REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA NUCLEO MERIDA
APUNTES DE FÍSICA I Movimiento en el Plano y en el Espacio Profesor: José Fernando Pinto Parra
APUNTES DE FÍSICA I
Profesor: José Fernando Pinto Parra
UNIDAD 3
MOVIMIENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Cinemática de la partícula, movimiento, vector posición y trayectoria.
La Cinemática estudia el movimiento de los cuerpos, sin preocuparse de las causas que lo
originan. Por ejemplo, al analizar el desplazamiento de un automóvil, diremos que se
mueve en línea recta, que su rapidez es de 60 km/h y que luego aumenta a 100 km/h, etc.,
pero no trata de explicar las causas de cada uno de estos hechos. Sin embargo, en estos
apuntes el cuerpo o móvil será tratado como una partícula, o sea, no interesan sus
dimensiones, forma, masa, etc.
Movimiento
El movimiento de un cuerpo visto por un observador, depende del punto de referencia en el
cuál se halla situado. Suponga que un avión que vuela horizontalmente deja caer una
bomba. Si se observara la caída de la bomba desde el interior, observaría que cae en línea
recta, verticalmente. Por otra parte, si se estuviera de pie sobre la superficie de la tierra
observando la caída de la bomba, se advertiría que describe una curva llamada parábola. Lo
que nos permitirá decir que el movimiento es relativo.
En la vida cotidiana, se encuentran varios ejemplos de esta dependencia del movimiento en
relación con el punto de referencia. Analicemos el caso de un observador (A) sentado en un
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camión en movimiento hacia el este y otro (B) de pie en tierra, los cuales observan una
lámpara fijada en el techo de la cabina. Para el observador B la lámpara se encuentra en
movimiento. Por otra parte, para el observador A sentado en la cabina del camión, la
lámpara esta en reposo y B se desplaza en sentido contrario al movimiento del vehículo. En
otras palabras, A se desplaza hacia la derecha con respecto al observador B, y B lo hace
hacia la izquierda en relación con el observador A.
El problema surge en la elección de ejes coordenados que estén en reposo absoluto, a los
cuales referir todos los movimientos. Esto, en realidad, es imposible, ya que no disponemos
de ningún punto de referencia que sea inmóvil. En nuestro estudio que veremos a
continuación, consideraremos ejes coordenados ligados a tierra, porque, generalmente
estamos acostumbrados a considerar el movimiento de los cuerpos suponiendo la Tierra en
reposo.
Finalmente debemos resumir este aparte en lo siguiente, un fenómeno que siempre está
presente y que observamos a nuestro alrededor es el movimiento. La cinemática es la parte
de la Física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo
producen. No es lícito hablar de movimiento sin establecer previamente ''respecto de que''
se le refiere. Debido a esto, es necesario elegir un sistema de referencia respecto del cual se
describe el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil.
¿Qué es el movimiento?
El movimiento puede definirse como el cambio de posición de los cuerpos desde un punto
de referencia.
La naturaleza ha sido el modelo para que las personas imiten sus formas y diseñen mejores
transportes.
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Los animales vuelan y nadan porque en su cuerpo hay energía que se transforma para darles
la fuerza necesaria y mover las alas o las aletas; las personas también tienen que aplicar
fuerza cuando quieren mover algo.
Para empujar una caja por el pasillo del salón, es necesario empujarla con fuerza para
arrastrarla. Si la caja está pesada, se necesitará aplicar más fuerza y el cuerpo habrá
empleado mayor cantidad de energía para moverla. La fuerza es necesaria para empujar,
para jalar o para detener algo que está en movimiento.
Cuando las superficies son lisas, el movimiento se realiza con mayor facilidad que si son
rugosas, porque las lisas oponen menor resistencia, eso se debe a la fuerza de fricción. La
fricción es lo que hace que los cuerpos se frenen y dejen de moverse. Si la superficie es lisa,
hay menos fuerza de fricción y si es rugosa, las mismas irregularidades del material hacen
que se dificulte el movimiento. La fricción es muy útil porque sin ella, las cosas se
moverían sin parar.
Los frenos de los coches actúan gracias a la fricción, igualmente la fricción que se da entre
el suelo y las suelas de los zapatos permiten caminar. También la fricción hace que se
produzca calor. Cuando se frota una mano contra la otra, se sienten calientes. Si se repitiera
esta acción pero con las manos enjabonadas, no se calentarían igual porque el jabón reduce
la fricción.
Las sustancias que disminuyen la fricción se llaman lubricantes, como los aceites y las
grasas por ejemplo, los que se usan en los motores de los automóviles o las cadenas de las
bicicletas. En un boliche, las superficies sobre las que se lanzan las pelotas son muy lisas,
para reducir la fricción y hacer que la bola ruede mejor.
Es importante resaltar que el movimiento es relativo, por eso, cuando se menciona que un
cuerpo se mueve, hay que especificar con relación a qué se está moviendo, por ejemplo,
usualmente se toma la Tierra como sistema de referencia, pero la Tierra también se mueve
alrededor del Sol, y éste, junto con todo el sistema solar, alrededor del centro de la galaxia
y con relación a otras galaxias, etc.
Por esta razón, señalamos que el Vector que une el origen O
del sistema de referencia con el punto P del espacio en el
cual está la partícula se conoce como Vector de posición,
para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición
se identifica por el trío ordenado (x, y, z), que cuando lo
conocemos se conoce exactamente la posición de la
partícula, su ecuación es:
𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
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Cuando los cuerpos se mueven, tienen que recorrer un
camino, desde un punto inicial hasta un punto final, a ese
camino se le llama trayectoria. Por tanto, se puede decir
que la trayectoria es la línea que une las distintas
posiciones por las cuales pasa un móvil. Se clasificar en
rectilínea y curvilínea, veamos los siguientes ejemplos: Si
un carro en la Ciudad de Mérida fuera por la Avenida
Urdaneta entre Pie del Llano y el Aeropuerto, recorrería
una trayectoria recta, en cambio, si va desde Santa Juana a
la Urb. Carabobo tiene una trayectoria curva. Por otro lado
si al salir de la Vuelta y toma la Redoma y luego se avanza
por la avenida Universidad, su trayectoria es circular.
Por eso es que para que la gente maneje segura, en las carreteras y caminos se colocan
señales y signos que indican cómo es la trayectoria, para que los conductores estén
preparados
Expresión analítica del vector posición y sus componentes como función del tiempo.
Cuando un objeto se mueve su vector posición cambia con el tiempo, por lo que es función
del tiempo. La ecuación que expresa el vector de posición como una función del tiempo se
llama ecuación de posición:
𝒓 𝑡 = 𝒙 𝑡 𝒊 + 𝒚 𝑡 𝑗 + 𝒛 𝑡 𝒌
Las componentes del vector posición en función del tiempo x (t); y (t) y z (t) se las
denomina ecuaciones paramétricas de la trayectoria:
𝑥 = 𝒙 t
y = 𝒚 t
z = 𝒛(t)
Ecuaciones paramétricas de la trayectoria a partir del vector posición.
Las ecuaciones anteriores nos permiten determinar la posición del punto en un instante
cualquiera por medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres
ecuaciones es la expresión paramétricas de la trayectoria en función del tiempo.
Para determinar la ecuación analítica de la trayectoria bastaría eliminar el escalar tiempo
entre ellas lo que daría lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas: 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0
Las cuales representan evidentemente una línea, la trayectoria, definida como intersección
de dos superficies.
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Relación entre el vector posición y trayectoria, su expresión en el espacio, en el plano y
en una dirección.
Partiendo d la siguiente figura realizaremos el análisis el vector posición y trayectoria tal
como se puede ver, la posición de una partícula en un plano se describe con un vector de
posición r, trazado desde el origen de algún sistema de referencia hasta el punto donde se
localice la partícula.
En el tiempo ti la partícula se encuentra en un punto P, y en algún instante posterior tf la
partícula está en Q. Cuando la partícula se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo
∆t = tf − ti el vector de posición cambia de ri a rf, el vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial:
∆r = rf − ri En un espacio tridimensional, esta ecuación se expresa de la forma siguiente:
∆r = ∆xi + ∆yj + ∆ zk
Otro elemento importante que define
el movimiento es el desplazamiento,
en muchos casos confundimos
trayectoria y desplazamiento, pero como se observa en la siguiente
figura, la trayectoria corresponde a
lis diversas posiciones que ocupa la
partícula en la medida que se mueve,
mientras que el desplazamiento
corresponde a la longitud del
segmento orientado desde la posición
inicial hasta la posición final que
ocupa el móvil.
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Longitud recorrida sobre la
trayectoria, es la distancia recorrida, S,
a lo largo de la trayectoria, medida
siempre positivamente en la dirección
en que avanza la partícula,
analíticamente se representa con la
siguiente ecuación:
𝑨𝑩 = ∆𝑺 = 𝑆𝐴 − 𝑆𝐵
De manera general:
𝑆 = ∆ 𝑆𝑖
Y de forma analítica Cada ∆𝑆𝑖 se considera positiva, independientemente del signo de cada
desplazamiento:
∆𝑆𝑖 = ∆𝑥𝑖2 + ∆𝑦𝑖
2 + ∆𝑧𝑖2
En el límite: 𝑠 = 𝑑𝑠 donde 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2.
Se cumple que 𝑆 ≥ ∆𝑟 . En el SI se expresa en metros (m).
Velocidad instantánea; rapidez características, unidades.
Velocidad
Como se observa en la figura la velocidad
representa la rapidez con que un móvil
cambia de posición, en este caso se trata de
un movimiento unidimensional, es decir, la
velocidad de una partícula representa la
medida del cambio de su posición con
respecto al tiempo. Excepto que en un
plano, el cambio de posición involucra las
dos componentes del vector de posición.
Definimos la velocidad del móvil como la derivada del vector de posición con respecto del
tiempo: 𝒗 =𝑑𝑟
𝑑𝑡 En general el vector velocidad será también una función del tiempo:
𝒗 = 𝑣 𝑡
La velocidad es un vector. En el SI se expresa en metros por segundo (m/s).
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La velocidad promedio de una partícula se define
como la razón de su desplazamiento ∆𝑟 entre el
intervalo de tiempo transcurrido, ∆𝑡
𝒗 =∆𝑟
∆𝑡=
𝑟𝑓 − 𝑟𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
La velocidad promedio o velocidad media es una
cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆𝑟, mide el
desplazamiento por unidad de tiempo, a ritmo
constante, con el que se logra el mismo
desplazamiento en el mismo tiempo que el
movimiento real para el intervalo analizado.
La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio 𝒗 =∆𝑟
∆𝑡,
cuando ∆𝑡 tiende a 0, es decir: 𝑣 = lim∆𝑡→0∆𝑟
∆𝑡
La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto de una trayectoria está
a lo largo de la línea tangente a la trayectoria en ese punto y apunta en la dirección del
movimiento. Cuando el movimiento es rectilíneo se trabaja como un escalar, con 𝑣𝑥
como la única componente del vector velocidad: 𝑣 = 𝑣𝑥 donde 𝑣𝑥 =𝑑𝑥
𝑑𝑡.
Pero cuando analizamos movimientos curvilíneos el vector velocidad se expresa como:
𝑣 = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧
Donde: 𝑣𝑥 =𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡 y 𝑣𝑧 =
𝑑𝑧
𝑑𝑡.
Como ya se ha señalado, la velocidad instantánea es el Límite de donde se desprende que:
𝒗 = lim∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Con lo que la velocidad la definiremos:
𝒗 = 𝑑𝑟𝑑𝑡
La Rapidez es la magnitud del vector de velocidad instantánea, es decir, el módulo del
vector velocidad.
𝒗 = 𝑑𝑟
𝑑𝑡 ó 𝑣 =
𝑥
𝑡
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Vector aceleración media e instantánea, características, unidades.
Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está
acelerada.
Para realizar el análisis de la aceleración
describiremos la siguiente figura, en ella so
puede observar la trayectoria que sigue un
móvil, el cual varía su velocidad
instantánea pasando de la velocidad inicial
𝑣𝑖 a la velocidad final 𝑣𝑓 en un instante de
tiempo ∆𝑡, esto permite señalar que la aceleración promedio de la partícula es el
cociente entre la diferencia de la velocidad
instantánea y el intervalo de tiempo,
representado en la siguiente ecuación:
𝒂 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Siguiendo el análisis, señalaremos que la Aceleración Instantánea corresponde al límite de
la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
𝒂 = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Con lo que la aceleración la definiremos como: 𝒂 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad
respecto al tiempo. Sus características son:
1. La aceleración de una partícula que se mueve en un plano o en el espacio
tridimensional puede aparecer producida por tres circunstancias:
a. Cuando la magnitud del vector velocidad (la rapidez) cambia con el tiempo.
b. Cuando la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, aunque su
magnitud (rapidez) permanezca constante, ejemplo el movimiento circular.
c. Cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian. 2. La aceleración es un vector que apunta en la dirección en que cambia el vector
velocidad en cada instante, si es positiva aumenta la velocidad y si es negativa
disminuye la velocidad, es decir, se está frenando.
En el SI se expresa en metros por segundo cuadrado 𝑚
𝑠2.
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Componentes tangencial y normal de la aceleración.
Hasta el momento se ha utilizado para establecer la
posición de la partícula un sistema de referencia
ligado a tierra. Consideremos ahora otro sistema de
referencia: un sistema de referencia ligado a la
partícula, de manera que se mueve junto con ella a lo
largo de la trayectoria.
Los ejes coordenados de este sistema de referencia se
toman de forma que uno de ellos es tangente a la
trayectoria en cada instante, y el otro es perpendicular
a esa tangente. Se introducen, además, el vector
unitario tangente τ (tau) y el vector unitario normal N, éste último dirigido hacia la parte
cóncava de la curva, es decir, hacia el centro de la trayectoria. El vector τ se puede expresar
en función de la velocidad de la partícula, que también es tangente a la trayectoria, como:
𝝉 =𝒗
𝑣
Expresando la aceleración en función de τ:
𝒂 = 𝑑
𝑑𝑡 𝑣𝜏
De donde:
𝒂 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡𝜏 + 𝑣
𝑑𝜏
𝑑𝑡
El primer término 𝑑𝑣
𝑑𝑡 es la variación de la rapidez a lo largo de la curva, y tiene la dirección
del vector tangente, por tanto se denomina aceleración tangencial 𝑎𝑡 a la siguiente expresión:
𝑎𝑡 =𝑑𝑣
𝑑𝑡
Por otro lado se tiene que el vector dτ
dt tiene la dirección del vector unitario normal N, lo que
permite escribir:
dτ
dt=
dτ
dt 𝑵
Es decir, hasta el momento hemos logrado expresar la aceleración de la siguiente forma:
𝒂 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡𝜏 + 𝑣
dτ
dt 𝑵
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Relación entre: aceleración velocidad y los componentes normal y tangencial de la
aceleración.
Para continuar estudiando el vector dτ
dt,
analicemos la siguiente figura, se
percibe que la trayectoria podría
corresponder a una circunferencia, que
genera un triángulo isósceles el cual ∆τ
es el vector resultante de la diferencia
entre τ y 𝜏0, que partiendo del límite
cuando ∆𝑡 → 0, permite obtener la
expresión:
dτ
dt = lim
∆t→0 ∆τ
∆t ≈
∆τ
∆t
Como el segmento 𝑣𝑚∆𝑡, es componente principal del triángulo conjuntamente con R se
cumple que por la proporcionalidad entre lados homólogos de triángulos semejantes: ∆τ
vm ∆t=
τ
R=
1
R→
∆τ
∆t=
vm
R
Como ya se ha señalado que: dτ
dt ≈
∆τ
∆t
Entonces: dτ
dt=
vm
R por lo que se puede reescribir la aceleración como: 𝒂 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡𝜏 +
𝑣2
𝑅𝑵
Donde el término vm
R es la componente normal de la aceleración𝑎𝑁 , o simplemente,
aceleración normal.
En resumen, cuando nos referimos a un sistema de referencia que se mueve junto con la
partícula a lo largo de la trayectoria, es posible expresar la aceleración por la expresión:
𝒂 = 𝑎𝜏𝜏 + 𝑎𝑁𝑵
𝑎𝜏 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 ; 𝑎𝑁 =
vm
R
Es de hacer notar que 𝑎𝑁 es siempre positiva, mientras que 𝑎𝜏 puede ser positiva o
negativa, según sea que la partícula vaya aumentando o reduciendo su velocidad a lo largo
de la trayectoria.
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Movimiento rectilíneo uniforme.
Si 𝒂 =𝑑𝑣
𝑑𝑡= 0, entonces necesariamente 𝒗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
Si la velocidad es constante (módulo, dirección, sentido) el
movimiento tiene que ser a lo largo de una recta. Y en ese
caso resulta conveniente escoger el eje x de forma que
coincida con la dirección del movimiento.
Esto permite señalar que como la velocidad es
constante, el móvil recorre distancia iguales en
intervalos de tiempos iguales, si denotamos la
distancia como x y ∆𝑡 como t, entonces la
velocidad la podemos escribir como:
𝑣 =𝑥
𝑡
Si analizamos el movimiento en un intervalo en el cual se parte de una posición inicial 𝑥𝑖 y
𝑡𝑖 = 0, la expresión de la velocidad instantánea se reescribe de la forma siguiente:
𝒗 =∆𝑥
∆𝑡=
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Quedando:
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
En un movimiento con
aceleración constante en el
tiempo, la velocidad cambia a
razón constante, es decir, que
cuando el movimiento se
acelera la velocidad aumenta,
por el contrario se desacelera la
velocidad disminuye.
En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), el móvil realiza
variaciones de velocidades en intervalos de tiempos iguales:
𝒂 =∆𝑣
∆𝑡=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
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Pero, se señaló en párrafos anteriores y considerando la derivada como un cociente de
infinitesimales un instante antes de alcanzar el límite, tenemos: 𝒂 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
Es posible trabajar con los diferenciales como si fueran números reales. Por tanto,
despejando en la ecuación anterior: 𝑑𝑣 = 𝑎. 𝑑𝑡
La igualdad debe mantenerse cuando se integra a ambos lados de la expresión,
considerando que para el instante inicial 𝑡𝑖 la velocidad de la partícula tenía el valor 𝑡𝑖 y que la aceleración es constante y se puede sacar fuera de la integral:
𝑑𝑣
𝑣𝑓
𝑣𝑖
= 𝑎 𝑑𝑡
𝑣𝑓
𝑡𝑖
Integrando ambas expresiones y haciendo 𝑡𝑖 = 0, se llega a la ecuación de la velocidad en
el movimiento rectilíneo uniformemente variado:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 ± 𝑎. 𝑡
La función desplazamiento es la integral de la velocidad 𝒗 = 𝑑𝑥
𝑑𝑡, por tanto: 𝑑𝑥 = 𝒗. 𝑑𝑡
Al sustituir la ecuación del MRUV, en el despeje anterior:
𝑑𝑥 = 𝑣𝑖 ± 𝑎𝑡 𝑑𝑡 Al realizar la integración, obtiene:
𝑑𝑥
𝑥𝑓
𝑥𝑖
= 𝑣 ± 𝑎𝑡 𝑑𝑡
𝒕𝒊
𝒕𝒊
= 𝑣𝑑𝑡
𝒕𝒊
𝒕𝒊
± 𝑎 𝑡𝑑𝑡
𝒕𝒊
𝒕𝒊
La integración definida de la expresión anterior, considerando 𝑡𝑖 = 0 como se ha hecho anteriormente, conduce a:
∆𝑥 = 𝑣𝑖𝑡 ±1
2𝑎𝑡2 o 𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 ±
1
2𝑎𝑡2
En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, existen otras ecuaciones de interés,
entre ellas tenemos la que relaciona la variación de velocidad y la variación de los
desplazamientos:
𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖
2 ± 𝑎. ∆𝑥
Ecuación que no depende del tiempo y puede ser de utilidad en muchos casos.
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Caída libre de los cuerpos
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo
que la resistencia del aire no afecte su movimiento,
encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos
independientemente de su tamaño, forma o
composición, caen con la misma aceleración en la
misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta
aceleración, denotada por el símbolo 𝑔 , se llama
aceleración en caída libre.
Si bien hablamos de cuerpos en caída, los
cuerpos con movimiento hacia arriba
experimentan la misma aceleración en
magnitud y dirección. El valor aproximado de
la aceleración de la gravedad en caída libre es
𝑔 = 9,81𝑚
𝑠2, pero este valor varía con la
latitud y con la altitud.
Las ecuaciones vistas en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado pueden ser
aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones, establecemos la dirección de la
caída libre como el eje 𝒚; se reemplaza en las ecuaciones a la aceleración por−𝑔, quedando, de la forma siguiente:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 − 𝑔. 𝑡
∆𝑦 = 𝑣𝑖𝑡 −1
2𝑔𝑡2 𝑜, 𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖𝑡 −
1
2𝑔𝑡2
𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖
2 − 𝑔. ∆𝑡
Hasta ahora se han analizado los movimientos de forma horizontal y vertical, pasemos a
revisar los movimientos en el plano con los lanzamientos parabólicos.
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Movimiento Parabólico
Cualquiera que haya observado una pelota de
béisbol, un balón de futbol o de baloncesto en
movimiento (o cualquier objeto lanzado al
aire) ha observado el movimiento parabólico,
entonces, llamaremos movimiento parabólico
a la trayectoria de un objeto que describe un
vuelo en el aire después de haber sido lanzado
desde un punto cualquiera en el espacio.
Esta forma muy común de movimiento es
sorprendentemente simple de analizar si se
hacen la siguiente suposición, si el objeto
tiene una densidad de masa suficientemente
grande, podemos despreciar la resistencia
del aire y suponer que la aceleración del
objeto es debida sólo a la gravedad.
Este movimiento se caracteriza por ser
compuesto, ya que cuando el proyectil va de
subida posee un movimiento retardado en la
vertical y un MRU en la horizontal y cuando
el proyectil va de bajada, posee un
movimiento acelerado en la vertical y un
MRU en la horizontal, vamos a definir el eje x
como horizontal y el eje y en la dirección
vertical hacia arriba.
Analizando la figura anterior podemos deducir que este movimiento se caracteriza por los
siguientes parámetros:
𝑣0: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙; 𝜃: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑦𝑚á𝑥 : 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙, 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆𝑦
𝑥𝑚á𝑥 : 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙, 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆𝑥
𝑡𝑚á𝑥 : 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
𝑡𝑣: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Al realizar la descomposición de la velocidad inicial, como se
aprecia en la figura se obtiene que sus componentes sean:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 y 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃
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Movimiento en la horizontal, es decir, en el Eje x
Como en este tipo de movimiento la única aceleración que actúa es la de la gravedad, que
no tiene componente en el eje x, como ya se ha señalado, el movimiento en el eje x es con
velocidad constante, a lo largo de una recta, por tanto, las expresiones a utilizar son las
mismas del Movimiento Rectilíneo Uniforme, tomando la componente de la velocidad
inicial a lo largo del eje x:
1. La velocidad en cualquier punto de la trayectoria:
𝑣𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃
2. La recorrido en cualquier punto de la trayectoria:
∆𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 . 𝑡
3. Alcance máximo:
𝑥𝑚á𝑥 =𝑣0
2 sin 2𝜃
𝑔 ó 𝑥𝑚á𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃 . 𝑡𝑣
Movimiento en la vertical, es decir, en el Eje y
En este eje se ve fácilmente que las expresiones serán las mismas que las de caída Libre
(movimiento en el eje y con aceleración de la gravedad), donde:
1. La velocidad en cualquier punto de la trayectoria, tomando en cuenta que cuando
sube es negativo:
𝑣𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 ± 𝑔. 𝑡 2. La altura en cualquier punto de la trayectoria, tomando en cuenta que cuando sube
es negativo:
∆𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃 𝑡 ±1
2𝑔𝑡2
3. Tiempo máximo y tiempo de vuelo:
𝑡𝑚á𝑥 =𝑣0 sin 𝜃
𝑔
𝑡𝑣 = 2𝑡𝑚á𝑥 , 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑡𝑣 =2𝑣0 sin 𝜃
𝑔
4. Altura máxima:
𝑦𝑚á𝑥 =𝑣0
2 sin2 𝜃
2𝑔
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Velocidad relativa.
Volvamos a la siguiente figura, como
podemos observar, existen dos sistemas de
referencia, uno debido un observador fuera
del móvil y otro en él, cuando un objeto cae
del un móvil la descripción del movimiento
que proporciona un observador en el móvil
usualmente difiere de la descripción que
ofrece un observador en tierra.
El observador en el móvil verá que el objeto se aleja de
sí en línea recta hacia la tierra, mientras que el
observador en tierra verá que sigue al móvil en su
movimiento, describiendo una parábola.
Interesa, por tanto, encontrar la relación que hay entre el movimiento visto por ambos
observadores. Con este fin, consideraremos una partícula en movimiento y dos sistemas de
referencia, uno fijo a tierra 𝑆 𝑥, 𝑦 y otro ligado a un sstema móvil 𝑆′ 𝑥′ , 𝑦 ′ que se mueve
con velocidad constante respecto al sistema fijo 𝑆.
Como se observa en la figura, los vectores 𝒓 y 𝒓′ son los vectores de posición de la partícula P respecto a cada sistema
de referencia. El vector 𝒓𝜇 es el vector de posición del
sistema móvil respecto al sistema fijo. Según las reglas de la
suma de vectores, 𝒓 = 𝒓′ + 𝒓𝝁.
Como la partícula está en movimiento, y el sistema móvil
suponemos que se mueve con velocidad constante, los tres
vectores están variando continuamente su posición con el
transcurso del tiempo.
Derivando en la expresión anterior con respecto al tiempo, se obtiene: 𝒅𝒓
𝒅𝒕=
𝒅𝒓′
𝒅𝒕+
𝒅𝒓𝝁
𝒅𝒕
𝒗 = 𝒗′ + 𝒗𝒓 Donde: 𝒗 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑆 𝒗′ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝑆′
𝒗𝒓 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑚ó𝑣𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑆, 𝑜 𝑣𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.