Fractal generat amb ordinador per l’alumne Guillermo Cifre
QUADERN D’EXERCICIS MATEMÀTIQUES 2n ESO
GRUP: ______
NOM : __________________________________________________________
2
INSTITUT ANTONI MAURA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
ORIENTACIONS ACADÈMIQUES
NOM MATÈRIA : MATEMÀTIQUES
CURS : 2n ESO
PROFESSORS:
1. INTRODUCCIÓ GENERAL
Programació de matemàtiques curs 2012-2013
2. UNITATS DIDÀCTIQUES I CONTINGUTS
UNITATS CONTINGUTS
1) Nombres decimals, sistema
mètric decimal i sistema
sexagesimal
Repàs d’operacions amb nombres decimals. Sistema mètric decimal. Sistema sexagesimal.
2) Nombres enters Representació en la recta numèrica. Utilitat i operacions amb enters. Prioritat d’operacions i operacions combinades. Regla de signes. Problemes.
3) Potències d’exponent enter Definició. Operacions i propietats. Arrels quadrades exactes.
Notació científica.
4) Divisibilitat Màxim comú divisor i mínim comú múltiple. Problemes
5) Fraccions Definició i operacions. Operacions combinades. Problemes.
6) Proporcionalitat Concepte de magnitud. Magnitud directament proporcional i
inversament proporcional. Regla de tres simple directa.
Percentatges a partir de la regla de tres simple directa. Regla de
tres inversa. Regla de tres composta. Repartiment proporcionals
directes i inversos.
7) Llenguatge algebraic Llenguatge algebraic. Monomis i polinomis: concepte i operacions(
suma , resta multiplicació i divisió amb divisor un monomi). Valor
numèric d’un polinomi. Identitats notables i factor comú.
8) Equacions Definició. Resolució d’equacions de primer grau senzilles, amb
parèntesis i denominadors. Problemes. Equacions de segon grau.
9) Sistemes d’equacions. Sistemes de equacions. Resolució de forma algebraica pels tres
mètodes i de forma gràfica ( Taula funcions ). Problemes
10) Funcions Concepte de funció. Formes de representar una funció. Taules i
gràfics de funcions. La funció de proporcionalitat directa, constant i
afí.
11) Semblança. Semblança. Teorema de Thales. Mapes i escales. Teorema de
Pitàgores
12) Geometria plana i de l’espai. Repàs de geometria plana. Classificació dels cossos geomètrics.
Àrees i volums dels cossos geomètrics. Problemes de la vida
quotidiana.
3
INSTITUT ANTONI MAURA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
3. TEMPORITZACIÓ
TRIMESTRE UNITATS PROGRAMADES
PRIMER 11, 12, 10(*) i 6(*)
SEGON 2, 3, 4, 5 i 1(*)
TERCER 7, 8 i 9 (**)
(*) Aquests temes es donaran transversalment durant el trimestre. (**) Aquest tema es realitzarà només en cas de que hi hagi temps suficient al final del curs.
4. CRITERIS D’ AVALUACIÓ I QUALIFICACIÓ
1. Proves escrites amb nota , amb observació especial de les estratègies utilitzades. Es passaran proves de temes o de part d’ells quan sigui necessari observar si van assolint els coneixements que es pretén a cada tema. De vegades aquestes proves podran incloure exercicis de temes anteriors, de tal manera que serviran per anar recuperant les mancances al llarg del curs.
2. Observació dels hàbits de treball :la feina realitzada en casa i a classe, així com el quadern augmentaran o disminuiran el promig de la puntuació obtinguda en les proves escrites.
3. Observació de la participació i actitud front a la matèria
Per a obtindre la qualificació de cada trimestre els percentatges que donaran la nota final seran els següents:
PERCENTATGE EN LA NOTA DE L’AVALUACIÓ
Nivells alt i mitjà Nivell baix
Proves escrites realitzades 70% 50%
Treball a l’aula i a casa i quadern 15% 25%
Actitud i participació 15% 25%
Pel que fa a la recuperació de matemàtiques pendents de 1r d’eso:
A finals de gener, el professor podrà decidir, en base a la feina desenvolupada, si l’alumne aprova la matèria de 1r. Si no aprova, durant aquest mes hi haurà un examen dels continguts de la matèria corresponent. L’alumne haurà d’estar informat pel professor de la matèria sobre aquests continguts. A finals del mes d’abril hi haurà un altre examen pels alumnes que no hagin aprovat al mes de gener. En les dues convocatòries, de gener i d’abril, els alumnes disposaran d’una fitxa per repassar i que contarà 1 punt si la lliuren abans de l’examen.
Si l'alumne aprova la matèria de 2n, li queda aprovada la matèria pendent corresponent a 1r.
Si l’alumne NO aprova la matèria de 2n al juny, al setembre farà recuperació de 2n ESO i de 1r ESO.
5. CRITERIS DE RECUPERACIÓ DE LA MATÈRIA
Per recuperar la matèria al llarg del curs, cada professor, per Nadal i Pasqua, lliurarà als alumnes treballs amb continguts acumulats. A més, cada professor té llibertat per fer recuperacions per temes o trimestres. I finalment, a final de curs tots els alumnes suspesos, es podran presentar a un examen de recuperació global al juny. En aquesta convocatòria també es podrà pujar nota.
Per recuperar la matèria al setembre, els alumnes presentaran les tasques d’estiu (que contaran 1 punt) i faran l’examen corresponent de la convocatòria
6. MATERIAL I RECURSOS DIDÀCTICS Quadern d’exercicis elaborat pel departament de matemàtiques
Quadern sense espiral
Plàstic per guardar fotocòpies
Calculadora científica
4
UNITAT 1: NOMBRES DECIMALS. SISTEMA MÈTRIC
DECIMAL I SISTEMA SEXAGESIMAL
1. NOMBRES DECIMALS
1.1 ORDENACIÓ I REPRESENTACIÓ A LA RECTA REAL
1.2 TIPUS DE NOMBRES DECIMALS
1.2.1 EXACTES
1.2.2 PERIÒDICS
1.2.3 NO EXACTES NI PERIÒDICS
1.3 OPERACIONS
1.3.1 SUMA I RESTA
1.3.2 MULTIPLICACIÓ
1.3.2 DIVISIÓ
1.4 PROBLEMES
2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL
2.1 UNITATS DE LONGITUD
2.2 UNITATS DE MASSA
2.3 UNITATS DE CAPACITAT
2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE
2.5 UNITATS DE VOLUM
2.6 RELACIONS
2.7 PROBLEMES
3. SISTEMA SEXAGESIMAL
3.1 OPERACIONS
3.1.1 SUMA I RESTA
3.1.2 MULTIPLICACIÓ
3.1.3 DIVISIÓ
3.2 EXPRESSIONS COMPLEXES I INCOMPLEXES
3.2.1 PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX
3.2.2 PAS D’INCOMPLEX A COMPLEX
4. AUTOAVALUACIÓ
5
1. NOMBRES DECIMALS
1.1 ORDENACIÓ I REPRESENTACIÓ A LA RECTA REAL
Recordarem que els nombres decimals són nombres amb dues parts:
La part sencera (davant de la coma).
La part decimal (darrera de la coma).
Exemple: 3’25
Part sencera:3
Part decimal: 25
Suposem que recordes llegir nombres decimals:
MIL
ER
S
CE
NT
EN
ES
DE
SE
NE
S
UN
ITA
TS
DÈ
CIM
ES
CE
NT
ÈS
IME
S
MIL
·LÈ
SIM
ES
DE
UM
IL·L
ÈS
IME
S
CE
NT
MIL
·LÈ
SIM
ES
MIL
ION
ÈS
IME
S
2 5
1 2 3 5
2’5 dos unitats cinc dècimes
12’35 dotze unitats trenta-cinc centèsimes
També cal recordar que:
Entre dos nombres decimals hi ha infinits decimals.
Exemple: entre 2’5 i 2’6 estan el 2’52, 2’512, 2’59...
Els nombres decimals queden ordenats en la recta real.
Exemple: Els següents nombres decimals ordenats damunt la recta:
3’1 2’9 3’15 3’3
PRIMER: posarem els enters
SEGON: Dividirem en deu unitats cada tros entre enters, per col·locar els
decimals amb una xifra decimal.
6
TERCER: Dividirem en deu unitats cada segment entre els decimals amb
una xifra decimal, per col·locar els decimals amb dues xifres decimals
Finalment, quedarà de la següent forma:
1. Escriu els següents nombres decimals: 25 centèsims, 4 unitats 124 mil·lèsims, 78
unitats 2 dècims, 1025 unitats 25 mil·lèsims.
2. Completa amb el signe “<”, “>” o “=”:
1’48 .....1’5 2’1.... 2’01 0’8.....0’80
3. Ordena del més petit al més gran, i col·loca’ls a la recta real:
2’1 2’01 12’1 2’12 2’11
4. Escriu els següents nombres decimals i ordena’ls dels més gran al més petit: 3
dècims, 30 mil·lèsims, 33 mil·lèsims i 303 mil·lèsims.
5. Les altures assolides per tres saltadors en una competició són 2’35 m; 2’38 m i 2’32
m. Indica quina és la millor marca i quina és la pitjor.
6. Ordena aquests nombres decimals de més gran a més petit, i col·loca’ls a la recta real.
0’375 ; 0 ; 0’38 ; 2’50 ; 0’7 ; 0’3 ; 2’4 ; 1 ; 2 ; 2’490
7. Intercala dos nombres decimals entre cada parella de nombres.
a) 0’75 < ................ < ................< 0’76
b) 1’2 < ................ < ................ < 1’4
c) 1’2 < ................ < ................... < 1’3
d) 2’345 < ........................<..........................< 2’346
e) 0’1 < ....................... < ......................< 0’2
1.2 TIPUS DE NOMBRES DECIMALS
1.2.1 EXACTES
Els nombres decimals exactes són nombres decimals que tenen un
nombre limitat de xifres decimals.
Exemple: 2’5
12’368
7
1.2.2 PERIÒDICS
Els nombres decimals periòdics són nombres decimals que tenen un
nombre il·limitat de xifres decimals que es repeteixen.
Exemple: 2’ 5
=2’55555...
12’368
=13’368888...
35’ 5
6
=35’56565656...
Hi ha dos tipus de decimals periòdics:
Decimal periòdic pur: si després de la coma la part decimal és una
part periòdica.
Decimal periòdic mixt: si després de la coma hi ha una part
decimal no periòdica i una part decimal periòdica.
Exemple: : 2’5
=2’55555... decimal periòdic pur
12’368
=13’368888...decimal periòdic mixt
35’ 5
6
=35’56565656...decimal periòdic pur
1.2.3 NO EXACTES I NO PERIÒDICS
Els nombres decimals no exactes i no periòdics són nombres decimals
que tenen un nombre il·limitat de xifres decimals no periòdiques.
Exemple: 2’5351...
12’36213...
7
8. Classifica els següents nombres:
2’3 3
2 10’23232323… 6’8121212 15’2 3
52’010010001… 81’ 6
2
1 13’52333…. 5 1’0002
EXACTES PERIÒDICS PURS PERIÒDICS
MIXTS
NO EXACTES I
NO PERIÒDICS
8
9. Completa la taula, posant exemples:
EXACTES PERIÒDICS PURS PERIÒDICS
MIXTS
NO EXACTES I
NO PERIÒDICS
1.3 OPERACIONS
1.3.1 SUMA I RESTA
Per sumar o restar nombres decimals hem de fer coincidir els ordres
d’unitats corresponents. És a dir, les comes dels nombres decimals que
sumen o resten ha d’estar en la mateixa columna.
Exemple: 12’123
+ 6’2
18’323
10. Realitza les operacions següents:
a)
7 8 5 4
6 9 8 5
3 4 8 6
9 5 4 3
2 8 6 5
9 7 0 3
b)
2 7 ‘ 5 2
6 9 0
7 5 ‘ 0 9
9 8 9 ‘ 2 5
8 7 4 ‘ 2 7
+ 3 7 8 ‘ 2
c) 9 7 5 ‘ 4 8 6
- 2 5 ‘ 4 9 8
d) 9 5 0 5 ‘ 4 3
- 3 7 8 5 ‘ 2
11. Resol aquestes operacions indicades:
a) 572’61 + 7’25 + 499’6 + 619 + 4’502 =
b) 3957 – 0’5468 =
c) 74’378 + 5768 + 0’612 + 495’264 + 453’02 =
d) 5 797’25 – 475’67502 =
9
1.3.2 MULTIPLICACIONS
Per multiplicar nombres decimals hem de multiplicar com si fossin enters,
i després, el resultat es separen comptant de dreta a esquerra tantes xifres
com decimals hi ha entre tots els factors.
Exemple: 12’123
x 6’2
24246
+ 72738
75’ 1626
12. Resol aquestes operacions:
a) 2’35 · 3’5 =
b) 7’05 · 1’9 =
c) 15’08 · 35’42 =
d) 7’81 · 6’732 =
e) 14’87 · 9’42 =
13. Resol mentalment:
a) 2’35 · 10 =
b) 78’522 ·100 =
c) 0’54 ·1000 =
d) 123’005 ·100 =
e) 15’58 · 10 =
1.3.3 DIVISIÓ
Per dividir nombres decimals:
si al divisor no hi ha nombres decimals has de dividir com si
fossin enters, i després, el resultat es separen comptant de dreta a
esquerra tantes xifres com decimals hi ha al dividend.
Exemple: 3’2 : 5 =0’64
12’3 : 2 = 6’15
si al divisor hi ha nombres decimals has de multiplicar el dividend
i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com xifres
decimals hi hagi al divisor. Una vegada realitzada la
transformació, has de dividir com en el cas anterior.
Exemple: 2’31 : 0’5
23’1 : 5 = 4’62
10
14. Resol aquestes operacions indicades:
a) 2’35 : 3’5 =
b) 7’05 : 1’9 =
c) 15’08 : 35 =
d) 7’81 : 6 =
e) 14’8712 : 9’42 =
15. Resol mentalment:
a) 245’8 : 10 =
b) 34’86 : 10000 =
c) 6345 : 1000 =
d) 0’814 : 100 =
16. Resol mentalment:
a) 2’35 · 0’1 =
b) 78’522 · 0’01 =
c) 0’54 · 0’001 =
e) 123’005 ·0’1 =
f) 15’58 ·0’001 =
17. Calcula:
a) 5’6 · 3’7 + 2’1 – 0’4 =
b) 85’2 – 8’7 · 5’65 – 7’96 =
c) 106’78 – 4’7 · 21’4 – 5’4 =
d) 8’75 – 2’54 · 6’7 : 4’2 =
e) 458’43 + 21’56 – 23’8 · 0’9 =
f) 12’7 + 2’56 · 4’5 – 2’37 =
18. Efectua:
a) (6’2 + 3’8) · 6’5 =
b) 7’6 · (23’5 – 8’7) – 2’75 =
c) 12’4 : 0’2 – (2’7 +1’05) · 3 =
d) (28’6 – 3’2) : (0’21 + 4’3) =
e) (2’5 + 3’7) · (45’6 – 12’5) =
1.4 PROBLEMES
19. La Nerea feia 1’47 m d’alçada el curs passat i ara la seva estatura és d’1’53m.
Quants centímetres ha crescut en un any?
20. Un edifici format per planta baixa i 7 pisos té una altura de 29’52 m. Calcula l’altura
de cada pis si la planta baixa fa 3’56 m d’altura.
21. Un automòbil de turisme té una tara de 1030 kg i un pes màxim autoritzat de 1495
kg. Si transporta 5 passatgers amb masses de 67’8 kg, 82’5 kg , 73’2 kg, 56’3 kg i 64’3
kg, quina és la massa que pot carregar com a equipatge?
22. Una caixa amb 24 llaunes de conserva té una massa de 12’734 kg. Quina és la massa
aproximada de cada llauna?
23. Quantes ampolles de llet de 0’75 litres es poden omplir amb la llet d’un bidó de
24’75 litres ?
24. Traiem 1’06 kg d’arròs d’una bossa que en conté 2’5 kg. Calcula la massa d’arròs
que queda a la bossa. Si repartim la resta de l’arròs en unes altres tres bosses, quina
quantitat d’arròs hi haurà en cadascuna d’aquestes bosses?
11
25. Una corda de 5’36 m de llargària es divideix en trossos de 0’7 m cadascun. Calcula
quants trossos s’obtindran i quina llargària de corda sobrarà. I si els trossos són de 0’8
m de llargària?
26. Una persona rep 25’72 euros i 37’28 dòlars. Si gasta 1250 cèntims d’euro i 1 euro
equival a 1’169 dòlars, expressa de quants diners disposa al final.
a) En euros, b) En dòlars.
27. Per a muntar una instal·lació elèctrica en una casa es necessiten 98’7 m de cable
elèctric. Si cada metre i mig costa 12’8 cèntims d’euro, quant costarà el cable necessari?
2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL
2.1 UNITATS DE LONGITUD
La longitud serveix per mesurar la distància entre dos punts, per exemple:
la distància que hi ha entre la teva casa i l’institut. La unitat principal de
longitud és el metre. El metre té unitats múltiples i submúltiples:
MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES
Quilòmetre (Km) Decímetre (dm)
Hectòmetre (hm) Centímetre (cm)
Decàmetre (dam) Mil·límetre (ml)
Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:
km
hm
dam ·10
m
:10 dm
cm
mm
Per passar a una unitat inferior (baixar), hem de multiplicar per 1 seguit
de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de km a
m hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 1000.
3 Km = 3000m, ja que, 3·1000=3000
1,5m= 150cm, ja que, 1,5·100=150m
Per passar a una unitat superior (pujar), hem de dividir per 1 seguit de
tants zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de cm a m hem
de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 100.
175cm= 1,75m, ja que 175:100= 1,75
5600m= 5,60km, ja que, 5600:1000=5,6
12
28. Les estatures d’aquestes persones són:
1’78 m; 1’87 m; 2’06 m; 1’90 m; 1’09 m; 2’11 m
Quina estatura correspon a cada una d’aquestes persones?
29. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:
a) 34 cm = .............. m b) 452 km = .............. m
c) 342 m = .............. hm d) 43’56 m = ................... mm
e) 32’45 km = ..................... cm f) 12.000 mm = ............... m
g) 89 cm = .................. dam h) 0’1 hm = ................. cm
30. Completa aquesta taula:
4’75 m 4 m i 75 cm
1’475 m 1 m i 475 mm
32’5 m
2 m i 5 cm
5’15 m
12 m i 30 cm
0’6 m
32 cm
0’046 m
31. Relaciona amb fletxes les columnes A i B:
A B A B
0’5 m 0’05 km 1’2 dm 1200 m
5 m 5 dm 12 hm 12 cm
50 m 50 dm 120 m 12 cm
0'05 m 0’5 km 0’12 m 0’12 km
500 m 5 cm 0’012 km 12 m
32. Ordena del més gran al més petit:
4 dm; 0’3 dam; 90 mm ; 120 m ; 0’7 km
33. Efectua les operacions següents:
a) 21 dm + 37 cm =
b) 700 dm + 0’4 km =
34. Transforma en decímetres aquestes quantitats:
1 m, 5 m, 12 m, 37 m, 0’3 m, 0’35 m
13
2.2 UNITATS DE MASSA
La massa és la quantitat de matèria continguda dins un cos, per exemple:
la quantitat d’arròs que hi ha dins una bossa. La unitat principal del
sistema mètric decimal que emprem per mesurar la massa és el gram.
El gram, com el metre, té múltiples i submúltiples:
MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES
Tona (T) Decígram (dg)
Quintal (Q) Centígram (cg)
Miriagram (Mg) Mil·ligram (mg)
Quilogram (Kg)
Hectogram (hg)
Decàgram (dag)
Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:
T
Q
Mg
kg
hg
dag ·10
g
dg
:10 cg
mg
Per passar a una unitat inferior (baixar), hem de multiplicar per un 1
seguit de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de
hg a dg hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 1000.
2hg= 2000dg
9,5kg=9500g
Per passar a una unitat major (pujar), hem de dividir per 1 seguit de tants
zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de mg a dag hem de
pujar quatre escalons, aleshores hem de dividir per 10000.
3000mg= 0,3dag
1500g=1,5kg
35. Passa a la unitat indicada:
a) Passar 3’2 kg a grams
b) Passar 655 dg a hectograms
c) Passar 4.300 dag a quilograms
d) Passar 2’7 grams a mil·ligrams
e) Passar 0’35 T a hectograms
36. Aparella les etiquetes següents segons tinguin la mateixa massa:
0’5 T 1.500 mg 0’5 kg 500 kg 1.500 kg 1’5 g 1’5 T 500 g
14
37. Completa les igualtats següents:
3 kg = .......... hg 25 dg = .......... mg 376 g = .......... hg
50 g = .......... kg 750 g = .......... kg 0’5 kg = .......... g
0’75 kg = .......... g 5 hg = .......... g 467 cg = .......... g
7.682 mg = .......... g 500 g = .......... kg 0’25 kg = .......... g
2.250 g = .......... kg 1’25 kg = .......... g
38. Relaciona les columnes A i B.
A B A B
15 g 1.500 g 2 kg 2.000 cg
1’5 kg 1.500 cg 0’2 t 0’002 T
150 mg 1’5 dg 20 g 200 kg
39. Escriu el resultat amb el nom de la unitat corresponent:
Multiplicar
T Qm Mg kg hg dag g dg cg mg
Dividir
a) 5 T = 50 Qm i) 6 kg = 600 dag
b) 3 dag = 300 .......... j) 10 cg = 1 ..........
c) 8 dg = 800 .......... k) 4 Mg = 4.000 ..........
d) 9 kg = 9.000 .......... l) 6 Qm = 600 ..........
e) 300 hg = 3 .......... m) 2.000 g = 2 ..........
f) 5.000 mg = 5 .......... n) 54 hg = 5.400 ..........
g) 3 kg = 30.000 .......... ñ) 9 dg = 900 ..........
h) 400 mg = 4 .......... o) 5.000 cg = 50 ..........
2.3 UNITATS DE CAPACITAT
La unitat principal de capacitat en el sistema mètric decimal és el litre. El
litre, com el metre i el gram, té múltiples i submúltiples:
MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES
Quilolitre (Kl) Decilitre (dl)
Hectolitre (hl) Centilitre (cl)
Decalitre (dal) Mil·lilitre (ml)
Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:
kl
hl
dal ·10
l
:10 dl
cl
ml
Per passar a una unitats inferior (baixar), hem de multiplicar per un 1
seguit de tants de zeros com escalons baixem. Per exemple: per passar de
de l a cl hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar per 100.
0’5l= 50cl
15
Per passar a una unitat superior (pujar), hem de dividir per un 1 seguit de
tants zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar de ml a l hem de
pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 100.
3000ml=3l
40. Ordena del més gran al més petit:
40 dl; 0’3 dal; 9 ml ; 120 l ; 7 kl
41. Efectua les operacions següents:
a) 2’1 dl + 370 cl =
b) 70 dl + 4 kl =
42. Transforma en decilitres aquestes quantitats:
1 ml, 5 cl, 12 ml, 37 dal, 0’3 hl, 0’35 kl
43. Completa les igualtats següents:
30 kl = .......... hl 2’5 dl = .......... ml 376 ml = .......... hl
500 l = .......... kl 75 l = .......... kl 0’5 kl = .......... l
75 kl = .......... l 50 hl= .......... l 46’7 cl = .......... l
7.682 ml = .......... l 50 l = .......... kl 25 kl = .......... l
2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE
La unitat principal de mesura de superfície és el metre quadrat. El seu
símbol és: m2.
El metre quadrat té múltiples i submúltiples:
MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES
Quilòmetre quadrat (Km2) Decímetre quadrat (dm
2)
Hectòmetre quadrat (hm2) Centímetre quadrat (cm
2)
Decàmetre quadrat(dam2) Mil·límetre quadrat (ml
2)
Per passar d’una unitat a una altra utilitzem una escala:
km2
hm2
dam2
·100
m2
:100 dm2
cm2
mm2
Per passar a una unitat més petita (baixar), hem de multiplicar per un 1
seguit de dos zeros tantes vegades com escalons baixem. Per exemple: per
passar de km2 a m
2 hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar
per 1000000.
Per passar a una més gran (pujar), hem de dividir per un 1 seguit de dos
zeros per cada escaló que pugem. Per exemple: per passar de cm2 a m
2
hem de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 10000.
44. Indica la unitat que faries servir per mesurar:
a) La superfície d’un camp de futbol.
b) La superfície d’un full de paper.
16
c) La superfície de l’oceà Atlàntic.
d) La superfície d’un pis.
e) La superfície d’un segell de correus.
f) La superfície d’un mocador de paper.
45. Expressa 85 m2 5 dm
2 23 cm
2:
a) en m2.
b) en dam2.
c) en dm2.
46. Expressa en m2:
a) 16 dam2 6 m
2 3 dm
2.
b) 51 hm2 2 dam
2.
47. Expressa en cm2:
a) 2 m2 48 dm
2
b) 6 dm2 4 mm
2
c) 1 dm2 2 cm
2
d) 19 cm2 1 mm
2
2.5 UNITATS DE VOLUM
El volum és el espai ocupat per un cos. La unitat principal de mesura de
longitud és el metre cúbic. El seu símbol és: m3.
El metre cúbic té múltiples i submúltiples:
MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES
Quilòmetre cúbic (Km3) Decímetre cúbic (dm
3)
Hectòmetre cúbic (hm3) Centímetre cúbic (cm
3)
Decàmetre cúbic (dam3) Mil·límetre cúbic (ml
3)
Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:
Km3
hm3
dam3
·1000
m3
:1000 dm2
cm3
mm3
Per passar a una unitat més petita (baixar), hem de multiplicar per un 1
seguit de tres zeros tantes vegades com escalons baixem. Per exemple: per
passar de km3 a m
3 hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de multiplicar
per 1000000000.
2,8km3=2800m
3
Per passar a una unitat més gran (pujar), hem de dividir per un 1 seguit
de tres zeros per escaló que pugem. Per exemple: per passar de cm3 a m
3
hem de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir per 1000000.
256cm3= 0,000256 m
3
48. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:
a) 34 cm3 = .............. m
3 b) 452 km
3 = .............. m
3
c) 342 m3 = .............. hm
3 d) 43’56 m
3 = ................... mm
3
17
e) 32’45 km3 = ..................... cm
3 f) 12.000 mm
3 = ............... m
3
g) 89 cm3 = .................. dam
3 h) 0’1 hm
3 = ................. cm
3
49. Ordena del més gran al més petit:
40 dm3; 0’00003 dam
3; 9 mm
3 ; 12 m
3 ; 0’007 km
3
50. Efectua les operacions següents:
a) 2’1 dm3 + 370 cm
3 =
b) 7 dm3 + 4 km
3 =
51. Transforma en decímetres aquestes quantitats:
1 km3, 5 mm
3, 12 mm
3, 37 dam
3, 0’3 cm
3, 0’35 m
3
2.6 RELACIONS ENTRE UNITATS
Tenim relacions entre les unitats de massa, capacitat i volum. Per exemple
és el mateix dir 1 litre que 1dm3 (quan parlam d’aigua). Les relacions són
les següents:
MASSA CAPACITAT VOLUM
T ------------------- kl ------------------ m3
Q ------------------- hl
Mg ------------------- dal
kg ------------------- l ------------------- dm3
hg ------------------- dl
dag ------------------- cl
g ------------------- ml ------------------- cm3
52. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:
a) 34 cm3 = .............. dag b) 452 m
3 = ..............cl
c) 342 m3 = .............. mg d) 43’56 g= ................... dal
e) 32’45 hl = ..................... cm3 f) 12.000 hg = ............... mm
3
g) 89 kg = .................. m3 h) 0’1 cl = ................. mg
2.7 PROBLEMES
53. Indica quines de les mesures que apareixen a aquest text són correctes i quines no.
Corregeix les que no siguin correctes.
El passat cap de setmana la meva família i jo varem anar d’excursió. Com que
havíem de caminar tot el dia varem decidir dur entrepans per berenar i dinar. Per això
el meu germà va anar a comprar tot el que ens feia falta. Va comprar 8 entrepans,
300gr de pernil dolç, 20kg de pernil salat i 500cl d’aigua.
Amb el que va comprar varem preparar els entrepans i omplírem les motxilles.
A les 9:30h sortírem de casa i agafàrem el cotxe per anar fins al poble del costat, que
està a uns 5hm. Una vegada enllà varem deixar el cotxe i començarem a caminar.
Al principi el camí era pla, però a mesura que anàvem caminant el camí es feia
costa cap amunt. Era preciós. Quan ja portàvem una hora i mitja caminant ens vam
aturar a berenar a una possessió, l’amo de la qual el meu pare coneixia. Quan
arribàrem el pagès estava acabant de munyir les 2 vaques que tenia. I alegrement ens
va saludar i mostrar els 300 litres de llet que havia tret de les vaques aquell matí. El
18
meu germà i jo bocabadats varem aprofitar per tocar les vaques. Eren enormes,
almenys cada una d’elles devia pesar 200g. Després de berenar i descansar una estona,
varem seguir el nostre camí, i 7200s després arribàrem a dalt del puig Roig.
A la fi havíem arribat. Jo estava esgotada. Em vaig beure jo tota sola 2dal
d’aigua. Quan vaig haver reposat em vaig fixar que des d’allà dalt es veia mitja illa.
Era molt bonic. A dalt del puig vam dinar, el meu germà i jo vam jugar una bona
estona, el meu pare va aprofitar per fer algunes fotografies, i a les 19:00h érem al
cotxe.
Quan vam arribar gairebé no em sentia les cames. Havíem caminat 700m. Però
la caminada havia valgut la pena. Vaig passar un gran dia.
54. El cim d’una muntanya es troba a 957 m, 325 dm i 68 mm sobre el nivell del mar.
Quants centímetres d’altura amida aquesta muntanya?
55. De casa meva a la plaça hi ha 127 metres i des de la plaça a l’escola, 95 m. Quants
decímetres caminaré per anar des de casa a l’escola si passo per la plaça?
56. Quants decímetres de filferro necessito per tancar un hort de forma quadrada que fa
35 m de costat?
57. Una modista compra dues peces de tela que fan 3 m i 5’6 m, respectivament.
Necessita 4 m per fer un vestit. Quants decímetres li sobraran?
58. Per arreglar una via de ferrocarril necessitem dos rails que amiden 120 dm i 35 dm,
respectivament. Quants metres en necessitem?
59. El Pere ha de recórrer 250 dm per arribar a agafar la pilota. Si ha recorregut 130 dm,
quants metres li falten per arribar?
60. Si d’un llistó de 18 dm n’he tallat 1 metre, quina és la longitud que en queda?
61. Quantes rajoles quadrades de 41 cm de costat necessitarem per cobrir un sol de 340
m2 ?
62.a) En un dipòsit hi caben 862 dal d’aigua. Quantes ampolles de litre podríem omplir?
(recorda que la escala dels litres va de deu en deu)
b) I si les ampolles fossin de 75 cl ?
19
3. SISTEMA SEXAGESIMAL
El sistema sexagesimal és un sistema posicional que utilitza la base 60.
El sistema sexagesimal s’utilitza per mesurar temps (hores, minuts i
segons) i angles (graus, minuts i segons)
3.1 OPERACIONS
3.1.1 SUMA I RESTA
Per sumar temps o angles ho farem de la següent forma:
1r Col·locarem bé les dades, és a dir, els segons baix els segons, els
minuts baix els minuts i les hores o els graus baix les hores o els graus.
2n Sumarem cada columna.
3r Si la columna dels segons és més gran o igual que 60, anirem restant
fins que sigui més petit que 60. Si restem 1 pic posarem una més als
minuts, si restem dos pics posarem 2 més als minuts...
4t Si la columna dels minuts és més o igual que 60, anirem restant fins
que sigui més petit que 60. Si restem 1 pic posarem una més a les hores o
graus, si restem dos pics posarem 2 més a les hores o als graus...
Exemple:
2h 37min 47seg
+ 4h 9min 25seg
6h 46min 72seg
Com que els segons són més grans que 60, restarem 60 als segons i
sumem 1 als minuts:
6h 46min 75seg
- 60seg
6h 47min 15seg
Per restar temps o angles ho farem de la següent forma:
1r Col·locarem bé les dades, és a dir, els segons baix els segons, els
minuts baix els minuts i les hores o els graus baix les hores o els graus.
2n Si qualque dada de dalt és més petita que la baix hem de fer petites
transformacions.
- Si els minuts de dalt són més petits que els de baix, hem de restar una a
les hores o graus de dalt i sumem 60 als minuts de dalt. Si encara és més
petit tornarem a fer això fins que els minuts de dalt siguin més grans.
- Si els segons de dalt són més que els de baix, hem de restar una a les
minuts de dalt i sumem 60 als segons de dalt. Si encara és més petit
tornarem a fer això fins que els segons de dalt siguin més grans.
3r Restem cada columna.
Exemple:
19º 8min 56seg
- 17º 24min 34seg
Primer farem les transformacions:
18º 68min 56seg
- 17º 24min 34seg
1º 44min 22seg
20
63. Fes aquestes operacions:
6 º 23 ' 18 ''
+ 8 º 17 ' 26 ''
17º 43' 19 ''
+ 15º 23' 32 ''
43º 16' 43''
+ 8º 22' 48''
64. Resol:
a) 23º 56' 24'' - 18 º 37 ' 24'' =
b) 22 º 14 ' 37'' - 5º 23' 52'' =
65. Realitza les sumes següents:
a) 5h 45min 34seg + 3h 23min 56seg =
b) 3h 56min 23seg + 23h 23min 45seg =
c) 58min 34seg + 1h 59min 12seg =
d) 87º 32’ 09’’ + 21º 41’ 29’’ =
e) 32º 28’ 39’’ + 24º 21’ 21’’ =
f) 12º 13’ 14’’ + 76º 54’ 59’’ =
66. Realitza les següents restes:
a) 5h 45min 34seg - 3h 23min 56seg =
b) 23h 6min 23seg - 3h 54min 45seg =
c) 1h 58min 34seg - 1h 57min 12seg =
d) 87º 32’ 09’’ - 21º 41’ 29’’ =
e) 32º 28’ 39’’ - 24º 21’ 21’’ =
f) 12º 13’ 14’’ - 6º 54’ 59’’=
21
3.1.2 MULTIPLICACIÓ
Per multiplicar temps o angles per un nombre ho farem de la següent
forma:
1r Multipliquem normal
2r Transformarem els nombres com abans:
- Si els segons són més grans de 60 anirem restant 60 als segons fins que
sigui més petit que 60 i sumant als minuts 1 cada vegada que restem.
- Si els minuts són més grans de 60 anirem restant 60 als minuts fins que
sigui més petit que 60i sumant a les hores o graus 1 cada vegada que
restem.
Exemple:
3min 5seg
x 30
90min 150seg
+1 - 60
91min 90seg
+1 - 60
92 min 30seg
+1- 60
1h 32min 30seg
67. Calcula:
a) (2min 34seg) · 5 =
b) (1h 14min 24seg) · 6 =
c) (21º 16’ 3’’) · 10 =
d) (32º 3’ 18’’) · 7 =
e) (16º 4’ 24’’) · 8 =
f) (1h 14min 22seg) · 9 =
3.1.3 DIVISIÓ
Per dividir temps o angles entre un nombre ho farem així:
1r Començarem dividint les hores o angles entre el divisor, i el residu es
passa a minuts multiplicant per 60 i se sumen als minuts que hi havia de
l’enunciat.
2n Després dividirem els minuts entre el divisor, i el residu el passem a
segons multiplicant per 60 i se sumen als segons que hi havia de
l’enunciat.
3r Per finalitzar dividim els segons entre el divisor, i el residu d’aquest
divisió, serà el residu de la divisió inicial.
68. Divideix:
a) 109º : 4 =
b) (21º 42’) : 6 =
c) (12h 32min 34seg) : 5 =
d) (1h 43min 54seg) : 3 =
e) (3h 54min 43seg) : 7 =
f) (166º 17’ 48’’) : 27 =
22
3.2 EXPRESSIONS COMPLEXES I INCOMPLEXES
Recordem que la mesura de les quantitats relatives a una magnitud es
podem expressar de dues formes:
- Utilitzant a la vegada diverses unitats (forma complexa).
Exemple: 2h 23’ 34’’
- Utilitzant només una unitat (forma incomplexa)
Exemple: 2’43h
3.2.1 PAS DE COMPLEX A INCOMPLEX
Passarem cada una de les unitats a la unitat que volem passar tot.
Exemple: 1h 23min 43seg ho volem passar a segons:
1h = 60min = 3600seg
23min = 23 · 60 = 1380seg
43seg = 43seg
I això fa un total de 5023seg
69. Expressa en segons:
a) 37min
b) 34h
c) 1h 26min 45seg
d) 3h 45min 21seg
e) 24min 45seg
f) 2h 43seg
3.2.2 PAS D’INCOMPLEX A COMPLEX
Anirem dividint entre 60 o multiplicant entre 60, segons de quina unitat
partim. Recordem que la nostra escala és:
Hores o graus
Minuts
Segons
Si volem baixar és multiplicar per 60 cada escaló, si volem pujar és
dividir entre 60 cada escaló.
70. Passa a hores, minuts i segons:
a) 321seg
b) 65’6min
c) 3’66h
d) 5432seg
e) 78’9min
f) 2’45h
71. Passa a graus, minuts i segons:
a) 43215’’
b) 23,6’
c) 21345’’
d) 65,8’
e) 7654’’
f) 75,9’
23
3.3 PROBLEMES
72. En Jaume ha treballat al matí 3 hores i un quart, i a la tarda, 2 hores i mitja. Quants minuts més
ha treballat al matí que a la tarda?
73. Un vaixell va estar amarrat durant 18770 segons i un altre vaixell va estar amarrat durant 13348
segons. Quantes hores completes va estar amarrat el primer vaixell més que el segon?
74. La Lluïsa treballa per hores en una floristeria. Avui ha treballat 3 hores i tres quarts. Si per cada
hora treballada cobra 10 euros , quant ha cobrat avui la Lluïsa?
75. Calcula:
a) L’angle complementari de 35 º 26 ' 42'' (l’angle que li falta per valer 90º)
b) L’angle suplementari de 35 º 26 ' 42'' (l’angle que li falta per valer 180º)
76. Calcula l’hora d’arribada per a cada viatge (hora local de la ciutat de destinació).
Vol Hora sortida Durada Hora arribada
Barcelona – Nova York 13:30 8 h
Barcelona – Buenos Aires 9:30 12 h
Barcelona – San José 8:45 10 h
Barcelona – Los Angeles 10:00 11 h
Barcelona – Moscou 15:00 4:30 h
París – NovaYork (Concorde) 16:00 3:30 h
77. Un vaixell per travessar l’Atlàntic necessita de 4’5 dies. Quantes hores són?
24
4. AUTOAVALUACIÓ
1. Ordena de menor a major, i col·loca’ls en la recta real:
2’6 2’06 3’8 5’16 2’001 3’12
2. Classifica els següents nombres:
5’3 5
2 10’2323233… 6’121223… 18’1 3
532’010101… 3’ 6
27
5 14’333…. 8 3’0002
EXACTES PERIÒDICS PURS PERIÒDICS
MIXTS
NO EXACTES I
NO PERIÒDICS
3. Calcula:
a) [(2’3 – 0’5) · (3’71 – 2’7)] : 2’5 +3 =
b) (3’12 – 0’13) : 2’3 + 4 · (3 + 2’1 · 3’2) =
c) (3 · 5 – 2 + 4 : 2) · 0’5 + 3’1 · [3 – 0’25 · (3 + 2 · 4)] =
4. Calcula:
a) (4’25 – 2’6) · 1’21 =
b) 12’27 : 3 – 4 =
c) [12’22 – (9’1 – 7 : 2)] · 0’5 =
5. Calcula:
a) 25’2 + 37’1 · (18’06 – 3’4) : 1’2 – 6 =
b) 3 · 750 – 36’5 : (286’08 – 281’08) =
6. Si compres tres llibretes a 1’24 € cadascuna i un llibre que val 14’6 €.
a) Quant valen les tres llibretes? ...............................
b) Quant he de pagar en total? ..................................
c) Si pago amb un bitllet de 20 €, quants diners em tornaran? ............................
7. Ordena de menor a major:
37’4hm 134cm 1’25m 0’45km
8. En quines unitats expressarem?
a) La superfície d’un camp de futbol
b) La longitud d’una agulla
c) La profunditat d’una piscina
d) El pes d’una moto
e) El volum d’una llauna de refresc
25
9. Completa:
a) 4m3 = ................litres d) 2’4kg = ..................cl
b) 2’45dl = ...............cm3 e) 0’47dal = ...............g
c) 530mm3 = .............dg f) 1’65cg = .................mm
3
10. Uneix amb fletxes les dues columnes:
78 dl 0’78 dl
7’8 kl 7’8 litres
7’8 dal 780 dal
78ml 0’78 hl
11. La superfície d’una taula és de 0’9 m2. Calcula la superfície en mm
2 i en dam
2.
12. Indica quina de les mesures de volum següents és major:
a) 20 dm3 c) 1900 cm
3
b) 0’02 m3 d) 0’00025 dam
3
13. Indica si les següents afirmacions són vertaderes o falses i raona la teva resposta:
a) La massa d’un llapis és major que 0’3 kg
b) La massa d’un cotxe és menor que 3000000 g
c) La massa d’unes sabates és major que 140 dg
14. Calcula els angles desconeguts en els següents casos:
a) b)
15. Passa a hores:
a) 2h 24 min 18 s
b) 1 h 40min
21º 45’ 8’’
47º 18’ 55’’
A
x
x
30º 26’ 50”
26
UNITAT 2: NOMBRES ENTERS
1. INTRODUCCIÓ
2. LA SUMA/RESTA
2.1 SUMEM O RESTEM?
2.2 CADENES DE SUMES I RESTES
3. LA MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ
4. LA TAULA DELS SIGNES SEGUITS
5. OPERACIONS COMBINADES
5.1 UN PARÈNTESI
5.2 DOS O MÉS PARÈNTESI
6. PROBLEMES
7. AUTOAVALUACIÓ
27
1. INTRODUCCIÓ
Hi ha moltes situacions on ens trobem un nou tipus de nombre: els nombres positius i
nombres negatius.
Per exemple:
Per expressar temperatures sota zero: -3ºC
Per expressar els moviments d’un compte bancari:
COMPRA....................- 30 EUROS
LLUM..........................- 55 EUROS
NÒMINA....................+ 670 EUROS
Per expressar els diferents nivells d’un edifici:
PRIMER PIS:1
PLANTA BAIXA:0
SOTERRANI: -1
El conjunt format pels nombres positius (+1,+2,+3,...), el nombre 0 i els nombres
negatius (-1,-2,...) rep el nom de conjunt de nombres enters, es representa amb el símbol
Z. Per tant:
Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
És un conjunt infinit.
Per ordenar els nombres enters, els podem representar damunt una recta. Aquell que
queda més a la dreta serà el major. Per exemple, 32 , ja que, en la recta el nombre 2
es troba a la dreta del nombre 3
NOTA: Els nombres positius es poden representar amb el signe + davant o sense. Quan
un nombre no duu cap signe davant, és un nombre positiu. Per exemple: 11 = +11
1. Descriu quatre situacions de la vida quotidiana on es fan servir nombres positius i negatius.
a) …………………………………………………………………..
b) …………………………………………………………………..
c) …………………………………………………………………..
d) …………………………………………………………………..
2. Representa els següents nombres a la recta dels nombres
a) 5
b) –3
c) –2 0
d) 4
28
3. Ordena de major a menor:
a) 6; -5; -15; 10; -1; 5
b) -9; 9; 3; -1; 2; 0; -5
c) 4; -2; 6; -10; -12; 7
2. LA SUMA/RESTA
2.1 SUMEM O RESTEM?
Si a les 6h del matí la temperatura d’un dia d’hivern és de -3ºC i al llarg de mig dia
augmenta 4ºC. Quants graus marcarà el termòmetre després d’aquest temps?
El termòmetre marcarà +1ºC . Per saber-ho hem fet l’operació 143
Per sumar o restar nombres enters cal fixar-se en el signe de cada nombre.
Si tenen el mateix signe, SUMEM i es manté el signe.
Suma de dos n. positius: + 3 + 5 = + 8 (resultat positiu)
Suma de dos negatius 532 (resultat negatiu)
Si tenen diferent signe, RESTEM i deixem el signe de la quantitat major.
+ 6 – 2 = +4 (resultat positiu perquè 6 > 2).
+ 3 – 8 = - 5 (resultat negatiu perquè 8>3)
- 2 + 8 = + 6 (resultat positiu perquè 8>2)
- 6 + 4 = -2 (resultat negatiu perquè 6>4)
L’oposat d’un nombre és el nombre amb signe contrari. L’oposat de -5 és +5. L’oposat
de 7 és -7
Fixa’t: Què ocorre, si a un nombre li sumem l’oposat ?
-10 + 10 = 0 +5 + (-5) = 0 (-27) + (+27) = 0
4.- Calcula:
a) +3 – 4 =
b) 6 + 2 =
c) 3 + 5 =
d) -7 – 8 =
e) +3 – 1 =
f) +2 + 7 =
g) -6 – 2 =
h) +4 – 9 =
i) -3 – 5 =
j) -2 + 5 =
k) +2 + 6 =
l) -3 + 7 =
m) -8 – 3 =
n) -2 + 6 =
o) +7 – 4 =
p) +2 – 8 =
q) -4 – 1 =
r) -5 + 9 =
s) +5 – 2 =
t) +8 – 12 =
u) -6 + 7 =
v) +4 – 2 =
w) +3 – 3=
x) +5 – 9 =
y) +2 – 2 =
z) -2 –7 =
aa) +3 + 4 =
bb) -2 +3 =
cc) -1 + 3 =
dd) 7 - 9 =
ee) 1 – 5 =
ff) 5 – 1 =
29
5. Fes les següents operacions:
a) 5 – 7 = e) 2 – 8 = i) – 4 – 5 =
b) 4 – 11 = f) 9 – 2 = j) – 5 + 3 =
c) -3 + 9 = g) 7 – 3 = k) – 4 – 7=
d) -12 – 5 = h) 4 – 6 = l) – 7 + 10 =
6. Fes les següents operacions:
a) 8 – 3 = e) 12 – 3 = i) – 5 – 7 =
b) 4 – 17 = f) 6 – 13 = j) 8 – 9 =
c) 9 – 11= g) 88 k) – 6 – 3 =
d) -14 +15 = h) 4 – 1= l) 8 – 6 =
NOTA: Pots ajudar-te amb aplicacions pràctiques. Fixa’t:
Plantes d’un edifici:
-3 + 5 = +2 Si estàs al soterrani 3 i puges 5 plantes, arribes a la planta 2.
2 – 4 = -2 Si estàs a la planta 2 i en baixes 4, arribes al 2n soterrani.
-7 – 3 = -10 Si estàs a la planta 7 i en baixes 3 plantes, arribes al 10é soterrani.
Doblers:
Positiu és tenir o guanyar diners. Negatiu és deure o gastar doblers.
-5 – 2 = -7 Deus 5€ i et gastes 2€ més, per tant, acabes devent 7€.
3 – 8 = -5 Tens 3€ i et gastes 8€,per tant, acabes devent 5€.
2.2 CADENES DE SUMES I RESTES
Hi ha diferents maneres de realitzar sumes i restes de més de dos nombres enters. Una
d’elles és sumar els positius per un costat i els negatius per un altre, després, fer la resta
de les dues quantitats deixant el signe de la quantitat major.
Exemple : 6 + 2 – 7 – 3 + 6 – 2
Positius: +6 +2 + 6 = +14 Negatius: -7 –3 – 2 = - 12
6 + 2 – 7 – 3 + 6 – 2= +14 – 12= +2
7. Calcula:
a) -5 + 2 + 7 – 8 –3 + 9 =
b) 3 – 7 – 2 + 6 – 3 + 3 =
c) -8 + 7 + 2 + 1 – 7 – 3 + 1 =
d) -3 + 4 + 5 –2 – 4 –1 + 7 =
e) 5 – 3 – 2 + 6 + 1 – 9 =
f) -4 – 2 + 6 + 8 – 2 + 3 =
g) 2 – 6 – 3 + 2 + 4 – 8 =
h) 7 – 3 + 2 + 4 – 6 – 1 + 6 =
30
3. LA MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ
Per multiplicar (o dividir) nombres enters es multipliquen (o divideixen) les quantitats i
s’aplica l’anomenada regla dels signes:
Multiplicació Divisió
+ · + = + + : + = + Quan els dos nombres són del mateix signe, el resultat és +
– · – = + – : – = +
– · + = – – : + = – Quan els dos nombres són de signes contraris, el resultat és –
+ · – = – + : – = –
Per exemple,
18 : 3 = + 6 -7·(+2) = -14 -2·(-4 ) = + 8 15: (-3 ) = -5
8. Calcula:
a) -2·5=
b) -7·(-2)=
c) 4·(-6)=
d) 10:(-5)=
e) 12:(-6)=
f) -4·7=
g) -2·(-9)=
h) -16:4=
i) 7·(-3)=
j) -6:2 =
k) -20:(-4)=
l) 18:(-3)=
m) -4·6=
n) -5·2=
o) -9:(-3)=
p) 8·(-3)=
q) -7·2 =
r) -12:(-6)=
s) 9·2=
t) 8:4=
u) -3·(-10)=
4. LA TAULA DELS SIGNES SEGUITS
A Matemàtiques, no es pot escriure dos signes d’operació seguits. S’utilitza el
parèntesi per separar dos signes. Així, s’escriu -3+ (-5) i NO -3+- 5
Quan ens trobem un signe de suma o resta davant un nombre positiu o negatiu, és a
dir, dos signes seguits, podem aplicar la regla dels signes seguits. s similar a la regla
dels signes de la multiplicació i la divisió de nombres enters: si a és una quantitat
qualsevol.
aa
aa
aa
aa
)(
)(
)(
)(
Per exemple: -(+3) – (- 4) + (-7) + (+2) = – 3 + 4 – 7 + 2 = + 6 – 10 = –4
Taula dels
signes
sumar positius
sumar negatius Restam i
deixam el
signe del
major
31
9. Calcula tenint en compte la TAULA DELS SIGNES:
a) 3 + (-4) – (+2 ) =
b) –3 + (-7) – (-4) + (-3) – (+8) =
c) 1 – (-2) + (+ 3) + (– 6) =
d) – (+5) + (– 4) – (+2) + (+1) =
e) +( -2) + ( -3) – (+1) + ( -2 ) – ( +5) =
f) + (–2) + ( -4) + ( -2) – ( -1) + ( +9) – ( -3) =
g) – ( +6) – ( +4) + ( -5) + ( -2) – ( -3) =
h) 6 + ( -9) – ( -11) + ( +2 ) - ( -3) + ( -4) – ( +2) =
i) – ( -5) – ( +2) – ( +3) – ( -4) – ( +6) – ( +11) =
j) - ( 5 – 4) + ( -6 + 4) – ( -3 + 5) – ( 2 – 4 + 6 ) =
5. OPERACIONS COMBINADES
5.1 UN PARÈNTESI
Quan el parèntesi tanca una operació i no un nombre enter, cal recordar la prioritat
d’operacions:
1r. Parèntesis
2n. Multiplicacions i divisions
3r. Sumes i restes
Exemple:
-3 + 6·( 2 – 7 ) = -3 + 6·( - 5) = - 3 – 30 = -33
10. Calcula tenint en compte la prioritat d’operacions:
a) 3 + ( -4 +2 ) =
b) 4 + ( 3 – 8 ) =
c) 1 – ( 2 + 3 – 6 ) =
11. Calcula tenint en compte la prioritat d’operacions:
a) 5 – ( 4 – 2 +1 ) =
b) 2 + ( 3 – 1 + 2 ) – ( 5 + 9 – 3 ) =
c) –2 + ( 4 + 2 – 1 ) =
d) –( 6 – 4 ) + ( 5 + 2 – 3 ) =
e) 6 + ( 9 – 11 + 2 ) + ( 3 + 4 – 2 ) =
f) 5 – ( 2 + 3 – 4 ) – ( 6 – 11 ) =
g) ( 5 – 4 + 6 ) – ( 2 – 4 + 6 ) =
12, Calcula:
a) -2 + 3·( 5 – 1 ) =
b) 2 - 4·( 5 - 7 ) =
c) 1 + 3·( 4 – 8 ) + 5·( -2 + 4 ) =
d) 8·( 2 – 3· 4 ) =
e) 2 - ( 15 – 8 ) =
f) 6 - 4·( 8 – 3 ) – 2·( 2 - 9 ) =
32
13. Calcula:
a) -3 + 6·( 2 – 7 ) – 3·( 8 – 2 ) =
b) 12 + 6·( -8 – 3 ) =
c) -2 + ( -3 + 5 )·4 =
d) ( 12 – 4 )·(-5) + 2·( 5 – 8 ) =
e) 2 + ( -5 + 2 )·3 =
f) 6 + ( 8– 15 )·5 – ( 2 + 3 )·(-2) =
g) 5 – 7·( 8·3 – 5) =
14. Calcula:
a) -5 + 7·(8 – 2 ) =
b) -5·( 3 – 2 ) =
c) -5·(3 + 5) + 2 =
d) –15:5 + 10:(-5)=
e) 3 – 2·( -5· 2 – 7 ) =
f) –( 3 + 2)·5 – 2·6 =
g) + 2·(-7 + 3) + 10 =
5.2 DOS O MÉS PARÈNTESI
Si hi ha més d’un parèntesi, s’ ha de començar pel parèntesi més petit ( ) fins el més gran
(anomenat claudàtor, [ ]).
Exemple
2·[ -5 + 4·( - 2 + 3·4) ] + 8 = 2·[ -5 + 4·( -2 + 12) ] + 8 = 2·[ -5 + 4·10 ] + 8 =
2·[ -5 + 40 ] + 8 = 2·(+35) + 8 =70 + 8 = 78
15. Calcula:
a) 9 – [4 + ( -8 + 7)·5]=
b) (- 9 + 8)·[7 + 5·(8 – 9) + 7] – 3 + 1=
c) 5 – [4 – (5 – 10) + 9·(7 – 4) ] =
d) 9 + [4 – (9 – 2·5) + 10] – 9 =
16. Calcula:
a) 8 + (- 7 + 5) + [ 9 + (12 – 8)·3 + 5] =
b) 7 + [9:(-3) + (8·5 – 12)] =
c) [7 – 9:(-3) + (7 – 5)·(-3) ]·2 + 9 =
d) [ 8 – 3 + 7·(5 – 9)] + 8 – 3 =
17. Calcula:
a) 2 – 7·[ (5 - 8 )·3 – 7 + 5] =
b) 9 – [ 8 – 3·(7 – 5 )] + 8·[ 7 – (5 – 9) – 8] =
c) (3 – 7)·5 – 8·[ ( 3 – 7 )·5 + 9] =
d) [-8 + 7·(3 – 5) ] + (9 – 1)·[8 – 3 + (7 - 9)] =
18. Calcula:
a) -(3 –5 ) + 9·[-5 + 9 – 4 ·(3 – 8 ) + 5·(-9)] =
b) 8 – 4·[ 2 – 3·(8 – 2)] =
33
c) (5 – 9)·[ 8 + 9·(2 – 3) + 9] + 8·[ 7 – 2·(3 + 9)]=
d) [-8 + (5 – 9)· 4 ]·2 – 3=
19. Calcula:
a) 8 – [4 + (8 – 6 )·7] =
b) (-7 + 3)·6 + 5·[ 1 – 3·(5 – 9)] =
c) 3 + 4· [15 : (18 – 15) – 4 : (5 – 3)]
d) -10 : [ (-15+3·2) : (-3) + 2 ] + 2 · [ (-12 + 3·3 ) : 3 + 15 ]
20. T’ha quedat tot clar? Comprova-ho tu mateix.
1) -4·5 =
2) 7-4 =
3) 9:(-3) =
4) -7-7 =
5) 5 – 9 =
6) -8·(-7)=
7) -5 + 9=
8) -8·(-3)=
9) 7 – 9 =
10) 18:(-3) =
11) -7 + 9 =
12) -3 – 5 =
13) -7·3 =
14) -5·(-7)=
15) 6 – 5 =
16) -8·7 =
17) 9 + 8=
18) -3· 5 =
19) -3·(-6)=
20) 5·(-9)=
21) -3 – 6=
22) 6 – 4 =
23) -3· 9=
24) -8 – 7 =
25) 4·(-6) =
26) -8·(-3)=
27) 7 – 6 =
28) 4 + 7=
29) -6 · 4=
30) -1 + 9=
31) 8·(-7)=
32) -2 + 3 =
33) -6 – 4 =
34) 3·(-8)=
35) -6 + 4=
36) -3 ·6 =
37) 4 – 3 =
38) -7 + 6 =
39) 14:(-2 )=
40) -8 + 2=
41) -8·___= 24
42) -5 +____= 9
43) ___·(-3)= -9
44) ____ - 7 = – 9
45) 18:___ = -3
46) -7 +___ = 9
47) -3 – ___ = -5
48) -7·___ = -14
49) ___·(-7)= 35
50) 6 – ___ = -1
Quantes has encertat? ___
Si tens < 20 correctes = No ho tens clar, demana ajuda.
Si ha realitzat entre 20 i 30 correctes = Et cal reforçar el que has aprés.
Si has realitzat entre 31 i 40 correctes = Bé, però encara pots fer-ho millor.
Si tens > 40 correctes = Molt bé!.
Per practicar pots anar a la pàgina http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic Entra a
l’opció “sumar, restar, multiplicar, dividir y negativos”. Hi trobaràs exercicis senzills per fer en
determinat temps, que tu mateix pots programar. En seczillo sense cap error l’he fet en 0:35min. I en
invertido, sense errors, l’he fet en 1:00min.
34
6. PROBLEMES
21. Joana té a la llibreta d’estalvis 73 €. Cada mes, el pares li ingressen 21 € i ella en treu 11€ per
les seues despeses. Quants euros tindrà al cap de 6 mesos?
22. Tinc un rellotge que es retarda 15 segons cada dia, si ara són les 9:12 am, quina hora marcarà
el meu rellotge d’aquí un mes ?
23. Deman un extracte dels darrers moviments a la meva oficina bancària. A principi de mes
tenia 1260€. Vaig pagar un 550€ d’hipoteca i els rebuts d’aigua i llum que, entre els dos,
sumen 90€. A meitat de mes, arriba la lletra del cotxe de 250€, l’assegurança de la llar 35€ i
del cotxe, 150€. Si me vull comprar un sofà de 832€, quants diners he de demanar al banc?
24. Ens hem reünit per fer els comptes, n’Aïna ha pagat les 3 entrades de cine que costaven 6€
cadascuna, en Paul ha pagat 2 capses de crispetes que costaven 3€ cadascuna. Si duc 10€ a la
butxaca, quants euros me quedaran després d’haver fet els comptes? Quants euros li he de
donar a cadascú? Quants euros li haurà de donar en Paul a n’Aïna?
25. Si estem al 4rt pis d’un edifici i volem baixar al 2n soterrani, Quantes plantes hem de baixar?
26. A les 20h d’ahir, el termòmetre marcava 6ºC. En tres hores, la temperatura baixa 4ºC; al
llarg de les següents 8 hores baixa 10ºC més per a augmentar després 6ºC en 4 hores. Quina
hora marca el rellotge i quina temperatura el termòmetre?
27. Si la temperatura mínima d’un dia a la ciutat de Kiev ha estat de 5ºC sota zero i la màxima
de 7ºC positius. Quants graus centígrads ha variat la temperatura al llarg d’aquest dia en
aquesta ciutat?
28. Una associació de veïns comença el trimesttre amb un deute de 750€. Cada un dels 55 socis
aporta 12€ per reduir aquest deute. A més a més, rep una subvenció de l’Ajuntament de
450€. Per realitzar les activitats d’aquest trimestre han previst una despesa de 1200€. Quin
serà l’estat dels comptes en acabar el trimestre en cas de realitzar les activitats programades?
35
7. AUTOAVALUACIÓ
1. Resol:
a) – 5 – (-6) =
b) 6 + (-4) =
c) -5 + (-3) =
d) (-2) + 9=
e) -6 + (5) =
2. Resol:
a) 5 – 4 = b) -6 – 7 = c)-12 + 7 = d) - 4 + 0 = e) -1+1=
3. Resol:
a) 24 – 39 + 2 -16 =
b) 1 + 4 – 3 – 9 =
c) -15 – 1 + 5 + 1 =
d) -4 – 5 -1 =
4. Resol:
a) 18 : (-3) =
b) 25 : 5 =
c) -5 · (-2) =
d) -6 · 2 =
5. Resol:
a) 2 + 3 · (4-3) =
b) (4 – 7) + 6 · 4 =
c) 3 – 12 : 4 + 5 =
d) 4 · 3 + 6 : 2 – 8 : 2 =
6. Resol:
a) -5 · (4 – 7) – 3 · (-2 + 3 · 4) =
b) 5 · 2 – (-12) : (-4) + 2 · (-14) =
c) -2 + 5 · (-7) – (-3) + (-2) =
d) 18 : (-3) · 5 =
7. Resol:
a) 12 – [ 14 – ( 9 – 15) + 6]=
b) 7 – (11 –8 + 6) – [ 10 – ( 7 – 2 +1 ) –2 ]=
c) )36()154()5823( =
d) (4 3) (5 2) (7 3)
8. La temperatura d’un dia d’hivern a Alaska és de -14º, quina temperatura marcarà el
termòmetre si baixa 7º? I si, més tard, augmenta 3ºC?
9. A una immersió, un submarinista arriba a 10m de profunditat, després de 5 minuts observant
el fons marí, ascén fins a una profunditat de 3m. Quants metres s’ha desplaçat aquest
submarinista?
10. A un compte bancari hi ha un saldo de 183€. Quin serà el saldo després de carregar una
factura de 250€ i fer un ingrés de 58€?
36
UNITAT 3: POTÈNCIES I ARRELS
1. DEFINICIÓ
1.1. POTÈNCIA DE BASE POSITIVA.
1.2. POTÈNCIA DE BASE NEGATIVA.
1.3. POTÈNCIA D’EXPONENT NEGATIU.
2. PROPIETATS
2.1. PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
2.2. DIVISIÓ DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
2.3. POTÈNCIA D’EXPONENT ZERO
2.4. POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA
2.5. POTÈNCIA D’UN PRODUCTE
2.6. POTÈNCIA D’UN QUOCIENT
3. ARRELS QUADRADES EXACTES
4. OPERACIONS COMBINADES
5. NOTACIÓ CIENTÍFICA
6. AUTOAVALUACIÓ
37
1. DEFINICIÓ
1.1 POTÈNCIA DE BASE POSITIVA
Definició: Una potència és un producte de factors iguals.
Exemple: 6·6·6·6 = 64
base 64 exponent
NOTA: L’exponent 1 no s’escriu. Per això tot nombre que no dugui
exponent està elevat a 1. Per exemple: 5 = 51
61 = 6
1. Completa la taula:
Producte de factors
iguals
Potència Base Exponent Es llegeix
5·5·5·5 4
210
72
4 Quatre al cub
10·10·10·10·10
2. Expressa en forma de potència:
a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3= e) 10 · 10 · 10 =
b) 5 · 5 · 5 = f) 30 · 30 =
c) 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = g) 15 · 15 · 15 =
d) 8 · 8 · 8 = h ) 25 · 25 =
3. Escriu amb nombres:
a) Quinze elevat a dos. b) Quatre elevat a set.
c) Sis al quadrat. d) Vuit elevat a onze.
e) Cinc al cub. f) Nou elevat a quatre
4. Expressa aquestes potències com a productes de factors iguals i calcula el valor:
a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64 d) 10
4 =___________ = ____
b)52 = _______ = ___ e) 30
2 = ___________ = ____
c) 83 = ________ = ____ f) 2
5 = ____________= ____
5. Completa:
a) 3_ = 27 b) 10
4= c) __
5= 32
d) __4
= 16 e) 5_ = 125 f) 4
3 =
38
1.2 POTÈNCIA DE BASE NEGATIVA
Podem calcular potències de base negativa, utilitzant la mateixa definició de potència i
tenint en compte els signes dels nombres enters (producte) :
(- 3)2 = (- 3)· (- 3) = 9
(- 4)3 = (- 4)· (- 4)· (- 4) = - 64
Podem afirmar que:
si la base és negativa i l’exponent parell el resultat serà positiu
si la base és negativa i l’exponent senar el resultat serà negatiu
6. Calcula les potències següents:
a) (- 8)2 = c) (- 5)
6 = e) (- 7)
4 = g) (- 10)
3 =
b) (- 3)5 = d) (- 2)
4 = f) (- 1)
3 = h) (- 9)
0 =
7. Calcula:
a)
4
3
1=
b)
3
3
7=
c)
6
10
1=
d)
5
5
3=
e)
4
2
5=
Atenció: la base negativa ha d’anar sempre dins parèntesi, en cas contrari no es
considera una potència de base negativa, per tant, sempre serà un nombre negatiu.
Per exemple: (- 2)2= 4 la base és -2 i l’exponent 2.
- 22= - 4 la base és 2 i l’exponent 2. EL SIGNE SEMPRE NEGATIU
8. Calcula les següents potències:
a) – 23 =
e) - 34 =
b) (-3)0 =
f) (- 10)5 =
c) - 14 =
g) (- 4)6 =
d) -74 =
h) - 21 =
39
1.3 POTÈNCIES D’EXPONENT NEGATIU
Realitzeu la següent operació: 33 · 3
-2 =
Ara realitza aquesta operació: 33 : 3
2 =
Per tant, podem dir que 3-2
es el mateix que 23
1.
Tota potència d’exponent negatiu es igual al quocient entre la unitat i la mateixa
potència amb exponent positiu.
9. Calcula les potències següents:
a) 8-3
= e) (- 3)-4
=
b) 3-5
= f) (- 2)-6
=
c) 1-10
= g) (- 4)-3
=
d) 7-4
= h) (-2)-1
=
En conseqüència, tenim
2
3
2=
2
2
3
10. Calcula:
a)
2
3
1=
b)
3
3
5=
c)
4
10
1=
d)
2
3
2=
e)
4
2
5=
11. Calcula les següents potències:
a) - 50 = e) - 3
-4 =
b) (-3)0 = f) (- 2)
-5 =
c) - 14 = g) (- 4)
-3 =
d) (-7)4 = h) - 2
-1 =
40
2. PROPIETATS
2.1 PRODUCTE DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
El producte de dues o més potències de la mateixa base és una potència que
té la mateixa base i com a exponent la suma dels Exponents de les potències
que es multipliquen
Exemple: 42 · 4
3 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4
2+3 =4
5
12. Expressa el resultat en forma de potència única:
a) 23
· 22
· 2 = d) 3 · 34 = g) 5
3 · 5
4 · 5
2 =
b) 12 · 122 ·12 = e) 8
-7 · 8
3 = h) 6
4 · 6 · 6
7 =
c) 7 · 75 · 7
6 · 7
0 = f) 4
4 · 4
-2 · 4
3 = i) 2
3 · 2
-2 =
13. Escriu els nombres que falten:
a) 53 · 5 · 5
2 =5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = ___
6
b) 23 · 2
2 · 2
4 =2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2
__
c) 3 · 3__
· 32 =_____________________ = 3
7
d) 10__
· 10 · 102 = __________________ = 10
6
e) 203 · 20 · 20 = ____________________ = ___
__
14. Escriu cada nombre com a producte de potències de la mateixa base:
a) 35 = 3 · 3
2 · 3
2 e
) 4
3 =
b) 510
= f) 95 =
c) 86 = g) 6
4 =
d) 107 = h) 10
9 =
15. Indica amb una V les igualtats i amb una F les igualtats falses. Raona la teva resposta.
a) 34 · 2
4 · 5
4 = 10
4 b) 30
2 · 30
9 = 30
10 c) 5
7 · 5 · 5
6 · 5 = 5
13
d) 32 · 4
3 = 7
5 e) 6
2 + 6
4 = 6
6 f) 3
4 + 5
2 = 8
6
g) 52 + 4
2 = 9
2 h) 4
3 – 4
8 = 4
-5 i) 2
2 · 7
4 = 14
6
41
2.2 QUOCIENT DE POTÈNCIES DE LA MATEIXA BASE
El quocient de dues potències de la mateixa base és una altra potència de la
mateixa base i com a exponent la diferència dels exponents de les potències
que es divideixen
Exemple: 56 : 5
4 = 5
6-4 = 5
2
16. Expressa el resultat en forma de potència única:
a) 135 : 13
3 = b) 9
-8 : 9
5 = c) 6
9 : 6
0 =
d) 108 : 10 = e) 4
2 : 4 = f) 3
5 : 3
-2 =
g) 3 -7
: 3 -3
= h) 913
: 94 = i) 5
6 : 5
6 =
17. Escriu els nombres que falten:
a) 510
: 57 = 5
__ d) 10
4 : 10
__ = 10
b) 56 : 5
__ = 5
2 e) 10
__ : 10
2 = 10
4
c) 5__
: 53 = 5
6 f) 10
5 : 10
3 = 10
__
18. Escriu cada nombre com a quocient de dues potències de la mateixa base:
a) 35 = 3
8 : 3
3 e
) 4
3 =
b) 510
= f) 95 =
c) 86 = g) 6
4 =
d) 107 = h) 10
9 =
19. Completa la taula:
Dividend 56
910
75
108
64
815
Divisor 54
99
7 82
125
Quocient 83
125
102
6 814
20. Relaciona les dues columnes quan sigui possible (hi ha columnes que no tenen parella)
23 · 2
4 7
4
24 + 2
2 6
2
75 : 7 2
7
65 - 6
3 2
3
73 - 5
3 2
6
55 : 5 5
4
42
2.3 POTÈNCIES D’EXPONENT ZERO
Qualsevol nombre elevat a zero val 1.
Exemple: 30 = 1
50 = 1
21. Escriu el seu valor:
a) 80= b) 12
0 = c) 125
0 =
d) 450 = e) 98675
0 = f) 1000000
0 =
22. Completa el terme que falta:
a) 53 : __
3 = 1 b) 6
5 : 6
_ = 1 c) 23
_ = 1
d) 350 = __ e)
5
5
4
4 f)
5
5
__
8 1
23. Indica amb un a V les igualtats que siguin vertaderes i amb una F les que siguin falses:
a) 71 = 7 b) 1
7 = 7 c) 8
0 = 1
d) 10 = 0 e) 100
0 = 1 f) 2
3 · 2
0 = 1
g) 5
5
4
40 h) 10
3 = 1000 i) 5
1 = 1
2.4 POTÈNCIA D’UNA POTÈNCIA
Una potència d’una potència és una altra potència que té la mateixa base i
com a exponent la multiplicació dels exponents.
Exemple: (82)3 =8
2 · 8
2 · 8
2 = 8
2+2+2 = 8
6 (8
2)3 = 8
2 ·3 = 8
6
24. Expressa el resultat en forma d’una sola potència:
a) (53)4 = b) (8
5)4 = c) (9
2)3 =
d) (72)4 = e) (6
3)6 = f) (2
-6)
-4 =
g) (45)
-2 = h)(10
-2)5 = i) (10
7)5 =
43
j) ((103)4)2 = k) ((3
5)9)3
=
l) ((68)2)3=
25. Escriu l’exponent que falta:
a) (85)__
= 810
b) (9__
)3 = 9
9 c) (7
2)4 = 7
__
d) (63)__
= 612
e) (2__
)4 = 2
20 f)(10
2)_ = 10
6
g) (10__
)5 =10
5 h) (6
_)2 = 6
10 i) (3
5)__
= 320
26. Escriu com a potència d’una potència:
a) 310
= (32)5 b) 6
15 = c)10
14=
d) 425
= e) 1210
= f) 821
=
g) 86 = h) 9
9 = i) 5
35 =
27. Expressa en forma d’una potència i calcula el resultat:
a) (33)0 = ______ = b) (7
0)5 = ______ =
c) (42)1 = ______ = d) (5
3)0 = ______ =
28. Escriu com a potència, simplificant la base al màxim:
a) 43 = (2
2)3 = 2
6 b) 8
4 = ( )
4 = c) 25
2 = ( )
2
d) 92 = ____ = e) 81
3 = ____ = f) 144
3 = _____ =
g) 1252 = _____ = h) 27
4 = ____ = i) 9
3 = _____=
2.5 POTÈNCIA D’UN PRODUCTE
La potència d’un producte és igual al producte de cada un dels factors elevat
a la potència.
Exemple: (3 · 5)2 = (3 · 5) · (3 · 5) = 3
2 · 5
2
32·5
2 = (3·5)
2 = 15
2
29. Escriu com a producte de potències:
a) (2 · 5)8 = b) (7 · x
3)6 =
c) (5 · 9)4 = d) (2 · b
4 · 7)
3 =
e) (3 · a)2
= f) (3 · 5 · 6)5 =
44
30. Escriu els nombres que falten:
a) (8 · 5 · 6)3 = __
3 · 5
_ · 6
3 b) (__ · 4 · 5)
5 = 7
5 · 4
5 · 5
5
c) (__ · 7 · 3)_ = 8
_ · 7
2 · 3
2 d) (4 · __ · 6)
6 = __
_ · 5
6 · __
_
31. Escriu aquests productes com una sola potència:
a) 34 · 4
4 = (3 · 4)
4 = 12
4 b) 5
4 · 10
4 =
c) 57 · 6
7 = d) 8
6 · 5
6 =
e) 24 · 5
4 · 7
4 = f) 3
2 · 5
2 · 9
2 =
ALERTA!!
No t’equivoquis!! 333 53)53(
32. Quan es pugui, expressa com una sola potència i després calcula:
a) (5 +2)2 = b) 5
2 + 2
2 =
c) 52 · 2
2 = d) (4 + 7)
2 =
e) 42 + 7
2 = f) 4
2 · 2
2 =
2.6 POTÈNCIA D’UN QUOCIENT
Per calcular la potència d’un quocient hem d’aplicar la definició de potència: 4
3
1=
3
1·
3
1·
3
1·
3
1=
81
1
I realment, podem afirmar que: 4
3
1=
4
4
3
1=
81
1
45
33. Calcula les següents potències:
a)
4
3
2=
b)
3
3
1=
c)
3
10
x=
d)
5
3
5=
e)
5
3
5
a=
f)
4
7
6=
3. ARRELS QUADRADES EXACTES
34. Quin és el valor de a ?:
a) a2 = 64 b) a
2 = 100 c) a
2 = 400
d) a2 = 144 e) a
2 = 625 f) a
2 = 16
Direm que el nombre “a” és l’arrel quadrada del nombre que t’hem donat, és a dir,
64 = a.
Per tant, l’arrel quadrada d’un nombre és un altre nombre que compleix que el seu
quadrat dóna el primer nombre.
35. Calcula les arrels quadrades següents sense utilitzar la calculadora:
a) 64
b) 100
c) 400
d) 144
e) 625
f) 16
36. Calcula:
a) 0
b) 1
c) 225
d) 900
e) 0001.0
f) 25
46
37. Redueix i expressa en forma d’una sola potència:
a) 32 ·9
3 =
b) 32 · 3
-2 =
c) 34 · 3
-5 =
d) (3a)2 · (3a)
3 · (3a)
6 =
e) 12
27
3
3
f) 12
10
2
2
g) 10
15
5
5
h) [(-3)4]5 =
i) [(-5)0]12
=
j) (4-5
)-2
=
38. Redueix i expressa en forma d’una sola potència:
a) 4
562
3
333
b) 5
34
2
22
c) 2
653
a
aaa
d) 42
35
636
66
e) 2
212
542
2233
333
f)
2
27
3
g) 32
463
255
62555
h) 532
4363
)(
:)(
xx
xxx
4. OPERACIONS COMBINADES AMB POTÈNCIES
Per realitzar operacions combinades amb potències cal tenir en compte la prioritat de les
operacions:
1. Parèntesi
2. Multiplicacions i divisions
3. Sumes i restes
I també s’han de tenir clares les operacions amb potències que hem vist en els apartats
anteriors.
39. Calcula:
a) 2 + (4 + 7)2 = e) 7 + 3 · (9 + 1)
3 = i) 6 · (-3)
2 =
b) 15 – (5 – 3)3 = f) 6 – 3
2 = j) 5
2 – 4
2 =
47
c) 72 - 4 = g) (6 – 3)
2 = k) (5 – 4)
2 =
d) 5 · (4 + 3 )2 = h) (-3)
5 – 6= l) 2 + (3 – 4)
3=
40. Calcula:
a) (4 + 5)2 + (7 – 3)
3 – (8 + 1)
2 = e) (4 + 5)
2 + [(7 – 3)
3 – (8 + 1)]
2=
b) 4 + 52 + 7 – 3
3 – 8 + 1
2 = f) (4 + 5)
2 + [(7 – 3)
3 – (8 + 1)
2]=
c) 4 + (5 + 7)2 – 3
3 – (8 + 1)
2 = g) (- 4)
3 + (3 + 5
2)=
d) (3 – 4 +5) + (4 – 7)2= h) -1 + (3
2 -5) + 7=
5. NOTACIÓ CIENTÍFICA
Per calcular potències de base deu:
Amb exponent positiu, hem de posar un “1”, i moure la coma cap a la dreta tants
llocs com digui l’exponent (afegint zeros)
Amb exponent negatiu, hem de posar un “1”, i moure la coma cap a l’esquerra
tants llocs com digui l’exponent (llevant zeros)
41. Calcula:
a) 102 = c) 10
4 = e) 10
6 =
b) 10-3
= d) 10-5
= f) 10-6
=
42. Transforma en potències de deu:
a) 10.000 = c) 1000 = e) 0,0000001 =
b) 1.000.000 = d) 0,0001= f) 0,001 =
43. Escriu amb totes les xifres:
a) 65 · 105 = c) 3 · 10
8 = e) 35 · 10
-5 =
b) 7 · 1010
= d) 91 · 10-3
= f) 23 · 10-2
=
La notació científica s’utilitza per expressar de forma abreujada nombres molt grans o
molt petits. Per escriure un nombre amb notació científica tindrem un producte de:
Un nombre decimal amb una sola xifra sencera
Una potència de 10 amb exponent positiu si és un nombre gran o amb exponent
negatiu si és un nombre petit.
48
44. Escriu amb notació científica:
a) 18 milions d) 190.000.000
b) 7000 e) 500 milions
c) cent mil f) un bilió
45. Escriu amb notació científica:
a) 231000 f) 0,00045 k) 0,00000089
b) 8760000 g) 0,487 l) 214300000000
c) 240 h) 0,0098 m) 0,000897
d) 2490000 i) 35000000 n) 34000000
e) 73600 j) 9800000000 o) 0,0000007
49
6. AUTOAVALUACIÓ
1. Completa la taula:
Base Exponent Potència Càlcul Valor Es llegeix
Tres al quadrat
103
2 -2
Mil elevat a zero
(-3)·(-3)·(-3)
2.Relaciona les dues columnes quan sigui possible (hi ha elements que no tenen parella)
23 · 2
4 10
23 + 2 2
75 : 7
2 5
-1
55 : 5
4 6
2
65 – 6
3 7
3
3. Redueix a una sola potència:
a) m2 · m
5 =
b) a5 : a
4 =
c) b6 : b
8 =
d) c-2
· c-3
=
4. Calcula el valor:
a) -7 + 5·(3 – 1)2 - 64
b) 4
3 2(4 1) 5
c) -4 + 50 - 144 + 4 + 3·(4 – 7) =
d) (50 · 5) : 5
-2 =
5. Redueix a una sola potència:
a) 32
463
25·5
5·5·5 c)
42
1063
3·3
3·3·3·3
b) 2
23
25
5·5·5 d)
5·9
3·3·25·52
53
6. Redueix a una sola potència:
a) 3-4
=
b) (32)-3
=
c) (n-4
)-2
=
d)
05
32 )3(
50
7. Calcula el resultat numèric:
a) (-1)10
=
b) -22 =
c) 23 =
d) 2-3
=
8. Redueix a una sola potència:
a) 105 : 10
5 =
b) 24 · 2
7 =
c) (34)3 =
d) (m3)0 =
9. Escriu amb totes les xifres:
a) 3,67·10-5
=
b) 5,2·10 =
c) 6·10-3
=
d) 8,978·10-7
=
e) 3·106 =
10.Escriu amb notació científica:
a) 98 000 000 000 =
b) 0,000 009 =
c) 3 000 =
d) 0,000 000 000 067 876 =
e) 6 498 000 000 000 =
51
UNITAT 4: DIVISIBILITAT
1. CONCEPTE DE DIVISIBILITAT.
1.1 MÚLTIPLES D’UN NOMBRE
1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE
1.3 CRITERIS DE DIVISIBILITAT
1.4 NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS
2. FACTORITZACIÓ D’UN NOMBRE. MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE
FACTORITZAT.
3. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE: mcm
4. MÀXIM COMÚ DIVISOR: MCD
5. PROBLEMES
6. AUTOAVALUACIÓ.
52
1. CONCEPTE DE DIVISIBILITAT
1.1 MÚLTIPLES D’UN NOMBRE
Quan la divisió entre dos nombres és exacta, el primer nombre (el dividend) és divisible
pel segon (divisor). Igualment, es diu que el dividend és múltiple del divisor . Per
exemple:
63 és múltiple de 7 (o bé 63 és divisible per 7), ja que, la divisió 63:7 és exacta.
Qualsevol nombre té infinits múltiples.
Per obtenir múltiples d’un nombre, basta multiplicar aquest per qualsevol nombre.
Per exemple, cerquem múltiples de 7:
M(7)= 7, 14, 21,28, 70, 1400,... S’han obtès fent 7·1, 7·2, 7·3, 7·4, 7·10, 7·200...
Fixa’t: 63 és múltiple de 7 perquè 63 = 7·9 , aleshores, 63 també és múltiple de 9.
NOTA: els múltiples d’un nombre mai són inferiors al nombre.
1. Troba tres múltiples de cadascun dels nombres següents i escriu perquè ho són:
M (2) = ........................................................................................................................................
M (4) = ........................................................................................................................................
M (5) = ........................................................................................................................................
M (17) = ........................................................................................................................................
M (25) = .....................................................................................................................................
M (40) = ......................................................................................................................................
- Quants múltiples podem trobar del nombre 2? I del 4? I del 5?
- Per tant, podem dir que “La quantitat de múltiples que hi ha d’un nombre és ___________”
2. Encercla els múltiples dels nombres indicats en cada apartat:
a) M(14) 2 28 10 56 140 7 42 14
b) M(9) 1 90 54 63 9 45 30 3
c) M(25) 1 5 15 25 45 75 50 100
d) M(8) 2 4 6 8 10 16 80 1
e) M(7) 3 21 14 6 7 2 8 1
3. Escriu vuit múltiples de 2 que siguen més grans que 13 i més petits que 30.
M (2) = ........................................................................................................................................
53
1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE
Quan un nombre és múltiple d’un altre, aquest últim és divisor del primer. Per exemple:
7 és divisor de 63, ja que, 63 és múltiple de 7; i 9 també és divisor de 63.;
Tots els divisors de 15 són D(15), són 1, 3, 5, 15
NOTA: tot nombre té, com a mínim, dos divisors, l’1 i ell mateix.
Fixa’t: el divisors d’un nombre mai són majors que el mateix nombre.
Per trobar tots els divisor d’un nombre es fan totes les divisions exactes possibles.
Convé començar dividint per nombres petits i fer-ho de forma ordenada (1,2,3, etc). Cada
divisió exacta dóna dos divisors del nombre: el nombre pel qual hem dividit i el que ha
resultat. Ens aturem, quan arribem a un divisor que ja s’ha trobat anteriorment.
Per exemple: Cerquem tots els divisors de 18
18: 1 = 18 18: 2 = 9 18: 3 = 6 18: 4 = no exacta
18: 5 = no exacta 18: 6 no cal, el 6 ens ha donat com a resultat d’una divisió anterior.
Tots els divisors de 18 són: D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Fixa’t: Si el nombre és parell, els dos darrers divisors són la seva meitat i ell mateix.
4. Calcula tots els divisors dels següents nombres:
D (6) = ............................................................. 6 : 1 = ___ 6 : 2 = ___ 6 : 3 = __ 6 : 6 =__
D (20) = ........................................................... 20 : 1 = ___ 20 : 2 = ___ 20 : 3 = ___
20 : 4 = ___ 20 : 5 = ___ 20 : 20 = ____
D (8) = .............................................................. __ : __ = __ __ : __ = __
__ : __ = __ __ : __ = __
D(28)=............................................................... __ : __ = __ __ : __ = __ __ : __ = __
__ : __ = __ __ : __ = __
D (12) =............................................................ __ : __ = __ __ : __ = __ __ : __ = __
__ : __ = __ __ : __ = __
54
5. Enganxa amb una fletxa aquells nombres que tinguin una relació de divisibilitat
divisor múltiple.
3
5
28
6
15
14
8
30
35
9
20
55
1.3 CRITERIS DE DIVISIBILITAT
6. Escriu amb xifres i subratlla els nombres que NO siguin múltiples de 2:
- Mil set-cents vint-i-dos: ...........................................................
- Tres-cents tres: ...........................................................
- Vuit-cents quaranta-quatre: ...........................................................
- Tres milions dos: ...........................................................
- Sis-cents mil: ...........................................................
- Trenta-cinc mil u: ...........................................................
DIVISIBILITAT PER 2
Un nombre és divisible per 2 quan la xifra de les unitats és 0 o parell (2,4,6 i 8)
Exemples: són divisibles per 2 els nombres 10 ; 148; 1594; 20106; etc
En canvi, 245 NO és divisible perquè acaba en xifra senar.
DIVISIBILITAT PER 3
Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple de 3
Exemples:
51 és divisible entre 3 perquè 5+1=6 i 6 és múltiple de 3
4560 és divisible entre 3 perquè 4+5+6+0 =15 i 15 és múltiple de 3
En canvi, el nombre 413 NO és divisible entre 3 perquè 4+1+3=8 NO és múltiple de 3
DIVISIBILITAT PER QUATRE
Un nombre és divisible per 4 si les dues darreres xifres formen un múltiple de 4
Exemples:
324 és divisible entre 4 perquè 24 és múltiple de 4
1116 és divisible entre 4 perquè 16 és múltiple de 4
413 NO és divisible entre 4 perquè 13 NO és múltiple de 4
DIVISIBILITAT PER CINC
Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5
Exemples: 20; 155; 2340; 1000 000; etc
En canvi, 1354 NO és divisible entre 5 perquè NO acaba en 0 o 5.
DIVISIBILITAT PER SIS
Un nombre és divisible per 6 si és divisible a la vegada per 2 i per 3
Exemples:
18 és divisible entre 3 perquè 1+5=6 i per 2 perquè és parell, també és múltiple de 6
456 és divisible entre 3 perquè 4+5+6=15 i per 2 per ser par, també és múltiple de 6
135 és divisible entre 3 perquè 1+3+5=9 però NO per 2, NO serà divisible per 6
314 és divisible entre 2 per ser par però per 3 perquè 3+1+4=8 NO és múltiple de 3, NO
serà divisible per 6.
DIVISIBILITAT PER DEU
Un nombre és divisible per 10 si acaba en 0
Exemples: 70; 120; 500; 9 000; etc
En canvi, 1002 NO és divisible entre 10 perquè acaba en 2 i no en 0.
56
7. Indica si són vertaderes o falses les següents afirmacions:
a) 426 és múltiple de 6
b) 152 és múltiple de 3
c) 345 és múltiple de 5
d) 691 és múltiple de 3
e) 624 és múltiple de 4
f) 354 és múltiple de 4
g) 365 és múltiple de 3
h) 410 és múltiple de 5
i) 634 és divisor de 6
8. Completa les xifres que falten perquè resulten múltiples de 2:
a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___
9. Completa les xifres que falten perquè resulten múltiples de 3:
a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___
10. Completa les xifres que falten perquè resulten múltiples de 5:
a) 4 5 ___ ___ b) ___ 6 1 ___ c) 7___ 3___
11.
Encercla els múltiples de 2: 16 19 22 25 28
31 34 37 40 43
46 49 52 55 58
61 64 67 70 73
Encercla els múltiples de 3 27 32 37 42 47
52 57 62 67 72
77 82 87 92 97
102 107 112 117 122
Encercla els múltiples de 4 122 152 182 212 242
272 302 332 362 392
422 452 482 512 542
572 602 632 662 692
Encercla els múltiples de 5
42 48 50 54 58
55 66 70 73 75
68 84 90 95 5
81 102 110 111 109
Encercla els múltiples de 6 16 6 10 14 18
22 24 26 28 30
42 45 32 7 600
62 60 58 56 54
Encercla els múltiples de 10 2 10 18 26 34
36 42 48 54 60
64 78 92 106 120
130 135 140 145 150
1.4 NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS
Un nombre és primer quan només té dos divisors: l’1 i ell mateix.
Per exemple: 13 és un nombre primer, ja que, no és divisible per cap altre nombre diferent
de l’1 i el 13.
En cas contrari, quan té més de dos divisors, el nombre és compost.
Per exemple:10 és un nombre compost perquè, a més de 1 i 10, el 5 i el 2 en són divisors.
57
12. Cerca tots els nombres primers de la taula. Per fer-ho, tatxa els múltiples de 2, de 3, de 5, de 7, de 11. Serà suficient
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
13. Per què sols tatxem els múltiples dels nombres primers i no cal tatxar els múltiples de 4 o de 6?
2. FACTORITZACIÓ D’UN NOMBRE
Els nombres compostos estan formats per productes (i/o potències) de nombres primers.
Factoritzar o descomposar en nombres primers és expressar un nombre com una
multiplicació de nombres primers. Així, la descomposició de 224 o la de 6 =2·3
18 2 Per tant, la descomposició factorial de 18 = 2·3·3 = 2·32
9 3
3 3
1 tan sols nombres PRIMERS: 2, 3, 5, 7, 11...
14. Factoritza en nombres primers els següents nombres:
20 52 62 32 49
20= 52= 62= 32= 49=
66 125 144 200 900
66= 125= 144= 200= 900=
A partir de la descomposició factorial d’un nombre, es poden trobar múltiples i divisors
d’aquest.
58
És múltiple d’un nombre factoritzat tot aquell que resulte d’afegir algun factor a la
descomposició factorial, SENSE llevar-ne cap!
Per exemple:
Són múltiples de 22·3 2
3·3 s’hi ha afegit un 2
22·3
3 s’hi ha afegit dos 3
22·3·7 s’hi ha afegit un 7
2·32 NO ho és perquè s’hi ha afegit un 3 però s’ha llevat un 2
És divisor d’un nombre factoritzat tot aquell que resulte de llevar-ne algun factor,
SENSE afegir-ne cap!
Per exemple
Són divisors de 2·33·5 2·3·5 s’ha llevat dos 3
2·32 s’ha llevat un 3 i un 5
5 s’ha llevat un 2 i tres 3
33·5·7 NO ho és perquè s’ha llevat un 2 però s’ha inclòs un 7
15. Indica que li hem llevat o inclòs i assenyala els múltiples o divisors de 23·3
2·5
2·3·5 2·32 5 3
3·5·7 2
2·3·7 2
3·3
2·11
llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:...........
inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........
.................... .................... .................... .................... .................... ....................
3·5 23·3
2·5 2
5 ·3·5
2 2
3·3·5 2
2·3
3·5 2
3·3
2·5
4
llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:...........
inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........
.................... .................... .................... .................... .................... ....................
I del nombre 22·3
2·3·5 2·32 5 3
3·5·7 2
2·3·7 2
3·3
2·11
llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:...........
in
clòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........
.................... .................... .................... .................... .................... ....................
3·5 23·3
2·5 2
5 ·3·5
2 2
3·3·5 2
2·3
3·5 2
3·3
2·5
4
llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:........... llevat:...........
inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:.......... inclòs:..........
.................... .................... .................... .................... .................... ....................
59
3. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE: mcm
El mínim comú múltiple de dos (o més) nombres, mcm, és el nombre més petit el qual
és múltiple dels dos a la vegada.
Per obtenir el m.c.m de dos nombres és molt útil seguir els següents passos:
1r) Escriure la descomposició factorial de cada un dels nombres.
2n) Triar, entre les dues descomposicions, TOTS els factors. Però, quan n’hi ha d’iguals en
ambdues descomposicions (repetits), només s’escull el d’exponent major. I, en cas de factors
repetits amb el mateix exponent, només s’agafa una vegada.
3r) Multiplicar els factors que s’han triat en el pas anterior.
Exemple: Calculem el mcm de 12 i de 45. S’expressa mcm(12, 45).
1r) Descomposició factorial: 12 = 22·3 i 45 = 3
2·5
2n) Triem factors: 22, 5 i 3
2
3r) Multipliquem: mcm( 12, 45) = 22·3
2·5 =180
NOTA: El mcm de dos o més nombres es fa servir per ordenar, sumar i restar fraccions amb
diferent denominador, com estudiaràs més avant.
16. Calcula el mcm del següents nombres:
mcm (21, 34) mcm (54, 40)
mcm (8, 24) mcm (30, 6 )
mcm (99,144) mcm (52, 65)
mcm (14, 5 ) mcm (6, 7)
mcm (16 , 25) mcm (26, 280)
17. Calcula el mcm dels següents nombres:
mcm (6, 8, 10) mcm (30,40,50)
mcm (12, 24, 32) mcm (76, 54, 22)
mcm (45, 80, 32) mcm (95, 56, 72)
60
4. MÀXIM COMÚ DIVISOR: MCD
El màxim comú divisor de dos o més nombres, MCD, és el major dels nombres que són
divisors a la vegada dels dos (o més) nombres.
Per obtenir el MCD de dos o més nombres podem seguir els passos següents:
1r) Escriure la descomposició factorial dels dos nombres.
2n) Triar NOMÉS els factors que estan en ambdues descomposicions a la vegada, és a dir, els
repetits. Si n’hi ha amb exponents diferents, s’escull el d’exponent menor.
3r) Multiplicar els factors que s’han triat en el pas anterior.
Exemple: Calculem el MCD de 12 i de 45, que s’expressa MCD(12, 45).
1r) Descomposar 12 = 22·3 45 = 3
2·5
2n) Triar el 3 , l’únic factor que es troba en les dues descomposicions.
3r) Multiplicar MCD ( 12, 45) = 3 (no cal multiplicar perquè només tenim un factor)
Fixa’t: el 1r i el 3r pas són igual en el càlcul del mcm i del MCD. Només canvia el 2n.
18. Calcula el M.C.D de cada parella de nombres (Recorda: màxim comú divisor)
MCD (12,18) = ..............
MCD (15,26) = ..............
MCD (27,36) = ..............
MCD (10,14) = ..............
MCD( 25, 5, 10 ) =.................
MCD( 36, 9, 63 ) = ..................
MCD (21, 27) =..............
MCD (16, 56 ) =..............
MCD (54, 99) =..............
MCD( 42, 28, 64 ) =
MCD ( 280, 144 ) =..............
5. PROBLEMES
19. A un rètol lluminós s’encenen els llums vermells cada 10s, els blaus cada 15s i i els verds cada 18s.
Cada quants segons s’encendran els 3 a la vegada. Sol: 90s.
20. En una autopista hi ha un senyal de circulació cada 2000m i un cartell publicitari cada 3500m.
Cada quants m coincidirà la presència d’indicadors dels dos tipus? Expressa el resulat també en
kilòmetres.
Sol: 14km
21. Tenim dues cordes: una fa 21m de llarg i l’altra en fa 24m. Hem de tallar-les en trossos iguals el
més gran possible sense que sobre cap bocí. De quina mida han de ser els trossos? Sol: 3m
61
22. Un passadís de 860 cm de llarg i 240 cm d’ample s’ha enrajolat amb rajoles quadrades. Les rajoles
eren del màxim tamany i no n’ha sobrat cap . Quant mesura el costat de cada rajola, si no ha calgut
partir cap? Quantes rajoles té el passadís? Quina és la superfíci de cada rajola?
Sol: 20 rajoles dimensions de una rajola: ( 20 cm x 20 cm )
23. Si un bus passa per l’aturada cada 8 minuts mentres que un altre hi passa cada 20 minuts, quantes
vegades poden haver coincidit com a màxim al llarg de 3 hores?
24. Tenim 24 bolles vermelles i 30 bolles negres i les volem ficar en capses de idèntic tamany sense
mesclar-les, quantes bolles podran cabre com a màxim?
Espai CLIC: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2062
62
6. AUTOAVALUACIÓ
1. Contesta vertader o fals:
a) 5 és múltiple de 15 b) 6 és divisor de 18 c) 14 és múltiple de 6
d) 20 és divisible per 4 e) 21 és múltiple de 7 f) 24 és divisor de 8
2. Completa la següent taula amb V ( si és múltiple ) o X ( si no ho és )
2 3 4 5 6 10
3656
120
68
35
683
882
3. Quina de les següents descomposicions en factors primers és la del nombre 384?
a) 26·3·2 b) 2
5·3·2
2 c) 2
7·3 d) Totes són certes
I del nombre 180?
a) 2·33·5 b) 2
2·3·5 c) 4·5·3
2 d) 2
2·3
2·5
4. Contesta si és Vertader o Fals:
a) mcm ( 8, 12 ) = 4 b) mcm( 5, 10) = 50 c) mcm( 14, 4) = 28
d) MCD( 9, 3) = 3 e) MCD( 18, 10 ) = 2 f) MCD (30, 35 ) = 15
5. Si volem emplenar un full de 18x24 cm, amb una taula de caselles quadrades, quant hauran de
mesurar els costats dels quadrets:
a) 9x6cm b) 3x3cm c) 6 cm d) 72 cm e) Cap de les respostes
63
UNITAT 5: FRACCIONS
1. CONCEPTE DE FRACCIÓ
1.1 FRACCIONS EQUIVALENTS
1.2 SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS. LA FRACCIÓ IRREDUCTIBLE
1.3 ORDENAR FRACCIONS
2. LA SUMA/RESTA DE FRACCIONS
3. LA INVERSA D’UNA FRACCIÓ. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS
4. OPERACIONS COMBINADES
5. PROBLEMES: DIRECTE, INVERS I PART D’UNA PART
6. AUTOAVALUACIÓ
64
1. CONCEPTE DE FRACCIÓ
Les fraccions són un nombre enter dividit per un altre nombre enter, distint del zero.
unitatlatrosejemquanten
agafemtrososquants
adordeno
numerador
min
Per exemple,
4
3serà
Nota 1
Fixem-nos que: 3 = 1
3 i també que
3
2
3
2
3
2 però en canvi
5
2
5
2 ja que - - = +
Nota 2
Si agafem menys trossos dels que hem trossejat la unitat, ens bastarà amb una unitat. És a
dir, si el numerador < denominador. A aquestes fraccions les direm pròpies.
Cas contrari, si numerador > denominador, necessitem més trossos dels que hem partit la
unitat. Ens caldrà més d’una unitat i les direm impròpies.
1. Completa la taula:
Fracció Gràfic pròpia o impròpia
4
3
pròpia
impròpia
3
5
2
7
4
1
65
1.1 FRACCIONS EQUIVALENTS
Direm que una fracció és equivalent si té el mateix valor.
Per calcular si dues fraccions són equivalents és suficient multiplicar o dividir dalt i baix
per un mateix nombre.
Per exemple:
40
10=
8
2=
20
5=
80
20=
4
1
Comprovem-ho:
4
1 i
20
5 equivalen a:
equival a:
Notem que per passar del 2 al 5 no podem multiplicar ni dividir per cap nombre, així i
tot, són equivalents, per comprovar si dos fraccions són equivalents, hem de multiplicar
en creu. Si dona el mateix, seran equivalents.
Per exemple:
8
2=
20
5com: 2·20 = 40 tenim que són equivalents.
8·5 = 40
2. Calcula quatre fraccions equivalents de:
20
15=
8
12=
18
6=
10
4=
8
2=
6
7=
3. Comprova si les següents parelles de fraccions són equivalents:
4
3=
8
6
4
3
6
4
6
3
4
8
15
10
6
4
4
5=
6
8
4
6
6
4
6
15
4
10
12
9
8
6
4. Completa els forats:
405
2
21
1412
18
8
12
4
32
66
40
63
6
412
18
8
4
3
6
2
Nota
Fixa’t que per trobar el nombre que falta tan sols hem de multiplicar en diagonal dividir per l’oposat.
5. Completa els forats:
9
35
7
2520
4
10
2
15
12
6
8
16
6
4
147
6
1.2 SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS
Simplificar fraccions és tan sols trobar una fracció equivalent, però amb els nombres més
petits. És a dir, tan sols podem dividir per un mateix nombre el numerador i el
denominador.
Exemple:
24
18=
8
6=
4
3
Quan arribem a una fracció que ja no podem simplificar més, li direm la irreductible.
Per exemple, 4
3és una fracció irreductible.
Per arribar fins la irreductible podem: anar simplificant poc a poc, o bé, dividir
directament pel MCD entre numerador i el denominador.
6. Simplifica les següents fraccions fins arribar a la irreductible:
40
35=
36
48=
18
90=
40
64=
500
560=
165
231=
Nota: Sempre que treballem amb fraccions haurem d’acabar amb un resultat simplificat.
Sempre podrem simplificar en qualsevol moment, no cal esperar al final, d’aquesta manera podem
treballar amb fraccions més simples.
67
1.3 ORDENAR FRACCIONS
Per poder ordenar fraccions abans haurem d’igualar el tamany dels trossos amb que estem
treballant. És a dir, hem de igualar els denominadors al mcm dels denominadors.
Exemple
12
7,8
6,15
8 No té perquè ser
15
8 el més gran, comprovem-ho.
MCM ( 12, 8, 15 ) = 120
120,120
,120
Calculem els denominadors = 120:(denominador)x(numerador)
120
70,120
90,120
64 (120:12)x7 = 70 (120:8)x6 = 90 (120:15)x8 = 64
Per tant, tenim que: 8
6>
12
7>
15
8
Recorda que si tenim un nombre que és múltiple de l’altre, el gran serà el mcm.
Exemple
mcm ( 8 , 16 ) = 16
7. Justifica que 3
6>
8
6>
10
6 sense necessitat d’igualar els denominadors:
8. Ordena les següents fraccions de menor a major:
4
1,
2
3,
3
4,
6
3)
4
7,
10
15,
8
10,
5
6)
14
10,
8
5,
4
5,
7
6)
6
7,
4
3,
3
5,
8
9)
d
c
b
a
68
2. SUMA I RESTA DE FRACCIONS
Per poder sumar i restar fraccions abans hem d’igualar els denominadors al mcm, igual que
per ordenar fraccions.
4
7
4
5
4
2 I en aquest cas, TAN SOLS sumarem els numeradors.
Sinó,
2
5
6
7 Igualem els denominadors a mcm(6,2) = 6
6
15
6
7 La 1a fracció no la modifiquem, a la 2a tenim, (6:2)x5 = 15
6
8 No sumem ni restem els denominadors!
3
4 Simplifiquem la fracció per 2.
9. Fes les següents sumes i restes, recorda de simplificar:
a) 5
4
5
5 b)
12
16
12
7 c)
14
6
14
9 d)
18
4
18
8
10. Ara ja modificant els denominadors:
a) 9
7
6
1
3
2 b)
3
1
15
7
10
7 c)
3
1
2
1
5
1
3
1
d) 24
3
2
1
4
1 e)
5
1
2
1
1
3
4
3 f)
5
6
3
4
6
3
4
5
g) 4
5
2
3
3
6 h)
5
4
12
8
10
6 i)
12
8
2
10
5
4
6
3
j) 42
3
8
10
4
12 k)
6
5
8
1
3
7
4
6 l)
5
8
5
4
6
3
2
4
3. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS. LA INVERSA D’UNA FRACCIÓ
En la multiplicació de fraccions, multiplicarem de la següent manera: db
ca
d
c
b
a
Per exemple,
35
6
7·5
2·3
7
2·
5
3
Nota:
NO hem d’igualar denominadors!
69
11. Fes les següents multiplicacions, simplificant els resultats:
8
5·
3
4·
5
6)a
8
18)b ·
9
16
c) 10
15·
4
3=
8
3·
6
5)d =
6
5·
8
3)e =
4
3·
12
8)f =
g)2
5·
4
6=
h) 15
4·
8
10
i) 10
5·
2
6=
j) 4
2·
3
5=
k) 5
6·
8
4=
l) 9
2·
12
6=
Pensa que podem simplificar SEMPRE, dividint numerador i denominador per un mateix
nombre.
15
1
3
1·
5
1
12
1·
5
4
12
5·
25
4
És més fàcil que multiplicar 25·12 i després simplificar, no?
La inversa d’una fracció és aquella que en multiplicar-la ens dona 1. Bastarà en invertir
numerador per denominador.
Exemple:
La inversa de 5
3és
3
5, donat que,
5
3·3
5= 1
1
1
15
15
12. Cerca les inverses de les següents fraccions:
La inversa de 5
2és
La inversa de 8
2és
La inversa de 3 és
La inversa de 6
1és
La inversa de 6
5és
La inversa de 7
2 és
70
La divisió de fraccions és la multiplicació per la seva inversa.
Exemple:
8
2:6
7=
8
2·7
6=
7·8
6·2=
56
12=
14
3
També és pot fer directament multiplicant en ping-pong:
8
2:6
7=
14
3
56
12
7·8
6·2
13. Fes les següents divisions:
a) 3
8:
6
2=
b) 8
2:6
7=
c) 6
3:
6
5=
d) 6
3:
8
2 =
e) 15
8:
10
2=
f) 6
8:
9
3=
g) 3
12:
2
6=
h) 16
4:
3
2=
i) 4
3:
6
5=
j) 8
2:
6
5=
k) 15
9:
10
2=
l) 8
4:
10
5=
4. OPERACIONS COMBINADES.
14. Calcula i simplifica, tenint en compte la prioritat d’operacions:
a. 5
7
3
4
3
10
b. 2
7
6
8
5
2=
c. 8
2:6
7+
4
5=
d. 8
3
6
5:
5
2=
e. 4
3·
4
3
6
1=
f. 9
4
6
4·
8
3
4
2
g. 1
6
4
5
3
4
1
9
h. 2
3
4
5
1
3
2
8
i. 4
3
2
5
3
1
j. 7
6
5
32
k. 2
1
5
2:1
l. 7
62
5
32
m. 4
3
3
1
2
5
3
1
n. 2
5
3
1
9
2
o. 7
1
5
21
p. 3
2:
2
5
3
1
q. 5
3
2
5:
3
1
r. 38
54
3
25
s. 69
4
12
5
8
3:
5
9
t. 3
5
4
7
4
14
u. 52
3
1
92
71
v. 3
4
1
52
5
4
2
9
7
12
w. 8
5
5
2 - 3 =
x. 4
3:
8
3
6
5=
y. (5
2-15
6)·
4
3=
z. 9
1:
5
3
5
4·
6
2
aa. 14
3
7
4
3
5
5. PROBLEMES
Exemples:
DIRECTE: Sabem el total i volem trobar una part
15. Un sastre té 105 metres de tela. Si dedica 4/7 parts de tela per fer samarretes, quants metres
dedicarà per fer samarretes? I si necessita 3/5 metres per fer cada samarreta, quantes samarretes hi
podrà fer?
INVERS: Sabem una part i volem el total
16. Si Joana s’ha gastat 1/4 del que tenia en un CD i ara li queden 112 €. Quants euros tenia al
començament?
PART D’UNA PART
17. El dipòsit d’un cotxe estava ple de gasolina en començar el viatge. En acabar la primera etapa li
queden 3/5del dipòsit. En la segona etapa s’ha gastat la meitat del que li quedava, Si li queden 15
litres. Quina és la capacitat del dipòsit? Quants litres va gastar en cada etapa?
Intenta-ho tu ara!
18. Un camió porta a la caixa 3/8 de fruita, 2/5 de verdura i 1/6 de patates. Volem saber:
a) Quina fracció de la caixa del camió està ocupada.
b) Quina fracció queda lliure.
19. Un vaixell transporta 2500 quilos de pesca congelada. La quarta part és lluç, els 2/5 de la càrrega
són sardines del Cantàbric, i la resta es compon de marisc.
a) Quina fracció del vaixell està ocupada per marisc?
b) Quants quilos de lluç porta el vaixell?
c) Quants quilos no són sardines?
72
20. Avui és la final de l’equip de futbol juvenil. Al camp de futbol 2/3 dels espectadors estan situats
als seients laterals, 1/5 en els dos fons, i queden 1000 localitats lliures. Quants espectadors omplirien
totalment el camp?
21. Un pot de melmelada pesa 250 grams quan és ple només en una cinquena part. Quant pesa quan
està ple?
22. Calcula:
a) Els tres mitjos de la meitat de 36 €.
b) La quarta part del terç de dotze dotzenes.
c) Els vuit terços del doble de 150 €.
d) Els cinc setens de la dècima part de 350 €.
23. Si cada ampolla de perfum conté 1/5 de litre, quants litres de perfum necessitarem per omplir
100 ampolles iguals?
24. Un quilo de patates primerenques val 3 €.
a) Quant valen tres quilos i quart?
b) Quants quilos podràs comprar amb 14 €? Expressa-ho en forma de fracció.
25. En Joan tenia 60€ i n’ha gastat 2/3. L’Anna tenia 40€ i n’ha gastat la meitat. L’Òscar tenia 50€ i
n’ha estalviat 2/5 del que tenia.
a) Quants diners han gastat entre en Joan i l’Anna?
b) Quants diners tenen ara entre els tres?
26. D’un dipòsit de 100L el primer dia buidem 2/5 parts; i del que queda, el segon dia buidem 1/4
part. Quants litres queden en el dipòsit?
27. D’una herència me corresponen 3/8 parts, si m’han donat 60.000€, quant era el total de
l’herència?
28. Si els 2/5 dels estalvis d’en Rafael són 100 €, quina quantitat té estalviada?
29. Si en un solar terreny li dediquem 2/9 per fer el jardí i ens quedem amb 180m2 per fer el xalet,
quants metres quadrats de el solar?
30. Un dipòsit té una fuga, en total s’han perdut 60L, si suposen 2/3 del dipòsit, quina és la capacitat
del dipòsit?
Espai Clic: http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=2060
73
6. AUTOAVALUACIÓ
a.
2
3
5
24
3
3
1
=
b.
6
8·
4
3
5
2
2
1
5
2
4
3
=
c.
37
24
3:
2
5
3
2
=
d.
4
7
2
8·
3
5
3
4·
6
1
2
9
=
e.
4
1
3
2·
3
5
5
2:
4
3
4
5
3
1
6
2·
4
5
2
3
=
f. 12
7
6
5·
4
2
2
6·
9
2
4
52
3
7·
5
2
4
1
5
1
4
3
g. 3
4:
9
1
3
1·
5
4
6
1·
4
3
5
4
6
1
h. 66
1
5
4:
9
4
4
3
2
7
12
5
8
3:
5
9
i.
5
32
1
3
1
j.
8
11
4
11
74
k.
4
13
2
l.
10
3:
5
3
5
4
4
1
23
11
2
3
8
5:
4
3
m.
8
5
4
3
2
1
13
4:
2
1
4
3
n.
2
3
11
1
5
2
2
1
6
5:
3
12
o.
2
1
3
1
4
1
2
1
6
5
2
1
p. 23
17:
2
1
3
5
q. 4
1
2
1:31
4
2:5
r. 3
1
6
5
6
1
2
1
4
3
3
2
s. 4
3
3
1
2
5
3
1
t. 3:2
1
8
114
u. 2
3:2
5
2
10
35
v. 4:59
21:7
w. 13
1:1
3
213
9
1
3
22
x. 2
11:3
2
1
6
1:2
y. 2
1
3
1
5
231
6
1
z. 33
11
20
17
5
31
8
3
75
UNITAT 6: PROPORCIONALITAT I PERCENTATGE
1. MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS
2. MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS
3. PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA
4. PROBLEMES AMB PERCENTATGES
5. INTERÈS BANCARI
6. REPARTIMENTS PROPORCIONALS
7. PROBLEMES
8. AUTOAVALUACIÓ
76
1. MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS
Donades dues magnituds, si quan una d’elles augmenta (o
disminueix), l’altra augmenta (o disminueix) en la mateixa quantitat,
es diu que són magnituds directament proporcionals.
Per exemple: 1kg de taronges val 2’50 €. 2kg costen 5 €, (hem doblat el
pes de taronges i el preu s’ha multiplicat també per 2); 4kg costen 10 €;
8kg costen 20 €; 10kg costen 25 €
Quants doblers costaran 3kg i mig de taronges ?
€75'81
€5'25'3
kgkg
També es pot resoldre amb la regla de tres de la següent forma:
Taula de dades:
Regla de tres: x
5'2
5'3
1
Càlcul de la x: €75'81
5'2·5'3x .
Fixa’t: la regla de tres es realitza de la següent forma:
Magnitud A
Magnitud B
x
x =
Pes (kg) Preu (€)
1 2’50
3’50 x
·
PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT DIRECTA :
1. Quatre litres de llet han costat 2’6 €. Quant en costen tres?
2. Quatre bolígrafs costen 4’8 €. Quant costaran tres bolígrafs? I deu bolígrafs?
77
3. Mig quilo de pernil dolç costa 7’2 €. Quant costaran 350 grams?
4. Un camió ha recorregut 120 km en una hora i mitja. Si continua a la mateixa
velocitat, quina distància recorrerà en cinc hores i mitja?
5. Una font ha tardat 72 segons a omplir una garrafa de 6 litres. Quin temps
tardarà a omplir una gerra de 25 litres?
2. MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS
Donades dues magnituds, es diu que són inversament proporcionals
si en augmentar una d’elles en certa quantitat, l’altra disminueix en
la mateixa quantitat.
Exemple 1: Una família de 4 persones consumeix cada 6 dies una capsa de
galletes per berenar. Quant de temps tardarien en consumir la mateixa
capsa si fossin 8 membres? El doble de persones, tarden la meitat de
temps. I si fossin 2? La meitat de persones tarden la meitat de temps.
NOTA: La paraula indirecta no s’utilitza parlant de proporcionalitat.
Es diu INVERSAMENT PROPORCIONAL.
Exemple 2 : Un granger té alfals per alimentar les seves 3 vaques
durant 10 dies. Quant li durarà el farratge si tingués 5 vaques?
També es pot resoldre aplicant la REGLA DE TRES INVERSA:
1r) Taula de dades.
N. de
vaques
Temps
(dies)
3 10
5 x
78
2n) Regla de tres inversa: x
10
3
5 una de les fraccions s’inverteix (gira).
3r) Càlcul de la x: 65
10·3x
Fixa’t: la regla de tres inversa es realitza de la següent forma:
Magnitud A Magnitud B
x
x =
·
PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT INVERSA :
6. Vuit obrers construeixen una paret en 9 dies. Quant tardarien a fer-ho sis obrers?
7. Un cotxe, a 90 km/h, fa un recorregut en 5 hores. Quant de temps guanyaria si
augmentes la seva velocitat en 10 km/h?
8. Un cotxe, a 80 km/h, tarda 2h a arribar a Barcelona. Quant tardaria un camió, a 40
km/h? I un bòlid, a 160 km/h?
9. Tres operaris netegen un parc en 7 hores. Quant tardarien a fer el mateix treball 7
operaris?
10. Amb un canó d’aigua, per on l’aigua surt a 3 l/s (litres per segon), es tarda 20 minuts
a omplir un dipòsit.
a. Quant tardaria amb un cabal de 2 l/s?
b. I si fos de 10 litres per segon?
79
3. PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA
La proporcionalitat composta es dóna quan intervenen més de
dues magnituds proporcioals.
Exemple: Un granger ha necessitat 294 quilos de pinso per alimentar 15
vaques durant una setmana. Quants quilos de pinso es necessiten per
alimentar 10 vaques durant 30 dies?
Per resoldre aquest tipus de problemes cal seguir els següents passos:
1r) Identificar les magnituds que hi intervenen. A L’exemple, les hem subrratllades dins l’enunciat
2n) Ordenar les dades en columnes o en una taula.
Vaques Durada (d) Pinso (kg)
15 7 294
10 30 x
Fixa’t: S’ha escrit a la 3a columna la magnitud a la qual correspon la
incògnita (la x). És útil seguir sempre aquest procediment.
3r) Establir el tipus de proporcionalitat (directa o inversa) que relaciona
cada magnitud (per separat) amb la magnitud de la incògnita.
Vaques - Pinso Proporcionalitat directa (PD)
Durada – Pinso Proporcionalitat directa (PD)
4t) Plantejar la regla de tres composta tenint present que, si la
proporcionalitat és inversa, cal invertir (girar) la fracció corresponent.
30
7·
10
15294
x
5é) Realitzar el producte de fraccions ·300
105294
x per obtenir el valor
de la x : 840105
300294xx .
Es necessiten, aproximadament 840kg de pinso per alimentar 10
vaques durant 30 dies
PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA :
11. Un equip de neteja format per 20 persones que treballen 4 hores diàries, neteja
18 oficines. Es vol contractar dues persones més i augmentar la jornada a 8
hores diàries. Quantes oficines podrà fer net el nou equip?
80
12. Un ramader necessita 750 kg de pinso per alimentar 50 vaques durant 10 dies.
Quants dies podria alimentar 40vaques amb 1800 kg de pinso?
13. Vuit màquines teixidores produeixen 384 guardapits de punt en quatre dies.
Quina quantitat de guardapits produiran cinc d’aquestes màquines en tres dies?
I nou màquines en dos dies?
14. Quants dies tarden cinc màquines de l’exercici anterior per fabricar 180
guardapits?
15. A un ramader, 24 vaques li suposen una despesa de 105 euros per dia. Quants
euros s’estalviaria al mes si vengués 10 vaques?
4. PROBLEMES DE PERCENTATGES %
El percentatge és una proporció on el total imaginari és 100.
Exemple 1: el 40% dels alumnes d’una classe són al·lots .És a dir, si a la classe
fóssin 100 alumnes, 40 serien al·lots.
Exemple 2: han rebaixat el 15% del preu original d’unes sabates. És a dir, si el preu
fos 100 euros,rebaixarien 15€.
Per resoldre problemes de percentatges, cal tenir clar que es tracta d’una
regla de tres i distingir, en cada cas, les dades i què és allò que es cerca..
Exemple: Si el 40% d’una classe de 30 alumnes són al·lots.
a) Quants al·lots i quantes al·lotes formen aquesta classe?
Taula:
Regla de tres : x
40
30
100
Càlcul de la x: 12100
40·30x
El 40% de 30 és 12. A la classe hi ha 12 al·lots i 18 al·lotes.
b) Si un examen de Matemàtiques han aprovat 27 alumnes dels 30.
Quin és el percentatge d’aprovats en aquest examen? I de suspesos?
x
27
100
30 90
30
27·100x
Ha aprovat un 90% de la classe.
c) Si aquesta classe representa un 8% del total d’alumnes de l’institut.
Quants alumnes hi ha a aquest institut?
x
100
30
8 375
8
100·30x
A l’institut hi ha un total de 375 alumnes.
Total Al·lots
Imaginari 100 40
Real 30 x
Total Aprovats
Real 30 27
Imaginari 100 x
Classe Total
Imaginari 8 100
Real 30 x
81
Augment i disminució de percentatges: Si el preu d’unes sabates està rebaixat un 15%, ja no paguem el 100%,
paguem un 85% del preu original. (100-15=85)
Si una població ha augmentat un 15% , el tant per cent d’habitants és un
115% de l’inicial. (100+15)
PROBLEMES DE PERCENTATGES:
16. En la capsa d’una coneguda marca d’aliments apareix la composició nutritiva: PROTEINES...26%
HIDRATS DE CARBONI…8,5%
GREIX…5%
LACTOSA…9%
ALTRES…3%.
La resta és aigua. Quin percentatge d’aigua conté?
17. El 8% dels 575 alumnes matriculats enguany són nouvinguts. Quants alumnes són
de nouvinguts?
18. Una família amb uns ingressos mensuals de 2400 € gasta 400€ en oci. Quin
percentatge dels ingressos es dedica a l’oci en aquesta família? Quin percentatge els
queda per a altres despeses?
19. Na Joana aprofita les rebaixes de gener per comprar-se un vestit que al desembre
costava 52 €. Al gener li fan un descompte del 10%.
a) Quin és el percentatge que ha de pagar?
b) Quant val ara el vestit?
c) Quants doblers s’ha estalviat?
20. La factura d’un sopar sense IVA de cinc amics en un restaurant és de 177,35€. Si el
7% correspon a l’IVA. Quin és el preu final? Si en Toni ha d’anar-se’n abans i
deixa 10€, quants de diners hauran de posar la resta dels quatre amics?
5. INTERÈS SIMPLE
En guardar o prestar doblers a un compte bancari, el pas del temps provoca
una pèrdua del valor d’aquest capital. Per compensar aquesta pèrdua,
s’ofereix els anomenats interessos. Un tipus d’interès és l’interès simple.
Per calcular els doblers que genera una quantitat determinada d’euros a
interès simple durant un temps determinat s’aplica la següent fórmula:
100
trCI
C és el capital inicial, r és el rèdit o interès i t és el temps en anys*.
82
Capital acumulat = IC
Per exemple: Quants doblers produeixen 5000€ a un interès simple
del 7% anual durant 6 anys? Quin és el capital acumulat al final
d’aquest període?
Si tenim en compte les dades de l’exemple:
6
7
5000
t
r
C
€2100100
675000
100
trCI és l’interès produït al llarg
de 6 anys.
El capital acumulat durant aquest període és 5000+2100=7100€.
*NOTA: Si la dada del temps ve donada en dies, mesos,... hauràs de fer una
regla de tres i passar-la a anys.
PROBLEMES D’ INTERÈS SIMPLE:
21. Calcula l’interès que produeix 3000 € prestats al 8% anual en 6 anys. Torna a fer
els càlculs si els temps del préstec és de 8 mesos.
22. Obtén el capital acumulat que produeixen 2000 € al 3% anual en 50 anys.
23. Calcula el capital acumulat al 6% anual durant 2 anys, si fem un dipòsit de
10000 euros.
24. Quin és l’interès que produeixen 6000 al 12% anual durant 5 anys. I durant 6
mesos? I durant 200 dies?.
25. Un empresari té uns beneficis de 30 000 euros; si un banc li ofereix un 7% anual
per dipositar els diners durant 3 anys, mentres que, un altre li ofereix un 2%
anual per dipositar els diners durant 9 anys. Quin banc li convé més?
6. REPARTIMENTS PROPORCIONALS
Si en Joan , na Marta i en Vicent han estat utilitzant internet durant 6 hores
en un ciber i els han cobrat 4’5 €. Quants de doblers ha de posar cadascun?
Si els tres amics han utilitzat el mateix temps aquest servei, haurien de
pagar un terç cadascú (4’5:3). És a dir, 1’5€ per persona.
Però, què ocorre si en Joan ha estat 4 hores, na Marta una hora i mitja i en
Vicent només mitja hora?
Es tracta d’un repartiment proporcional: cada amic ha de pagar segons el
83
temps que ha emprat la xarxa.
Per resoldre-ho, s’escriu la fracció de temps que ha emprat cada amic i es
planteja la regla de tres corresponent a cada cas:
En Joan ha emprat 4 hores de 6, és a dir: x
5'4
4
6 3
6
4·5'4x
Na Marta ha emprat 1’5 hores de 6,és a dir x
5'4
5'1
6 125'1
6
5'1·5'4x
En Vicent ha emprat 0’5 hores de 6, és a dir x
5'4
5'0
6 x= 375'0
6
5'0·5'4
Aproximant, en Joan ha de pagar 3€, na Maria 1€i 12c i en Vicent ha de
pagar 38c
PROBLEMES DE REPARTIMENTS PROPORCIONALS:
26. En Pep, en Jaume i en Robert han cobrat 2250€ fent feina de picapedrers. En
Pep ha estat 70 hores, en Jaume 25 hores i en Robert 55 hores. Com es repartiran
els guanys?
27. Dues germanes compren 7 camisetes interiors per 87’5€. Una es queda amb 5 i
l’altra amb dues, quant ha de pagar cadascuna?
28. Tres socis varen posar 3000€, 4500€ i 6250€ respectivament, per muntar una
perruqueria. Si els guanys del primer any varen ser de 27500€, quant
correspondrà a cadascú?
29. Entre tres famílies lloguen un apartament durant 21 dies. La família d’en Miquel
hi va 10 dies, la de na Maria el gaudeix 6 dies, mentres que la d’en Tomeu hi va
5 dies. L’import del lloguer ascendeix a 630€. Quant ha de pagar cada família?
30. En Sergi i Na Antònia han guanyat 150 000€ en la loteria de Nadal però en Sergi
havia posat 15€ i na Antònia 5€, com hauran de repartir el premi?
7. PROBLEMES
31. Indica, entre els parells de magnituds següents, els que són directament
proporcionals, els que són inversament proporcionals i els que no guarden
relació de proporcionalitat:
a. L’edat d’una persona i el seu pes.
b. La quantitat de pluja caiguda en un any i el creixement d’una planta.
c. El nombre de fulls que conté un paquet de folis i el seu pes.
d. La velocitat d’un cotxe i el temps que dura un viatge.
e. L’altura d’una persona i el número de calçat que usa.
f. El preu del kg de taronges i el nombre de kg que em donen per 10€.
32. Imagina’t que en una recepta d’un pastís per a 6 persones es necessiten 400 g de
farina. Hem de saber quina quantitat de farina cal per fer un pastís per a 9
84
persones, i també ens interessa saber per a quantes persones és un pastís que
contingui 1,6 kg de farina. Completa la taula trobant les proporcions que falten.
N. de persones Pes de farina (g)
6 400
9 ?
? 1600
33. El preu de 24 fotocòpies és de 96 cèntims. Quant ens costaran 54 fotocòpies?
Quantes en podem fer amb 72 cèntims?
N. de fotocòpies Cost (cèntims)
24 96
54 ?
? 72
34. Un tractor llaura a una velocitat constant. La taula següent reflecteix el temps
que ha transcorregut i la distància que ha recorregut en aquest temps:
Temps (min) Distància (km)
8 ?
12 3
? 10
a. Són proporcionals les dues magnituds? Per què?
b. Troba la distància que recorrerà el tractor en 8 minuts.
c. Troba el temps que tardarà a recòrrer 10 km.
35. Per posar 360 kg d’avellanes en sacs han calgut 9 sacs iguals. Quant pesaran 7
sacs d’avellanes?
36. Es tarden 18 minuts en omplir un dipòsit de 600l. Quants litres hi haurà al cap de
12 minuts? Quant tardaran a omplir un dipòsit de 500l?
37. A un restaurant hi ha 3l de vi blanc per cada 4l de vi negre. Si tenen 320l de vi
negre, quants n’hi ha de vi blanc i quants hi ha en total?
38. Na Marina ha fet un examen de 8 preguntes on cada pregunta val un punt. Si la
qualificació que ha obtès ha estat de 6 punts. Quina serà la nota equivalent sobre
un total de 10 punts?
39. En un congrés mèdic la proporció d’homes respecte de les dones és de 8/5. Quin
nombre hi ha de dones si hi participen 24 homes?
40. El nombre de gols als dos porters (titular i reserva) d’un equip de futbol es troba
a raó de 3/4 . És a dir, cada 4 gols que encaixa l’equip, 3 són amb el porter
titular. Quants gols han marcat a l’equip, si al titular li n’han fet trenta?
41. Per tres hores de treball, l’Albert ha cobrat 60 €. Quant cobrarà per 5 hores?
85
42. Un camió, a 60 km/h, triga 40 minuts a cobrir un recorregut determinat. Quant
trigarà un cotxe a 120 km/h?
43. Una màquina embotelladora ompli 240 botelles en 20 minuts. Quantes botelles
omplirà en una hora i mitja?
44. Amb 6000 kg de raïm s’han obtès 1250l de most. Quina quantitat de raïm serà
necessari per a aconseguir 5 000 l de most?
45. Una aixeta que vessa un cabal de 3 l/min omple un dipòsit en 20 minuts. Quant
tardarà a omplir aquest mateix dipòsit una altra aixeta el cabal de la qual és de 5
l/min?
46. Quatre màquines excavadores fan un treball de moviment de terres en 14 dies.
Quant de temps es tarda a fer el mateix treball amb set màquines excavadores?
47. Un tren ha recorregut 240 km en tres hores. Si manté la mateixa velocitat, quants
km recorrerà en les pròximes dues hores?
48. Una aixeta, oberta durant 10 minuts, fa que el nivell d’un dipòsit augmenti 35
cm. Quant augmenta el nivell d’aquest dipòsit, si l’aixeta roman oberta 18
minuts més? Quant de temps haurà de romandre oberta perquè el nivell pugi 70
cm?
49. Un automobilista arriba a una gasolinera amb el dipòsit buit i 54 673 km en el
compta quilòmetres. L’ompli amb 39 litres de gasolina i continua el seu viatge.
Quan torna a tenir el dipòsit buit, el comptador marca 55 273 km. Quin és el
consum de combustible cada 100 km recorreguts?
50. Una empresa de confecció ha de lliurar una comanda en 12 dies. Per poder
complir l’encàrrec ha de fabricar 2000 peces diàries. Però, sofreix una avaria que
atura la producció durant dues jornades. Quantes peces haurà de fabricar
diàriament per enfrontar-se a aquesta nova situació?
51. Si un cotxe a 90 km/h consumeix 6’5l cada 100 km, quina quantitat consumirà si
recorre 425 km a la mateixa velocitat?
52. Una canonada amb un cabal de 45 l/min omple un dipòsit en hora i mitja. En
quant de temps s’omplirà el dipòsit si s’augmenta el cabal fins als 90 l/min? I si
tant sols s’augmenta fins 60 l/min?
53. Un tren, a 80 km/h, tarda 5 hores per anar de València a Barcelona. A quina
velocitat haurà de fer el viatge de tornada per cobrir el recorregut en 4 hores?
54. De 475 homens enquestats, només 76 declaren que saben planxar. Quin
percentatge d’homes reconeixen que saben planxar?
55. Si vaig a 60 km/h, tard 30 minuts en arribar a la feina. Quant tardaré si vaig a 50
km/h? Quants km recorreré en 1 minut anant a 60km/h?
86
56. Si tres operaris tarden 10 hores a netejar una nau, quant tardaran cinc operaris a
fer el mateix treball?
57. Una població ha consumit 30 dam3 d’aigua en 5 mesos. Quants de decàmetres
cúbics consumirà a l’any?
58. La població del problema anterior es proveeix d’un embassament que conté 100
dam3 d’aigua. Quant de temps podria disposar d’aigua en cas de no ploure?
59. Un cotxe, a 90 km/h, fa un recorregut en 5 hores. Quin temps guanyaria si
augmenta la seva velocitat en 10 km/h?
60. Per omplir un piló d’aigua per a rec fins a una altura de 80 cm s’ha obert una
aixeta amb un cabal de 20 l/min durant 1 h 20 min. Quant de temps tardarà a
omplir-se aquest mateix piló fins a una altura de 90cm si, a més a més, s’obri
una altra aixeta de 15 l/min de cabal?
61. Cinc màquines iguals envasen 2160l d’oli en una hora. Quants de litres
envasaran tres màquines en dues hores i mitja? Quin temps tardaran quatre
màquines a envasar 12 000 litres?
62. Dotze picapedrers treballant 8 hores diàries acaben una feina en 25 dies. Quant
de temps tardaran a fer la mateixa feina 5 picapedrers treballant 10 hores al dia?
63. Una aixeta domèstica normal vessa 12 litres per minut. Quants litres d’aigua es
tuden, si queda oberta mig minut aquesta aixeta?
64. Na Virgínia fa 1’60 m d’altura i, en aquest moment, la seva ombra té una
longitud de 0’8 m. Si l’ombra d’un arbre que hi ha al costat mesura 10m, quina
és la seva altura?
65. Na Rosa, na Carme i en Sebastià han decidit anar al teatre. Les tres entrades els
han costat 9’6 €. Quant els haurien costat les entrades si haguessin convidat a
dos amics més?
66. Cinc treballadors seguen un camp en 6hores. Quant tardarien a segar aquest
mateix camp 3 treballadors?
67. Per 840 g de bombons, na Rosa ha pagat 12€ i 25c. Quant li costarà a Robert si
n’ha comprat 1kg i 200g?
68. Una botiga rebaixa tots els articles en la mateixa proporció. Si per una camiseta
de 18 € he pagat 16’20 €, quant he de pagar per un jersei de 90€? Quin és el tant
per cent de descompte?
69. Per 2 kg 300 g de lluç hem pagat 41,4€. Quant pagarem per 1kg 700 g?
70. Dues poblacions disten 18km i a un mapa es representen a 7cm de distància.
Quina és la distància real entre altres dues ciutats que, en el mateix mapa, es
troben separades 21cm? A quants km reals correspon 1cm d’aquest mapa?
87
71. Cinquanta vedells consumeixen 4 200 kg d’alfals a la setmana.
a. Quin és el consum d’alfals per vedells i dia?
b. Quants de kg d’alfals es necessitaran per alimentar 20 vedells durant 15
dies?
c. Durant quants de dies podem alimentar 15 vedells si disposem de 600 kg
d’alfals?
72. Per enviar un paquet de 5 kg de pes a una població que es troba a 60 km de
distància, una empresa de transport cobra 9€. Quant costarà enviar un paquet de
15 kg a 200 km de distància?
73. Una peça de tela de 2’5 m de llarg i 80 cm d’ample costa 30 €. Quant costarà
una altra peça de tela de la mateixa qualitat de 3 m de llarg i 1’20 m d’ample?
76. El 24% dels habitants d’un llogaret tenen menys de 30 anys. Quants d’habitants
té el llogaret, si hi ha 90 joves menors de 30 anys?
77. Calcula el 20%, 40%, 25%, 50%, 75% i el 100% de 300€.
78. D’una paret enrajolada, n’han caigut el 30% dels taulells. Si la paret fa 4 m x 8
m i cada taulell 10 cm x 10 cm, quants de taulells hi ha de reposar?
79. He venut el meu cotxe vell per comprar-me’n un de nou. El vaig comprar per
16 000€ i, després d´11 anys, m’han pagat 2000€. Quin percentatge del valor de
la compra del cotxe he pagat? I quin percentatge he perdut?
80. A uns grans magatzems fan un descompte del 15%. Si el preu d’uns calçons és
de 34’4 €, amb el descompte ja efectuat, quin era el preu original d’aquests
calçons?
81. Na Sara ha comprat un jersei que costava 35€, però li han fet una rebaixa del
15%. Quant ha pagat?
82. En Robert ha pagat 29’75€ per uns pantalons que estaven rebaixats un 15%.
Quant costaven els pantalons sense rebaixar?
83. He anat a comprar una pilota que costava 45€, però m’ha fet una rebaixa del 5%.
Quant he pagat per la pilota?
84. La paga mensual de n’Andreu és de 25€, però li han promès un augment del
20% ell pròxim mes. Quina serà la seva nova assignació mensual?
85. Calcula el teu percentatge d’aprovats durant la 1a. avaluació.
86. En unes eleccions municipals, el partit guanyador va obtenir el 48% dels vots. Si
el nombre total de votants va ser de 635100, quants vots va obtenir aquest partit?
87. Dels 35 alumnes d’una classe, 21 són al·lots.
a. Quin percentatge d´ alumnes són al·lotes?
b. Ara calcula el % d’al·lotes que hi ha en la teva classe.
88
88. Un centre escolar té 750 alumnes, el 70% dels quals practica qualque esport.
a. Quants alumnes practiquen qualque esport?
b. Quants alumnes no fan esport?
89. En l’últim partit de bàsquet de la meva ciutat, els cinc jugadors de l’equip titular
van realitzar les annotacions que recull la taula següent.
Cistelles llançaments %
PAU 8 19
O´NEIL 9 12
R.MILLER 16 20
LOSA 7 11
BIRIAKOV 2 8
Completa la taula amb el percentatge d’encerts de cada jugador.
PROBLEMES D’INTERÈS SIMPLE
93. Una persona obri un compte amb 17 625€. Passat un temps retira els diners i li
donen 19 780€.
a. Quin ha estat l’interès produït?
b. Quin era el capital inicial?
c. Quin és el seu capital actualment?
94. Un empresari ha dut el seu capital al banc de 134 000euros i li han ofert un
diposit de 4 anys al 6%.
a. Quin és l’interès produït?
b. Quin serà el capital total de l’empresari al cap de quatre anys?
95. Completa el següent quadre amb l’interès simple:
C R t I
27000€ 6% 1mes
3500€ 5% 17 mesos
472€ 4,5% 3mesos
9310€ 3% 128 mesos
96. Una persona gasta setmanalment 8’75€ en periòdics i revistes. Durant un any
decideix anular aquesta despesa i els diners estalviats els col·loca als 5’5% anual
durant 4 anys. Quin és l’interès produït al llarg d’aquest temps? (Ajuda: Un any
té 52 setmanes)
89
8. AUTOAVALUACIÓ
1.Tres-cents grams de formatge costen 5’46€.
a. Quant costarà mig quilo?
b.Quant formatge podré comprar amb 3€?
a) 9’1€ i 164 grams b) 9’1€ i 165 grams c) 8’45€ i 165 grams
2. Un camió tarda 6 hores a cobrir el trajecte entre dues poblacions, a una velocitat
mitjana de 80 km/h. Quant hauria tardat a una velocitat de 120 km/h?
a) 9 h b) 4 h c) 8 h
3. Un cinema, que fa dues sessions diàries, pot donar entrada a 18 000 persones en 30
dies. Quantes persones podrà rebre aquest local en 45 dies si amplia l’oferta a tres
sessions diàries?
a) 18000 persones b) 67500 persones c) 40500 persones
4. Una família gasta el 18% del pressupost en alimentació. Si els ingressos que té són
1800 € mensuals, quants de diners gasten al mes en aliments?
a) 1476 € b) 324 € c) 375 €
5.Na Mireia ha pagat 29’75 € per una brusa que costava 35 €. Quin tant per cent li han
rebaixat?
a) 20% b) 15% c) 85%
6.M’han augmentat la paga un 5%. Si abans em donaven 15€, ara em donaran:
a) 15’75 € b) 15’25 € c) 0’75 €
7.En comprar una camisa de 20€, em fan un descompte del 10% i desprès em cobren el
16% de l’IVA. Al final hauré de pagar:
a) 20’88 € b) 25’52 € c) 18 €
8. Si ingressem al banc 3960€ durant 4 anys al 5%, quin és el capital final?
a) 19800 € b) 792 € c) 7920 €
90
UNITAT 7: ÀLGEBRA
1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC
2. MONOMIS
2.1. COEFICIENT I GRAU D’UN MONOMI
2.2. VALOR NUMÈRIC D’UN MONOMI
2.3. OPERACIONS AMB MONOMIS
2.3.1. SUMA
2.3.2. RESTA
2.3.3. MULTIPLICACIÓ
2.3.4. POTÈNCIA
2.3.5. DIVISIÓ
3. POLINOMIS
3.1. GRAU D’UN POLINOMI
3.2. VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI
3.3. OPERACIONS AMB POLINÒMIS
3.3.1. SUMA
3.3.2. RESTA
3.3.3. MULTIPLICACIÓI DIVISIÓ D’UN POLINOMI PER UN NOMBRE
3.3.4. MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN MONOMI PER UN POLINOMI
3.3.5. MULTIPLICACIÓ D’UN POLINOMI PER UN POLINOMI
3.3.6 OPERACIONS COMBINADES
4. FACTOR COMÚ
5. IDENTITATS NOTABLES
6. AUTOAVALUACIÓ
91
1. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC
El llenguatge algebraic és el llenguatge que utilitzen les matemàtiques
en el qual s’utilitzen nombres i lletres (les lletres s’utilitzen per expressar
nombres de valor desconegut).
1. Si anomenem “e” a l’edat de n’Aina, expressa algebraicament:
a) L’edat d’ Aina fa dos anys.
b) L’edat d’Andreu és la meitat que l’edat de n’Aina.
c) L’edat d’Aina d’aquí a cinc anys.
d) L’edat de na Marga és el doble que la de n’Aina.
2. Expressa aquestes relacions algebraicament. Considera t els minuts que ha trigat en
Bernat a completar la cursa.
a) En Marc ha trigat la meitat de temps que en Bernat.
b) La Lluïsa ha trigat el triple de temps que en Marc.
c) En Roger ha trigat el mateix temps que en Marc més 20 minuts.
d) La Laura ha trigat el doble de temps que en Roger.
3. Escriu en llenguatge algebraic les expressions següents:
a) Quatre menys un nombre.
b) El quàdruple d’un nombre.
c) La quarta part d’un nombre.
d) Dos nombres es diferencien en 4 unitats.
e) La quarta part d’un nombre més la seva cinquena part.
4. Expressa en llenguatge algebraic les expressions següents:
a) Nombre de sabates que hi ha en una habitació amb x persones.
b) Nombre de dits a x mans.
c) Nombre d’orelles en una habitació amb x persones.
d) Nombre de persones que hi ha en una habitació després d’arribar-ne 2.
e) Nombre de cromos que em queden després de perdre’n 12 en un joc.
5. Expressa en llenguatge algebraic les expressions següents:
a) El doble d’un nombre menys la seva meitat.
b) La meitat d’un nombre menys el seu doble.
c) El doble d’un nombre menys 4.
d) La meitat de pomes d’un cistell.
e) En el preu d’un cotxe que val x em descompten 15 euros.
f) Nombre de viatgers en un autobús després de baixar-ne 8.
g) La meitat d’un nombre més 2 unitats.
92
2. MONOMIS
2.1 COEFICIENT I GRAU D’UN MONOMI
Un monomi és el producte d’un valor numèric (anomenat COEFICIENT),
per una o més lletres (anomenada PART LITERAL).
Per exemple: coeficient 5a part literal
coeficient - 67x3
part literal
coeficient 3
2z
3y
part literal
Si dos monomis tenen la mateixa part literal els anomenarem monomis
semblants.
6. Còpia i completa:
MONOMI 5b - 15z6
52xy3
3
1t2s
6 0,59x
7y
COEFICIENT
PART
LITERAL
7. Identifica quines d’aquestes expressions són monomis:
a) – 24v e) x + 5
b) 3 x4 f) 2k
5 - 1
c) 5 g) 8
5g
5h
8
d) z7 h) 3x + 2 x
2
Hi ha monomis semblants, en aquest exercici?
8. Posa dos exemples de monomis semblants.
S’anomena grau d’un monomi el nombre de factors que formen la part
literal, és a dir, és la suma de tots els exponents de la part literal.
Per exemple: Als monomis del exemple d’abans
5a
GRAU =1
- 67x3
GRAU = 3
3
2z
3y
GRAU = 4
93
9. Còpia i completa:
MONOMI 5b - 15z6
52xy3
3
1t2s
6 0’59x
7y
GRAU
10. Calcula el grau dels monomis de l’exercici 7.
2.2 VALOR NUMÈRIC D’UN MONOMI
El valor numèric d’un monomi és el valor que té el monomi quan les lletres
prenen valors concrets.
Per exemple:
5x = 10 x = 2
10a2 = 90 a = 3
3x4 = 3 x = - 1
11. Completa:
MONOMI 5b 15z6
3
1xy
3 10t
2s
6 0’59x
7y
VALOR
NUMÈRIC
Si b = 3
5b=........
Si z = - 2
15z6=......
Si x = 3
y = - 1
3
1xy
3=.......
Si t = - 5
s = 2
10t2s
6=.......
Si x = 4
y = 6
0’59x7y= ....
12. Calcula el valor numèric dels següents monomis:
a) 3y = si y = - 5
b) 40a3 = si a =7
c) xy3 = si x = 7, y = 5
d) 0’5z4 = si z = 2
94
2.3 OPERACIONS AMB MONOMIS
SUMA: Dos o més monomis es poden sumar sempre que tinguin la part
literal idèntica (monomis semblants). En aquest cas, es sumen els
coeficients i es deixa la mateixa part literal.
En cas contrari, és a dir, en el cas que no tinguin la part literal idèntica (no
siguin monomis semblants), la suma quedarà indicada.
Per exemple:
5c + 6c = 11c
3x3 + 4x
3 +x
3 = 8x
3
2z + 3z2 = queda així
61s +31t = queda així
13. Suma els següents monomis:
a) 2a + 3a =
b) 15b3 + b
3 =
c) 15x2 + 7x
2 =
d) 9a + 6a + a =
e) 4x2 + 3x =
f) 2b + 6b =
g) 11p + 5p + 2p + p =
h) a + 5b =
i) 4ab + 2ab + 6ab =
j) 5ax + 2ax + ax =
k) 6xy5 + 4xy
5 + xy
5 =
l) 6bx + 3bx6 + 2bx =
14. Suma els següents monomis:
a) 3a + 12a + 30a =
b) 3
1b + 8b =
c) 14ab + 12ab =
d) 46x + 25x + 23x =
e) x2 + x
2 + 2x
2 =
f) 7
3a + 9a
2 =
g) 4x2 + 3x + 7x
2 + 3x + 5x
2 =
h) 15b + 12c + 15b +12c + 13b =
i) 3
1x + 4x +
15
4 x +
3
2x =
j) 6
1x +
3
5x + 8x =
95
15. Suma els següents monomis:
+ 2x 3y x 10x 12y 3x + 8y
6x
4x
5
1y
5y + x
RESTA: Dos o més monomis es poden restar sempre que tinguin la part
literal idèntica (monomis semblants). En aquest cas, es sumen els
coeficients i es deixa la mateixa part literal.
En cas contrari, és a dir, en el cas que no tinguin la part literal idèntica (no
siguin monomis semblants), la resta quedarà indicada.
Per exemple:
50c - 6c = 44c
6x3 - 4x
3 = 2x
3
12z - 3z2 = queda així
61s -31t = queda així
16. Resta els següents monomis:
a) 20x – 8x =
b) 12a - 30a =
c) 13b3 – 18b
3 =
d) - 14ab – ab =
e) 46x – 52x =
f) x2 - x
2 =
g) - 40a – 9a2 =
h) 6x2 – 5x
2 =
i) 15b – 19b =
j) - 10x – x =
k) 72a - 81a =
96
17. Resta els següents monomis:
a) - 17x – 3
5x =
b) 3
1y – y =
c) 56x2 – 95x
2 =
d) 3
10z - z =
e) 18b2 –
15
2b =
f) - 32s3 – 3s
3 =
18. Opera els següents monomis:
a) 5a – 2b – 3a + 6b =
b) 11p + 5q – 2q + p =
c) a – 2 + 3b + 6 + 5a =
d) 4ab – 2ab + 6ab =
e) 5ax – 2ax + bx =
f) 6xy – 4xy + xy =
g) ab + 6bx – ay + 3ab – 2bx =
MULTIPLICACIÓ: Per multiplicar dos monomis, primer multipliquem els
coeficients i després sumem els exponents de les parts literals (sempre que es
tracte de la mateixa lletra).
Per exemple:
2a · 4a = 8a2
3x2 ·(- 5)x = (- 15)x
3
(- 12)x3 · 4x
2y
3 = (- 48)x
5y
3
3z · 7x5 =21zx
5
19. Completa la taula:
· 2x –3x2 – 4xy –2x
3y – 3x
-2 xy
4
6x
– 4x2
– 5y-3
– 8x6
15xy
+ 2x2y
4
97
20. Calcula:
a) 4a ·3 =
b) 5x·2y =
c) (1/2)x·4y =
d) x2·x =
e) (1/3)a·(1/4)b =
f) 6a·(2/3)b =
g) 3x3·2x
4 =
h) (x/2)·(y/3)·(z/4) =
POTÈNCIA: Quan tenim una potència d’un monomi elevem a la
potència el coeficient i la part literal.
Exemple:
(2x3)4 = 2
4(x
3)4 = 16x
12
(-3x)3 = (-3)
3x
3 = -27x
3
21. Calcula:
a) (3x2)2 =
b) (- 4x3)2 =
c) (3xy3)3 =
d) (-2x2y
3)2 =
e) (-4x3)3 =
f)
2
3
3
5x
g)
3
24
2
3yx
h)
4
2
3
4x
DIVISIÓ: Per dividir dos monomis, primer dividim els coeficients i després
restem els exponents de les parts literals (sempre que es tracte de la mateixa
lletra).
Per exemple:
20a2 : 4a = 5a
35x2 : (- 5)x
2 = (- 7)
(- 12)x3y : 4x = (- 3)x
2y
42z :7z5 = 6z
- 4
22. Expressa el resultat en forma de potència única:
a) a3: a =
b) a4: a
2 =
c) 3x3: x
2 =
d) b5: 2b =
e) 6b6: 3b
2 =
23. Fes les divisions:
a) (-14)c6: 7c
4 =
b) a2b
3: ab
2 =
c) 6x4y: (-2)x
3 =
d) 6z4: 3z
4 =
e) (-15)x5: 12x
3 =
98
3. POLINOMIS
3.1 GRAU D’UN POLINOMI
El grau d’un polinomi és el major dels graus dels monomis que el formen.
Per exemple:
8 – 4x – 12x2 grau = 2
4y5 – 8y
3 grau = 5
2xy3 + 5x – 34z
6 grau = 6
24. Completa:
POLINOMI 3a2 – 6 8 – 4x – 12x
2 7ab + 14a
2 – 5a 45x
4 – 15x
7
GRAU
3.2 VALOR NUMÈRIC D’UN POLINOMI
El valor numèric d’un polinomi és el valor que té el polinomi quan les
lletres prenen valors concrets.
Per exemple:
5x + 3 = 13 x = 2
10a2 -3a = 81 a = 3
3x4 + x – 2 = 0 x = - 1
25. Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:
a) 3x , si x = –4
b) 2a + 4b, si a = 6 i b = 0
c) 5x2 – 3, quan x = 3
d) –9a3 – 4a
2, en el cas que a = –1
e) 3x2 + 4x
3, si x = –2
f) 3x2 – 1, quan x =
2
1
g) 3
ba, si a = 3 i b = –10
99
3.3 OPERACIONS DE POLINOMIS
3.3.1 SUMA DE POLINOMIS
Per sumar dos o més polinomis:
1r Pas: Llevarem parèntesi
2n Pas: Sumarem els coeficients dels monomis que tenen la mateixa part
literal.
Exemple: A = 3x4 + 4x
2 i B = 2x
4 + 5x
2, aleshores:
A + B = (3x4 + 4x
2) + (2x
4 + 5x
2) = 3x
4 + 4x
2 + 2x
4 + 5x
2 = 5x
4 + 9x
2
26. Donats els polinomis C = 2x4
+ 3x3
– x2 + 9 i B = x
4 – 5x
3 + 2x
2 - 4, calcula C +
B.
27. Donats els polinomis Q = - x2 + 4x + 8 i P = x
2 – 9x – 6, calcula Q + P.
28. Donats els polinomis F = 2y2 + 4y – 8 i G = y
3 + 2y
2 – 3y +1, calcula F + G.
29. Donats els polinomis T = 3x3 + 2x - 5 i U = - 4x
2 + 13x – 1,calcula T + U.
30. Donats els polinomis E = 3a3 + a – 5 i P = 3a
3 + 6a
2 + 1, calcula E + P.
31. Donats els següents polinomis:
W = -2a2 + a – 5
D = – a2 + 2a – 9
J = a3 + a – 1
Calcula:
a) W + D =
b) D + J =
c) W + J =
d) J + D + W =
32. Donats els següents polinomis:
A = 3x2 –x - 7
B = 2y2 + y - 6
C = x3 – 4x
2 + 3x + 1
D = x + y
E = -5y3 + 3y
2 – 3
Calcula:
a) A + C =
b) B + E =
c) A + D =
d) A + B =
e) B + D =
f) A + B + C + D + E =
100
3.3.2 RESTA DE POLINOMIS
Per restar dos o més polinomis:
1r Pas: Llevarem parèntesis. Alerta! Com tenim un menys davant un
parèntesi hem de canviar de signe tot el que hi ha de dins.
2n Pas: Sumarem els coeficients dels monomis que tenen la mateixa part
literal.
Exemple: A = 3x4 + 4x
2 i B = 2x
4 + 5x
2, aleshores:
A – B = (3x4 + 4x
2) – (2x
4 + 5x
2) = 3x
4 + 4x
2 – 2x
4 – 5x
2 = x
4 -1x
2
33. Donats els polinomis C =3x3
– x2 + 9x + 4 i B = x
3 – 5x
2 + 7x - 6, calcula C – B.
34. Donats els polinomis Q = - x2 + 4x + 8 i P = x
2 – 9x – 6, calcula Q – P.
35. Donats els polinomis F = 2y2 – 8y + 3 i G = y
2 + 2y
- 4, calcula F – G.
36. Donats els polinomis T = 3a2 – 4a + 2 i U = - 4a
2 + 13a - 1, calcula T - U.
37. Donats els polinomis E = 3b3 + b
2 - b – 5 i P = 3b
3 + b
2 + b +3, calcula E - P.
38. Donats els següents polinomis:
W = -2a2 + a + 5
D = – a2 + 2a – 9
J = a – 1
Calcula:
a) W - D =
b) D - J =
c) W - J =
d) J - D + W =
39. Donats els següents polinomis:
A = 3x3 –x
2 + x - 7
B = 2y2 + y - 6
C = x3 – 4x
2 + 3x + 1
D = x + y
E = -5y2 + 3y – 3
Calcula:
a) A - C =
b) B - E =
c) C - D =
d) B - D =
e) A + C - D =
f) E - C =
101
3.3.3 MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN POLINOMI PER UN NOMBRE
Per multiplicar un nombre per un polinomi, hem de multiplicar aquest
nombre per tots els sumands del polinomi (Propietat distributiva)
Exemple:
2 · (4x2
+ 3x) = 8x2 + 6x
( -2x + 3) · 3= -6x + 9
Alerta! Quan la lletra va tota sola, sempre té un 1 davant. Per exemple,
x = 1x x2 = 1x
2 x
3 = 1x
3
D’aquesta forma, 3 · (x3 - 5x) = 3x
3 – 15x
40. Calcula:
a) 3 · (2x – 1) =
b) (-4) · (3x2 + 2x) =
c) (3x3 + 5x – 1) · 6 =
d) (x4 + 5x – 1) · (-2) =
e) 0 · (-5xy – 2x + 7) =
f) (-1) · ( -4x5y + 6x
4y – 2x +1) =
g) (-4x4 + 5x
2 – 6x + 3) · 4 =
h) (5x3 + 5) · 0 =
i) (x3 – 9x + 1) · (-5) =
j) (-11) · (-x2 + x – 1) =
41. Calcula el nombre que falta:
a) · (2x – 4) = 8x – 16
b) · (-x – 2) = -3x – 6
c) · (2x3 – 4x + 2) = -6x
3 + 12x - 6
d) · (x2 – 4x + 3) = -8x
2 + 32x -24
42. Calcula els nombres que falten:
a) 3 · ( x3 + x – 2) = 9x
3 + 12x – 6
b) 4 · ( x3 - x – 1) = 8x
3 -8x – 4
c) ( x2 + x + ) · 9 = -9x
2 – 27x +9
d ( x2 + x + ) · (-2) = 8x
2 – 4x -10
43. Donats els polinomis C = 2x4
+ 3x3
– x2 + 9 i B = x
4 – 5x
2, calcula:
a) 3·C =
b) (-4)·B =
c) -6·C=
d) 7·B =
102
També podem fer la divisió d’un polinomi entre un nombre.
Exemple:
(6x3 – 4x + 10) : 2 = 3x
3 – 2x +5
( 33x 13
43:)34 3 xxx
44. Opera:
a) (4x3 – 8x + 2) : 2 =
b) (6x2 – 9) : (-3) =
c) 5
30 5x y 15x 34
d) (3x4y + 5x
3 – 2) : 5 =
e) 2
6y 8x 4xy
f) (4xy – 8x + y) : (-2) =
g) (5x4 + 125x
2 – 25x + 5) : 5 =
h) (7z3 – 4z – 9) : 4 =
i) (- 10x8 – 20xy
6 + 100) : (-10) =
j) (x2 – 1) : 4 =
k) (9s4 + 5s
3) : (- 4) =
l) (-98x4 + 22x – 2) : (- 2)=
3.3.4 MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ D’UN MONOMI PER UN POLINOMI.
Per multiplicar un monomi per un polinomi, hem de multiplicar aquest
monomi per tots els sumands del polinomi (Propietat distributiva)
Exemple:
2x · (3x3 –x +3) = 6x
4 – 2x
2 +6x
(-4x5 – 2xy –x +3) · (-3x
2) = 12x
7 + 6x
3y + 3x
3 – 9x
2
45. Calcula:
a) 3x2 · (2x – 1) =
b) -4x · (2x2 + 2) =
c) (3x3 + 5x – y) · 6xy =
d) (x4 + 5x – 1) · (-2x) =
e) 0xy · (-5xy – 2x + 7y) =
f) –xy2 · ( -4x
5y + 6x
4y – 2x +1) =
g) (-4x4 + 5x
2 – 6x + 3) · 4xy =
h) (5x3 + 1) · 2x
7 =
i) (x3 – 9x + 1) · (-5x
2) =
j) -11y · (-x2 + x – 1) =
46. Opera:
a) (x4 – 6x
3) · 0y =
b) (3xy – 5x + 6y – 4) · (2xy2) =
103
c) – 3x3y
2 · ( 3x
4y
3 – 5xy – 7) =
d) – x · (x3 + 4) =
e) – 5x · (-5x3 – 3x
2 + 3) =
f) 7x2 · (4x – 2) =
També podem fer la divisió d’un polinomi entre un monomi. Dividirem:
- Signe entre signe.
- Nombre entre nombre
- Lletra entre lletra
Exemple:
(6x5 – 4x
2 + 10x) : 2x = 3x
4 – 2x +5
( 33xx
xx
xxxxx1
3
41·1
3
41
3
43:)34 22122
Alerta! Quan un nombre va tot sol, sempre duu una lletra elevada a zero.
3 = 3x0 -6 = - 6y
0 -8 = -8x
0
47. Opera:
a) (4x3 – 8x
2 + 2x) : 2x =
b) 3x-
9x - 6x 2
=
c) (3x4y + 5x
3 – 2x
2) : 5x =
d) (4xy – 8x + y) : (-2y) =
e) (5x4 + 125x
2 – 25x + 5) : 5x
2 =
f) (7z3 – 4z – 9) : 4z =
g) (- 10x8 – 20xy
6 + 100x
4) : (-10x
2) =
h) (x2 – 1) : 4x =
i) 2
34
4
5s 9s
s
j) (-98x4 + 22x – 2) : (- 2x
3)=
3.3.5 MULTIPLICACIÓ D’UN POLINOMI PER UN POLINOMI.
Per multiplicar un polinomi per un polinomi:
1r Pas: Multiplicam tots els monomis del primer polinomi per tots els
monomis dels segon polinomi.
2n Pas: Juntam els monomis que tenguin la mateixa part literal.
Exemple:
(x + 2) · (x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10 = x
2 + 7x + 10
104
48. Realitza els següents productes de polinomis:
a) (x + 5) · (2x2 – x + 3) =
b) (x – 2) · ( -x2 + 4) =
c) (xy + 2x – 1) · (x2y + 2y – 2) =
d) (-2x3 + 2x – 4) · (3x
4 + 5) =
49. Donats els següents polinomis:
A = 3x2 –x - 7
B = 2y2 + y - 6
C = 3y + 1
D = x + 6
E = -5x2 – 3
Calcula:
a) A · D =
b) 3B =
c) C · C =
d) B · C =
e) E · E =
f) E · A=
50. Completa la taula:
· 2x – 9 –3x2 + x -1 – 4x
2- 9 –2x
3 +x
2 - 4 – 3x
2 -
2
1 xy + x3
6x - 1
– 4x2 – 6x
– 5x3 – 2
– 8x – 3
15xy – 5x
105
3.3.6 OPERACIONS COMBINADES
51. Opera i simplifica:
a) 3x3 – 2x · ( -4x + 2) – 5 =
b) -4 · (2x2 –x + 3) + (x – 4) · (-3x + 2) =
c) (2x2 + x) : x + 2x
3 · (- 4x + 2) =
d) xxx
xx72
2
64 823
e) 325
3
3
2 3 xx
f) (3x3 + x) · [2 · (x+2) – 3 · (2x +3)] =
g) xyyyx 4422
3 2
h) )43·(5
4·3 2 xxx
i) 1)4·(5
455 3
xx
j) – (x + 1) + 4 · (8x3 – 3x) =
52. Calcula el valor numèric dels polinomis resultants de l’exercici 51:
a) x = 1
b) x = 0
c) x = - 1
d) x = 3
2
e) x = -2
1
f) x = 0
g) x = - 1, y = 1
h) x = 3
i) x = 5
j) x = -4
106
4. FACTOR COMÚ
Hem de convertir una suma en un producte.
Alerta! Quan el factor comú a extreure coincideix amb un sumand, en el
seu lloc queda un 1.
53. Treu factor comú en les següents sumes:
a) 3xy + 6x =
b) 5a + 5b – 5c =
c) 3a - 4ab + 2ac =
d) x2 + 2x =
e) 2x – 4y =
f) 3x – 6y - 9 =
g) 3x2 – 6x + 9x
3 =
h) x2 – 10x
4 + 6x
8 =
i) 6a2b + 4ab
2 =
54. Treu factor comú:
a) 3x + 6x2 =
b) – x2 + 6x +2x
3 =
c) x2 – 3x +2x
2 =
d) x3 -2x
2 + 3x =
e) 8x2y
3 + 4x
3y
2 - 6x
2y
2 =
5. IDENTITATS NOTABLES
Quadrat d’una suma.
El quadrat d’una suma de dos sumands és igual a:
Al quadrat del primer, més el doble del primer pel segon, més el quadrat
del segon.
(a + b)2 = a
2 + 2·a·b + b
2
Quadrat d’una resta.
El quadrat d’una resta de dos sumands és igual a:
Al quadrat del primer, menys el doble del primer pel segon, més el
quadrat del segon.
(a - b)2 = a
2 – 2·a·b + b
2
Suma per diferència.
La suma de dos monomis per la seva diferència és igual a la resta dels
seus quadrats.
(a + b) · (a – b) = a2 – b
2
55. Desenvolupa les següents identitats notables:
a) (x + 1)2 =
b) (x + 2)2 =
c) (4 + x)2 =
d) (x – 4)2 =
e) (5 – x)2 =
f) (x2 – 9)
2 =
g) (2x + 1)2 =
107
h) (2 + 4x)2 =
i) (3x2 + 4)
2 =
j) (6x – 4)2 =
k) (2- 3x)2 =
l) (2x – 1)3 =
m) (-x + 2)2 =
n) (-x -3)2 =
o) (-2x – 1)2 =
p) (x3 + 3)
2 =
q)
2
43
2x
r)
2
4
3x
s) (2x – 5y)2 =
t)
2
3
2x
x
u) (x + 2)3 =
56. Desenvolupa les següents identitats notables:
a) (x +7)(x – 7)=
b) (x – 6)(x + 6)=
c) (8 + y)(8 – y)=
d) (x + 9)(x + 9)=
e) (x2 + 2)(x
2 – 2)=
f) (6 – x)(6 – x)=
g) (3 – 5c)(3 + 5c)=
h) (8x3 + 1)(8x
3 – 1)=
108
6. AUTOAVALUACIÓ
1. Completa:
MONOMI 3x 12y3
-25t6y
3
COEFICIENT 5 1
PART
LITERAL zy
5
GRAU 3
VALOR
NUMÈRIC x = 2 a = 3 y = - 1
x = 3
y = 0
t = - 2
y = 1
2. Redueix els termes semblants:
a) 3a – 12a + 30a =
b) 7b + 3b – 8b + b =
c) – 14ab + 18 ab – 12ab + 12ab + ab =
d) 46x – 25x + 23x =
3. Calcula:
a) a3
: a =
b) 14c6 · 7c
4 =
c) 3x3
: x2 =
d) b5
: 2b =
e) 6x4y :2x
3 =
f) 6x7 · 2x
4 =
4. Calcula el valor numèric de les expressions següents en els valors que s’indica:
a) 5x , si x = –3
b) 4x2 – 3, quan x = 2
c) –10a3 – 3a
2 , en el cas que a = –2
d) 2x3 – 1, quan x =
2
1
5. Extrau factor comú:
a) 3ab + 2a =
b) 4xy + 2y2 =
c) 14x2y
2 – 7xy =
d) a2 – ab + a =
e) – 4a – 9a2 + 5a + 10a
2 =
6. Calcula:
a) (x + 2)2 =
b) (a – 3b)2 =
109
c) (4x + 5y)2 =
d) (5x2 + 3y)
2=
e) (x + 3)(x – 3)=
f) (x2 +1)(x
2 – 1)=
g) (4 + 3z)(4 – 3z)=
h) (10 – 5y3)(10 + 5y
3)=
7. Si P(x) = 4x3 -3x
2 + 1 i Q(x) = 3x
3 – 3x – 4, calcula:
a) P(x) + Q(x) =
b) Q(x) – P(x) =
c) 3P(x) – 2Q(x) =
d) P(x) · Q(x) =
e) Q(x) : 3x =
110
UNITAT 8: EQUACIONS
1. DEFINICIONS BÀSIQUES
1.1. ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ
1.2. SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ
1.3. EQUACIONS EQUIVALENTS
2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU
2.1. EQUACIONS IMMEDIATES
2.2. EQUACIONS AMB ESPRESSIONS POLINÒMIQUES
2.3. EQUACIONS AMB PARÈNTESIS
2.4. EQUACIONS AMB DENOMINADORS
3. PROBLEMES
4. EQUACIONS DE SEGON GRAU
5. AUTOAVALUACIÓ
111
1. DEFINICIONS BÀSIQUES
Una equació és una igualtat entre expressions algebraiques la qual és
certa només per alguns valors (desconeguts) de les parts literals o lletres.
Les lletres, el valor de les quals es desconeix, són les incògnites de
l’equació. Una equació en pot tindre una o més.
Resoldre una equació és trobar els valors de la (o de les) incògnita que
fan certa la igualtat.
1. Cerca per tempteig el valor de la x que fa certa cada una de les següents igualtats:
a) x – 2 = 8
b) 2y = 10
c) 5 + x = 12
d) 84
x
e) 4 – x = 6
f) 2x + 4 = 8
g) 14
1x
h) 3x – 4 = - 4
i) – 4 + 2 = - x
j) 4a – 7 = 13
1.1. ELEMENTS D’UNA EQUACIÓ
Membres d’una equació: són cada una de les expressions que hi ha a
l’esquerra i a la dreta de l’igual.
Exemple:
)membre(1r esquerra
72x =
membre)(2n dreta
1053x
Termes d’un membre: cada un dels sumands d’un membre.
Exemple: termetermetermetermeterme
xx 105372
Incògnites: són les lletres que apareixen a l’equació. Pot tir-ne una o
més. Exemple: 3y + 9 = 3x. Les incògnites són y, x
Terme independent: el nombre que no té lletra.
Exemple: 3y + 9 = 3x. El terme independent és 9.
Grau d’una equació: és el major dels graus dels monomis que
formen l’equació una vegada reduïda.
Exemple: 3x2 + 2x = x
4 – x
2 – 9
09240923 24242 xxxxxxx . El grau és 4.
112
2. Digues de quin grau són les següents equacions, quines són les incògnites i quin
és el terme independent:
a) 3xy2 – 3x = 5 +3xy
2 Grau: Incògnita/es: Terme independent:
b) 644 525 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:
c) 664 25 xxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:
d) 654 525 yyy Grau: Incògnita/es: Terme independent:
e) 338 4xxyy Grau: Incògnita/es: Terme independent:
f) 7494 22 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent
g) 644 525 xxxx Grau: Incògnita/es: Terme independent:
1.2. SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ
Són els valors de les incògnites que fan certa la igualtat.
Exemple: x = 4 és una solució de 2x – 1 = 11 – x, ja que, si substituïm
x = 4, la igualtat és certa 7771841114·2 OK!!
En canvi, x=0 no ho és, ja que, si substituïm x=0,
111111001110·2 NO ÉS CERT!!! 111
NOTA: El grau d’una equació coincideix amb el major nombre de solucions que
aquesta pot tenir. Així, una equació de 1r grau tindrà, com a màxim, una solució.
Només hi ha una excepció a aquesta afirmació: quan l’equació té un nombre
infinit de solucions.
3. Substitueix els valors de x a les equacions i indica si és o no una solució:
2 1 3x x 3 1 3 2x x
1x
2x
4x
4. Comprova que x = 3 és solució de l’equació: 7 2 3 8x x
5. Comprova que y = 2 és solució de l’equació: 2y + 3 = 1 + y
6. Comprova que x = 1
2és solució de l’equació: 4x – 1 = 2x
7. Comprova que x = 2
3és solució de l’equació: 4x – 6 = 7x – 4
8. Comprova que y = -2 és solució de l’equació 2 · (3x + 1) = 5x
9. Comprova que 5
4x és solució de l’equació
2 1 3 93
4 2
x xx
113
1.3. EQUACIONS EQUIVALENTS
Dues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució.
Exemple: 2x + 1 = 5 solució x = 2
4x = 8 solució x = 2
10. Digues quines de les següents equacions són equivalents (primer troba la solució
per tempteig):
a) 4x = 20
b) 10 – x = 2
c) 10 – x = 5
d) 2x + 1 = 9
e) 4 + 3x = 19
f) 2x = 16
g) x – 6 = 2
h) 2x – 10 = 2
i) 10 = 2x
j) 2x – 1 = x + 4
2. EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Una equació de primer grau amb una incògnita és una equació on la única
incògnita va elevada a 1.
Exemple:
2x + 3 = 5 És una equació de 1r grau
4 – 6y = 3 – y És una equació de 1r grau
4xy – 8 = 3 No és una equació de 1r grau.
NOTA: generalment, la incògnita d’aquestes equacions s’expressa amb la
lletra x.
11. Indica quines de les següents equacions són equacions de 1r grau:
a) 3y - 5y = 5 - 3x
b) 4t + 6t = 7t + 1
c) -5x2 – 9x = 45
d) 7 – 8x = 6
e) -3x + 6 = 12x – 3
f) –xt + 2xt = 4
g) 4x -5x
h) -4a + 9a = 456
i) 5g – 9k = 8
j) 5f + 7f
2.1. EQUACIONS IMMEDIATES
Per resoldre una equació de 1r grau amb una incògnita, cal aïllar la
incògnita. És a dir, deixar-la tota sola a un dels membres:
Per aïllar la incògnita s’han de tenir en presents algunes normes:
I.- Si un terme canvia de membre, canvia de signe. És a dir: el que suma
passa a l’altre costat del signe = restant. I a la inversa, el que resta passa
sumant.
114
Exemple 1: 14554 xxx el 4 ha canviat de membre
Exemple 2: 94554 xxx el -4 ha canviat de membre
II.- Si un nombre multiplica a la incògnita, passa a l’altre membre
dividint. Mentres que, si un nombre divideix a la x, passarà a l’altre
membre multiplicant.
Exemple1: 32
662 xx 2 passa dividint perquè multiplicava a x
Exemple 2: 204·554
xx
4 passa multiplicant perquè dividia a x
NOTA: A la segona norma no hi ha canvi de signe.
Fixa’t: és important tenir en compte els signes; si queda –x, per aïllar la
x cal llevar el signe - al 2n membre. Observa l’exemple
Exemple: 51
55 xx
12. Aïlla la incògnita i calcula’n la solució:
a) t – 5 = 7 b) 4 + x = 6 c) x – 9 = - 5
d) 1 = x + 5 e) 5 + x = 3 f) x – 2 = 2
g ) x + 54
3 h) y -
2
7
4
6 i) 1
4
5x
13. Aïlla la incògnita i calcula’n la solució:
a) 4x = 8 b) 5x = 25 c) 7x = 14 d) 8 = 2x e) 3x = - 18
f) – 3x = 6 g) – 4x = 24 h) 3 = 4x i) -y = 23 j) 15x = 3
14.Resol les següents equacions:
a) 34
x b) 7
3
x c) 5
3
x d) 5
6
x
e) 7
2
4
x f)
6
10
3
x g)
42
3 x h)
9
1
6
x
115
A una equació, normalment, tot està mesclat. És a dir, a la incògnita li
sumen, resten, multipliquen i divideixen diferents nombres. En aquests
casos s’ha d’aïllar la incògnita poc a poc:
1r . Separar en diferents membres els termes amb x dels termes sense x
aplicant la norma I.
Termes amb x = termes sense x
2n Agrupar els termes de cada membre. És a dir, es sumen o resten..
3r . Aïllar la incògnita aplicant la norma II.
4t Es realitza l’operació que ha quedat.
NOTA: Si al 3r pas resulta una fracció la divisió de la qual no es exacta,
no es divideix, es deixa en forma de fracció irreductible sempre que no
ens indiquin el contrari.
Exemples: Resoldrem l’eqació xx 843
1r pas: 483 xx separem els termes
2n pas: 124x agrupem els termes
3r pas: 4
12x aïllem la incògnita
4t pas: 3x operem
15. Troba la incògnita en cada cas:
a) 4x – 5 = 3
b) 3x + 6 = - 3
c) x + 7 = 5 – 6
d) 2x – 8 = 4
e) 3 + 4f = - 5
f) 4x – 4 = 0
g) 4 + 5x – 3 = 6
h) -4x + 4 = - 6
i) – 6 + 7a + 2 = 9
j) -x – 8 = 5
2.2 AMB EXPRESSIONS POLINÒMIQUES
Quan ens trobem amb incògnites als dos costats de l’igual farem:
1r. Passem les incògnites a l’esquerra de l’igual i els nombres que van
sense lletra (terme independent) a la dreta de l’igual.
116
2n. Agrupem les incògnites i els termes independents.
3r. Aïllem la incògnita com hem après a l’apartat anterior.
Exemple.
32
66241031043 xxxxxx
16. Troba x en cada cas i verifica la solució:
a) 9 3 5 1x x
b) 3x + 6 = 9 + 3x
c) 7 8 2 3x x
d) 5 9 12x x
e) 5x + 4 = 4x + 4 + x
f) 3 2 7 3x x
g) 6 5 9 3x x
h) 2 6 3x x
i) 9 5 4 8x x
j) 5 7 9 7x x
17. Resol les següents equacions:
a) 3 5 8 8 3 9x x x
b) 6x + 7 - 2x = 3 + 4x + 4
c) 9 4 6 25 4x x x
d) 4 8 8 9 3 2x x x
e) 4 – 5x + 3x = 2 - 2x + 8
f) 4 9 5 4 8 4 7 7x x x x
g) 4 7 3 5 8 2 6 19x x x x
h) 9 5 1 5 6 2 4x x x x
i) 4 2 7 1 9 7 2 11 8x x x x x
j) – 4x – 3 + 5 + 3x = - 8x + 10 + 7x – 8
Després de resoldre una equació ens podrem trobar amb 3 casos respecte
la solució:
- Té una solució: x = nombre
Exemple: 23
663 xx
- Té infinites solucions: 0x = 0 ó 0 = 0
Exemple: 001342342133 xxxxxxx
- No té solució: 0x = nombre ó x = 0
nombre
Exemple: 4015345314 xxxxxxx
18. Dels dos exercicis anteriors digues si tenen una, cap o infinites solucions.
117
2.3 EQUACIONS AMB PARÈNTESI
Per resoldre equacions amb parèntesi, seguirem els següents passos:
S’elimina el (o els) parèntesi, tenint en compte:
Si davant el parèntesi hi ha un signe +, el que hi ha dintre el
parèntesi no canvia quan el llevem.
Per exemple: 2 + 10)3(x
2 + x – 3 = 10
Si davant el parèntesi hi ha un signe - , el que hi ha dintre el
parèntesi canvia de signe quan el llevem.
Per exemple: )4(5431 xxx
1 – 3x = 4x + 5 – 4 + x
Si davant el parèntesi hi ha un nombre que multiplica al
parèntesis, es multiplica el nombre per tot el que hi ha dintre
el parèntesi. Així, al mateix temps eliminem el parèntesi cal
tenir en compte el signe del nombre que multiplica al
parèntesis.
Per exemple:
a) xxx 293)2(37
7 + 6 +3x – 3x = 9 + 2x
b) xxx 5120)1(515
15x – 5x + 5 =120 – 5x
Resulta una equació amb expressions algebraiques sense parèntesi,
que es reoldrà tal com s’ha vist a l’apartat 2.2
19. Resol les següents equacions:
a) 73)2(3 xx
b) xxx 2)74(342
c) 2( 1) 6x x
d) 3( 1) 6x
e) 6 3( 2) 8x x
20. Resol les equacions:
a) 1 (4 ) 3 1x x
b) - 3( 2) 2 1x x
c) )4(5431 xxx
d) xxx 5120)1(515
e) 2 (2 ) 2 1 (1 2 )x x x x
118
21. Resol les equacions:
a) 2(3 5) 7 4 5( 2) 4x x x
b) 22 + 3 x - ( ) 2 x - 17 = 65
c) 7( 5) 2(4 ) 4 13x x x
d) 4 x + 31 - ( ) 7 x - 69 = 58
2.4 EQUACIONS AMB DENOMINADORS
Per resoldre equacions amb denominadors, cal seguir els següents passos:
Eliminar els parèntesi (si n’hi ha), tal com s’ha vist a l’apartat 3.3.
Eliminar els denominadors:
- Calculem el m.c.m de tots els denominadors de l’equació per
escriure-les amb el mateix denominador.
- Dividim el m.c.m pel denominador original de cada fracció i
multipliquem pel numerador original de cada fracció. Així obtenim
els nous numeradors.
- Quan tots els termes de l’equació tenen el mateix denominador, el
podem eliminar tenint en compte el signe que precedeix cada
fracció:
Si davant de la fracció hi ha un + , quan eliminem el
denominador, no canvia el numerador.
Si davant de la fracció hi ha un -, quan eliminem el
denominador, tots els termes del numerador canvien de signe.
Fixa’t: quan al numerador hi ha una suma de monomis, la fracció fa
el paper d’un parèntesi.
Resulta una equació amb expressions algebraique com les vistes a
l’apartat 2.2.
22. Resol les següents equacions:
a) 52
x b) 12
3
x c )
26
4
x
d) 7
214
x e)
2 515
3
x f)
6 23
4
x
119
23. Resol:
a) 3 9
4 6
x
b) 2 6
6 9
x
c) 4 7
15 6
x
d) 8 4
14 21
x
24. Resol:
a) 3 1
410 5
x
b) 4 5
58 12
x x
c) 2
53 6
x x
d) 6 12 12
15 30 5
xx
25. Resol:
a) 2 1
42 3
x x
b) 5 3
22 6
x x
c) 3 1 1
45 3
x x
d) 2 3 3 1
79 12
x x
26. Resol:
a) 4 6 3 9
6 18
x x
b) 4 6 2 3 4 6
5 3 6
x x x
c) 1 2 3
14 3 2
x x xx
d) 3 4 3 5
5 02 6
x xx
e) 14
3
2
1
7
3 xx
f) 4 1 2 5 4 2
3 8 4 5
x x x x
g) 15
23
6
42 xx
x
120
27. Resol:
a) 13
26
9
)1(2 xx
b) 6
21
2
3)1(2
xxx
c) 14
)6(3
8
2x
xx
d) 2 1 5( 4)
1 3 6 9
x x x
e) 3 1 5 2
2( 1) 3 4 3 6
x xx x
f)2( 3) 3( 1) 4
1 ( 2)5 10 2
x x xx
g) 13
4)3(
5
2 xx
3. PROBLEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Per resoldre problemes mitjançant equacions de primer grau, el més
important és identificar la incògnita, i després saber passar l’enunciat del
problema a la seva traducció matemàtica.
28. Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:
a) Troba un nombre que augmentat en 17 doni 43.
b) Troba un nombre que disminuït en 46 doni 81.
c) Troba un nombre que multiplicat per 15 doni 135.
d) Troba un nombre que multiplicat per 7 i sumat 5 al resultat doni 96.
e) Troba un nombre que dividit per 9 i restant 6 al resultat doni 5.
f) Quin és aquell nombre que el seu doble més el seu triple dóna 90?
g) El doble d’un nombre més 5 és igual al seu triple menys 19. Quin és?
121
29. Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:
a) Els 3/4 d’un nombre és 27. Quin nombre és?
b) Els 5/7 d’un nombre és 40. Quin nombre és?
c) Quin nombre augmentat en 2/5 d’ell mateix dóna 35?
d) Quin nombre disminuït en 1/3 d’ell mateix dóna 42?
e) Un nombre augmentat en els seus 2/3 més els seus ¾ dóna 58. Quin és?
30. Troba un nombre tal que en restar-li 31 doni com a resultat 13.
31. Troba un nombre que sumat a 15 doni el triple de 23.
32. Amb 7 bitllets iguals tenim 350 euros. Quin és el valor de cada bitllet?
33. Quin nombre multiplicat per 7 dóna 245?
34. Si al doble dels diners que tinc li sumo 72 euros, obtinc 196 euros. Quants diners
tinc?
35. Si un nombre hi restes 15 i el resultat el divideixes per 3 obtens 20. De quin nombre
es tracta?
36. Si al nombre de cromos que té l’Elvira li sumes 17 i el divideixes per 2, obtens com
a resultat 16. Quants cromos té?
37. La meitat dels conills d’una gàbia sumen 36 potes. Quants conills hi ha?
38. A 1r d’ESO hi ha 13 noies més que nois. Si en total hi ha 83 alumnes, quantes noies
hi ha?
39. El triple de l’edat que tenia en Jordi fa 4 anys és el doble de la que tindrà d’aquí a 8
anys. Quina és l’edat actual d’en Jordi?
40. Una mare té 49 anys i la seva filla, 26. Quants anys fa que l’edat de la mare era el
doble que la de la filla?
41. El perímetre d’un quadrat fa 44 m. Quant fa de costat?
42. Entre dos amics tenen 87 cromos. Si l’un en té el doble que l’altre, quants cromos
tenen cada un?
43. La suma de dos nombres consecutius és 155. Quins nombres són?
122
4. EQUACIONS DE SEGON GRAU
Una equació de segon grau sempre es pot expressar de la següent forma:
ax2 + bx + c = 0 on a, b i c són nombres (sempre a és distint de zero)
Els termes a, b i c s’anomenen coeficients.
Per exemple: en l’equació 0753 2 xx a= 3 b= 5 c= -7
44. Assenyala en cada cas els coeficients:
a) 0652 xx a = 1 b = - 5 c = 6
b) 02092 xx
c) 0962 xx
d) 024186 2 xx
e) 082 xx
f) 2 10 25 0x x
g) 245 9 0
3x x
h) 0812x
45. Assenyala en cada cas els coeficients a, b i c:
a) 2 10 12 25x x b) 23 12 24x x c) 216 104 25x x
d) 23 2 10 1x x e) 25 12 4 8x x x
Resolució d’equacions de 2n grau:
Per resoldre equacions de segon grau, sempre que estigui expressada com cal
l’equació, aplicarem la següent fórmula:
ax2 + bx + c = 0 x=
a
acbb
2
42
Per exemple: 0452 xx a= 1 b=5 c=4
x=1·2
4·1·455 2
x=2
16255
x=2
95
x=2
35
12
2
2
351x 4
2
8
2
352x
123
46. Resol les següents equacions de segon grau:
a) 2 5 6 0x x
b) 2 6 0x x
c) 2 4 21 0x x
d) 2 2 8 0x x
e) 2 20 64 0x x
f) 22 6 0x x
g) 26 13 5 0x x
47. Resol les següents equacions de segon grau:
a) 22 32 0x
b) 2 16 0x x
c) 24 2 0x x
d) 23 27 0x
e) 22 0x x
f) 2 25 0x
g) 211 44 0x x
48. Resol les següents equacions de segon grau. Recorda que per poder aplicar la
fórmula l’equació ha d’estar expressada com cal:
a) xx 652
b) 10582 xx
c) 62 xx
d) 0)2)(3( xx
e) 3412 xx
f) 311)1( xxx
g) 92)3)(1( 2xxx
49. Resol:
a) 245 9 0
3x x
b) 22 1
3 2x x
c) 25 12 4 8x x x
d) 2 27 10 101 3x x x
e) 8)1(5 xxx
f) 8)13)(13( xx
g) 20)2()4( 22 xx
h) 15)12( 2 xx
124
5. AUTOAVALUACIÓ
1.- Resol les següents equacions i digues quantes solucions té:
a) 8)1(5 xxx
b) 4 · (x – 3) – x = - 9 + 3· (x – 1)
c) 189 x
d) 3x + 3 = 2x – 10 + x
2.- Resol les següents equacions de primer grau:
a) 3( 1) 4( 3) 22x x
b) )4(20)4(10 xx
c) 0)35()43( xx
d) )5(24)5(22 xx
3.- Resol les següents equacions de primer grau:
a) 5 x - 11
2 = 42
b) 5 x - 20
2 =
40 + 2 x
2
c) 2 x - 8
2 -
4 + 2 x
11 = 30
d) 1 5 3 3
3 5 6
x x x
4.- Expressa algebraicament i resol l’equació resultant:
a) El producte de x per 3 és 15
b) La tercera part de x és 18.
c) La tercera part de 2x és 14.
d) Dos terços de x són 6.
e) El doble de x menys 3 és 43.
5.- Resol les següents equacions de segon grau:
a) 01222 xx
b) 012 2 xx
c) 22 6 0x
d) 2 16 0x
e) 212 6 0
2x x
6.- Resol les equacions:
a) 21 8 0x
b) ( 2)( 3) 0x x
c) 2
2 9x
d) 221 100 21x x x
e) 2 10 12 25x x
125
UNITAT 9: SISTEMES LINEALS
1. DEFINICIONS BÀSIQUES
1.1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES.
1.2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA.
1.3. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS.
1.4. TIPUS DE SOLUCIONS D’UN SISTEMA LINEAL.
2. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS
2.1. MÈTODE GRÀFIC
2.2. MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ
2.3. MÈTODE D’IGUALACIÓ
2.4. MÈTODE DE REDUCCIÓ
3. PROBLEMES
4. AUTOAVALUACIÓ
126
1. DEFINICIONS BÀSIQUES
1.1 EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES
Definició: Una equació de primer grau amb dues incògnites és una
igualtat en la qual apareixen dos valors desconeguts (dues incògnites)
amb exponent 1(primer grau).
Aquestes equacions reben el nom d’equacions lineals.
Exemple:
a) 2x + 5y = 12 (incògnites: x, y primer grau)
b) 5s – 9 = 8t (incògnites: s, t primer grau)
c) 3y2 – 6x = 9 (incògnites: x, y segon grau NO ÉS EQUACIÓ DE
PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES)
d) 4z3 + z – 1 = 5 (incògnites: z NO ÉS EQUACIÓ DE PRIMER
GRAU AMB DUES INCÒGNITES)
1. Digues quines d’aquestes igualtats són equacions lineals:
RECORDA: Han de ser de primer grau i amb dues incògnites.
a) 5x + 7y = 8
b) 6x2 + x = 3
c) 4z – 8t -1= 0
d) 5 + 7x = 9t
e) 4x – 8 = 6x
f) 5t3 + 7t – 3 = 0
2. Expressa mitjançant una equació lineal:
a) La suma de dos nombres diferents és igual a 3.
b) La suma d’un nombre més el doble d’un altre nombre és 4.
c) El triple d’un nombre menys un altre nombre és igual a -1.
d) La diferència d’un nombre i la meitat d’un altre és 10.
e) A l’edat de Joan li restem sis unitats i el resultat és la quinta part de l’edat de son
pare.
f) La tercera part d’un nombre més una unitat és la quarta part d’un altre nombre.
La solució d’una equació lineal està formada per dos valors, un per cada
incògnita, que compleixen l’equació lineal.
Exemple:
13) 5s – 9 = 8t solució: s = 1 t = - 1/2
14) 3y – 6x = 9 solució: x = -3 y = - 3
ATENCIÓ: Una equació lineal té infinites solucions, ja que qualsevol
parell de valors que compleix l’equació l’anomenarem solució.
Exemple: 2x + y =10
solució 1: x = 0 y = 10
solució 2: x = 1 y = 8
solució 3: x = - 1 y = 12
Així, successivament, podríem trobar més solucions de l’equació.
127
3. Calcula una solució de cadascuna d’aquestes equacions lineals:
a) 5x + 7y = 8
b) 6x + y = 3
c) 4z – 8t -1 = 0
d) 5 + 7x = 9y
e) 4y – 8 = 6x
f) 5t + 7s– 3 = 0
4. Comprova si el parell x = 1 i y = 2 és solució d’alguna d’aquestes equacions lineals:
a) x + 2y = 5
b) 3x – y = 2
c) 3x + 4y = 11
d) – x +2y = - 1
e) 7y – 2 = 2x
f) 9x – y = 7
1.2 SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
Un sistema d’equacions lineals està format per dues equacions lineals.
Per exemple:
6
3 2
x y
x y
La solució del sistema d’equacions serà la solució comuna a ambdues
equacions.
Per exemple:
x + y = 6 solucions de l’equació:
-x +3y = 2 solucions de l’equació:
La solució del sistema 6
3 2
x y
x y és x = 4 i y = 2
5. Resol els següents sistemes, cercant la solució comuna a ambdues equacions del
sistema lineal:
a) 2 5
3 2 7
x y
y x
b) 2 3 23
5 6 17
x y
x y
c) 3 7 9
5 2 23
y x
x y
x y
0 6
1 5
4 2
x y
0 2/3
4 2
1 1
128
6. Expressa mitjançant un sistema d’equacions lineals:
a) La suma de dos nombres és 5, i la seva diferència és 1.
b) El doble d’un nombre més la meitat d’un altre nombre és 4.I el primer nombre
més el triple del segon nombre és 10.
c) Si a una cistella de taronges li afegim 4 taronges és el doble del nombre de
pomes d’una altra cistella, però la diferència entre el nombre de taronges i el
nombre de pomes és 10.
1.3 TIPUS DE SOLUCIONS D’UN SISTEMA LINEAL
Quan resolem un sistema d’equacions lineal poden ocórrer diferents
casos:
Que el sistema tingui una solució, és a dir, un valor per cadascuna
de les diferents incògnites (sistema compatible determinat).
Que el sistema no tingui solució, és a dir, que no trobem cap
solució comuna a les dues equacions (sistema incompatible).
Que el sistema tingui infinites solucions, és a dir, que totes les
solucions de les dues equacions coincideixin (sistema compatible
indeterminat).
7. Resol els següents sistemes lineals, i digues de quin tipus són:
a) 5 19
2 7
x y
x y
b) 12
92
yx
yx
c) 1022
5
yx
yx
IMPORTANT!!!
De vegades tenim que modificar els sistemes lineal, ja que nosaltres
sempre voldrem les incògnites a l’esquerra i els nombres a la dreta.
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS AMB PARÈNTESIS.
De vegades ens trobarem sistemes lineals d’aquest tipus:
2( ) 3 11 2
5 2 3 3(2 )
x y y x y
y x y x
Aquí el que hem de fer és:
1r. Llevar els denominadors fent el mcm.
2n. Passar les x i les y a l’esquerra de l’igual, i els nombres a la dreta.
3r. Agrupar.
4t. Una vegada que està com sempre, resolem pel mètode que més ens
agrada o pel mètode que digui l’enunciat.
129
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS AMB DENOMINADORS.
De vegades ens trobarem sistemes lineals d’aquest tipus:
3 16
2 3
1 34
2 5
x y
x y
Aquí el que hem de fer és:
1r. Llevar els denominadors fent el mcm.
2n. Passar les x i les y a l’esquerra de l’igual, i els nombres a la dreta.
3r. Agrupar.
4t. Una vegada que està com sempre, resolem pel mètode que més ens
agrada o pel mètode que digui l’enunciat.
2. MÈTODES DE RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS
2.1 MÈTODE GRÀFIC
8. Representa als eixos de coordenades els següents punts:
A(2,1), B(-3,2), C(-1,-1),
D(4,-3), E(3,0), F(0,4),
G(-1,0), H(0,-2)
9. Troba les coordenades dels punts representats en aquesta figura:
130
10. Substituïu els valors de x en les equacions donades i calcula la y. Després escriu els
resultats en les taules donades.
a) 34xy
x y -1
0
1
2
b) 311xy
X y -1
0
1
2
11. Donada la següent equació : x + y = 5
a) Aïllar la y
b) Completar la taula de valors de x i y que compleixen la equació
c) Representar els punts de coordenades (x,y) que han sortit als eixos de
coordenades
d) Unir els punts per veure en quina línia es troben
12. Aïlla la “y” en les següents equacions:
a) 72 yx b) 82yx c) 643 yx
Per resoldre un sistema lineal pel mètode gràfic farem les següents passes:
1r. Aïllarem “y” a la primera equació i aïllarem “y” a la segona
equació.
2n. Dibuixarem cada equació en els mateixos eixos, com hem
après en apartats anteriors:
- Farem un taula de valors.
- Dibuixarem els punts obtinguts.
3r. La solució del sistema d’equació lineal és el punt de tall de les
rectes que representen cada equació (té una única solució)
x y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
131
ALERTA!!! De vegades no obtenim un punt de tall, pot passar:
- Que les rectes siguin paral·leles (que no tinguin cap punt
en comú), en aquests cas el sistema no té solució.
- Que les rectes siguin la mateixa recta, en aquest cas el
sistema té infinites solucions.
EXEMPLE:
2 3 1
5 2 1
y x
x y
1r Aïllem y a la primera equació i y a la segona equació:
2
31312
xyxy (1)
2
51512
xyxy (2)
2n Fem una taula de valors per a la primera equació i per a la segona
equació. I dibuixem els punts per després traçar les rectes.
x y
0 5,0
2
1
1 -1
-1 2
x y
0 5,0
2
1
1 -3
-1 2
3r La solució és el punt d’intersecció: (-1,2), és a dir, x = -1; y = 2.
132
13. Resol gràficament:
a) 33
12
xy
xy
b) 3
32
yx
yx
c)5
33
xy
yx
14. Representa gràficament i escriu la solució:
a) 2( ) 3 11 2
5 2 3 3(2 )
x y y x y
y x y x
b)
3 16
2 3
1 34
2 5
x y
x y
2.2 MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ
Per resoldre un sistema lineal pel mètode de substitució farem les
següents passes:
1r. Aïllem una incògnita en una de les equacions.
2n. Substituïm a l’altra equació.
3r. Resolem aquesta equació.
4t. D’aquesta forma obtenim una incògnita, però nosaltres volem
saber el valor de dues incògnites, per això hem de substituir aquest
valor obtingut a una de les equacions de l’enunciat.
EXEMPLE:
2 3 1
5 2 1
y x
x y
1r Aïllem x a la primera equació:
3
21213
yxyx
2n Substituïm a la segona equació:
123
215 y
y
3r Resolem:
24
8845361036105
3
3
3
6
3
10512
3
10512
3
215
yyyyyy
yyy
yy
y
4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de y
que és el que hem esbrinat:
13
3
3341313413)2·(2132
x
xxxxxy
Ja tenim la solució: x = -1; y = 2
133
15. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució:
a) 112
8
yx
yx
b) 2 3 6
4 5 8
x y
x y
c) 6
4
x y
x y
d) 2
8
yx
yx
e) 3
182
xy
yx
f)6
152
yx
xy
16. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de substitució:
a) 12)1(2)2(3
103
yx
xy
d) 112
43
yx
yx
b) 4
5 2
3 21
x y
x y
e) 4)1(42
24)1(3
yx
yx
c)
5 1 3 43
7 2
5 2 3 14
4 5
x y
y x f)
4( 5) 2 10
2 3 11
x y
y x
134
2.3 MÈTODE D’IGUALACIÓ
Per resoldre un sistema lineal pel mètode d’igualació farem les següents
passes:
1r. Aïllem una incògnita a la primera equació.
2n. Aïllem la mateixa incògnita a la segona equació.
3r. Igualem les dues expressions i resolem aquesta equació que
hem obtingut.
4t. D’aquesta forma obtenim una incògnita, però nosaltres volem
saber el valor de dues incògnites, per això hem de substituir aquest
valor obtingut a una de les equacions de l’enunciat.
EXEMPLE:
2 3 1
5 2 1
y x
x y
1r Aïllem y a la primera equació:
2
31312
xyxy
2n Aïllem la mateixa lletra a la segona equació, és a dir, la y:
2
51512
xyxy
3r Igualem i resolem:
12
2
22115351312
51
2
31
x
xxxxxxx
4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de x
que és el que hem esbrinat:
22
4
423121321)1·(32132
y
yyyyxy
Ja tenim la solució: x = -1; y = 2
17. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de igualació:
a) 2 6
3 1
x y
x y
b) 6
2 11
y x
y x
c) 9
5 1
x y
x y
d) 2 13
2
x y
y x
e) 2 3 13
2 11
x y
x y
f) 3 4 26
8 22
x y
x y
135
18. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de igualació:
a) 5 3 72 5
15 1
y x x
x y
b) 2 22
5( 5) 3
x y
x y
c)
52 7
2
3 1
x y
x y
d)
8 4 4 27
3 2
2 2 12
2 2
x y
x y
e)
2 3( 1)4
4 2
3( 3) 5 4
x y
x y
2.4 MÈTODE DE REDUCCIÓ
Per resoldre un sistema lineal pel mètode de reducció farem les següents
passes:
1r. Multiplicarem les equacions per un nombre adequat, de tal
forma que una incògnita tingui el mateix nombre a la primera i a
la segona equació, però de diferent signe.
2n. Sumarem terme a terme i així se n’anirà una incògnita.
3r. Resolem aquesta equació.
4t. D’aquesta forma obtenim una incògnita, però nosaltres volem
saber el valor de dues incògnites, per això hem de substituir aquest
valor obtingut a una de les equacions de l’enunciat.
EXEMPLE:
2 3 1
5 2 1
y x
x y
1r Col·loquem bé el sistema i multipliquem per (-1) la segona equació:
125
123
125
123
yx
yx
yx
yx
2n Sumem terme a terme i d’aquesta forma desapareix la y:
125
123
yx
yx
202 yx
3r Resolem l'equació que surt: 12
222 xx
4t Ara anem a la primera equació del principi i substituïm el valor de x
que és el que hem esbrinat:
22
44231212312)1·(3 yyyyy
Ja tenim la solució: x = -1; y = 2
136
19. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de reducció:
a) 6
3 2
x y
x y
b) 5 19
2 7
x y
x y
c) 3 2 23
8
x y
x y
d) 3 5 6
2 24
x y
x y
e) 0
6 7 39
x y
x y
f)3 17
2 3 7
x y
x y
20. Resol els següents sistemes d’equacions, mitjançant el mètode de reducció:
a) 3( )154
23(1) 3( 1)
xy xy
x y xxy
b) 4(1)3( 2) 5
5( 3)23( )7
x y yx
x y yx
c)
12 5
13 7
x y
x y
d)
24
3 5
3 49
2 3
x y
x y
e)
112 22
7
3 214
8 4
xy
xy
f) 6(1)28(2)3(5)
3(2)2(1)
y yx y
xy x
3. PROBLEMES
Els sistemes d’equacions lineals s’utilitzen per resoldre problemes en els
quals hi ha dues dades desconegudes.
21. Resol els problemes següents mitjançant el plantejament d’un sistema d’equacions:
a) Busca dos nombres que difereixen en 4 unitats sabent que si restem el doble del més
gran del triple del més petit el resultat és 4.
b) He pensat dos nombres que hauràs d’endevinar. Només et diré que si sumes 119 al
primer obtens el doble del segon i que si restes 22 del segon obtens el triple del
primer.
c) Busca dos nombres sabent que la suma és 33 i la diferència, 23.
d) Busca dos nombres que sumen 24 sabent que el doble del primer més el triple del
segon és 54.
137
e) Fa 5 anys, l’edat de la Sònia era el doble de la que tenia en Pau. D’aquí a 8 anys, les
edats de tots dos sumaran 56. Quants anys té ara cadascun?
f) Un nen li diu a un amic: “Dóna’m 5 euros i així tindrem els mateixos diners tots
dos”. L’amic li respon amb ironia: “Sí, home... Dóna’m tu 10 euros i així jo tindré el
doble que tu”. Quants diners té cada amic?
22. Un grup de 24 amics i amigues. Sabem que el nombre d’al·lotes és el doble que el
d’al·lots. Quants al·lots hi ha?
23. En Joan ha comprat 3 caramels de fresa i 4 de menta, i ha pagat 11 euros. I en
Miquel ha pagat 8 euros per 1 caramel de fresa i 3 de menta. Què val un caramel de
fresa? I un de menta?.
24. A una granja hi ha, entre gallines i conills, 12 caps i 34 potes. Quantes gallines i
quants conills hi ha?.
25. L’edat d’un pare i la de la seva filla sumen 77 anys. D’aquí dos anys l’edat del pare
serà el doble de l’edat de la seva filla. Esbrina l’edat del pare i la de la filla.
26. El perímetre d’una parcel·la rectangular és de 90 m. Calcula les seves dimensions si
és 5 m més llarga que ampla.
27. Un comerciant disposa de dos tipus de te: de Ceilan, a 5’2 €/kg, i de l’Índia, a 6’3
euros el quilogram. Si vol obtenir 100 kg de te a 6 €/kg, quants quilograms de te de cada
classe ha de barrejar?
28. Un fill té 30 anys menys que el seu pare, i aquest té quatre vegades l’edat del fill.
Quina edat té cadascun?
138
4. AUTOAVALUACIÓ
1. Realitza la representació gràfica de les següents equacions lineals:
a) 2x + y =10
b) x – 3y = 15
c) 3x + 5y =14
d) x =7 + 3y
2. Resol gràficament:
3
32
xy
yx
3. Resol mitjançant substitució:
12)1(2)2(3
103
yx
xy
4. Resol mitjançant igualació:
2 6
3 1
x y
x y
5. Resol mitjançant el mètode de reducció:
5 19
2 7
x y
x y
6. En Joan ha comprat 3 caramels de fresa i 4 de menta, i ha pagat 11€. I en Miquel ha
pagat 8€ per 1 caramel de fresa i 3 de menta. Què val un caramel de fresa i un de
menta?
7. Na Júlia té 12 monedes de 20 cèntims i altres de 50 cèntims. Si en total té 3’30 euros,
quantes monedes de cada tipus porta?
139
UNITAT 10: FUNCIONS
1. COORDENADES CARTESIANES.
2. CONCEPTE DE FUNCIÓ.
3. CREIXEMENT, DECREIXEMENT, MÀXIMS I MÍNIMS.
4. FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT.
5. FUNCIONS LINEALS.
6. FUNCIONS CONSTANTS.
7. EXERCICIS.
8. AUTOAVALUACIÓ.
140
1. COORDENADES CARTESIANES.
En el joc dels vaixells per indicar cada tirada s'utilitza un conveni:
s'enumeren les files (horitzontals) i les columnes (verticals), d'aquesta forma
cada casella queda identificada per dos valors. Per exemple A1, B2 o F5.
A1: Aigua
B3: Tocat
F5: Tocat i enfonsat
Quan s’interpreten gràfiques i situen punts del pla, s'utilitza un sistema
similar al del joc dels vaixells. Cada punt del pla queda determinat per les
distàncies a un parell de rectes o eixos perpendiculars. Aquestes distàncies
s'anomenen coordenades cartesianes. El nom es deu al matemàtic i filòsof
francès René Descartes (1596-1650).
L'eix horitzontal s'anomena eix d'abscisses o eix de les x i el vertical eix
d'ordenades o eix de les y; el punt on coincideixen els dos eixos s'anomena
origen de coordenades. Els eixos divideixen el pla en quatre quadrants.
Sobre cada eix es tria una mida que representarà la unitat. Amb aquesta
mida es marquen els eixos a partir de l'origen de coordenades. Cap a la dreta
i cap amunt és el sentit positiu i cap a l'esquerra i cap avall, el negatiu.
La mida pot ser diferent per cadascun dels eixos.
Cada punt del pla té dues coordenades cartesianes (x,y) que l'identifiquen: la
x s'anomena l'abscissa i representa la distància del punt a l'eix horitzontal i
la y s'anomena l'ordenada i representa la distància a l'eix vertical, amb el
corresponent signe segons la posició del punt respecte dels eixos.
141
1. Representa gràficament els punts:
A=(-3,5), B=(4,1), C=(0 , -2), D=( -1, -3), E=( 4, 0), F(0,0) ,G(-1,-2), H(6, -1),
I(-2,0), J(0,7)
x y
142
2. Fes una taula de valors de la gràfica que fa correspondre a cada valor de l'eix
horitzontal mil vegades el seu valor en l'eix vertical, tria l'escala més adequada
per cada eix.
x y
2. CONCEPTE DE FUNCIÓ.
Les companyies de telefonia mòbil presenten les tarifes de trucades com en el
següent exemple:
Quant costaria fer una trucada de cert temps de durada en l'horari normal, per
exemple?.
Fixa't el cost de la trucada està relacionat amb el temps que duri la mateixa;
el cost depèn del temps o, el que és el mateix, el cost és funció del temps.
Una funció és una relació entre dues magnituds o variables. Una és la variable
independent i l’altra, la variable dependent. A l’exemple, la variable
143
independent és el temps de cada trucada i la dependent és el seu cost. Hi ha
moltes formes de presentar una funció:
Mitjançant un enunciat.
Amb una taula de valors.
Amb una gràfica.
Amb una fórmula.
En l’exemple, l'enunciat consisteix en un quadre informatiu amb el preu de les
trucades per minut. Fixa't, en el cas de l'horari reduït, com es passa d'una forma
d'expressió a una altra:
Temps (minuts) Preu de la trucada
(en cèntims d'euro)
0 6,85
1 17,35
2 27,85
3 38,35
Enunciat Taula de valors
Preu de la trucada
(en cèntims d'€)
=
6,85 + 10,5 · minuts
Fórmula
y=6,85 +10,5x
Gràfica
Totes aquestes formes són equivalents i es pot passar d’una a un altra. És a dir,
a partir de l'enunciat es pot obtenir una taula de valors, deduir la fórmula i fer
una gràfica de la funció. I també, a partir d'una fórmula es pot establir un
enunciat. Així com, a partir d'una gràfica deduir la fórmula.
Hi ha gràfics que NO corresponen a funcions: aquells on per a un valor de la x
es pot obtenir més d’un valor d’y. La gràfica de la funció és més precisa quan
més punts es dibuixen. Sobre tot en el cas de funcions els gràfics de les quals
no són rectes.
RECORDA: per cada valor de la x hi ha un únic valor de y. Si per a un valor
de x hi ha més d’un valor de y, NO ES TRACTA D’UNA FUNCIÓ. Hi ha
144
gràfiques que representen relacions entre variables que no corresponen a
funcions, perquè a algun valor de x li correspon més d'un valor de y.
Exercici resolt: Quins d’aquests gràfics corresponen a funcions?
A és la gràfica d’una funció.
B, C i D no corresponen a la gràfica d’una funció perquè hi ha punts que tenen dos o
més imatges.
3. CREIXEMENT, DECREIXEMENT, MÀXIMS I MÍNIMS.
Funcions creixents i decreixents:
Exemple: quan es fa una reforma, a mesura que augmenta el nombre d'hores
de feina, més elevat serà el cost i si amb més treballadors, menys temps es
trigarà acabar-la.
El primer (temps i cost) és un exemple de funció creixent.
Mentre que el segon (treballadors i temps) és un de funció decreixent.
Augment d'hores (x) Augment del cost (y)
Augment de treballadors (x) Disminució hores (y)
145
Considerem la funció que relaciona les
hores treballades per dos picapedrers i el
cost de l'obra en euros que ens cobraran.
Els treballadors cobren 36 € l'hora i el
material utilitzat costa 250 €.
x = temps treballat (hores)
y = cost de l'obra (€)
y = 36 x + 250
Observa: si treballen més hores (x), major
serà el cost (y).
A mesura que augmenta el valor de x també augmenta el valor de la y.
Aquesta característica defineix les funcions creixents.
Considerem ara la funció que relaciona el
nombre de pintors i el temps que trigaran
en pintar un bloc de pisos. El bloc es força
gran i un pintor tardaria 36 dies.
x = nombre de pintors
y = temps que trigarien (dies)
Observa: si el nombre de pintors
augmenta (x), menys temps trigaran en
acabar l'obra (y)
A mesura que augmenta el valor de x disminueix el valor de la y. Aquesta
característica defineix les funcions decreixents.
Màxims i mínims:
Moltes funcions no són sempre creixents o decreixents sinó que tenen trams
de creixement i trams de decreixement. Els punts on passa de créixer a
decréixer són màxims i els punts on passa de decréixer a créixer són
mínims.
La funció següent té un màxim al punt (1,2) i un mínim al punt (-1,-2)
146
3. Ompli el buit amb la paraula corresponent:
Una funció és .......... si en augmentar el valor de la x també augmenta el valor de la y..
Una funció és decreixent si en augmentar el valor de la x, el valor de la y .................. ..
Quan les funcions venen donades en forma d'enunciat
4. Indica si les funcions següents són creixents o decreixents:
Funció Creixent Decreixent
Considerem la funció que relaciona la longitud del costat d'un
quadrat amb la seva àrea.
Considerem la funció que relaciona la velocitat d'un cotxe i el
temps que trigaríem en recórrer 700 km.
Considerem la funció que relaciona la quantitat d'aigua de mar i
la sal que se'n pot extreure.
Considerem la funció que relaciona la quantitat de taronges i el
preu.
Considerem la funció que relaciona l’espai recorregut per un
cotxe i el temps transcorregut. El cotxe va a una velocitat
constant de 90 km/h.
Considerem la funció que relaciona la quantitat de dissolvent
que hi ha en un litre de producte i la concentració.
Considerem la funció que relaciona el descompte que ens fan
en la compra d'un reproductor de DVD's que val 79 € i el preu
que hem de pagar.
x
y
1
2
- 1
- 2
2 - 3
147
Quan les funcions venen donades per una gràfica
5. Observa les gràfiques següents i digues quines són creixents i quines són
decreixents:
Creixent Decreixent
Creixent Decreixent
Creixent Decreixent
Quan les funcions venen donades amb una fórmula
6. Observa les fórmules següents i digues quines corresponen a funcions creixents i
quines a decreixents:
y = x + 3
y = 100 - x
Creixent Decreixent
Creixent Decreixent
Creixent Decreixent
7. Observa la gràfica següent. Representa la variació de la temperatura que ha
sofert un malalt durant tot un dia.
a. Quina temperatura tenia a les 4h de la matinada?................ I a les 8h?.................
b. Entre les 4h i les 8h la temperatura ha pujat o ha baixat?
c. Entre les 4h i les 8h la funció és creixent o decreixent?
148
d. Quina temperatura tenia a les 10h del matí?.................. I a les 12h del
migdia?..............
e. Entre les 10h i les 12h la funció és creixent o decreixent?
f. Podem dir que entre les 14h i les 22h la funció és decreixent?
g. Abans de les 16h la funció és.......................(creixent o decreixent) després de les
16h la funció és...............(creixent o decreixent) per tant a les 16 h ..................(hi
ha un màxim o mínim) i val........
h. Abans de les 20h la funció és.......................(creixent o decreixent) després de les
20h la funció és...............(creixent o decreixent) per tant, a les 20 h
..................(hi ha un màxim o mínim) i val........
i. A quines hores hi ha temperatures mínimes? (marqueu amb una creu)
j. A quines hores hi ha temperatures màximes? (marqueu amb una creu)
Completa la taula següent.
Hora De 0h a 4h 4h
Funció decreixent
mínim
que val
37
4. FUNCIÓ DE PROPORCIONALITAT.
Al mercat, a les botigues, o al supermercat és un bon moment per exercitar el
càlcul mental.
Quant val una poma que pesa 250 g si el kg va a 2 €?
A quant surt el quilo de pernil, si 100g costen 1,65 € ?
Una llauna de tonyina val 0,75 €, l'oferta és 3 llaunes per 2 €, quin estalvi
suposa?
A banda d'ofertes o descomptes, els preus de molts productes són
proporcionals al seu pes. Per exemple, si un quilo de pomes val 2 €, dos
quilos valdran 4 €, tres quilos 6 €, etc. En la següent taula de valors es
recullen els preus per diferents pesos.
El preu i el pes són dues magnituds directament proporcionals. Si es
representen aquests valors en uns eixos de coordenades resulten punts
alineats. La recta que passa per aquests punts mostra la relació el preu i el
pes.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
149
Preu per quilo: 2 €
Pes en
quilos Preu
0 0
0,5 1
1 2
1,5 3
2 4
El preu és igual al doble del
seu pes, és a dir:
Preu = 2 · Pes
Si x representa el pes, la
fórmula de la funció
corresponent és:
y = 2 · x
En aquest exemple la variable independent x representa el pes i no pot
prendre valors negatius, per tant, la gràfica queda restringida al primer
quadrant.
Aquest tipus de funció s'anomena funció de proporcionalitat
directa i es caracteritza per: tenir una fórmula del tipus y = m x.
El coeficient m que multiplica a la x és el pendent de la recta que
informa sobre la seva inclinació.
La gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades.
5. FUNCIONS LINEALS.
En els últims anys ha proliferat la venda de tot tipus de productes per
Internet. Ofereixen un descompte sobre el preu normal i te'ls porten a casa.
Són uns grans avantatges, però també té els seus inconvenients com és que
et cobren el cost del transport i no tens l'assessorament del personal de la
botiga. Anem a analitzar la part econòmica en un cas concret.
150
Compres per internet:
Na Marta és aficionada a les plantes i necessita fertilitzant. A la botiga val
3’5€ el kg mentrestant que per Internet, 2’5 €/kg més 5 € pel transport de
tota la comanda. Tant a la botiga com per Internet accepten devolucions,
però no tornen els diners del transport.
Completa els espais :
A LA BOTIGA VENDA PER INTERNET
Preu del kg: 3’5 €
Transport: 0 € Preu del kg: €
Transport: €
Pes (kg) Import (€)
0 0
1 3’5
2 7
3 10’5
4 14
Pes (kg) Import (€)
0 5
1
2
3 12’
4 15
Observa que si la Marta compra el
doble de fertilitzant haurà de pagar
el doble.
Observa que no es compleix que si
compra el doble de fertilitzant pagarà
el doble.
La fórmula d'aquesta funció és:
Import = 3’5 · pes
y = 3’5· x
La fórmula d'aquesta funció és:
Import = · pes +
y = · x +
Observa que en el primer cas tenim una funció de proporcionalitat directa:
Si doblem, tripliquem,... el pes, aleshores l'import queda duplicat,
triplicat,...
La fórmula és del tipus y = m x.
La gràfica és una recta que passa per l'origen de coordenades.
En canvi, en el segon cas, no es dóna cap d'aquestes afirmacions. Es tracta
d'un nou tipus de funció anomenat funció lineal . Les funcions lineals es
caracteritzen per:
Tenir una fórmula del tipus y = m x + n.
m és el pendent de la recta i n és l’ordenada en l’origen, és a dir, n té
el valor de y quan x = 0.
La gràfica és una recta que no passa per l'origen de coordenades.
151
8. Un agent d’assegurances d’una empresa asseguradora (A) guanya un mínim de
400 € al mes i , a més a més, 12€ per cada assegurança que contracta. L’agent
d’una altra asseguradora (B) guanya 20€ per cada assegurança contractada, però
no té sou fixe.
a) Expressa la fórmula de la funció que relaciona el nombre d’assegurances
contractades amb el sou que rep l’agent, en cada asseguradora.
b) Dibuixa’n les dues gràfiques en els mateixos eixos de coordenades.
c) Quantes assegurances ha de contractar l’agent de l’asseguradora B per
guanyar més que l’agent de l’asseguradora A?
6. FUNCIÓ CONSTANT.
Un cas especial de funció afí són les funcions constants.
Un exemple podria ser la relació entre el temps (en hores) que estem en un
parc temàtic i el preu que ens cobren. Sigui quina sigui l'estona que estiguem
haurem de pagar el mateix preu, 36€.
Taula de valors: Gràfica:
Temps
(h) Preu
(€)
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
7 36
Fórmula: y = 36
Fixa’t:
A la taula es veu que per qualsevol valor x, la y és 36.
La representació gràfica és una recta horitzontal.
A la fórmula no hi ha x, el pendent és 0. És a dir,
y = 0·x + 36 = 0+36 =36
Aquestes són les característiques de les funcions constants.
9. Hem representat gràficament quatre funcions, però no sabem quina gràfica
correspon a cada fórmula. Completa la taula
152
10. Representa gràficament les funcions 1,0,3 yyy en un mateix eix
d’ordenades.
7. EXERCICIS.
11. Gradua els eixos de coordenades de -10 a 10 i dibuixa els punts A=(3,0), B=(-
5,0), C=(-3,-4), D=(4,-2), E=(0,-3), F=(1,4), G=(0,1) i H=(-1,4).
12. Completa la taula següent indicant a quin quadrant pertany cada punt.:
Punt Quadrant
o eix
Fórmula
153
13. La gràfica següent representa la relació entre el nombre de fotocòpies i el seu
preu. Cada fotocòpia val 0,03 €. Fes una taula pels valors que s'indiquen a la
gràfica. Quina és la fórmula de la funció?
Còpies preu
14. Construeix una taula de valors de la funció y = x2 (agafa primer els valors enters
de x des de -3 fins a 3) i representa el gràfic d’aquesta funció.
15. Completa la taula de valors corresponent a la gràfica de les tarifes del pàrquing.
Temps Cost (€)
de 0 a 30 min
de 30 min a 1 h
de 1 h a 1h i 30 min
de 1 h i 30 min a 2 h
de 2 h a 3 h
de 3 h a 4 h
16. A una sortida, un ciclista manté una velocitat constant de 20km/h durant les 3
primeres hores. La mitja hora següent, redueix la velocitat fins a 15km/h per
mantenir-se amb aquesta velocitat mig hora més. Les darreres 2 hores a viatja a
10km/h.
a ) Representa en un gràfic la velocitat del ciclista en funció de les hores.
b) Quants kilòmetres ha recorregut el ciclista la 1a hora? I la 2a?
c) Quantes hores ha durat la sortida?
d) Representa en un gràfic els kilòmetres recorreguts en funció de les hores.
154
17. Completa la taula de valors corresponent als preus de les copisteries ARTIS i
RUBEN.
ARTIS RUBEN
còpies preu (€) preu (€)
10
20
25
30
40
18. Dibuixa la gràfica d'una funció creixent i una altra d’una funció decreixent en
diferent eixos de coordenades.
19. Observa les fórmules següents i digues quines corresponen a funcions creixents i
quines a decreixents. Justifica la teva resposta
Funció Creixent o
decreixent?
Justificació
y = x + 3
y = 2
x
y = 100 – x
20. Fes les taules de valors corresponents a les funcions f(x) = x i g(x) = 4x i
dibuixa en els mateixos eixos de coordenades les rectes corresponents a
ambdues funcions. Agafa com a valors de x dos de positius i dos de negatius.
155
21. Realitza el gràfic tres rectes de pendent positiu (utilitza colors diferents) i anota,
per cadascuna d’elles, un punt de la recta diferent del (0,0), el seu pendent i la
seva fórmula. Fixa't com varia el pendent de les rectes segons la seva inclinació.
Fórmula Pendent Punt
22. Dibuixa tres rectes de pendent negatiu (utilitza colors diferents) i anota per
cadascuna un punt pel que passi diferent del (0,0), el seu pendent i la seva
fórmula. Fixa't com varia el pendent de les rectes segons la seva inclinació.
Fórmula Pendent Punt
23. Dibuixa una recta i la seva simètrica respecte l’eix d’ordenades, fes la taula de
valors de cadascuna i escriu la seva fórmula.
24. Et proposem que facis una petita investigació. Es tracta d'esbrinar quina relació
hi ha entre una funció afí del tipus f(x) = mx + n i una del tipus f(x) = 1
m x + p
on m, n i p són nombres qualssevol. Observa que una té pendent m i l'altra 1
m.
Quin ha estat el resultat de la teva investigació?
25. Què tenen en comú les fórmules i les gràfiques d'aquestes parelles de funcions?
a. f(x) = 4x - 3 i g(x) = 4x + 9
b. f(x) = -2x + 6 i g(x) = 7x + 6
26. Dues rectes al pla es tallen o són paral·leles. Quina relació té aquest fet amb el
pendent d'una recta? Si sabem les fórmules de dues rectes com podem saber si es
tallen o són paral·leles sense fer la representació gràfica?
27. Un cop has vist la representació gràfica de moltes funcions afins t'hauràs adonat
que algunes són creixents i d'altres són decreixents. Com es pot saber si una
funció afí és creixent o decreixent a partir de la seva fórmula?
156
28. Escriu un exemple concret de funció constant, amb la taula, gràfica i fórmula
corresponent. Dóna-la en forma de gràfica, taula i fórmula:
29. Escriu les taules de valors corresponents a les funcions f(x) = 2x2 i g(x) = -x
2 i
dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions:
30. Joan dibuixa rectangles en els quals el llarg és tres vegades l'ample. Escriu
l'equació que dóna el llarg corresponent a un ample i representa-la.
31. Troba alguns punts de la funció y = 2x - 1 i representa-la.
32. Representa les funcions següents, indica quin tipus de funció és i assenyala quin
és el seu pendent:
a) xy3
2 b) 5xy
33. Com és la representació gràfica de la funció y = 5? Representa-la.
34. Pere ha comprat taronges al preu de 3 €/kg. Escriu l'equació corresponent i
representa-l
35. Observa la representació gràfica
d'aquesta funció i sense fer cap
càlcul, indica quina és la seva
equació:
36. Deu quilos de tomàtigues valen 16€.
a) Quines variables hi relacionem?
b) Expressa la funció de totes les maneres possibles (fórmula, gràfica i taula de
valors).
c) Quin tipus de funció és?
d) Quant val un sac de 7kg de tomàtigues?
37. La temperatura en un lloc de l’Antàrtica, a les 12h, és 5ºC i cada hora baixa 4ºC.
a) Expressa la funció de totes les maneres possibles.
b) Quin tipus de funció és?
c) Quina temperatura fa a les 19h?
38. En un parc d’atraccions, l’entrada val 20€. En Joan ha muntat a 4 atraccions i ha
pagat 32€ en total.
a) Quines variables hi relacionem?
157
b) Expressa la funció de totes les maneres possibles ( fórmula, gràfica i taula de
valors).
c) Quin tipus de funció és?
d) Quant valdrà entrar al parc i muntar a 6 atraccions?
39. Na Maria ha pagat 740€ per 6 mesos de lloguer d’un pis. Si cada mes ha pagat el
mateix, amb una fiança inicial de 140€:
a) Quines variables hi relacionem?
b) Expressa la funció de totes les maneres possibles ( fórmula, gràfica i taula de
valors).
c) Quin tipus de funció és?
d) Quant costaria llogar el pis durant 8 mesos?
158
8. AUTOAVALUACIÓ
1. Na Marta ha pagat 110€ per apuntar-se tres mesos a natació, incloent-hi la matrícula
de 50€. Estudia i representa la funció “nombre de mesos” i “preu” i determina quant li
costarà assistir-hi 10 mesos. Quant de temps hi estaria apuntada si hagués pagat 290€?
a) 250€ i 11 mesos b) 225€ i 11 mesos c) 250€ i 12 mesos d) 275€ i 12 mesos
2. Quina funció no és proporcional?
a) xy 4 b) xy 2 c) 12xy d) xy 7
3. Quina funció és afí?
a) 14 5xy b)
xy
2
c) 32xy d) xy 7
4. La funció xy 6 :
a) Sempre és creixent.
b) Sempre és decreixent.
c) No representa una funció.
d) De vegades creix i d’altres decreix.
5. El punt 3,0 pertany a la funció:
a) xy 6 b) 37xy c) 12xy d) xy 7
6. Quin punt no pertany a la funció d’equació 632 yx ?
a) (0,2) b) (3,0) c) (-3,4) d) (-4,3)
7. Per polir un terra de parquet ens cobren 60€ de desplaçament i 5€ per metre quadrat.
La funció que relaciona el cost final y i els metres x és:
a) 605xy b) 560xy c) 605xy d) y = 5x
8.Representa les següents funcions:
a) 2xy b) xy 3 c) 5y
159
UNITAT 11: SEMBLANÇA
1. FIGURES SEMBLANTS
2. ESCALES, PLÀNOLS I MAPES
2.1 ESCALA
2.2 PLÀNOLS I MAPES
3. TEOREMA DE TALES
3.1 TEORIA I SIGNIFICAT
3.2 TRIANGLES SEMBLANTS
4. TEOREMA DE PITÀGORES
4.1 TEORIA I SIGNIFICAT
4.2 APLICACIONS DEL TEOREMA
4.2.1 ESBRINAR SI UN TRIANGLE ÉS RECTANGLE
4.2.2 CÀLCUL DE LA HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE RECTANGLE
4.2.3 CÀLCUL D’UN CATET D’UN TRIANGLE RECTANGLE
5. AUTOAVALUACIÓ
160
1. FIGURES SEMBLANTS
Dues figures són semblants quan només difereixen en la seva grandària.
En aquest cas, els segments corresponents són proporcionals (tots han de
tenir la mateixa raó de semblança)
Es diu raó de semblança al quocient entre les dues longituds
corresponents.
1. Troba les raons de semblança (la figura de l’esquerra a la figura de la dreta).
2. Quines d’aquestes figures són semblants? Quina raó de semblança tenen?
2. ESCALES, PLÀNOLS I MAPES
2.1 ESCALA
Escala és el quocient entre cada longitud en la reproducció (mapa, plànol
o maqueta) i la corresponent longitud de la realitat. És a dir, és la raó de
semblança entre la reproducció i la realitat.
3. A un mapa amb escala 1:1500000, la distància entre dues ciutats és 2’5 cm.
a) Quina és la distància real entre elles?
161
b) Quina serà la distància en aquell mapa entre dues ciutats A i B amb
distància real 360 km?
2.2 PLÀNOLS I MAPES
El plànol d’una casa és una imatge fidel de la realitat. Té la mateixa
distribució, la mateixa forma que la casa real i les dimensions estan
reduïdes segons una escala.
Un mapa és una figura semblant a la porció de territori que representa.
4. Felip s’ha comprat una casa. Com que ha de fer reforma ha fet un plànol a escala
1:200 per fer-se una idea dels despeses.
a) Felip vol canviar les rajoles del sòl de la cuina, quants m
2 té la seva cuina? Quants
diners es gastarà si el m2 de rajoles val a 18€/m
2?
b) Calcula l’àrea real del dormitori.
5. Calcula les dimensions reals de les diferents habitacions d’aquesta casa:
Escala 1: 200
162
6. Disposem d’un model a escala 1:42 d’un SIMCA 1200. Les mides del model són les
següents:
7. El cotxe que tens a la fotografia és un Maserati MC12, les seves mesures reals són:
Llarg 5’143 m
Amplada 2’096 m
Volem dibuixar-lo de perfil a escala 1: 50 en un full
DIN-A4. Hi cabrà?
Mides model Mides reals
Llargària 8’4 cm
Amplada 3’5 cm
Distància entre eixos 6 cm
Alçària 3’2 cm
163
8. Relaciona cada escala amb la distància al pla i la distància real.
9. Volem anar de l’ institut a la Plaça de les Columnes. Hem programat un itinerari i
volem saber la distància que farem. Observa el plànol que està a una escala 1:4000.
Calcula les següents distàncies en metres fent servir l’escala gràfica del plànol:
a) Sortim de l’ institut i anem fins el carrer Puerto Rico.
b) Anem des del carrer Puerto Rico fins al carrer Caracas.
c) Anem des del carrer Caracas fins al carrer Manuel Azaña.
d) Després voltem a l’esquerra pel carrer Manacor.
164
e) Després voltem a la dreta del carrer Tomás Forteza.
f) I per últim girem a la dreta al carrer Nuredduna fins arribar a la Plaça de les
columnes.
3. TEOREMA DE TALES
3.1 TEORIA I SIGNIFICAT
Direm que la posició de Tales és quan tenim rectes paral·leles que tallen a
dos semirectes que formen un angle.
TEOREMA DE TALES
Si tenim tres rectes paral·leles a, b i c que tallen a les rectes r i s, és a dir,
estan en posició de Tales, aleshores els segments que determinen són
proporcionals:
''''' CB
BC
BA
AB
OA
OA
En general, podem afirmar que qualssevol dels segments que es formen
són proporcionals:
''' OC
OC
OB
OB
OA
OA
''' CC
OC
BB
OB
AA
OA
165
10. Determina (sense fer servir el regle...) la longitud dels segments indicats mitjançant
el teorema de Tales. Després pots comprovar que la solució obtinguda és correcta
mesurant el segment.
a)
OA = 4’2 cm, AB = 3 cm, OA’= 3’4 cm, OC = 11’9 cm.
A’B’= ? , OC’ = ?
b)
OB = 7’8 cm, OC = 12’3 cm, OB’ = 8’3 cm, B’C’ = 4’7 cm, OA = 4’7 cm.
OC’ = ? , BC = ? , OA’ = ?
166
c)
OA’ = 3’5 cm, A’B’ = 4’3 cm, AB = 6’3 cm, B’C’ = 2’2 cm,
OA = ?, BC = ?
11. Al teu quadern dibuixa dues rectes paral·leles que es tallen amb dues rectes secants.
Mesura els segments interceptats entre les rectes paral·leles i secants, i comprova que
s’hi compleix el teorema de Tales.
Una aplicació immediata del teorema de Tales és la divisió en parts iguals
d’un segment.
Exemple: Volem dividir el segment AB en tres parts iguals.
Els passos a seguir són:
Dibuixem el segment AB A B
Dibuixem una semirecta a partir del vèrtex A
A B
Marquem a la semirecta tres segments iguals consecutius de
qualsevol mesura.
Unim el darrer segment marcat amb l’extrem B del segment.
167
Tracem paral·leles pels segments marcats.
Ja tenim el segment AB dividit en tres parts iguals.
12. Divideix gràficament un segment de 10 cm per la meitat.
13. Divideix gràficament un segment de 15 cm en cinc parts iguals.
14. Divideix gràficament en tres parts iguals un segment AB de longitud 10 cm.
15. Senyala el punt mitjà d’un segment qualsevol dividint-lo en dues parts iguals.
16. Troba gràficament els 2
3d’un segment de 14 cm.
17. Divideix el segment AB en parts proporcionals a CD i EF
18. En Joan i la Lluïsa es volen repartir 20 m de cable elèctric en parts proporcionals a 4
i 8. Quants metres li tocaran a cadascú?
Una altra aplicació del teorema de Tales és la semblança de triangles. Així
que el primer que definirem són els triangles en posició de Tales.
Si dos triangles tenen un angle en comú i els costats oposats són paral·lels
tenim dos triangles en posició de Tales.
Els triangles ABC i ADE estan en posició de Tales.
168
3.2 TRIANGLES SEMBLANTS
Dos triangles són semblants si tenen els seus angles respectius iguals i els
costats proporcionals.
Anomenem raó de semblança al nombre que relaciona els costats
proporcionals dels triangles semblants.
Exemple:
Si els angles mesuren:A = 40º, B = 110º i C = 30º
Si els costats mesuren: a = 12cm, b = 18 cm i c = 4cm
Si els angles mesuren:A = 40º, B = 110º i C = 30º
Si els costats mesuren: a = 6cm, b = 9 cm i c = 2cm
Els angles són iguals i els costats proporcionals:
2
4
6
12
9
18
Com els costats són proporcionals i els angles respectius són iguals, són
triangles semblants.
La raó de semblança és 2, ja que 2
4
6
12
9
18=2
19. Comprova si els següents triangles són semblants i determina la seva raó de
semblança:
a)
169
b)
c)
d)
20. a) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 2 (les
unitats del dibuix són centímetres):
A
50º 5
4
170
b) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 1,4 (les unitats
del dibuix són centímetres):
c) Dibuixa un triangle semblant al següent amb una raó de semblança de 1/2 (les unitats
del dibuix són centímetres):
En lloc de comprovar totes les característiques per saber si dos triangles
són semblants, s’han establert uns criteris de semblança de triangles:
CRITERIS DE SEMBLANÇA DELS TRIANGLES
Dos triangles en posició de Tales són semblants.
Dos triangles són semblants si tenen dos angles respectivament
iguals.
Dos triangles són semblants si tenen els tres costats proporcionals.
21. Els costats d’un triangle fan 9 , 12 i 15 cm, respectivament. Troba els costats d’un
altre triangle semblant sabent que el costat més gran fa 24 cm.
22. Els costats d’un triangle fan 18, 24 i 32 cm, respectivament. Troba els costats d’un
altre triangle semblant sabent que el més petit fa 24 cm.
A
35º 5
8
A B
37º 48º 10
171
23. Quant faran els costats i el perímetre d’un triangle semblant a un altre de costats 36,
42 i 54 mm, respectivament, si la raó de semblança és 4
5?
24. Calcula l’altura d’una torre que projecta una ombra de 18’5 m sabent que en el
mateix moment un arbre de 3’5 m d’altura projecta una ombra de 0’75 m.
25. Indica si són semblants dos triangles amb les mesures següents: els costats de l’un
fan 10 cm, 7 cm i 6 cm, i els de l’altre, 20 cm, 14 cm i 32 cm.
26. Calcula la longitud d’un triangle semblant a un altre de costats 5 cm, 8 cm i 7 cm, si
la raó de semblança és 5.
27. Calcula l’altura d’una muntanya a partir de les dades següents: Des d’un vaixell es
calcula que la distància d al cim de la muntanya és de 4525 m, amb un angle que
forma la visual sobre l’horitzó. Sobre un paper dibuixem un triangle rectangle ABC, que
té com un dels angles aguts. Mesurem el catet BC i la hipotenusa AC. Aquestes
mesures són: BC= 21 cm i AC = 83 cm.
28. Un arbre projecta una ombra de 5’74 m en el mateix moment en què un pal de 1’56
m en projecta una de 73 cm. Esbrina l’altura de l’arbre.
29. Calcula l’altura d’un xiprer que projecta una ombra de 5 m sabent que en el mateix
moment, un castanyer petit, d’ 1’8 m d’altura, projecta una ombra de 60 cm.
172
4. TEOREMA DE PITÀGORES
Abans d’explicar el teorema de Pitàgores farem un petit recordatori de
què és:
Un triangle: és una figura plana tancada de tres costats i tres
angles. Per exemple:
Un triangle rectangle: és un triangle que té un angle recte, és a dir,
un angle que mesura 90º. Per exemple:
Catets: A un triangle rectangle hi ha dos costats que es diuen
catets. Són els costats que formen l’angle recte.
Hipotenusa: A un triangle rectangle hi ha un costat que es diu
hipotenusa. És el catet que NO forma part de l’angle recte, i a més
a més és el costat més llarg.
30. Per a cadascun dels següents triangles,
1r. Marca l’angle recte.
2n. Assenyala la hipotenusa.
173
4.1 TEORIA I SIGNIFICAT
El teorema de Pitàgores diu que en un triangle rectangle, el quadrat de la
hipotenusa (el costat més llarg a un triangle rectangle) és igual a la suma
dels quadrats dels dos catets. Si diem a i b als catets i c a la hipotenusa,
ens queda: 222 bac
Demostració:
L’àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les
àrees dels quadrats construïts sobre els catets. I això és veritat, només, si
el triangle és rectangle.
4.2 APLICACIONS DEL TEOREMA
4.2.1 ESBRINAR SI UN TRIANGLE ÉS RECTANGLE
La primera aplicació del teorema de Pitàgores és esbrinar si un triangle és
rectangle.
Per exemple: els costats d’un triangle són a = 17cm, b = 11cm, c = 20cm.
És un triangle rectangle?
Suposem que c = 20cm és la hipotenusa, per ser el major dels
costats, i a = 17cm i b = 11cm els catets.
Calculem 202 = 400 (la hipotenusa al quadrat)
Calculem 172 + 11
2 = 410 (la suma dels catets al quadrat)
Com no són iguals, no es compleix el teorema de Pitàgores, per
tant, no és un triangle rectangle.
Si fossin iguals, es compliria el teorema de Pitàgores, per tant seria
un triangle rectangle, ja que el teorema sols es compleix en
triangles rectangles.
174
31. Esbrina si cada un dels triangles següents és rectangle o no ho és:
a) a = 63cm, b = 85cm, c = 57cm
b) a = 17m, b = 8m, c = 15m
c) a = 20cm, b = 30cm, c = 40cm
d) a = 22cm, b = 17cm, c = 10cm
e) a = 61cm, b = 60cm, c = 11cm
f) a = 42m, b = 31m, c = 30m
g) a = 37cm, b = 35cm, c = 12cm
4.2.2 CÀLCUL DE LA HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE RECTANGLE
La segona aplicació del teorema de Pitàgores és calcular la hipotenusa
d’un triangle rectangle.
Exemple: Calcula la hipotenusa del següent triangle rectangle:
h
2 = 3
2 + 8
2
h2
= 9 + 64
h2
= 73 h = 54,873
32. En un triangle rectangle, els catets mesuren b = 20 cm i c = 15 cm. Calcula la
longitud de la hipotenusa.
33. Calcula el costat que falta:
175
34. Els costats d’un rectangle mesuren 21 i 28 cm , respectivament. Calcula la diagonal.
35. Calcula les mesures dels costats d’un rombe les diagonals del qual mesuren 219 i
292 cm respectivament.
36.La base d’un triangle isòsceles mesura 32 cm i la seva altura respecte d’aquesta base,
38’4 cm. Troba el seu perímetre.
37. Troba la diagonal d’un quadrat de 12 cm de costat.
4.2.3 CÀLCUL D’UN CATET D’UN TRIANGLE RECTANGLE
La tercera aplicació del teorema de Pitàgores és calcular un dels catets
d’un triangle rectangle.
Exemple: Calcula el catet del següent rectangle:
5
2 = c
2 + 3
2
c2 = 5
2 - 3
2 c
2 = h
2 – c
2
c2 = 25 - 9
c2
= 16
c = 16 = 4
38. En un triangle rectangle, la hipotenusa mesura 35 cm i un dels catets 28 cm. Calcula
la longitud de l’altre catet.
176
39. Calcula el catet dels següents triangles rectangles:
40. Quant mesura l’apotema d’un hexàgon regular de 8 m de costat?
41. Troba el costat d’un quadrat que té una diagonal de 236 mm.
42. Troba l’altura d’un triangle equilàter de costat 24 cm.
43. Calcula els costats que falten de les següents figures:
177
5. AUTOAVALUACIÓ
1. Troba les dades que falten en les figures següents:
2. Divideix un segment de 12 cm en parts proporcionals a 1, 2 i 3 cm, respectivament. Resol
l’exercici gràficament.
3. Si els costats d’un triangle mesuren respectivament 7, 9 i 5 cm, quant mesuraran els costats d’un
altre triangle semblant, si la raó de semblança respecte del primer és de 1’8?
4. Calcula l’altura d’un edifici que projecta una ombra de 50m en el moment en què un arbre de 2m
tira una ombra d’1’25m.
5. Un triangle de costats 6cm, 7cm i 11cm és un triangle rectangle?
6. Els catets d’un triangle rectangle fan 33cm I 27cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.
7. La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 24m, i un catet, 19m. Calcula la longitud de l’altre catet.
8. En un mapa hi ha dibuixades dues ciutats, separades 2 cm. Determina la distància real, en km, que
les separa si el mapa està fet a escala 1:100000.
178
9. Calcula la distància real que separa, en línia recta, Marateca i Vendas Novas en aquest mapa que
està dibuixat a escala 1:500000.
10. Determina a quina escala s’ha dibuixat el plànol d’una ciutat si 100 m de la realitat es
representen per 1 cm en el pla.
11. Calcula el costat que falta:
a) b)
179
UNITAT 12: GEOMETRIA PLANA I DE L’ESPAI
1. REPÀS DE GEOMETRIA PLANA
1.1 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS
1.2 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE TRIANGLES
1.3 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE QUADRILÀTERS
1.4 ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES
2. CLASSIFICACIÓ DELS COSSOS GEOMÈTRICS
3. ÀREES I VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS
180
1. REPÀS DE GEOMETRIA PLANA
1.1 DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DE POLÍGONS
Un polígon (el nom ve del grec i vol dir “molts angles”) és una figura plana, tancada i
delimitada per segments. Aquestos segments són els costats del polígon. Els punts on
s’uneixen dos costats són els vèrtex del polígon.
Els polígons que tenen tots els seus costats i angles iguals s’anomenen polígons regulars.
CLASSIFICACIÓ
a) Segons el nombre de costats.
N. de costats Nom N. de costats Nom
3 Triangle 8 Octàgon
4 Quadrilàter 9 Enneàgon
5 Pentàgon 10 Decàgon
6 Hexàgon 11 Hendecàgon
7 Heptàgon 12 Dodecàgon
El polígon de 20 costats que es diu Icosàgon.
Altres tipus de classificacions:
b) Si no té interseccions direm que és simple; si no, direm que és complex.
Exemple:
Polígon Simple Polígon complex
c) Un polígon simple, si no té cap angle major de 180º direm que és convex, si no
direm que és còncau.
Polígon convex Polígon còncau
181
1. Empra el tres mètodes de classificació i indica quins polígons són regulars:
2. Un polígon còncau pot ser regular? Per què?
3. Dibuixa els polígons següents:
Un quadrilàter còncau
g) Un hexàgon complex
h) Un enneàgon simple convex
i) Un triangle equilàter
4. Com es diuen cadascun dels polígons regulars següents segons el nombre de costats.
1.2. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS TRIANGLES
Els triangles es poden classificar per dues vies diferents, segons el nombre de costats
iguals que tenen o segons els angles interns, si són menors o majors als 90º , és a dir,
Costats iguals Nom Per angles Nom
3 costats iguals equilàter 1 angle intern = 90º rectangle
182
2 costats iguals isòsceles tots els angles < 90º acutangle
cap costat igual escalé 1 angle intern > 90º obtusangle
5 .- Dibuixa i completa cadascun dels possibles triangles al requadre.
Per costats Nom DIBUIX Per angles Nom DIBUIX
3 costats iguals equilàter 1 angle
intern = 90º
2 costats iguals tots els
angles < 90º acutangle
escalé obtusangle
1.3. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS QUADRILÀTERS
Els quadrilàters es classifiquen segons el nombre de costats oposats paral·lels:
* Si té els 2 costats oposats paral·lels li direm paral·lelogram.
Dintre dels paral·lelograms ens trobam:
Si té els costats paral·lels sense costats ni angles iguals, li direm romboide.
Si té tots els costats iguals, li direm rombe.
Si té tots els angles iguals, de 90º, li direm rectangle.
I si té tots els costats i els angles iguals, li direm quadrat.
* Si té un costat oposat paral·lel, li direm trapezi.
Dintre dels trapezis ens trobem:
Si té un angle recte, li direm trapezi rectangle.
Si té els dos costats no paral·lels iguals, li direm trapezi isòsceles.
Si no té cap costat igual ni cap angle recte, li direm trapezi escalé.
* Si no té cap costat paral·lel ni els angles iguals, li direm trapezoide.
183
Resumint:
)cos(
)cos2(
)cos3(
cos
))º90(
)º90(tanRe
))º90(tan
igualtatcapEscalé
igualstatsIsòsceles
igualstatsEquilàter
tatsper
unObtusangle
glec
gleAcu
anglesper
Triangles
sTrapezoide
Escalé
glec
Isòsceles
Trapezis
Romboide
Quadrat
Rombe
glec
lelògramsparal
rsQuadrilàte tanRe
tanRe
·
6. Marca l’opció correcta en cada cas:
1.Un rombe és:
a) Un trapezi.
b) Un quadrilàter.
c) Un paral·lelogram.
d) b i c són certes.
2.Els paral·lelogram són:
a) Polígons de 4 costats
b) Quadrilàters amb costats iguals.
c) Quadrilàters amb angles i costats iguals.
d) Quadrilàters amb costats oposats paral·lels
184
3. Quin dels següents polígons no és un quadrilàter?
a) Romboide.
b) Trapezi.
c) Rectangle.
d) Tots ho son.
4. Com es diu el quadrilàter amb els angles iguals?
a) Paral·lelogram
b) Rectangle
c) Quadrat
d) Rombe.
5.Els quadrilàters poden ser:
a) Rombes, Trapezis i Paral·lelograms
b) Rombes, Romboides i Trapezoides
c) Paral·lelograms, Trapezis i Trapezoides
d) Rombes, Romboides, Rectangles i quadrats
6.Marca l’opció correcta. La figura següent és un:
a) Romboide
b) Trapezoide
c) Paral·lelogram
d) Quadrilàter
7.La figura següent és un:
a) Rectangle
b) Romboide
c) Paral·lelogram
d) Quadrilàter
185
1.4. ÀREES I PERÍMETRES DE FIGURES PLANES
El perímetre d’una figura plana és el seu contorn. El valor del perímetre d’un polígon és la
suma de tots els costats i es mesura en unitats de longitud: mm, cm, dm, m...
L’àrea d’una figura plana és la porció del pla tancada pels seus costats (dins el perímetre). Es
mesura amb unitats de superfície: mm2, cm
2, dm
2, m
2...
Per obtenir l’àrea i el perímetre d’una figura plana s’empren les fórmules corresponents.
Paral·lelogram Triangle Rombe Trapezi
A = b·h A = 2
·hb A=
2
·dD A=
2
)·( hbB
Polígon regular Cercle
2
·apotemaperímetreA
2·rA
rP ·2
7. Calcula les àrees i els perímetres de les figures següents:
a) Un rectangle de costats 6cm i 8 cm.
b) Un rombe de diagonals 16cm i 10 cm.
c) Un triangle isòsceles de base 8cm i d’altura 10cm.
d) Un heptàgon de 8cm d’apotegma i 10cm de costat.
e) Un rectangle de 8 cm de base i 12cm de diagonal.
f) Un triangle rectangle de 4cm de base i 5cm d’hipotenusa.
g) Un cercle de 18cm de diàmetre.
h) Un trapezi isòsceles de 12cm i 6cm de bases i 5cm de costat lateral.
186
i) Un hexàgon de 10cm de costat ( NOTA: a l’hexàgon mesura igual el costat que
el radi).
j)
12cm
18cm
6cm
10cm 14cm
9cm
6cm
2cm
15cm
16cm
8cm
6cm
6cm
12cm
8cm 12cm
5cm
10cm
10cm
6cm
6cm
18cm
20cm
4cm
6cm
16cm
5cmm
8cm 18cm
10cm
11cm
8cm
187
2. CLASSIFICACIÓ DELS COSSOS GEOMÈTRICS
Un POLIEDRE és un cos geomètric la superfície del qual es composa d'una
quantitat finita de polígons plans. Els seus elements notables són:
CARA que és el polígon que limita el cos. I es pot dir base si és paral·lela al
terra.
ARESTA on es troben dues cares. Poden ser: laterals si són perpendiculars al
terra i bàsiques si limiten amb la base.
VÈRTEX on es troben tres o més arestes.
A l'hora de definir un poliedre s'assenyala la terna (cares, arestes, vèrtex )
8. Assenyala els elements notables del següent poliedre:
Existeixen exactament 5 políedres simples regulars respecte de les cares (són
polígons regulars idèntics), les arestes i els vèrtex (en cada vèrtex concorre el
mateix nombre de cares).
S’anomenen sòlids platònics o regulars i són:
Tetraedre
Cub
Octaedre
Dodecaedre
Icosàedre
Si fem girar al voltant d’un eix una figura plana, el resultat del procés és una
figura tridimensional tancada que anomenem de forma general COS DE
REVOLUCIÓ.
L’eix al voltant del qual es fa el gir s’anomena eix de simetria o eix de gir, i
qualsevol pla que el contingui divideix el cos de revolució en dues parts iguals.
La línia de la figura plana que gira al voltant de l’eix més allunyada d’ell
s’anomena generatriu, perquè “genera” la superfície de revolució o superfície
lateral del cos.
Està clar que de cossos de revolució n’hi ha infinits, tants com les figures planes
que els poden generar, però els més importants i els que s’estudien habitualment
quan es parla d’aquest tema són el cilindre, el con i l’esfera.
188
Tenim 5 grans tipus diferents de figures a l’espai
Poliedres Cossos de revolució
Prismes Piràmides Cilindres Cons Esferes
Tenen 2 bases
poligonals iguals.
Les cares laterals són
rectangles.
Tenen una sola
base poligonal i
acaben en punta.
Les cares laterals
són triangles.
Tenen 2 bases
circulars.
Tenen una base
circular i
acaben en
punta.
La distància del
centre a la
superfície és
constant.
Als prismes i piràmides s'especifica quin
tipus de base tenen. Els exemples de més
amunt serien prisma pentagonal i piràmide
hexagonal.
3. ÀREES I VOLUMS DELS COSSOS GEOMÈTRICS
El desenvolupament al pla d’un cos geomètric seria el plànol de paper que
necessitaríem si volguérem construir-lo. L'aconseguim si retallem les arestes i
posem totes les cares sobre un pla.
Exemple:
Aquests desenvolupaments ens seran útils per calcular les àrees laterals i totals
dels cossos geomètrics.
189
9. Dibuixa el desenvolupament al pla de les següents figures:
CÀLCUL D’ÀREES
Poliedres Cossos de revolució
Prismes Piràmides Cilindres Cons Esferes
A= Alateral +2·Abase
A= Alateral +Abase
A= Alateral +2·Abase
A= Alateral +Abase
A=2
·dD
4 П·r2
10. Calcula l’àrea total d'una piràmide quadrangular regular de 4 dm de costat de la
base i 10 dm d’apotema de la piràmide
11. Una capsa de sabates amida 10 cm d’amplària, 24 cm de llargària i 15 cm
d’alçària. Calcula la seva àrea total.
12. Un ortoedre és un prisma de 6 cares format per rectangles. Calcula l’àrea del
següent ortoedre:
190
13. Un prisma té per base un hexàgon regular de 8 cm de costat. L’altura del prisma
és de 12 cm. Calcula l’àrea.
14. Una piràmide regular té per base un quadrat de 12 cm de costat. L’altura és de 8
cm. Calcula l’apotema de la piràmide i l’àrea.
15. Calcula l’altura d’una piràmide hexagonal regular si saps que l’aresta lateral
amida 25 cm i l’aresta de la base, 15 cm. Calcula l’àrea.
16. Dibuixa al teu quadern els següents cilindres, on h representa l’alçada i r el radi:
Cilindre 1: h= 10 cm; r= 2 cm.
Cilindre 2: h= 3cm; r= 1 cm.
a) Calcula la superfície o àrea lateral dels cilindres, dibuixant-la prèviament.
b) Calcula l’àrea de les bases dels cilindres, fent també el dibuix abans.
c) Finalment, calcula l’àrea total del cilindres.
191
CÀLCUL DE VOLUMS
Poliedres Cossos de revolució
Prismes Piràmides Cilindres Cons Esferes
V= Abase ·ALTURA
V=(Abase·ALTURA)/3
V= Abase·ALTURA
V=(Abase·ALTURA)/3
V= (4·П·r3)/3
17. Les dimensions d'un prisma rectangular són a = 9 cm, b = 5,5 cm i c = 9 cm.
Calcula l'àrea i el volum.
18. El radi d’una esfera és de 20 cm, calcula l’àrea i el volum.
19. Calcula l’àrea i el volum d’un cilindre de radi 10 cm i altura 18 cm.
20. Calcula el volum d’un con de radi 9,6 m i altura 12,8 m
21. Calcula el volum d’un con de radi 3 cm i generatriu 8 cm
22. Calcula l’àrea i el volum d’un prisma on la base és un hexàgon de costat 40 cm i
l’altura del prisma és de 50 cm
23. Calcula l’àrea i el volum d’una piràmide on la base és un hexàgon de costat 22
cm. L’altura de la piràmide és de 3 m
192
EXERCICIS GLOBALS EN COMPETÈNCIES
CHIQUIPARC
Una parella vol organitzar la festa del 5è aniversari del seu fill en un “chiquiparc”. Han
observat que en un radi de 3 km des de l’escola del nin, hi ha més o menys 20 locals que
organitzen aquestes festes infantils.
Per veure quina opció els resultarà més interessant, estudien els preus d’una mostra de
“chiquiparcs” que trien a l’atzar i elaboren la següent taula:
Chiquiparc A B C D E F G H
Preu per nin 10 € 12 € 11 € 9 € 10 € 9 € 10 € 10 €
1. Quina és la superfície aproximada de l’extensió de terreny on es troben els 20
locals?
A. 3 km2
B. 9 km2
C. 18 km2
D. 28 km2
2. Observant les dades de la mostra, quina de les següents afirmacions seria certa?
A. A la meitat dels “chiquiparcs” el preu és de 9 €
B. A la meitat dels “chiquiparcs” el preu és de 12 €
C. A la quarta part dels “chiquiparcs” el preu és de 9 €
D. A la quarta part dels “chiquiparcs” el preu és de 10 €
3. Calcula el valor mitjà dels preus per nin dels locals de la mostra indicant com ho has
obtingut.
4. Representa en un diagrama de barres la distribució dels preus per nin dels locals de
la mostra.
193
5. El gener del 2009 i seguint les instruccions de l’associació que els regula, tots els
chiquiparcs han augmentat els seus preus un 5 %.
Un dels 20 chiquiparcs que no figuren a la mostra de l’enunciat fa una promoció
durant el mes de febrer:
“Recuperam els preus de 2008”
5 % de descompte en tots els nostres serveis
Quina de les següents opcions és correcta?
A. L’afirmació no és correcta perquè els preus queden com el 2008.
B. L’afirmació no és correcta perquè els preus disminuiran respecte al 2008.
C. L’afirmació no és correcta perquè els preus augmentaran respecte al 2008.
D. Amb el que es diu no es pot saber si l‘afirmació és correcta o no.
194
COLLAR
Tres amics, n’Albert, n’Eva i en Marc, estan passant una estona junts al parc que hi ha
prop d’allà on viuen. N’Eva s’ha posat a jugar amb un collar de 60 cm de longitud que
duia penjat al coll i ha vist que pot crear molts rectangles de diferents formes.
1. Completa la taula que relaciona la mida de la base i l’altura d’alguns dels rectangles
que pot formar n’Eva amb el seu collar.
base 5 cm
altura 20 cm
2. Entre els tres amics estan intentant trobar si hi ha relació entre la base “b” i l’altura
“a” dels rectangles formats. N’Eva diu que és “a + b = 60”, en Marc diu que és “a =
30 - b”, i n’Albert, “b = 30 + a”. Quin dels tres té raó?
A. Eva
B. Marc
C. Albert
D. Cap dels tres
3. Els tres amics segueixen jugant amb el collar de n’Eva i formen unes altres figures
de manera que totes compleixen la relació y=60-2x. De quines figures es tracta i que
representen x i y?
195
4. Dibuixa la gràfica de la funció y=60-2x que han trobat i digués quin nom reben les
funcions com aquesta?
5. Després d’una estona de jugar amb el collar, els tres amics decideixen comprar una
corda i repartir-la entre els tres per poder continuar fent experiments. La corda val
8 € i mesura 5 metres. N’Albert només pot aportar 1 euro, n’Eva 3 i en Marc posa la
resta. Quants metres de corda li corresponen a n’Eva si la se reparteixen
proporcionalment als euros que ha pagat cada un?
A. 0,625 metres
B. 1,625 metres
C. 1,875 metres
D. 2,5 metres
196
JOC DE CUBS
La germana petita de na Neus té un joc de cubs per fer estructures i avui s’han posat a
jugar juntes.
Na Neus ha fet l’estructura A i n’Alexandra, la seva germana petita, li ha desmuntat,
transformant-la en l’estructura B.
1. Quants cubs ha llevat n’Alexandra?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
2. Les dues germanes juntes han aconseguit fer l’estructura que es mostra a la imatge.
Si l’aresta de cada cub fa 2 cm de longitud, quin és el volum d’aquesta nova
estructura?
A. 8 cm3
B. 24 cm3
C. 32 cm3
D. 40 cm3
3. Quina de les figures següents representa l’estructura anterior girada?
197
4. El joc complet és de 20 cubs i els tenen repartits entre les dues germanes.
N’Alexandra plora perquè na Neus té més cubs que ella. La seva mare fa que na
Neus li doni 4 cubs a n’Alexandra per tal que es quedin les dues amb el mateix
nombre de cubs. Quants cubs tenia inicialment na Neus? Justifica la resposta.
5. N’Alexandra, que és una mica trapella, ha desmuntat un dels cubs del joc. Quina de
les següents figures pot haver-li quedat?
A.
B.
C.
D.
198
EPIDÈMIA A L’ESCOLA
A la nostra escola, de 300 alumnes, hi ha una epidèmia molt forta de grip que ha afectat
a un 15% de l’alumnat, que per aquest motiu no assisteixen a classe.Per no avançar en
el temari amb tantes absències per malaltia, alguns professors fan activitats diferents a
les habituals del tipus: lectures de llibres o activitats de lògica i d’enginy...
1. Quants alumnes de l’escola NO pateixen grip?
A. 45
B. 85
C. 150
D. 255
2. Na Montserrat ha estat una de les malaltes més greus i no ha pogut anar a classe
durant 84 dies. Quantes setmanes ha faltat a l’escola?
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
3. Na Marta du els deures cada dimecres a na Montserrat per tal que no perdi el ritme
del curs. Li diu que han de llegir un llibre de català i que ella va llegir 1/3 de les
pàgines el dilluns i 6/15 el dimarts. El seu company, en Jordi, va llegir 2/5 de les
pàgines el dilluns i 2/6 el dimarts. Quin dels dos ha llegit més pàgines?
A. Els dos igual
B. Na Marta
C. En Jordi
D. No es pot saber
4. El grup de na Montserrat ha estat un dels més afectats per l’epidèmia. Si són
25 alumnes en aquest grup i han faltat 10 alumnes amb na Montserrat inclosa,
quin percentatge d’alumnes del grup ha faltat? Indica com ho has calculat.
199
5. A la classe de matemàtiques, el professor ha proposat el següent enunciat: “Ens
inventam el nom d’epidèmics per als nombres múltiples de 2 i de 3 i que es trobin
entre el 45 i el 50, quin dels següents nombres és epidèmic?
A. 44
B. 46
C. 48
D. 49
6. A l’hora següent tenen Taller de matemàtiques, i la professora proposa diverses
activitats. La primera és sobre “quadrats màgics”. Un “quadrat màgic” és la
disposició de tots els nombres entre l’1 i el 9 en un quadrat de forma que la suma
per files, columnes i diagonals principals sigui la mateixa. Completa el següent
quadrat màgic
4
8 1 6
7. La segona activitat que proposa la professora de Taller de matemàtiques és jugar
amb el “Tangram”, joc xinès molt antic, que consisteix en formar figures amb les 7
peces donades sense solapar-les.
L’any passat els alumnes d’aquesta optativa varen construir un “tangram gegant”
de fusta per jugar al pati, però un dia de pluja es varen rompre el triangle mitjà i el
quadrat. Quanta fusta necessiten per reconstruir aquestes dues peces sabent que el
costat del quadrat ha de ser de 50 cm per tal que encaixi amb les peces ja
construïdes?
A. 0,25 m2
B. 0,375 m2
C. 0,5 m2
D. 0,75 m2
200
8. Mentre alguns companys construeixen les peces gegants de fusta, na Marta fa
una figura d’un home com la de la imatge amb un tangram petit de plàstic que
tenen a classe.
La professora li recorda que el costat del quadrat format per les 7 peces és de
20 cm i li demana que calculi l’àrea de la figura de l’home que ha creat amb el
mínim d’operacions i càlculs possibles.
Explica quin procediment ha de seguir na Marta.
201
EXCURSIÓ FAMILIAR
El proper dissabte, una família de 4 membres (pare, mare, Marta de 3 anys i Felisa d’1
any), vol anar d’excursió al Port de Sóller.
Ells viuen a Palma i agafaran primer el tren per anar de Palma a Sóller i després el
tramvia per anar de Sóller al Port de Sóller.
Aquests són els horaris del tren i del tramvia
TREN (1 hora de durada)
Palma -> Sóller Sóller -> Palma
08:00
10:10
10:50
12:15
13:30
15:10
19:30
07:00
09:10
10:50
12:15
14:00
18:30
19:00 *
* Dissabtes, diumenges i festius
TRAMVIA (10 minuts de durada)
Sóller -> Port de Sóller Port de Sóller -> Sóller
07:00
08:00
08:30 *
09:00
09:30 *
10:00
10:30
11:00
11:25
12:00
12:30
13:00
13:25
14:00
14:30
15:00
15:30
16:00
16:30
17:00
17:30
18:00
18:30
19:00
19:30
20:30
07:30
08:25
09:00 *
09:30
10:00 *
10:25
11:00
11:30
12:00
12:30
13:00
13:25
14:00
14:30
15:00
15:30
16:00
16:30
17:00
17:30
18:00
18:30
19:00
19:30
20:00
20:50
* Dissabtes Mercat / Venda de tiquets a bord
202
1. Si surten de Palma amb el tren de les 10:10 hores. Quant de temps podran
passejar per Sóller si pretenen agafar el tramvia de les 12:30 hores per anar
cap al port?
A. 20 minuts
B. 1 hora
C. 1 hora i 20 minuts
D. 1 hora i mitja
2. Si volen agafar el tren de les 14:00 hores per tornar a casa, quin és l’últim
tramvia que poden agafar des del port de Sóller?
A. el de les 12:00 hores
B. el de les 12:30 hores
C. el de les 13:00 hores
D. el de les 13:25 hores
3. Observa el mapa del recorregut
Quants km té, aproximadament, el recorregut total de Palma al Port de Sóller
si el trajecte de Palma a Son Sardina és d’uns 5 Km?
A. 15 Km
B. 27 Km
C. 38 Km
D. 50 Km
203
4. Aquestes són les taules dels preus del tren i del tramvia
Quant costarà l’excursió a tota la família, emprant l’opció més barata?
A. 32,50 €
B. 50 €
C. 58,50 €
D. 67 €
204
MALALTIES
Als mitjans de comunicació hi ha una campanya per conscienciar la gent de la
importància de la prevenció en les malalties del cor. A la premsa va sortir publicat el
gràfic següent.
1. Segons el gràfic de l’enunciat, quin percentatge d’homes mor a causa de
les malalties del cor?
E. 13 %
F. 29 %
G. 31 %
H. 39 %
2. Segons el gràfic de l’enunciat, quins moren més, els homes o les dones?
A. Homes
B. Dones
C. Homes i dones igual
D. Amb aquestes dades no es pot saber
205
3. A classe es va treballar aquest tema i la professora ens va demanar que
diguéssim el nombre de vegades que havíem anat al metge durant el curs.
Vàrem obtenir el llistat següent.
alumne nombre de vegades que
ha anat al metge
Aina 2
Joan 0
Pere 2
Catalina 1
Isaac 0
Rosalia 1
Robert 1
Teresa 1
Yasmina 1
Josep 2
Àngela 0
Miquel 1
Sergi 0
Maria 3
Paula 1
Agrupar aquestes dades en una taula de freqüències utilitzant la taula
següent.
206
MOTOCICLISME
El circuit de Jerez es va inaugurar el 8 de desembre de 1985, i el 1987 es va estrenar en
la modalitat de motos amb el Gran Premi d’Espanya de Motociclisme, prova que amb el
temps s’ha convertit amb la Festa dels aficionats al motor, que inunden la ciutat i els
seus voltants de motos, color i renou.
Algunes de les dades tècniques del circuit són:
DADES
TÈCNIQUES TRAÇAT NORMAL
Longitud: 4.423,101 m.
Longitud en rectes: 3.037,964 m.
Ample de la pista: Estàndard: 11m. Recta de sortida: 12
m.
Longitud recta de
sortida: 600 m.
Nombre de corbes: 13 (8 a la dreta i 5 a l’esquerra)
1. Quina és la longitud total en corbes?
A. 1.100,100 m
B. 1.385,137 m
C. 1.386,863 m
D. 1.485,137 m
2. En el plànol del circuit tens marcada la sortida amb un petit triangle que n’indica el
sentit. Segons les dades tècniques, la recta de sortida (entre les corbes 13 i 1) fa 600
metres. Quants metres hi ha, aproximadament, entre les corbes 6 i 7?
A. 100 m
B. 200 m
207
C. 300 m
D. 600 m
3. Quin és l’angle aproximat de gir de la motocicleta quan recorre la corba 5?
A. 45º
B. 90º
C. 135º
D. 180º
4. Jorge Lorenzo Guerrero (4 de maig de 1987, Palma de Mallorca), és un pilot de
motociclisme. És bicampió del món de 250 cc per haver-ho aconseguit a les
temporades 2006 i 2007.
El seu palmarès és el següent:
Tempor
ada
Catego
ria Moto
Nomb
re
carrer
es
Victòrie
s
Pòdium
s
Pole
s Punts
Posici
ó final
2002 125cc Derbi 14 0 0 0 21 21º
2003 125cc Derbi 16 1 2 1 79 12º
2004 125cc Derbi 16 3 7 2 179 4º
2005 250cc Honda 15 0 6 4 167 5º
2006 250cc Aprilia 13 8 10 9 249 1º
2007 250cc Aprilia 15 9 12 8 312 1º
2008 MotoG
P
Yamah
a 3 1 3 3 190 4º
Total 92 22 41 28 1059
És correcte fer un gràfic únicament amb la temporada i la posició final per
descriure l’evolució esportiva d’aquest pilot? Per què?
208
5. En un dels seus entrenaments, el pilot mallorquí va recórrer en ¼ d’hora 62,5
Km. A quina velocitat mitjana rodava?
A. 220 km/h
B. 250 km/h
C. 280 km/h
D. 310 km/h
6. Fes una gràfica (sense concretar la graduació dels eixos), que representi la
relació del temps transcorregut des de la sortida fins a la corba 3 amb la
velocitat que duia Jorge Lorenzo en el seu entrenament.
7. Tenint en compte que la categoria de 125 cc es refereix a les motos en què el
cilindre del motor té una capacitat màxima de 125 cm3, perquè es diu a
aquesta categoria la del vuitè de litre?
209
ORDINADORS
L’encarregat d’informàtica de l’escola diu que les Illes Balears disposa de pocs recursos
informàtics pels alumnes i ens ha presentat la següent informació referent a 5
Comunitats Autònomes per fer algunes comparacions:
Alumnes per ordinador destinat a tasques d’ensenyament-aprenentatge per CCAA i curs
escolar
Centres Públics Total Nombre mitjà d’alumnes
(curs 2005-06) per ordinador
Balears (Illes) 10,1
Catalunya 7,2
Comunitat Valenciana 10,9
Madrid (Comunitat de) 9,1
País Basc 4,6
Nota: S’han considerat els ordinadors destinats preferentment al professorat i a la docència
amb alumnes.
Font: Ministeri d’Educació i Ciència - © INE 2008
1. Ordena, de major a menor, les Comunitats Autònomes segons el nombre
mitjà d’alumnes per ordinador?
2. Quina és la mitjana d’alumnes per ordinador d’aquestes 5 comunitats?
A. 7,5
B. 8,4
C. No es pot saber en cap cas
D. No es pot saber sense tenir el nombre d’alumnes de cada comunitat
3. Si arrodonim a valors enters el nombre mitjà d’alumnes per ordinador
de les dades referents a Balears i a la Comunitat Valenciana, obtenim:
A. Balears: 10 i Comunitat Valenciana: 10
B. Balears: 10 i Comunitat Valenciana: 11
C. Balears: 9 i Comunitat Valenciana: 10
D. Balears: 9 i Comunitat Valenciana: 11
210
4. Si a Andalusia el nombre mitjà d’alumnes per ordinador és de 7,1. Pot
haver-hi alguna Comunitat Autònoma que el seu nombre mitjà
d’alumnes per ordinador estigui entre el d’Andalusia i Catalunya? Per
què?
211
ZOO
En el zoo de Barcelona tenen una epidèmia que afecta els elefants. Els veterinaris estan
especialment preocupats per una cria i la seva mare i estan fent un seguiment exhaustiu
de les seves temperatures.
El veterinari encarregat d’observar la temperatura de la cria apunta en el seu quadern les
següents anotacions:
- Dues primeres hores: Temperatura estable, 36’5º
- A les 10 hores: 37º
- De les 11 hores a les 15 hores (ambdues incloses): Comença amb 37º i puja
mig grau cada hora
- A les 16 hores: 38º
- A les 17 hores: Ha baixat 1’5º des de les 16 hores.
El veterinari mira la temperatura cada hora i ha fet la primera observació a les 8 hores.
1. Elabora una taula amb les dades de l’enunciat, que reculli la temperatura de
l’elefant a cada hora.
Hora
Temp.
2. Un segon veterinari s’ha encarregat de mesurar la temperatura de la mare
elefant i ha recollit les dades com es mostra a la següent taula:
Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Temp. 37’5º 37’7º 37’8º 37’9º 38º 37’8º 37’5º 37º 36’8º 36’5º
Dibuixa una gràfica que mostri com evoluciona la temperatura de l’animal en
funció del temps.
212
3. Un dels veterinaris demana a l’altre. - Quina hora és? I l’altre, que és molt
aficionat a les matemàtiques, li diu. - Queda de dia un terç de les hores que han
passat. Quina hora és?
4. El zoo disposa d’un servei de lloguer de bicicletes per als seus clients, i el preu
és de 2 € l’hora per persona i vehicle. Quina de les següents expressions indica
la relació entre el nombre d’hores que s’ha llogat la bicicleta “x” i el preu final
“y”?
A. y = 2
B. y = x
C. y = 2·x
D. y = 2+x
213
5. En el zoo hi ha un parc tancat amb un llac, dins del qual s’ofereix un servei de
lloguer de barquetes a 1 € cada hora o fracció d’hora (és a dir, que encara que
no es completi una hora, aquesta es cobrarà sencera) i per entrar-hi s’ha de
pagar una entrada a part, de 0,50 €. Quina de les següents gràfiques
representa millor el cost d’un passeig en barca, en funció del temps?
A
.
B.
C
.
D.
214
CARTES CERTIFICADES
Les cartes certificades són més cares que les ordinàries, ja que Correus i Telègrafs les
entrega a domicili i en té un control estricte per tal que no es perdin. Les tarifes són les
següents:
CARTES CERTIFICADES
(ENVIAMENTS LOCAL I
INTERURBÀ)
Fins a 20 g 2,54 €
Fins a 50 g 2,58 €
Fins a 100 g 3,25 €
Fins a 200 g 3,75 €
Fins a 350 g 4,59 €
Fins a 500 g 6,15 €
Fins a 1 Kg 6,65 €
Fins a 1,5 Kg 7,15 €
Fins a 2 Kg 7,49 €
Per tant, a l’hora d’enviar una carta certificada convé saber què pesen els fulls i els
sobres per calcular la quantitat que s’ha de pagar.
En un paquet de 500 fulls A4 hem trobat aquesta informació:
1. Utilitzant les dades de l’enunciat, què pesa aproximadament un full A4?
A. 5 g
B. 6 g
C. 7 g
D. 8 g
80 g/m2
A4 500 u
210 x 297 mm
215
2. Tenim una carta que, amb el sobre inclòs, pesa 70 grams. Què ens
costarà enviar-la certificada de Palma a Bunyola?
A. 2,54 €
B. 2,58 €
C. 3,25 €
D. 3,75 €
3. Per localitzar fàcilment el cost de les cartes certificades va bé tenir una
representació gràfica. Quina d’aquestes representacions gràfiques és la
corresponent a les dades de la taula de tarifes de cartes certificades de
l’enunciat?
A.
B.
C.
D.
4. Es vol enviar una varilla de 60 cm de longitud dins d’un sobre
rectangular de dimensions 30 cm x 50 cm. Cabrà la varilla completament
dins del sobre? Justifica la resposta.
Varilla -->
5. Es volen enviar dues cartes certificades que pesen respectivament 40 i 70
grams. Què surt més barat, enviar-les juntes en un sobre o enviar-les per
separat? Justifica la teva resposta.
216
6. Si una carta certificada pesa 140 grams y només tenim segells de 55
cèntims i 72 cèntims, quants segells hem d’agafar de cada tipus per tenir
suficient per enviar la carta, de manera que ens costi el mínim possible?
(la quantitat d’euros que s‘ha de posar amb segells sempre ha de ser
major o igual que el cost de la tarifa corresponent). Justifica la resposta.