Tema II
FUNDAMENTOS DE LA REPRESENTACIN
GRFICA
INDICE
1. Introduccin
2. Proyecciones
2.1.- Tipos de Proyecciones
3. Sistemas de representacin
3.1.- Elementos
3.2.- Sistema Didrico
3.3.- Sistema Acotado
3.4.- Sistema axonomtrico
3.5.-Sistema cnico
4. Perspectivas. Dibujos de tuberas
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Tema II
Fundamentos de la Representacin Grfica
1. Introduccin
La necesidad tecnolgica de transmitir la informacin fsica de los objetos
tridimensionales sobre un plano exige ordenar la informacin de tal
manera que sea posible el proceso a la inversa, es decir, que a partir de
la informacin representada sobre un plano se pueda interpretar la forma
real del objeto e incluso materializarlo con todos sus detalles.
Un sistema de representacin se puede definir como un conjunto de
principios que, mediante la utilizacin de proyecciones, permite realizar
representaciones planas de objetos tridimensionales.
2. Proyecciones
Se puede definir una proyeccin como la figura que resulta de proyectar,
en una superficie plana, todos los puntos del contorno de un slido u otra
figura. Tiene tres elementos fundamentales:
Centro de proyeccin.
Plano de proyeccin.
Lneas de proyeccin.
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Tema II
2.1.- Tipos de Proyecciones
Existen diferentes tipos de proyecciones:
Cnicas: El centro de proyeccin tiene una posicin fija y
determinada.
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Cilndricas: El centro de proyeccin se supone en el infinito.
Ortogonal: Las lneas de proyeccin son perpendiculares al
plano de proyeccin.
Oblicua: Las lneas de proyeccin forman con el plano de
proyeccin un ngulo distinto de 90
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La proyeccin cnica posee una serie de propiedades que se citan a
continuacin:
La proyeccin de un segmento rectilneo es otro segmento
rectilneo.
El punto medio de un segmento no tiene por qu proyectarse en el
punto medio de la proyeccin de dicho segmento.
El punto de interseccin de dos rectas que se cortan se proyecta
en el punto interseccin de las proyecciones.
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Tema II
Las proyecciones de dos rectas paralelas en el espacio no son
paralelas entre s.
excepcin
La proyeccin de una curva es otra curva. Si la curva es plana y O
pertenece al plano la proyeccin es una recta.
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Tema II
Los puntos de interseccin de una recta y una curva se
proyectarn sobre la interseccin de sus proyecciones.
El punto de tangencia de una recta y una curva se proyectar en el
punto de tangencia de sus proyecciones.
En cuanto a las propiedades de la proyeccin cilndrica, destacar que
adems de conservar todas las propiedades de la proyeccin cnica
posee algunas otras ms como son:
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Tema II
La proyeccin del punto medio de un segmento es el punto medio
de la proyeccin del segmento.
La proyecci alelo al de
Las proyecciones de rectas paralelas son rectas paralelas.
n de una figura situada en un plano par
proyeccin es una figura igual a la primera.
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Tema II
3. Sistemas de representacin
El objetivo de los sistemas de representacin cons
la verdadera forma y magnit
estableciendo una relacin biunvoca entre las formas
istir por tanto, en
reflejar en dos dimensiones ud de los objetos,
del espacio y las
proyecciones.
na serie de condiciones:
problemas que dicho objeto pueda originar.
Debe ser reversible.
Ha de poder ser comprendida por cualquier persona distinta a la
3.1.- Elementos
Un sistema de representacin debe contener los siguientes elementos:
Un sistema de referencia: en general es un triedro trirrectngulo
Uno o varios planos de Proyeccin:
Un solo plano una PERSPECTIVA O ACOTADO.
Un sistema de representacin debe cumplir u
Ha de ser capaz de representar cualquier elemento y los
Una representacin solo puede definir a un objeto.
que la realizo.
donde cada punto esta definido por sus tres coordenadas (X, Y, Z).
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Tema II
Dos planos sistema DIEDRICO
En Ge
fund
Sist
Sistema acotado.
Sist
ede constituir un sistema independiente.
En todos se cumple la condicin de la
reversibilidad, condicin mediante la cual todos los elementos se pueden
representar mediante proyecciones que los identifican, y dadas las
proyecciones de estos elementos (puntos, rectas, planos, volmenes,
etc.) siempre pueden determinarse las caractersticas, dimensiones y
formas de los mismos. A cada conjunto de proyecciones se corresponde
nen.
Tres planos sistema TRIEDRICO
Un haz de rayos proyectantes por cada plano.
ometra Descriptiva se emplean entre otros, cuatro sistemas
amentales:
ema didrico.
ema axonomtrico.
Sistema cnico.
Como variante del sistema axonomtrico, se estudia la perspectiva
caballera, que pu
los sistemas enumerados
inequvocamente un elemento y solamente uno. A cada elemento le
corresponden unas proyecciones que le caracterizan y defi
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Tema II
3.2.- Sistema Didrico
Es el precursor de todos los sistemas y el de mayor campo de
aplicaciones, especialmente en la Industria y obra civil. Es tambin el
sistema ms generalizado de todos, conocido con el nombre de sistema
de doble proyeccin, o de Monge, por ser este gemetra francs el
primero que lo recopil. Es un sistema de proyecciones cilndricas
ortogonales, es decir, que en l se emplea exclusivamente la proyeccin
ortogonal. Este tipo de proyeccin es la ms utilizada en Dibujo Tcnico.
relaciones de paralelismo y, en aquellas
imensiones que sean paralelas a los ejes, se mantienen adems la
proporcionalidad, verdadera forma y verdadera magnitud.
En ella se mantienen las
d
En el Sistema Didrico las proyecciones se realizan sobre planos de
proyeccin perpendiculares entre s (Plano Horizontal y Vertical) que
dividen el espacio en cuatro cuadrantes como puede observarse en la
figura siguiente.
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Tema II
Para poder representar el dibujo de las dos proyecciones sobre un nico
plano, el del papel, hay que conseguir que ambas queden situadas sobre
ese nico plano, el plano del dibujo. Suponiendo que el papel del dibujo
est en posicin vertical y que le hacemos coincidir con el plano vertical,
el modo de llevar las dos proyecciones sobre ese nico plano consiste en
abatir el plano horizontal alrededor de la lnea de interseccin de ambos
planos (horizontal y vertical), de modo que su semiplano anterior coincida
con el semiplano inferior vertical y, con ello, el semiplano posterior
horizontal llegar a coincidir tambin con el vertical, en su semiplano
superior.
Esto mismo se puede realizar suponiendo que el papel de dibujo est en
posicin horizontal. En este caso se deber abatir el plano Vertical sobre
el horizontal alrededor de la lnea de interseccin de ambos planos.
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Tema II
A veces, cuando el objeto lo requiere, interviene un tercer plano,
de comentar. Esta disposicin de las proyecciones sobre el plano del
dibujo es diferente para los americanos, pero la esencia del sistema es la
misma.
denominado de Perfil, que es perpendicular a los dos primeros. Para
obtener las proyecciones en el plano del dibujo se considera a ste
coincidente con el plano Vertical y los otros dos se giran como se acaba
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Tema II
3.3.- Sistema Acotado
El Sistema de Planos Acotados o Sistema Acotado constituye, al igual
que el Sistema Didrico, un sistema de representacin reversible en el
que se pueden resolver cualquier tipo de problemas del espacio, pues, en
resumen, la proyeccin acotada es la proyeccin horizontal didrica con
las correspondientes cotas que suplen a la proyeccin vertical del Sistema
Didrico.
l Sistema de Planos Acotados es el sistema de representacin de la
Geometra Descriptiva que se utiliza en Topografa y en Dibujo
E
Topogrfico.
El Dibujo Topogrfico hace uso de este sistema para la instalacin de
industrias y en general en la representacin de terrenos. La Topografa
utiliza este sistema para el trazado de caminos, clculo de terraplenes y
desmontes, en cartas marinas y, en general, en el levantamiento completo
de un plano topogrfico.
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Tema II
Superficie topogrfica y formacin de curvas de nivel
Plano del dibujo - Curvas de nivel
El sistema Acotado utiliza para la representacin un solo plano de
proyeccin que se supone horizontal. Este plano recibe los nombres de
plano de proyeccin, plano del cuadro, plano de comparacin o plano de
referencia. Sobre este plano se halla la proyeccin ortogonal del elemento
proyectar y esta proyeccin se acota con un nmero que indica la altura
cota del elemento proyectado.
a
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Tema II
En la siguiente figura del espacio, el plano es el de proyeccin. Un
punto puede ocupar, con respecto a este plano, tres posiciones: encima
de l, contenido en el plano o por debajo del plano.
B
b (0)
a(4)
c(-3)
C
A
Si el plano de comparacin de cota cero se considera el nivel del mar,
las cotas positivas se llaman altitudes y las cotas negativas reciben el
nombre de profundidades sondas. En Espaa y para Topografa, el
plano origen de cota cero se considera el plano tangente a la Tierra en
la playa del Postiguet de Alicante.
n las que ha de mostrarse claramente
lo esencial de tres vistas. Se utilizan para dibujos de ofertas, fabricacin,
as, en construccin de mquinas, etc.
Este tipo de representacin es cada vez ms frecuente, ya que simplifica
3.4.- Sistema axonomtrico
Las perspectivas axonomtrica y caballera (caso particular de la anterior)
se emplean en representaciones e
montaje en instalaciones de tuber
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Tema II
el trabajo y mejora la visualizacin. Adems, los ordenadores realizan
dibujos tridimensionales cada vez con mayor facilidad.
Los dos sistemas citados con anterioridad, el sistema didrico y acotado,
no proporcionan una visin clara e inmediata de la figura en el espacio,
siendo necesario para ello que la persona que los emplee se encuentre
El sistema axonomtrico proporciona junto con el cnico una visin
directa, y muy fcil de interpretar al primer golpe de vista, de los cuerpos
que por su medio se dibujan. Las proyecciones o dibujos en ellos
La proyeccin axonomtrica oblicua recibe el nombre particular de
caballera. Todos estos sistemas se llaman, por este motivo,
representativos, y son tridimensionados, es decir, que en una sola
El sistema axonomtrico de proyecciones ortogonales emplea un nico
plano de proyeccin que recibe el nombre de plano del cuadro (P.P).
Intervienen adems tres planos auxiliares que proporcionarn otras tantas
familiarizada con este tipo de representaciones.
representados reciben el nombre de perspectivas, existiendo tres tipos de
las mismas, segn se emplee el sistema axonomtrico ortogonal, el
sistema axonomtrico oblicuo, o el sistema cnico.
proyeccin se muestran las tres dimensiones de los cuerpos.
proyecciones secundarias, completndose con la proyeccin directa
ortogonal de cada punto considerado, totalizando cuatro proyecciones con
las que queda totalmente definido en el espacio. El procedimiento es
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Tema II
perfectamente reversible. A cuatro proyecciones de un punto, las tres
secundarias y la directa, corresponde un nico punto en el espacio.
Imaginemos un triedro trirrectngulo O, X1, Y1, Z1, apoyado por su vrtice
O en el plano de proyeccin P.P. Al proyectar ortogonalmente las aristas
de este triedro sobre el plano P.P., llamado tambin cuadro, obtenemos
Con ello se ha logrado que sobre un nico plano P.P. tengamos reflejadas
las posiciones del triedro, por los segmentos ejes OX, OY y OZ, y las
coordenadas del punto con relacin a este triedro, puesto que los
tres rectas concurrentes en O y que reciben el nombre de ejes X, Y y Z.
Dado un punto A1 en el espacio, proyectmosle ortogonalmente sobre las
caras que constituyen el triedro, obteniendo tres proyecciones a1, a1 y
a1. Estos puntos, proyecciones del A1, se encuentran asimismo en el
espacio, puesto que estn situados sobre las caras del triedro y ninguna
de stas es coincidente con el plano de proyeccin. Proyectemos
ortogonalmente, por ltimo, todo este conjunto sobre el plano P.P.,
obteniendo, por cada punto dado en el espacio, cuatro puntos
proyectados, a saber: la proyeccin directa A del punto dado A1; las
proyecciones a, a y a de las proyecciones obtenidas sobre cada una de
las caras del triedro.
segmentos A a, A a y A a son proporcionales a las distancias A1 a1, A1
a1, y A1 a1 que existen en el espacio entre el punto dado y las caras del
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triedro. La posicin de un punto en el espacio, mediante este sistema
est, por tanto, totalmente definida.
Las direcciones de la proyeccin de los ejes depende de la posicin que
el triedro ocupe respecto al plano de proyeccin. Cuando las tres caras
forman el mismo ngulo diedro con P.P., sus aristas tendrn igual
inclinacin y se proyectarn, por tanto, formando ngulos iguales entre s,
es decir, de 120. En este caso, el sistema recibe el nombre particular de
axonomtrico-isomtrico, y es el ms empleado. En caso contrario, los
ejes forman distintos ngulos entre s, pudiendo ser dos de ellos iguales,
simtrico, o los tres distintos, trimtrico. Observar, por ltimo que, en
cualquier caso, al ser el triedro trirrectngulo, cada arista es perpendicular
a la cara que no le pertenece. Tambin son perpendiculares a cada cara
los segmentos que unen, en el espacio, un punto dado y su respectiva
proyeccin sobre el triedro. De aqu, las coordenadas de un punto son
siempre paralelas a las aristas del triedro, luego sus proyecciones han de
mostrarse paralelas a las direcciones respectivas de los ejes.
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Tema II
Debido a esta circunstancia, para que un punto quede definido en este
sistema basta conocer solamente dos de sus cuatro proyecciones, la
directa y una secundaria, o dos secundarias, puesto que mediante el
trazado de paralelas a los ejes se obtienen, de inmediato, las otras dos.
Las coordenadas de un punto se designan por letras minsculas x, y, z en
relacin con la letra mayscula X, Y, Z del eje al cual es paralela. La
proyeccin directa de cada punto la nombraremos por una letra
mayscula, designando por la minscula correspondiente a las
proyecciones secundarias, afectndole de una coma (prima), dos
(segunda) tres (tercera), segn pertenezcan respectivamente a la cara
YOX, XOZ o ZOY del triedro.
3.4.1.-Perspectiva caballera Principios fundamentales: El plano de proyeccin plano del cuadro
e (Y) es perpendicular a este plano.
i proyectamos ortogonalmente al plano de proyeccin, el eje (Y) se
proyectara como un punto, el plano XOY como el eje X y el plano ZOY
coincide con el plano ZOX, y el ej
S
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Tema II
como el eje Z. Con este tipo de proyeccin solo se visualiza una de las
caras de la pieza; para evitar esto se elige una proyeccin oblicua, en
lugar de una proyeccin ortogonal al plano del cuadro.
proyectarse sobre el origen lo hace
ta Y que pasa por el origen.
plano del cuadro como 1 y el
De esta forma el eje (Y) en lugar de
segn una rec
Si se elige un punto (1) del eje (Y) y se proyecta segn una direccin
cualquiera, este punto se representa en el
eje Y tiene la direccin de 0 a 1 ( ver figura anterior).
Si se supone que el plano del cuadro es el papel, los ejes quedan como
en la figura siguiente:
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Tema II
Los tres ejes perpendiculares entre s en el espacio se proyectan en el
plano del cuadro formando 90 el eje X con el Z, y un ngulo () el eje Y
con el eje X.
Definicin de perspectiva caballera: es una proyeccin cilndrico-oblicua
en la que las superficies paralelas al plano XOZ se ven en verdadera
magnitud, mientras que las paralelas al XOY y ZOY se ven deformadas
s ejes X e Y, el plano horizontal y
Las lneas paralelas al eje Y se llaman lneas de fuga y son lneas
perpendiculares al plano XOZ en el espacio. stas se proyectan
deformadas segn esa lnea de fuga, sobre el plano del cuadro.
La inclinacin de las lneas de fuga con el eje X, puede ser de 30, 45
60. Por sencillez en la representacin, se suele utilizar la inclinacin de
45.
parcialmente.
Los ejes X y Z forman el plano frontal, lo
los ejes Z e Y, el plano de perfil.
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Tema II
Si las aristas perpendiculares al plano XOZ se proyectan en su verdadera
magnitud, la imagen deformada de la pieza se visualiza en perspectiva de
mayor profundidad que la real. Por esta razn las longitudes de lneas de
fuga son reducidas normalmente de su longitud real en unas relaciones
de 0,5, 0,6, 0,7 0,8. Si los espesores de piezas son pequeos, se
pueden representar sin reduccin e incluso con una longitud mayor de la
real. Normalmente se emplea un valor de reduccin de 0,5 por sencillez y
rapidez en la ejecucin.
Direccin de las lneas de fuga: En la perspectiva caballera, elegida una
inclinacin de la lnea de fuga, existen cuatro formas distintas de
visualizar la pieza.
1 Mostrando la cara frontal, lateral derecha y superior.
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Tema II
2 Mostrando la cara frontal, lateral izquierda e inferior.
3 Mostrando la cara frontal, lateral izquierda y superior.
4 Mostrando la cara frontal, lateral derecha e inferior.
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Tema II
Pasos a seguir en la representacin de una pieza en perspectiva
caballera:
Dada una pieza por sus vistas, el proceso de ejecucin de una
perspectiva es el siguiente:
1 Se determina la cara de partida de la pieza que se va a visualizar en su
verdadera magnitud (cara frontal). Se elige la inclinacin, sentido y
reduccin de la lnea de fuga, despus de un estudio detallado de la
Se trazan los ejes de la perspectiva caballera.
pieza.
2
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Tema II Tema II
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3 Se inscribe la pieza en el paraleleppedo rectangular y se dibuja en
perspectiva.
4 Se trazan las lneas contenidas en el plano frontal (1) (en esta pieza no
existen). Se trazan las lneas correspondientes al plano horizontal (2) y al
plano de perfil (3).
5 Una vez suprimidas las lneas que no corresponden a la pieza, se
trazan las lneas que van determinando la forma de la misma, hasta
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Tema II
completar la perspectiva. En perspectiva, normalmente no se representan
las lneas discontinuas.
.5.-Sistema cnico
Su principal aplicacin es la representacin en perspectiva de edificios y
obra civil en general. El aspecto de esta perspectiva es el que ms de
acerca a la visin real, puesto que equivale a la imagen que observamos
al mirar con un solo ojo, considerando el foco punto de vista en l
situado.
El sistema cnico, junto con el de proyecciones axonomtricas
ortogonales y el de proyecciones cilndricas oblicuas (caballera),
constituyen los denominados sistemas representativos.
Proyeccin cnica indeterminada: es ya conocido que toda
puntos cuya proyeccin se determina. Sea un
plano de proyeccin y un punto de vista V. A todo punto del
3
proyeccin cnica se realiza, fijado un plano de cuadro o de
proyeccin y un foco punto de vista, en la interseccin con el
cuadro de todas las rectas proyectantes que pasen por el foco
conteniendo a los
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Tema II
espacio D1 le corresponde un punto D en proyeccin cnica sobre
el plano del cuadro, pero a cualquier punto proyeccin M, le
corresponden infinitos puntos A1, B1, C1, etc., en el espacio. Por lo
la condicin de reversibilidad.
tanto, el procedimiento as presentado no es reversible, y no puede
constituir sistema, al faltarle
reversible cuando se dan, por lo menos, dos proyecciones o
Proyeccin cnica determinada: recordemos que un sistema es
condiciones para cada punto del espacio. As, en el sistema
didrico se dan dos proyecciones por cada punto, en el acotado
una proyeccin y su cota, en el axonomtrico se determinan cuatro
proyecciones, de las cuales son necesarias solamente dos. Vemos,
por tanto, que en el sistema cnico nos falta para definirlo una
segunda proyeccin que se logra mediante el auxilio de un
segundo plano, perpendicular al primero, proyectando sobre el
mismo ortogonalmente cada punto del espacio, A1 en a1, B1 en b1,
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Tema II
etc., realizando seguidamente, mediante proyeccin cnica sobre
el plano del cuadro, las proyecciones directas del punto y
secundarias de sus proyecciones ortogonales auxiliares.
De est
a V (
proyec
secund
determ
dos pu
de un
centro de proyeccin punto de vista, un plano de proyeccin o del
e modo, an cuando dos puntos se encuentren alineados respecto
A1 y B1 estn contenidos en la misma recta proyectante), sus
ciones directas estn confundidas, pero no sucede as con sus
arias, y de este modo podemos indicar que el sistema es
inado, puesto que a cada punto del espacio corresponden siempre
ntos en proyeccin cnica, y viceversa, a cada dos proyecciones
punto les corresponde un nico punto en el espacio.
Fundamentos del sistema cnico: se acaba de ver que un sistema
cnico queda definido por un punto propio V, denominado foco,
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Tema II
cuadro y un segundo plano, perpendicular al primero, que se le
supone horizontal y que recibe el nombre de plano geometral.
Adems de estos elementos bsicos, se van a definir estos otros
que sern muy tiles en el desarrollo del sistema.
La recta de interseccin L T del plano geometral con el del cuadro se
denomina lnea de tierra. La proyeccin ortogonal P del punto de vista
V sobre el plano del cuadro es el punto principal y tiene propiedades
muy notables. El plano paralelo al geometral y que contiene a V y a P
se denomina plano de horizonte, siendo su traza L H con el cuadro
llamada lnea de horizonte, paralela evidentemente con la lnea de
tierra. El plano que, c
cuadro, es
desvanec
muy importantes dos puntos
onteniendo al punto de vista, es paralelo al del
llamado plano de desvanecimiento, siendo la lnea de
imiento L D su interseccin con el geometral. Por ltimo, son
de distancia (en la figura est
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Tema II
rep
a c
que media entre este punto y el de vista V, luego su obtencin se
realiza mediante un arco, trazado con centro en P y radio P V.
Definidos los elementos que constituyen el sistema, se procede a la
proyeccin cnica de un punto A1 del espacio. Se proyecta
ortogonalmente sobre el plano geometral a1 y seguidamente se
proyectan cnicamente A1 y a1 sobre el plano del cuadro en A y a
respectivamente, que son las intersecciones con el plano de
proyeccin de las rectas proyectantes que partiendo de los mismos,
confluyen en V. Al ser a1 proyeccin ortogonal de A1, la recta A1 a1 es
perpendicular al geometral, luego es perpendicular a todas las rectas
contenidas en este plano, entre ellas la lnea de tierra L T. Por tanto,
su proyeccin A a es asimismo perpendicular a L Ty de aqu que
podamos indicar que la proyeccin directa de un punto y la secundaria
siempre estn contenidas sobre una recta perpendicular a la lnea de
tierra, segn puede verse a continuacin, donde el plano del cuadro se
ha hecho coincidir con el plano del dibujo y es como, en definitiva, se
presentan las proyecciones en este sistema.
resentado en D uno de ellos), situados en la lnea de horizonte, uno
ada lado del punto principal P y a una distancia del mismo igual a la
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Tema II
incipal que, siendo perpendicular a
de vista y, por tanto, al punto
Existe un ltimo plano, denominado pr
todos los definidos, contiene al punto
principal.
4. Perspectivas. Dibujos de tuberas
dibujos de tuberas, accesorios y vlvulas se representan de forma
alizaciones, as como la disposicin de los elementos, pero sin definir
detalles constructivos de los distintos aparato
Las tuberas se emplean para la conduccin de fluidos en instalaciones
industriales, para gas y aire, en refineras de petrleo, calefaccin,
refrigeracin, climatizacin y tambin en procesos para industrias
qumicas, etc.
Los
simplificada, de tal manera que se indique el trayecto de las
can
los s.
Los dibujos de tuberas en los planos pueden hacerse como dibujos de
slo una lnea como dibujo de lnea doble.
Cualquiera de los dos tipos de dibujos pueden hacerse como
proyecciones de varias vistas como proyeccin isomtrica.
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Tema II
La eleccin del tipo de dibujo a emplear en la representacin de tuberas
es en funcin de diversos parmetros:
De la complejidad de la instalacin.
Etc.
acaba de comentar en relacin a tuberas se puede ver de
forma detallada en las normas UNE-ISO. La norma UNE que recoge los
signos utilizados convencionalmente en tuberas es la UNE 1062 y la que
contiene la representacin simplificada de tuberas en proyeccin
isomtrica es la UNE-EN ISO 6412-2.
De la funcin del dibujo.
De la precisin de los huelgos.
Todo lo que se
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3.1.- Elementos3.2.- Sistema Didrico3.3.- Sistema Acotado3.4.- Sistema axonomtrico3.5.-Sistema cnico4. Perspectivas. Dibujos de tuberas3.1.- Elementos3.2.- Sistema Didrico3.3.- Sistema Acotado3.4.- Sistema axonomtrico3.4.1.-Perspectiva caballera
3.5.-Sistema cnico4. Perspectivas. Dibujos de tuberas
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