Clase 0: INTRODUCCION
Aspectos previos
a la química cuántica
La radiación del cuerpo negro
Durante el calentamiento de los
cuerpos se produce la emisión de
radiación
Temperatura
La radiación del cuerpo negro
Durante el calentamiento de los
cuerpos se produce la emisión de
radiación
Temperatura Bajas frecuencias
altas frecuencias
La radiación del cuerpo negro
Durante el calentamiento de los
cuerpos se produce la emisión de
radiación
Temperatura IR UV
La radiación del cuerpo negro
Cuerpo negro es un cuerpo que
absorbe y emite a todas las
frecuencias
Temperatura IR UV
Si observamos una gráfica ϕ vs υ
Estas curvas experimentales se explicaban por la oscilación de los electrones en las partículas que constituyen el material
En ese entonces se desarrolló la ley de Rayleig-Jeans (se cumple a bajas frecuencias)
dc
TkdT B 2
3
8)(
Densidad de energía radiante Entre υ y υ+dυ
A
BN
Rk
En ese entonces se desarrolló la ley de Rayleig-Jeans (se cumple a bajas frecuencias)
dc
TkdT B 2
3
8)(
A altas frecuencias la ley de R-J diverge de los resultados experimentales CATASTROFE UV
Hipótesis cuántica de Planck
(1900)
Hasta ese momento, los observables en mecánica clásica toman valores continuos (cantidad de movimiento, posición, energía…)
Planck asume que la energía de los osciladores eran discretas, proporcional y múltiplos enteros de la frecuencia
Hipótesis cuántica de Planck
(1900)
Planck asume que la energía de los osciladores eran discretas, proporcional y múltiplos enteros de la frecuencia
nhE
Energía del oscilador
Número entero
Frecuencia
Constante de Planck 6.626x10-34 Js
1
8)(
/
3
3
Tkh Be
d
c
hdT
Hipótesis cuántica de Planck
(1900)
La ley de distribución de Planck para la distribución del cuerpo negro
Para valores de frecuencia bajos, las expresión de Planck debe converger con la expresión de R-J [Demostrarlo]
d
c
Tk
e
d
c
hdT B
Tkh B
2
3/
3
3
8
1
8)(
d
c
Tk
e
d
c
hdT B
Tkh B
2
3/
3
3
8
1
8)(
...!2
11
2
/
Tk
h
Tk
he
BB
Tkh B
Tomando la expresión de la derecha y haciendo una expansión en serie de potencias
...!2
12
xxex
Tk
he
B
Tkh B
1/
A bajas frecuencias
Considerando la expresión del denominador
Tk
h
Tk
he
BB
Tkh B
111
/
Reemplazando y reorganizando
dc
TkdT B 2
3
8)(
Hipótesis cuántica de Einstein:
(Efecto fotoeléctrico)
Luz UV
e-
Efecto fotoeléctrico: Emisión de electrones de la superficie del metal por la incidencia de radiación
Clásicamente que se esperaba
2
ERad kAI
Amplitud de la radiación
Intensidad de la radiación
e- Energía incidente
La oscilación aumenta hasta que el electrón “escapa” del campo nuclear
Clásicamente, el efecto fotoeléctrico debería ocurrir para cualquier frecuencia si la intensidad de la luz es suficiente.
Experimentalmente, frecuencia crítica por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico.
Albert Einstein, toma la hipótesis de Planck.
nhE Planck.
minEhEhE
Albert Einstein.
2
2
1mvEc min
2
2
1EhmvEc
Energía mínima para arrancar el electrón De la superficie del metal
min0 EhEc
Implícitamente, se afirma que existe una frecuencia mínima
0 hhEc
La vibración de los átomos en
los cristales están cuantizadas
Termodinámica, se estudia la ley de Dulang y Petit
)/314,8(253 molKJRJRCv
Esto se cumple solo a altas temperaturas. A bajas temperaturas, Cv 0 a medida que T 0
La vibración de los átomos en
los cristales están cuantizadas
Esto se cumple solo a altas temperaturas. A bajas temperaturas, Cv 0 a medida que T 0
Espectro del átomo de
hidrogeno
Espectro de emisión: Consiste de líneas espectrales a ciertas frecuencias. Ya que depende del tipo de átomo, es lógico pensar que depende de la distribución de electrones.
...)5,4,3(4
1102202.82
14
nHz
n
Balmer.
Rydberg
)(41
57.1096771
12
1
2
2
2
1
nncmnn
1
c
NOTA:
Espectro de emisión: Aunque se podían describir mediante ecuaciones, estas solo correspondían a reglas empíricas, sin soporte teórico
Momento angular
Momento angular: Propiedad fundamental de los sistemas en rotación
Momento lineal: Propiedad fundamental de los sistemas en movimiento lineal
Pmv
rotIL
Para una partícula en movimiento rotacional
rotrt
xv 2
Freq. rotacional
rotrot 2
Velocidad angular
velocidad
rotrv
t
Nciclosrot
2222
2
1)(
2
1
2
1rotrotc mrrmmvE
La energía cinética
Momento de inercia (I)
2
2
1rotc IE
2
2
1rotc IE
2
2
1mvEc
Cantidades lineales
Cantidades angulares
22
2
1
2
1rotcc IEmvE
22
2
1
2
1rotcc IEmvE
rotrotcc IEvmvE 2
1
2
1
22
2
1
2
1rotcc IEmvE
rotrotcc IEvmvE 2
1
2
1
rotrotcc IEvmvE 2
1
2
1
22
2
1
2
1rotcc IEmvE
rotrotcc IEvmvE 2
1
2
1
rotrotcc IEvmvE 2
1
2
1
rotcc LEPvE 2
1
2
1
I
LE
m
PE cc
22
2
1
2
1
Movimiento lineal
Masa
Velocidad
Momento lineal
Energía cinética
m
v
mvP
m
PmvEc
22
22
Movimiento angular
Momento de inercia
Velocidad angular
Momento angular
Energía cinética
2mrI
mvrIL rot
I
LIE rot
c22
22
r
vrotrot 2
Clase 1
Movimiento lineal
Masa
Velocidad
Momento lineal
Energía cinética
m
v
mvP
m
PmvEc
22
22
Clase anterior
Movimiento angular
Momento de inercia
Velocidad angular
Momento angular
Energía cinética
2mrI
mvrIL rot
I
LIE rot
c22
22
r
vrotrot 2
Clase anterior
Introducción a la mecánica cuántica Resultados experimentales cuantización de la energía Hipótesis de planck Concepto de cuantización se extendió a otras situaciones - Efecto fotoeléctrico - Radiación de un cuerpo negro - Vibración de los átomos en un cristal - Espectro de emisión de los átomos
nhE
Energía en el mundo
microscópico
Energía en el mundo
macroscópico
Cuantizada = valores discretos
NO cuantizada = valores continuos
Fundamentos matemáticos
Algebra de operadores
Algebra de operadores
Algebra de operadores
Algebra de operadores
Ejercicio
Determinar si los siguientes operadores
conmutan
b
fa
ˆ
ˆ 2
dx
db
dx
da
2
ˆ
ˆ
Ejercicio
Determinar si los siguientes operadores son
lineales
b
fa
ˆ
ˆ 2
1ˆ
ˆ
fb
dx
da
Ejercicio
Determinar si las siguientes funciones son
funciones propias de los operadores
indicados. En cuyo caso, determine el valor
propio
x
x
xef
ef
xf
2
2
22
dx
dxa
dx
da
ˆ
ˆ
kxef Es función propia de
dx
d
kxnef Es función propia de
dx
d
Ejercicio
Determinar si los siguientes pares de
funciones son degeneradas para el
operador indicado
xegxf 222
dx
dxa
dx
da
ˆ
ˆ
xx egef 422
Ejercicio
Para las siguientes funciones
xx egef 32 24
dx
da ˆ
Determine el valor propio de cada una de
ellas para el operador
Ejercicio
Escribir una combinación lineal de
xx egef 32 24
dx
da ˆ
Determine si la combinación lineal escrita
por usted es función propia del operador
Cuando los operadores son el resultado de la suma de
operadores independientes (actúan sobre variables
diferentes)
Ejercicio
Demostrar la afirmación anterior
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