de materiales concretos
para resolver situaciones matemáticas en el diario vivir, en épocas antiguas,
hecho que desaparece con el aprendizaje por algoritmos. Luego, hay un proceso
de reintroducción del material, influido por Comenius y Pestalozzi. A partir de
estos filósofos, Decroly y Montessori se inician en el uso de materiales concretos
para la enseñanza de las matemáticas. Así muchos otros autores del siglo XX
proponen nuevas razones y cientos de materiales manipulativos disponibles para
la enseñanza de las matemáticas.
A continuación apuntamos algunas ideas propuestas por algunos autores que
justifican el uso de materiales y recursos para la enseñanza de la matemática.
Castelnuovo (1970) propone una manera de enseñar las matemáticas,
destacando el paso de lo concreto a lo abstracto, de la percepción a la
representación abstracta, proponiendo un curso de geometría intuitiva, sustentada
por las ideas antes expuestas. La autora justifica la necesidad de lo concreto,
dando un ejemplo en geometría, demostrando que el dibujo es insuficiente para
desarrollar las competencias de una geometría intuitiva. Se necesita de un
material manipulable y movible, con el cual el alumno construya. Ella distingue
entre materiales individuales y colectivos.
Coriat (1997) propone los materiales como campo de problemas en Educación
Matemática y como tema de investigación. Plantea además, las dificultades que
se pueden dar tanto a nivel de aula como a nivel de colegio. Indica a su vez las
razones por las cuales es necesario utilizar estos materiales y recursos en el aula,
y sostiene que el uso de materiales constituye un problema metodológico y
cultural del centro, ya que “los materiales didácticos y recursos plantean
dificultades curriculares tales como: nivel de diseño curricular e infraestructura,
nivel de currículo planificado y nivel de currículo implementado.
150
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Finalmente, Coriat destaca la idea de que los materiales aportan a la enseñanza y
aprendizaje una variada ayuda potencial a los alumnos y profesores durante su
interacción.
Cascallana (1988), justifica el uso de materiales y recursos en el aprendizaje
matemático, resaltando la idea de que es necesario comenzar la enseñanza de
conceptos matemáticos a través de materiales manipulativos, pero no es el único
medio, pues se debe complementar con otros modos de enseñanza. El autor
propone crear situaciones educativas que permitan enfrentar al alumno a
problemas y a cómo resolverlos
Casacallana (1988) ante la pregunta ¿Cuál es el papel que desarrollan los
materiales en la enseñanza de las matemáticas?, sostiene que debido a que el
aprendizaje es una actividad interna del niño, el conocimiento no se puede
obtener por transmisión verbal; la libre manipulación de objetos no es un medio
para llegar al conocimiento. Este autor hace una diferencia entre el material
estructurado y no estructurado.
Alsina (2005), estudia el uso de materiales educativos para la enseñanza y
aprendizaje de la geometría y propone estrategias para su implementación.
También describe algunas clasificaciones sobre el material de acuerdo a
diferentes criterios. El grupo PI (2005 y 2007), trabaja en el desarrollo de
actividades para el aula utilizando el papel y la papiroflexia. Su objetivo es
proporcionar al profesor un material didáctico (el papel), como un recurso que
permite al alumno aproximarse a la geometría plana y espacial.
Los materiales didácticos cumplen una función mediadora, entre el profesor y el
alumno, entre los contenidos y el aprendizaje, por lo tanto es importante escoger
el material idóneo para los objetivos propuestos, según Área y otros (2010).
Según Área y otros (2010), ubicar los materiales en una secuencia educativa, trae
consigo el uso en determinados momentos de la clase: inicio, desarrollo y cierre.
Cumpliendo dentro de ellas varias funciones distintas como motivar, reflexionar,
proporcionar información, sintetizar o evaluar, entre otras. Momentos de la clase
que utilizaremos en el análisis de los datos de nuestro estudio.
Según Montero (citado por Jipoulou y Loyola, 1997), las guías de aprendizaje son
un material educativo, que puede potencialmente contribuir a modificar y
151
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
materializar un conjunto de principios educacionales que sustentan las
características de los roles del que aprende, del que enseña y del ambiente de
trabajo. Las guías de aprendizaje son un instrumento que pueden producir efectos
como: interés del que aprende, aprendizajes significativos, respuestas originales,
detección de fallas en los conocimientos previos y una dinámica apropiada para
seguir aprendiendo.
Para diseñar este tipo de material didáctico, se debe considerar:
Selección de los aprendizajes.
Secuencia de los aprendizajes.
Formas de interacción entre las personas con el conocimiento y entre actores del
proceso educativo.
La secuencia y ritmo.
Experiencias previas del estudiante.
Instancias evaluativas.
Vincular apropiadamente los recursos didácticos entre ellos los informáticos.
3.7.1 Materiales manipulativos para geometría plana
a) Bloques lógicos.
El objetivo de este juego es
introducir en los primeros conceptos
matemáticos y dar conocimiento de
semejanzas, diferencias y
asociación por colores, tamaños,
formas y espesores.
Propiedades de los bloques:
Color: azul, rojo y amarillo.
Forma: cuadrada, triangular, rectangular y circular.
Tamaño: grande y pequeño.
Grosor grueso, delgado.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
El juego consta de 48 piezas en caja de madera con tapa corrediza.
Medidas 26 x 18,50 x 6 cm.
Estimulación:
Concepto de conjunto, pertenencia y no pertenencia.
Desarrollar la capacidad espacial, que se relaciona con la que se tiene frente
a aspectos como color, línea, forma, figura, espacio, y la relación que existe
entre ellos.
Percibir la realidad, apreciando tamaños, direcciones y relaciones espaciales.
Reproducir mentalmente objetos que se han observado.
Reconocer el mismo objeto en diferentes circunstancias.
Describir coincidencias o similitudes entre objetos que lucen distintos.
En niños pequeños ayuda en el conocimiento y aprendizaje de formas
regulares.
En niños mayores es una herramienta concreta para la medición de las
propiedades de figuras.
b) Geoplano orto-isométrico
El Geoplano , inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno , es una
plancha de madera o de caucho, en la que se disponen regularmente una
serie de clavos o puntillas.
En el Geoplano se pueden formar
figuras utilizando gomas elásticas, al
mismo tiempo éste es empleado para
que el alumnado construya figuras
geométricas, establezca semejanzas,
diferencias entre paralelismo-
perpendicularidad y emplee un
lenguaje gráfico-algebraico.
Además, el Geoplano ofrece la
oportunidad para que el alumno y la
153
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
alumna estudie y descubra la relación
entre superficie-volumen, profundice y
comprenda los conceptos de áreas y
planos geométricos , y asocie
contenidos de la Geometría con el
Álgebra y el Cálculo .
Esta construcción cognitiva se produce
de una forma creativa mediante
actividades grupales, en las cuales se
presentan preguntas dirigidas por el
docente, con la finalidad de ayudarles a construir sus respuestas.
Y al mismo tiempo lograr que el estudiante formule sus propios interrogantes ,
permitiéndole así crear sus propias conjeturas acerca de algún concepto
matemático, favoreciendo con ello la optimización de los procesos de
aprendizajes significativo y el desarrollo de capacidades cognitivas complejas.
Existen distintos tipos de Geoplanos dependiendo de la posición de los clavos
o puntillas. Los más utilizados son los Geoplanos cuadrado, triangular
(isométrico) y circular.
c) Cuadrado, Cuadrado Isométrico Circular
Los Geoplanos pueden encontrarse en el mercado, pero su construcción no
es difícil: se necesita un tablero de 30x30 cm y clavos o puntillas de 2 cm.
¿Cómo se construye el Geoplano?
Geoplano cuadrado: Se marcan en el tablero cuadrículas de 1 cm de lado.
Una vez cuadriculado, se clavan las puntillas en cada vértice.
Geoplano triangular (isométrico): En un tablero de las mismas dimensiones,
se marcan triángulos equiláteros de 1 cm de lado. En cada vértice se clava
una puntilla.
Geoplano circular: Resulta más fácil elaborar una plantilla en A3 con una
circunferencia de dos cm menos de diámetro que el lado del tablero. La
circunferencia puede dividirse en 12, 24, 36…. partes. En cada uno de los
puntos marcados, así como en el centro se clavan las puntillas.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Para construir figuras en los Geoplanos de puntillas se utilizan gomillas
elásticas. En vez de Geoplanos podemos utilizar tramas de puntos , que son
Geoplanos en papel sobre el que se marcan las cuadrículas o los triángulos
según corresponda. ¿Cómo utilizar el Geoplano?
Con el Geoplano circular se pueden trabajar actividades de construcción de
polígonos regulares, polígonos estrellados, polígonos inscritos, circunscritos;
elementos geométricos como el radio, diámetro, cuerda, tangente, secante,
etc., y demostraciones como que en una circunferencia, un ángulo inscrito
mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco, etc...
a) El alumnado que va consiguiendo los objetivos, no tiene que repetir
actividades de un nivel ya superado.
b) El alumnado que necesita más tiempo para afianzar los conocimientos
puede realizar actividades adaptadas a su nivel de competencia.
Ventajas de utilizar el Geoplano
c) Al alumnado se le brindan las ayudas individualizadas, o en pequeño
grupo, que necesita para seguir avanzando.
d) Potencia la autonomía del alumnado.
e) Desarrolla la evaluación formativa.
f) Permite tanto al estudiante como al docente experimentar con patrones
numéricos, dar paso al pensamiento intuitivo y aperturar el pensamiento
hacia la innovación, lo cual es la base de la creatividad.
Este material, sencillo y eficaz, le permite a los estudiantes experimentar con
modelos matemáticos y construir conceptos numéricos en diversos contextos.
Él puede ser usado con la finalidad de establecer patrones ideales, para
combinar y realizar medidas directas o indirectas.
También, es útil para reproducir en forma creativa nuevas colecciones de
figuras complejas, innovar conceptos, descubrir propiedades-relaciones
exactas y comprobar conjeturas e hipótesis. Además, el Geoplano es
potencialmente beneficioso para estimular y despertar la creatividad,
buscando integrar lo pedagógico con el desarrollo de estrategias y
habilidades cognitivas.
155
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Incorporar el Geoplano en las clases de matemáticas, puede ser considerado
simplemente una novedad, o puede significar una oportunidad para que los
docentes aborden los contenidos matemáticos de una forma creativa,
valiéndose de esta única herramienta para inducir al alumnado a pensar en
forma divergente.
Es por ello que el docente tiene que profundizar, apoyado en la epistemología
de la educación matemática, en el conocimiento de las aplicaciones prácticas
y teóricas del Geoplano e internalizar las posibilidades que le brinda esta
herramienta.
Si el docente conoce el Geoplano , podrá conducir a sus alumnos y alumnas
a construir conceptos matemáticos propios y favorecerá el desarrollo de
procesos de aprendizaje significativo y con ello estimulará algunas
capacidades cognitivas más complejas.
La experiencia con el Geoplano en el aula, se asocia a la organización de
contenidos, a la posibilidad de que por ejemplo, los conceptos de
proporcionalidad, cuadriláteros, triángulos, segmentos, paralelismo,
perpendicularidad, congruencia, medida, relaciones y proporciones, el
lenguaje gráfico y algebraico "se encuentren todos“ integrados en una
actividad y en una sola discusión participativa dentro del ambiente educativo
ideal propiciado por el docente.
El Geoplano , es un excelente recurso didáctico para dirigir el proceso de
aprendizaje-enseñanza matemática, ya que le da la oportunidad al docente de
mejorar su labor pedagógica, y transformarse en personas originales junto
con los educandos: constructores del conocimiento, imaginativos, dinámicos,
y creadores de ideas. Conclusión
Por otro lado, le permitirá incluir interrogantes a través de actividades por
niveles, y trabajar tanto con las necesidades como con las potencialidades de
una manera personalizada.
Sin embargo, actualmente existen otras herramientas instructivas que
contribuyen en el desarrollo cognitivo del educando, a diferencia de éstas
mediante el uso del Geoplano se busca despertar el potencial creativo de los
156
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
alumnos y alumnas y obtener resultados transcendentes, que no sólo tendrán
implicaciones en la matemáticas sino en otras áreas de estudio.
En relación a lo anterior, esto no se logrará si los docentes no unen
esfuerzos, por romper los esquemas tradicionales y asumir el desarrollo de la
creatividad del educando de acuerdo con su edad y capacidad mental. Para
que esto se alcance se debe dejar a un lado, en lo posible, la impertinencia, la
improvisación y la carencia de ideas.
La innovación educativa no se conseguirá si se encierran en sus propias
apreciaciones y conceptos. Deben asociarse, compartir experiencias,
interactuar, enriquecerse de ideas con grupos de profesores y profesoras que
vayan en la misma vía.
Si desean ser innovadores en su labor pedagógica, es necesario socializar el
conocimiento, pues en la época en que se encuentran es muy difícil ser un
creador solitario.
d) Un tangram especial
Es un material didáctico que consta de cinco piezas; es muy adecuado para
realizar actividades relacionadas a longitudes, ángulos, áreas,
proporcionalidad, etc., mediante el uso de herramientas conceptuales muy
simples.
El tamaño ideal es el de un cuadrado de 10 cm x10 cm así:
e) Rompecabezas geométricos
Los rompecabezas son juegos muy valorados, desde el punto de vista
educativo, porque a la vez que fomentan la creatividad, el desarrollo de las
capacidades de análisis y síntesis, la visión espacial, las estructuras
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157
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
y los movimientos geométricos.
f) Los policubos
La teoría de policubos es una rama de las matemáticas que se ocupa de
estudiar el comportamiento de unidades modulares cúbicas, tal que unidas
por sus caras configuran formas en el espacio tridimensional.
El módulo básico es un cubo, la combinación de varios cubos permite obtener
una gran variedad de módulos que conservan ortogonalidad entre sus caras
y, dentro de la sencillez de sus formas, aportan riqueza volumétrica y
modularidad, estableciendo correspondencias con formas de uso
arquitectónico.
158
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
g) El cubosoma
El Cubo Soma es un puzzle de tres dimensiones que fue inventado en 1936
por el matemático danés Piet Hein. El Cubo Soma, está formado por seis
tetracubos y un tricubo no lineal, con él, se pueden construir una gran
variedad de formas geométricas; figuras de animales, muebles, etc.
h) Elaboración del hexagrama
Se hacen los trazos y la cuadrícula en el papel o cartulina y luego se procede
a cortar con una tijera por las líneas que forman los seis triángulos
rectángulos isósceles.
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
Para la mejor presentación y conservación del hexagrama se elabora un
estuche que sirve de marco a fin de encajar en ella las seis piezas, como si
fuera un rompecabezas, y se forme un rectángulo. Así:
i) Utilización del hexagrama
Formación de siluetas
Flecha Gato Pez
j) Formación de Figuras Geométricas
Triángulos
El triángulo es aquella figura geométrica formada por tres rectas que se
cortan dos a dos. Es un polígono plano constituido por tres lados y tres
ángulos.
Con el hexagrama se forman los siguientes triángulos:
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
GLOSARIO
Competencia.- Son las capacidades de poner en operación los diferentes conocimientos,
habilidades, pensamiento, carácter y valores de manera integral en las diferentes
interacciones que tienen los seres humanos para la vida en el ámbito personal, social y
laboral.
Etnomatemática.- Es la forma de explicar, enseñar, diseñar, comprender, manejar, lidiar
y construir a partir de su propia cultura, es decir, es una matemática de la vida y para la
vida, que se aprende por la interacción social.
Procesos pedagógicos.- Es el conjunto de prácticas, relaciones intersubjetivas y
saberes que acontecen entre los que participan en procesos educativos, escolarizados y
no escolarizados, con la finalidad de construir conocimientos, clarificar valores y
desarrollar competencias para la vida en común. Cambiar estas prácticas, relaciones y
saberes implica por tanto influir sobre la cultura de los diversos agentes que intervienen
en los procesos de enseñar y aprender. Los cambios culturales como sabemos requieren,
entre otros factores importantes, de sostenibilidad en el tiempo para concretarse. No son
de corto plazo.
Procesos cognitivos.- Son todos aquellos procesos a través de los cuales, la
información es captada por los sentidos, transformada de acuerdo a la propia experiencia
en material significativo para la persona y finalmente almacenada en la memoria para su
posterior utilización.
Estrategia.- Es una acción humana orientada a lograr un propósito de manera
intencional, consciente movilizando sus capacidades.
Estrategias de enseñanza.- Son experiencias o condiciones que el maestro crea para
favorecer el aprendizaje del alumno.
Estrategias de enseñanza.- Son procedimientos que un estudiante adquiere y emplea
de forma intencional para aprender significativamente y solucionar problemas de su
entorno.
Capacidad.- Potencialidad inherente a toda persona capaz de ser desarrollado durante
toda su vida.
Competencia.- Son un conjunto de conocimientos, habilidades y valores que convergen
y permiten llevar a cabo un desempeño de manera eficaz, es decir que el estudiante logre
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
los objetivos de manera eficiente y que obtengan el efecto deseado en el tiempo
estipulado y utilizando los mejores métodos y recurso para su realización.
Aprendizaje Cooperativo.- Es una forma de trabajo en grupo basado en la construcción
colectiva del conocimiento y el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo
personal y social), donde cada miembro del grupo es responsable tanto de su aprendizaje
como del de los restantes miembros del grupo. Las dinámicas internas que hacen que el
aprendizaje cooperativo funcione se basan en características que posibiliten a los
docentes estructurar las actividades de manera tal que los estudiantes se vuelvan
positivamente interdependientes, individualmente responsables para hacer su parte del
trabajo, trabajen cara a cara para promover el éxito de cada cual, usen apropiadamente
habilidades sociales y periódicamente procesan cómo pueden mejorar la efectividad de
sus esfuerzos.
Papiroflexia.- Técnica de plisado de papel con fines recreativos.
Transposición Didáctica.- Es la transformación del saber científico en un saber posible
de ser enseñado, se interesa por establecer una relación entre el saber sabio de los
matemáticos y el saber a enseñar y de ésta al saber enseñado.
Contrato didáctico.- En todo proceso de enseñanza-aprendizaje siempre existe un
discurso o “contrato” entre profesor y alumno resultado del conjunto de códigos y pactos
implícitos y explícitos que regulan los comportamientos, interacciones y relaciones de los
docentes y el alumnado (normas, programas de asignatura, etc.)
162
SESIÓN DE APRENDIZAJE Y DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA
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