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GEOMETRÍA ANALÍTICA YALGEBRA
RECTAS EN EL ESPACIO
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La importancia de las rectasse puede ver a través decasos de estudio, como porejemplo en la imagen sepuede ver: una cámara, una
lámina y un foco, y notar quese forma unas rectas en elespacio a través de laproyección de la luz de lacámara hacia una lámina y
sobre la esfera.. !"ómo encontrar la ecuación vectorial de dicharecta#
$. !%ué tipos de ecuaciones posee una recta en elespacio#
OBSERVEMOS LAIMAGEN.
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• &istancia entre dos puntos en elespacio
• 'esolución de ecuacioneslineales.
• (roducto escalar y vectorial devectores.
Recordar
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OBJETIVOS)l *nalizar la clase el alumno será capaz de:. 'epresentar de manera vectorial, paramétrica
y simétrica una recta en el espacio.
$. +denti*car cuando dos o más rectas del
espacio son paralelas, perpendiculares, etc.
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COORDENADAS EN EL ESPACIO DEUN VECTOR
-, y, z son las coordenadas de (respecto delsistema de referencia /.
0ector de posición de (
1rigen de coordenadas
[→OP] = x .
→i + y .
→ j + z .
→k
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EJES COORDENADOS. PLANOS COORDENADOS
• Los planos 123, 134 y142 se denominan
planos coordenadosdel sistema dereferencia.
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COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE
Las coordenadas de un vector libre se obtienen restando las
coordenadas del punto P de las correspondientes de Q.
•→PQ =
→OQ –
→OP
• [→PQ] =
→OQ –
→OP = (b – a, b' – a' , b" – a")
• Los puntos P y Q dete!inan e" #e$to %ijo →PQ
•→OP +
→PQ =
→OQ
u PQ=r uuur
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COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
→
! =→
a +→
&' =→
a +
→
&* =
=→a +
(
→ b –
→a ) =
(
→a +
→ b )
x! =
(x + x)
y! = (y + y)
z! =
(z + z)
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DETERMINACIÓN DE UNA RECTA. ECUACIÓN VECTORIAL
• na e$ta #iene dete!inada po un punto
y una die$$in- La die$$in est.
!a$ada po un #e$to "ibe→u ""a!ado
vector director -
• n punto / est. en "a e$ta si y s"o si→
P/
y→u son popo$iona"es0 [
→P/] = t -
→u
•
1i→ p es e #e$to de posi$in de P,
→x es
e #e$to de posi$in de /, 2ueda.0
→x –
→ p = t -
→u es de$i0
→x =
→ p + t -
→u
La expesin→x =
→ p + t -
→u $on t ∈ 3 es "a ecuación vectorial de "a e$ta 2ue
pasa po P y ta" 2ue→u es un #e$to die$to de "a !is!a-
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DETERMINACIÓN DE UNA RECTA: ECUACIONESPARAMÉTRICAS
Las ecuaciones paramétricas de a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue tiene
po #e$to die$to→# (#, #, #4) son
x = xo + t-#y = yo + t-#
z = zo + t-#4
x = xo + t-#(y = yo + t-#)
z = zo + t-#4
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ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMACONTINUA
Las ecuaciones en forma continua de "a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue
tiene po #e$to die$to→# (#, #, #4) son0
x – xo#
= y – yo
# = z – z
o
#4
Las ecuaciones paramétricas de a e$ta 2ue pasa po P(xo, yo, zo) y 2ue tiene
po #e$to die$to→# (#, #, #4) son
x = xo + t-#y = yo + t-#
z = zo + t-#4
5espejando t en $ada una de eas e i6uaando, obtene!os as e$ua$iones de a
e$ta 2ue no dependen de nin67n pa.!eto-
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ECUACIONES DE LOS EJES EN FORMA: VECTORIAL, PARAMÉTRICA Y CONTINUA
Vectorial Paramétrica Continua
8je O/ →x = t→
ix = t
y = 9
z = 9
x
=
y
9 =
z
9
8je O: →x = t→
jx = 9
y = t
z = 9
x
9 =
y
=
z
9
8je O; →x = t→
k x = 9
y = 9
z = t
x
9 =
y
9 =
z
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ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA PORDOS PUNTOS
La recta r queda determinada por la
siguiente determinación lineal: r),
)5 ó r5, )5
→ →a, a$, a6
b, b$, b6
(or tanto la ecuación de la rectaserá:
-, y, z 7 a, a$, a6 8 t b9a, b$9a$,b69a6
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EJEMPLO 1: allar las ecuacionesparamétricas y simétricas para la recta L que
pasa por el punto (, ;$,
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EJEMPLO 3: &eterminar tres vectores quesean paralelos a la recta: x = < 8 ?t, y = 9< 8
>t, z = 9 6t
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POSICIONES RELATIVAS DEDOS RECTAS
Las rectas tienen todossus puntos comunes
'ectas coincidentes
1. RECTAS PARALELAS:
/ean las rectas:
dice que son paralelas si sus vectores directores son paral
/@'0)"+AB: /i dos rectas son paralelas, entonces estas so
incidentes o no se interceptan.
Las rectas no tienenpuntos en comCn
'ectas paralelas
{ }
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EJEMPLO 4: &adas las rectas:
@stablecer si son paralelas o coincidentes.
{ } ( ) ( 4) ?) ) (?4 @)
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2. RECTAS PERPENDICULARES:
/ean las rectas:
e dice que son perpendiculares si sus vectores directoreson perpendiculares.
EJEMPLO 5: &adas las rectas:
@stablecer si son perpendiculares.
{ }
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ÁNGULO ENTRE DOSRECTAS
{ }9 sS P tu t R= + ∈uur
{ }9 r R P tu t R= + ∈uur
θ
-$os-
s r
s r
u u
u u
θ − ÷=
÷
uur uur
uur uur
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EJEMPLO 6: &adas las rectas:
"alcular la medida del ángulo entre ellas.
{ } ( ) (94) )
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ATOEVALACI!N
. allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por elpunto medio de )7 ,, F.
$. allar la ecuación paramétrica de la recta L, que
pasa por 6, y es paralela al producto vectorial de)7 , 6, ;> y 57;6,, ,
> >
x t
L y t
z t
= +
= − + = −