Boira Editorial
Pro
blem
es m
atem
àtic
s se
nse
esfo
rç -
Com
ens
enya
r el
pro
cés
men
tal a
Prim
ària
i S
ecun
dària
Com ensenyar el procés mental a Primària i Secundària
Daniel Gabarró i Marta Bellmunt
Basat en una metodologia deJavier López Apesteguía
Problemesmatemàtics
...pas a pas
Problemesmatemàtics
Com ensenyarel procés mental
a Primària i Secundària
...pas a pas
Boira Editorial
Redacció: Marta Bellmunt – [email protected]ó d’art: Jorge Herreros – [email protected]
© Boira [email protected]
Primera edició: gener de 2018
Dipòsit legal: L 39 - 2019ISBN: 978-84-16680-66-5
1. Introducció:ensenyarapensarmatemàticament ................. 06
2. Com ensenyar… ...................................................................... 08
2.1 Problemes de suma-resta ............................................... 09
2.2 Problemesdemultiplicació-divisió ................................. 19
2.3 Adistingirproblemesdesuma-restadeproblemes demultiplicació-divisió .................................................. 29
2.4 Problemes de dues operacions ...................................... 31
2.5 Problemes de fraccions ................................................... 41
2.6 Problemes amb sistema mètric decimal ....................... 55
2.7 Problemesdesuperfíciesivolums ................................. 63
3. Ampliació: cicle superior i ESO ................................................ 70
3.1 Problemesdediversesoperacionsperdoscaminsdiferents ........................................................................... 71
3.2 Problemesdepercentatges ............................................ 85
4. Conclusió ................................................................................ 100
Índe
x
/ 6 /
1INTRODUCCIÓ:
ENSENYAR A PENSAR MATEMÀTICAMENT
/ 7 /
Perresoldrequalsevolproblemamatemàtic,laclauésensenyar a pensar matemàticament.Ésadir,adeduirquinaéslarelacióquehihaentrelesdadesiaplicar-la.Així,podremdecidirdeformaraonadaencadascundelsquatrepassosdelprocésderesolució.Aquestssón:
(1) Llegir per identificar les dades
(2) Ordenar les dades en un diagrama de resolució
(3) Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la
(4) Escriure la resposta i valorar si és lògica
Seguintaquestsquatrepassosdemaneraordenada,descobriremlarelacióquehihaentrelesdadesi,gràciesaaquestarelació,trobaremlasoluciódelproblema.Conseqüentment,ésmoltimportantensenyaralnostrealumnataexecutarcorrectamentcadapasperevitarembussoscognitius.
Senseunmètodeclarperensenyararesoldreelsproblemes,l’alumnatnotindràeinesperenfrontar-s’hiitendiràaviurelesmatemàtiquescomunaàreaincomprensibleiinsuperable.Encanvi,sielsensenyemaresoldreunproblemapasapas,elsajudaremacrearunamentmatemàticaqueelsacompanyaràalllargdelasevavida.
Aquestametodologiaésútilperatotl’alumnati,especialment,peraaquellsambdificultatsperresoldreelsproblemeso,simplement,quenoelsagradenlesmatemàtiquesperquènolesentenen.Aplicant-la,sabràsquanunalumneestàraonantcorrectamenti,quannohoestiguifent,onfallaicomensenyar-li-hocorrectament.L’alumne/a,perlasevapart,sabrà què està fent, per què i per a què.D’aquestamanera,elprocésderesoluciódeproblemesmatemàticstéunsentitievitemqueesrebutgi.Perquèalsalumnessíqueelsagradaresoldreproblemes,elquenoelsagradaéslaincomprensió.
Et ve de gust conèixer aquesta metodologia i ajudar el teu alumnat?
/ 8 /
2COM ENSENYAR...
/ 9 /
Enl’apartatanterior,hemafirmatqueperensenyararesoldreelsproblemesmatemàticsésfonamentalensenyarapensarmatemàticament.Ésadir,veurelarelacióquehihaentrelesdades.
Iquinaéslarelacióquehihaentotselsproblemesdesuma-resta?
Com podem ensenyar els passos anteriors aplicats a un problema de suma-resta?Vegem-hoatravésdel’exemplesegüent:
El meu avi té a la seva granja ovelles i gallines. Si hi ha 25 animals i 15 són ovelles, quantes gallines té el meu avi?
Llegir per identificar les dades
Enaquestprimerpas,s’acostumenacometrealgunserrors,jaqueescreuquenomés“entenentelproblema”jan’hihaprou.Peròaixònoéscert.Lacomprensiólectoraésnecessàriaperònosuficient.Elquenos’explicaésque“entendreelproblema”comportaidentificarlarelacióqueconnectalesdadesidescobrirquinpaperjugacadadadaenaquestarelació.
2.1 PROBLEMES DE SUMA-RESTA
En els problemes d’una operació de suma-resta, la relació entre les xifressempreéslamateixa:hihaduesomésParts (P) i un Total (T). SiensdonenelvalordelesPartsienspreguntenpelTotal,estemdavantd’unproblemadeSUMA.SisabemelTotaliunadelesParts,ésunproblemadeRESTA.
/ 10 /
Tenintencompteaquestobjectiu,ésfonamentalidentificarlesdadesdesdetresperspectivesdiferents:dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.
• Dades simbòliques (Part-Part-Total= PPT):Lesnecessitemperquèensindiqueneltipusderelacióqueconnectalesdades.Solamenthihaduespossiblesrelacions,ladesuma-resta i la de multiplicació-divisió. Enelsproblemesdesuma-restasemprehihaurà:
Duesomésparts,quesempreseranquantitatsméspetitesqueeltotal,alesqualsdenominarem“P”.
UnaquantitatTOTAL,quesempreseràmésgranquelesparts,alaqualdenominarem“T”.
• Dades explicatives (dades redactades amb paraules): les necessitem perconcretaraquèesrefereixenlesparts(PiP)iaquinaeltotal(T)encada problema.
• Dades numèriques (quantitats):lesnecessitemperpoderrealitzarlesoperacions.
Enaquestproblema,elTotal(T)sónelconjuntd’animalsquehihaalagranja,ésadir,25animals.LesPartsqueelcomponensón15ovelles(unapart,P)iunnombredesconegutdegallines(unaaltrapart,P).
PPT
/ 11 /
Aquestarelacióesrepresentavisualmentdelamanerasegüent:
Dada simbòlica
Dada numèrica
Dada explicativa
15Ovelles Gallines Animals a
la granja
? 25TP P
Per resoldre de forma raonada un problema de suma-resta,ésconvenientpracticarambelnostrealumnataquestprimerpasabansdepassaralpuntsegüent.Nos’hadesaltar,nifer-seambpresses.Sidonemproutempsperquètotalaclassehodomini,larestadelprocésseràextremadamentsenzill.Sensedominaraquestpunt,resultaràgairebéimpossible.
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veuremquinarelaciólesconnectaiquinpaperjugacadascuna en aquesta relació.
Aixípodremdeduir,deformaraonada,l’operacióquehemderealitzarperresoldre el problema.
/ 12/
) Quina dada em pregunten? ) Quines dades necessito per esbrinar-ho?
25
15 Ovelles
GallinesAnimals a la granja
?PP T
Comespotobservar,siesdominaelprimerpunt,aquestpasésmoltsenzill.Aquestdiagramaensportadeformalògicaalpassegüent,ondecidiremquinaoperaciórealitzar.
3 Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la
> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer
Gràciesaldiagrama,ésevidentquinaoperacióescollir.Perquè?Perquèenelsproblemesdesuma-restanoméshihaduesoperacionssegonselquebusquem:
• PertrobarelTotal(T),SUMOlesParts(P).Explicatdeformasimbòlica,seria:
T = P + P
• PertrobarunaPart(P),RESTOl’altraPart(P)delTotal(T).Explicatdeformasimbòlica,seria:
P = T - P
P = T - P
/ 13 /
ComquebusquemunadelesParts(P)delproblema,l’operacióquehemdeferésunaresta.Enaquestcas,l’operacióqueescollimfareferènciaala(P)deladadaexplicativa“gallines”:
P = T - P
T = P + PP = T - P
> Calcular l’operació
Unavegadahemescollitl’operació,lacalculemenl’espaireservatperfer-ho:
25- 15
10_______
4 4. Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestúltimpunt,s’escriuelresultatresponentalapreguntadelproblema: quantes gallines té el meu avi?
Elresultats’hadecomprendreenelmomentdellegir-lo,perlaqualcosanopotestarescritúnicamentambnombres.Escriuresolament“10”noseriacorrecte,comtampoc“10gallines”,jaquenosónunesgallinesqualsevol.
Resultat: El meu avi té 10 gallines
/ 14 /
> Valorar si la resposta és lògica
Entotselsproblemesdesuma-resta,elTotal(T)sempreseràmésgranquelesParts(P).Peraixò,animareml’alumnatacomprovarsielresultatquehanescritconcordaambaquestaafirmació.Pervalorar,primercompletemlarelacióambtoteslesdadesidesprésresponemalapregunta:elTotalésmésgranquelesParts(P)?
15Ovelles Gallines Animals
a la granja
10 25TP P
ElTotal(T)esmésgranquelesParts(P)?Sí/No
D’aquestamanera,l’alumnatpodràdeduirsilarespostaquehanescritéslògica.Quanfemaquestpas,nopodemsaberambcertesasielresultatdel’operacióéscorrecte,noméssiéslògic.SicadascunadelesParts(P)ésméspetitaqueelTotal(T),oelTotal(T)ésmésgranquelesduesParts(P),sabremquelarespostatésentit.
/15/
COM AVALUAR UN PROBLEMA DE SUMA-RESTA? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unúnicproblemadesuma-resta:
1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts
a)0,1perlesdadessimbòliques
b)0,1perlesdadesnumèriques
c)0,1perlesdadesexplicatives
2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts
3. Calcular:0,2punts
a)0,1perl’operaciótriada
b)0,1pelcàlcul
4. Respondreivalorar:0,2punts
a) 0,1perlaresposta
b)0,1perlavaloració
NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/afallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,tindrà0,6punts.Aixídonemvaloralprocésmentalipodemdescobrirquinspassosdelprocésnodomina.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!
/ 16 /
ERRORS A EVITAR EN ELS PROBLEMES DE SUMA-RESTA: 1. Hauríemd’evitarfrasesdeltipus:“si hi ha la paraula “més”, “guanyar”… és un problema de suma; si hi ha la paraula “menys”, “perdre”…és un problema de resta”. Aixòésaplicarlalògicalingüísticaenllocd’aplicarlalògicamatemàtica,laqualcosaelspotportaraerror.Aixòs’evidenciaenelcassegüent:
Exemple: El Joan té 40 anys i la seva filla 16. Quants anys té el pare més que la filla?
Siapliquéssimlalògicalingüísticasumaríemilarespostaseriaque,encaraqueelparesolamentté40anys,lafillaenté56.I,pertant,seriamésgranqueelpare.Absurd!
2. “Ves al teu lloc i pensa-ho una altra vegada”. En els problemes d’unaoperacióaquestafraseimplicaquel’alumne/acanviaràl’operació,perònopensarà.Finsitot,creuràquepensarés “provar” i aixòcrearàunembúscognitiu.
3. Evitemqueelsproblemesesconverteixinenunaodiversesoperacionsaresoldre.Noelsagrupemperl’operacióqueelsresol.Sil’alumne/aintueixqueelsproblemesestanagrupatsd’aquestamanera,lasevatascaesreduiràaagafarlesdadesnumèriquesiaferl’operaciócorresponent.“Estemtreballantaclasselasuma,doncshedesumar”.D’aquestamanera,nohiharaonament.Perquèsifoselcas,hauríemd’identificarquinesdadessónlespartsiquinadadaéseltotalperveurecomestanrelacionades.
4. I,finalment,nodonemindicacionsdeltipus:“utilitza la resta/suma per resoldre aquests problemes”.
/ 17 /
Perpracticaraquesttipusdeproblemes,enelsquadernsDominar els problemes matemàtics 1 i 2 de Boira Editorial,disposemdediversosexercicisqueajudenaintegrarcadascundelspassos.Amés,inclouenunaplantillacomaquestaqueespotfotocopiar,enlaqualestreballendeformaexplícitaelsquatrepassosdelprocés:
/ 18 /
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 19 /
2.2 PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ
Enelprimerapartat,hemafirmatqueperensenyararesoldreelsproblemesmatemàticsésfonamentalensenyarapensarmatemàticament.Ésadir,veurelarelacióquehihaentrelesdades.
Iquinaéslarelacióquehihaentotselsproblemesdemultiplicació-divisió?
Com podem ensenyar els passos anteriors aplicant-los en un problema de multiplicació-divisió?Vegem-homitjançantl’exemplesegüent:
L’Anna ha col·locat 6 llapis en cadascun dels tres pots que hi ha damunt la taula. Quants llapis hi ha en total?
Llegir per identificar les dades
Hemvistquelacomprensiólectoraésnecessària,perònosuficient.Peraixò,ésfonamentalidentificarlarelacióqueconnectalesdadesidescobrirquinpaperjugacadadadaenaquestarelació.
En els problemes de multiplicació-divisiótambéhihaunarelaciódeduïbleentrelesxifres.SemprehihaunaQuantitat Unitària estable (U) que es repeteix un nombre de Vegades (V) i una Quantitat Total (T). SisabemlaQuantitatUnitàriailesVegades,trobaremlaQuantitatTotalMULTIPLICANT.SisabemlaQuantitatTotalilaQuantitatUnitària,olaQuantitatTotalilesVegades,trobaremelqueens falta DIVIDINT.
/ 20/
Ambaquestobjectiu,calidentificarlesdadesdesdetresperspectivesdiferents: dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.
• Dades simbòliques(QuantitatUnitària-Vegades-QuantitatTotal = UVT).Lesnecessitemperquèensindiquineltipusderelacióqueconnectalesdades.Enelsproblemesdemultiplicació-divisiósempresón:
U UnaQuantitatUnitària(U),queéslaquantitatqueesvarepetint.
V UnnombredeVegades(V), queesrepeteixlaQuantitatUnitària.
T LaQuantitatTotal(T), queinclouràlaQuantitatUnitàriaundeterminatnombredevegades.
• Dades explicatives (dades redactades en paraules): les necessitem per concretaraquèesrefereixenlaQuantitatUnitària(O),lesVegades(V)ilaQuantitatTotal(T)encadaproblema.
• Dades numèriques (quantitats):lesnecessitemperpoderrealitzarlesoperacions.
EnaquestproblemasabemquehihaunaQuantitatUnitàriaqueesrepeteix:elnombredellapisencadapot(6).TambésabemqueaquestaquantitatesrepeteixtresVEGADES(3).Finalment,enspreguntenperlaQuantitatTotal,ésadir,pelnombredellapisenTOTSelspots.
/21/
Aquestarelacióespotrepresentarvisualmentdelamanerasegüent:
Dada simbòlica
Dada numèrica
Dada explicativa
6Llapis en UN pot
Pots Llapis entre
TOTS els pots
3 ?TU V
Igualqueenelsproblemesdesuma-resta,perresoldredeformaraonadaun problema de multiplicació-divisió,ésrecomanablepracticarambelnostrealumnataquestprimerpasabansdepassaralsegüentpunt.Nos’hadesaltar,nifer-seambpresses.Sidonemeltempssuficientperquètotalaclassehodomini,larestadelprocésseràextremadamentsenzill.Sensedominaraquestpunt,resultaràgairebéimpossible.
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veuremquinarelaciólesconnectaiquinpaperhitenenen aquesta relació.
Aixípodremdeduir,d’unamaneraraonada,l’operacióquehemderealitzarper resoldre el problema.
/ 22/
) ¿Que dato me preguntan? ) ¿Que datos necesito para averiguarlo?
3
6Llapis en UN pot
Llapis entre
TOTS els pots
Pots?
UVT
3 Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar i calcular-la
> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar
Enelsproblemesdemultiplicació-divisió:
• Per trobar la Quantitat Total (T), MULTIPLICOlaQuantitatUnitària(U)perlesVegades(V).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:
T = U × V• Per trobar la Quantitat Unitària (U), DIVIDEIXOlaQuantitatTotal(T)entrelesVegades(V).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:
U = T : V•PertrobarlesVegades(V),DIVIDEIXO la Quantitat Total (T) entre la QuantitatUnitària(O).Aquestarelacióexplicadadeformasimbòlica,seria:
V = T : U
/23/
Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T).Pertant,marcaremambunacreul’operacióquecalferentreaquestestresopcions:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
> Calcular l’operació
Enaquestpunt,calculareml’operaciócorresponentenl’espaireservatperfer-ho:
6x 3
18_______
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestúltimpunts’escriuelresultatdonantrespostaalapreguntaqueensformulavenenelproblema:quantsllapishihaentotal?
Remarquemqueésimportantnoescriureúnicamentlaxifra,sinólarespostacompleta.Ésadir,lainformaciónumèricahad’anaracompanyadadelainformacióexplicativa.
Resultat: Entre tots els pots hi ha 18 llapis
/ 24/
> Valorar si la resposta és lògica
Entotselsproblemesdemultiplicació-divisiólaQuantitat Total (T) éselresultatdemultiplicarlaQuantitat Unitària (U) per les Vegades (V). Peraixò,animareml’alumnatacomprovarsielresultatquehanescritconcordaambaquestaafirmació.
Pervalorar,primercompletemlarelacióambtoteslesdadesidesprésresponemalapregunta:ÉslaQuantitat Total (T)elresultatderepetirdiversesVegades (V) les Unitats (U)?
6Llapis en UN pot
Pots Llapis entre TOTS els pots
3 18TU V
TÉselresultatderepetirvegadesunitats?-Sí/No18
V3
U6
/25/
COM AVALUAR UN PROBLEMA DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unúnicproblemademultiplicació-divisió: 1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts
a)0,1perlesdadessimbòliques b)0,1perlesdadesnumèriques c)0,1perlesdadesexplicatives 2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts 3. Calcular:0,2punts
a)0,1perl’operaciótriada b)0,1pelcàlcul 4. Respondreivalorar:0,2punts
a) 0,1perlaresposta b)0,1perlavaloració NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/afallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,tindrà0,6punts.Aixídonemvaloralprocésmentalipodemdescobrirquinspassosdelprocésnodomina.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!
/ 26/
Perpracticarelsproblemesdemultiplicació-divisió,enelsquadernsDominar els problemes matemàtics 3 i A1 de Boira Editorial, s’hanseqüenciatelsexercicis,demaneraquepodràstrobar,desdeproblemesenelsqualss’abordanomésunapartfinsaexercicisenelsqualss’abordaelproblemaenlasevatotalitat.
Així,s’aconsegueixintegrarpasapaselprocésmentalquepermetdominarelsproblemesmatemàtics.Amés,inclouunaplantillaqueespotfotocopiarperquèl’alumnatpuguiresoldretotselsproblemesdelquadern.Aquestaéslaplantilla:
/27/
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 28/
/29/
2.3 A DIFERENCIAR PROBLEMAS DE SUMA-RESTA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN-DIVISIÓN
Hihaduesmaneresperdistingirunproblemadesuma-restad’unaltredemultiplicació-divisió:
1. Observant com es forma la QUANTITAT TOTAL (T).
Tinc2estoigs.Enunhiha5 retoladorsienl’altre8. Quants retoladors tinc entre els dos estoigs?
Tinc4estoigs.Encadaestoighiha9 retoladors. Quants retoladors tinc entre tots els estoigs?
LaQUANTITAT TOTAL (T) es forma apartirdequantitatsdiferentsqueno es repeteixen (P i P)
LaQUANTITAT TOTAL (T) es forma repetintlamateixaquantitat(U) unnombredeVegades(V)
En aquesta situació, es repeteix alguna quantitat
Sí,quina?/No
En aquesta situació, es repeteix alguna?
Sí, quina? El 9/No
PROBLEMES DE SUMA-RESTA
PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ
5 9 9 9 98
P5
P8
T?
U9
V4
T?
/ 30 /
2 Observant si fan referència al MATEIX concepte o a DOS CONCEPTES DIFERENTS.
Tinc2estoigs.Enunhiha5 retoladorsienl’altre8. Quants retoladors tinc entre els dos estoigs?
Tinc4estoigs.Encadaestoighiha9 retoladors. Quants retoladors tinc entre tots els estoigs?
ToteslesdadesfanreferènciaalMATEIXconcepte
(ex: RETOLADORS)
LesdadesfanreferènciaaDOSconceptes diferents
(ej:RETOLADORS i ESTOIGS)
PROBLEMES DE SUMA-RESTA
PROBLEMES DE MULTIPLICACIÓ-DIVISIÓ
? ?
5 8
T T
P P
Retoladors en els dos estoigs
Retoladors en TOTS els
estoigs
Retoladors en un estoig
Retoladors en UN estoig
Retoladors en l’altre estoig
Estoigs
9 4U V
/ 31 /
2.4 PROBLEMES DE DUES OPERACIONS
Ensenyaral’alumnatapensarmatemàticamentésensenyar-liaveurelarelacióentrelesdades.Comesfaenproblemesdeduesoperacions?
Comensenyar-hod’unamanerafàcilisenzilla?Vegem-hoambl’exemplesegüent:
En un avió hi ha 125 maletes petites i 35 maletes grans. Si sabem que cada passatger porta dues maletes, quants passatgers viatgen a l’avió?
En un problema d’una operació, comelsquehemexplicatanteriorment,sempretindremelvalordetoteslesdadesquenecessitemperrespondrealapreguntadelproblema.
Encanvi,en els problemes de dues operacions, ensfaltaràelvalord’unadelesdades,quedescobriremmitjançantunaoperacióprèvia.Aaquestadadal’anomenarem“dada d’enllaç” iéslaqueuneixlesduesrelacions.Peridentificar-la,l’assenyalaremambunasterisc(*). Unavegadahàgimdescobertelseuvalor,podremcalcularl’operacióquedonarespostaalapreguntadelproblema.
Pertant,quanensenfrontemaunproblemadeduesoperacions,necessitaremidentificarduesrelacions,unaperacadaoperació.Icomhemvistenelsapartatsanteriors,aquestespodenserdedostipus:PPT(suma-resta),enlesqualshihadues o més Parts (P) i un Total (T); o UVT (multiplicació-divisió),enlesqualssemprehihaunaQuantitat Unitària (U) que es repeteix una sèrie de Vegades (V) i una Quantitat Total (T).
/ 32/
Llegir per identificar les dades
Volemremarcarquelafinalitatdelalecturaésidentificarlesrelacionsentrelesdades.Amés,lalecturaensajudaarebutjarlainformaciódelesdadesquenoésrellevantperresoldreelproblema.Perexemple,enaquestcas,“petites”i“grans”noésrellevant,elqueésimportantésquesónmaletes.
Enelsproblemesdeduesoperacions,hemd’identificarlesdadesdelesduesrelacionsdesdetresperspectives:dades simbòliques, dades explicatives i dades numèriques.
D’unabanda,buscaremlarelació principal.Aquestarelaciócontélapreguntadelproblema,perònopodemcalcular-laperquèensfaltaelvalord’unadelesdades.
D’altra,trobemlarelació complementària. Aquesta relació ens permet descobrirelvalordeladadad’enllaçqueensfaltavaenlarelacióanterior.
Enaquestproblema,larelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema,ésunarelacióUVT(multiplicació-divisió)querepresentaríemdelamanerasegüent:
2
35
Maletes que duu un passatger
Maletes petites
U
P
?
125
Passatgers
Maletes grans
V
P
Maletes que duen entre TOTS els
passatgers
Maletes entre tots els
passatgers
T
T
Enaquestproblema,larelació complementària, la queenspermetràdescobrirelvalorladadad’enllaç,ésuna relació PPT(suma-resta),querepresentaríemdelasegüentmanera:
Dada d’enllaç
/ 33 /
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Estractad’elaborarunpladeresoluciódeformaexplícita.Hemdesaberquinadadaenspregunteniquinesdadesnecessitemperesbrinar-ho.D’aquestamanera,veiemquinesrelacionslesconnecteniquinpaperjugacadascunad’ellesenaquestesrelacions.
Així,podremdeduir,d’unamaneraraonada,lesduesoperacionsquehemde fer per resoldre el problema.
Estracta,pertant,deconnectarlesduesrelacions.
1. Per què necessitem la RELACIÓ PRINCIPAL? Perrespondrealapreguntadelproblema(?).
2. Per què necessitem la RELACIÓ COMPLEMENTÀRIA? Per esbrinar el valordeladadaquenecessitemenlarelacióprincipal(*).
PP
Passatgers
Maletes du UN passatger
Maletes petites
Maletes gransMaletes duen TOTS
els passatgers
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
VU
T T
/ 34 /
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les
Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelaciócomplementària.ComqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta:
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
Acontinuació,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,laqueuneixlesduesoperacions.
Operació corresponent a la relació complementària:
125+ 35
160_______
/35/
Totseguit,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dada queensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Ambelvalordeladadaquenoteníem,iquehemdescobertgràciesal’operacióanterior,calculeml’operaciócorresponentalarelacióprincipal.
Operació de la relació complementària:
160 280_______
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Comhemcomentatanteriorment,escriureelresultatnoconsisteixúnicamentaescriurelaxifra.Aquestahad’anaracompanyadadelasevaexplicació.Enaquestacas,seria:
Resultat: A l’avió viatgen 80 passatgers
/ 36 /
> Valorar si la resposta és lògica
SilarelacióprincipalfosPPT(suma-resta),enspreguntaríemsielTotal(T)ésmésgranquelesParts(P)percomprovarsilarespostaéslògica.ComqueenaquestcaslarelacióprincipalésUVT(multiplicació-divisió),enspreguntaremsilaQuantitatTotal(T)ésfruitdemultiplicarlaQuantitatUnitària(U)undeterminatnombredevegades(V).
Enaquestexemple,primercompletemlarelacióprincipalescrivintlesdadesidesprésresponemlapregunta.
2Maletes duu UN
passatger
Passatgers Maletes entre TOTS els
passatgers
80 160TU V
T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No160 80 2
/ 37 /
COM AVALUAR UN PROBLEMA DE DUES OPERACIONS? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unsol problema de dues operacions: 1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts
a)0,1perlesdadessimbòliquesd’ambduesrelacions b)0,1perlesdadesnumèriquesd’ambduesrelacions c)0,1perlesdadesexplicativesd’ambduesrelacions 2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts 3. Calcular:0,2punts
a)0,1pertriarlesoperacionscorrectes b)0,1pelcàlculdelesoperacions 4. Respondreivalorar:0,2punts
a) 0,1perlaresposta b)0,1perlavaloració NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sifallaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anteriornoéscorrecte,l’alumne/atindrà0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!
Sil’alumne/afacorrectamentelprimerielsegonpas,potobtenir0,6punts.Perquè?Perquèenrealitat,identificarlesdadesiorganitzar-lesenundiagramaésnuclear.Apartird’aquí,ésinevitablededuirelsresultats.Amés,lesdificultatsquepodensorgirenelsúltimspassossónmésfàcilsdesuperarqueenelsprimers,perlaqualcosahemdeprestar,aaquestsprimerspassos,lamàximaatenció.
/ 38 /
Perpracticarelsproblemesdeduesoperacions,enelquadernDominar els problemes matemàtics 4 de Boira Editorial,s’hanseqüenciatelsexercicis,detalmaneraquepodràstrobar,desdeproblemesenelsqualss’abordanomésunapartfinsaexercicisenelsqualss’abordaelproblemaenlasevatotalitat.
Així,s’aconsegueixintegrarpasapaselprocésmentalquepermetdominarelsproblemesmatemàtics.Amés,inclouunaplantillaqueespotfotocopiarperquèl’alumnatpuguiresoldretotselsproblemesdelquadern.Aquestaéslaplantilla:
/ 39 /
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 40 /
/ 41 /
2.5 PROBLEMA DE FRACCIONS
Perensenyarapensarmatemàticament,ésadir,perquèelnostrealumnatvegilarelacióentrelesdadesipuguideduirlesoperacionsquecalfer,hemd’evitarexplicareltruchabitualde“multiplicarpeldedaltidividirpeldebaix”.Elqueconvéfer,encanvi,ésensenyar-losapensaratravésd’unmètodequecondueixideformalògicaalaresoluciódelproblema.
L’únicacosaqueaconseguimambl’úsdelstrucsésgenerarembussoscognitiusenelnostrealumnat.L’alumnecreuqueestàresolentelproblemaquanenrealitatnol’enténi,conseqüentment,nopotavançar.
Vegem-hoambelsegüentexemple:
Si s’han venut les 5/7 parts de 560 entrades, quantes entrades s’han venut?
Sifemcasdeltruc,primermultiplicaríempelnumerador,ésadir:
560 x 5 = 2.800 entrades
Peròaquestaoperacióésabsurda:sisolamenttenia560entrades,d’onhansortitaquestes2.800?quèelsestemensenyantmitjançantaquesttruc?
Elqueéslamentabled’aquesttrucésqueensportaalresultatcorrecte.Noobstantaixò,generaunsembussoscognitiusenelnostrealumnatque,alallarga,seranmoltdifícilsdesuperar.
Peraixò,noésmillorensenyarapensaralnostrealumnatmitjançantelssenzillspassosanteriors?
Vegem-hoalespàginessegüents.
/ 42/
Enunproblemareferentalafracciód’unnombre,hihaduesmaneresdeformularlapreguntadelproblema
? ?______ ______
1 2
de de= =
D’unabanda,vegemunexempledelaprimera:
En un jardí volen plantar 125 arbres. Si ahir en van plantar 2/5, quants arbres han plantat?
> Llegir per identificar les dades
Aixòsignificaveurequinaéslarelacióentrelesdadestenintencomptequèensestanpreguntant.Enaquestcas,seria:
?______ de =2
5125
D’aquests5grups, 2jas’hanplantat
Els125arbresestandividitsen5 grups
Arbres que jaestanplantats al jardí
Arbresquevolenplantaraljardí
/ 43 /
> Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
TU
Arbres en TOTS els grups plantats
Grups d’arbres plantats
Arbres que volen plantar al jardí
Grups en els que están dividits els arbres
Arbres en UN grup
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
TU
V V
> Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal realitzar i calcular-la
Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelaciócomplementària.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertantl’opcióvàlidaserà:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Unavegadahemdeciditl’operació,calculem.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,laqueuneixlesduesoperacions.
/ 44 /
Operació corresponent a la relació complementària:
125 525_______
Acontinuació,japodemdecidirl’operaciócorresponentalarelacióprincipalambladadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlaQuantitatTotal(T),assenyalaremaquesta opció:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Araquejahemdescobertelvalordeladadaquenoteníem,calculareml’operacióquecorresponalarelacióprincipal.
Operació corresponent a la relació principal:
25x 2
50_______
/45/
> Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Comenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestcas,lapreguntaera:quants arbres han plantat?
Resultat: Han plantat 50 arbres
> Valorar si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntareferentalarelacióUVT:
25Arbres en UN grup
Grups d’arbres plantats
Arbres en TOTS els grups
2 50TU V
T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No50 2 25
/ 46 /
Ara,vegemun exemple de la segona opció possible en un problema referent a la fracció d’un nombre.
En Marc ha llegit 3/5 parts d’un llibre. Ara va per la pàgina 72. Quantes pàgines té el llibre?
Llegir per identificar les dades
Enaquestprimerpas,veuremquinessónlesrelacionsentrelesdades.Enaquestcas,seria:
?______ de =3
572
D’aquests5grups,3jaelshellegit
Grupsdepàginesquetéelllibre
Pàginesques’hallegit
Pàginesquetéelllibre
/ 47 /
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
TV
Pàgines que té el llibre
Grups de pàgines que té el llibre
Págines llegides
Grups llegitsPàgines en UN grup
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
TV
U U
5
72
3
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions realitzar i calcular-les
Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertantl’opcióvàlidaserà:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
/ 48 /
Després,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,el que uneix les dues operacions.
Operació corresponent a la relació complementària:
72 324_______
Acontinuació,japodemdecidirl’operaciócorresponentalarelació principalambladadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelació UVT (multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlaQuantitatTotal(T),marcaremambunacreu aquesta opció:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Ambelvalordeladadaquenoteníem,iquehemdescobertambl’operacióanterior,calculeml’operaciócorresponentala relació principal.
/ 49 /
Operació corresponent a la relació principal:
24x 5
120_______
4 Escriure el resultat i valorar si és lògic
> Escriure el resultat
Peracabar,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblemaenspreguntaven:quantes pàgines té el llibre?
Resultat: El llibre té 45 pàgines
/ 50/
> Valorar si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifacireferència:
24Pàgines en UN grup
Grups de pàgines que té el llibre
Pàgines que té el llibre
5 120TU V
T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No120 5 24
/51/
COM AVALUAR UN PROBLEMA DE FRACCIONS? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unproblema de fraccions:
1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts
a)0,1perlesdadessimbòliques
b)0,1perlesdadesnumèriques
c)0,1perlesdadesexplicatives
2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts
3. Calcular:0,2punts
a)0,1perl’operaciótriada
b)0,1pelcàlcul
4. Respondreivalorar:0,2punts
a) 0,1perlaresposta
b)0,1perlavaloració
NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/as’equivocaeneltercerpas,al’horadecalcular,il’anterioréscorrecte,tindria0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!
/ 52/
Perpracticarelsproblemesdefraccionsd’unnombre,elsquadernsDominar els problemes matemàtics 5 de Boira Editorial, no solament inclouenaquestaplantillaperal’alumnat,sinóunagranvarietatd’exercicisquepermetenafermarelprocésmental.Així,espotavançarambseguretatcapaproblemesdeméscomplexitat.
/53/
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 54/
/55/
2.6 PROBLEMES AMB SISTEMA MÈTRIC DECIMAL
× 10
Km Hm Dam M Dm Cm Mm
: 10
Enunproblemadelsistemamètricdecimal,ésmoltimportantconèixerlesrespectivesunitatsilessevesequivalències.
Perexemple,quanparlemdemesuresdelongitud:
> Fixa’tenl’exemplesegüent:
El carrer principal de la meva ciutat mesura 4 km de longitud. Cada 200 metres hi ha un tram amb un semàfor. Quants trams amb semàfor hi ha?
Llegir per identificar les dades
Enaquestprimerpasveiemcomesrelacionenlesdades.EnlesduesrelacionsestanimplicadesduesunitatsSMD.Enaquesttipusdeproblemes,calveurequinesoperacionshihaentrelesduesperconvertir-les en la mateixa unitat.
/ 56/
Quinesduesunitats es relacionen en el problema i quines operacionshihaentreelles?
x 1.000
Km
M
: 1.000
Pertant,1m és 1.000 vegades més petit que 1km.
RELACIÓ COMPLEMENTÀRIARELACIÓ PRINCIPAL
200 4Metres de cada tram amb semàfor
Km mesura el carrerU U
? 1.000Metres que mesura el carrer VegadesV VTrams entre semàfors
Metres mesura el carrerT T
Hihaunaaltramaneraderesoldreaquestproblema,queésestablintlarelació principal en Km:U=Kmdecadatramambsemàfor(*),V=tramsentresemàfors(?)iT=Kmquemesuraelcarrer(4).Ladadad’enllaçcorrespondriaalsquilòmetresdecadatramentresemàfors.Enaquestcas,establiremlarelaciócomplementàriapercalcularaquestvalor,queseria:U=Kmdecadatramentresemàfors(*),V=vegades(1.000),T=Mdecadatramentresemàfors.Noobstantaixò,nosaltreshoresoldremdelaprimera.
/57/
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
UV
Trams entre semàfors
Metres en cada tram entre semàfors
Km mesura el carrer
VegadesMetres mesura
el carrer
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
VU
T T
200
4
1.000
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions realitzar i calcular-les
Enprimerlloc,decidiml’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T)il’assenyalemambunacreu:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Després,calculeml’operació.Aixídescobriremelvalordeladadad’enllaç,el que uneix les dues operacions.
/ 58/
Operació corresponent a la relació complementària:
1.000x 4
4.000_______
Acontinuació,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions,entrelesqualshauremd’assenyalarquinaéslacorrecta.ComqueestembuscantlesVegades(V),assenyalaremaquestaopció:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Uncoptenimelvalordeladadaquedesconeixíemgràciesal’operaciódelarelaciócomplementària,calculeml’operaciódelarelacióprincipal.
Operació corresponent a la relació principal:
4.000 20020_______
/59/
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestpunt,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblemaenspreguntaven:quants trams amb semàfor hi ha?
Resultat: Hi ha 20 trams amb semàfor
> Valorar si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifacireferència:
200Metres en cada tram en què hi ha un semàfor
Trams en què hi ha un
semàfor
Metres que mesura el carrer
20 4.000
TU V
T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No4.000 20 200
/ 60 /
COM AVALUAR UN PROBLEMA DEL SISTEMA MÈTRIC DECIMAL? Acontinuació,usproposemunaorientacióperalapuntuaciód’unproblema amb sistema mètric decimal:
1. Llegirperidentificarlesdades:0,3punts
a)0,1perlesdadessimbòliques
b)0,1perlesdadesnumèriques
c)0,1perlesdadesexplicatives
2. Organitzarlesdadesenundiagramaderesolució:0,3punts
3. Calcular:0,2punts
a)0,1perl’operaciótriada
b)0,1pelcàlcul
4. Respondreivalorar:0,2punts
a) 0,1perlaresposta
b)0,1perlavaloració
NOTA:fallarenqualsevolpasdelproblemasuposaràperdrelapuntuaciódelspassosposteriors.Exemple:sil’alumne/as’equivocaeneltercerpas,al’horadecalcula,il’anterioréscorrecte,tindria0,6punts.Saberexactamentenquinspassostémésdificultatésfonamental:arasabremenquèfallai,gràciesaaquestametodologia,comensenyar-li-hocorrectament!
/ 61 /
Perpracticarelsproblemesambsistemamètricdecimal,elsquadernsDominar els problemes matemàtics 5 de Boira Editorial, no solament inclouenaquestaplantillaperal’alumnat,sinóunagranvarietatd’exercicisquepermetenafermarelprocésmental.Així,espotavançarambseguretatcapaproblemesdeméscomplexitat.
/ 62/
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/ 63 /
2.7 PROBLEMES DE PERÍMETRES, SUPERFÍCIES I VOLUMS
Enaquestapartat,aprendremcompodemensenyaradominarproblemesdesuperfíciesivolums.
Enelsproblemesdeperímetres,superfíciesiàrees,ésimportanttenir clar a què fan referència aquests conceptes.
El perímetreéslasumadeleslongitudsdelscostatsd’unafigurageomètricaplana.
L’àreaéslamesuradelasuperfíciequeocupaunafigura.Permesurarsuperfíciess’utilitzacomaunitatelmetrequadrat(m2).
El voluméslaquantitatd’espaiqueocupauncos.Laprincipalunitatdevoluméselmetrecúbic(m3).
Acontinuació,vegemcompodemaplicarelsquatrepassosenunproblemadesuperfícies.Fixa’tenl’exemplesegüent:
Volem canviar les rajoles del fons de la nostra piscina. És de forma rectangular i fa 20 metres de llarg i 12 metres d’ample. Si volem col·locar rajoles de 25 dm2, quantes n’utilitzarem?
Llegir per identificar les dades
Enaquestprimerpas,veuremcomestanrelacionadeslesdades.
Hemdetenirencomptequeenelsproblemesdesuperfíciesivolums,unadelesrelacionscorresponalafórmuladelafigura.Perexemple,enaquestproblema,se’nsparlad’unapiscinaambformarectangular.
/ 64 /
Lafórmulapertrobarl’àreaserialasegüent:
Llargària Amplària SuperfícieTU V× =
LlargàriaAmplàriaV
U
Arajatenimtoteslesdadesperescriurelesrelacionsdelproblema.Aquestes serien:
m2/rajola
Metres de llargària
Metres d’amplada
M2 de superfície
m2/rajolaU
U
U) M2 i rajoles ) M2 / rajola
) M2 SUPERFÍCIE PISCINA
20 12
Rajoles VegadesV
V
V? 100
m2 en total m2 en rajolaT
T
T 25
× =
/65/
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Arajatenimlestresrelacionsquenecessitemperelaborareldiagramaderesolució.
Perfer-lo,posaremenprimerlloclarelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema.Enaquestcasés:m2 i rajoles. En aquesta ocasió la relacióprincipaltéduesdadesd’enllaç,perlaqualcosanecessitaremduesrelacions complementàries.
Fixa’t-hi:
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
V
V
U
T
V
U U
T T
100
25
20
12
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les
Enaquestaocasió,podemdecidirlesoperacionsdelesrelacionscomplementàriesindistintament,ésadir,podemcomençarperlarelacióde dalt o per la de baix.
/ 66 /
Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponalarelació complementària dedalt.ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió), tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatUnitària(U),pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Acontinuació,femelcàlculd’aquestarelació.
> Operació corresponent a la relació complementària:
25 1000,25_______
Ensegonlloc,decidiml’operaciódel’altrarelaciócomplementària.Enaquestcas,hemdecalcularl’àrea:
U × V = TLlargària Amplària Superfície
x
L’operaciód’aquestasegonarelaciócomplementàriaserialasegüent:
/ 67 /
> Operació corresponent a la relació complementària:
20x 12
+ 2040
60
_______
_______
Finalment,decidiml’operaciódelarelacióprincipal.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : UxI,ambelsdosvalorsdeladadad’enllaçquehemdescobertenlesrelacionscomplementàries,calculeml’operacióprincipal.
> Operació corresponent a la relació principal:
240 0,25960_______
/ 68 /
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestpunt,escriuremunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Enaquestcas,enspreguntaven:quantes rajoles utilitzarem?
Resultat: Per al fons de la piscina utilitzarem 960 rajoles
> Valoro si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatcompletantlarelacióprincipaliresponemaunapreguntaquehifareferència:
0,25M2/rajola Rajoles M2 en total
960 240
TU V
T V UÉselresultatderepetirvegades?-Sí/No240 960 0,25
/ 69 /
/ 70 /
3AMPLIACIÓ: CICLE SUPERIOR I ESO
/ 71 /
3.1 PROBLEMES DE DIVERSES OPERACIONS PER DOS CAMINS DIFERENTS
SegonsvaafirmarKenRobinson,educadoriconferenciantbritànic,“l’escolamatalacreativitat”.Enlasevaopinió,elsistemaeducatiuestàbasatenl’habilitatacadèmica,però,encanvi,nos’educaenl’úsdelcos,nienlacapacitatdecrearnid’imaginar.
Siaixòéscert,unabonamaneraderevertiraquestasituacióésensenyantal nostre alumnat com resoldre problemes per dos camins diferents.
Enelsproblemesdediversesoperacionspercaminsdiferents,hauremdeveuretoteslesrelacionsdesdeduesperspectives:aquelles relacions que parlen d’un mateix concepte (seran relacions PPT) i aquelles que parlen de dos conceptes (seran relacions UVT).
Unavegadahaguemdetectattoteslesrelacions,identificaremquinessón les dues relacions principals,ésadir,aquelles que contenen la pregunta del problema.
Després,elaboraremdos plans de resolució diferents(PlaAiPlaB),cadascunambelseupropidiagramaderesolució,queensconduiran,deformalògica,alarespostadelproblema.
Vegem-hod’unamanerafàcilmitjançantl’exemplesegüent:
L’equip femení i el masculí del meu col•legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?
/ 72/
Llegir per identificar les dades
Talcomhemvist,enaquestprimerpasdetectemdequinamaneraesrelacionen les dades. Dues de les relacions descobertes correspondran a les dues relacions principals del problema.
D’unabanda,identificaremlesrelacionsPPT(suma-resta),ésadir,aquellesquefanreferènciaaunsolconcepte.Sit’hifixes,enaquestproblemaesparla de PILOTES i d’EUROS.
Acontinuació,hemd’escriureaquestesdadesdesdelestresperspectives.Sidesconeixemelvalord’algunadada,posaremunasteriscenlasevacasellacorresponent(*)itambéescriuremuninterrogantenlacaselladeladadaquesiguilapreguntadelproblema(?).Enaquestcas,enspregunten:quants diners s’ha gastat l’equip masculí?
DelesduesrelacionsPPT,laquecontinguilapreguntadelproblemaseràlarelacióprincipald’undelscaminsqueenspermetràresoldre’l.
Vegem-ho:
) PPT - Pilotes ) PPT - Euros
Pilotes comprades per l’equip masculí
€ gastats per l’equip masculí
€ gastats per l’equip femení
P PPilotes comprades per l’equip femeníP PPilotes comprades per ambdós equips
€ gastats pels dos equipsT T
104
55
?
/ 73 /
> Quina de les dues relacions conté la pregunta del problema? PPT - Euros
D’altrabanda,identifiquemlesrelacionsUVT (multiplicació-divisió),ésadir,aquellesquefanreferènciaados conceptes, EUROS i PILOTES. En aquestcas,tenimtresrelacions.Fixa-t’hi:
) UVT - Equip masculí ) UVT - Equip femení ) UVT - Els dos equips
€ que val UNA pilota € que val UNA pilota € que val UNA pilotaU U U
Pilotes que ha comprat l’equip masculí
Pilotes que ha comprat l’equip femení
Pilotes que han comprat entre els dos equips
V V V
€ que valen TOTES les pilotes de l’equip masculí
€ que valen TOTES les pilotes de l’equip femení
€ que valen TOTES les pilotes entre els dos equips
T T T
4 4 4
55
104?
> Quina de les tres relacions UVT conté la pregunta del problema? UVT – Equip masculí
ArapodemdissenyardosPlansdeResolució,unperacadarelacióprincipal:PLAAiPLAB.CadaPlaésundelscaminspossiblesperresoldreelproblema.Vegem-hoacontinuació.
/ 74 /
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Enprimerlloc,dissenyaremelPLA AutilitzantlarelacióprincipalPPT – Euros, doncséslaquecontélapreguntadelproblema(quantsdinerss’hagastatl’equipmasculí).Abansdefereldiagrama,situaremenuncostatlarelacióprincipali,enl’altre,larelaciócomplementàriaqueensajudaràadescobrirelvalordeladadad’enllaç.AquestarelaciócomplementàriaésUVT-ELSDOSEQUIPS,jaqueinclouladadaquecontéelvalorquenecessitem en la relació principal.
) PPT - Euros ) UVT - Els dos equips
€ gastats per l’equip masculí
€ que val UNA pilota
Pilotes que han comprat entre els dos equips
P U€ gastats per l’equip femeníP V€ gastats pels dos equips
€ que valen TOTES les pilotes entre els dos equips
T T55
4
104
?
RELACIÓPRINCIPAL RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
Pla A
/75/
Arajatenimlesduesrelacionsquenecessitàvemperelaborareldiagramade resolució:
UV
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
PP
T T
104
4
55
Pla A
Ara,femelmateixambl’altrarelacióprincipal.Enaquestcas,seràUVT – Equip masculí, i dissenyem el nostre PLA Bque,coml’anterior,tambéensconduiràdemaneralògicaalasoluciódelproblema.
Enelmargeesquerre,situaremlarelacióprincipal,laquecontélapreguntadelproblema.Alcostat,larelaciócomplementàriaUVT-EQUIPFEMENÍ,queenspermetràdescobrirelvalordeladadad’enllaç“Pilotesquehacompratl’equipmasculí”.Tanmateix,enaquestarelaciócomplementariahihaunaaltradadaquedesconeixem“Pilotesquehacompratl’equipfemení”,quèfemllavors?Triarunaaltrarelaciócomplementàriaqueenspermetidescobrirelvalord’aquestasegonadadad’enllaç.IaquestarelacióseràUVT-ELSDOSEQUIPS.Fixa-t’hi:
/ 76 /
) UVT - Equip masculí ) PPT - Equip femení ) UVT - Els dos equips
€ que val UNA pilota Pilotes comprades per l’equip masculí
€ que val UNA pilotaU P U
Pilotes que ha comprat l’equip masculí
Pilotes que ha comprat l’equip femení
Pilotes que han comprat entre els dos equips
V P V
€ que valen TOTES les pilotes de l’equip masculí
€ que valen TOTES les pilotes de l’equip femení
€ que valen TOTES les pilotes entre els dos equips
T T T
4 4
55 104?
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
Pla B
/ 77 /
Arajatenimlestresrelacionsquenecessitàvemperelaborareldiagramade resolució:
Pla B
T
TPU
?TUV P V
4
554
104
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les:
Enprimerlloc,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA A: PPT - Euros
Recordeml’enunciatieldiagrama:
L’equip femení i el masculí del meu col·legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?
UV
?
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIARELACIÓPRINCIPAL
PP
T T
104
4
55
/ 78 /
Comsempre,comencemperdecidirl’operacióquecorresponalarelació complementària. ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),“€quevalenTOTESlespilotesentreelsdosequips”,pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Totseguit,calculeml’operacióassenyalada:
> Operació corresponent a la relació complementària:
55x 4
220_______
Acontinuació,japodemdecidirl’operaciódelarelació principal amb la dadaqueensfaltavaperrespondrealapreguntadelproblema.Enaquestcas,comqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions.ComquebusquemunadelesParts(P),“€gastatsperl’equipmasculí”,assenyalaremaquesta opció:
/ 79 /
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
Ambelvalordeladadad’enllaçquehemdescobertenl’operacióanterior,calculeml’operacióprincipal:
> Operació corresponent a la relació principal:
220- 104
116_______
/ 80 /
PLA B
Després,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA B: UVT – Equip masculí.
Recordeml’enunciatieldiagrama:
L’equip femení i el masculí del meu col·legi han comprat 55 pilotes de bàsquet. Cada pilota els ha costat 4€. Si l’equip femení s’ha gastat 104€, quants diners s’ha gastat l’equip masculí?
T
TPU
?TUV P V
4
554
104
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària,laqueestàsituadaaladretadeldiagrama.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),“lespilotesquehacompratl’equipfemení”,pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
/ 81 /
Uncopl’haguemassenyalat,calculeml’operació.
> Operació corresponent a la relació complementària:
104 426_______
Després,japodemescollirl’operaciódel’altrarelaciócomplementària,laqueestrobaenelcentredeldiagrama.Enaquestcas,comqueésunarelacióPPT(suma-resta),tenimtresopcions.Comquenecessitemesbrinarunadelesparts(P),“lespilotesquehacompratl’equipmasculí”,marcarem aquesta opció:
T = P + P
P = T - P
P = T - P
x
Uncopl’haguemassenyalat,calculeml’operació.
> Operació corresponent a la relació complementària:
55- 26
29_______
/ 82/
Finalment,decidiml’operacióquecorresponalarelació principal, laquecontélapreguntadelproblema.ComqueésunarelacióUVT (multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),“€gastatsperl’equipmasculí”,pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Uncopdescobertl’últimvalordeladadad’enllaç,calculeml’operació.
> Operació corresponent a la relació principal:
29x 4
116_______
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestpunt,compararemelsresultatsd’ambdósPlansi,desprésdecomprovarqueaquestscoincideixen,escriuremlarespostadelproblema.
/ 83 /
Comenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,nopodemescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblema,enspreguntaven:quants diners s’ha gastat l’equip masculí?
Resultat: L’equip masculí s’ha gastat 116€
> Valorar si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatresponentaunapreguntaiaunaafirmació,queenspermetencomprovarsilarespostaquehemdonatéscoherent.
Et sembla que té sentit? Sí/No
L’equipmasculís’hagastatMÉS/menysdinersquel’equipfemení.Pertant,hacomprat MÉS/menyspilotesquel’altreequip.
Perpracticaraquesttipusdeproblemes,elsquadernsDominar els problemes matemàtics de Boira Editorial, inclouenunaplantillaperfotocopiar,quepermetal’alumnatintegrarcadascund’aquestspassosambèxit.
Aquestaplantillaésespecialmentútilquanesdominacadapas(llegirperidentificarlesdades;ordenarlesdadesenundiagramaderesolució;decidir,apartirdeldiagrama,quinaoperaciócalfericalcular-la;ivalorarsilarespostaéslògica).
D’aquestamanera,elsquadernsacompanyenl’alumnatpasapas,posantl’accentprincipalmentencadapartfinsaarribaralaresoluciódelproblema.
/ 84 /
PLANTILLA FOTOCOPIABLE
/85/
Enaquestapartat,aprendremcomdominarelsproblemesdepercentatges.
Enelsproblemesdepercentatges,podemelaborarrelacionstenintencomptelaquantitatoriginal,peròtambétenintencomptelaquantitatresultantd’aplicarl’augmentolarebaixaalaquantitatoriginal.
Comenelcasanterior,hauremdebuscarquinessónlesrelacionsprincipals,ésadir,lesquecontenenla pregunta del problema. A partird’aquí,dissenyaremunPlaAiunPlaBqueensconduiranalmateix resultat.
Acontinuació,vegemcompodemaplicarelsquatrepassosenunproblemadepercentatges.Fixa’tenl’exemplesegüent:
El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com que tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?
Llegir per identificar les dades
Enprimerlloc,establimlesrelacionsentrelesdades.Enaquestcas,trobarem tres relacions, tenint en compte el preu sense rebaixar de les bicicletes i tres relacions més, tenint en compte el preu rebaixat de les bicicletes.
3.2 PROBLEMES DE PERCENTATGES
/ 86 /
Després,escriuremcadadadaenelllocquelicorrespongui.Comenelscasosanteriors,escriuremunasterisc(*)enlescasellesdelesdadesquedesconeixemiuninterrogantenlacaselladeladadaquefacireferènciaalapreguntadelproblema(?).
Vegem-hoacontinuació:
Primer,observaremelproblematenintencompteelPreu Sense Descompte. Enaquestcas,tenimtresrelacions.
Perpodersituarlesdades,recordeml’enunciatdelproblema:
El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com que tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?
PREU SENSE DESCOMPTE D’UNA I DE TOTES LES BICICLETES
Preud’unabicicleta sese descompte
€ / BicicletaU 800
Bicicletes que hecomprat
BicicletesV 12
Preu de totes les bicicletes sense descompte
€ totes les bicicletesT
1. € I BICICLETES
/ 87 /
GRUPSDE100€QUEPODEMFERAMBELPREUD’UNABICICLETA
20%=20/100=decada100€me’ndescompten20€ipertantpagaré80€.
Pertant,necessitosaberelsgrupsde100€quepucferambelpreud’UNAbicicleta
Els100€quehiha acadagrup
€ / GrupU 100
Elsgrupsde100€ per puc fer
GrupsV800Elpreud’unabicicleta
sense descompte€ tots els grupsT
2. € I GRUPS DE 100 (una bicicleta)
/ 88 /
GRUPSDE100€QUEPUCFERAMBELPREUDETOTESLESBICICLETES
20%=20/100=decada100€me’ndescompten20€i,pertant,pagaré80€.
Aixídoncs,necessitosaberelsgrupsde100€quepucferambelpreudeTOTES les bicicletes.
Els100€quehiha acadagup
€ / GrupU 100
Elsgrupsde100€ que puc fer
GrupsVEl preu de totes les bicicletes sense descompte
€ tots els grupsT
3. € i GRUPS DE 100 (totes les bicicletes)
Ara,observaremelproblematenintencompteelPreu Rebaixat. Aixòsignificaque,siensfanundescomptedel20%,decada100€ensdescomptaran20€.Pertant,decada100€enpagarem80€.
Enaquestcas,enstrobemtambéambtresrelacions.Recordemelproblema per situar totes les dades:
El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?
/ 89 /
PREU AMB DESCOMPTED’UNAIDETOTESLESBICICLETES
Preud’unabicicleta amb descompte
€ / BicicletaUBicicletes que hecomprat
BicicletesV 12
Preu de totes les bicicletes amb descompte
€ totes les bicicletesT
4. € I BICICLETES AMB DESCOMPTE
?
GRUPDE80€ENELPREUD’UNABICICLETA
Recorda,decada100€,noméspagarem80€.
Els80€quepago decadagrup
€ / GrupU 80
Elsgrupsde80€que puc fer
GrupsVElpreud’unabicicleta amb descompte
€ tots els grupsT
5. € I GRUPS DE 80 (una bicicleta)
/ 90 /
GRUPSDE80€ENELPREUDETOTESLESBICICLETES
Recorda,decada100€,noméspagarem80€.
Els80€quepago decadagrup
€ / GrupU 80
Elsgupsde80€ que puc fer
GrupsVEl preu de totes les bicicletes amb descompte
€ tots els grupsT
6. € i GRUPS DE 80 (totes les bicicletes)
?
Uncoptinguemtoteslesrelacions,enspreguntarem:
Delessisrelacions,quines relacions contenen la pregunta del problema?
Enaquestcas,sóndues:UVT - € i bicicletes amb descompte i UVT - € i grups de 80 (totes les bicicletes).
2 Ordenar les dades en un diagrama de resolució:
Enprimerlloc,dissenyaremelPLAAutilitzantlarelacióprincipalUVT - € i bicicletes amb descompte, perquèéslaquecontélapreguntadelproblema(quantsdinersenshancostatlesbicicletes).Abansdefereldiagrama,escriuremlarelacióprincipali,alseucostat,lesrelacionsqueensajudaranadescobrirelvalordelesdadesd’enllaç.
/ 91 /
) UVT - €ibicicletesambdescompte
) UVT - €igrupsde80€(una bicicleta)
) UVT - €igrupsde100€(una bicleta)
Pla A
€ / bicicleta € / grup € / grupU U U
Bicicletes Grups GrupsV V V
€ totes les bicicletes € tots els grups € tots els grupsT T T
100
800
12
80
?
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
Pla A
U
TVU
?TVU T
12
80100
800
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
V
/ 92/
Arafemelmateixambl’altrarelació principal. Enaquestcas,UVT - € i Grups de 80 (totes les bicicletes), idissenyemelnostrePLABque,coml’anterior,tambéensconduiràdemaneralògicaalasoluciódelproblema.
Escriuremlarelacióprincipali,alseucostat,lesrelacionsqueensajudaranadescobrirelvalordelesdadesd’enllaç.
) UVT - €igrupsde80€(totes les bicicletes)
) UVT - €igrupsde100€(totes les bicicletes)
) UVT - €i bicicletes
Pla B
€ / grup € / grup € / bicicletaU U U
Grups Grups BicicletesV V V
€ tots els grups € tots els grups € totes les bicicletesT T T
80 800
12
100
?
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
/ 93 /
Pla B
U
VT U?T
UV V
80
100800
12
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
T
3 Decidir, a partir del diagrama, quines operacions cal fer i calcular-les
> PLA A
Enprimerlloc,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA A: UVT - € i bicicletes amb descompte.
Recordeml’enunciatieldiagrama:
El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com que tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?
U
TVU
?TVU T
12
80100
800
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
V
/ 94 /
Enprimerlloc,comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertantassenyalarem aquesta operació:
T = U × V
U = T : V
V = T : UxUncopl’haguemdecidit,calculemelvalordeladadad‘enllaç.
> Operació corresponent a la relació complementària:
800 1008_______
Després,decidiml’operacióquecorresponal’altrarelació complementària.ComquetambéésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),per tant:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Araquejatenimelvalordeladadad’enllaçquehemaconseguitgràciesal’operacióanterior,calculeml’altrarelaciócomplementària.
/95/
> Operació corresponent a la relació complementària:
80x 8
640_______
Finalment,decidiml’operaciódelarelació principal amb la dada que ens faltavaperrespondrealapreguntadelproblema.TambéésunarelacióUVT,enlaqualbusquemlaQuantitatTotal(T):
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Ambelvalordeladadad’enllaçdelarelaciócomplementària,calculeml’operacióprincipal.
> Operació corresponent a la relació principal:
640x 12
+ 6401.280
7.680
_______
_______
/ 96 /
> PLA B
Acontinuació,decidimlesoperacionsquecorresponenalPLA B: UVT - € i Grups de 80 (totes les bicicletes).
Recordeml’enunciatieldiagrama:
El preu de cada bicicleta tàndem és de 800€. Com que tinc una botiga de lloguer de bicicletes, per les rebaixes n’he comprat 12. Si m’han fet un descompte del 20%, quants diners m’han costat?
U
VT U?T
UV V
80
100800
12
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
RELACIÓPRINCIPAL
RELACIÓCOMPLEMENTÀRIA
T
Comencemperdecidirl’operacióquecorresponal’últimarelació complementària, laqueestàsituadaaladretadeldiagrama.ComqueésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions,entrelesqualshemd’assenyalarquinaéslacorrecta.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T),pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
/ 97 /
Uncopdecidida,femelcàlcul:
Operació corresponent a la relació complementària:
800x 12
+ 8001.600
9.600
_______
_______
Després,escolliml’operaciódel’altrarelació complementària,laqueestrobaenelcentredeldiagrama.ComquetambéésunarelacióUVT(multiplicació-divisió),tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlesVegades(V),pertant:
T = U × V
U = T : V
V = T : Ux
Uncopjatenimelvalordeladadad’enllaçquehemesbrinatgràciesal’operacióanterior,calculeml’altraoperaciócomplementària:
/ 98 /
Operació corresponent a la relació complementària:
9.600 10096_______
Finalment,decidiml’operacióquecorresponalarelació principal, la que contélapreguntadelproblema.Estractad’unarelacióUVT (multiplicació-divisió) i,pertant,tenimtresopcions.Enaquestcas,busquemlaQuantitatTotal(T):
T = U × V
U = T : V
V = T : U
x
Araqueteniml’últimvalordeladadad’enllaç,calculeml’operacióprincipal.
Operació corresponent a la relació principal:
80x 96
+ 7.2004.800
7.680
_______
_______
/ 99 /
4 Escriure el resultat i valorar si la resposta és lògica
> Escriure el resultat
Enaquestpunt,compararemelsresultatsdelsdosPlansi,desprésdecomprovarquelesrespostescoincideixen,escriuremlarespostadelproblema.
Igualqueenelsexemplesanteriors,hemd’escriureunarespostaquedonisentitalapreguntadelproblema.Ésadir,noescriureúnicamentlesdadesnumèriques.Enaquestproblema,enspreguntaven: quants diners m’han costat les bicicletes?
Resultat: Les bicicletes m’han costat 7.680 €
> Valorar si la resposta és lògica
Finalment,valoremelresultatresponentalapreguntaiaunaafirmació,queenspermetcomprovarsilarespostaquehemdonatéscoherent.
Et sembla que té sentit? Sí/No
Perquèlesbicicletesenshancostatmés/MENYSdinersqueabansd’aplicareldescompte.
/ 100 /
4CONCLUSIÓ
/ 101 /
AquestametodologiaestàrecollidaenelsquadernsDominar els problemes matemàtics de Boira Editorial, queetconvidemaconèixeralseu lloc web.
Amésamés,etconvidemaveurealgunadelesbreusconferènciesonlinequeensenyencadatipologiadeproblemaperseparat.Estractad’unaopciómoltútilirecomanableperveureamblarestadedocentsdelcicleoambelclaustre,icomentar-ho.Lestrobaràsalasevapaginaweb:https://boiraeditorial.com/recursos/recursos-dominar-los-problemas-matematicos/formacion-online
SivolsseguirdescobrintméssobreelsquadernsDominarelsproblemesmatemàtics,potsdescarregar-teunamostragratuïtaenPDFenlasevapàginaweb:https://boiraeditorial.com/ca/recursos/recursos-dominar-els-problemes-matematics
O,sihoprefereixes,pots començar a obtenir resultats increïbles amb el teualumnatdesd’aquestmateixinstant.Com?Noméscalqueaccedeixisalapàginaweb(https://boiraeditorial.com/ca/recursos/recursos-dominar-els-problemes-matematics)idemaniselmaterialperalatevaescola.Aixíde fàcil.
Abansd’acabar,volemrecordarbreumentelsaspectesclauperdominarelsproblemesmatemàtics.Sitensalgundubte,t’animemaconsultarelcapítol dedicat a cada apartat.
/ 102/
PROBLEMES ASPECTES CLAU1. Suma-resta Enaquestsproblemes,enscentraremaensenyarque
larelacióentrelesxifressempreéslamateixa:hi ha dues o més Parts (P) i un Total (T). Amés,explicaremquesiensdonenelvalordelesPartsiensdemanenelTotal,ésunproblemadeSUMA; mentre que si sabem elTotalielvalord’unadelesParts,ésunproblemadeRESTA.
2. Multiplicació- divisió
Enaquestsproblemes,faremesmentdelfetquetambéhihaunarelaciódeduïbleentrelesxifres.Aixímateix,exposaremquesemprehihaunaQuantitat Unitària (U) que es repeteix un nombre de Vegades (V)iunaQuantitat Total(T).Paral•lelament,ensenyaremal’alumnatquesisabemlaQuantitatUnitàriailesVegades,trobaremlaQuantitatTotalMULTIPLICANT.Encanvi,sitenimlaQuantitatTotalilaQuantitatUnitària,olaQuantitatTotalilesVegades,trobarem el que ens falta DIVIDINT.
3. De dues operacions
Enaquestapartat,ésmoltimportantqueexpliquemal’alumnatladiferènciaentreunproblemad’unaoperacióiunproblemadeduesoperacions.L’explicacióéssenzilla:enun problema d’una operació,sempretindremelvalordetoteslesdadesperrespondrealapreguntadelproblema.Alcontrari,enelsproblemesdeduesoperacionsensfaltaràelvalord’unadelesdades,quedescobrirematravésd’unaoperacióprèvia.Aaquestadadal’anomenaremdada d’enllaç perquèéslaqueuneixlesduesrelacions.Peridentificar-la,l’assenyalaremambunasterisc(*).Uncophaguemdescobertelseuvalor,gràciesal’operaciócomplementària,podremcalcularl’operaciódelarelacióprincipal,quedonarespostaalapreguntadelproblema.Convérecordaral’alumnatquelesrelacionssempreseran:obéPPT(suma-resta),enquèhihaduesomésParts(P)iunTotal(T);obéUVT(multiplicació-divisió),enquèsemprehihaunaQuantitatUnitària(U),queesrepeteixunasèriedeVegades(V)iunaQuantitatTotal(T).
PPT
T
UV
/ 103 /
PROBLEMES ASPECTES CLAU4. Fraccions Enunproblemaquefareferènciaalafracciód’unúnic
nombre,mostraremquesemprehihaduesmaneresdeformularlapreguntadelproblema.Laclauesbasaensaberquinaopcióensestanpreguntantisituarlesdadesperpoderfereldiagramaderesolució.1)2)
?______ de = ?______ de =
5. Sistema mètric decimal
Enunproblemadelsistemamètricdecimal,ésmoltimportantconèixerlesrespectivesunitatsilesequivalències.Peraixò,vallapenarepassarambl’alumnattoteslesequivalènciesprèviament:mesuresdelongitud,capacitat,tempsipes.Aixísabranentotmomentquinesdues unitats es relacionen en el problema i quines operacionshihaentrelesdues.
6. Superfícies i volums
Enelsproblemesdeperímetres,superfíciesiàrees,ésimprescindiblequel’alumnatconeguiaquèfareferènciacada concepte.Elperímetreéslasumadeleslongitudsd’unafigurageomètricaplana.EscalculasumanttoteslesParts(P).L’àreaéslamesuradelasuperfíciequeocupaunafigura.Escalculatenintencomptelessevesduesdimensions.Enaquestsproblemes,“U”seràlamesurad’unadelesdimensionsi“V”seràl’altradimensió,quecorresponalnombredevegadesqueesrepeteixlaprimera.Elvoluméslaquantitatd’espaiqueocupauncos.Pertant,elcalcularemtenintencomptelessevestresdimensions:U(seràlamesurad’unadelesdimensions),V1(lesvegadesqueesrepeteixU)iV2(lesvegadesqueesrepeteixlasuperfícieUxV1).
/ 104 /
PROBLEMES ASPECTES CLAU7. Diverses
operacions per dos camins diferents
Enelsproblemesdediversesoperacionsperdoscaminsdiferents,ésfonamentalrecalcarquehemd’observarlesrelacionsdesdeduesperspectives:aquellesrelacionsqueparlend’unmateix concepte(seranrelacionsPPT),i aquelles que parlen de dos conceptes (seran relacions UVT).Uncoptinguemtoteslesrelacions,ajudaremal’alumnataidentificarquinessónlesrelacions principals,ésadir,aquellesquecontenenlapreguntadelproblema.Quanleshaguemidentificat,elsensenyaremcomelaborardos Plans de resolució diferents (Pla A i Pla B) que ens conduiran,deformalògica,alarespostadelproblema.CadaPlatindràelseupropidiagramaderesolució,enelqualhauremdesituarunadelesduesrelacionsprincipalsilessevescorresponentsrelacionscomplementàries.
8. Percentatges Comenlarestadeproblemesdemésd’unaoperació,enelsproblemesdepercentatgespodemelaborarrelacionstenintencompte,obélaquantitatoriginal,obélaquantitatresultantd’aplicarunaugmentounarebaixadelaquantitatoriginal.
editorialBoira
Dominar els problemes matemàticsSèrie de quaderns - 1r a 6è de primària i ESO
PVP: 10 € /ud.
Autor: Javier López Apesteguía
Idioma: Català
Idiomes disponibles:
A la venda en llibreries de tot l’estat espanyol, i a www.boiraeditorial.com
Oferta* 25% DTE. i ENVIAMENT GRATUÏT comprant 20 o més unitats.
Utilitza el codi:
PROMOESCUELAS a la nostra botiga online
Oferta vàlida només dins l’estat espanyol i Andorra.
PersonalitzacióAfegiu el LOGOTIP del vostre centre als quaderns escolars de Boira Editorial *
* Comprant 25 unitats o més
Més informació: www.boiraeditorial.cat
25% dte.*
enviamentgratuït
i
Formació onLine gratuïta per al professoratDominar els problemes matemàtics és un vídeo-curs gratuït dirigit al professorat d’Educació Primària i Secundària.
Disponible a: www.boiraeditorial.com/ca/formacio
/ 108 /
editorialboiraeditorial.com
BoiraISBN: 978-84-16680-66-5
Com ensenyar el procés mental a Primària i Secundària
Problemes matemàtics
Perresoldrequalsevolproblemamatemàtic,laclauésensenyar a pensar matemàticament.Ésadir,adeduirquinaéslarelacióquehihaentrelesdadesiaplicar-la.Així,podremdecidirdeformaraonadaencadascundelsquatrepassosdelprocésderesolució.Aquestssón:
(1) Llegir per identificar les dades
(2) Ordenar les dades en un diagrama de resolució
(3) Decidir, a partir del diagrama, quina operació cal fer i calcular-la
(4) Escriure la resposta i valorar si és lògica
Seguintaquestsquatrepassosdemaneraordenada,descobriremlarelacióquehihaentrelesdadesi,gràciesaaquestarelació,trobaremlasoluciódelproblema.Conseqüentment,ésmoltimportantensenyaralnostrealumnataexecutarcorrectamentcadapasperevitarembussoscognitius.
Senseunmètodeclarperensenyararesoldreelsproblemes,l’alumnatnotindràeinesperenfrontar-s’hiitendiràaviurelesmatemàtiquescomunaàreaincomprensibleiinsuperable.Encanvi,sielsensenyemaresoldreunproblemapasapas,elsajudaremacrearunamentmatemàticaqueelsacompanyaràalllargdelasevavida.
Top Related