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Modelos para Risco de Crédito 3:
KMV Análise de Risco (11)
R.Vicente
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Resumo
IntroduçãoEstimação do valor de mercado e volatilidade dos ativos Cálculo da Distância-para-defaultCálculo da Probabilidade de DefaultBibliografia
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Principal Diferença
KMV Credit Risk+ e Credit Metrics
Probabilidade de defaultcalculada para cada ativo
Probabilidade de default determinada pela taxa média para cada classificação de crédito
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Idéia Geral
DD = Distance-to-default
EDF = Expected Default FrequencyTM
Taxa esperada de crescimento
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Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton
Exemplo: Fundo mútuo: $20 de capital dos sócios , $80 emprestados, $100 investidos em ações.
ATIVO PASSIVO
$100
$80
$20
Após 5 anos os ativos serão vendidos e distribuídos entre sócios e credores.
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Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton
ATIVO PASSIVO
$100 $80
$20Qual o valor de mercado das ações deste fundo no final dos 5 anos ?
80 VA
V
0
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Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton
ATIVO PASSIVO
$100 $80
$20
Qual o valor de mercado das ações deste fundo antes de 5 anos ?
80 VA
V
0
Valor de uma CALL sobre o ativo do fundo com strike em $80.
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Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton
( ) ( )1 2rT
E AV V N d e XN d= −
2
1
2 1
ln2
A A
A
A
Vr T
Xd
T
d d T
σ
σ
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟+ +⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
= −
1( )A AE A A
E E
V VN d
V Vσ σ σ= Δ =
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Distância para Default
Valor de Mercado Ponto
Distancia de Defaultdos Ativos
Valor de Mercado Volatilidade para Default
dos Ativos dos Ativos
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ponto de Default = STRIKE (X)
= Dívida de Curto Prazo + ½ Divida de Longo Prazo
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Probabilidade de Default
0
0
Pr
Pr ln ln
tt tA A A
ttA A A
p V X V V
V X V V
⎡ ⎤= ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= ≤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
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Probabilidade de Default
2
ln ln2
t AA A A AV V t t
σμ σ ε⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Assumindo uma dinâmica browniana geométrica:
A probabilidade que se deseja calcular é equivalente à probabilidade da Call com strike Xt “virar pó” em t :
2
Pr ln ln2A
t tA A Ap V t t X
σμ σ ε
⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + − + ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
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Probabilidade de Default
Rearranjando:
2
Pr ln ln2A
t tA A Ap V t t X
σμ σ ε
⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟= + − + ≤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
2
ln2
Pr
A AA
tt
A
Vt
Xp
t
σμ
εσ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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Probabilidade de Default
Como ´é um choque normal :
2
ln2
A AA
tt
A
Vt
Xp N
t
σμ
σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ε
14
Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default:
2
ln2
A AA
tt
A
Vt
Xp N
t
σμ
σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
2
ln2
A AA
t
A
Vt
XDD
t
σμ
σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ −⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠=
DD é o número de desvios padrão entre o valor de mercado dos ativos e o Ponto de Default:
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Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default:
[ ]tp N DD= −
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Obtendo probabilidades de default reais a partir da DD
[ ]tp N DD= −Assumindo que os ativos seguem um processo estocástico browninano geométrico e homocedástico:
Uma curva empírica é utilizada para corrigir os
efeitos do processo estocástico assumido:
[ ]EDFtp DD= −
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Exemplo 1
Utilizando o mapeamento empírico: EDF = 25 bp (0,25%)
Utilizando o modelo normal: p= 2 bp (0.02%)
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Exemplo 2
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Comportamento do Ativo versus Passivo em um Default Real
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KMV e S&P em um Default Real
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Bibliografia
•Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117.
•Crosbie, P.J. e Bohn J., Modeling Default Risk, KMV, 2002
Leitura ComplementarMerton, R. On pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. Journal of Finance 28, 449-470.
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