Equation Chapter 1 Section 1
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de
remodelación ósea
Autor: Silvestre Prado González
Tutores: Francisco Javier Martínez Reina
Javier García Rodríguez
Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2016
iii
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Industrial
Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de
remodelación ósea
Autor:
Silvestre Prado González
Tutor:
Francisco Javier Martínez Reina
Profesor contratado, Doctor
Javier Grcía Rodríguez
Dep. de Ingeniería Mecánica y Fabricación
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla, 2016
v
Proyecto Fin de Carrera: Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Autor: Silvestre Prado González
Tutores: Francisco Javier Martínez Reina
Javier García Rodríguez
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:
Presidente:
Vocales:
Secretario:
Acuerdan otorgarle la calificación de:
Sevilla, 2016
El Secretario del Tribunal
vii
A mi familia, por su insistencia y su
apoyo en muchas de las decisiones
que tomé al principio del camino
universitario.
A mis maestros, por todos los
conocimientos que me han aportado
a lo largo de mis años en el colegio.
A Ana, por su apoyo incondicional
y esa sonrisa incansable que espero
me acompañen siempre.
ix
Agradecimientos
Este proyecto o trabajo, que más adelante se describe, no hubiera podido realizarse sin la gran ayuda
y aportación de sus conocimientos sobre la materia de dos personas. Pero primero quiero darles las
gracias a todos esos profesores que, a lo largo de estos años, me han enseñado y con los que he
empezado a aprender a ser ingeniero.
En segundo lugar, tengo que acordarme de Javi. Gracias por aclarar todas las dudas que me iban
surgiendo sobre el proyecto, por contestar con tanta rapidez los correos, incluso cuando estaba de
vacaciones, por todas esas horas en el laboratorio ayudándome con Abaqus y explicándome el
proceso de piezoelectricidad. Por todo esto y mucho mas que se me habrá olvidado, gracias.
Por último quiero agradecer al profesor Martínez Reina, el haberme aceptado para que realizara este
proyecto, que se ha alargado más de los que seguramente él esperaba, pero que, si no llega a ser por
sus últimas clases en la asignatura de Tecnología de Máquinas de segundo, yo nunca hubiera
conocido el campo de la biomecánica y mucho menos hubiera querido realizar este trabajo tutorizado
por él. Muchas gracias Javi.
xi
Resumen
A lo largo de la historia se ha investigado sobre el organismo y sus funciones. Hoy en día, la ciencia
ha avanzado lo suficiente para que se realicen estudios que permitan controlar el comportamiento del
organismo mediante programas numéricos. Así, se puede analizar el proceso de remodelación de un
hueso para posteriormente, mediante un problema numérico, podamos controlarlo.
En eso consiste este trabajo. Se analizará el proceso de remodelación ósea gracias a los efectos de la
piezoelectricidad, propiedad analizada en profundidad en el trabajo. Mediante este proceso
denominado efecto piezoeléctrico, estudiaremos el comportamiento del hueso antes diferentes
estímulos que proporcionarán una deformación del hueso que hará que se remodele para adaptarse a
ellas.
xiii
Abstract
Throughout history it has been investigated on the body and its functions. Today, science has
advanced enough for studies to control the behavior of the organism using numerical programs are
implemented. So you can analyze the process of remodeling bone later by a numerical problem, we
can control.
That is what this work. Thanks to the effects of piezoelectricity, property analyzed in depth at work
the bone remodeling process will be analyzed. Through this process called piezoelectric effect, we
will study the behavior of the bone before different stimuli that will provide a deformation of bone is
remodeled to make them fit.
-Translation by Dictionary Reference-
xv
Índice
Agradecimientos ix
Resumen xi
Abstract xiii
Índice xv
Índice de Tablas xvii
Índice de Figuras xix
Notación xxi
1 Introducción 1
2 Biología ósea 3 2.1. Composición del hueso 4
2.1.1 Fase orgánica 4 2.1.2 Fase inorgánica 5
2.2. Células óseas 6 2.2.1. Osteoclastos 6 2.2.2. Osteoblastos 7 2.2.3. Osteocitos 8 2.2.4. Células de borde 9
2.3. Morfología del tejido óseo 9 2.3.1. Hueso cortical 9 2.3.2. Hueso trabecular 10
2.4. Morfología del femur 10 2.5. Remodelación ósea 12
2.5.1 Remodelación ósea interna (ROI) 12 2.5.2 Remodelación ósea externa (ROE) 14
2.6. Propiedades mecánicas 15 2.6.1 Heterogeneidad 15 2.6.2 Anisotropía 16
2.7. Efecto piezoeléctrico 17
3 Modelos de piezoelectricidad 19 3.1 Modelo piezoeléctrico 19
3.1.1 Definición del modelo isótropor 19 3.1.2 Definición del modelo ortótropo 21 3.1.3 Definición del modelo con giro 22
3.2 Modelo de elementos finitos 22 3.2.1 Definición de la malla geométrica 22 3.2.2 Aplicación de las cargas 24 3.2.3 Condiciones de contorno 25
4 Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano 27 4.1 Simulaciones y resultados 28
4.1.1 Modelo piezoeléctrico isótropo 28 4.1.2 Modelo piezoeléctrico ortótropo 32 4.1.3 Modelo piezoeléctrico ortótropo con giro aplicado 35
4.2 Dependencia del desplazamiento eléctrico con las deformaciones tangenciales 38 4.3 Comparación de resultados 40
4.3.1 Modelo isótropo vs Realidad 40 4.3.2 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo 40 4.3.3 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado 40
4.4 Distribución del desplazamiento eléctrico 42
5 Conclusiones y desarrollos futuros 49 5.1 Resumen del trabajo realizado y conclusions 49 5.2 Desarrollos futuros 50
Referencias 53
Glosario 55
xvii
Índice de Tablas
Tabla 3-1: Combinación de cargas 25
Tabla 3-2: Condiciones de contorno aplicadas al modelo 26
xix
Índice de Figuras
Figura 2-1: Sistema esquelético 3
Figura 2-2: Fase orgánica. Colágeno tipo I 5
Figura 2-3: Micrografía en la que se aprecian los cuatro tipos de células óseas 6
Figura 2-4: Osteoclasto 7
Figura 2-5: Mecanismo de reabsorción ósea 7
Figura 2-6: Osteoblasto 8
Figura 2-7: Osteocito 9
Figura 2-8: Tejido óseo 10
Figura 2-9: Fémur humano derecho [7] 11
Figura 2-10: Secciones del fémur 12
Figura 2-11: Fases de la remodelación ósea interna (ROI) 13
Figura 2-12: BMU de un hueso cortical 14
Figura 2-13: BMU de un hueso trabecular 14
Figura 2-14: Resistencia frente a porosidad 16
Figura 2-15: Tensión vs deformación del tejido cortical 17
Figura 2-16: Estructura trabecular para la medición de MIL y función 2D resultante. 17
Figura 2-17: Efecto piezoeléctrico 18
Figura 3-1: Elemento usado en el modelo 23
Figura 3-2: Modelo de elementos finitos. A) Tamaño del callo 0%, b) Tamaño del callo 25%, c) Tamaño del
callo 50%, d) Tamaño del callo 75%, e) Tamaño del callo 100%. 23
Figura 3-3: Zona central de estudio para un callo sin remodelación. 24
Figura 3-4: Deformación del periostio y del endostio sin cerrar el canal medular completamente. 24
Figura 4-1: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexión. 29
Figura 4-2: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de torsión 30
Figura 4-3: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexo-torsión 31
Figura 4-4: Desplazamiento eléctrico para un material ortótropo ante carga de flexión 32
Figura 4-5: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de torsión 33
Figura 4-6: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de flexo-torsión 34
Figura 4-7: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexión 35
Figura 4-8: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de torsión. 36
Figura 4-9: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexo-torsión
37
Figura 4-10: Distribución de las deformaciones tangenciales ante carga de flexión en un material isótropo
39
Figura 4-11: Distribución de la deformación tangencial en el material ortótropo con giro aplicado ante carga de
flexión 39
Figura 4-12: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo 41
Figura 4-13: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado 42
Figura 4-14: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexión 43
Figura 4-15: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Torsión 43
Figura 4-16: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexo-Torsión
44
Figura 4-17: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexión 44
Figura 4-18: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Torsión 45
Figura 4-19: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexo-Torsión
45
Figura 4-20: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Flexión. 46
Figura 4-21: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Torsión. 46
Figura 4-22: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Flexo-Torsión. 47
xxi
Notación
V Volumen
v Fracción volumétrica
m Masa
ρ Densidad
α Fracción de ceniza
E Módulo de elasticidad o de Young
υ Coeficiente de Poisson
MPa Unidad de presión (106 Pa)
σij Tensor de tensiones
bi Fuerzas aplicadas
Di Desplazamiento eléctrico
b4 Cargas aplicadas
Skl Deformación elástica
El Campo eléctrico
cijkl Tensor de compatibilidad Tensión/Deformación
eikl Tensor de compatibilidad Desplazamiento eléctrico/Deformación
elij Tensor de compatibilidad Campo eléctrico/Tensiones
εil Tensor de compatibilidad Campo eléctrico/Desplazamiento eléctrico
u Desplazamientos
θ Giros
ϕ Potencial eléctrico
M, γ Propiedades del hueso
μ(ρ), λ(ρ) Coeficientes de Lame
β Tensor de premisividad eléctrica
∈ Tensor de piezoelectricidad
I Matriz identidad
Div Divergencia de un vector
ρ* Densidad de referencia
G Módulo de cortadura o cizalladura
φ, δ Ángulos de giro del tensor de piezoelectricidad
1
1 INTRODUCCIÓN
l aparato locomotor es absolutamente esencial para la subsistencia de todos los seres vivos. En
efecto, los animales necesitan de la acción conjunta de huesos (como “estructura portante”) y
músculos para desplazarse y efectuar las tres funciones vitales que todo organismo vivo
necesita, nutrición, relación y reproducción. Incluso en el reino vegetal son necesarias estas
estructuras portantes para dar forma a las plantas. El sistema óseo otorga al organismo su capacidad
portante, protección para los órganos internos y puntos fijos de inserción de los distintos músculos,
que propician el movimiento del mismo. Ambos sistemas, el óseo y el muscular, forman el aparato
locomotor que debe estar en condiciones óptimas a lo largo de toda la vida del organismo.
Centrándonos más concretamente en el sistema óseo humano, el tejido óseo tiene un interés especial
por su importancia. Al tratarse de un tejido vivo y teniendo en cuenta su estructura interna hacen que
se trate de un material muy complejo. Puede ser considerado un material estructural orgánico,
presentando así, características típicas de materiales de construcción y de organismos vivos.
Viendo el hueso como material estructural tenemos que hablar de sus propiedades mecánicas. Esto se
hará más adelante. Cabe decir que el hueso es un material anisótropo, heterogéneo en su
comportamiento a tracción y compresión y además presenta comportamiento viscoso. Puede sufrir
deformaciones como cualquier material sometido a ciertas cargas y puede llegar a romperse debido a
cargas demasiado altas.
Al ser además un material orgánico, se puede afirmar que es un material vivo, haciendo que sus
características cambien con el paso del tiempo. Además, es capaz de reparar el daño producido a
causa de su uso normal o anormal adaptándose incluso al desuso.
1.1. Motivación del trabajo
A lo largo de la historia, se ha intentado estudiar y comprender el tejido óseo, y como responde a
determinadas solicitaciones, las cuales se presentan a lo largo de toda la vida de un individuo. Pero, a
pesar de los estudios que existen sobre la materia, aun no hay una respuesta clara que nos
proporciones la solución de ciertas preguntas: ¿Cómo el hueso sabe que está dañado? ¿Cómo se
adapta el hueso para soportar mejor la carga? ¿Qué estímulos gobiernan la reparación del mismo tras
la ruptura?
El presente trabajo se engloba en una labor investigadora mayor que trata de aplicar los modelos de
piezoelectricidad a la remodelación ósea, con la intención de simular el tiempo de recuperación de un
hueso, así como, la evolución de las propiedades mecánicas del tejido óseo de un hueso largo en
reparación, desde la formación del callo de fractura hasta la reabsorción completa del mismo.
E
Introducción
2
1.2. Objetivos y descripción del trabajo
El objetivo principal del proyecto es aplicar un modelo piezoeléctrico a una sección de un hueso
largo, en este caso un fémur humano, y analizar el comportamiento del desplazamiento eléctrico
frente a distintos casos de carga y para distintos tipos de materiales.
El capítulo 2 nos introduce teóricamente el trabajo. Se hará en primer lugar, una descripción
biológica del hueso implicada en el proceso de remodelación y se comentarán las diferentes
microestructuras que se presentan en el mismo y la importancia de sus propiedades.
En el capítulo 3 se desarrolla el grueso del trabajo. Como introducción, se presentará el modelo de
remodelación piezoeléctrica que se va a utilizar a lo largo de todo el trabajo. Se realizará a
continuación un análisis de los distintos casos de carga que hemos aplicado y las diferentes
consideraciones que hemos hecho en el hueso, ya que hemos tomado distintos tipos de materiales.
En el capítulo 4 mostraremos los resultados obtenidos con el análisis de los distintos modelos y la
comparación de los mismos.
Por último, en el capítulo 5 se expondrán las distintas conclusiones que se han alcanzado y se
propondrán otras líneas de investigación para un posible desarrollo futuro dentro del campo de la
piezoelectricidad.
3
2 BIOLOGÍA ÓSEA
lo largo del día realizamos innumerables actividades que requieren del movimiento de nuestro
cuerpo, estas actividades podemos realizarlas gracias al sistema musculo esquelético. Este
sistema está formado por el sistema muscular y el sistema óseo. En este estudio vamos a
centrarnos únicamente en el sistema óseo el cual está formado por el esqueleto.
El esqueleto es la estructura que soporta nuestro cuerpo, protege nuestros órganos y permite nuestros
movimientos. Se caracteriza por tener una gran robustez en comparación con su ligereza y por ser un
tejido dinámico ya que se encuentra continuamente en proceso de remodelación.
Figura 2-1: Sistema esquelético
Al existir diferentes tipos de huesos y de formas muy distintas, cumplen varias funciones [9]:
Soporte: los huesos otorgan un lugar rígido para el anclaje de músculos y tejidos blandos.
Protección: algunos huesos forman distintas cavidades que protegen los órganos internos
más importantes de posibles traumatismos. El cráneo protege al cerebro y la caja torácica
protege los pulmones y el corazón.
A
El esqueleto, oculto a la vista y a menudo a la mente, es una masa formidable de tejido que
supone alrededor del 9% del volumen del cuerpo y el 17% de su peso. La estabilidad y la
inalterabilidad de los huesos secos y su persistencia durante cientos o incluso millones de
años, después de que los tejidos blandos se hayan convertido en polvo, nos ofrecen una
imagen falsa de lo que es el hueso en vida. Su fijeza tras la muerte está en franco contraste
con su incesante actividad durante la vida
Cooke, 1955 [5]
Biología ósea
4
Movimiento: gracias a las articulaciones y a los músculos que se insertan en los huesos a
través de los tendones se produce el movimiento al contraerse los mismos.
Homeostasis mineral: el tejido óseo almacena una serie de minerales, especialmente calcio
y fósforo, necesarios para la contracción muscular y otras muchas funciones. Cuando son
necesarios el hueso libera dichos minerales en la sangre que los distribuye a otras partes del
organismo.
Producción de células sanguíneas: en el interior de ciertas cavidades situadas en algunos
huesos, un tejido conectivo denominado medula ósea roja produce los glóbulos rojos o
hematíes mediante el proceso denominado hematopoyesis.
Almacén de grasa de reserva: la medula ósea amarilla, situada en algunos huesos, consiste
principalmente en adipocitos1 con unos pocos hematíes. Es una importante reserva de energía
química.
2.1. Composición del hueso
El hueso es un componente vivo del organismo. Es además heterogéneo y altamente anisótropo. Está
formado por cuatro tipos distintos de células (osteoclastos, osteoblastos, osteocitos y células de
borde) y una matriz extracelular que muestra estructura y propiedades diferentes dependiendo del
tipo de hueso del que hablemos (Nordin y Frenkel, 2004 [8]).
Teniendo en cuenta que no todos los huesos son iguales y que cada uno puede tener una composición
distinta, en promedio la composición de la matriz ósea es de un 10% de agua, aproximadamente un
65% de minerales y un 20% aproximadamente de materia orgánica, principalmente colágeno.
Debido a un proceso denominado remodelación ósea, los materiales tanto inorgánicos como
orgánicos no permanecen fijos sino que están constantemente intercambiándose y reemplazándose
por otros.
2.1.1 Fase orgánica
Está formada principalmente por fibras de colágeno tipo I que suponen entre el 90 y el 95% de la
fase orgánica. Las fibras de colágeno son similares a las que se presentan en otros tejidos y están
distribuidas formando un entramado aleatorio. Cada fibra está formada por una triple hélice a
derechas de cadenas. A su vez cada cadena está formada por una triple hélice a izquierdas de
polipéptidos (Figura 2-2).
El segundo componente en importancia es la osteonectina, una proteína que puede interactuar tanto
con el colágeno como con las sales. Es una proteína altamente reactiva que se encuentra en las zonas
más calcificadas.
Otras proteínas que componen la fase orgánica son las osteopeptina que se une a la hidroxiapatita y
que es producida por los osteoblastos, las proteínas óseas morfogenéticas (BMPs) que juegan un
papel parecido al de los factores del crecimiento y los proteoglicanos ácidos.
1 Células que forman el tejido adiposo. Se encargan del almacenamiento de grasa (triglicéridos)
5 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 2-2: Fase orgánica. Colágeno tipo I
2.1.2 Fase inorgánica
Contiene abundantes sales minerales cristalizadas, en particular calcio, fosfato y carbonato en forma
de pequeños cristales de hidroxiapatita, 𝐶𝑎10(𝑃𝑂4)6(𝑂𝐻)2 y algo de carbonato cálcico. Estas sales
se encuentran depositadas en una matriz reticular formada por las fibras de colágeno. El proceso por
el cual las sales se depositan en dicha matriz se denomina calcificación. Aunque la dureza del hueso
es debida a los componentes minerales cabe destacar que sin la retícula de colágeno el hueso seria
frágil.
Las fibras de materia orgánica aportan flexibilidad y resistencia a la tensión. Si faltasen estas fibras o
fueran defectuosas se producirían enfermedades como la ontogénesis imperfecta o huesos de cristal.
En el caso de que el defecto se produzca por insuficiencia de sales resultaría una estructura flexible y
esponjosa.
La caracterización de la composición volumétrica del tejido óseo es muy importante, especialmente
de la matriz extracelular pues es la que confiere las propiedades mecánicas al hueso. En primer lugar
debemos definir el volumen del hueso, Vt. Este volumen se descompone en el volumen de la matriz
ósea, Vb, y el volumen de los poros, Vv, ocupados por la medula ósea [10].
Vt = Vb + Vv (2-1)
Se define la fracción volumétrica de hueso y poros como
vb =Vb
Vt p =
Vv
Vt= 1 − vb (2-2)
La densidad del tejido óseo es
ρt =mt
Vt=
ρbVb + ρvVv
Vt (2-3)
Donde ρb es la densidad aparente de la matriz ósea y ρv es la densidad aparente de la medula ósea.
Biología ósea
6
La matriz ósea se divide en componente orgánica, Vc, componente mineral, Vh y agua, Vw.
ρb =mb
Vb=
Vcρc + Vhρh + Vwρw
Vb (2-4)
Existe un parámetro que caracteriza la mineralización del tejido, la fracción de ceniza. Este valor
representa la masa de mineral frente a la masa seca del tejido, es decir, tomando el volumen de agua
cero ya que se evapora.
Α =mh
mc + mh (2-5)
2.2. Células óseas
Existen cuatro tipos de células óseas que se pueden dividir en dos grupos, las que reabsorben hueso,
osteoclastos, y las que crean hueso, osteoblasto, o lo han formado, osteocitos y células de borde
(Figura 2-3).
Figura 2-3: Micrografía en la que se aprecian los cuatro tipos de células óseas
2.2.1. Osteoclastos
Son las células responsables de la reabsorción de la matriz ósea. Son células polinucleadas de gran
tamaño que se localizan en las superficies óseas asociadas a la matriz del hueso. Los osteoclastos se
forman por la fusión de varias células mononucleadas derivadas de una célula madre sanguínea de la
medula ósea, lo que hace que presenten muchas propiedades de los leucocitos macrófagos2.
Los osteoclastos se caracterizan por tener una parte de su membrana ondulada (arrugada) en forma
de cepillo rodeada de un citoplasma libre de orgánulos, llamada “zona clara”, con la que se adhiere a
la superficie del hueso (Figura 2-4). El proceso de reabsorción se inicia cuando el aparato de Golgi 3excreta lisosomas
4 con enzimas
5 capaces de generar un ambiente acido por debajo de la membrana
2 Células del sitema inmunitario que se encuentran en los tejidos 3 Orgánulo celular que se encarga de la fabricación de algunas proteinas
7 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
arrugada como consecuencia del transporte de protones. Las enzimas sólo son liberadas en la zona
clara en las proximidades del borde arrugado produciendo las reacciones de degradación de la
matriz que deben darse antes de que el medio ácido disuelva las sales del hueso.
La reabsorción realizada por los osteoclastos (Figura 2-5) depende de una serie de factores
reguladores externos como la hormona paratiroidea. Otros factores que afectan a la funcionalidad de
los osteoclastos son los glucocorticoides y las prostaglandinas.
Concluida la reabsorción ósea, los osteoclastos mueren por apóptosis, muerte celular programada que
se conoce también como suicidio celular. Cuando una célula muere por apóptosis empaqueta su
contenido lo que evita que se produzca la respuesta inflamatoria característica de la necrosis. En
lugar de hincharse y reventar, derramando su contenido, que puede llegar a ser dañino, las células en
un proceso de apóptosis se encogen y con frecuencia se fragmentan. De esta manera, pueden ser
eficientemente reabsorbidas por otras células, mediante fagocitosis6, utilizándose sus componentes
por macrófagos o por células de los tejidos adyacentes.
Figura 2-4: Osteoclasto
Figura 2-5: Mecanismo de reabsorción ósea
2.2.2. Osteoblastos
Son las células responsables de la formación de la matriz extracelular del hueso y de su posterior
4 Orgánulo celular que contiene enzimas que se encargan de la digestión de partículas externas 5 Proteina que favorece las reacciones químicas en la célula 6 Proceso por el cual cierta célula captura partículas nocivas para el organismo deformando su citoplasma
Biología ósea
8
mineralización. Además liberan algunos factores que son probablemente mediadores de la
reabsorción ósea (Figura 2-6).
Son células que forman una capa en la superficie de los huesos en crecimiento o que rodean áreas de
osificación. Parte de la membrana plasmática se encuentra en contacto con el borde osteoide, zona
donde se está dando la calcificación. Al tener que fabricar proteínas poseen un retículo
endoplasmático rugoso bastante abundante y un aparato de Golgi muy desarrollado. Posee también
vesículas de pinocitosis cerca de la membrana, las cuales son las responsables de la secreción del
colágeno.
Los osteoblastos maduros se encargan principalmente de generar colágeno tipo I que constituye el
90% de las proteínas de un hueso. Las principales proteínas con actividad enzimática producidas por
los osteoblastos son la fosfatasa alcalina y la colagenasa.
Otra función de los osteoblastos es segregar determinadas sustancias que les permiten comunicarse
con otras células, como el RANK-ligando (RANK-L) [12], que activa la función de osteoclastos
precursores; osteonectina y osteocalcina, para la mineralización ósea; osteopontina, para sellar la
zona donde actúa el osteoclasto; sialoproteina ósea, que se encarga de unir los osteoblastos y los
osteocitos a la matriz extracelular; y M-CSF, factor estimulante de colonias de macrófagos. Además
de esto, poseen receptores de hormonas, vitaminas y citosinas, como la vitamina D, el estrógeno o la
PTH.
Cuando el osteoblasto entra en estado de inactividad le puede suceder tres cosas: que la matriz ósea
lo vaya envolviendo, quedando atrapado y convirtiéndose en osteocitos, que permanezca sobre la
superficie ósea, transformándose en una célula de borde, o que sufra apóptosis.
Figura 2-6: Osteoblasto
2.2.3. Osteocitos
Son células óseas maduras que derivan de los osteoblastos al quedarse confinados dentro de la matriz
extracelular y que constituyen la mayor parte del tejido óseo. Se encuentran en los huesos
completamente formados ya que residen en lagunas interiores a la matriz ósea mineralizada. Son
células que han perdido la capacidad de dividirse y por lo tanto de reproducirse. Son células que no
segregan materiales de la matriz ósea, pero que se encargan de mantener las actividades celulares del
tejido óseo, como el intercambio de nutrientes.
Su forma debe de adaptarse a la laguna en la que se ha quedado confinado por lo que tiene que
formar prolongaciones largas que se extienden por los canalículos de la matriz ósea. Estas
prolongaciones los mantienen en contacto con otros osteocitos. Estas zonas de conexión forman una
unión que les permite el intercambio de iones, moléculas pequeñas y hormonas (Figura 2-7). Son
muy similares a los osteoblastos pero menos activos. Esta bajada en su actividad hace que el retículo
endoplasmático rugoso y el aparato de Golgi estén menos desarrollados. Están ampliamente
9 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
relacionadas con la mecanotransducción, proceso por el cual reaccionan a la tensión ejercida
induciendo la adición de los osteoblastos para la remodelación del hueso.
Figura 2-7: Osteocito
2.2.4. Células de borde
Provienen de los osteoblastos que al terminar el proceso de remodelación, a diferencia de los
osteocitos, no quedan encerradas dentro de la matriz ósea. Se sitúan en la superficie del hueso
cubriéndola casi completamente. Son células planas y alargadas.
Tiene un papel muy importante en la homeostasis del calcio, transfiriéndolo de la matriz ósea a la
médula si disminuyese la concentración en sangre. Se encargan de proteger la matriz ósea de los
agentes químicos externos que transporta la sangre y que podrían disolver el mineral. Mantienen la
comunicación constantemente con los osteocitos por medio de las prolongaciones de los mismos y
además poseen receptores de hormonas, que podrían iniciar la remodelación, si se recibe una señal
desde los osteocitos que así lo determine.
2.3. Morfología del tejido óseo
El tejido óseo puede clasificarse de distintas formas atendiendo a diversos factores:
El hueso no es completamente macizo, sino que contiene una alta porosidad. Por estos
espacios discurren los vasos sanguíneos que se encargan de nutrir a las células óseas y
además reducen el peso del hueso. Dependiendo del tamaño de estos poros y de la cantidad
que haya, el hueso se denomina compacto o esponjoso
Si se observan de cerca el hueso cortical y el trabéculas se verá que están compuestos por dos
tipos de tejidos: hueso lamelar y hueso fibroso.
El hueso cortical puede clasificarse en primario y secundario dependiendo del estado de
desarrollo en el que se encuentre.
2.3.1. Hueso cortical
El hueso cortical posee una baja porosidad, entre el 5 y el 10% y constituye el 80% del esqueleto
humano.
Forma la mayor parte de la diáfisis de los huesos largos, así como, la parte externa del resto de
huesos del cuerpo. Constituye una protección y un soporte para el organismo. Posee una estructura
Biología ósea
10
de láminas o anillos concéntricos que se sitúan alrededor de los canales centrales o canales de Havers
que se extienden longitudinalmente por todo el hueso y que contienen los vasos sanguíneos,
linfáticos y nervios. Los distintos canales de Havers están conectados entre sí por otros canales,
canales de Volkman, que perforan el periostio y que también contienen vasos sanguíneos, linfáticos y
nervios. Entre las láminas concéntricas de la matriz mineralizada, aparecen pequeñas lagunas donde
se alojan los osteocitos. Gracias a los canales que existen en cada laguna y a las ramificaciones de los
osteocitos, estos pueden intercambiar nutrientes con el líquido intersticial. Estos canalículos están
conectados entre sí, y de vez en cuando, están conectados a los canales de Havers. Al conjunto de
láminas, conducto de Havers, laguna, canales y osteocitos incluidos en ellas, recibe el nombre de
osteón. Las restantes láminas entre osteones se llaman láminas intersticiales (Figura 2-8).
2.3.2. Hueso trabecular
El hueso esponjoso tiene una porosidad entre el 75 y el 95% y es el principal constituyente de la
epífisis de los huesos largos y del interior del resto de los huesos del sistema esquelético.
A diferencia del hueso cortical, este hueso no posee osteones, sino que las láminas están dispuestas
de forma irregular formando unos tabiques llamados trabéculas. Las trabéculas forman una estructura
esponjosa dejando huecos que se rellenan de medula ósea roja. Dentro de las trabéculas se
encuentran los osteocitos que yacen en sus lagunas con canales. Los vasos sanguíneos en este caso,
penetran directamente en el hueso esponjoso y permiten el intercambio de nutrientes con los
osteocitos.
Figura 2-8: Tejido óseo
2.4. Morfología del femur
Todo el contenido de este capítulo es aplicable a cualquier hueso del sistema esquelético humano, ya
sea largo, corto, plano o irregular, pero se hace especial hincapié en este hueso, el fémur, debido a
que se van a realizar diferentes análisis sobre una mella de elementos finitos de una sección,
perteneciente a la diáfisis, de dicho hueso. Por tanto es necesario tener algunas ideas de las diferentes
partes del fémur (Figura 2-9).
El fémur es el hueso más largo del cuerpo humano. Presenta una oblicuidad de arriba abajo y de
fuera hacia adentro. Se encuentra articulado en su extremo inferior con la tibia mediante la
articulación de la rodilla y en su extremo superior con la pelvis a través de la articulación de la
cadera. Analicemos los dos extremos del hueso.
11 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Extremidad superior (Epífisis superior): Presenta una cabeza que sirve de apoyo articular
con la cadera y que se encuentra recubierta por cartílago articular. Esta seguida de un cuello
que la conecta al resto de la epífisis. Existen también dos protuberancias, el trocante mayor y
el trocante menor, que se encargan de la inserción de los músculos de la pierna.
Extremidad inferior (Epífisis inferior): En esta zona aparecen dos protuberancias llamadas
cóndilos. Son superficies lisas que se encargan de articular el fémur con la tibia. Entre ellos
aparece una depresión articular que sirve para alojar la articulación de la rodilla.
Como en todos los huesos largos, la diáfisis está compuesta por una capa externa de tejido compacto
o cortical que está limitada por el periostio que la protege del exterior y por el endostio que la protege
de los agentes químicos que contiene la medula ósea. La medula ósea se encuentra en el canal
medular por lo que el modelo del fémur es hueco en su zona central. Los extremos del fémur se
encuentran principalmente formados por hueso trabecular recubiertos por una fina capa de hueso
cortical. Las trabéculas se orientan según la carga a la que está sometido el hueso así en la epífisis
superior se encuentran dispuestas oblicuamente alineadas con la orientación del cuello (Figura 2-10).
Figura 2-9: Fémur humano derecho [7]
Biología ósea
12
Figura 2-10: Secciones del fémur
2.5. Remodelación ósea
El hueso tiene la capacidad de adaptarse a cualquier influencia mecánica a la que esté sometido. Esto
lo consigue variando tanto su microestructura interna como su forma externa. Este fenómeno es
conocido con el nombre de remodelación ósea, y es esencial para comprender los cambios que
experimenta el hueso debido a diferentes alteraciones, en su funcionamiento o a la implantación de
prótesis.
La remodelación es un proceso biológico en el que factores hormonales, junto a variaciones en la
presión local sobre las membranas celulares activas o inhiben la formación o desaparición de nuevo
tejido. Esta compleja sucesión de señales bioquímicas que promueven la remodelación se realiza a
través de la activación de lo que se conoce como BMU. Un estudio de la biología del tejido óseo
debe de ser previo a la comprensión de este fenómeno. Este fenómeno puede dividirse en dos,
dependiendo de la forma en que se exprese.
2.5.1 Remodelación ósea interna (ROI)
El remodelado óseo se lleva a cabo mediante la acción conjunta de osteoclastos y osteoblastos sobre
una misma superficie del tejido óseo. Cada ciclo de remodelación constan de seis fases: activación,
reabsorción, inversión, formación, mineralización y fin de la adaptación (Figura 2-11).
13 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 2-11: Fases de la remodelación ósea interna (ROI)
Activación: Como ya hemos visto, el tejido óseo está formado por un tramado de osteocitos,
conectados entre sí y con las células de borde, mediante sus ramificaciones. Estos filamentos
son sensibles a los esfuerzos tangenciales producidos por el fluido sanguíneo, el cual fluye a
través de los canalículos de las lagunas, en las que se encuentran los osteocitos. Si dicho flujo
se interrumpe debido a cualquier factor, los osteocitos dejan de emitir la señal inhibitoria a
las células de borde.
Reabsorción: Las células de borde son las encargadas de comenzar la remodelación. Su
tendencia es la de promover la remodelación ósea en todo momento, pero la señal inhibitoria
que emiten los osteocitos evita que esto se produzca. Al dejar de sentir la señal de los
osteocitos comienzan a segregar una sustancia química, el RANK-L, que es detectada por los
precursores de los osteoclastos presentes en la medula ósea, provocando su diferenciación y
la formación de osteoclastos maduros mediante fusión celular. En este momento las células
de borde se contraen dejando libre la superficie del hueso que hay que reabsorber. Los
osteoclastos comienza la reabsorción del tejido disolviendo la matriz extracelular y formando
un túnel hacia el interior en el hueso cortical (Figura 2-12) y un hueco superficial en el hueso
trabecular (Figura 2-13).
Inversión: De la formación de nuevo tejido se encargan los osteoblastos, pero su acción no
es inmediata, sino que en un hueso humano ocurre sobre 30 días después de la activación de
los osteoclastos.
Formación: Los preosteoblastos son formados por diferenciación de las células
mesenquinales y son atraídos por las paredes de la cavidad dejada por los osteoclastos por
factores químicos. Allí maduran y dan lugar a los osteoblastos, que desde ese momento
comienzan a depositar osteoide rellenando la cavidad (Figura 2-12 y 2-13). Jaworski y
Hooper [1] han demostrado que los osteoblastos no avanzan con la BMU, si no que al
terminar de cubrir la sección en la que se encuentran se diferencian a osteocitos o células de
borde o sufren apóptosis. Para otras secciones es necesario atraer a otros preosteoblastos. La
formación de estos preosteoblastos está condicionada a la existencia de un cierto nivel de
estímulo mecánico.
Mineralización: Los osteoblastos solo depositan osteoide, no mineral. El mineral comienza
a depositarse uno 10 días después de la deposición del osteoide, al desplazar el agua que este
Biología ósea
14
contiene. Al principio, la mineralización es muy rápida alcanzando niveles altos en pocos
días, mineralización primaria. Después de ésta, comienza la mineralización secundaria
alcanzándose el valor máximo más lentamente.
Fin de la adaptación: Los osteoclastos sufren apóptosis y la BMU se detiene. Los
osteoblastos finalizan el relleno de la cavidad y se diferencian en osteocitos o células de
borde en función de donde se encuentren. Estas células serán las encargadas de iniciar futuras
remodelaciones en la zona en la que se encuentran. La BMU termina mucho antes de la
mineralización completa del tejido óseo, puesto que la vida media de la BMU es de unos 100
días.
Figura 2-12: BMU de un hueso cortical
Figura 2-13: BMU de un hueso trabecular
2.5.2 Remodelación ósea externa (ROE)
La característica principal de la ROE es la acción independiente de osteoclastos y osteoblastos de
forma que se puede producir reabsorción y formación en diferentes superficies del hueso. Esta
remodelación, es necesaria dado que el crecimiento longitudinal de los huesos no produce siempre la
forma correcta para cada persona.
En la metáfisis, zona entre la diáfisis y la epífisis, el crecimiento es asociado a fenómenos de
15 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
reabsorción en la superficie externa y de formación en la interna. Así mismo, en la diáfisis ocurre lo
contrario. Esto permite que los huesos conserven su forma a lo largo de las distintas etapas del
crecimiento. Por otro lado, el modelado óseo es el mecanismo por el cual se permite que exista una
renovación constante del sistema óseo antes de que cese el crecimiento.
La ROE está programada genéticamente, pero puede darse la posibilidad de que existan factores
mecánicos que puedan influir en el mismo. Existen datos experimentales que tanto las tensiones
como las presiones en el periostio son factores que promueven la formación de osteoclastos y
osteoblastos sobre la superficie externa del hueso. (Carpenter y Carter [2]).
El tejido óseo es el único que es capaz de repararse a sí mismo de manera completa reactivando los
procesos que tiene lugar en la embriogénesis. Cuando el hueso es sometido a fuerzas superiores a su
resistencia mecánica aparece una línea de fractura. En primer lugar, se produce un hematoma que es
reabsorbido por los macrófagos. Posteriormente, aparecen células formadoras de hueso procedentes
de ambos lados de la línea de fractura. Estas células forman puentes de tejido óseo inmaduro, sin
orientación definida (callo de fractura), que unen los extremos del hueso fracturado. En la siguiente
fase, este hueso, mediante un proceso de modelado, es sustituido por otro, de tipo laminar, orientado
según las líneas de fuerza que actúan sobre la zona.
La fatiga mecánica puede provocar fracturas trabeculares las cuales no afectan a la morfología
externa del hueso. Estas fracturas se reparan a través de microcallos de fractura que muestran la
misma dinámica que la de los callos que aparecen cuando la fractura es externa.
2.6. Propiedades mecánicas
Hemos visto a lo largo de este capítulo, la gran heterogeneidad tanto hablando de microestructura
como de composición que posee un hueso. Dependiendo del tipo de hueso, de su función y de la
zona del mismo a la que nos refiramos, el tejido óseo puede presentar unas propiedades u otras.
Tomando como ejemplo, el brazo y la pierna, las propiedades mecánicas a tracción de un hueso del
brazo son mayores que las de uno de la pierna, sin embargo, si hablamos de compresión es al
contrario. Localmente el hueso mejora sus propiedades para adaptarse a los distintos esfuerzos
mecánicos, optimizando su estructura y su composición. En este caso, atendiendo a las propiedades
mecánicas se puede afirmar que el hueso es un material heterogéneo y anisótropo. La heterogeneidad
está relacionada con la cantidad de mineral y la porosidad de la matriz ósea. Por otro lado, la
anisotropía se presenta porque el hueso se comporta de manera diferente en función de la dirección y
sentido de la carga.
2.6.1 Heterogeneidad
La heterogeneidad se da principalmente por la porosidad de los distintos tipos de huesos, cortical y
trabecular, y por la mineralización del tejido óseo. Analicemos estos aspectos por separado.
Porosidad: Como sabemos el tejido óseo no es homogéneo, dado que presenta porosidad
que puede alcanzar valores hasta del 90% en el hueso trabecular. Debido a esto, aunque las
propiedades del tejido cortical no se vean afectadas, las propiedades mecánicas a nivel
macroscópico disminuyen. Se puede comprobar que al aumentar la porosidad de un 5 a un
30% (Figura 2-14), la resistencia se ve disminuida en un 50%. Para la rigidez existen gran
variedad de expresiones que la definen relacionando la composición volumétrica con el
módulo de elasticidad, siendo la más usada la de Beaupré [3] que usa la densidad del tejido
como variable.
E = {2014ρ2.5 ρ ≤ 1.2g/cm3
1763ρ3.2302 ρ > 1.2g/cm3 (2-6)
Biología ósea
16
ν = {0.2 ρ ≤ 1.2g/cm3
0.32 ρ > 1.2g/cm3 (2-7)
El valor de ρ = 1.2g/cm3 se considera el límite entre el hueso cortical y el trabecular.
Mineralización: Es importante tener en cuenta también el comportamiento del tejido óseo
con el nivel de mineralización. El contenido elevado de mineral, convierte al hueso en un
material más resistente, más rígido y menos dúctil. Mejora sus propiedades mecánicas pero
lo hace más frágil y por lo tanto más propenso a posibles fracturas por impacto, por esto, el
contenido de mineral de un tejido óseo se mantiene siempre en un intervalo de variación muy
pequeño (α ∈ [0.68 − 0.72]) que proporciona una resistencia y una rigidez menores pero
con un aumento de la ductilidad. Esto hace que el efecto del contenido mineral sea algo
menos importante que el efecto de la porosidad.
Figura 2-14: Resistencia frente a porosidad
2.6.2 Anisotropía
La anisotropía generalmente es debida al tipo de hueso al que hagamos referencia.
Hueso cortical: debido a la alineación de las osteonas con la dirección de la carga que
soporta el hueso, el tejido cortical puede considerarse que tiene un comportamiento
transversalmente isótropo. Se puede asemejar a un material compuesto con las fibras en la
dirección de la carga, las cuales se deslaminan con respecto a la matriz al sufrir una carga de
tracción en dirección transversal. Esto hace que se llegue a la conclusión de que el
comportamiento del hueso es mejor (mayor rigidez y resistencia) en dirección longitudinal
que en dirección transversal. También hay que tener en cuenta, que la resistencia es
asimétrica, es mayor a compresión que a tracción.
Hueso trabecular: la anisotropía del hueso trabecular está íntimamente relacionada con su
forma u orientación de los poros del tejido, y no con su tamaño. Se suele recurrir a la medida
de la anisotropía local de una microestructura que se realiza mediante el fabric tensor
definido por el concepto de longitud de intersección promedio, MIL. Consiste en trazar líneas
paralelas sobre el hueso trabecular y medir la distancia entre dos intersecciones de dicha línea
con el material óseo. Este valor es función del ángulo θ y representa una elipse orientada
según la dirección de la carga. Para el caso tridimensional tendríamos un tensor simétrico de
segundo orden, el MIL, denotado por L. Este tensor se normaliza para desacoplar la
17 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
influencia de la porosidad de la de la microestructura.
Figura 2-15: Tensión vs deformación del tejido cortical
Figura 2-16: Estructura trabecular para la medición de MIL y función 2D resultante.
2.7. Efecto piezoeléctrico
La piezoelectricidad es un fenómeno que fue descubierto y puesto de manifiesto por Pierre y Jacques
Curie en 1883 y que ocurre en determinados cristales que, al ser sometidos a tensiones mecánicas, se
produce en ellos una separación de cargas positivas y negativas de su centro de gravedad y una
movilización de electrones y cargas eléctricas, por lo que adquieren una polarización eléctrica en su
masa y una diferencia de potencial en sus superficies, generándose dipolos elementales en su masa
(Figura 2-17). Esta propiedad, aparece en sistemas altamente organizados, gracias a su estructura
reticular. Este fenómeno se presenta también a la inversa, es decir, los materiales se deforman bajo la
acción de fuerzas internas cuando son sometidos a un campo eléctrico o voltaje exterior.
Como sabemos, los huesos del organismo están formados por una matriz extracelular que combina la
acción del colágeno tipo I como parte orgánica y de los diferentes cristales de hidroxiapatita como
parte inorgánica. Al sufrir un hueso un esfuerzo mecánico, la matriz de colágeno se deforma,
transmitiendo esa deformación a los cristales de hidroxiapatita lo que hace que aparezca un potencial
eléctrico en ellos, haciéndolos responsables del efecto piezoeléctrico en el sistema óseo.
Biología ósea
18
También hemos visto, que al producirse una rotura en un hueso se forma alrededor de la misma un
callo de fractura de fibras de colágeno no orientadas, pero mineralizadas. Este callo, provoca
deformaciones en el hueso lo que hace que aparezcan tensiones de remodelación, haciendo también
que la hidroxiapatita se comporte como material piezoeléctrico y aparezcan diferencias de potencial
y cargas eléctricas, lo que nos hace pensar que el proceso de remodelación ósea es un proceso
gobernado por el comportamiento piezoeléctrico de la fase mineral de la matriz extracelular.
Figura 2-17: Efecto piezoeléctrico
19
3 MODELOS DE PIEZOELECTRICIDAD
omo hemos visto el hueso posee unas propiedades mecánicas que se acoplan a unas propiedades
piezoeléctricas que son las encargadas de que las células óseas se activen y comience la
remodelación.
A lo largo de este capítulo, vamos a ver la formulación del modelo piezoeléctrico que
posteriormente se utilizara sobre la malla de elementos finitos para analizar la influencia de este
efecto sobre la remodelación ósea. Se hará todo de forma numérica, sin necesidad de recurrir a los
experimentos en vivo, por ser estos más costosos, por razones éticas o por imposibilidad de ser
realizados.
En este trabajo se va a tratar con detenimiento el estudio del efecto piezoeléctrico sobre la
remodelación ósea, de tal forma que veamos cómo evoluciona el desplazamiento eléctrico que
aparece en un hueso largo al ser sometido a un esfuerzo mecánico concreto.
3.1 Modelo piezoeléctrico
3.1.1 Definición del modelo isótropor
Las ecuaciones que gobiernan el efecto piezoeléctrico en un material, sin importar cuál sea, en
equilibrio estático pueden expresarse mediante dos ecuaciones independientes, una representa la
conservación del momento lineal y la otra la conservación de la carga eléctrica.
Σij,j + bi = 0 (3-1)
Di,i + b4 = 0 (3-2)
Las variables representan la tensión, 𝜎𝑖𝑗, el desplazamiento eléctrico, 𝐷𝑖, las fuerzas, 𝑏𝑖, y las cargas,
𝑏4. Los índices repetidos indican suma, y las comas indican derivación. Las ecuaciones constitutivas
relativas al efecto de la deformación y del campo eléctrico sobre la tensión y el desplazamiento
eléctrico serian:
σij = cijklSkl − elijEl (3-3)
Di = eiklSkl + εilEl (3-4)
C
Modelos de piezoelectricidad
20
Donde S representa la deformación elástica y E representa el campo eléctrico. La deformación está
relacionada con el desplazamiento u y el campo eléctrico está relacionado con el potencial eléctrico.
Sij =1
2(ui,j + uji) (3-5)
Ei = −ϕ,i (3-6)
Estas son las ecuaciones básicas del efecto piezoeléctrico para cualquier material. Cabe destacar que
al tratarse de un material óseo tenemos que caracterizarlas para nuestro modelo. Para ello, tenemos
que considerar nuestro material óseo como un material elásticamente isótropo asumiendo que el
módulo de Poisson es independiente de la densidad del hueso. También destacamos, que el módulo
de Young se puede modelar por la siguiente ecuación.
E(ρ) = Mργ (3-7)
Donde M y γ son constantes positivas que caracterizan el comportamiento del hueso. Podemos
obtener estas constantes analizando el hueso. El valor de las constantes seria:
M = 3790 γ = 3 ν = 0.3 (3-8)
Para introducir el comportamiento piezoeléctrico en el modelo, tenemos que acoplar el efecto
mecánico al efecto eléctrico mediante el término (𝜌/𝜌∗)𝛾. Esta función garantiza que el campo
eléctrico se incrementa con la densidad del hueso. Aplicando esto a las ecuaciones constitutivas del
tensor de tensiones y el desplazamiento eléctrico tenemos:
𝛔 = 2μ(ρ)𝛆(𝐮) + λ(ρ)Div(𝐮)I − (ρ
ρ∗)
γ
ϵ∗𝐄(φ) (3-9)
𝐃 = 𝐃𝛆 + 𝐃𝐄 = (ρ
ρ∗)
γ
ϵ𝛆(𝐮) + (ρ
ρ∗)
γ
β𝐄(φ) (3-10)
En esta ecuación se identifican el desplazamiento, la deformación y el campo eléctrico por sus
denotaciones habituales, 𝐮, 𝛆, 𝐄(φ). También incluimos tres tensores, el piezoeléctrico, 𝜖, el tensor
de permitividad eléctrica, 𝛽, y el operador identidad, I. Aplicamos la divergencia al vector
desplazamiento, Div(u), y además añadimos dos coeficientes de Lame, 𝜇(𝜌) y 𝜆(𝜌), del materia
asumiendo dependencia con la densidad aparente del hueso.
En este trabajo asumimos que el hueso se comporta como un cristal con geometría hexagonal
(Fotiadis et al., 1999; Qin and Ye, 2004). Por tanto, el tensor piezoeléctrico está definido por cuatro
valores y el tensor de permisividad eléctrica es una matriz diagonal con dos constantes. Estos
tensores se expresan con las siguientes matrices:
ϵ = [0 0 00 0 0
e31 e31 e33
e14 e15 0e15 −e14 00 0 0
] β = [
β11 0 00 β11 00 0 β33
] (3-11)
Donde la tercera dirección coincide con la dirección longitudinal de un hueso largo. De acuerdo con
Fotiadis et al. (1999) consideramos que las constantes arriba descritas toman los siguientes valores.
E31 = 1.50769 x 10−9C
mm2 e33 = 1.87209 x 10−9
C
mm2 (3-12)
21 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
e15 = 3.57643 x 10−9C
mm2 e14 = 17.88215 x 10−9
C
mm2
β11 = 8854 x 10−12C2
N mm2 β33 = 106.248 x 10−12
C2
N mm2
Según García-Aznar [6], este es el procedimiento de obtención de las propiedades piezoeléctricas del
hueso y son las que se van a utilizar al aplicar dicho modelo de piezoelectricidad a nuestro modelo de
elementos finitos, que describiremos a continuación.
3.1.2 Definición del modelo ortótropo
Como hemos visto en el punto anterior, se define el modelo piezoeléctrico considerando que el
material óseo es completamente isótropo. Durante el capítulo 2 definimos el material que formaba el
tejido óseo, y vimos que se trataba de un material completamente isótropo, debido a la orientación de
las fibras de colágeno y a los cristales de hidroxiapatita.
Se han hecho grandes simplificaciones en el aparatado anterior para llegar a considerar al hueso
como material isótropo. Además de realizar esta consideración, hemos decidido ver también el efecto
de la piezoelectricidad en un material ortótropo que se separa un poco del que ya hemos definido,
pero que no llega a ser completamente anisótropo.
Para definir un material ortótropo, es necesario introducir al modelo el módulo de cortadura G. Es
necesario definir de nuevo los parámetros del material. En este caso, se tienen los siguientes
parámetros:
E1 = E2 = 45.98ρ2.45α3.01 (3-13)
E3 = 52.74ρ0.95α2.72 (3-14)
G31 = G32 = 19.65ρ1.79α3.10 (3-15)
ν12 = 0.51 − 0.83ρ − 1.29α + 3.96ρα + 1.32α2 − 3.79ρα2 (3-16)
ν13 = ν23 = −0.29 + 1.77ρ + 0.77α − 4.90ρα − 0.64α2 + 4.04ρα2 (3-17)
ρ = (1.41 + 1.29α)vb (3-18)
α = 0.7 (3-19)
Como vemos en este caso, tenemos que aparecen muchos más parámetro en la definición del
material que harán que el hueso se comporte como ortótropo en lugar de como isótropo. Esta
definición de los parámetros está definida por Reina [4].
Tenemos que, para analizar correctamente el problema ortótropo, es necesario definir la variable
independiente del mismo. En este caso, como en el del material isótropo, determinamos que la
variable independiente va a ser la densidad del hueso, la cual tomará los valores deseados para poder
analizar las diferentes situaciones del hueso.
Por ello y, aun contradiciéndome con lo citado anteriormente, vamos a tomar un valor de la densidad
tal que la fracción de hueso (vb) alcance el 90%. Teniendo en cuenta este valor y el de la fracción de
ceniza (α) podemos obtener el valor de la densidad para la que se van a realizar todos los análisis.
Vb = 90% = 0.9 ρ = 2.08 ≅ 2.1 (3-20)
Modelos de piezoelectricidad
22
3.1.3 Definición del modelo con giro
Además de definir un segundo modelo para el posterior análisis, vamos a definir otro que aplique un
giro al sistema coordenado de forma que adquiera una configuración más similar a la real.
En el material isótropo hemos tomado la hipótesis de que las fibras de colágeno siguen la dirección
del eje longitudinal del hueso. Esto nos permite suponer que el módulo de cortadura es despreciable
con respecto al módulo de elasticidad y que además ninguna de las constantes del hueso depende de
la fracción de hueso y de la fracción de ceniza.
A la hora de introducir la ortotropía en el material hace que las fibras de colágeno se orienten
aleatoriamente apareciendo las dependencias antes mencionadas.
Vamos a volver a modificar el modelo para que se parezca aún más a la realidad del hueso. Para que
el modelo sea lo más parecido a la realidad, vamos a aplicar el giro antes mencionado al sistema de
referencia local del hueso. Las fibras de colágeno se encuentran, más que orientados en la dirección
longitudinal o de manera aleatoria en el hueso, formando una espiral abierta, en forma de cono, que
se va expandiendo a lo largo de la diáfisis. Para poder implementar este giro en el sistema de
referencia local, en nuestro caso coordenadas cilíndricas, simplemente aplicamos un giro sobre el eje
radial y otro sobre el eje circunferencial.
Φ = −20° δ = 5° (3-21)
En este caso, el primer ángulo representa el giro sobre el eje radial y el segundo, representa el giro
con respecto al eje circunferencial.
3.2 Modelo de elementos finitos
3.2.1 Definición de la malla geométrica
Dado el método de resolución que vamos a aplicar en este trabajo, es necesario definir un modelo
geométrico tridimensional de elementos finitos. El modelo a tratar será un cilindro hueco, que
dependiendo de la etapa, tendrá su superficie interior y exterior deformada de cierta manera. El
proceso por el cual vamos a obtener la malla es muy simple.
En concreto, para este trabajo se ha utilizado una malla de 11220 nodos y de 10000 elementos todos
correspondientes al tipo C3D8 (Figura 3-1).
Una vez definidos los elementos que se van a usar en el modelo, es necesario crear la forma del
mismo. Nosotros vamos a analizar una sección de un hueso largo, en este caso un fémur humano, en
la que se ha producido una fractura y se ha formado el callo. Vamos a definir por tanto cinco
geometrías, que serían cinco estadios distintos en el proceso de reabsorción del callo de fractura. Para
ello, simplemente se ha ampliado la dimensión radial de los elementos centrales de la sección (Figura
3-2).
Definido el número de elementos y el modelo sobre el que vamos a aplicar la piezoelectricidad, es
necesario pararse a pensar sobre qué zona vamos a estudiar el comportamiento del desplazamiento
eléctrico. Aplicando el criterio de Saint Venant tenemos que la solución será válida a una distancia D
de la zona en la que se aplican las cargas y en la que se encuentra las condiciones de contorno.
Debido a esto, únicamente se va a analizar la zona central de nuestro cilindro, ya que, es la zona en la
que la solución es válida. En la figura 3-3 mostramos la zona de análisis para un callo de fractura sin
remodelación, completamente formado.
Cabe destacar que el callo de fractura, no sólo deforma la superficie exterior de nuestro cilindro, lo
23 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
que se asemejaría al periostio del hueso, sino que también deforma la superficie interior, aunque con
menos curvatura, del mismo, se asemejaría al endostio. Decir también, que en un proceso de
remodelación el hueso se tapona por completo, llegando el canal medular a cerrarse dividiéndose en
dos. Es nuestro caso, no hemos podido cerrar el canal medular al completo, ya que posteriormente,
en los análisis el modelo piezoeléctrico da problemas (Figura 3-4).
Figura 3-1: Elemento usado en el modelo
a) b)
c) d)
e)
Figura 3-2: Modelo de elementos finitos. A) Tamaño del callo 0%, b) Tamaño del callo 25%, c) Tamaño del
callo 50%, d) Tamaño del callo 75%, e) Tamaño del callo 100%.
Modelos de piezoelectricidad
24
Figura 3-3: Zona central de estudio para un callo sin remodelación.
Figura 3-4: Deformación del periostio y del endostio sin cerrar el canal medular completamente.
3.2.2 Aplicación de las cargas
Como queremos obtener el efecto de la piezoelectricidad en un fémur humano, vamos a medir el
desplazamiento eléctrico en cada una de las mallas que hemos definido anteriormente. Para que se
produzca este desplazamiento eléctrico, es necesario que sobre el hueso esté aplicada una carga que
lo deforme, haciendo así que los cristales obtengan la diferencia de potencial que activa el efecto
piezoeléctrico.
Para nuestro proyecto, vamos a considerar tres tipos distintos de métodos de carga. Al aplicar estas
cargas queremos ver si coincide con los procesos biológicos que tiene lugar en el hueso, en nuestro
caso ver si el desplazamiento eléctrico va disminuyendo conforme el callo se va reabsorbiendo.
Carga de Flexión: se va a aplicar una carga de flexión horizontal en la dirección del eje ‘X’
cartesiano positivo. Esta carga se va a aplicar sobre un grupo de nodos de la diáfisis. Cada
nodo estará sometido a una fuerza de 20 puntos de magnitud. Al encontrarse los cinco
25 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
elementos sometidos a la misma carga, en la misma dirección y con el mismo sentido, la
fuerza total de flexión es de 100 puntos en la dirección antes mencionada.
Carga de Torsión: la carga de torsión se aplicará en cuatro nodos distintos del periostio de
la diáfisis del hueso. La carga se aplicará en los nodos que se encuentran en el eje ‘X’ y en el
eje ‘Y’ cartesiano, tanto en la parte positiva como negativa de los mismos. La carga de
torsión será de 20 puntos en los cuatro nodos citados, pero con sentidos distintos para
producir el efecto de torsión deseado.
Carga combinada de Flexo-Torsión: Vamos a combinar las cargas descritas anteriormente
para ver el comportamiento que tiene nuestra sección de hueso. Para ello, se van a aplicar dos
cargas distintas en los cuatro mismos nodos en los que se aplicó la carga de torsión. En este
caso las cargas a aplicar serán:
Tabla 3-1: Combinación de cargas
Nodo Dirección X Dirección Y
1 -19.2684 -19.9911
2 4.9011 4.1784
3 -19.2684 28.3478
4 -43.4378 4.1784
3.2.3 Condiciones de contorno
Para poder completar el análisis del modelo es necesario definir las condiciones de contorno que
vamos a aplicar en nuestro modelo. Como bien sabemos las condiciones de contorno son las
restricciones al movimiento que se aplica sobre un cuerpo. Existen diferentes tipos de restricciones,
las cuales se pueden aplicar sobre un punto concreto de cualquier estructura o sólido. Nuestro solido
(hueso) está definido por infinidad de nodos, concretamente 11220, y estos, a su vez, forman los
elementos (10000) que definen el mallado de nuestro hueso.
Necesitamos conocer el valor del desplazamiento eléctrico en los elementos de la diáfisis que no
estén expuestos a las variaciones en las tensiones, debido al criterio de Saint Venant.
Queremos imponer unas condiciones de contorno que impidan completamente el movimiento de la
base del hueso, es decir, queremos representar un empotramiento perfecto en el extremo opuesto al
que se van a aplicar las cargas. Para poder obtener este empotramiento aplicamos la siguiente tabla
de restricciones.
Como observamos, el desplazamiento en las tres direcciones está completamente restringido. Por un
lado, dos nodos específicos restringen el desplazamiento en la dirección horizontal y vertical, y por
otro, toda la cadena de nodos del contorno exterior del hueso tiene tanto el desplazamiento en la
dirección longitudinal del hueso, como los tres giros restringidos, por lo que esto implica que esa
cadena de nodos no va a desplazarse ni girar en ninguna de las direcciones, posee todos los grados de
libertad restringidos.
Modelos de piezoelectricidad
26
Tabla 3-2: Condiciones de contorno aplicadas al modelo
Nodo Ux Uy Uz θx θy θz
201 0 0 - - - -
211 - 0 - - - -
1-220 - - 0 0 0 0
27
4 ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE
PIEZOELÉCTRICIDAD APLICADO A UN FÉMUR
HUMANO
na vez se han desarrollado los distintos modelos de piezoelectricidad que vamos a usar, se ha
procedido a implementarlos numéricamente para su posterior análisis en un programa de
resolución de problemas mediante el método de los elementos finitos. Para ello, se ha hecho
uso del programa ABAQUS© 6.10-2 y el programa Matlab R2013a, en el que se ha modelado
geométricamente un trozo de fémur humano, semejante a un cilindro hueco. Se han incluido también
las cargas definidas en el capítulo anterior.
Las distintas variantes del modelo piezoeléctrico isótropo se han implementado en ABAQUS©, el
cambio de material, y en Fortran©, el giro que se aplica posteriormente, mediante la subrutina
ORIENT, incluida en la definición del efecto piezoeléctrico, y que puede ser leída por ABAQUS
como una extensión del problema de elementos finitos. Esta subrutina es usada para definir la
orientación que va a experimentar el sistema de referencia local que posee nuestro hueso.
Se van a implementar tres tipos distintos de material, cada uno de ellos con tres casos de cargas
distintos, lo que hace que tengamos que resolver un total de 9 problemas de piezoelectricidad.
En este momento y para cada uno de los caso de carga, vamos a definir diferentes etapas de la
remodelación ósea y comprobaremos el valor del desplazamiento eléctrico y de algunas variables
que interviene en este proceso.
El parámetro que más nos interesa es, claramente, el vector desplazamiento eléctrico, pero
especialmente en una dirección, ya que la mayor remodelación se va a encontrar en la dirección
radial, lugar donde se va a apreciar más el cambio que experimenta el hueso. Analizaremos en los
siguientes puntos lo descrito anteriormente.
Se analizará el valor del desplazamiento eléctrico en la sección central del hueso ya que es el lugar
donde se alcanzan los mayores valores del mismo, y donde no aparecen valores extraños debido a las
condiciones de contorno y a la carga aplicada.
U
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
28
4.1 Simulaciones y resultados
4.1.1 Modelo piezoeléctrico isótropo
Este es el modelo más sencillo que vamos a analizar. En la figura 4-1 vamos a observar los distintos
valores que va a tomar el vector desplazamiento eléctrico para la evolución del tamaño del callo de
fractura y para la carga de flexión.
Usando la lógica, al aplicar una carga de flexión en la dirección en la que se indica en el capítulo
anterior, el hueso se deforma en dicha compresión haciendo que la mitad del mismo se comprima y
la otra mitad se traccione. Al comprimirse cierta zona del hueso deben de aparecer cargas negativas
lo que favorece la aparición de un desplazamiento eléctrico positivo que hace que se empiece a
generar hueso en esa zona para paliar los efectos de la compresión. Por otro lado, la zona
traccionada, que sufre cargas positivas, debe experimentar un desplazamiento eléctrico negativo, lo
que implica que el hueso va a ir destruyéndose poco a poco y ajustándose a una configuración más
favorable.
Esa sería la situación teórica y que, más o menos, podría ser la real. Si observamos las distintas
configuraciones de la figura 4-1, podemos ver que el desplazamiento eléctrico no se encuentra en la
zona que teóricamente debe de estar, lo que implica que no sea del todo correcto.
Analicemos por otro lado el modulo del desplazamiento eléctrico. Dicho modulo debe alcanzar su
valor máximo cuando el callo está completamente formado, e ir disminuyendo conforme éste se
reabsorbe y el hueso se remodela, llegando a su valor mínimo cuando el hueso está completamente
remodelado.
Volvemos a observar que esto no ocurre ya que obtiene su valor máximo cuando el hueso está
completamente remodelado. Esto implica que el desplazamiento eléctrico promueve más
remodelación en el momento en el que el callo de fractura no existe que cuando está completamente
formado.
Si hablamos de carga de torsión, sabemos que esta se encuentra distribuida por todo el contorno de
nuestro hueso, lo que implica que la superficie exterior, el periostio, sufra una mayor tensión que la
superficie interior, endostio.
Al tratarse de una carga de torsión, sabemos que la sección más desfavorable no va a ser la central,
ya que la mayor carga se va a concentrar en los puntos donde se encuentran las restricciones al
movimiento. Aun así, la sección que más nos interesa analizar es la central debido a que es en la que
el callo alcanza su mayor tamaño.
En este caso, el desplazamiento eléctrico va disminuyendo conforme nos acercamos al centro del
hueso. Esto implica que aparece una mayor remodelación en el contorno exterior que en el interior lo
que implicaría, en términos biológicos, que el callo no se estaría reabsorbiendo sino que se estaría
creando haciendo que el hueso aumentara de tamaño (Figura 4-2).
Como último análisis para este material, vamos a ver el comportamiento del desplazamiento eléctrico
a la hora de aplicar una carga combinada de flexión y torsión. Al realizar esta combinación, es
necesario tener en cuenta la contribución de cada carga a las tensiones finales de la sección.
En este caso, la tensión no sigue una dirección coordenada. Esto implica que, en principio, el
desplazamiento eléctrico sea también una combinación lineal de los dos desplazamientos anteriores
para las cargas separadas. Al realizar el análisis vemos que no es así, ya que el desplazamiento
eléctrico se encuentra distribuido de manera completamente diferente.
Dicho desplazamiento toma valores positivos solamente en una zona concreta de la sección, lugar de
29 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
destrucción del hueso, y en el resto de la misma toma valores por debajo de cero, zona de creación de
hueso (Figura 4-3).
a) b) c)
d) e)
Figura 4-1: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexión.
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
30
a) b) c)
d) e)
Figura 4-2: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de torsión
31 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
a) b) c)
d) e)
Figura 4-3: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexo-torsión
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
32
4.1.2 Modelo piezoeléctrico ortótropo
Este modelo lo que pretende es ajustar más aun los resultados del material isótropo ya que hemos
hecho una gran simplificación a la hora de despreciar diversas constantes que definen el material.
A la luz de los resultados anteriores, suponemos que el cambio de material únicamente proporcionará
una resolución del problema más fina que la del material isótropo, ajustando más el modulo del
desplazamiento eléctrico.
Vamos a realizar el mismo análisis que en el apartado anterior para ver exactamente los resultados
para los distintos casos de carga. Obtenemos los resultados para la carga de flexión (Figura 4-4), para
la carga de torsión (Figura 4-5) y frente a la combinación de ambos esfuerzos (Figura 4-6).
a) b) c)
d) e)
Figura 4-4: Desplazamiento eléctrico para un material ortótropo ante carga de flexión
33 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
a) b) c)
d) e)
Figura 4-5: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de torsión
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
34
a) b) c)
d) e)
Figura 4-6: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de flexo-torsión
35 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
4.1.3 Modelo piezoeléctrico ortótropo con giro aplicado
Como hemos descrito anteriormente, se le ha aplicado un giro al sistema de referencia local para
asemejar aún más el material que estamos definiendo al real. Este modelo realiza un ajuste más fino
de la situación real que se puede llegar a dar en el hueso.
Como resultados del análisis de este modelo, esperamos obtener resultados parecidos a los anteriores,
pero que además se encuentran girados con respecto a ellos, debido al giro que experimenta el
sistema de referencia de nuestro hueso.
Realizando el mismo análisis que en los apartados anteriores, podemos obtener los resultados
mostrados en las distintas figuras para las distintas cargas, flexión (Figura 4-7), torsión (Figura 4-8) y
flexo-torsión (Figura 4-9).
a) b) c)
d) e)
Figura 4-7: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexión
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
36
a) b) c)
d) e)
Figura 4-8: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de torsión.
37 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
a) b) c)
d) e)
Figura 4-9: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexo-torsión
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
38
4.2 Dependencia del desplazamiento eléctrico con las deformaciones tangenciales
En el apartado anterior hemos visto cómo se comporta el vector desplazamiento eléctrico,
dependiendo del tipo de carga y del material que apliquemos al modelo. Pero, unido a estas dos
dependencias, existe una mucho más importante que a su vez depende del tipo de material y de la
carga. Esta dependencia, que verdaderamente es la que impone la dirección y el módulo del
desplazamiento eléctrico, la podemos ver en la ecuación (3-11) que nos muestra la definición de
dicho desplazamiento.
La parte predominante de la ecuación de definición del desplazamiento eléctrico es la contribución
mecánica, lugar donde entra en juego la deformación que sufre el hueso. Esto hace que el
desplazamiento eléctrico se adapte a ella. A su vez, dentro de las deformaciones que sufre el hueso,
tenemos que centrarnos en las deformaciones tangenciales debido a que, según la definición del
tensor de piezoelectricidad, son las únicas que están multiplicadas por un coeficiente distinto de cero
para la componente del vector desplazamiento eléctrico que nos interesa, la componente radial.
Se va a analizar el efecto de la deformación en la sección del hueso remodelada solamente al 50% ya
que el efecto es idéntico en el resto de secciones.
Como podemos observar la deformación tiene diferente distribución dependiendo de la dirección en
la que se mire. En este caso, la distribución predominante es la que se encuentra en la dirección
tangencial 2-3, tomando valores de al menos un orden de magnitud superior a las otras dos. Esto
hace que el comportamiento del desplazamiento eléctrico sea el que “impone” la deformación en la
dirección antes citada.
Si observamos el tensor de piezoelectricidad (ecuación (3-11)) vemos, que las componentes del
vector deformación que impondrían la dirección y el modulo del desplazamiento eléctrico serían ε12
y ε13. Por otro lado, la deformación tangencial que nos quedaría analizar estaría multiplicada por
cero, por lo que no contribuiría al desplazamiento eléctrico.
Como vemos en nuestro modelo, no se alcanzan los resultados definidos por la teoría de la
piezoelectricidad que realizan Fernández, García-Aznar y Martínez, debido a que el desplazamiento
se asemeja a la deformación predominante, lo que nos hace pensar que dicha deformación no se
encuentra multiplicada por un coeficiente nulo.
Estos resultados son extrapolables a los distintos casos de carga que hemos analizado en el apartado
anterior, y a los diferentes materiales aplicados al modelo, no siendo necesario mostrarlos todos. Si
vamos a analizar el comportamiento del modelo al que se le ha aplicado el material ortótropo, y el
giro en el sistema de referencia local del hueso ante la misma carga, flexión pura.
Como observamos en la figura 4-11, la deformación tangencial ε12 y ε23 aparecen giradas, debido al
cambio de orientación que se ha aplicado al sistema de referencia local del hueso. Esto hace que el
desplazamiento eléctrico, al depender directamente de la deformación, aparezca girado como vemos
en la figura 4-7.
39 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 4-10: Distribución de las deformaciones tangenciales ante carga de flexión en un material isótropo
Figura 4-11: Distribución de la deformación tangencial en el material ortótropo con giro aplicado ante carga de
flexión
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
40
4.3 Comparación de resultados
4.3.1 Modelo isótropo vs Realidad
En primer lugar, es necesario comparar el modelo isótropo usado, ya que es el modelo básico que se
aplica para analizar la piezoelectricidad, con lo que ocurre en un hueso real. Cuando un hueso se
fractura y se forma el callo, éste se regenera sin necesidad de que se aplique ninguna carga externa,
debido a la remodelación ósea impulsada por el efecto piezoeléctrico. Este efecto produce un
desplazamiento eléctrico que permite la remodelación, siendo mayor cuando las tenciones internas
del hueso son mayores, momento en el que el callo de fractura es mayor.
Como hemos descrito, el momento en el que las cargas que aparecen en el hueso son mayores,
momento con el callo sin remodelar, el desplazamiento eléctrico experimenta sus mayores valores.
En nuestro caso ocurre exactamente lo contrario, cuando el callo de fractura es mayor, el
desplazamiento eléctrico es menor y viceversa. Esto es debido a la distribución de deformaciones
que experimenta el hueso, como se comenta en el apartado anterior, haciendo que el desplazamiento
eléctrico no solo no se ajuste a la realidad, sino que además su comportamiento es opuesto al que
debe de tener.
4.3.2 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo
Si comparamos ahora los modelos en los que se aplican materiales distintos, vamos a ver que no
existe gran diferencia entre ellos. La única diferencia apreciable (Figura 4-12) es el valor que toma el
módulo del desplazamiento eléctrico, ya que para el material ortótropo es mayor que para el isótropo.
Como podemos observar en la figura, la distribución es exactamente la misma para los tres casos de
carga.
A la hora de analizar ocurre exactamente lo mismo ante carga de torsión y flexo-torsión. El módulo
del desplazamiento eléctrico es mayor conforme se remodela el hueso y también aumenta al cambiar
el tipo de material.
4.3.3 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado
A la hora de aplicarle el giro al sistema de referencia local, y por tanto al tensor de piezoelectricidad,
vamos a obtener una distribución del desplazamiento eléctrico distinta. Esta distribución se asemeja
más a la realidad, pero debido al modelo isótropo, que, según la teoría, debería asemejarse al real, las
distribuciones son muy dispares (Figura 4-13). Con respecto al valor del módulo del desplazamiento
eléctrico tenemos que decir, que también se alcanzan valores muy dispares, ya que la diferencia es de
varios órdenes de magnitud, siendo la distribución del ortótropo con giro, la que alcanza mayores
valores de dicho módulo.
41 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Material Isótropo Material ortótropo
Figura 4-12: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
42
Material Isótropo Material ortótropo con giro aplicado
Figura 4-13: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado
4.4 Distribución del desplazamiento eléctrico
A lo largo de este capítulo hemos visto los distintos resultados del análisis de nuestros modelos. A la
hora de realizar el proceso de remodelación ósea obtenemos diferentes valores del desplazamiento
eléctrico. Vamos a comparar cómo es dicho valor para el elemento más desfavorable en cada caso de
carga y para cada modelo empleado.
43 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 4-14: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexión
Figura 4-15: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Torsión
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11x 10
-12
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-12
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
44
Figura 4-16: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexo-Torsión
Figura 4-17: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexión
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8x 10
-11
% de tamaño del callo
Valo
r absolu
to d
el D
espla
zam
iento
Ele
ctr
ico
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
-8
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
45 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 4-18: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Torsión
Figura 4-19: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexo-Torsión
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4x 10
-8
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-8
% de tamaño del callo
Valo
r absolu
to d
el despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
46
Figura 4-20: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Flexión.
Figura 4-21: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Torsión.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002
4
6
8
10
12
14x 10
-9
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-8
% de tamaño del callo
Despla
zam
iento
Ele
ctr
ico
47 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Figura 4-22: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de
Flexo-Torsión.
Como podemos observar la tendencia de las distribuciones son a ascender, es decir, conforme la
remodelación se realiza, el valor del desplazamiento eléctrico aumenta.
Si pensamos en el proceso de remodelación, parece lógico imaginar que, cuanto mayor sea el tamaño
del callo, mayor será el valor del desplazamiento eléctrico y viceversa. En este caso, vemos que
difieren muchísimo de la realidad, debido a que dicha distribución hace que el desplazamiento
eléctrico aumente conforme se remodela el hueso, es decir, a mayor tañano del callo, menor valor del
desplazamiento eléctrico.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
-8
% de tamaño del callo
Valo
r absolu
to d
el D
espla
zam
iento
Ele
ctr
ico
Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano
48
49
5 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
5.1 Resumen del trabajo realizado y conclusions
El objetivo principal de este trabajo era observar el efecto de la piezoelectricidad en el proceso de
remodelación ósea, aplicándolo a un modelo de elementos finitos de una sección de un hueso largo,
en nuestro caso un fémur humano, sometido a distintas cargas. Para analizar dicho proceso, se tomó
como variable el desplazamiento eléctrico que aparece en el hueso a la hora de ser sometido a una
determinada carga.
En el capítulo 2 se realiza una introducción a la biología del tejido óseo y del proceso de
remodelación de dicho tejido. En primer lugar, se detalla la estructura propia de los distintos tipos de
tejido óseo y se hace una clasificación de dicha estructura. A continuación, se detallan las diferentes
células óseas que componen el tejido antes mencionado y se describe detalladamente su función y su
importancia en el proceso de remodelación ósea. También hablamos de la morfología del hueso a
estudiar, en nuestro caso un fémur humano, y de las distintas zonas que la componen y de donde se
va a obtener nuestra sección de estudio. Posteriormente, hablamos del proceso propio de
remodelación, analizando las diferentes fases que intervienen en dicho proceso junto con la actividad
celular asociada. Por último se comenta que es el efecto piezoeléctrico y por qué se da en este tipo de
material.
Siguiendo por el capítulo 3, se hace una descripción detallada del modelo piezoeléctrico que se va a
utilizar en los distintos análisis, así como las variantes que le hemos aplicado al mismo. Se ha
contemplado tanto el modelo isótropo original como un modelo que se ajusta más al proceso,
haciendo el material ortótropo, y otro que se ajusta aún más al proceso, añadiendo un giro al tensor
de piezoelectricidad. Se ha analizado el modelo de elementos finitos empleado, así como, las
diferentes cargas y condiciones de contorno aplicadas.
Para terminar, en el capítulo 4 se han presentado los resultados de los diferentes análisis para los
distintos modelos y se han comparado los mismos. Se ha usado el desplazamiento eléctrico como
variable para comparar los diferentes modelos entre sí.
Con esto, es posible sacar algunas conclusiones:
1. El modelo de piezoelectricidad empleado en este trabajo no asemeja los resultados a la
realidad, ya que no proporciona una solución correcta para el proceso remodelatorio.
2. Es fácil obtener el desplazamiento eléctrico a partir de las cargas y deformaciones a través
del tensor de piezoelectricidad.
Conclusiones y desarrollos futuros
50
3. Es necesario contemplar la posibilidad de que estos resultados son así debido a un fallo en el
tensor de piezoelectricidad a la hora de implementarlo o de generar sus constantes. Es preciso
señalar también que no se ha encontrado dicho error dentro del modelo y que por tanto no ha
sido posible subsanarlo.
4. El material ortótropo es capaz de ajustarse mejor a las condiciones reales del hueso en el
proceso de remodelación, aun no teniendo la distribución del desplazamiento eléctrico
deseada.
En este punto deberíamos preguntarnos, ¿por qué se producen estos errores si se ha aplicado el
mismo modelo que expresa García-Aznar? A la hora de realizar los análisis, es lógico pensar que
deberían obtenerse al menos resultados parecidos a los que expresa nuestro autor referente en su
artículo.
Si tuviesesmos que plantarnos responder a la pregunta formulada antes, diríamos, como se explica en
el punto 4 anterior, que dichos errores se han producido por algún fallo cometido en el diseño de
García-Aznar. En este caso, sabemos que el modelo es completamente correcto deido a que ya ha
sido porbado por el propio García-Aznar en su modelo. Aquí surge otra pregunta, ¿qué es lo que
produce este fallo?
Se ha explicado con anterioridad qu el tensor de deformaciones va multiplicado por el tensor de
piezoelectricidad y que esto lleva a que alguno de los términos se anulen, ¿por qué en nuestro caso
no se están anuladon los términos correctos? Queda claro que el modelo aplicado es el mismo, en
cambio no se otienen los mismo resultados.
¿Qué falla en nuestro modelo que si ha sido considerado por García-Aznar en el suyo? Podríamos
pensar que el fallo es interno o que efectivamente es un fallo del modelo, pero debemos descartar
esta última opción por lo mencionado antes. Si el fallo que se produce es interno, deberíamos poder
solventarlo.
A la hora de definir las deformaciones en el capitulo 3, mencionamos que la predominante es la
deformación en la dirección 3 y que esto provoca que el desplazamiento eléctrico cambie de
dirección. Este es el error que se produce en nuestro modelo. Clao está hemos encontrado el foco del
problema pero no conseguimos saber por qué se produce ya que se han usado los mismo coeficientes
que en el modelo diseñado por García-Aznar.
Tras las investigaciones realizadas no se ha encontrado el origen del problema que nos lleva a estas
conclusiones. Al no encontrarse, no hemos podido solucionarlos para que el modelo nos proporcione
los resultados correctos, cerrando el proyecto en el estado que se nos ha proporcionado.
5.2 Desarrollos futuros
A pesar del trabajo realizado, son muchos los caminos de mejora que parten de este proyecto. En
efecto, la biomecánica es una ciencia reciente y que aún no ha avanzado demasiado, sigue en
crecimiento. Muchas son las investigaciones que surgen cada día en este campo y que actúan sobre
aspectos distintos del proceso de remodelación del propio organismo. Esto permite que los modelos
numéricos empleados sigan mejorando cada día más, y cada vez asemejándose más aun a la realidad.
Aquí planteamos algunas líneas futuras de investigación:
Aplicar el modelo piezoeléctrico a un material que se asemeje más al real (anisótropo).
Realizar un análisis exhaustivo del modelo de piezoelectricidad para detectar posibles fallos.
51 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea
Aplicar el modelo de piezoelectricidad a un hueso completo.
Analizar el efecto piezoeléctrico variando algunas propiedades del material
Conclusiones y desarrollos futuros
52
53
Referencias
[1] Zaworski, Z. F. G. & Hooper, C.. Study of cel kinetics evolving secondary hervasian system. J.
Anatomy, 131:91-102, 1980
[2] Carpenter, R. D. & Carter, D. R.. The mechanobiological effects of periosteal surface loads.
Biomechant Model Mechanobiol, 7:227-242, 2008
[3] G. S. Beaupré et al. An approach for time-dependent bone modelling and remodelling -
application: A preliminary remodeling simultion. J. Orthoped. Res., 5:662 - 670, 1990
[4] Martinez, J., Domínguez, J. & García-Aznar, J. M. . Effect of porosity and mineral content on
the elastic constant of cortical bone: a multiscale approach. Springer-Verlag, 2010
[5] Cooke, A. M.. Osteoporosis, Lancet, i: 878 - 882 & 929 - 937, 1955
[6] Fernández, J. R., García-Aznar, J. M. & Martínez, R.. Piezoelectricity could predict sites of
formation/resorption in bone remodellig and modelling. Journal of Theoretical Biology.
[7] Schünke, M., Schulte, E. & Schumacher, U.. Prometheus. Atlas de anatomía. Panamericana, p.
531, 2013
[8] Nordin, M. & Frenkel, V. H.. Bases biomecánicas del sistema musculoesquelético. McGraw-
Hill Interamericana, pp. 25-26, 2004
[9] Harrison, F. (2004). Sistema óseo: estructura y función. IQB: Instituto Químico Biológico. Sitio
web: http://www.iqb.es/cbasicas/fisio/cap06/cap6_1.htm#estructura
[10] García, J. & Martinez, J. Modelo de remodelación ósea interna y externa aplicados al estudio
del comportamiento del femur humano. 9, 2012
[11] Duarte, V. & Cerrolaza, M.. Modelado piezoeléctrico del hueso mediante el método de los
elementos de contorno. Revista de la Facultad de Ingeniería, 28, pp. 131-142, 2013
[12] Luque, M. L. & Reina, J.. Estudio de la morfologia del cuerpo vertebral en una L4 humana con
modelos de remodelación ósea interna y esterna. Universidad de Sevilla, proyecto fin de
carrera, p. 44, 2009
55
Glosario
ABAQUS©: Programa de elementos finitos 25
BMP: Proteínas óseas morfogénicas 4
BMU: Basic multicellular unit 12
C3D8: Elemento cuadrilátreo de 3 dimensiones con 8 nodos y 8 puntos de Gauss 21
Fortran©: Programa de gestión de programas y subrrutinas 25
Matlab: Programa de resolución de problemas matemáticos 25
MIL: Longitud de intersección promedio 15
ORIENT: Subrrutina que permite aplicar el giro al tensor de piezoelectricidad 25
PTH: Hormona paratiroidea 7
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