Repaso Factorice completamente cada
polinomio:
4x – 3y – 12ax + 9ay
3x2 + 6x −5xy −10y
8a2 + 24a − 4a −12
Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c
Factorización de trinomios
Sea x2 + bx + c un trinomio con
coeficientes racionales, donde
• b se llama coeficiente lineal
• c se llama coeficiente constante
entonces x2 + bx + c factoriza si
x2 + bx + c = (x + n)(x + m)
donde
• n y m son factores de c
• m + n es igual a b.
Factorización de trinomios
Ejemplos: Factorice
a) x2 + 8x + 12
elegimos los valores de m y n tal que su producto sea 12 y su suma sea 8.
x2 + 8x + 12 = ( )( )
= (x + m)(x + n)
Esos números son , por lo que
Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,
tienen la forma
ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0
• Ejemplos:
22 25 12x x 24 6 2z z
32 − 12𝑥 − 8𝑥2
Ejemplo con tanteo Factorice completamente:
factores de 9:
factores de 4:
Las posibles combinaciones son:
Por lo tanto la factorización correcta es,
4159 2 xx
1(9) 3(3)
1(4) 2(2)
(9 4)( 1)x x
(9 1)( 4)x x
(9 2)( 2)x x
(3 2)(3 2)x x
(3 1)(3 4)x x
4159 2 xx =
Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 --- método AC
Un trinomio cuadrático
ax2 + bx + c
factoriza si existen factores de (a)(c) que
sumen b.
O sea que, a diferencia de los casos
anteriores, debemos tomar en
consideración el valor del coeficiente a.
Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 – método AC
Ejemplo: Factorice 6𝑥2+𝑥 − 15
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)
= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)
En este trinomio a= 6, b = 1, c= -15 y ac = -90
Buscamos dos números cuyo producto sea -90 y que sumen 1
Esos números son 10 & -9, por lo que
6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15
Práctica
Factorice cada polinomio:
a) 10x2 + 31x + 15
b) 12w2 – 11w + 2
c) 32 − 12p − 8p2
d) 6y2 + 23y + 20
e) 25a2 + 3a – 2
Factorice completamente: 4z2 – 6z + 2
• Observar existen un factor común en los términos • El factor común es 2 • 2(2z2 – 3z + 1) • Debemos ver si el trinomio cuadrático que queda es factorizable • a=2, b= -3, c = 1, ac=2 • Buscamos factores de 2 que sumen -3 • Los factores son: -2 y -1 = 2z2 – 2z – z + 1 = 2z(z – 1) – 1(z – 1)
= (z – 1)(2z – 1)
Por lo tanto, 4z2 – 6z + 2 = 2(z – 1)(2z – 1)
Ejemplo: Factorice completamente
6r2 + 12rs − r −2s
• Máximo común divisor es 1.
• Seguiremos por agrupación
• 6𝑟2 + 12𝑟𝑠 − (𝑟 + 2𝑠)
• 6𝑟 𝑟 + 2𝑠 − 1 𝑟 + 2𝑠
• (𝑟 + 2𝑠) 6𝑟 − 1
• Por lo que la factorización completa es
6r2 + 12r − r −2s = (r + 2s)(6r − 1)
Factorización de trinomios
Factorice completamente: -x2 – 19xy + 42y2
Tratemos de factorizar el polinomio cuadrático
restante.
Se necesitan dos números cuyo producto sea
-42 y cuya suma sea 19
-(x2 + 19xy – 42y2) = -(x + 21y)(x + -2y)
Esos números son 21 & -2, por lo que
= -(x + 21y)(x – 2y)
Nota: MCD de los términos es -1
-x2 – 19xy + 42y2 = -(x2 + 19xy – 42y2)
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