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Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 1/19
Optimización
Búsqueda en una Dimensión
Dr. E Uresti
ITESM
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IntroduccionGS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Introducción
Algunos de los métodos numéricos de búsqueda de óptimos de unafunción en varias variables se basan en métodos de búsqueda de
óptimos en una variable. Por ejemplo, el método de ascenso más
rápido elige un punto dado y determina la dirección de máximo
crecimiento en tal punto. Esta dirección es la del gradiente de la
función en dicho punto. Así, y partiendo del punto y siguiendo esta
dirección, avanza para localizar el óptimo en dicha dirección.
Imaginese avanzando en línea recta y tomando en cuenta sólo la
evaluación de la función para determinar el punto en la línea con la
mayor evaluación. Una vez alcanzado este punto, se determina la
dirección de máximo crecimiento en tal punto y se repite el proceso
de búsqueda. Por su valor práctico, los métodos de búsqueda enuna dimensión son dignos de revisar.
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IntroduccionGS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 3/19
Previo a revisar los métodos, es importante sabersi el óptimo que buscamos existe y que no habrámás de uno. Una función que efectivamente tieneun sólo óptimo recibe un nombre especial:
Definicion
Una función es unimodal si sólo tiene unóptimo (relativo o absoluto). En caso que
tenga varios óptimos se dice multimodal.
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IntroduccionGS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Unimodal Multimodal
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Introducci´onGS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Método de la Sección Dorada
La estrategia de este método se basa en tres puntos iniciales: dosconsiderados los extremos de un intervalo (x1 y x2) y el tercero (x3)
entre los dos primeros de tal suerte que relación entre la distancia
de este punto interno al extremo x2 (x2 − x3) y la distancia entre los
extremos (x2 − x1) es siempre una constante:
x2 − x3
x2 − x1=
√5− 1
2= τ = 0.618034 . . .
Note que el punto x3 divide al segmento [x1 : x2] en dos partes: laparte [x1 : x3] es más pequeña que la parte [x3 : x2]: el segmento
[x3 : x2] es el 61.80 % de [x1 : x2], mientras que [x1 : x3] tiene una
longitud que es el 38.19 %.
x1 x2x3
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 6/19
El método itera generando un siguiente punto x4 en [x3 : x2] (laparte más amplia) de manera que se cumple:
x4 − x1
x2 − x1= τ
Note que las fórmulas convenientes para el cálculo de x3 y x4 son:
x4 = (1− τ ) x1 + τ x2.
yx3 = τ x1 + (1 − τ ) x2.
Y la razón es porque en estas fórmulas no se requiere que x1 < x2.
x1 x2x3 x4
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Observemos las siguientes razones:x4−x1x2−x1
= ((1−τ ) x1+τ x2)−x1x2−x1
= τ x2−τ x1x2−x1
= τ
x2−x3x2−x1
= x2−(τ x1+(1−τ ) x2)x2−x1
= τ x2−τ x1x2−x1
= τ
x3−x1x4−x1
= (τ x1+(1−τ ) x2)−x1(1−τ ) x1+τ x2−x1
= (1−τ )(x2−x1)τ (x2−x1)
= 1−τ
τ = τ
x2−x4x2−x3
= x2−((1−τ ) x1+τ x2)x2−τ x1−(1−τ ) x2
= (1−τ ) (x2−x1)τ (x2−x1)
= 1−τ
τ = τ
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x1 x2x4
I6
x3
I1
I4 I5
I2 I3τ = I3
I1
= I4
I1
= I2
I4
= I5
I3
= 0.6180 . . .
1− τ = I2
I1= I5
I1= I6
I4= I6
I3= 0.3819 . . .
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 9/19
Dependiendo de la función a maximizar, el algoritmo escoge tres
puntos de los cuatro disponibles de manera que la situación se
repite en las proporciones de los intervalos. En general, siIi es la
longitud del intervalo en la iteración i se cumple que:
In = τ n−1 I1
Por tanto, conociendo el intervalo inicial (I1) y sabiendo a qué
precisión se desea estimar el punto (In), es fácil estimar el total de
iteraciones requeridas para que este método se aproxime al valorrequerido:
n = 1 +ln(In)− ln(I1)
ln(τ )
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 10/19
Ubicación del Intervalo
El método de la sección dorada requiere de la ubicación de los tres
primeros puntos x1, x2 y x3 como se describen anteriormente.
Cuando el método se aplica a la determinación de un máximo de
una función f (x), los puntos deben satisfacer:
f (x1) < f (x3) y f (x3) ≥ f (x2).
Es decir, la función sube y cae . Al procedimiento para encontrar
tales puntos recibe el nombre de Ubicación del Intervalo de Trabajo
(Bracketing ).
x1 x2x3
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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La estrategia inicia a partir de un punto x1 y teniendo un incremento
de x inicial s. Se genera un siguiente punto
x3 = x1 + s.
Si f (x1) ≥ f (x3) habrá que buscar hacia atrás cambiandointercambiando los puntos y el signo del incremento. Si
f (x1) < f (x3), el incremento se agranda en la proporción τ por
medio de la fórmula s = s/τ .
x1 x3
f (x1) < f (x3)
x3 = x1 x1 = x3
f (x1) ≥ f (x3)
s = −s
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GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 12/19
Un siguiente punto se genera hacia adelante
x2 = x3 + s.
Si f (x3) ≥ f (x2) los tres puntos buscados están determinados. Si
f (x3) < f (x2), entonces el procedimiento se repite tomandox1 = x3, x2 = x3 y s = s/τ . Observe que el intervalo de bracketing
va creciendo en la proporción 1/τ (≈ 1.618).
x1 x3 x2
sτ s
f (x3) ≥ f (x2)
x1 x3 x2
x1 x3 x2
f (x3) < f (x2)
τ s s s/τ
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Crecimiento del intervalo de Bracketing
x1 x2x3
f (x1) f (x2)f (x3)
f (x1) < f (x3)
f (x3) ≥ f (x2)
(1 + 1
τ ) s
s 1
τ s
Al it B d l S ió D d
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GS
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Algoritmo Basado en la Sección Dorada
[1.] Inicie con un punto x1 y un incremento s; tome f 1←
f (x1).
[2.] Tome x3 ← x1 + s y f 3 ← f (x3).
[3.] Si (f 1 > f 3), intercambie (x1, f 1) y (x3, f 3) y tome s ← −s.
[4.] Tome s ← s/τ , x2 ← x3 + s, y f 2 ← f (x2).
[5.] Si (f 3 > f 2), vaya a [7.][6.] Tome (x1, f 1) ← (x3, f 3) y (x3, f 3) ← (x2, f 2) y vaya a [4.]
[7.] Tome x4 ← (1− τ ) x1 + τ x2 y f 4 ← f (x4).
[8.] Si (f 3 ≥ f 4), tome (x2, f 2) ← (x1, f 1) y (x1, f 1) ← (x4, f 4); vaya
a [10.][9.] Tome (x1, f 1) ← (x3, f 3) y (x3, f 3) ← (x4, f 4);
[10.] SiCriterio de paro = OK, termine; caso contrario vaya a [7.]
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Casos en la comparación de f 4 vs f 3
x1 x2x4x3
I1
I4 I5
I2 I3
x2
x3
x1
x1 x2x4x3
I1
I4 I5
I2 I3
x2
x1
x3
Ejemplos
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GS
Bracketing
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Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19
Ejemplos
Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función
f (x) = −x2 − 1
partiendo de x1 = −1 y con un primer intervalo de s = 0.5.
Ejemplos
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GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Ejemplos
Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función
f (x) = −x2 − 1
partiendo de x1 = −1 y con un primer intervalo de s = 0.5.
Determinacion de la direccion de avance
x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?
-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí
Ejemplos
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GS
Bracketing
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Ejemplos
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Ejemplos
Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función
f (x) = −x2 − 1
partiendo de x1 = −1 y con un primer intervalo de s = 0.5.
Determinacion de la direccion de avance
x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?
-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí
Ubicacion
x1 f (x1) s x3 f (x3) s = s/τ x2 = x3 + s f (x2) f2 ≤ f3
-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 no
-0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 1.30916 1.61822 -3.61864 sí
Ejemplos
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GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 16/19
Ejemplos
Aplique el algoritmo anterior para encontrar el máximo de la función
f (x) = −x2 − 1
partiendo de x1 = −1 y con un primer intervalo de s = 0.5.
Determinacion de la direccion de avance
x1 f (x1) s x3 = x1 + s f (x3) ¿f (x1) < f (x3)?
-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 sí
Ubicacion
x1 f (x1) s x3 f (x3) s = s/τ x2 = x3 + s f (x2) f2 ≤ f3
-1.0 -2.0 0.5 -0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 no
-0.5 -1.25 0.80906 0.30906 -1.09552 1.30916 1.61822 -3.61864 sí
Refinamiento
s x1 f (x1) x3 f (x3) x2 f (x2) x4 = (1 − τ ) x1 + τ x2 f (x4)
2.1182 -.5 -1.25 .30915 -1.0956 1.61822 -3.6186 .80900 -1.65451.3090 .80900 -1.6545 .30915 -1.0956 -.5 -1.25 .00004 -1.
.80896 .30915 -1.0956 .00004 -1. -.5 -1.25 -.19090 -1.0364
.49994 -.19090 -1.0364 .00004 -1. .30915 -1.0956 .11813 -1.0140
.30896 .11813 -1.0140 .00004 -1. -.19090 -1.0364 -.072854 -1.0053
.19094 -.072854 -1.0053 .00004 -1. .11813 -1.0140 .045174 -1.0020
.11800 .045174 -1.0020 .00004 -1. -.072854 -1.0053 -.027768 -1.0008
.072924 -.027768 -1.0008 .00004 -1. .045174 -1.0020 .017311 -1.0003
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GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
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Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor
Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las
funciones:
f (x,y,z) =
−3 x2
−2 x y
−6 x
−3 y2
−2 y
−z2
Partiendo de P (2, 2, 1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la
sección dorada.
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GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 17/19
Encuentre el punto óptimo (máximo) por el método de Mayor
Ascenso combinado con el método de la sección dorada a las
funciones:
f (x,y,z) =
−3 x2
−2 x y
−6 x
−3 y2
−2 y
−z2
Partiendo de P (2, 2, 1) y tomando s = 1 en cada aplicación de la
sección dorada.
Solucion
La dirección de máximo crecimiento es la del gradiente:
∇ f =< −6 x− 2 y − 6,−2 x− 6 y − 2,−2 z >
Así
∇f (P ) =<
−22,
−18,
−2 >; por tanto, la dirección unitaria de
máximo crecimiento es: v =< −0.77208,−0.63169,−0.070188 >.
De donde, la función f (x,y,z) restringida a P + t · v queda:
g(t) = f (x = P 1+tv1, y = P 2+tv2, z = P 3+tv3) = −49.0+28.497 t−3.9657 t2
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Introduccion
GS
Bracketing
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Ejemplos
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Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 18/19
Apliquemos ahora el método de la sección dorada a
g(t) = −49.0 + 28.497 t− 3.9657 t2
partiendo de t = 0 y con s = 1.
Tarea
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Introduccion
GS
Bracketing
B y GS
Ejemplos
Tarea
Búsqueda en una Dimensión Profr. E. Uresti - p. 19/19
Tarea
1. Use el método de la sección dorada para determinar con una
tolerancia de 0.05 la solución óptima de :
Max x2 + 2 x
Sujeto a−
3≤
x≤
5
2. Use el método de la sección dorada para determinar con una
tolerancia de 0.05 la solución óptima de :
Max x− ex
Sujeto a −1 ≤ x ≤ 3
3. Encuentre el punto máximo por el método de Mayor Ascenso
combinado con el método de la sección dorada a las funciones:a ) f (x, y) = −(x− 3)2 − (y − 1)2 partiendo de P (2, 2) y
tomando s = 1 en cada aplicación de la sección dorada.
b ) f (x, y) = −3 x2 − 2 x y − 6 x− 3 y2 − 2 y − 3 partiendo de
P (2, 2) y tomando s = 1 en cada aplicación de la seccióndorada.