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MATEMATICAS FINANCIERAS
Presentado por:
Econ. Erik Nez del Prado Pacheco
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Matemtica Financiera
Renato Eduardo Anicama Salvatierra
Email: [email protected]
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
mailto:[email protected]:[email protected]7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Es la ciencia quenos proporcionalas herramientas
necesarias paratomar decisionesde inversin o de
crdito, a lo largodel tiempo.
Qu es la Matemtica Financiera?
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MATEMATICAS FINANCIERAS
ValorFuturoValor Presenteo Valor Actual
DISMINUYE CRECE
Desplazamiento de un flujo Financiero
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Inters Simple f (i,t)
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Grfico de Inters Simple
P
S
P
Ii
0 n
Basta que la TASA sea MAYOR a cero 0 paraque el flujo financiero cambie si se desplaza.
Inters = ganancia sobre capital
Inters Simple = f (i,t)
Es una funcin que trabaja con tasa de intersy tiempo.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
NOTACINP = Stock inicial del efectivo.
S = Stock final del efectivo.i = Tasa de inters.I = Ganancia sobre el capital.
n = Horizonte temporal.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
LEYES1.- La tasa de inters Siempre ingresa a las
frmulas expresada en tanto por uno, esdecir, dividida entre 100.
2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasade inters se asume que esta expresada entrminos Anuales.
3.- La tasa de inters (i) y el tiempo (t) Siempre
deben estar expresados en la misma unidad demedida, y se puede transformar a cualquierade ellos o a ambos.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Resultado Final = Stock Final= Valor Futuro f (i,t)
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Frmulas para clculos a inters simple:
S = P + I S = P + ( P i n )
S = P ( 1 + i n )
*niIP
nPIi* iP
In*
Para hallar el inters:
I = S - P
C S C S
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MATEMATICAS FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS
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MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES COMPUESTO
Proceso por el cual el intersgenerado por un capital en cada
periodo definido de tiempo, secapitaliza.Quien manda?
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Capitalizacin
La Capitalizacin es laaccin deacumular en cada frecuencia fijade
tiempoel inters ganado por un capital.
Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemoshacernos las siguientes preguntas:
Quin manda? La CapitalizacinCmo sabemos cul es la capitalizacin?
Porque dice o po rque la asum imos
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MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES COMPUESTO
P
STasa Nominal Anual40%Capitalizacin Semestral
El dinero crece a cada frecuencia productode la
0 1 ao
20% 20%
CAPITALIZACION
MATEMATICAS FINANCIERAS
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LA CAPITALIZACIN
10% x 4 trimestres 40%TASA NOMINAL ANUAL
10%
0 I II III
IV
CRECIO
46.41%TASAEFECTIVA
100
100
10110
11011
121
12112.10
133.10
133.1013.31
146.41
Trimestres
Capitalizacin trimestral
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S = P(1+i)n
Valor futuro (Stock Final)
Donde:i = Tasa de inters del periodo, y
est directamente vinculada ala frecuencia de capitalizacin.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Ojo: Cuando no se dice nada acerca de lacapitalizacin se asumeautomticamente que es diaria.
Todo tiene que expresarse en launidad de medida de capitalizacin.
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Ejemplo 1:
P = $ 1,000n = 1 ao.i = 40% anual
Capitalizacin Semestral
S = $ 1,440.00S
iPS
i
44.1*000,12.01*000,1
1*
semestral2.02
40.0
2
n,
,
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MATEMATICAS FINANCIERAS
NORMAS LEYES
1.- La tasa de inters Siempre ingresa a lasfrmulas expresada en tanto por uno, es
decir, dividida entre 100.
2.- Cuando no se indica nada acerca de la tasa de
inters se asume que esta expresada en trminosAnuales y que la capitalizacin es diaria. (Si la
capitalizacin no est definida se asumeautomticamente como diaria).
3.- La tasa de inters (i) y el tiempo (t) Siempredeben estar expresados en la misma unidad demedida, pero manda y ordena la capitalizacin.
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FRMULAS
Valor Presente
1, nP
Si
n
i
SP,
1
,1log
log
i
PS
n
Tasa delperodo
Tiempo
niPS
,1*
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MATEMATICAS FINANCIERAS
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Las personas y lasempresas,
generalmente realizanms de una
transaccin a lo largodel tiempo (depsitosy/o retiros), sobre unacuenta en su banco.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Qu entendemos porflujos multiples?
Llamamos flujos mltiples al
conjunto de transacciones deentradas o salidas de dineroque ocurren a lo largo de un
determinado tiempo.
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Al abrir una cuenta de ahorro en el banco, se produce un ingreso dedinero (saldo a favor del que deposita); posteriormente y a lo largo
del tiempo suelen ocurrir un conjunto de transacciones queincrementan o reducen el saldo (depsitos o retiros). Cuando elcliente decide cancelar su cuenta, en una fecha cierta, es fcil
calcular el saldo final de todo lo actuado, considerando la tasa deinters pertinente.
Tambin es posible, conociendo el saldo final de una cuenta y lasfechas y forma de como se manifestaron los flujos a lo largo del
tiempo, determinar el importe con el que se abri la cuenta.
Ejemplo
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MATEMATICAS FINANCIERAS
MtodosMtodo Acumulacin.
Mtodo de traslado de flujos.
Mtodo de factores dinmicos.
* Ecuacin de valor
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Mtodo IAcumulacin
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Mtodo de
Acumulacin
$ 10,000$ 8,000
$ 12,000
$ 1,000
S
0 120 180 210 270 das
120 das 60 das 30 das 60 das
TNA = 18%
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MATEMATICAS FINANCIERAS
0005.0360
18.0'i diario
Qu ocurre con mi depsito inicial cuando llegue al da 120?
10,618.2$)0005.01(*000,10 120S
Nuevo Saldo= 10,618.21 + 8,000 = $ 18,618.21
Ahora, llevamos este saldo hasta el momento en quese realiz la siguiente transaccin:
19,185.0$)0005.01(*21.618,18 60SComo en este momento se produce un retiro, entonces:
Nuevo Saldo= 19,185.0812,000= $ 7,185.08
MATEMATICAS FINANCIERAS
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Ahora, llevamos este nuevo saldo hasta el da 210, momento en quese produce otro retiro:
Nuevo Saldo = 7,293.641,000= $ 6,293.64
7,293.6$)0005.01(*08.185,7 30S
6,485.2$)0005.01(*64.293,6S 60
Finalmente, al momento de la cancelacin de la cuenta habr un saldoequivalente a:
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MATEMATICAS FINANCIERAS
Ahora para practicar, hagamosde cuenta, que se conoce elmonto que se retir al cancelar
la cuenta y los diversosmovimientos realizados duranteel tiempo de permanencia; pero
se desconoce el importe inicialcon el que se la abri.
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C S C S
Mtodo de
AcumulacinP $ 8,000 $ 12,000
$ 1,000
$ 6,485.26
0 120 180 210 270 das
120 das 60 das 30 das 60 das
TNA = 18%
de reversa MATEMATICAS FINANCIERAS
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Como estamos regresando, para hallar el nuevo saldo, el flujo sealadocomo retiro debemos devolverlo al saldo, en consecuencia, lo sumaremos,
a saber:
6,293.64$)0005.01(
26.485,660210
P
Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000= $7,293.64
7,185.0$)0005.01(
64.293,730180
P
Nuevo Saldo = 7,185.08 + 12,000= $19,185.08
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18,618.2$)0005.01(
08.185,1960120
P
Recordemos que estamos regresando, entonces ahora, para hallar elnuevo saldo, el flujo sealado como depsito debemos de quitrselo a
este saldo. Enconsecuencia, lo restaremos, a saber:
Nuevo Saldo = 18,618.228,000= $10,618.22
10,000.0$
)0005.01(
22.618,101200
P
Depsito inicial $ 10,000.00
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$ 10,000 $ 8,000 X$ 1,000
$ 6,485.26
0 120 180 210 270 das
120 das 60 das 30 das 60 das
TNA = 18%
Aprendiendo a formar ecuaciones devalor
MATEMATICAS FINANCIERAS
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10,618.2$)0005.01(*000,10 120120S
Nuevo Saldo = 10,618.21 + 8,000.00 = $ 18,618.21
19,185.0$)0005.01(*21.618,18 60180S
OJO: en este momento voy a incluir la variable o ingnita
Nuevo Saldo = 19,185.08X ... ( expresin I )
Ahora, traemos todos los otros flujos al da 180para igualar y formar la ecuacin .
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6,293.64$)0005.01(
26.485,660210
P
Nuevo Saldo = 6,293.64 + 1,000.00 = $ 7,293.64
7,185.0$)0005.01(
64.293,730180
P
Saldo al da 180, al regresar flujos sin considerar lavariable = $ 7,185.08 ... ( expresin II )
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Ecuacin de valor
19,185.08X = 7,185.08X = $ 12,000.00
Ahora, igualamos la expresin I, con laexpresin II.
Por qu?, porque el saldo acumuladode los flujos considerados en cada
expresin, estn en la misma unidad
de tiempo.
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Mtodo IITraslado de Flujos
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El mtodo de Traslado de Flujos
contempla lo siguiente:Cada flujo se traslada de manera individual auna posicin previamente determinada.
Una vez que todos los flujos se encuentren en la posicin convenida, sesuman. Tener en cuenta que los flujos de ingreso de dinero
generan valores positivos y los flujos deegreso de dinero generan valores negativos.
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Cuando se traslada un flujo a lo
largo del tiempo y este esafectado por uno o ms cambiosde tasa de inters, el flujo,deber ser trasladado hasta
cada lnea de frontera(lnea decambio de tasa de inters),tantas veces como sea
necesario, hasta lograr la
posicin convenida.
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Mt d d T l d d Fl j
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0 120 180 240 360das
$40,000
$42,000
$10,000
S$
10,000
TNM = 6%TNA = 18%
TNA = 36%
Mtodo de Traslado de Flujos
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Anlisis de cada una de las tasas de intersque actan durante el tiempo de la operacin
TNM = 6%
TNA = 18%
TNA = 36%
002.030
06.0'i
0005.0360
18.0'i
001.0360
36.0'i
MATEMATICAS FINANCIERAS
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S180= 40,000 (1+0.002)180= $ 57,312.57
S240 = 57,312.57 (1+0.0005)60= $ 59,057.55
S360= 59,057.54 (1+0.001)120=$ 66,583.21
Flujo N 1 de $ 40,000(depsito)
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Flujo N 2 de $ 42,000(retiro)
S180= 42,000 (1+0.002)60
= $ 47,349.19S240 = 47,349.19 (1+0.0005)60= $ 48,790.83
S360
= 48,790.83 (1+0.001)120=$ 55,008.20
Flujo N 3 de $ 10,000(depsito)
S240= 10,000 (1+0.0005)60= $ 10,304.47S360= 10,304.47 (1+0.001)120= $ 11,617.56
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Flujo N 4 de $ 10,000(retiro)
S360 = 10,000 (1+0.001)120=$ 11,274.29
SFinal= S1+ S2+ S3 + S4
Saldo Final
SFinal
= 66,583.21 - 55,008.20+ 11,617.56 - 11,274.29
SFinal = $ 11,918.28
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De Reversa
Hacer el ejercicio de reversaimplica tomar cada flujo y llevarlo asu momento cero (valor presente),
teniendo en cuenta losprocedimientos del mtodo de
traslado de flujos. Esto implica, queahora, los retiros se suman y los
ingresos se restan.
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l d d Fl j d R
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0 120 180 240 360das
X $42,000$
10,000
$11,918.28
$10,000
TNM = 6%TNA = 18%
TNA = 36%
raslado de Flujos de Revers
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Anlisis de cada una de las tasas de inters queactan durante el tiempo de la operacin
TNM = 6%
TNA = 18%
TNA = 36%
002.030
06.0'i
0005.0360
18.0'i
001.0360
36.0'i
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Flujo N 1 de $ 11,918.28 (retiro)
$ 7,159.93
10,571.20$)001.01(
28.918,11120240P
10,258.85$
)0005.01(
20.571,1060180
P
)002.01(
85.258,101800
P
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Flujo N 2 de $ 10,000.00 (retiro)
$ 6,773.05
9,704.53$)0005.01(
000,1060180P
)002.01(
53.704,91800
P
Flujo N 3 de $ 10,000.00(depsito)
)002.01(000,10
1800P $ 6,979.27
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Flujo N 4 de $ 42,000.00 (retiro)
)002.01(
000,421200
P $ 33,046.29
Valor Presente:P = P1+ P2+ P3+ P4
P = 7,159.93 + 6,773.05 - 6,979.27 + 33,046.29P = $ 40,000
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E i d V l
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0 120 180 240 360das
$40,000
$42,000
$10,000
$11,918.28
X
TNM = 6%TNA = 18%
TNA = 36%
Ecuacin de Valor (Traslado de Flujos)
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Anlisis de cada una de las tasas de intersque actan durante el tiempo de la operacin
TNM = 6%
TNA = 18%
TNA = 36%
002.030
06.0'i
0005.0360
18.0'i
001.0360
36.0'i
MATEMATICAS FINANCIERAS
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20.571,10$001.01
28.918,11P
120
'
1
85.258,10$001.01
20.571,10P
60
''
1
S1 = 40,000 ( 1+0.002 )180 = $ 57,312.57 (Depsito)
S2 = 42,000 ( 1+0.002 )60 = $ 47,349.19 (Retiro)
(Retiro)
53.704,9$005.01
000,10P 602 (Retiro)
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X= $ 10,000
S1 + S2 + X = P1 + P2
57,312.5747,349.19 + X = 10,258.85 + 9,704.53
MATEMATICAS FINANCIERAS
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Mtodo IIIFactores dinmicos
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Factores Dinmicos
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S
TNA = 18%TNM = 3% TNT =10.8%
$ 50,000
$10,000
$ 20,000$ 10,000
Factores Dinmicos
0 100 150 200 360 da
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Anlisis de cada una de las tasas de intersque actan durante el tiempo de la operacin
TNM = 3%
TNA = 18%
TNT = 10.8%
001.030
03.0'i
0005.0360
18.0'i
0012.090
108.0'i
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Para el flujo de $ 50,000 Depsito
160100100 0012.10005.1001.1000,50S
S = $ 70,375.52
Para el flujo de $ 10,000 Depsito
1601000012.10005.1000,10S
S = $ 12,736.32
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
60/193
PARA FLUJO $ 20,000 (Retiro)
S3= 20000 (1 + 0.0005)50
(1 + 0.0012)160
= $ 24843.87
PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro)
S4= 10000 (1 + 0.0012)160= $ 12115.31
STOTAL= S1 + S2 - S3 - S4
El valor de S es $ 46,152.66
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores Dinmicos de Reversa
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
61/193
S = 46152.66
360100 150 2000 dias
TNA = 18%
360
18.0
TNM = 3% TNT = 10.8%
P = ?10000 20000
10000
TNM= = 0.001
TNA = = 0.0005
30
03.0
TNT = = 0.001290
108.0
Factores Dinmicos de Reversa
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
62/193
HALLANDO EL VALOR DE P
PARA FLUJO $ 46,152.66 (Retiro)
P1= 46152.66 (1 + 0.0012)-160 (1 + 0.0005)-100 (1 + 0.001)-100
= $ 32,790.28
PARA FLUJO $ 10,000 (Retiro)
P2= 10000 ( 1 + 0.0005 )-100 ( 1 + 0.001 )-100
= $ 8,607.62
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
63/193
PARA FLUJO $ 20000 (Retiro)
P3= 20000 ( 1 + 0.0005 )-50
( 1 + 0.001 )-
100
= $ 17,650.93PARA FLUJO $ 10000 (Depsito)P4= 10000 ( 1 + 0.001 )-100
= $ 9,048.83
PTOTAL= P1 + P2 + P3 - P4
EL VALOR DE PES $ 50,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
64/193
S = 46152.66
360100 150 2000 dias
TNA = 18%
360
18.0
TNM = 3% TNT = 10.8%
5000010000 X
10000
TNM= = 0.001
TNA = = 0.0005
30
03.0
TNT = = 0.001290
108.0
FACTORES DINMICOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
65/193
HALLANDO EL VALOR DE X PARA FLUJO $ 46152.66
P1
= 46152.66 ( 1 + 0.0012 )-160 ( 1 + 0.0005 )-50
= $ 37154.17
PARA FLUJO $ 10000
P2= 10000( 1 + 0.0005 )-50= $ 9753.16
FACTORES DINMICOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
66/193
PARA FLUJO $ 50000
S1= 50000 ( 1 + 0.001 )100 ( 1 + 0.0005 )50
= $ 56654.24
PARA FLUJO $ 10000
S2= 10000 ( 1 + 0.0005 )50= $ 10253.09
FACTORES DINMICOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
67/193
HALLANDO X
X = S1+ S2P1P2
X =$ 56654.24 + $ 10253.09$ 37154.17 $9753.16
X = $ 20,000
FACTORES DINMICOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
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68/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
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69/193
Mercado de
Tasas de Inters
Tamex
Tipmex
Tamn
Libor
Prime Rate
TIR
Moratoria
CompensatoriaLegal
Activa
Pasiva
Tipmn
Descuento
MATEMATICAS FINANCIERAS
Grfica de la variacin de la tasa de inters
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
70/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
V i i d l TAMEX
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
71/193
Variacin de la TAMEX
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
72/193
Antes de resolver problemas de inters compuestodebemos hacernos las siguientes preguntas:
Quin manda?
La CapitalizacinCmo sabemos cul es la capitalizacin?
Porque la dan.
Si no la dan, la asumimos diaria.
Siempre existe un problema dentro de otroproblema: el problema de la tasa y
el problema de la operacin
Recordemos
MATEMATICAS FINANCIERAS
LIBOR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
73/193
LIBORLondon Interbank Offered Rate
Tasa a la cual los bancos se prestan entreellos con vencimientos especficos dentro
del mercado londinense.
Prime RateTasa Preferencial
Tasa de prstamo que cargan los bancosa sus mejores clientes.
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
74/193
TASAS DE INTERES
1. NOMINAL
2. EFECTIVA
3. REAL
MATEMATICAS FINANCIERAS
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75/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
76/193
TASA NOMINAL
TN
Se trata tan solo de un anuncio, de unanominacin; no recoge en su contenido el
producto de las capitalizaciones oacumulaciones de ganancias.
Con esta tasa SLOse permiten dos operaciones:
ATASA NOMINAL ANUAL
MULTIPLICACIN Y DIVISIN
Unidad de tiempo
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
77/193
TASA NOMINAL
TNA% ANUAL
40601236
12g
CAPITALIZACIN
TrimestralMensualMensualDiaria
Anual
i
1051
0.1
12DIVIDIR
MULTIPLICAR
MATEMATICAS FINANCIERAS
R d
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
78/193
Cuando vamos de la TasaNominal a la Tasa del Perodo
se divideCuando vamos de la Tasa del
Perodo a la Tasa Nominal
se multiplica
Recordar
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
79/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
80/193
TASA EFECTIVA
T E A
Es lo efectivamente cobrado o pagado.
recoge en su contenido el producto delas capitalizaciones o acumulaciones
de ganancias.
UNIDADDE
TIEMPO
RECORDAR:A = ANUAL
S = SEMESTRALT = TRIMESTRALB = BIMESTRALM = MENSUAL
D = DIARIA
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
81/193
TASA EFECTIVA
Siempre que dentro de una unidad de tiempo
(por ejemplo: un ao), exista ms de unafrecuencia de capitalizacin; entonces, latasa efectiva ser mayor en nmeroque la
tasa nominal
Con esta tasa slo se permiten dos operaciones:
POTENCIACION
RADICACION
n
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
TASA EFECTIVA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
82/193
TASA EFECTIVA
TEA= (1+i)n - 1Frmula:
Tasa de periodo:
11, n TEi
Unidad detiempo
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tener presente que:
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
83/193
Tener presente que:
En el periodo y slo en l,la tasa nominal y la tasa efectiva,
son iguales.in = ie = i
No se puede trabajar nada en finanzassi no hallo y defino la tasa del periodo (i).
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
84/193
1 + TE = ( 1+ i ) nDonde:
i= Tasa del periodon = # de capitalizaciones comprendidas en la
unidad de tiempo de la tasa efectiva anunciada.
Es la que PERMITE hacer comparableuna tasa nominal con una tasa efectiva.
RELACION DE EQUIVALENCIA
MATEMATICAS FINANCIERAS
RECORDAR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
85/193
a)Dada una tasa nominal, siempre tendrsu equivalente efectiva.
b)Dada una tasa efectiva, siempre tendrsu equivalente nominal.
c) Manda siempre la capitalizacin, y hayque tener cuidado con el uso y aplicacin
del tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relacin de Equivalencia
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
86/193
Ejemplo 1:
TNA = 40%, capitalizacin trimestral.Hallar la tasa efectiva anual?
Todo debe estar expresado en trimestres
i n
4
Por equivalencia:
= i n= 4
TEA = 1.4641 - 1TEA = 0.4641
i = ? 10.04
40.0 ,, i
n
TNAi
46.41%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relacin de Equivalencia
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
87/193
Ejemplo 2:TNA = 60%, capitalizacin mensual
Hallar TEA?.
TEA = (1 + i)n- 1TEA = (1 + 0.05)12 - 1
TEA = 0.79585633 TEA = 79.585633%.
Todo debe estar expresado en meses
i = ? 05.012
60.0 ,, i
n
TNAi
Caso I: Hallar tasa equivalente partiendo
de la tasa nominal
MATEMATICAS FINANCIERAS
Relacin de Equivalencia
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
88/193
Ejemplo 3:
TEA = 46.41%, capitalizacin trimestralHallar TNA?
i TEA' 1 1n
i' .0 4641 1 14i= 0.1
TNA = i (n) (100)
TNA = 0.1 (4) (100)TNA = 0.4
TNA = 40%
Caso II: Hallar tasa equivalente partiendo
de una tasa efectiva
Todo debe estar expresado en trimestres
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro Mgico(para convertir tasas)
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
89/193
i
TN* n
/ n
TE
(1 + i)n -1
11n TE
Creado por: Carlos Door Cabezas
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 1 D t i l t f ti
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
90/193
CASO 1: De tasa nominal a tasa efectiva
TNA = 28.5%, capitalizacin diariaHallar TEA?
TEA = (1 + i)n - 1TEA = (1 + 0.00079166667) 360- 1
TEA = 0.329612
...000791666.0360
285.0
,,
in
TNA
i
TEA = 32.961207%.
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
91/193
TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria.Hallar TN semestral?
i TET ' 1 1
n
i' .1 012 190
i = 0.001260001....TNS = i (n)
TNS = 0.00126... (180)
CASO 2: De tasa efectiva a tasa nominal
TNS = 22.68001...%
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
92/193
CASO 3: De tasa nominal a tasa nominal
TNA = 28.5%, capitalizacin diaria Hallar TNT?.
07125.04285.0TNT,
nTNAi
TNT = 7.125%.
MATEMATICAS FINANCIERAS
CASO 4 D t f ti t f ti
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
93/193
TE trimestral = 12%, capitalizacin diaria.Hallar TE semestral?.
CASO 4: De tasa efectiva a tasa efectiva
TES = 25.44%
2544.0112.01
112
2
TES
TETTES
MATEMATICAS FINANCIERAS
Problema de conversin de tasas
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
94/193
Ejercicio 2:
TET = 8%, capitalizacin mensual.Hallar TNS?
i TET ' 1 1n
i' .1 0 08 13
i = 0.0259855 TNS = i (n)TNS = 0.0259855 (6)
TNS = 15.591341%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Problemas de inters compuesto
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
95/193
Ejercicio1:
i' .1 0 30 1360
i = 0.0007290552
P = $ 10,000TEA = 30%
n = 90 das
S = ?
S = P (1 + i)n
S = 10,000 (1 + 0.0007290552)90
S = $ 10,677.90
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de descuento
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
96/193
Tasa de descuento
*
*
* TE1
TEd
Donde:d = Tasa de descuento
TE*= Tasa Efectiva del perodo descontado
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa equivalente en funcin
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
97/193
qa la tasa de descuento
*
*
* d1
d
TEDonde:
TE = Tasa Efectiva del perodod = Tasa de descuento
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 1: De tasa efectiva a tasa de descuento
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
98/193
Si TEA = 72%, Hallar la tasa de descuento anual?
...%86045.41
...41860451.00.721
0.72d
:anualefectivadescuentodeTasa
d
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 2: De tasa nominal a tasa de descuento
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
99/193
Si TNT = 18%, Hallar la tasa de descuento anual?
...%2897.51d
...512897.0...0529.11
1.0529...d
:anualefectivadescuentodeTasa
...05295651.11)002.01(TEA
002.090
18.0'i
360
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo # 3: De tasa de descuento a la tasa efectiva
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
100/193
Si d = 30%, Hallar la tasa efectiva mensual?
...%016904.3TEM
...03016904.0TEM1-..0.4285714.1TEM
...4285714.030.01
30.0TEA
d1
dTEA
12
MATEMATICAS FINANCIERAS
LETRA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
101/193
LETRA
Valor Nominal: US$ 18,670.00 (S)
Vencimiento: 26 das (n)TEA: 20%
Cul es el valor neto del documento?
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
102/193
Tasa Efectiva para 26 dasTE26= (1 + 0.000506577047)
26- 1
TE26= 0.01325474362
Tasa de Descuento para 26 das
470005065770.0120.01360,i
20132547436.01
20132547436.026d
d26= 0.0130813536
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
103/193
Descuento = 18,670 x 0.0130813536
Descuento = US$ 244.23
Valor Neto
18,670 - 244.23
Valor Neto = US$ 18,425.77
MATEMATICAS FINANCIERAS
Venta al crdito = US$ 10,000 n = 90 das
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
104/193
$ ,
TEA = 30% S = ?
i = n (1 + ie) - 1
i = 360 1 + 0.3 - 1
i = 0.000729055
S = P(1 + i)n
S = 10,000(1 + 0.000729055)90
S = US$ 10,677.90Cuando se quiera hallar i
el valor n ser el queindique la unidad de tiempo
de la Tasa.
Para hallar S el valor nser el que rige la operacin.
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
105/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES SIMPLES
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
106/193
FSC = Capitalizacin= Busca futuros = (1 + i)n
FSA = Actualizacin = Busca actuales = (1+ i)-n
Los factores solo son nmeros.
Sern de utilidad para buscar valores futuros opresentes, segn sea el caso, para unadeterminada tasa de inters.
Ejemplo:TEA = 60%
i
i
' .
' .
1 0 60 1
0 0013064182
360
FACTORES SIMPLES
MATEMATICAS FINANCIERAS
FACTORES SIMPLES
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
107/193
n
1
30
60
90
360
FSC
1.0013064
1.0399435
1.0814826
1.1246808
1.60
FSA
0.9986953
0.9615906
0.9246566
0.8891411
0.625
Pivot
(1 + i)n
(1 + i)-n
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
108/193
Tasa Real
TR
= inflacin
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de inters real o libre de inflacin
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
109/193
Tasa de inters real o libre de inflacin
Simbologa: TR
irFrmula:
1TEiTR r
Esta tasa muestra el efecto neto de los cambios en
el valor del dinero. Representa la ganancia real enel poder de compra.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor presente: considerando la inflacin
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
110/193
a o p ese e co s de a do a ac
Valor constante$ 100,000.00
DolaresFuturos
ValorCorriente
TEA = 20%
1 Ao
Prdidaen ValorPresente
al = 5 %
$ 120,000.00
$ 95,238.10
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
111/193
Nuevo poder de compra
VPVPNPC
aounenms5%105,000$NPC
100000
5000100000NPC
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa Real
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
112/193
Tasa Real
...%23809.15TR...1523809.0TR
05.0105.020.0TR
1TEATR
A
A
A
A
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor presente: considerando la inflacin
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
113/193
p
Valor constante$ 10,000.00
DolaresFuturos
ValorCorriente
TEA = 10%
Tiempo, aos1 2 3
Prdidaen ValorPresente
al = 5 %
$ 13,310.00
$ 8,638.40
MATEMATICAS FINANCIERAS
LA INFLACIN
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
114/193
Tasa Efectiva Anual = 10%
Tasa de Inflacin Anual = 5%
5%0 I II III Ao
Nuevopoder decompra
15.763%en tres aos
10,000
10000500
10,500
10500
525.0011,025.00
11025.00551.30
11,576.30
La inflacin crece cadavez que la capitalizo y
me anuncia el nuevo
poder de compra
TASAREAL4.7619...%
TASAINFLADA
15.5%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa de inters inflada
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
115/193
Tasa de inters inflada
Simbologa: if
Frmulas:
111
))((
TEi
TETEi
f
f
Esta tasa es una combinacin de la tasa de inters
real (ir) y la tasa de inflacin ()
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tasa real y tasa inflada
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
116/193
Depsito = US$ 10,000.00
Inflacin = 10% aoTEA = 10%
Cul es la tasa real y la tasa inflada equivalentede esta operacin?
01.01
1.01.0
1
r
r
i
TEi
21.0
)1.0(*)1.0(1.01.0
f
f
f
i
i
TETEi
ir = 0 % if = 21 %
MATEMATICAS FINANCIERAS
Valor Futuro
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
117/193
00.000,111.01*000,10S
i1PS
1
n,
Valor neto,considerandoCosto de
Oportunidad(TE e Inflacin)
91.090,921.1
000,11V
21.01
000,11V
i1
SV
n
n
f
n
S = $ 11,000.00
Vn= $ 9,090.91
MATEMATICAS FINANCIERAS
PODER DE COMPRA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
118/193
TEA = 10 %
= 10 %
$ 1,000.00
1 ao
$ 1,100.00
Precio delbien X al inicio = $ 10.00
Si Bx= $ 10Qx= 100 unidades Si Bx= $ 11
Qx= 100 unidades
Dinero depositado en banco
Dinero bajo el arbolito
Precio delbien X al final = $ 11.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Qu hubiera pasado si la inflacin
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
119/193
phubiera sido 12% y qu si hubiera
sido 8%?
%20.23
...%78571.1
12.1
02.0
12.01
12.010.0
f
r
r
i
i
i
%80.18
...%85185.1
08.1
02.0
08.01
08.010.0
f
r
r
i
i
i
Si = 12 %, entonces: Si = 8 %, entonces:
MATEMATICAS FINANCIERAS
RECORDAR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
120/193
RECORDAR
a) Dada una inflacin, siempreexistir una tasa real.
b) Dada una tasa efectiva y una tasareal, siempre podr calcularse lainflacin del periodo.
c) Manda siempre la capitalizacin,y hay que tener cuidado con el usoy aplicacin del tiempo.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejercicio
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
121/193
Un ex alumno universitario, desea efectuar una donacin al Fondo
Estudiantil de su Alma Mter y ofrece cualquiera de los siguientesplanes:Plan A: $ 42,000.00 ahora.
Plan B: $ 15,000.00 anuales durante 4 aos,empezando dentro de 1 ao.
Plan C: $ 25,000.00 dentro de 3 aos yotros $ 40,000.00 dentro de 5 aos.
La nica condicin es que el dinero sea utilizado paraInvestigacin en temas financieros. La universidad deseaseleccionar el plan que permita maximizar el poder de compra de los
dlares por recibir, de manera que le pide a usted evale los planesconsiderando el impacto de la inflacin.La Universidad considera una tasa efectiva del 10% anual y estima quela tasa de inflacin promedio sea del 3% anual. Qu plan debemosaceptar?
MATEMATICAS FINANCIERAS
if= 0.10 + 0.03 + (0.10) * (0.03) = 0.133....(13.3%)
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
122/193
f ( ) ( ) ( %)
Valores Presentes:
VPA= US$ 42,000.00
VPB= US$ 44,340.38
VPC= US$ 38,613.47
15, 15, 15, 15,
25,
40,
MATEMATICAS FINANCIERASCuadro de inflacin proyectada
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
123/193
mes (%) proy ao acum ac py ao
Enero 2 26.8 2 26.8Febrero 4 60.1 6.1 42.5
Marzo 1 12.7 7.2 31.8
Abril 0.8 10.0 8 26
Mayo 0.6 7.4 8.6
Junio 0.4 4.9 9.1 19
Julio 0.3 3.7 9.4
Agosto 0.2 2.4 9.6Setiemb 0.2 2.4 9.8
Octubre 0.3 3.7 10.1
Noviemb 0.5 6.2 10.7
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
124/193
Planes de pagos
MATEMATICAS FINANCIERAS
Qu es el inters al rebatir?
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
125/193
Cuota = Amortizacin + Inters
Nota: LaAmortizacin, es lo nico que rebaja elprincipal de una deuda.
C = A + I
Es el inters que se cobra sobrelos saldos deudores durante
perodos de frecuencia de tiempoexactos.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Estructura de la cuota
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
126/193
Cuota = amortizacin + inters
I : Es el inters cobrado sobre el saldo deudor.
A : es la amortizacin y es lo nico que rebaja el
principal de una deuda.
C = A + I
MATEMATICAS FINANCIERAS
INTERES AL REBATIR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
127/193
Puede la amortizacin ser igual acero?
S, pero no rebaja la deuda, slo sepagan intereses.
Puede ser el inters en algnperiodo igual a cero?
S. Si el inters es igual a cero, esque se ha otorgado un plazo degracia total.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Modalidades de pago de deuda
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
128/193
Modalidades de pago de deuda
MTODO ALEMNMTODO AMERICANO
MTODO FRANCES
CUOTAS CRECIENTES
Aritmticamente
GeomtricamenteSUMA DE NMEROS DGITOS
MATEMATICAS FINANCIERAS
Los 3 principales mtodos de pago con
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
129/193
1. ALEMAN = amortizacin fija
2.AMERICANO = pago al final
del plazo.
3.FRANCES = cuota fija
Los 3 principales mtodos de pago coninters al rebatir son los siguientes:
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO DE P GO
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
130/193
METODOS DE PAGO
1.- Mtodo Alemn: amortizacin fija,riguroso en su aplicacin.
2.- Mtodo Americano: Slo se pagaintereses y el pago del principal sehace al final del plazo.
3.- Mtodo Francs: Mtodo sofisticado,es el ms usado actualmente; tiene lacuota fija.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo Alemn
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
131/193
Mtodo AlemnConocido tambin como
el mtodo de:
Amortizacin Fija
oCuotas Decrecientes
MATEMATICAS FINANCIERAS
Inters al Rebatir: Mtodo Alemn
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
132/193
Inters al Rebatir: Mtodo Alemn
Datos:
P = USD$ 100,000
n= 4 cuotas trimestralesTET = 10% trimestral
La amortizacin es fija.
Cunto ser la amortizacin?
A = P/n A = 25,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo Alemn
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
133/193
III TrimestreI = Pin
I = 50, 000 * 0.1 *1I = $ 5,000
Clculo de intereses:I Trimestre
I = Pin
I = 100,000 * 0.1 * 1I = $ 10,000
II Trimestre
I = PinI = 75,000 * 0.1 * 1
I = $ 7,500
IV Trimestre
I = PinI = 25,000 * 0.1 * 1
I = $ 2,500
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro de pagos: Mtodo
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
134/193
Cuadro de pagos: Mtodo
alemnn saldo amortizacin inters cuota
1 100.000 25.000 10.000 35.000
2 75.000 25.000 7.500 32.500
3 50.000 25.000 5.000 30.000
4 25.000 25.000 2.500 27.500
100.000 25.000 125.000Total
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO ALEMANcuota decreciente vencida
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
135/193
cuota decreciente vencida
n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA
1 100.00 25.00 10.00 35.00
2 75.00 25.00 7.50 32.50
3 50.00 25.00 5.00 30.004 25.00 25.00 2.50 27.50
VERIFICACION:
432 )1.01(
50.27
)1.01(
30
)1.01(
50.32
)1.01(
35
P
P = 31.8+26.9+22.5+18.8 = $100
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO ALEMANcuota decreciente adelantada
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
136/193
cuota decreciente adelantada
n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA
0 100 25.00 0 25.00
1 75 25.00 7.50 32.50
2 50 25.00 5.00 30.003 25 25.00 2.50 27.50
4 0
VERIFICACION:
32 )1.01(50.27
)1.01(30
)1.01(5.3225P
P = 25+29.5+24.8+20.7 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo Americano
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
137/193
M m r nConocido tambin como
el mtodo de:
Pago de Intereses y el pagodel principal al final del plazo.
oPeriodo de Gracia
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mt d A i
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
138/193
Mtodo Americano
Datos:
P = USD$ 100,000Plazo de la operacin: 1 aoForma de pago: 4 cuotas trimestrales
Tasa Efectiva Trimestral = 10%
MATEMATICAS FINANCIERAS
Cuadro de pagos: Mtodo Americano
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
139/193
n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100.000 0 10.000 10.000
2 100.000 0 10.000 10.000
3 100.000 0 10.000 10.000
4 100.000 100.000 10.000 110.000
100.000 40.000 140.000Total
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO AMERICANOinters constante - pago al final
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
140/193
n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA
1 100.00 0 10.00 10.00
2 100.00 0 10.00 10.00
3 100.00 0 10.00 10.00
4 100.00 100.00 10.00 110.00
VERIFICACION:
432 )1.01(
110
)1.01(
10
)1.01(
10
)1.01(
10
P
P = 9.1 + 8.3 + 7.5 + 75.1 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
METODO
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
141/193
COMPARACION
METODO
ALEMAN
METODOAMERICANO
MATEMATICAS FINANCIERAS
n saldo amortizacin inters cuota1 100.000 25.000 10.000 35.000
2 75 000 25 000 7 500 32 500 METODO
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
142/193
COMPARACION
2 75.000 25.000 7.500 32.500
3 50.000 25.000 5.000 30.000
4 25.000 25.000 2.500 27.500
100.000 25.000 125.000Total
n saldo amortizacin inters cuota
1 100.000 0 10.000 10.000
2 100.000 0 10.000 10.000
3 100.000 0 10.000 10.000
4 100.000 100.000 10.000 110.000
100 000 40 000 140 000Total
METODOALEMAN
METODOAMERICANO
Cul es el ms barato?
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
143/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
144/193
Quin sea el ACREEDOR yquin el DEUDOR
MATEMATICAS FINANCIERAS
Conclusiones
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
145/193
Los mtodos son IGUALES
El precio solo lo define la TASA DEINTERES
Los montos sumados no sirven paracomparar
La conveniencia de cada sistema
la define el acreedor y/o el deudor.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Modificacin del plan de pagopor modificacin en la conducta
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
146/193
A.- Pago de una cuota mayor
por modificacin en la conducta
del DEUDOR.
B.- Pago de una cuota menor
C.- Cuando el cliente no puedePagar la cuota.
MATEMATICAS FINANCIERAS
A.- PAGO DE UNA CUOTA MAYOR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
147/193
n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,000
2 75,000 25,000 7,500 32,500
3 50,000 35,000 5,000 40,000
4 15,000 15,000 1,500 16,500
100,000 24,000 124,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
B.- PAGO DE UNA CUOTA MENOR
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
148/193
N Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,000
2 75,000 25,000 7,500 32,500
3 50,000 15,000 5,000 20,000
4 35,000 35,000 3,500 38,500
100,000 26,000 126,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
C. CUANDO EL CLIENTE NO PUEDE PAGAR NADA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
149/193
n Saldo Amortizacin Inters Cuota1 100,000 25,000 10,000 35,0002 75,000 25,000 7,500 32,500
3 50,000 25,000 5,000 0
4 50,000 50,000 10,500 60,500100,000 28,000 128,000
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo Frances
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
150/193
Conocido tambin comoel mtodo de:
Cuota Fijao
Cuota Constante
Mtodo Frances
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo FrancesCuota fija o Cuota Constante - Vencida
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
151/193
n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA
1 100.00 21.50 10.00 31.50
2 78.50 23.60 7.90 31.50
3 54.90 26.00 5.50 31.504 28.90 28.90 2.90 31.50
VERIFICANDO:
P = 28.6 + 26.0 + 23.7 + 21.5 = $ 100
j
MATEMATICAS FINANCIERAS
Mtodo FrancesCuota fija o Cuota Constante - Adelantada
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
152/193
n SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA
0 100.00 28.70 0.00 28.70
1 71.30 21.60 7.10 28.70
2 49.70 23.70 5.00 28.70
3 26.00 26.00 2.60 28.70
4 0
VERIFICANDO:
32 )1.01(70.28
)1.01(70.28
)1.01(70.2870.28P
P = 28.70 + 26.10 + 23.70 + 21.60 = $ 100
j
MATEMATICAS FINANCIERAS
CUOTA CRECIENTEaritmticamente
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
153/193
ar tmt camente
0 1 2 3 4
R+0
R+10R+20
R+30
MATEMATICAS FINANCIERAS
13
GRADIENTE ARITMETICA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
154/193
...........
0 1 2 3 4 .............. n
100110
12
0
0
...............
0 1 2
G2G
3G
(n-1)G
3 4 ............. n
MATEMATICAS FINANCIERAS
Gradiente Aritmtica
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
155/193
ni
Gn
i
G
i
GP
)1(
)1(
....)1(
2
)1( 32
))1(
)1(....
)1(
2
)1(
1(
32 ni
n
iiGP
))1(
)1(....
)1(
2
)1(
1()1(
1ni
n
iiGiP
))1(
1
)1(
)2()1(....
)1(
23
)1(
12
)1(
1()1(
132 nni
n
i
nn
iiiGPiP
... I
... II
... III
...IV
Factor comn G:
Multiplicamos ambos miembros por (1+i)
Restando II de III:
ojo
MATEMATICAS FINANCIERAS
Resolviendo:
nGiP
1111* V
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
156/193
nnn iiiiiGiP
)1()1()1(...
)1()1(*
12 ... V
Nota: el corchete es una Progresin Geomtrica cuyarazn es:
ir
1
1 Y su primer trmino es:i1
1
Recordemos que la suma de trminos de una Progresin
Geomtrica esta dada por la siguiente frmula:
1
1
r
raSuma
n
Entonces
11
1
11
1
*1
1
i
i
i
n
Resolviendo:n
n
ii
i
)1(*
1)1(
MATEMATICAS FINANCIERAS
Reemplazando en ...Vnn
n
i
n
ii
iGiP
)1()1(*
1)1(*
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
157/193
)()(
Ordenando, obtenemos:
Valor Presente de la Anualidad de los Gradientes
nn
n
i
n
ii
i
i
GP
)1()1(*
1)1(
MATEMATICAS FINANCIERAS
Frmula
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
158/193
ACTUALIZACION DE GRADIENTES:
44
4
)1.01(
4
)1.01(1.0
1)1.01(
1.0
10
P = 43.78
nn
n
'i1
n
'i1'i
1'i1
TE
GP
MATEMATICAS FINANCIERAS
CALCULO DE LA CUOTA DE PARTIDA:
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
159/193
P DE ORIGEN = 100
BASE DE CALCULO 100 - 43.78 =56 22
R = P * FRC R = 17.74
n Saldo Amortizacin Inters
Cuota
1 100.00 7.74 10.00 17.74
2 92.26 18.51 9.23 27.74
3 73.75 30.36 7.38 37.74
4 43.39 43.40 4.34 47.74
Verificacin:432 )1.01(
74.47
)1.01(
74.37
)1.01(
74.27
)1.01(
74.17P
P = 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
800
)1(nRg
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
160/193
..............
100200
400
800
FORMA GENERAL...................
RRg
2Rg
3Rg)1(nRg
MATEMATICAS FINANCIERAS
nRRRR *** 12
Gradiente Geomtrica
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
161/193
n
n
i
gR
i
gR
i
gR
i
RP
)1(
*...
)1(
*
)1(
*
1
1
3
2
2
Factorizando R
n
n
i
g
i
g
i
g
iRP
)1(...
)1()1(1
1*
1
3
2
2
NOTA: el corchete es una progresin geomtrica cuya razn esg / (1+i) y su primer trmino1 / (1+i)
La suma de trminos estar dada por:
1)1(
11
1
1
i
g
ig
i
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
Resolviendo:
)1( ig nn
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
162/193
)1()1( igi
n
Reemplazando y ordenando:
)1(
)1(
)1( ig
ig
i
R
P
nn
n
MATEMATICAS FINANCIERAS
CUOTA CRECIENTEgeomtricamente
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
163/193
geomtricamente
)1(
)1(
)1( ig
ig
i
RP
nn
n
)1.01(5.1
)1.01()5.1(
)1.01(*10044
4
R
Gradiente = 1.5
R = 16.28 n Saldo Amortizacin Inters Cuota
1 100.00 6.28 10.00 16.28
2 93.72 15.04 9.37 24.41
3 78.68 28.75 7.87 36.62
4 49.93 49.93 4.99 54.93
Verificacin:432 )1.1(
93.54
)1.1(
62.36
)1.1(
41.24
)1.1(
28.16P = 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Suma de Nmeros Dgitos
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
164/193
n Proporcin Saldo Amortizacin Inters Cuota
1 1/10 100 10 10 20
2 2/10 90 20 9 29
3 3/10 70 30 7 37
4 4/10 40 40 4 44
10 10 / 10
MATEMATICAS FINANCIERAS
Verificando:
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
165/193
Verificando:
432 )1.1(
44
)1.1(
37
)1.1(
29
)1.1(
20P
P = 18.18 + 23.97 + 27.80 + 30.05 = $ 100
MATEMATICAS FINANCIERAS
Matemtica
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
166/193
m
FinancieraSeries uniformes,Anualidades
o Rentas
MATEMATICAS FINANCIERAS
Tipos de Rentas:
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
167/193
TEMPORALES
PERPETUAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
168/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
Rentas
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
169/193
TEMPORAL
PERPETUA
INMEDIATA
ADELANTADA
MATEMATICAS FINANCIERAS
Grficos de rentas
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
170/193
1.- Temporales
2.- Perpetuas
1.1.- Inmediata1.1.1 adelantada
1.1.2 vencida1.2.- Diferida
1.2.1 adelantada
1.2.2 vencida
2.1.- Inmediata2.1.1 adelantada
2.1.2 vencida2.2.- Diferida
2.2.1 adelantada2.2.2 vencida
MATEMATICAS FINANCIERAS
Renta
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
171/193
Tiene 2 caractersticas:
1. UNIFORMEcantidad definida
2. FRECUENCIA EXACTAresponde a una frecuencia fija de
tiempo (mes, trimestre, semestre,ao)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Diagrama de Rentas
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
172/193
0 1 2 3 n-1 n
R R R . R R
FAS
FRC
Me da P =>
Me da R =>Me da S =>
Me da R =>
FCSFDFA
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
173/193
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
174/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
Factores
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
175/193
FCS Factor de la Capitalizacin de la Serie
FDFAFactor de Depsito al Fondo de
Amortizacin
FAS Factor de la Actualizacin de laSerie
FRC Factor de Recuperacin deCapital (mtodo francs)
MATEMATICAS FINANCIERAS
Para saber qu factor utilizar
es necesario saber lo siguiente:
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
176/193
es necesario saber lo siguiente:
Ubicar la capitalizacin
Es fundamentalidentificar lafrecuencia fija en que se manifiesta la
anualidad o la rentaPara cualquier clculo tendr queusar la tasa efectiva correspondiente
a la frecuencia
Ubicar datos
Definir qu factor usar
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circu i to Financ iero
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
177/193
Factor de Capitalizacin de
la Serie
(1 + i)n- 1
iFCS =
S = R * FCS
Factor de Depsito al Fondo de
Amortizacin
i
(1 + i)n- 1FDFA =
R = S * FDFAFactor de Actualizacin
de la Serie
(1 + i)n- 1
i (1 + i)nFAS =
P = R * FAS
Factor de Recuperacinde Capital
i(1 + i)n
(1 + i)n - 1FRC =
(Cuota Fija) R = P *FRC
MATEMATICAS FINANCIERAS
Pasos a seguir
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
178/193
1. Ubicar la capitalizacin2. Es fundamental identificar la frecuencia
fija en que se manifiesta la renta
3. Para cualquier clculo tendr que usar latasa efectiva correspondiente a la
frecuencia. Nunca se puede trabajar con latasa nominal.
4. Ubicar los datos.
5. Definir qu factor usar.
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: CASO I
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
179/193
S= R* FCS
Factor de Capitalizacin dela Serie
TEf
TEfFCSn 11
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemp lo: Caso IFacto r de Cap ital izacin de la serie
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
180/193
Facto r de Cap ital izacin de la serie
Hoch piensa ahorrar $ 100
cada mes durante los prximos5 aos a una tasa efectiva de0.8% mensual.
Cunto tendr al final?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos:TEM= 0.8% R = $ 100.00
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
181/193
n = 5 aos = 60 mesesS= ?
62386684.76008.0
1008.01 60
FCS
FCS
S= 100 * 76.62386684S= US$ 7,662.39
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso II
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
182/193
R = S * FDFA
Factor de Depsito al Fondode Amortizacin
11 ,
,
ni
iFDFA
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemp lo : Caso IIFacto r de Depsito al Fondo
d A i i
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
183/193
de Amor t izacin
Dentro de 5 aos Barriguitatiene que ir al colegio y la cuota
de ingreso cuesta $ 7,662.39.Cunto tendr que ahorrar la
familia mes a mes para
completar la cuota de ingresosi le pagan una TEM del 0.8%?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos: TEM= 0.8%n = 5 aos = 60 meses
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
184/193
S = $ 7,662.39R = ?
01305076.0612990935.0
008.0
1008.01
008.0
60
FDFA
FDFA
R = 7,662.39 * 0.013050764 R = $ 100.00
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso III
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
185/193
P = R * FAS
Factor de Actualizacin dela Serie
n
n
TEfTEfTEfFAS1
11
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemp lo: Caso IIIFacto r de Actualizac in de la Serie
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
186/193
La Compaa Colesi tiene encartera 6 letras de valor nom inal
US$ 12,000.00 cada una y convencim ientos escalonados cada60 das, las qu iere descon tar en
el banco que cobra una TNA del24%. Cul sera el abono neto?
MATEMATICAS FINANCIERAS
OJO: Primero tienes quetransformar la TNA a TEB
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
187/193
transformar la TNA a TEB
Capitalizacin diariaFrecuencia bimestral
...80407969031.0TEB1...0006666.01TEB
...000666.0360
24.0i
60
,
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos: TEB = 4.079690318%n = 6 Bimestres
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
188/193
R = $ 12,000.00P = ?
228564478.50518558879.0
271147497.0FAS
80407969031.0180407969031.0
180407969031.01
FAS 6
6
P = 12,000 * 5.228564... P = US$ 62,742.77
MATEMATICAS FINANCIERAS
Circuito financiero: Caso IV
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
189/193
R = P * FRC
Factor de Recuperacin deCapital
111
,
,,
n
n
i
iiFRC
MATEMATICAS FINANCIERAS
Ejemplo : Caso IVFacto r de Recuperacin de Capital
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
190/193
Un banco f inanc ia el viaje de un equ ipo deejecutivos de la empresa Cuernfono
SAA a una feria, y otorga un crdito por $100,000.00 a un ao, que ser
reembo lsado mediante el pago de cuotas
tr im estrales a una TET del 10%.Cul ser la cuota f i ja tr imes tral que
deber pagar el c lien te?
MATEMATICAS FINANCIERAS
Datos: TET = 10%n = 4 TrimestresP $ 100 000 00
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
191/193
P = $ 100,000.00R = ? (Cuota Fija)
31547080.04641.0
14641.0110.01
10.0110.04
4
FRC
FRC
R = 100,000 * 0.315470804 R = $ 31,547.08
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
192/193
MATEMATICAS FINANCIERAS
7/26/2019 Semana 4-Valor Del Dinero en El Tiempo (a)
193/193
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