Download - Propuestos de calculo de integrales dobles y triples

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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5. EJERCICIOS PROPUESTOS

A continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.

5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 1

1. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuación

x y z a+ + = y sobre el rectángulo [ ] [ ]0 0D ,a ,a= × , donde a +∈ , considerando una partición de 9

subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra:

a. Al punto medio de cada subcuadrado.

b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.

2. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie 2 216z x y= − − e inferiormente

por el cuadrado [ ] [ ]2 2 2 2D , ,= − × − , tomando como punto de muestra al centro de cada

subrectángulo y considerando:

a. 4n = y 2m = b. 6n = y 3m =

3. Resuelva la integral iterada ( )Df x, y dA∫∫ , donde:

a. ( )f x, y a x y= − − y [ ] [ ]0 0D ,a ,a= × b. ( ) 2 216f x, y x y= − − y [ ] [ ]2 2 2 2D , ,= − × −

c. ( ) 2f x, y x y= − y [ ] [ ]0 2 0 1D , ,= × d. ( ) 2

2yf x, y x= + y [ ] [ ]4 3 2 1D , ,= − × − −

e. ( ) ( )2 3f x, y x y= + y [ ]20 1 53

D , , = × f. ( ) 2 2f x, y x y= + y [ ] [ ]0 1 0 1D , ,= ×

4. Calcule la integral doble ( )Df x, y dxdy∫∫ , y plantee la integral iterada en el orden de integración

inverso. Además, dibuje la región D , donde:

a. ( ) 2f x, y x y= − y ( ){ }1 4 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

b. ( )f x, y x y= + y ( ){ }0 1 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

c. ( )f x, y xy= y ( ){ }1 0 1D x, y y x y y= ≤ ≤ + ∧ ≤ ≤



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d. ( ) ( )32 3f x, y x y= + + y ( ) 0 4 42xD x, y x y x = ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

e. ( ) 32f x, y x y= − y ( ){ }2 40 1D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤

f. ( ) xyf x, y e−= y ( ){ }2 20 0 1D x, y x y x y= ≥ ∧ ≥ ∧ + ≤

g. ( ) 2 2f x, y x y= + y ( ){ }2 2 2 20 1 2 0D x, y y x y x y x= ≥ ∧ + ≥ ∧ + − ≤

h. ( ) 2 32f x, y x y= + y ( ){ }24 0 6 3D x, y y x x y y x= ≤ − ∧ ≥ ∧ ≥ −

i. ( )f x, y x y= + y ( ){ }2 4D x, y y x y x= ≤ ∧ ≥ −

j ( ) 2yf x, y xe= y ( ){ }20 9D x, y x x y= ≥ ∧ ≤ ≤

h. ( ) 3 2f x, y x y= + + y ( ){ }23 2D x, y y x x y x= ≤ − − ∧ ≥

5. Calcule la integral doble Dxdxdy∫∫ , siendo D el paralelogramo de vértices: 2 1

3 3, − −

, 2 1

3 3,

,

4 13 3,

y ( )0 1,− .

6. Calcule la integral doble 2

2 2D

x dxdyx y+∫∫ , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por

las rectas y x= , y x= − y 1x = .

7. Calcule la integral doble ( ) ( )2 2

Dx y sen x y dxdy− +∫∫ , siendo D el triángulo cuyos vértices son:

( )0,π , ( )2 ,π π y ( )2,π π .



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1. Calcule ( )122

Bx y z dxdydz−+ + +∫∫∫ donde [ ] [ ] [ ]0 2 0 1 1 3B , , ,= × × − .

2. Calcule Bzdxdydz∫∫∫ donde ( )

2 2 2

2 2 20 0 0 1x y zB x, y,z x y za b c

= ≥ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ + + ≤

.

3. Calcule ( )Bx y dxdydz+∫∫∫ donde ( ) ( ){ }2 24 16B x, y,z x y z= + ≤ ≤ .

4. Calcule ( )23Bx y dxdydz−∫∫∫ donde ( ){ }2 2 24B x, y,z y z x y= ≤ ≤ − − .

5. Calcule Bdxdydz∫∫∫ donde ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .

6. Calcule 2B

x yz dxdydz+∫∫∫ donde B es el sólido limitado por las superficies: y x= ,

2y x= , ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .

7. Calcule 2 3

Bx yz dxdydz∫∫∫ donde B es el sólido limitado por las superficies: 2 2y x= y

2 8z x= .



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1. Calcule el área entre las circunferencias 2 21 4 0C : x y y+ − = y 2 2

2 2 0C : x y y+ − =

2. Plantee el volumen del sólido ( )2 2 2

2 2 20 0 0 1x y zB x, y,z x y za b c

= ≥ ∧ ≥ ∧ ≥ ∧ + + ≤

,

empleando integrales dobles y triples.

3. Calcule el volumen del tetraedro acotado por los planos: 0x = , 0y = , 4z = y 2z x y= + .

4. Para el sólido B . Calcule: masa, momentos estáticos, centro de masa y momentos de inercia,

siendo ( ){ }0 0 4 2B x, y,z x y z z x y= ≥ ∧ ≥ ∧ ≤ ∧ ≥ + .

5. Demuestra que los momentos estáticos para el sólido B son: ( )2 2

3xMM b c= + ,

( )2 2

3yMM a c= + y ( )2 2

3zMM a b= + , donde M es la masa del sólido y B está definido

como: ( ){ }0 0 0B x, y,z x a y b z c= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ .

6. Plantee el volumen del sólido acotado por el cilindro 2 2 2x y x+ = , sobre el plano 0z = y bajo el

paraboloide 2 2z x y= + .

7. Calcule el centro de masa y los momentos de inercia del sólido definido como:

( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ .



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1. Calcule la integral ( )

32 2 2

1

1Ddxdy

x y+ +∫∫ donde ( ){ }0 1 0D x, y x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ,

empleando un cambio de variable adecuado.

2. Calcule la integral doble Dxdxdy∫∫ , siendo D el paralelogramo de vértices: 2 1

3 3, − −

, 2 1

3 3,

,

4 13 3,

y ( )0 1,− , empleando un cambio de variable, de manera que los nuevos vértices sean: ( )0 0, ,

( )1 0, , ( )11, y ( )0 1,

3. Calcule la integral 2

2 2D

x dxdyx y+∫∫ donde ( ){ }2 20 1 2D x, y x x y x= ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ − ,

empleando el cambio de variable: x v u= − y y u v= + .

4. Calcule el volumen del sólido acotado por el cilindro 2 2 2x y x+ = , sobre el plano 0z = y bajo el

paraboloide 2 2z x y= + , empleando un cambio de variable adecuado.

5. Dibuje el sólido acotado por la superficie cerrada 1r cosφ= − , definida en coordenadas esféricas.

Además, calcule el volumen de dicho sólido, empleando coordenadas esféricas.

6. Determine el centro de masa para el sólido limitado por las superficies: 2 2 2z x y= + ,

2 2 2 2x y z+ + = , donde 0z ≥ y la densidad es proporcional a la distancia en cada punto,

empleando un cambio de variable adecuado.

7. Determine momento de inercia de un sólido acotado por la superficie 2 2 2 25x y z+ + = , cuya

densidad viene dada ( ) ( )2 2 2x y zx, y,z eρ− + +

= , empleando un cambio de variable adecuado.

8. Calcule el volumen del sólido ( ){ }2 2 22 0B x, y,z x y x z y= + ≤ ∧ ≤ ≤ , empleando coordenadas

cilíndricas.