7/26/2019 Prova de Clculo IV - UESC
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ UESC
DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLGICAS DCET
COLEGIADO DO CURSO DE MATEMTICA - COLMAT
ClculoIV
BOA SORTE
1aAvaliao escrita de Clculo IV
Professor:Afonso Henriques Data: 10/04/2008
Aluno (a): Nota
2
.00
1. SejaRa regio do plano delimitada pelos grficos de y x= , 3 18y x= e 0y = . Sef
continua emR, exprima ( , )R
f x y dA em termos de integrais iteradas:
(a)Encarando com uma regio do tipoRx;
(b)Encarando com uma regio do tipoRy;
2.
50
2. Dada e x
ydydx1
ln
0
:
(a) D a representao grfica e analtica do domnio de integrao dessa integral.
(b) Inverta a ordem de integrao e calcule a integral resultante.
3.
00
3. (a) D a definio de integrais duplas em coordenadas polares sobre regies mais gerais.
(b) Use (a) para encontrar o volume do slido Q correspondente a regio interior ao
grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2= 9.
2.
50
4. Encontre o volume do slido delimitado pelas superfcies dadas de equaes
2 2 1z x y= + + , 2 2 1x y+ = e plano-xy.
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COLEGIADO DO CURSO DE MATEMTICA - COLMAT
ClculoIV
BOA SORTE
2aAvaliao escrita de Clculo IV 2008.1
Professor:Afonso Henriques Data: 05/06/2008
Aluno (a): Nota
2.
50
5. CalculeQ
dV onde a regio tridimensional delimitada pelos grficos de z=x2, z=4-x2,
y+z=3 e o plano-xz.
2.
50
6. D uma RGe uma RAdo slido S delimitado pelas superfcies de equaes dadas por
z=rondez0ex2+y2= 1. Use uma integral tripla para encontrar o volume de S.
2.
50
7. Descreva o grfico da equao em dimenses:
(a) 9=
(b) cos2=r
(c) cos6sen=
2.
50
8. Calcule a massa e pelo menos uma coordenada do centride do slido determinado pela
superfcie de equaes dada por (a) do problema 3.
BOA SORTE
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BOA SORTE
3aAvaliao escrita de Clculo IV
Professor:Afonso Henriques Data: 15/07/2008
Aluno (a): Nota
2.
00 9. Demonstre que todocampo vetorial quadrado inversoconservativo.
2.
00
10.Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial dado por:
f(x,y,z)=x2-3y2+4z2
3.
00
11.Calcule a integral ++C
xdzdyzydxyx )()( se C uma curva que une os pontos
)0,0,0( e )1,1,1( de duas maneiras:
a) C consiste em dois segmentos de reta, o primeiro bissetriz ao plano-xy, o segundo paralelo ao eixo-z.
b) C um segmento retilneo.
3.
00
12.Se um campo de fora inverso dado por rr
kzyxF
3),,( = onde k uma constante,
ache o trabalho realizado por Fquando o ponto de aplicao se move ao longo do eixo-x
de P(1,0,0) a Q(2,0,0).
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BOA SORTE
Atividade em Classe
Professor:Afonso Henriques Data: 29/05/2008
Aluno (a): Nota
Preparar uma aula sobre o tema: Mudana de Varivel em uma Integral Dupla e
Jacobiano (Obs. consultar o guia de estudo n 2, pg. 17 a 20). Desenvolva os exemplos
nele presentes e em seguida resolver os problemas abaixo (de acordo com a lista dos
exerccios propostos em anexo).
No bloco de Exercs. 1-8, fazer os exerccios 3 e 8
No bloco de Exercs. 9-12, fazer os exerccios 9 e 10
No bloco de Exercs. 13-16, fazer os exerccios 14, 16
No bloco de Exercs. 19-22, fazer os exerccios 19 e 22
No bloco de Exercs. 23-28, fazer os exerccios 24 e 25
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BOA SORTE
3aAvaliao escrita de Clculo IV de 13:30 s 15:10 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 03/07/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
13.Uma concho-espiral uma curva C que admite a parametrizao: cosmtx ae t= ,senmty ae t= , mtz be= ; 0t , com a, be mconstantes.
i. Mostre que Cest na superfcie Sdada pela equao ( )2
2 2 22
bz x ya
= + .
ii. Ache o comprimento de Ccorrespondente ao intervalo [ ]0, de t.
2.
00
14.Um ponto se move sobre uma curva Cde modo que o vetor posio r(t)de P igual aovetor tangente r(t) para todo t. Ache as equaes paramtricas de C.
2.
00
15.Se f e F so uma funo escalar e um campo vetorial, respectivamente, com derivadasparciais contnuas. Verifique a identidade: rot(f) = rot (rot F).
3.
00
16.A fora que atua em um ponto P do plano-xy dada por F(x, y)=3
4r
r, onde r o vetor
posio de P. Ache o trabalho realizado por Fao longo do semicrculo de raio a.
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Avaliao Final de Clculo IV(2aChamada) de 14:30 s 16:30 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 06/08/2007
Aluno (a): Nota
2.
00
17. Considere as seguintes afirmaes:
Uma regio plana do tipo A limitada esquerda e a direita por retas verticais x =a e x=be limitadaabaixo e acima por curvas distintas e continuas nessa regio.
Uma regio plana do tipo B limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y=d e limitada aesquerda e a direita por curvas distintas e continuas nessa regio.
(a) D uma representao analtica e grfica de cada uma das regies e as respectivas integrais iteradas deuma funofcontinua sobre tais regies.
(b) D um exemplo satisfazendo essas consideraes.
2.0
0
18. Se 0 4z , use uma integral adequada para calcular o volume do slido delimitado por z e pela
superfcie rosaceana dada pela equao1
sen(2 )2
r = .
2.
00
19. Se S a parte interna, tanto da esfera centrada de raio 4 quanto dos cones dados pelas equaes2 2
z x y= + , 2 2y x z= + e 2 2x y z= + ento d uma representao grfica e analtica de S e calcule
o seu volume.
2.
00
20. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora2 2 2 2
1 4( , ) i jF x y
x y x y= +
+ +
ur r r
numa partcula que se
move ao longo da curva C dada por 2 2 4x y+ = de (4, 0) a (0, 4).
2.
00
21. Mostre que a integral de linha 2 2C
y dx xydy+ independente de caminho e calcule essa integral ao longo
do segmento de extremidades (-1, 2) e (1, 3).
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Avaliao Final de Clculo IV de 13:30 s 16:00 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 24/07/2007
Aluno (a): Nota
2.
00
22. Considere as seguintes afirmaes:
Uma regio plana do tipo A limitada esquerda e a direita por retas verticais x =a e x=be limitadaabaixo e acima por curvas distintas e continuas nessa regio.
Uma regio plana do tipo B limitada abaixo e acima por retas horizontais y =c e y=d e limitada aesquerda e a direita por curvas distintas e continuas nessa regio.
(a) D uma representao analtica e grfica de cada uma das regies e as respectivas integrais iteradas deuma funofcontinua sobre tais regies.
(b) D um exemplo satisfazendo essas consideraes.
2.0
0
23. Se 0 4z , use uma integral adequada para calcular o volume do slido delimitado por z e pela
superfcie rosaceana dada pela equao1
sen(2 )2
r = .
2.
00
24. Se S a parte interna, tanto da esfera centrada de raio 4 quanto dos cones dados pelas equaes2 2
z x y= + , 2 2y x z= + e 2 2x y z= + ento d uma representao grfica e analtica de S e calcule
o seu volume.
2.
00
25. Mostre que a divergente do campo quadrando inverso dado por
( )( )
32 2 2
1( , , ) i j kF x y z x x x
x y z
= + +
+ +
ur r r r
nula.
2.
00
26. Calcule o trabalho realizado pelo campo de fora2 2 2 2
1 4( , ) i jF x y
x y x y= +
+ +
ur r r
numa partcula que se
move ao longo da curva C dada por 2 2 4x y+ = de (4, 0) a (0, 4).
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1aAvaliao escrita de Clculo IV (2 chamada) 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 21/06/2007
Aluno (a): Nota:
27.D uma RA1e grfica da regio de integrao para cada integral iterada abaixo e calculesua rea.
3.
00 (a)
2
2
4
4
2
2),(
u
u
dvduvuf (b)
2
1
2
4
2),(
u
u
dvduvuf
2.
00
28.Seja ISa interseo dos slidos delimitados pelas superfcies de equaes 922 =+yx e
922 =+zy . Encontre o volume de IS.
2.
00
29.Corta-se uma parte do plano 1=++ zyx pela superfcie cilndrica de equao
422 =+yx . Esboce a parte cortada e encontre sua rea.
3.
00
30.D a RGe uma RAdo slido Sdelimitado pelos grficos dez-3x2=0,z-4+x2=0,y=0 ez+y-6=0. Encontre o Volume de S.
BOA SORTE
1Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)
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1aAvaliao escrita de Clculo IV 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 19/04/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
31.D uma RA2do domnioDdelimitada pelos grficos das equaesy = senxe y = cosx,
parax=0 e4
x
= . Expresse a integral dupla, ( 1)D
y dA+ sobreDcomo integral iterada, e
encontre o seu valor.
2.
00
32.Use coordenadas polares para determinar o volume do slido Qcorrespondente a regio
interior ao grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2 = 9.
3.
00
33.Esboce o slido no primeiro octante delimitado pelos grficos das equaesz = 4 x2;
x+ y = 2e ache o seu volume.
2.
00
34.Seja 0f(x, y) em toda uma regio Rno plano-xycom derivadas parciais contnuas em
R, Mostre explicitamente que a frmula de integral para achar a rea de uma superfcie
que o grfico defem R dada por [ ] [ ] ++=R
yx yxfyxfA 1),(),(22
.
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2Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)
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BOA SORTE
1aAvaliao escrita de Clculo IV 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 10/05/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
35.Seja D a regio interior ao polgono de vrtices (0, 2); (-4, -2); (4, -2) e exterior aocrculo de raio 1 centrado na origem.
(a) D uma RA3e RG deD.
(b) Encontre a rea deDusando uma integral dupla.
2.
00
Determine ( cos )D
x y dA sobre o domnio delimitado pory=0, y=x2,x = 1. EsboceD e d sua
representao analtica.
2.
00
36.Calcule o volume do slido da interseo dos dois cilindros de equaes x2+y2=1 ex
2+z2=1.
3.
00
37.Trace a RG do slido S delimitado pelos grficos de equaesz = x2+ y2, y=4-x2, x= 0,y = 0 ez = 0. D uma RA e determinar o volume.
BOA SORTE
3Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)
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BOA SORTE
1aAvaliao escrita de Clculo IV 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 19/04/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
38.D uma RA4do domnioDdelimitada pelos grficos das equaesy = senxe y = cosx,
parax=0 e4
x
= . Expresse a integral dupla, ( 1)D
y dA+ sobreDcomo integral iterada, e
encontre o seu valor.
2.
00
39.Use coordenadas polares para determinar o volume do slido Qcorrespondente a regio
interior ao grfico de equaox2+ y2+ z2= 25e exterior ao grfico dex2+ y2 = 9.
3.
00
40.Esboce o slido no primeiro octante delimitado pelos grficos das equaesz = 4 x2;
x+ y = 2e ache o seu volume.
2.
00
41.Seja 0f(x, y) em toda uma regio Rno plano-xycom derivadas parciais contnuas em
R, Mostre explicitamente que a frmula de integral para achar a rea de uma superfcie
que o grfico defem R dada por [ ] [ ] ++=R
yx yxfyxfA 1),(),(22
.
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4Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)
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BOA SORTE
1aAvaliao escrita de Clculo IV 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 19/04/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
42.SejaDa regio interior ao polgono de vrtices (3, 2); (4, 2); (4, 5); (1, 4).
(a) D uma RA5e RG deD.
(b) Encontre a rea deDusando uma integral dupla.
2.
00
43.Determine D
dxdyyx )2( sobre o domnio 1 2D D D= onde:
{ }1 ( , );2 4; 1 2D x y x y= . e { }2 ( , );1 4; 1 3D x y x y= . EsboceD.
2.
00
44.D a RG do slido S delimitado superior e inferiormente pela esfera r2 + z2 = 4 elateralmente pelo cilindro r = 1. Encontre o Volume de S.
3.
00
45.Trace a RG do slido S delimitado pelos grficos de equaes z = 9 x2, z = 0, y = -1 ey = 2. D duas RA distintas possveis a partir de S e as respectivas escritas de integraisduplas para determinar o volume.
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5Representaes Analticas (RA) e Representao Grfica (RG)
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BOA SORTE
3aAvaliao escrita de Clculo IV de 13:30 s 15:10 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 03/07/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
46.Prove que o rotacional e o divergente de um campo vetorial quadrado inverso so nulo ezero, respectivamente.
2.
00
47.Calcule 2 3C
xydx x y dy+ , onde C grfico dex=y3de (0,0) a (2,8).
2.
00
48.Sef e F so uma funo escalar e um campo vetorial, respectivamente, com derivadas
parciais contnuas. Verifique a identidade: rot(f) = rot (rot F).
3.
00
49.A fora que atua em um ponto P do plano-xy dada por F(x, y)=3
4r
r, onde r o vetor
posio de P. Ache o trabalho realizado por Fao longo do semicrculo de raio a.
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BOA SORTE
3aAvaliao escrita de Clculo IVde 20:20 s 22:00 2007.1
Professor:Afonso Henriques Data: 03/07/2007
Aluno (a): Nota
3.
00
50.Uma curva C admite a parametrizao: sen senx a t = , sen cosy b t = , cosz c t= ;0t , com a, b, c e constantes positivos.
i. Mostre que Cest na superfcie Sdada pela equao2 2
2 2 22 2
x yz c c
a b
= +
.
ii. Descreva C e S.
2.
00
51.Um ponto se move sobre uma curva Cde modo que o vetor posio r(t)e vetor tangenter(t) sejam sempre ortogonais para todo t. Prove que Cest sobre uma esfera centrada naorigem.
3.
00
52.Prove que o rotacional e o divergente de um campo vetorial quadrado inverso so nulo ezero, respectivamente.
2.
00
53.Calcule 2 3C
xydx x y dy+ , onde C grfico dex=y3de (0,0) a (2,8).
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