Medidas Estadísticas de VariaciónDESVIACIÓN ESTÁNDAR, VARIANZA, COEFICIENTE DE VARIANZA
Medidas Estadísticos
Objetivos de
Clase
Calcular la Desviación estándar.
Definir la desviación estándar como
medida de variación.
Calcular la Varianza.
Medidas Estadísticas
Son medidas que se
identifican o calculan usando
los datos de una variable
cuantitativa generalmente.
Su significado permite
describir un conjunto de
datos
Son tan significativos cuanto
más cuidado se tenga al
recoger los datos.
Medidas Estadísticas
Pueden
clasificarse en:
• Medida de Tendencia Central
µ, 𝑥, Me,
• Medidas de Ubicación
Percentiles, Deciles
• Medidas de Variación
𝜎2, 𝑠2, σ
• Medidas de forma
A, K
Medidas de Tendencia central
Medidas que
describen la parte
central de los
datos.
Se encuentran de
tres formasM
edia • Promedio
Aritmético
Media
na
• Dato central
Moda • Dato con
mayor frecuencia
Un caso:
En su empresa se le ha encargado realizar la renovación de
equipos. Debe examinar la propuesta de dos marcas. Para tomar
una decisión más acertada pone a prueba 7 PC’s de cada marca
contabilizando el tiempo de encendido como uno de los
parámetros a considerar para decidir. A continuación se
presentan los resultados obtenidos
Intel 23 33 34 35 30 31 37
Celeron 33 23 35 21 48 33 30
Medidas de Variación
Medidas que
describen la
variación,
fluctuación de los
datos con
respecto de la
media
Se encuentran de
tres formas
Desv
iaci
ón
Est
ándar
• Promedio de la variaciones.
Var
ianza
• El cuadrado de la variación.
Coefici
ente
de V
aria
ción
• Medida relativa de la variación
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
• (𝑥𝑖 − 𝜇)
• (21-20) = 1
• (25-20) = 5
• (23-20) = 3
21 − 20 + 25 − 20 + (23 − 20)
3= 3
Distancia
promedio
Variación
con
respecto a
la media
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
• (𝑥𝑖 − 𝜇)
• (21-20) = 1
• (25-20) = 5
• (23-20) = 3
21 − 20 + 25 − 20 + 23 − 20 + 19 − 20 + (17 + 20)
5= 1
¿Distancia promedio?
𝑥4=17
𝑥5=19• (17-20) = -3
• (19-20) = -1
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
• (𝑥𝑖 − 𝜇)
• (21-20)2 = 1
• (25-20) 2 = 25
• (23-20) 2 = 9
21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2
5= 9
¿Distancia promedio?
𝑥4=17
𝑥5=19• (17-20) 2 = 9
• (19-20) 2 = 1
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
• (𝑥𝑖 − 𝜇)
• (21-20)2 = 1
• (25-20) 2 = 25
• (23-20) 2 = 9
21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2
5= 3
Distancia promedio
𝑥4=17
𝑥5=19• (17-20) 2 = 9
• (19-20) 2 = 1Variación de los datos
respecto de la media
Desviación Estándar
Las Desviación Estándar
Si en conjunto de datos la µ = 20.
µ=20
𝑥1=21
𝑥2=25
𝑥3=23
Distancia de cada
dato a la media:
• (𝑥𝑖 − 𝜇)
• (21-20)2 = 1
• (25-20) 2 = 25
• (23-20) 2 = 9
21 − 20 2 + 25 − 20 2 + 23 − 20 2 + 19 − 20 2 + (17 + 20)2
5
𝑥4=17
𝑥5=19• (17-20) 2 = 9
• (19-20) 2 = 1
Desviación Estándar Poblacional
σ =1 𝑥𝑖 − 𝜇2
𝑛
Desviación Estándar
En realidad existen cuatro formas de calcular la desviación
estándar:
Datos No Agrupados
Pobla
ción
𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝜇
2
𝑛
Muest
ra s= 𝑥𝑖− 𝑥
2
𝑛−1
Datos Agrupados
𝜎 = 𝑥𝑖 − 𝜇
2 ∗ 𝑓𝑖𝑛
s= 𝑥𝑖− 𝑥
2∗𝑓𝑖
𝑛−1
Calcula la desviación estándar de los datos:
Define en cuál de estas muestras la media es más confiable
23; 35; 34; 35; 36; 38
25; 38; 54; 33; 33; 36
Ejemplo 02
Calcula la desviaciones estándar y mencione cual de estas
poblaciones tiene una media más confiable:
A 0.345 0.378 0.346 0.277
B 1.023 1.062 1.001 1.034
C 0.003 0.001 0.012 0.13
µ σ
A 0.3365 0.0368
B 1.03 0.0219
C 0.0365 0.0541
Varianza
Es el cuadrado de la
desviación Estándar
Pobla
cional
• 𝜎2
Muest
ral
• 𝑠2
Desviación estándar en datos agrupados:
Calcule la desviación estándar y la varianza de las siguientes
muestras:
xi fi xi fi
0 10 5 13 5 15 10 15
10 20 15 46 15 25 20 26
20 30 25 24 25 35 30 44
30 40 35 17 35 45 40 15
100 100
Desviación estándar en datos agrupados:
Calcule la desviación estándar de las siguientes muestras:
xi fi
0 10 5 13
10 20 15 46
20 30 25 24
30 40 35 17
100
𝑥 =5(13)+ 15(46)+ 25(24)+ 35(17)
1000
𝑥 = 19.5
𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝜇
2 ∗ 𝑓𝑖𝑛 − 1
2 ∗5 - 19.5 13 = 2733.25
2 ∗15 - 19.5 46 = 931.5
2 ∗25 -19.5 24 = 726
2 ∗35 -19.5 17 = 4084.25
Σ=8475
𝑠 =8475
100 − 1
𝑠 = 9.252
Coeficiente de variación
Es una medida relativa de variación y se aplica a las
comparaciones de datos provenientes de poblaciones diferentes
𝐶𝑉 =σ
𝜇𝑥100%
𝐶𝑉 =𝑠
𝑥𝑥100%
Población
Muestra
Ejemplos
Cuál de las siguientes muestras tiene una media más confiable:
Pesos : 45; 50: 72; 56 Kg
Estaturas: 1.67; 1.70: 1.68; 1.73 m.
Ingresos: S/. 1300; 1500; 3600
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