RESISTENCIA DE MATERIALES II
L CURVA ELASTICA
D2y/dx2= ecuacion diferencial
1era integración: ecuacion de la pendiente
Constante de integración
2da integración: ecuacion de la curva elástica
Condiciones de límite
x=0 y=0
x=L Y=0
METODO DE SUPERPOSICION
Llamado también por partes
Vigas estáticamente determinadas
L
ƟA=ƟA(W) +ƟA(P)=WL3/24EI+WL2/6EI
L
P
w
w
w
ƟB=ƟB(W)+ƟB(P)
Yc=yc(w)+yc(p) flecha máxima
L yc= 5wl2/384EI+PL3/48EI
Vigas estáticamente indeterminadas
P
L l/4
P
L l/4
Método energético
La relación entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura y las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales. Esta relación carga-deformación se puede determinar y expresar de varias maneras.La conservación de la energía es un concepto útil en muchas áreas de la ciencia. La aplicación más frecuente de las técnicas energéticas está en el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas, marcos, armaduras, y otras estructuras. Las deformaciones de los miembros curvos, el análisis de cargas de impacto, y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas técnicas ofrecen una clara ventaja sobre las técnicas analíticas alternativas.Hay muchas técnicas que caen bajo la amplia clasificación de métodos energéticos. El trabajo real, el trabajo virtual, y el teorema de Castigliano son los más importantes.
MÉTODOS ENERGÉTICOS
w
w
Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal de la estructura.Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext. Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos de campo.
METODO AREA-MOMENTO
Es como el método:
Integración y superposición. Ɵ
Área momento deformación
Viga conjugada ϝ
EI=rigidez a flexión
En el método de área momento se considera el diagrama de momento.
P
3/4 l/4
L
P RA= P
M=PL
DIAGRAMA DE MOMENTO
M=PL/EI
ʆB
Teorema 1
El Angulo es igual al área del diagrama de momento
A=PL/EI.L.1/2= AREA
A=PL2/2EI cuando es una viga en volado
ƟB/A=ƟB-ƟA=A1 GIRO
ƟB=A1=PL2/2EI
TEOREMA 2
Debemos considerar al diagrama de momento
Y=A1.X1
Y=PL2/2EI X 2/3L DEFORMACION
Y=PL3/3EI
Vigas simplemente apoyadas con carga repartida
Semiparabola
A=2/3.l/2.pl2/8EI
L A=PL3/24EI
5/16L CARGA SIMETRICA
ƟB=-PL3/24EI
Mmax=pl2/8EI ƟA= PL3/24EI
DEFORMACION
ʆmax=A1.X1
= PL3/24EI*5/16L
=5PL4/384EI
También se lo puede resolver por partes
q
X1
Ql2/2EI
QL2/2EI
X2
ƟA=A1+A2=ql2/2EI*l/2+ql2/2EI*1/2
ʆc=A1.X1+A2.X2
VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
El método de la Viga Conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma.El método de LA VIGA CONJUGADA ó método de la viga imaginaria, que en lugar de hallar directamente la pendiente y la flecha, se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia, imaginaria ó conjugada. Cálculo de reacciones redundantes, flechas y pendientes en vigas con la ayuda de tablas, utilizando el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
VIGA REAL
VIGA CONJUGADA
W
WL/2
WL/2
WL2/8
WL2/8EI
L
WL3/24EI
Ymax=5wl4/384EI
Real conjugada
WL3/24EI
Viga ficticia
L
PL2/16EI
Fc=pl3/48EI
Ymax
Ejercicios
Wa2/2 ƟA=7WA2/12EI
ƟA=7WA2/12EI
7wa2/12EI
Gráficos
Pl/4
PL2/16EI
MA=0MB=0
PL3/48EI
Wa2/2
7wa2/12EI
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN
La energía de deformación es el aumento de energía interna acumulado en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.
Energía de deformación reversible e irreversible
Cuando un sólido se deforma parte aumenta su energía interna, este aumento de energía puede ocasionar cambios termodinámicos reversibles y/o cambios termodinámicos irreversibles. Por tanto la energía de deformación admite la siguiente descomposición:
Donde el primer sumando es la energía invertida en provocar sólo transformaciones reversibles comúnmente llamada energía potencial elástica. El segundo sumando representa la energía invertida en diversos procesos irreversibles como: plastificar, fisurar o romper, etc. el sólido.
En el caso general de un sólido isótropo elástico, durante un proceso de deformación reversible a temperatura constante, los incrementos de energía potencial elástica w, de energía interna u y de energía libre de Helmholtz f = u + Ts por unidad de volumen son iguales:
De hecho la energía libre de Helmholtz f por unidad de volumen está relacionada con las componentes εij del tensor deformación mediante la siguiente relación:
Y la conexión entre tensiores y deformaciones viene dada por relaciones termodinámicas, en concreto, si derivamos la energía libre de Helmholtz respecto a las componentes de deformación, llegamos a las ecuaciones de Hooke-Lamé en función de los coeficientes de Lamé:
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
La energía de deformación Edef o energía potencial elástica para un sólido deformable viene dada por el producto las componentes del tensor tensión y tensor deformación. Si además la deformación ocurre dentro del límite elástico, la energía de deformación viene dada por:
Donde:
, son las componentes del tensor tensión.
, son respectivamente los módulos de elasticidad longitudinal y transversal.
TEOREMA DE CASTIGLIANO
Los teoremas de Castigliano de resistencia de materiales se deben al ingeniero italiano Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que elaboró nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan actualmente su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes.
PRIMER TEOREMA
Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan el conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial elástica opotencial interno donde es el movimiento- desplazamiento o giro- en el punto Ai en la dirección de la fuerza Pi. Entonces la fuerza ejercida Pi en el punto Ai viene dada por:
SEGUNDO TEOREMA
Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan un conjunto de fuerzas P1,...,Pn aplicados sobre los puntos del sólido A1,...,An y llamamos a la energía potencial elástica opotencial interno. Entonces el movimiento- desplazamiento o giro- δi del punto Ai proyectado sobre la dirección de Pi viene dada por:
METODO DE VERESCHAGUIN
El defecto principal de la determinación de los desplazamientos por la formula de Mohr consiste en la necesidad de plantear las expresiones analíticas de las funciones integrando.Esta incomodidad se agrava cuando se determinan los desplazamientos en barras de muchos tramos. Sin embargo, cuando la barra constade tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos lasimplificación se basa en el hecho de que los gráficos de los factores de fuerza unitarios en los tramos rectos de la barra, resultan ser lineales.Sin embargo, cuando la barra consta de tramos rectos de rigidez constante en cada uno de ellos la operación de integración se puede simplificar.
TEOREMA DE BETTY Y MAXXWELL
El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.
Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:
En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).
Se verifica el Principio de superposición.
La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.
Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.
Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose al desplazamiento del punto i al
aplicar en j una fuerza . En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:
Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:
Sea la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada en
él, , cuando se aplica en j una carga unitaria . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como
el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de , de la siguiente manera:
A los coeficientes se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de .
La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.
VIGAS CONTINUAS
Son vigas con varios apoyos y varias secciones
Método de coeficiente ( vigas con tramos iguales), que no tengan menos del 80% de luz.
Metodo de Cross (HARDY CROSS) se los puede analizar con cualquier tipo Método de la ecuacion de los tres momentos carga.
Método de coeficiente
L1 L2
8
11 11
Diagrama de momento cuando tiene más apoyos
10 10
11 15 11
Método de Cross: diseñada para todo tipo de pórticos
Para una viga continua
P
I I I
L1 L2 L3
DETERMINAMOS UN COEFICIENTE
A B C D
M=ql2/11
C
0.5 0.5 0.511
-El coeficiente de distribución debe ser igual a la unidad.
-El coeficiente de transmisión es igual a .5.
Viga continua se necesita tener un peralte reducido
Momentos + y -
Viga simplemente apoyada se necesita un peralte mas grande
Permanentes van a estar durante toda la vida
Cargas
Accidentales vientos, sismos
Ocasionales son los que aparecen de vez en cuando
Para que no se desplace un edificio se coloca un aislador
Ejercicios w=2.5tn/m
6 6 6
10 10
11 15 11
M1=M4
M34=M12=WL2/11=8181.82KG/M
M23=WL2/15=6000KG/M
M2=M3=WL2/10=9000KG/M
Viga 1-2
2500
EMA=
6.00 -R2.6+2500*36/2=0
R2=9000
6.00 2500 EFy=
R1=6000
6000
9000
7500 9000 6000
6.00
2500
5.5 5.5 5.5 5.5
10 12 10
11 15 15 11
M1=M5=0
M12=M45=WL2/11=4125KG/M
M23=M34=WL2/15=3025kg/m
M2=M4=WL2/10=4537.5kg/m
M3=WL2/12=3781.25kg/m
2842.5
4657.5 3578.75
Metodo de Cross
Autor Hardy Cross
Este Metodo se basa en calcular una viga continua.
El Método de redistribución de momentos o método de Cross1 es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado porHardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más ampliamente usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.
En el método de redistribución de momentos, para analizar cada articulación o nodo de la
estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos
4373.9
4626.04 5256
Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el
extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros
adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en
términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas
de ecuaciones por medio de iteración.
El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de
desplazamiento del análisis estructural
15tn/m
P=50 25
2I 3I 1.5I
9.00 6.00 12.00
Factor de rigidez
Fr(1-2)=2/9=0.22
Fr(2-3)=3/6=.5
Fr(3-4)=1.5/12=.125
Factor de distribución
Fd= Fr/EFr
F2=0.22/.22+.5=.31
1.00
Fd2=.5/.22+.5=.69
Fd3=.5/.5+.125=0.8
1.00
Fd3=.125/.5+.125=.2
C
1 .31 .89 .8 .2 1
-1.7 3.42 0 84.3
2 3
-7.6 -3.8 -20.4 -40.8 -75 75
10.2 -5.01 -12.6 0
2.5I 4I 3I
2.00 5.00 3.00 3.00 4.00
Factor de rigidez
Kab= 2.5/5=0.5
Kbc=4/6=0.66
Kcd=3/4=.75
Coeficiente de distribución
Nudo A
0.5/0.5=1
Nudo b
Ba= 0.5/0.5+0.66=.43
Bc=.666/.5+.66=.57
Nudo c
Cb=.66/.66+.75=.47
Cd=.75/.66+.75=.53
Nudo d
Dc= .75/.75=1
Momento de empotramiento
Ma= ql”/2= 8000kg/m
Mab= q.l2/12=4000*25/12=8333kg/m
Mbc=5ql2/192=3750kg/m
3 3 mcb=11ql2/192=8250kg/m
Mbc=mcb=pl/8=750kg/m
4000kg/m1000kg/m
4000kg/m
1
1
4000
1000
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