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GEOMETRA ANALTICA Y
ALGEBRA
Angulo entre palnos
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Una puerta rotatoria de un centro comercialconsta de dos planos:
CASO 01: Ecuac!n "el plano
Cunto medir el ngulo entre estas dospuertas?
1 2: 5 3 9 0, : 3 2 5 6 0P x y z P x y z+ = + =
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#$u% necestas
recor"ar&
1.Ecuacin de la recta.
2.Ecuacin del plano.
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Al fnalizar la clase el alumno ser capaz de:
1. Determinar el ngulo entre dos planos en el
espacio.
2.Calcular la distancia de un punto al plano.De orma ordenada ! lgica.
Logro "e la ses!n
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'NG(LO ENTRE )LANOS
*e+nc!n : El ngulo entre planos es el mismo ngulo "ue
orman sus respecti#os #ectores normales.
Donde los #ectoresnormales son:
$ean los planos:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + + =
+ + + =( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n a b c
n a b c
=
=uur
1 2
1 2
arccos.
n n
n n
=
ur uur
ur uur
1
2
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E%emplo 1:&allar el ngulo entre los planos:
1: 4 2 6 3 0x y z
+ + =2: 2 3 5 0x y z + + =
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G(LO ENTRE (NA RECTA Y (N )LANO
*e+nc!
n :
El ngulo entre una recta ! un plano es el
complemento del ngulo "ue orman el #ectordirector de la recta ! el #ector normal al plano.Donde el #ector director !el normal respecti#amenteson:
$ean la recta ! el plano:
0 0 0 1 1 1
1 2 2 2 2
: ( ; ; ) ( ; ; ) ;
: 0
L x y z t a b c t R
a x b y c z d
+
+ + + =( )
( )
1 1 1
1 2 2 2
, ,
, ,
u a b c
n a b c
=
=ur
1
1
arccos.
u n
u n
=
r ur
r ur
1
1n Lur
90 =
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E,e-plo .:Dados la recta ! el plano:
Determinar el ngulo "ue orman.
2 3
: 1 0
x y z
L x y z
+ = + + =
:Plano XY
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*e+nc!n:'a distancia m(nima de un punto e)teriora un plano es la longitud ortogonal trazado del puntoal plano.
*roposicin: 'a distancia del punto e)terioral plano
Es:
( )
( )0 00
0 0 0
2 2 2
,
Q P n
d Q n
ax by cz d
A B C
=
+ + +=
+ +
r
r
0 0 0 0( , , )Q x y z =
0 0 0 0( , , )Q x y z =
: 0ax by zc d + + + =
( )0,d Q
0Q
0P
Q
nr
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E,e-plo /:&allar la distancia del punto A+,-2-/0 al plano
{ }(2; 1,6) (1;0;3) (2; 2;3) / ,t s t s R
= + +
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E,e-plo :Dados los planos:
Determinar si el punto A+/-2-,0 est entre dicos planos.
1: 2 3 6 14 0x y z
+ =2: 4 6 12 21 0x y z + + =
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3 C4D567 AU879 858U'7ED58795A'
A7
1,1;./797
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