7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
1/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina1
TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO
I.T.Z.
INGENIERA ELECTROMECNICA
ASIGNATURA
INGENIERA DE CONTROL CLASICO
PROYECTO FINAL(MOTOR CD CONTROLADO
POR CORRIENTE DE ARMADURA)
MAESTRO
ING. JOSE ALFONSO CAMILO SANTANA
ALUMNOS
RODRIGO RIVERA ZAVALA, No. CONTROL: 11090364
OCTAVIO GOMEZ MONTERO, No. CONTROL: 11090298
JOHNATAN JAHIR AGUAYO JUAREZ, No. CONTROL: 11090233
NEIL BONY CRDENAS NJERA, No. CONTROL: 10091429
JOSE DAVID MUSITO ALCANTARA, No. CONTROL: 11090333
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
2/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina2
1. RESUMEN
En este trabajo se presenta el modelo matemtico de un motor de corriente
continua. Se ha desarrollado el modelo matemtico usando ecuaciones
diferenciales y a su vez tambin se desarroll el anlisis respectivo en trminos delas variables fsicas que se tiene en el motor, como en la carga mecnica acoplada
al mismo. Adicionalmente se ha simulado y se ha obtenido la respuesta de control
de la velocidad la cual puede ser en funcin de la corriente de armadura y para
esto se utiliz SIMULINK, una herramienta del programa MATLAB.
Los motores de corriente continua son los ms comunes y econmicos, y se
pueden encontrar en la mayora de los juguetes a pilas, constituidos, por lo
general, por dos imanes permanentes fijados en la carcasa y una serie de
bobinados de cobre ubicados en el eje del motor, que habitualmente suelen sertres y a su vez son ampliamente usados a nivel industrial. Los motores de
corriente continua permiten un amplio rango de velocidad y pueden proporcionar
un alto par-motor con control ms sencillo y econmico que cualquier motor de
corriente alterna. En la actualidad los mtodos de control de velocidad se han ido
desarrollando considerablemente y los ms comunes son el control de velocidad
por corriente de campo y el control de velocidad por corriente de armadura, que
son tcnicas de control no lineal.
Para poder analizar estos mtodos se requiere del conocimiento fsico delsistema, unidades de las constantes que aparecen en el modelo, seleccin
adecuada de las variables de estado y conocimientos de desarrollo de ecuaciones
diferenciales utilizando la transformada de Laplace y a su vez para poder observar
el comportamiento un simulador el cual para objeto de estudio se utiliza
SIMULINK una herramienta del programa MATLAB. La seleccin de variables no es
evidente, sino ms bien resulta de la experiencia en el modelado de sistemas
elctricos y mecnicos, y as como de la apropiada seleccin de constantes fsicas
como de friccin, inercia y torque elctrico.
En esta propuesta, se desarrolla el modelo matemtico de un mtodo de control
de velocidad el cual es: control de velocidad por corriente de armadura. Para esto
el motor a utilizar ser un motor de excitacin separada y se tendr un anlisis
fsico que explota el conocimiento sobre los parmetros y las unidades fsicas del
motor de corriente continua, as como cierta experiencia en identificar constantes
de tiempo en sistemas elctricos y mecnicos, y al mismo tiempo se tendr un
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
3/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina3
anlisis matemtico, pues se emplea la teora de control para la seleccin de las
variables de estado. Dentro del trabajo se presenta una simulacin y se determina
el comportamiento de la velocidad del motor con respecto a la corriente de
armadura con condiciones iniciales establecidas.
Finalmente se concluye analizando los resultados obtenidos de la simulacin con
el modelo matemtico determinado.
2. INDICE
3 Marco Terico 4-8
4 Modelo Matemtico 9-10
5 Diagrama de bloques 11-13
6 Espacio de modelos de estados 14-16
7 Respuesta Dinmica 16-18
8 Error en estado estable con escaln unitario 19-22
9 Controladores P, PI, PID, Zieglers-Nichols 23-27
10 Estabilidad y LGR 28-32
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
4/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina4
3. MARCO TEORICO
Proceso de modelado.
El proceso de modelado analtico se divide en tres grandes etapas. La primera deellas consiste en la delimitacin del modelo en funcin de los fenmenos que
resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere resolver. Esta es una
etapa que no puede sistematizarse fcilmente y que requiere por ende de una
cierta dosis de intuicin y por sobre todo de una vasta experiencia en relacin con
el sistema a modelar.
Una vez delimitados los fenmenos que se consideraron relevantes para la
construccin del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben
formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente alos fenmenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del
sistema. En los sistemas fsicos, estas relaciones constitutivas y estructurales
encuentran su expresin formal (matemtica) en las leyes fundamentales de los
dominios de la fsica asociados a los fenmenos mencionados.
Por este motivo, el modelado analtico de un sistema fsico no es posible sin un
conocimiento de las leyes fsicas elementales asociadas a los fenmenos en
cuestin.
Sistemas Mecnicos.
La mecnica clsica (newtoniana) se ocupa de describir fenmenos asociados con
el movimiento de los cuerpos. Por este motivo, en los sistemas mecnicos
tendremos habitualmente como variables descriptivas las posiciones, velocidades
y aceleraciones, con sus relaciones constitutivas bsicas:
=0
=0La ley fundamental de la mecnica clsica, y tambin la ms utilizada para el
modelado de sistemas es sin dudas la segunda ley de Newton:
- neta =0
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
5/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina5
Que establece que la derivada de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual
a la fuerza neta aplicada. Esta ecuacin constituye una ley dinmica que ser una
relacin constitutiva fundamental asociada a cada cuerpo en el que se considere
la presencia de masa. Recordemos tambin que definamos a la cantidad de
movimiento como el producto de la masa por la velocidad:
Otras leyes importantes son las asociadas a los fenmenos de friccin y de la
elasticidad. En el caso de la friccin, una hiptesis habitual es representar la
misma como una fuerza que se opone al movimiento cuya magnitud se relaciona
con la velocidad.
Friccin,Friccin)=0En el caso particular de la friccin viscosa la relacin se considera lineal,
caracterizada por un coeficiente de rozamiento.
Friccin - Friccin=0El fenmeno de elasticidad, por su parte, vincula la fuerza ejercida sobre uncuerpo con la deformacin sufrida por el mismo. Una aproximacin habitual para
representar esta relacin en un resorte, en funcin de una constante de
elasticidad es la siguiente:
Resorte El resto de las relaciones que podrn aparecer en sistemas mecnicos sern en
general relaciones estructurales.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
6/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina6
Fig. 1 Sistema Mecnico (masa-resorte)
Sistema Mecnico Rotacionales.
Todas las leyes constitutivas vistas para los sistemas mecnicos traslacionales
tienen su equivalente rotacional, donde las fuerzas son reemplazadas por torques
en tanto que las posiciones, velocidades y aceleraciones traslacionales sonreemplazadas por sus versiones angulares.
Encontramos tambin elementos roto-traslacionales que vinculan variables de
ambos dominios. Un caso tpico es una polea, en la cual se verifica:
Siendo r el radio de la misma.
Del sistema fsico real al idealizado.
Cuando nos encontramos con un sistema real a modelizar. Estos esquemas, que
corresponden a los llamaremos sistema fsico idealizado, son producto de
simplificaciones que se realizan acorde al problema a estudiar.
Es muy importante no perder de vista que los modelos obtenidos resultarnadecuados slo para resolver determinados problemas y dentro de un rango de
operaciones dado.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
7/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina7
Es decir, el sistema fsico idealizado depender no slo del sistema real en s, sino
tambin del problema a resolver y del intervalo de validez que se pretenda tener
para el modelo resultante.
Lamentablemente, no hay una metodologa que nos permita realizar estas
simplificaciones de forma sistemtica. Esta etapa del modelado (que es quizs la
ms importante en virtud de que todo el resto depender de lo que se haga aqu)
se resuelve en gran medida a partir de consideraciones sujetas a la experiencia y
al conocimiento del proceso real.
Sin embargo los sistemas complejos pueden habitualmente dividirse en
subsistemas ms simples de los cuales se encuentran modelos en base a
simplificaciones ya probadas en problemas similares. Por eso es fundamental
antes de comenzar a realizar las primeras simplificaciones de un sistema real,
buscar en la literatura modelos de sistemas similares en los cuales se manifiesten
los mismos fenmenos.
Es muy importante tener en cuenta siempre que debido a que la obtencin de un
modelo se basa en la aplicacin de hiptesis simplificadoras, los modelos tendrn
validez siempre que se respeten las mencionadas hiptesis.
Del sistema idealizado al sistema matemtico.
Una vez realizadas las simplificaciones y obteniendo esquemas decimos que
tenemos un sistema fsico idealizado. Aunque estos sistemas en general
contienen toda la informacin que se necesita para la construccin de un modelo
matemtico, este pasaje no es trivial.
Asociadas al esquema, tendremos un buen nmero de relaciones matemticas
que vincularn las variables descriptivas del modelo y que sern consecuencia
tanto de los fenmenos fsicos considerados (relaciones constitutivas) como de la
interaccin entre los mismos en funcin de su disposicin en el sistema
(relaciones estructurales). En general, las relaciones constitutivas estarn
determinadas explcitamente en el esquema (teniendo en cuenta las leyes fsicas
correspondientes) mientras que la obtencin de las relaciones estructurales
requerir de algn tipo de anlisis geomtrico y/o topolgico (en relacin al
espacio).
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
8/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina8
De esta forma, una vez que se tiene el sistema fsico idealizado el siguiente paso
hacia la obtencin de un modelo matemtico ser el de reunir las relaciones
constitutivas y estructurales involucradas. En muchos casos encontraremos
conjuntos de relaciones matemticamente equivalentes, por lo que no sern
necesarias todas las relaciones para la construccin del modelo.
Una vez que tengamos todas las relaciones matemticas necesarias, an no
tendremos un modelo matemtico muy til. Si bien tendremos una especie de
sistemas de ecuaciones (en realidad una mezcla de ecuaciones diferenciales y
algebraicas), este sistema as planteado no tendr una estructura que nos permita
estudiar y resolver problemas.
Por esto, el paso siguiente tras reunir las relaciones constitutivas y estructurales
es el obtener un sistema de ecuaciones que tenga una estructura que permita
aplicar alguna teora matemtica adecuada ya establecida.
Dado que trataremos con sistemas fsicos bajo hiptesis de parmetros
concentrados, buscaremos arribar a los modelos con que trata la teora de
ecuaciones diferenciales. En general, utilizaremos dos tipos de expresiones:
Las ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y los sistemas de Ecuaciones de
Estado y de Salida (EE/ES). Para llegar a este tipo de expresiones deberemos
manipular las ecuaciones dadas por las relaciones constitutivas y estructurales
siguiendo diferentes tcnicas.
Fig. 2 Sistema idealizado al Sistema matemtico.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
9/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina9
4. MODELO MATEMTICO.
Motor de CD controlado por corriente de armadura.
Considerando perturbacin por el torque nulo.
Datos:
La= 0.5
J= 0.08
Km= 0.01
Va= 5 v
Ra=1b=0.2
Kb=0.01
Tp=0 (perturbacin).
Ecuaciones:
FCEM (fuerza contra electromotriz)
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
10/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina10
Torque del motor
Carga expresada en trminos de Velocidad angular.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
11/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina11
5. DIAGRAMA DE BLOQUES.
Sustituyendo los valores obtenemos:
Despejando el trmino con el exponente mayor, obtenemos la funcin de transferencia.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
12/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina12
Reduccin de bloques con Matlab
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
13/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina13
Con lo anterior obtenemos:
Con ayuda de Matlab realizamos el feedback
Y obtenemos la funcin de transferencia.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
14/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina14
6. ESPACIO DE MODELOS DE ESTADO.
Del diagrama de bloques:
Se procede a obtener la funcin de transferencia y a despejar de la siguiente
manera:
Despejando la derivada de mayor orden:
Las variables de estado son:
X1(t)=
X2(t)=Derivando cada una obtenemos:
X1 (t)= Sustituyendo obtenemos:
A partir de estas ecuaciones obtendremos lo siguiente:
[ ]= []+
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
15/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina15
[] )
Para B1:
Para B2:
A partir de esas ecuaciones se obtiene:
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
16/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina16
[ ]= [
]+ []
7. RESPUESTA DINMICA.
LAPLACE
Fracciones parciales
A +B +C=0
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
17/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina17
Grfica: Caracterizacin con escaln unitario.
Respuesta ante una seal de entrada escaln unitario y un voltaje de entrada 5 v.
Comprobacin con simulink:
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
18/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina18
FT = G(s) =
Por lo tanto:
Wn=
2Wn=4.5 por tanto =
Tp== Tp=indeterminado
Ta=
Ta= 1.78 s
Te= Te= 1.475
Mp= Mp0
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
19/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina19
8. ERROR EN ESTADO ESTABLE CON ESCALON UNITARIO.
z
=
( )
Seal de entrada boW (t)
Va (s) W(s)
W(s)
K
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
20/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina20
Sustituir
u
u
u
Kp Ki Ti Td Kd
P
2.5 --- --- --- ---
PI
2.25 1.158 1.94 --- ---
PID
3 0.695 4.316 0.173 0.521
Parte Imaginaria Parte Real
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
21/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina21
Grafica en Simulink.
Grafica P de la funcin:
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
22/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina22
Grafica PI de la funcin:
Grafica PID de la funcin:
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
23/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina23
9. CONTROLADORES P, PI, PID Y ZIEGLERS-NICHOLS.
APLICACIN DE CONTROLADORES AL MOTOR DE CD
Sustituimos S por JW en el polinomio caracterstico.
Parte imaginaria parte real
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
24/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina24
GRAFICAS EN SIMULINK
Controlador Kp Ti Ki Td Kd
P 45 ___ ___ ___ ___
PI 40.5 2.3416 17.2958 ___ ___PID 54 1.405 38.4341 0.3512 18.9648
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
25/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina25
1. Grfica dando los siguientes valores: Proporcional: 45 Integral: 0 Derivativo: 0
2. Grafica dando los siguientes valores:
Proporcional: 40.5
Integral: 17.2958 Derivativo: 0
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
26/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina26
3. Grafica dando los siguientes valores:
Proporcional: 54
Integral: 38.4341
Derivativo: 18.9648
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
27/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina27
Como conclusin, se enumeran las principales caractersticas de los diferentestipos de controladores: P, PI, PD y PID.
Control proporcional
El tiempo de elevacin experimenta una pequea reduccin. El mximo pico de sobre impulso se incrementa. El amortiguamiento se reduce. El tiempo de asentamiento cambia en pequea proporcin. El error de estado estable disminuye con incrementos de ganancia. El tipo de sistema permanece igual.
Control proporcional-integral
El amortiguamiento se reduce. El mximo pico de sobre impulso se incrementa. Decrece el tiempo de elevacin. Se mejoran los mrgenes de ganancia y fase. El tipo de sistema se incrementa en una unidad. El error de estado estable mejora por el incremento del tipo de sistema.
Control proporcional-derivativo
El amortiguamiento se incrementa. El mximo pico de sobre impulso se reduce. El tiempo de elevacin experimenta pequeos cambios. Se mejoran el margen de ganancia y el margen de fase. El error de estado estable presenta pequeos cambios. El tipo de sistema permanece igual. Control proporcional-integral-derivativo Este tipo de controlador contiene las mejores caractersticas del control proporcin al
derivativo y del control proporcional-integral.
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
28/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina28
10.ESTABILIDAD Y LGR.
PASO 1: Ecuacin Caracterstica.
Encontrar:
n = (POLOS X) POLOS = 2
m = (CEROS 0) CEROS = 0
Con MATLAB:
K
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
29/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina29
PASO 2: Localizacin de Polos y Ceros.
PASO 3: Asntotas Y Centroide.
n=No. polos = 2
m=No. ceros = 0
LUGAR GEOM TRICO DE LA RAZ (EJE REAL)
(S2.5) (S2)
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
30/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina30
PASO 4: Cruce con el eje imaginario.
Criterio Routh-Hurwitz:
Punto de cruce con el eje imaginario.
NOTA: ESTE PUNTO EL CRITERIO DE ROUTH HURWITZNO SE APLICA, YA QUE EL
SISTEMA SIEMPRE ES ESTABLE Y NO EXISTE NINGUN CRUCE EN EL EJE IMAGINARIO.
S
4.5
51
S K
0
K
S
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
31/32
Ingeniera de Control Clsico Pgina31
PASO 5: Determinando los puntos del eje real.
Despejamos K
Derivamos la ecuacin
Con la ayuda de MATLAB encontramos el punto de partida
A= [2 4.5]
roots (A)
B= [1 4.5 5]
Polyval (B,-2.25)
PASO 6: Angulo de partida de los polos complejos.
NOTA: ESTE PUNTO, NO SE APLICA YA QUE EL SISTEMA SIEMPRE ES ESTABLE, NO
EXISTE NINGUN CRUCE EN EL EJE IMAGINARIO.
Puntos de partida:
S = -2.25
7/23/2019 Proyecto Final Ing de Contol Clasico (Motor de CD)
32/32
PASO 7: Con ayuda de MATLAB encontramos el lugar geomtrico de las
races.
Grafica en MATLAB :
LUGAR GEOMTRICO DE LA RAZ (EJE REAL)ASINTOTA 90