7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 1/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ð Ì Ñ ½ Ò Ñ Ø
¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò S ′ × Ó Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ù Ò Ö Ó Ø Ò ¿ ¼ Ö Ó ×
Ý Ù Ò Ø Ö × Ð Ò
R = (1, 1) Ð × × Ø Ñ
S º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó
P
Ò
S × Ò Ó Õ Ù Ò
S ′× Ó Ò
r′ = (2, 1)º
Ä Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ö Ò × S S ′ Ó Ò × × Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ù Ý Ñ Ø Ö Þ ×
R =
cos 30 sen 3 0− sen 30 cos 30
=
1
2
√ 3 1
−1√
3
Ý Ù Ò Ø Ö × Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × Ú Ø Ó Ö
R = (1, 1)º È Ö × Ø Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ö ¹
Ò × × Ñ Ó × Õ Ù
r′ = R(r−R)
È Ö Ó Ð Ó Õ Ù Ô Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ò Ú Ö × Õ Ù Ò Ó × Ð Ð Ú
S ′
S × Ø Ó × ¸ Ò × Ø Ñ Ó ×
Ü Ô Ö × Ö
r Ò Ù Ò Ò
r′¸ Ô Ö Ð Ð Ó Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ñ Ó × Ô Ó Ö Ð Ö Ð Ü Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ó Ö Ð Ø Ö × Ô Ù × Ø
Ð Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò
RT r′ = RT R(r−R) = r−R
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸
r = RT r′ + R =1
2
√ 3 −1
1√
3
21
+
11
=
√ 3 + 1
2√ 3
2+ 2
È Ö Ó Ð Ñ ¾ × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö × Ó Õ Ù Ö Ù × Ò × Ð Þ Ö × Ó Ö Ù Ò
Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ù Ò × Ó Ö Ó
R Ó Ñ Ó Ð Ð Ù Ö Õ Ù Ö Ù × Ò × Ð Þ Ö º Ì Ó Ó Ð × Ó Ö Ó Ò
Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ù × Ñ Ø Ö º
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö Ð Ó × × XY Z Ü Ø Ö Ò Ó Ð × Ó Ó Ñ Ó Ð
Ð Ù Ö º È Ö Ö Ø Ö Þ Ö Ò Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ð Ô Ó × Ò Ð × Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó
XY Ò Ð Ù Ð × × Ö Ö Ó Ð Ð
× Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸ Ò × Ø Ö Ñ Ó × Ó × Ó Ó Ö Ò × º Ä Ð Ñ Ñ Ó ×
x Ó Ó Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ð
× Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó ´
Aµ º × Ø Ó Ó Ö Ò Ð Ô Ó × Ò Ð Ð Ò Ö Ó ¸ Ó × Ö Ú × Õ Ù Ø Ñ Ò Ò Ó × Ð
Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ò Ö Ó ´ O µ º Ð Ò Ù Ð Ó θ Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ó OA Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ö Ó
Ö Ö Ò Ñ Ö Ó × Ó Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ô Ö Ó Ö ´
OG Ò Ð Ù Ó µ Ò Ó × Ò Ó Ö Ñ × Ó Ö Ù Ò Ø Ó Ö Ó
Ð × Ó × Ó Ö × Ñ × Ñ Ó º Ë Ò Ó Ý × Ð Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ö ¸ × Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ó Ô Ø Ò × Ó Ö Ð × Ù Ð Ó ¸ Ð ×
Ó Ó Ö Ò ×
xÝ
θÒ Ó × Ó Ò Ò Ô Ò Ø × ¸ Ô Ù × Ð × Ð Ó Ò Ø Ù × Ò Ò Ø × Ñ Ð × Ö Ó Ö Ö × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó
Ó Ò Ø Ø Ó × Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý × Ó Ö Ð Ð Ò Ö Ó × Ó Ò Ù Ð × ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Rdθ = dx Ó Ð Ó Õ Ù × Ù Ð
Rθ= ˙
x
Õ Ù × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö º Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð S Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ×
Ù Ò Ú Ø Ó Ö Õ Ù Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ô Ð × Ò Ð Ö Ð Ð Ñ Ò Ó Ö ¸ ω = (0, 0,−w) = (0, 0,−θ)º
Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó × Ô Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Ó × Ñ Ò Ö × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × ¸ Ô Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ
Ö Ö Ò Ð Ó
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 2/71
R
S
G
Ox
Y
XA
θ
x
.
½ º Ì Ó Ó Ð × Ó Ö Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ù × Ñ Ø Ö ´ Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù
Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ó Ñ Ò Ó
Oµ ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ù Ú Þ × Ø Ö × Ð Ó Ò
Ú Ð Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
x = Rθº Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó È Ð × Ó × Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò
r Ð
× Ñ Ø Ö º Ä Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó È ¸ Ð Ù Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó ´ Õ Ù
× Ö Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ô Ö Ñ × Ô Ö Ö Ò Ö Ð Ó µ Ø Ò Ö Ú Ð Ó Ö v′P = ω
×OP × Ö ¸ Ð Ú Ð Ó
Ø Ò Ñ Ù Ð Ó v′ p = ωr Ý × Ø Ö × Ñ Ô Ö Ö Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ò Ø OP º
S
x
Y
XA
O
B
Ù Ö ½ Î Ð Ó × Ð Ù Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó O ¸ Ò Ó Ø × Ô Ó Ö
Ô Ö Ñ × º Ä Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó v′
0= 0 Ý Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó A Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð O × v′
A = −Rθi ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð
Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó B Ø Ó Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö v′
B = Rθi × Ö ¸ × Ó Ò Ù Ð Ñ Ù Ð Ó Ý Ö Ò Ô Ö Ó × Ò Ø Ó ×
Ó Ò Ø Ö Ö Ó × º
¾ º Ð × Ó × Ø Ö Ò Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó ¸ Ð Ù Ð
× Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ó º
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S Ö Ó Ö Ñ Ó × Ô Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ö Ó È Ð Ö Ñ Ù Ð Ð
Ö Ð Ò Ð × Ú Ð Ó ×
v p = v0 + ω ×OP
Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ð × Ó Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
A × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó
Ò × Ø Ò Ø Ò Ó ¸ Ó Ó Ó Ø Ö Ñ Ò Ö ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó
A Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð Ü Ø Ö Ò Ó
S Ö × Ö Ò Ù Ð Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
vA = v0 +ω ×OA = xi +
i j k
0 0 −θ
0 −R 0
= (x−Rθ)i ≡ 0
Ó Ò × Ó Ø Ò Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö x = Rθ º
Í × Ò Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð Ð Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó
B Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð
Ü Ø Ö Ò Ó
S Ð Ð Ñ Ó ×
vB = v0 + ω ×OB = xi +
i j k
0 0 −θ
0 R 0
= (x + Rθ)i ≡ 2xi
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 3/71
S
G
x
Y
XA
.
2x
Rx.
x
.B
O
Ù Ö ¾ Î Ð Ó × Ð Ù Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ò Ö Ð S Ü Ø Ö Ò Ó Ð × Ó º
Ë ¸ Ó Ñ Ó Ñ Ó × Ó ¸ x Ñ Ð Ú Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ö Ò Ð
S Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ó Ò Ð × Ù Ð Ó A × Ö Ò Ù Ð vA = 0 Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó B
Ø Ó Ñ Ö Ð Ú Ð Ó Ö 2xº
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ó Ø Ó Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ð Ö Ò
Ó Ò × Ø Ò Ø º Ç Ø Ò Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ò Ö Ô Ó × Ó
× Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ý Ó Ø Ö Ó Ñ Ó Ú Ò Ó × Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ñ Ö × × Ø Ñ Ö Ö Ò
Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ý Ô Ö Ð Ð Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö º
È Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò S × Ø Ù Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö ¸
Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ó Ø Ó × Ö Ø Ð Ò Ò Ð Ð × Y ¸ Ô Ù × g × Ð Ð Ö Ò Ö Ú
Ó Ò × Ö Ò Ð Ð ×
Y º È Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò
S Ð Ú Ð Ó Ð Ó Ø Ó ×
v = (0,−gt)Ý Ð
Ô Ó × Ò × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó
x(t) = x0,
y(t) = y0 −1
2gt2
Ó Ò
(x0, y0) × Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ø Ó Ò S º Ë Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð S ′ Õ Ù × Ñ Ù Ú Ó Ò Ú ¹
Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø
V = (V, 0, 0) Ó Ò Ö × Ô Ø Ó S º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ó × Ó Ö Ò × Ñ Ó ×
Ö Ö Ò Ð × Ó Ò Ò Ý Õ Ù Ð Ó × × × Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × Ò Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó º Ù Ö Ó Ó Ò Ð × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò
Ð Ð Ó ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ó Ø Ó Ò Ð × × Ø Ñ
S ′ ×
v′ = v−V = (−V,−gt)º Á Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó
Ð Ú Ð Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ô Ó × Ò Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ð × × Ø Ñ S ′
x′(t) = x(t)−
V t = x0
−V t,
y′(t) = y(t) = y0 −1
2gt2
Ë Ö × Ó Ð Ú Ñ Ó × Ó Ö Ñ Ü Ô Ð Ø × Ø × × Ø Ñ Ó × Ù Ó Ò × ¸ Ð Ñ Ò Ò Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Õ Ù Ð Ô Ö Ñ Ö
Ù Ò ×
t =x0 − x′
V
Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö
y′ = y0 −1
2gt2 = y0 −
g
2V 2(x0 − x′)2
´ ½ µ
Ë Ö Ô Ö × Ò Ø Ñ Ó × y′ Ò Ù Ò Ò x′
¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ð Ö Ú × Ø ×
Ð Ö Ö Ð S ′ × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ò Ú Ö Ø ´ Ú Ö Ù Ö ¿ µ º
È Ö Ó Ð Ñ Ó Ø Õ Ù Ó Ò Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú × Ø Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö ¹
Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ð Ð Ó × Ö Ó Ø Ò Ó
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 4/71
1 2 3 4 5 6 7 X
80
60
40
20
20
40
Y
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø × x0
Ù Ö ¿ Ì Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð Ú × Ù Ð Þ Ô Ó Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S ′ Ð Ù Ö Ô Ó Õ Ù ¸ × Ò Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S
Ò Ð Ö Ú Ö Ø Ð Ó Ð Ò Ð Ö Ú º È Ö Ñ Ø Ö Ó × Ù Ø Ð Þ Ó × ¸ g = 10 ¸ V = 1 ¸ x0 = 3 ¸ y0 = 40 º
3 2 1 0 1 x
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
y
x0
, y0
4 3 2 1 1 2 3 4 x
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
y
0,
0
Ù Ö Ì Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ó Ø Õ Ù Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ú × Ù Ð Þ × Ô Ó Ö Ð Ó × Ó × Ó × Ö Ú Ó Ö × Ô Ö
0 < t < 10 Ð Þ Õ Ù Ö Ô Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö Ò S Ý Ð Ö Ô Ö Ð S ′ º È Ö Ñ Ø Ö Ó × Ù Ø Ð Þ Ó × ¸ w = 2π ¸
vg = 1¸
x0 = 0¸
y0 = 5¸
z0 = 0º È × Ö
× Ø Ù Ñ Ó × Ò Ù Ú Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó Ø × Ð Ð Ù Ú Ò Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò
S Ý
S ′ Ó Ò
S × Ø Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ý
S ′Ö Ó Ø Ó Ò × Ù Ö Ó Ø Ò Ð Ó
Ð Ö Ó Ð
Z
S Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º ´ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸
R = 0, V = 0, A = 0µ º
Ä Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ö Ø Ö Þ Ð Ö Ó Ð × × Ø Ñ S ′ Ö × Ô Ø Ó S × Ø Ô Ó Ö
R(t) =
cos(ωt) sen (ωt) 0− sen(ωt) cos(ωt) 0
0 0 1
´ ¾ µ
Ý × Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × ω = (0, 0, θ) × Ö ¸ × Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ð z Ý × Ù Ñ Ò Ø Ù ×
Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ñ Ó Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò
θº Ä Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö ¸ Ð × Ö Ð Ú Ð Ó
Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ × Ò Ù Ð
α = ω = 0º
Æ × Ö Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Þ Ö × Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø º Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ö ¹
Ö Ò Ð × Ó Ò Ò ¸ Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ø × Ö x0 = x′0
¸ y0 = y′0
¸ z0 = z′0
º Ú Ñ Ó × Ò Ð
Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ð Ó × Ö Ú Ó Ö S Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ø Õ Ù Ô Ö Ø Ð
Ô Ó × Ò Ò Ð
(x0, y0, z0) ×
x(t)y(t)z(t)
=
x0
y0 − vgt
z0
´ ¿ µ
Ä × Ú Ð Ó × Ð Ó Ø Ñ × Ò
S × Ó Ò
x(t)y(t)z(t)
=
0−vg
0
´ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 5/71
Ä Ô Ó × Ò Ò Ð × × Ø Ñ
S ′ × Ø Ô Ó Ö
r′(t) = R(t)[r(t)−R(t)] = R(t)r(t)
=
cos(ωt) sen (ωt) 0− sen(ωt) cos(ωt) 0
0 0 1
x0
y0 − vgt
z0
´ µ
Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ð Ñ Ò Ø Õ Ù Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ð × × Ø Ñ
S ′× Ó Ò
x′(t)y′(t)z′(t)
=
x0 cos(ωt) + (y0 − vgt)sen(ωt)−x0 sen(ωt) + (y0 − vgt)cos(ωt)
z0
´ µ
Ä Ú Ð Ó Ý Ð Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ
S ′× Ó Ø Ò × Ò Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ú Ò Ó × Ø × Ü Ô Ö × Ó Ò × Ó Ò
Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ × Ö
v′(t) =
(−ωx0 − vg)sen(ωt) + ω(y0 − vgt)cos(ωt)
(−ωx0 − vg)cos(ωt)− ω(y0 − vgt)sen(ωt)
0
a′(t) =
ω(−ωx0 − vg)cos(ωt)− ω2(y0 − vgt)sen(ωt)− ωvg cos(ωt)
ω(ωx0 + vg)sen(ωt)− ω2(y0 − vgt)cos(ωt) + ωvg sen(ωt)
0
´ µ
Ò Ð Ù Ö × Ó × Ö Ú Ò Ð × Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ó Ø Ð Ð Ù Ú Ò Ð Ó × Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò Ð × ¸ Ô Ö Ø Ò Ó
Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ð º
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ø Ð Ð Ù Ú Õ Ù Ó Ò × Ù Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø
Ò Ù × Ò Ú Ò Ø Ó º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ø Ú × Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò
Ö Ô Ó × Ó Ý Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ö Ú Ó Ö Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ó Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ð Ñ Ø Ó Ò × Ø Ò Ø Ú Ö Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö
Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ö Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ù Ô Ö Ð
Ø Ö Ö º
È Ö Ó Ð Ñ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú Ò Ð Ò Ö Ø Ø Ð Ñ Ó Ó Õ Ù ¸
Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò × Ø Ò Ø ¸ × Ù Ô Ó × Ò ¸ Ú Ð Ó Ý Ð Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ú Ð Ó Ö
Ò Ù Ñ Ö Ó º Ö Ð Ô Ó × Ò
x Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö × Ó Ò Ö Ù Ò Ð Ò × Ð Ó Ð Ø Ó Ù Ò × º Ç Ø Ö Ô Ö × Ó Ò
× Ø Ù Ò Ð Ð Ð Ù Ò × Ø Ò
lÑ × Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ð Ò ¸ Ð Ò Þ
× Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ù Ò Ô Ð Ó Ø Ó Ð Ó Ò Ú Ð Ó
v0 Ý Ö Ò Ð Ð Ò º Ë Ð
Ð Ò × Ò Ó Ù Ò Ð Ø Ù Ö h Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Õ Ù Ð Ô Ð Ó Ø Ó Ð Ð Ó Ð Ô ¸ ú Ù Ð
× Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ó Ø Ó Ð
È Ö Ó Ð Ñ ú Ó Õ Ù Ò Ù Ð Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø × Ø Ò Õ Ù Ð Ò Þ Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó ×
Ù Ò × Ø Ó Ð Ú Ó Ð Ø Ù Ö h0 Ô Ö Õ Ù Ð Ù Ö Ô Ó Ð Ó Ñ × Ð Ó × Ô Ó × Ð Ä Ú Ð Ó
Ò Ð Ð Ù Ö Ô Ó ×
v0 º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 6/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ð Ì Ñ ¾ Ò Ñ
¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ó Ö Ù Ò Ø Ð Ñ ×
M Õ Ù Ô Ù × Ð Þ Ö Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ù Ò
× Ù Ô Ö Ð × ¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
mº Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ø Ó
Ò Ø Ö Ð Ø Ð Ý Ð Ù Ö Ô Ó ×
µe Ý Ð Ó Ò Ø Ò Ñ Ó ×
µd º Ë Ó Ö Ð Ù Ö Ô Ó Ø Ù Ò
Ù Ö Þ
F Ó Ò × Ø Ò Ø º µ À Ð Ð Ö Ð × Ð Ö Ó Ò × Ð Ø Ð Ý Ð Ñ × Ù Ò Ó Ð Ù Ö Þ
F Ô Ð × Ø Ò Ô Õ Ù Õ Ù Ñ × Ñ × × × Ñ Ù Ú Ò Ó Ò Ð Ñ × Ñ Ð Ö Ò º µ Á Ñ
Ù Ò Ó Ð F × × Ù Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ú Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù Ð × Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý
Ð Ø Ð × Ò Ö Ò Ø × º µ Ø Ö Ñ Ò × Ð Ú Ð Ó Ö
F c Ð Ù Ö Þ Ô Ó Ö Ó Ð Ù Ð Ð ×
Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ø Ð × Ó Ò Ù Ð × º
Ë Ó Ð Ù Ò µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ô Ð × Ð Ó × Ù Ò Ø Ñ Ò Ø Ô Õ Ù Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù Ò Ó
Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ð Ø Ú Ó Ò Ø Ö Ð × Ó × Ñ × × º Ò × Ø × Ó Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ð Ù Ö Ô Ó
Ý Ð Ø Ð × Ó Ò Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø
ma = F − F r
M a = F r,´ ½ µ
À Ñ Ó × × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ù Ò Ñ Ò × Ò ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó × × Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ð Ñ Ó ¹
Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ
F Ø Ò × Ö Ò º È Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð × Ó ×
Ò Ò Ø ×
F r, a Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
a =F
M + m
F r =M
M + mF
´ ¾ µ
Ä Ô Ö Ñ Ö Ù Ò Ò Ó × Õ Ù Ó Ñ Ó Ð Ó × Ó × Ù Ö Ô Ó × × Ñ Ù Ú Ò × Ó Ð Ö Ñ Ò Ø ¸ × Ó Ñ Ó × Ø Ù Ú Ö Ñ Ó ×
Ù Ò Ò Ó Ù Ö Ô Ó Ñ ×
M + mº Ä × Ù Ò Ù Ò Ò Ó × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ù Ñ Ò Ø Ó Ò Ð
Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Ô Ð ¸ × Ö ¸ × Ú Ù × Ø Ò Ó Ó Ò Ð Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó × Ñ × × ×
× Ó Ð Ö Ó º È Ó Ö × Ù Ô Ù × Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ò Ó Ô Ù Ù Ñ Ò Ø Ö Ò Ò Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Õ Ù Ð × × Ô Ö Þ ×
Ò Ø Ö Ð × Ó × × Ù Ô Ö × Õ Ù Ô Ö Ó Ù Ò Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ô Ó Ö Ö º × Ó Ó Ù Ö Ö Ù Ò Ó × Ð Ð
Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ø Ó º × Ø Ó Ö Ñ
Ù Ò Ó
F r = µemg¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ø Ó
F c Ô Ð
µemg =M
M + mF c → F c = µemg
M + m
M ´ ¿ µ
Ù Ò Ó
M × Ñ Ù Ý Ö Ò Ý Ð Ø Ð × Ñ Ù Ý Ò Ö Ø ¸ × Ø Ù Ö Þ × Ö Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ó Ò Ó Ó
F c =µemg º
Ë Ð Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò × Ù Ô Ö × Ø Ú Ð Ó Ö Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ñ × × × × Ô Ð Þ Ò Ù Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
Ð Ó Ø Ö Ý Ð Ö Ò Ø Ó Ñ × Ù Ú Ð Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ó Ñ Ù Ð Ó F r = µdmg º Ä × Ù Ó Ò × Ð ×
Ñ × × × Ó Ò Ó Ö
ma1 = F − µdmg
M a2 = µdmg´ µ
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 7/71
Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ð Ö Ó Ò × º
a1 =F − µdmg
m
a2 =µdmg
M ´ µ
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ë Ó Ö Ù Ò Ù Ñ × M Ý Ò Ù Ð Ó α Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Õ Ù Ô Ù
× Ð Þ Ö × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
mº Ë Ô Ù Ó Ò × ¹
Ö Ö Õ Ù Ð Ó × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ð Ù Ý Ð Ù Ö Ô Ó × Ó Ò × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ø Ö Ñ Ò Ò × Ð ×
Ð Ö Ó Ò × Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ù º
Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ø Ð
X Ý Ò Ð Ú Ö Ø Ð
Ð
Y ¸ Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ù Ö Ò × Ø Ô Ð Ò Ó ¸ Ò Ó × × Ô Ö Ó Ù Ô Ñ Ó × Ð
Z º Ä Ù × Ø
Ù Ó Ö Ñ Õ Ù Ù Ò Ó Ð Ñ × ¸ Ð Ù × × Ô Ð Þ Ð Ö º
Ë Ó Ö Ð Ñ ×
m Ø Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ × Ù Ô × Ó p = (0,−mg)
Ý Ð Ò Ó Ö Ñ Ð n = n(− sen α, cos α)º Ë Ó Ö
Ð Ù Ø Ò Ø Ö × Ù Ö Þ × ¸ Ð Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ð Ó
N = (0, N ) Ð Ô × Ó
P = (0,−M g)Ý Ð Ö Ò Ð
Ò Ó Ö Ñ Ð Õ Ù Ð Ñ × Ý Õ Ù Ú Ð
N = −n = n(sen α,− cos α)º Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ò
Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
max = −n sen α
may = −mg + n cos α
M Ax = n sen α
M Ay = N −M g − n cos α´ µ
Ó Ò
a = (ax, ay) × Ð Ð Ö Ò Ð Ñ × Ý
A = (Ax, Ay)Ð Ð Ù º Ò × Ø × Ù Ø Ö Ó
Ù Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × × × Ò Ò Ø ×
ax, ay, Ax, Ay, n , N º Æ × Ø Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó × Ù Ó Ò × Ñ × º
× Ø × Ô Ö Ó Ú Ò Ò Ð × Ð Ù Ö × Ò Ñ Ø × Õ Ù × Ó Ò Õ Ù Ð Ù Ò × Ù Ò Ò × Ð Ú Ò Ø Ð × Ù Ð Ó Ý ¸
Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸
Ay = 0Ý Õ Ù Ð Ñ × Ô Ö Ñ Ò Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó º × Ø Ð Ø Ñ
Ó Ò Ò × Ô Ù Ü Ô Ö × Ö ×
y
x−X = tan α → y = tan α(x−X )
´ µ
Ó Ò
x, y × Ð Ô Ó × Ò Ð Ñ × Ý
X × Ð Ô Ó × Ò Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ù º Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Ð Ö Ó Ò × ¸ × Ø Ö × Ø Ö Ò × × Ö ´ Ö Ú Ò Ó Ó × Ú × Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó µ Ó Ñ Ó
ay = tan α(ax −Ax)´ µ
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ó Ò × Ö × Ó Ð Ú Ö × Ó Ò
max = −n sen α
may = −mg + n cos α
M Ax = n sen α
0 = N −M g − n cos α
ay = tan α(ax −Ax)´ µ
Ù Ý × Ó Ð Ù Ò ×
n =mg cos α
sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α
ax = −g sen α cos α
sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α
ay = −g +g cos2 α
sen2
α(1 + m/M ) + cos2
αAx =
mg sen α cos α
sen 2α(M + m) + M cos2 α
N = M g +mg cos2 α
sen 2α(1 + m/M ) + cos2 α´ ½ ¼ µ
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 8/71
È Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Õ Ù Ù Ò Ó
M → ∞ × Ø × Ó Ð Ù Ò Ó Ò Ó Ò Ð Ù Ò Ñ × Ý Ò Ó Ô Ó Ö Ù Ò
Ô Ò Ò Ø Ò Ù Ð Ó
α× Ò Ö Ò ´ Ó Ñ Ô Ö Ð Ó µ
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ò Ò Ð Ó Ö Ù Ò Ò Ø Ð Ó Ð Ø Ù Ö
h × Ô Ö Ù Ò Ð Ò
Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó
v0 º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ö Ù Ò
Ù Ö Þ Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ú Ð Ó ¸ × Ô µ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ð ¸
µ Ð × Ó Ð Ù Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸ µ Ð Ñ Ü Ñ Ó Ð Ò Õ Ù Ô Ù Ø Ò Ö Ð
Ò µ Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ð Ð Ò Ð Ð Ö Ð × Ù Ð Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò
µ Ð Ñ Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ö Ò × Ø Ð Ô Ð Ò Ø Ð Ó ¸ Ó Ò Ð Ð ×
x Ò
Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ð Ð ×
z Ò Ð Ú Ö Ø Ð º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ð Ó Ð × Ö
r(0) = (0, 0, h)Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù × Ù Ú Ð Ó Ò Ð × Ö v(0) = (v0, 0, 0)
Ä × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ò Ó × Õ Ù
mr = F Ó Ò r × Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ð Ð Ý F ×
Ð × Ù Ñ Ð × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ö Ð Ð º Ò × Ø × Ó Ð × Ù Ö Þ × × Ó Ò
F = Fg + Fr Ó Ò
Fg = (0, 0,−mg)Fg = −α(vx, vy, vz)
´ ½ ½ µ
Ä Ù Ö Þ Ð Ö Ú Ú Ó Ò Ð Ö Ò
z¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ×
Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ú Ð Ó Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð
αÝ Ø Ò × Ò Ø Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ú Ð Ó
Ý Õ Ù Ö Ò Ð Ó Ð º
Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ¸
mx = −αvx
my = 0
mz = −mg − αvz ´ ½ ¾ µ
µ Î Ñ Ó × Õ Ù Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ô Ö × Ó Ô Ð ¸ × Ö ¸ Ò Ó Ô Ò Ú Ö Ð × Ð × Ó Ø Ö ×
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ô Ó Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö Ù Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ò Ö Ò Ô Ò Ò Ø º Î Ñ Ó ×
Ð Ô Ö Ñ Ö Ù Ò ¸ Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ñ Ó
mvx = −αvx ´ ½ ¿ µ
× Ø Ù Ò × Ð Ø Ô Ó
v = −γv¸ Ó Ò
γ = α/m Ù Ý × Ó Ð Ù Ò × Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð Ð Ø Ô Ó
v(t) =exp{−γt}v(0)
Ó Ñ Ó Ô Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ð Ö Ú Ö × Ø Ù Ò Ò ¸ Ý Ð Ú Ö Õ Ù Ô Ö
t = 0 v(t) = v(0)
Ó Ñ Ó × Ö º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
vx(t) = exp−α
mt v0 ´ ½ µ
× Ø Ù Ò ¸ × Ù Ú Þ ¸ Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
x Ð Ô Ó × Ò Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ¸
x(t)Ý Õ Ù × Ô Ù Ò Ø Ò Ö Ó Ñ Ó Ð × Ù Ò Ø Ù Ò Ö Ò Ð
x(t) = exp−
α
mt
v0 ´ ½ µ
Á Ò Ø Ö Ò Ó × Ø Ù Ò
t = 0
t = t¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
t0
dt′x(t′) =
t0
dt′ exp−
α
mt
v0
x(t)− x(0) = −α
m
v0 exp−α
m
t− 1 ´ ½ µ
Ó Ò Ñ Ó × Ô Ð Ó Ð Ö Ð Ö Ö Ó Û Ò Ð Þ Õ Ù Ö Ð Ù Ò Ý Ð Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ð
Ü Ô Ó Ò Ò Ð ´ Õ Ù × Ð Ð Ñ × Ñ ¸ Ó Ò Ø Ó Ö × Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú Ó × µ º È Ó Ñ Ó × × Ö Ö × Ø × Ó Ð Ù Ò ×
x(t) = x(0) +α
mv0
1− exp
−
α
mt
´ ½ µ
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 9/71
Ó Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
x Ð Ð Ô Ò Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ó × Ò Ò Ð Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó
Ò Ð º È Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò Ó × Ð Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
x(0) = 0º
È × Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö Ó Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø y Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ð º Ä × Ó Ð Ù Ò Ð Ù Ò
Ö Ò Ð
my = 0 × ¸ × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
y(t) = y(0) + vy(0)t¸ Ó Ñ Ó Ô Ù Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ð Ö Ú Ö Ó × Ú ×
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Ý × Ù Ö Ö × Õ Ù Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ó × Ò Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ð × Ó Ò
y(0)Ý
vy(0)
Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º Ó Ñ Ó Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ
y(0) = 0Ý
vy(0) = 0 Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ×
y(t) = 0 × Ö Ð
Ð × Ñ Ù Ú × Ñ Ô Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó
y = 0 Ó Ñ Ó × Ô Ö Ö º
Ä Ð Ø Ñ Ù Ò Ö Ò Ð Ö × Ó Ð Ú Ö × Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
z¸ × Ö
mvz = −mg − αvz ´ ½ µ
Ë Ò Ñ Ó ×
v′z = vz + mg/α × Ø Ù Ò Ú Ò
mv′z = −αv′z ´ ½ µ
Õ Ù Ø Ò × Ó Ð Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð
v′z(t) = exp{−α/mt}v′z(0)º × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×
vz(t) =gm
αexp{−
α
m
t} − 1 + exp{−α
m
t}vz(0)´ ¾ ¼ µ
Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó ¸ Ð Ó Ò Ò Ò Ð ×
vz(0) = 0º Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
z Ð Ð × Ó Ø Ò
Ó Ò × Ö Ö × Ø Ù Ò Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð
z(t) =gm
α
exp{−
α
mt} − 1
´ ¾ ½ µ
Á Ò Ø Ö Ò Ó Ñ Ó × Ñ Ñ Ö Ó × Ò Ø Ö Ð Ó × Ø Ñ Ô Ó ×
0, tØ Ò Ö Ñ Ó ×
t0
d
dtz(t′)dt′ =
t0
gm
α
exp{−
α
mt} − 1
dt′
z(t)− z(0) = −gm2
α2exp{−
α
m
t} − 1 −gm
α
t´ ¾ ¾ µ
Ó Ñ Ó
z(0) = hÔ Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ð Ù Ð
z(t) = 0Õ Ù × Ù Ò Ó Ð Ð Ð Ó Ò Ó
Ð Ò Ø Ð Ó º × Ø Ñ Ô Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò Ð Ù Ò
hα2
gm2+ 1 = exp{−
α
mt}+
α
mt
´ ¾ ¿ µ
× Ø × Ù Ò Ù Ò Ø Ö × Ò Ò Ø Ð Ó Ö Ñ
e−x−x = yÕ Ù × Ö Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Ö Ð Ô Ó Ö Ñ Ø Ó Ó ×
Ò Ù Ñ Ö Ó × º Ø Ó × Ó Ö Ñ × ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù × Ñ Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò
× Ø Ù Ò Ý Ú Ð
tcaida º Ò × Ø Ø Ñ Ô Ó ¸ Ð Ð Ö Ö Ó Ö Ö Ó Ù Ò × Ø Ò
x(tcaida) =
α
m tcaidav0 α
m tcaida −
hα2
gm2
´ ¾ µ
× Ø × Ð Ð Ò Ñ Ü Ñ Ó Ð Ð º
È Ö Ó Ð Ñ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Õ Ù Ó Ò Ù Ò Ù Ó Õ Ù Ö Ó Ø Ú Ð Ó
Ó Ò × Ø Ò Ø º
Ë Ó Ð Ù Ò Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ð Õ Ù Ó × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S ′
× Ó Ð Ö Ó Ð Ù Ó Ý Õ Ù Ö Ó Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò ´ Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø µ Ò Ö Ð Ð
Ì Ö Ö º Ð Ñ Ó × × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S ′Ò Ó Ò Ö Ð Ó Ö Ñ Õ Ù × Ù
z × Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð
Ö Ó Ø Ò Ý × Ù Ó Ö Ò × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö Ð Ð Õ Ù Ó º
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ô Ó Ö Ò Ô Õ Ù Ð Õ Ù Ó ¸ Ñ ×
mÕ Ù × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö
Ð Ð Õ Ù Ó º × Ø Ô Ó Ö Ò × Ø × Ó Ñ Ø Ú Ö × Ù Ö Þ × × Ù Ô Ö Ó Ô Ó Ô × Ó mg ¸ Ð Ð Ö Ò Ò Ø Ö Ù
Õ Ù S ′ × Ò Ó Ò Ö Ð ¸ mω×(ω×r) Ó Ò r × Ð Ô Ó × Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò S ′ Ý ¸ Ò Ð Ñ Ò Ø
Ð Ù Ö Þ Ô Ö × Ò P Ð Ö × Ø Ó Ð Ù Ó Ý Õ Ù Ñ Ô Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ò
Ð × Ù Ô Ö × Ñ Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ù Ó º Ä Ó Ö Ñ Ù Ò Ó Ò Ð × Ø Ù Ö Þ Ô Ö × Ò Ò Ó Ð
Ó Ò Ó Ñ Ó × ¸ Ô Ö Ó × × Ñ Ó × Õ Ù × × Ñ Ô Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö Ð Ð Õ Ù Ó º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 10/71
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×
y
m
ω
x
Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ö Ø Ø Ö Ò × Ú Ö × Ð Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ó
x, z¸ Ð Ó Ö Ñ Ð × Ù Ô Ö
Ð Ð Õ Ù Ó × Ù Ò Ù Ö Ú Ô Ó Ö Ð Ù Ò
z(x)º Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó
x Ó ¸ Ð Ù Ö Ú Ø Ò Ô Ò Ò Ø
Ô Ó Ö Ð Ö Ú
z′(x) Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ò Ù Ð Ó
αÕ Ù Ó Ö Ñ Ð Ð Ò Ø Ò Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
× Ø Ô Ó Ö
tan α = z′(x)º Ó Ñ Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ó × Ñ Ù Ú ¸ Ó Ù Ö Ö Ö Õ Ù mg + mω × (ω ×
r) + P = 0º Ä × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ø Ó × Ú Ø Ó Ö × × Ó Ò
mg = (0, 0,−mg) mω × (ω × r) = (ω2x, 0, 0)Ý
P = (−P sen α, 0, P cos α) Ó Ò Ð Ó Ò Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ú Ò
P sen α = mω2x
P cos α = mg´ ¾ µ
Ú Ò Ó Ñ × Ù Ó Ò × Ó Ø Ò Ñ Ó ×
tan α = z′(x) =ω2
gx
´ ¾ µ
× Ø × Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð Ù Ý × Ó Ð Ù Ò × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
z(x) =ω2
2gx2 + x0 ´ ¾ µ
Ó Ñ Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × × Ø Ò Ð × Ù Ô Ö ¸
x0 = 0º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó Ö Ñ
Ð × Ò Ø Ö Ò × Ú Ö × Ð Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Õ Ù Ó Õ Ù Ö Ó Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð º Ä × Ù Ô Ö Ñ × Ñ
× Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ò × × Ô Ð Þ × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ý Ú Ð Ó
´ × Ô Ñ Ò Ø × Ù Ñ Ù Ð Ó µ Ó Ò × Ø Ò Ø Ò Ù × Ò Ò Ò Ò Ø Ô Ó Ó Ö Ö Ò Ø × Ö º
Ë Ù × Ñ Ó Ø Ó Ö × × Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ × Ú Ö Ø Ð × Ñ Ò Ö Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ð Ð Ø Ù Ö
Ó Ò × Ø Ò Ø º × Ø Ñ Ó Ó ¸ Ð Ú Ò Ú Ø Ó Ó Ð Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ô Ù Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ô × Ö
× Ø Ó ¸ Ð Ú Ò × Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö Ú × Ø × Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ë Ð Ø Ö Ö Ò Ó Ö Ö ¸ Ð Ú Ò × Ù Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ó Ñ × Ö Ø Ô Ó × Ð Ý Õ Ù Ò Ó × Ò Õ Ù
Ð × Ù Ð Ø Ù Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö × Ù Ð Ø Ù Ö × Ñ Ô Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ö Ù Ò
Ù Ö Þ Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö ´ Ý Õ Ù × Ò Ó × Ù Ö Ò Ð Ò Ö Ø Ý × Ð Ö Ð
Ø Ö Ö µ º Ð Ú Ò Ò × Ø × Ó Ø Ö Þ Ö Ù Ò Ö Ù Ð Ó Ù Ý Ó Ò Ø Ö Ó × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö º
Ó Ñ Ó Ð Ø Ö Ö × Ñ Ù Ú ¸ Ñ Ó × Ò Ð Þ Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù × Ò Ó Ð Ù Ò Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ð
× × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð Ð Ì Ö Ö ¸ Õ Ù ×
ma′ = RFng + mg′efectiva −m2ω′ × v′ ´ ¾ µ
Õ Ù
a′ × Ð Ð Ö Ò Ð Ú Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ó Ò Ö Ð Ò Ð × Ù Ô Ö Ð
Ø Ö Ö ¸
g′efectiva × Ð Ö Ú Ø Ú ´ Ö × Ù Ð Ø Ó Ð Ó Ñ Ò Ò Ð Ö Ú Ö Ð Ý Ð Ù Ö Þ
Ò Ø Ö Ù µ ¸
Fng × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Õ Ù × Ø Ø Ù Ò Ó × Ó Ö Ð Ú Ò Ý
RFng × Ó Ò
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 11/71
Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ø Ò Ø Ð Ø Ö Ö º Ò Ð Ñ Ò Ø Ð
Ð Ø Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ù Ö Þ Ó Ö Ó Ð × ¸ Ù Ý Ü Ô Ö × Ò Ü Ô Ð Ø × Ø Ô Ó Ö Ò
−2ω′ × v′ = 2ωT
(v′y sen λ− v′z cos λ)e′x − v′x sen λe′y + v′x cos λe′z
Ó Ñ Ó Ò Ó × Ò Õ Ù Ð Ú Ò Ú Ù Ð Ð Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ô × Ö Õ Ù a′z = 0,v′z = 0
º Ä Ù Ö Þ
Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó × Ó Ð Ñ Ô Ù Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö × Ð Ú Ò Õ Ù × Ù Ö Ò Õ Ù × Ø × Ñ Ô Ö
Ð Ø Ù Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô × Ö Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ñ Ô Ù Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö ×
Fng Ò Ð Ù Ð Õ Ù Ö
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ú Ö Ø Ð Ð Ú Ò Ý Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó
x, y´ × Ô Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ö Ö Ó Ö ×
Ó × Ð Ù Ö Ú Ø Ù Ö Ð Ø Ö Ö µ º Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò × Ô Ð Ò Ó ×
a′ = 2ωT sen λ
v′ye′
x − v′xe′
y
´ ¾ µ
× Ö
v′x = 2ωT sen λv′y
v′y = −2ωT sen λv′x ´ ¿ ¼ µ
× Ø × Ù Ó Ò × Ó Ò Ò Ó Ò Ð × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ Ó Ú Ò Ó × Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ú Ò × Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö º
È Ö Ó Ð Ñ × Ú Ò Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ú Ö Ø Ð
Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S ′ Ò Ó Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ó Ò Ð
Z ′ Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ö Ö ¸ Ð
Y ′ Ð Æ Ó Ö Ø Ý Ð
X ′ Ð × Ø ¸ Ð Ù Ð Ö
Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ð Ö Ð ´
Z ′µ º × Ø Ñ Ö Ó Ò Ù Ð Ó
Ò Ð × Ù × Í × Ù ´ Ì Ö Ö Ù Ó ¸ Ö Ò Ø Ò µ ¸ È Ö × Ý Ò Å Ð Ó ´ Ù Ò
Ù Ø Ó Ö Ð µ º Ì Ó Ñ Ó Ñ Ó Ö Ó Ñ Ó Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ú Ð Ó Ö R = 6370 Ñ ωT = 7,29× 10−5×
−1Ý
Ó Ñ Ó Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ð Ö Ú Ø Ö Ö × Ø Ö
g = 9, 81Ñ » ×
2º
Ý Ù Ä Ø Ø Ù Í × Ù −54,8◦Ë ¸ È Ö ×
48,86◦Æ Ý Å Ð Ó
3,75◦Æ º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ä Ð Ö Ò Ø Ú × Ò Ó Ñ Ó
gefectiva = g− ω × (ω ×R)´ ¿ ½ µ
Ò Ð Ñ × Ö Ó Æ Ó Ö Ø Ø Ò Ñ Ó ×
gN efectiva = −ω2T R cos λ sen λe′y + (ω2
T R cos2 λ− g)e′z ´ ¿ ¾ µ
Ò Ð Ñ × Ö Ó Ë Ù Ö Ø Ò Ñ Ó ×
gS efectiva = ω2T R cos λ sen λe′y + (ω2
T R cos2 λ− g)e′z ´ ¿ ¿ µ
Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ø Ú Ó Ò Ð Ö Ð
Z ′× Ò Ó Ò
tan α = gy′
efectiva
gz′
efectiva
´ ¿ µ
Ä Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
Z ′ Ð Ö Ú Ø Ú Õ Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ò Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö ×
Ñ Ü Ñ Ò Ð Ó × Ô Ó Ð Ó × Ý Ñ Ò Ñ Ò Ð Ù Ó Ö º
Ò Ð Ñ × Ö Ó Æ Ó Ö Ø Ø Ò Ñ Ó ×
tan αN =−ω2
T R cos λ sen λ
ω2T R cos2 λ− g
´ ¿ µ
Ò Ð Ñ × Ö Ó Ë Ù Ö Ø Ò Ñ Ó ×
tan αS =ω2T R cos λ sen λ
ω2T R cos
2
λ− g
´ ¿ µ
Ó Ò Ó Ó × Ð Ó × Ø Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ñ Ó ×
È Ö È Ö ×
αN = 0,0981099◦
È Ö Å Ð Ó
αN = 0,0129482◦
È Ö Í × Ù
αS = −0,0932381◦
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 12/71
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Ù Ö × Ñ Ù × Ø Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ó × Ð Ó Õ Ù × Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò
Ù Ö Ò Ü Ø Ò × Ð Ý Ñ × × Ô Ö Ð º Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ó × Ó ×
Ð Ó Õ Ù × Ý Ò Ø Ö Ð Ñ ×
m1 Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ×
µº ú Ù Ð × Ð Ù Ö Þ Ô Ð × Ó Ö
m1 Ô Ö Õ Ù × Ñ Ù Ú Ó Ò Ú Ð Ó
v0 Ó Ò × Ø Ò Ø
Vom1
m2
Ò Ø ×
FT
Fr
Fr’
P1=m1g
N
N’
Fr’
N’
P1=m1g
T
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×
Ù Ö ½
È Ö Ó Ð Ñ Ë Ó Ö Ù Ò Ð Ó Õ Ù Ñ ×
M × Ø Ù Ó × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ø Ù Ò
Ù Ö Þ
F Õ Ù Ù Ý Ö Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó
θ Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð ´ Ú Ö Ù Ö µ º Ð Ó Ò Ø
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ×
µº µ Ñ Ø Ò Ó Ð × Ó Ò Ð Õ Ù
F >> M g¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ò Ù Ð Ó
θÑ Ü Ñ Ó Ô Ö Ð Ù Ð
F Ò Ó Ô Ù Ö Õ Ù × Ð Ð Ð Ó Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Õ Ù × × Ù
Ñ Ò Ø Ù º µ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ð Ò F/Mg Ò Ù Ò Ò θ Ý µ Ø Ð Õ Ù Ð Ð Ó Õ Ù Ñ Ô
× Ð Þ Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ð Ò × Ö Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø Ð Ô Ö Ø Ó µ Ò Ð Ð Ñ Ø
F >> Mgº
M
θF
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m× Ù Ù Ò Ð Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
x(t) = a cos kt,y(t) =b sen kt
º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ù Ö Þ
F Õ Ù Ô Ö Ó Ú Ó × Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ô Ò × Ð Ó Ð Ô Ó × Ò
Ð Ù Ö Ô Ó º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö h Ò Ù Ò Ñ Ó
Ú × Ó × Ó ¸ Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð × Ù Ú Ð Ó º Ð Ñ × Ñ Ó
Ø Ñ Ô Ó × Ð Ò Þ × Ð × Ù Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ö Ö Ù Ò × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ð
Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ð Ó
v× Ò Ð Ú Ö Ø Ð º Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ò
Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × º È Ù × Ö Ý Ù
dx1+x
= ln(1 + x).
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
mÔ Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó Ý ¸ Ó Ð Ò Ð
Ö Ú ¸ Ø Ö Ú × Ù Ò Ñ Ó Ú × Ó × Ó Õ Ù Ó Ô Ó Ò Ù Ò Ö × × Ø Ò Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð Ð Ù Ö Ó
Ð Ú Ð Ó ´ Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð
β µ º Ë Ô µ × Ö Ö Ð Ù Ò Ð
Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð µ × Ò Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù Ò ¸ ú Ô Ò × Î º Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð ¸
× Ô Ù × Ù Ò Ø Ñ Ô Ó Ñ Ù Ý Ð Ö Ó ¸ × Ô Ö Ö Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ö × Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ò Ñ Ò Ø
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ö e Ð Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð
Ö Ñ Ò Ó Ý Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò
r + ω20r = −
e
mcr×B
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 13/71
Ð Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ó
B Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö Ò Ð
Z º Ë Ù Ô Ò × Õ Ù
ωL = eB2mc
≪ ω0 º
Ò Ð Þ Ö Õ Ù Ø Ô Ó × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × × Ó Ò Ô Ó × Ð × Ð Ó Ö Ñ
r(t) = r0e−iωtÝ Ù Ð × × Ó Ò × Ù ×
Ö Ù Ò × ω º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Í Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ù Ð Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ô Ó × Ó º ú É Ù Ò Ù Ð Ó
Ó Ö Ñ Ö Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð Ù Ò Ó Ð Ð Ö Ò Ð Ó ¸ Ñ Ó Ú Ò Ó × Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸
×
100 cm/s2
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ô Ö Ñ Ò Ò Ö Ô Ó × Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ö Ù Ó ×
Õ Ù Ö
20Ö Ô Ñ º Ð Ð Ó Õ Ù × Ø
150 cm Ð Ö Ó Ø Ò º ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ó Ò Ø
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ú Ñ Ó Ô Ó Ö Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ó
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 14/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ì Ñ ¿ Ó Ñ Ø Ö Ð Ó × × × Ø Ñ ×
Ô Ö Ø Ù Ð ×
¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ó × Ô Ö Ø Ù Ð ×
Ö Ò Ø Ñ × ¸ Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ø Õ Ù Ð × Ù Ò ¸ Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ü Ô Ö × Ö Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ñ × Ö Ù º
Ë Ó Ð Ù Ò Ê × Ù Ð Ø Ó Ò Ú Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ø Ò × Ù Ó Ö Ò Ò Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × Ó Ö Ñ Õ Ù × Ù
Y × Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ö Ø Õ Ù Ù Ò Ð × Ñ × × Ý
Ð
X × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö ´ Ð
Z × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ó × µ º Ë Ò
r1, r2 Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ù Ò
Ð × Ñ × × ¸ × Ù Ô Ù × Ø × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × ¸ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S º Ä Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó
Ñ × × ×
Rcm =m1r1 + m2r2
m1 + m2
´ ½ µ
Õ Ù ¸ Ô Ó Ö Ò Ò ¸ Ú Ð
Rcm = 0º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ó Ñ Ó
r1 = (0, r1, 0) r2 = (0, r2, 0)Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
r1 = −m2
m1
r2 ´ ¾ µ
Ë Ò Ñ Ó ×
r Ó Ñ Ó Ð × Ø Ò Ò Ø Ö Ñ × Ñ × × ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
r = |r1| + |r2| Ý ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò
Ø Ö Ñ Ò Ó × × Ø × Ø Ò Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
|r1| =m2
m1 + m2
r
|r2| =m1
m1 + m2
r´ ¿ µ
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ó × Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ð
I xx Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ø Ò Ô Ö × Ñ Ò Ø × Ù X Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó º Ó Ñ Ó
Ý Ñ Ó × Ð Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ô Ö Õ Ù × Ù
X × Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó ¸ × Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù Ð Ù Ð Ö
I xx =
i mi(y2i + z2i )Õ Ù ×
I xx = m1r21
+ m2r22
=m1m2
m1 + m2
r2 = µr2´ µ
× Ò Ó µ Ð Ñ × Ö Ù º
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ù Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ø × × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ò Ð Ó × Ú Ö Ø × Ù Ò Ù Ö Ó
Ð Ó
aº Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S Ù Ý Ó × ×
x, y × Ø Ò
Ð Ó Ð Ö Ó Ð × Ó Ò Ð × Ý × Ù Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ó º Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö
Ò Ö Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S ′ Ò Ð Õ Ù Ð Ó × ×
x, y× Ó Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ð Ó ×
Ð Ó × Ð Ù Ö Ó º À Ð Ð Ö Ð Ó × × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ º
Ë Ó Ð Ù Ò
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 15/71
Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S Ð × Ñ × × Ø Ò Ò Ó Ó Ö Ò ×
r1 = a
0, 1√ 2
, 0
¸
r2 = a
1√ 2
, 0, 0
¸
r3 = a
0, − 1√ 2
, 0
¸ r4 = a− 1√
2, 0, 0
º Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×
I =
N i=1 mi(yi
2 + zi2) −
N i=1 mixiyi −
N i=1 mixizi
−N
i=1 miyixiN
i=1 mi(xi2 + zi
2) −N
i=1 miyizi
−N
i=1 mizixi −N
i=1 miziyiN
i=1 mi(xi2 + yi
2)
´ µ
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
zi = 0Ý Õ Ù
xiyi = 0Ô Ö Ø Ó × Ð × Ñ × × ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ú Ò
× Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
I =
N i=1 miyi
2 0 0
0
N i=1 mixi
2 0
0 0N
i=1 mi(xi2 + yi
2)
= ma2
1 0 0
0 1 0
0 0 2
´ µ
Ò Ð × × Ø Ñ
S ′¸ Ð × Ó Ó Ö Ò × Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ó Ò
r1 = a1
2, 12
, 0
¸
r2 = a1
2,−1
2, 0
¸
r3 =a−1
2,−1
2, 0
¸ r4 = a−1
2, 12
, 0
º Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ø Ó Ñ Ø Ñ Ò Ð Ó Ö Ñ
I = ma2
1 0 0
0 1 0
0 0 2
´ µ
Î Ñ Ó × Ô Ù × ¸ Õ Ù Ø Ò Ø Ó Ò Ð × × Ø Ñ
S Ó Ñ Ó Ò Ð
S ′ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð º Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
× Ø Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ñ Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò Ó Ò × Ø Ø Ù Ý Ò
× Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ º
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ð Ô × Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ ×
M Ö × Ô Ø Ó
Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ý Ó × × × Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó × × Ð Ð Ô × Ó º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó
x,y,z Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ô × Ó Ù Ñ Ô Ð
x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1
º Ë Ù Ô Ò × Õ Ù
a > b > cº
Ë Ó Ð Ù Ò À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ø × Ð Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó º É Ù Þ × Ù Ò
Ó Ö Ñ Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö × Ð Ö Ð Ó × × Ð Ð Ô × Ó Ô Ö Ó Ò Ú Ö Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò
× Ö Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ó × Ð Ù Ð Ó × × Ó Ò Ñ Ù Ý × Ò Ð Ð Ó × º Ê × Ð Ö Ò × Ø × Ó × Ò ¸ × Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ö
Ñ Ó × Ú Ö Ð × Ò Ð × Ò Ø Ö Ð × Õ Ù Ò Ò Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º Ä Ó × Ö Ú Ò × Ð × Ù Ò Ø
Ä Ù Ò Ð Ð Ô × Ó ×
x2
a2+
y2
b2+
z2
c2= 1
´ µ
Ë Ò Ø Ö Ó Ù Ñ Ó × Ú Ö Ð ×
x1, y1, z1 Ò × Ù Ö Ó Ó Ò Ð × Ö Ð Ó Ò ×
x = ax1 ¸
y = by1 ¸
z = cz1 ¸
Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×
(x1, y1, z1) Ù Ñ Ô Ð Ò Õ Ù
x21
+ y21
+ z21
= 1´ µ
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó × Ø Ò Ò Ð × Ù Ô Ö Ù Ò × Ö Ö Ó Ù Ò º
Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ð Ô × Ó × Ð Ù Ð
V =
V
dxdydz = abc
V 1
dx1dy1dz1 ´ ½ ¼ µ
Õ Ù
V × Ð Ö Ò Ó Ù Ô Ô Ó Ö Ð Ð Ô × Ó ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù
V 1 × Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð × Ö Ö Ó Ù Ò º
Ä × Ù Ò Ö Ð Ò × Ð Ó Ö Ñ Ò Õ Ù × Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ð Ñ Ù Ð Ø Ñ Ò × Ó Ò Ð º
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 16/71
Ó Ñ Ó Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ù Ò × Ö Ö Ó Ù Ò ×
4/3π¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ð Ô × Ó ×
V = 4/3πabcº
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Z Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ô × Ó ´ Ó Ò × ¹
Ö Ó Ó Ñ Ó Ò Ó µ ×
I zz = ρ
(x2
+ y2
)dxdydz =
M
V abc V 1(a
2
x2
1 + b2
y2
1)dx1dy1dz1´ ½ ½ µ
Æ × Ø Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ú Ð Ù Ö Ò Ø Ö Ð × Ð Ó Ö Ñ V 1
x21dx1dy1dz1 =
V 1
z21dx1dy1dz1 ´ ½ ¾ µ
È Ö Ð Ð Ó Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ö × V 1
z21dx1dy1dz1 =
1
0
drr2 π0
dθ sen θ
2π
0
dφ(r cos θ)2
= 10 drr
2 π0 dθ sen θ
2π0 dφ(r cos θ)
2
=
1
0
drr4 π0
dθ sen θ cos2 θ
2π
0
dφ = 2π2
3
1
5=
4πa2
15´ ½ ¿ µ
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ (a2x2
1+ b2y2
1)dx1dy1dz1 =
4π
15(a2 + b2)
´ ½ µ
Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö
I zz = ρ V (x
2
+ y2
)dxdydz =
M
V abc V 1(a
2
x2
1 + b2
x2
2)dx1dy1dz1 =
1
5 M (a2
+ b2
)´ ½ µ
Ó Õ Ù × Ø Ò Ð × × Ô Ù × Ö Ô Ð Ó Ù Ð Õ Ù Ö ¸ Ð Ó × Ó Ø Ö Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ö × Ö Ò
I 1 = ρ
(z2 + y2)dv =
M
V abc
(c2x23 + b2x22)dx1dy1dz1 =
1
5M (b2 + c2)
I 2 = ρ
(z2 + x2)dv =
M
V abc
(c2x2
3+ a2x2
1)dx1dy1dz1 =
1
5M (a2 + c2)
´ ½ µ
Ä Ó × Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ò Ö Ð Ó Ö Ñ
I xy = −ρ V dxdydzxy
× Ð Ú Ö Õ Ù × Ò Ù Ð Ò Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö
I xy = −ρ V xydxdydz = −ρabcab
V 1 x1y1dx1dy1dz1 = 0
´ ½ µ
Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ð × Ó Ö
x1 ¸ Ô Ó Ö Ú Ð Ó Ö
x1 Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ý Ó Ø Ö Ó Ú Ð Ó Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù
Ð Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ð º Ë Ò Ó × Ø Ó Ò Ú Ò Ó ¸ Ù Ø Ð Ó Ó Ö Ò × × Ö × Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ö Ð Ó º
Î Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Õ Ù Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð Ò Ð × × Ø Ñ × Ð Ó ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð × Ø Ó ×
× × Ó Ò × Ô Ö Ò Ô Ð × º
È Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ñ × Ø Ó Ø Ð
M
Ý Ð Ö Ó
aÝ Ò Ó
b Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù
Ò Ø Ö Ó Ñ × × º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð ¸ Õ Ù × Ø Ñ Ò × Ù Ò Ø Ö Ó
Ñ × × ´ Ó Ñ Ô Ö × µ Ý Ù Ý Ó × × × Ø Ò Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö ¸ Ó Ò Ð
Z Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð
Ô Ð º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Õ Ù Ò Ó × Ô Ò ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ò Ð
I zz Ð Ø Ò × Ó Ö
Ò Ö º È Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ô Ð Ò Ó × Ø Ù Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó
X, Y Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 17/71
O−a/2
b/2
Y
X
a/2
−b/2
x
y dm
I xx =
y2dm I xy =
(−xy)dm I xz = 0
´ ½ µ
I yx = I xy I yy =
x2dm I yz = 0
´ ½ µ
I zx = I xz I zy = I yz I zz = (x2 + y2)dm´ ¾ ¼ µ
Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ô Ð × Ó Ñ Ó Ò Ý Ð Ò × Ñ × × Ù Ô Ö Ð ×
σ = M ab ¸ Ð Ñ Ó × Ù Ò
Ö Ò Ð Ñ × Ö Ø Ö Ö Ó Ö Ø Ò Ù Ð Ö
dm Ð Ó ×
dxÝ
dy× Ø Ù Ó Ò Ù Ò × Ó Ó Ö Ò ×
(x, y)º
Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ö Ó Ñ Ó Ò Ð Ô Ð × × Ø × Ö Õ Ù
dm = σdxdyº Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö
Ô Ó ×
I zz =
S
ρ2dm =
b/2−b/2
a/2−a/2
σρ2dx
dy =
b/2−b/2
a/2−a/2
σ(x2 + y2)dx
dy =
M
12(a2 + b2).
¾ ½ µ
È Ö Ó Ð Ñ Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ù Ö ¸ Ð Ý
Ö ¸ Ð Ó
aÝ Ñ ×
M Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù
Ò Ø Ö Ó ×
I z = M a2/6 Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö × Ô Ø Ó ´ µ Í Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö
Ð Ó Ò Ð º ´ µ Í Ò Ô Ö Ð Ð Ó Ù Ò Ð Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ë Ø Ó Ñ Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò × Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ó Ò Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð ¸ Ð
z× Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ô Ð Ý Ð Ó × ×
x
yÔ Ö Ð Ð Ó × Ð Ó × Ð Ó × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö ×
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
I z = I x + I y = 2I x
Ó Ò Ñ Ó × Ø Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù
I x = I yº È Ö Ó Ù Ð Ñ Ò Ø × Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ö Ð Ó × ×
x
y Ð Ó Ð Ö Ó
Ð × Ó Ò Ð × Ý Ó Ñ Ó Ò × Ø × Ó Ø Ñ Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
I x = I y Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ù Ñ ×
mÝ Ö Ó ×
R1 Ý
R2 Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ø Ò Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö º Ó Ò × Ö
R1 > R2 º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 18/71
Ë Ó Ð Ù Ò
È Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ö Ô Ó × Ù Ó × ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò
Ù Ö Ô Ó Õ Ù Ò Ó Ù Ö Ù Ó Ý Ö × Ø Ö Ð Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ù Ý Ó Ö Ñ × Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð
Ð Ù Ó º × Ø Ó × × Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ø Ú Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ñ Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ð
Ù Ö Ô Ó º
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó ×
I = mR2/5Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ö Ù ×
I =2
5(m1R2
1− m2R2
2) =
2
5m
R51− R5
2
R31− R3
2
Ó Ò
m1, R1 Ý
m2, R2 × Ó Ò Ð × Ñ × × » Ö Ó × Ð × Ö Ñ Þ Ö Ó Ñ Ý Ó Ö Ý Ð Ù Ó Ò Ø Ö Ò Ó ¸
Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º Ô Ð Ò Ó Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ë Ø Ò Ö ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Õ Ù × Ø Ò Ò Ø
Ð × Ù Ô Ö ×
I ′ = I + mR2
1=
2
5m
R51− R5
2
R31− R3
2
+ mR2
1
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × × Ø Ñ Ø Ö × Ô Ö Ø Ù Ð × Ù Ð Ñ × Ø Ò Ò Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ú Ø Ó Ö ×
Ô Ó × Ò
r1 = (b, 0, b) r2 = (b,b, −b) r3 = (−b,b, 0).
Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ý Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ë Ò Ó Ñ Ö Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ñ Ó
X 1, X 2, X 3 Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò
I 11 = i
mi(x2
i,2 + x2
i,3) = mb2 + m(2b2) + mb2 = 4mb2,
I 22 =i
mi(x2i,1 + x2i,3) = 5mb2,
I 33 =i
mi(x2i,1 + x2i,2) = 5mb2,
I 12 = I 21 = −i
mixi,1xi,2 = −m(b2) − m(−b2) = 0,
I 13 = I 31 = −i
mixi,1xi,3 = 0,
I 23 = I 32 = −i
mixi,2xi,3 = mb2,
´ ¾ ¾ µ
Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×
I = mb2
¼ ¼
¼ ½
¼ ½
Ä Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö × Ó Ò Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ð × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ð × × Ø Ñ
× Ô Ö Ò Ô Ð × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ó Ò Ð Þ Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ´ × Ö ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ù ×
Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ý Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × µ º Ë Ò Ð Ø Ó Ö Ñ × Ô Ø Ö Ð ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ó Ò × Ø Ö Ù Ö Ô Ö
Ð Ð Ó Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ Ø Ö Þ
mb2
¹
λ¼ ¼
¼ ¹
λ½
¼ ½ ¹
λ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 19/71
Õ Ù × Ö Ö Ó º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø Ý Ð Ó Ù Ð Ñ Ó × Ö Ó Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
(4 − λ)
(5 − λ)2 − 1
= 0´ ¾ ¿ µ
× Ø Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ø Ö Ö Ö Ó Ø Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ó Ò ×
λ1 = 4 λ2 = 4 λ3 = 6Õ Ù Ò Ó × Ò Ö Ø Ñ Ò Ø
Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º × Ø Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ö × Ù Ð Ø Ò × Ö Ð Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ð × Ð
Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ò Ð × × Ø Ñ × Ô Ö Ò Ô Ð × º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ö
× Ö Ò
I 1 = 4mb2¸
I 2 = 4mb2¸
I 3 = 6mb2º Ð × Ö Ù Ð × Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ö
I 1 = I 2 ¸ Ð
Ô Ö Ò Ô Ð × Ó Ó
I 3 × Ö × Ñ Ø Ö º
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ð
1 m Ð Ó Ò Ø Ù Ø Ò Ù Ò Ñ × × Ô Ö Ð º Ë
Ó Ð Ó Ò Ñ × × Ô Ù Ò Ø Ù Ð ×
1 kg Ù Ò ¸ × Ø Ù ×
0, 00 m
0, 25 m
0, 50 m
0, 75 m
Ý
1, 00 mÖ × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø Ù Ò Ó Ð Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð
× × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ð Ð Õ Ù Ô × Ø Ö Ú × Ð × Ù Ò
Ñ × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ð Ú Ö Ð Ð º
È Ö Ó Ð Ñ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù
lÝ Ñ ×
mÕ Ù Ô Ú Ó Ø Ð Ö Ó Ö
Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ð Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ù × Ü Ø Ö Ñ Ó × º Ð Ù Ð Ö × Ù
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö × Ô Ø Ó Ó º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö × Ø Ö
Ó Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ð Ñ × Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ù Ô Ù × Ø Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð
Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ù × Ù Ð Ð Ð Ú Ö Ð Ð º ´ Ä × Ø Ò × Ø Ô Ù Ò Ø Ó Ð
× Ù × Ô Ò × Ò × Ð Ð Ñ Ö Ó Ö Ó º µ
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù
aÝ Ñ ×
m
Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ð Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º µ Ô Ö Ø Ö Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸
Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ð Ý Ù Ö Ð Ó
aÖ × Ô Ø Ó
Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ð Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ ×
M Ö × Ô Ø Ó
Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ù Ý Ó Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ø Ò × Ù
z Ð Ó
Ð Ö Ó Ð Ð Ð Ò Ö Ó
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ó Ñ ×
mÝ Ö Ó
rÖ × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ñ × Ñ Ó Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ×
I = 1/2 mr2¸ Ð Ù Ð Ö
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ð × Ó Ý Ø Ò Ò Ø
Ð Ñ × Ñ Ó º
m
r
x
y
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ë Ò Ó × Ñ × × Ù Ð × Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð Ö Ñ × × Ô Ö Ð
Ý Ð Ó Ò Ø Ù
l¸ Õ Ù Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó
θ Ó Ò Ð
X × Ò × Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ò Ð Ù Ö º Ð
Ó Ö Ò Ñ Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò × Ø × Ø Ù Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ö Ð Ð º
´ µ Ð Ù Ð Ö Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ø Ò × Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ö Ö × Ð Ó × ×
X,Y.
´ µ Á Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ó × ×
X ′, Y ′.ú Ù Ð × × Ó Ò Ð Ó × × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð × × Ø Ñ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 20/71
m
m
X’
X
YY’
θ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 21/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ì Ñ Ò Ñ Ð Ó × × × Ø Ñ × Ô Ö Ø Ù Ð ×
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó × Ñ × ×
m1 Ý
m2 × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ð Ó Ò Ü Ø Ò × Ð Õ Ù Ô × Ø Ö Ú ×
Ù Ò Ô Ó Ð Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö Ð Þ Õ Ù Ö º Ä Ù ¸ Ò Ù Ð Ó
αÔ Ù × Ð Þ Ö × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ô Ö Ó Ý Ù Ò Ó Ò Ø
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ù Ý Ð Ñ ×
m2 Õ Ù × Ù Ð
µº Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ð Ò Ò Ø Ö
m1
Ý
m2 Ô Ö Õ Ù µ Ð Ù × × Ô Ð Ð Ö ¸ µ Ð Ù × × Ô Ð Ð
Þ Õ Ù Ö ¸ µ Ð Ù × Ø Ò Õ Ù Ð Ö Ó º
m1
m2
α
Ë Ó Ð Ù Ò
Ó Ñ Ó × Ó Ö Ð × × Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ò Ð Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö ¹
Þ Ó Ò Ø Ð Ð Ò Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ù Ø Ò Õ Ù
Ñ Ó Ú Ö × Ò Ð × Ó Ò Ð Õ Ù Ð × Ó × Ñ × × × Ñ Ù Ú Ò º
Ë Ó Ö Ð Ñ ×
m2 Ø Ò Ù Ø Ö Ó Ù Ö Þ × Ð Ø Ò × Ò
T = T (− cos α, sen α, 0) Ð Ù Ö ¸ Ð
Ò Ó Ö Ñ Ð
N = N (sen α, cos α, 0) Ð × Ù Ô Ö Ð Ù ¸ × Ù Ô Ö Ó Ô Ó Ô × Ó
P = mg(0,−1, 0)Ý Ð
Ù Ö Þ Ö Ò Ff = ±µN (− cos α, sen α, 0)º Ò Ù Ò × × Ø Ñ × Ó Ò Ð
yÔ Ö Ô Ò Ù Ð Ö
Ð × Ù Ô Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Ð
xÔ Ö Ð Ð Ó ¸ × Ø × Ù Ö Þ × Ø Ò Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ñ × × Ò Ð Ð × ¸ × Ô Ó Ö
T′ = −T (1, 0, 0) N′ = N (0, 1, 0) P′ = m2g(sen α,− cos α, 0)Ý F′
f = ±µN (1, 0, 0) Ó Ò Ð × Ò Ó
Ô Ó × Ø Ú Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð × Ó Ò Õ Ù Ð Ñ ×
m2 × Ø × Ù Ò Ó Ý Ð Ò Ø Ú Ó Ù Ò Ó ´ Ý Õ Ù
Ð Ö Ò × Ó Ô Ó Ò × Ñ Ô Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó µ º Ä Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ó Ö Ð Ñ ×
m2 × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸
F′ = T′ + N′ + P′ + F′
f = (T + m2g sen α ± µN,N −m2g cos α, 0)º Ó Ñ Ó × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ ×
m2
Ò Ó × Ñ Ù Ú Ò Ð Ö Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó ¸ × Ù Ö Õ Ù
N
−m2g cos α = 0
Ó Ò
N = m2 cos αº È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ð Ô Ó Ð Ø Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ø Ò × Ò × Ö
Ù Ð Ð Ô × Ó Ð Ñ ×
m1 ¸
T = m1g¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ø
F′ Ð Ó
Ð Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ù ×
−m1g + m2g sen α±µm2g cos αº Ë × Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú ¸ Ò Ø Ó Ò ×
Ð Ñ ×
m2 ´ × Ñ Ù Ú Ð Ö µ × × Ò Ø Ú ¸ × Ù º Ò Ð Ô Ö Ñ Ö × Ó Ù Ñ Ô Ð Ö ×
Õ Ù
−m1 + m2 sen α− µm2 cos α > 0 ´ ½ µ
È Ö Õ Ù
m2 × Ù Ù Ñ Ô Ð Ö × Õ Ù
−m1 + m2 sen α + µm2 cos α < 0´ ¾ µ
× Ö
m1
m2
< sen α− µ cos α (baja)
m1
m2
> sen α + µ cos α (sube)´ ¿ µ
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 22/71
Ù Ò Ó Ò Ó Ô × Ò Ù Ò Ó × Ò Ð Ó Ø Ö ¸ × Ö Ù Ò Ó
sen α− µ cos α < m1/m2 < sen α + µ cos α. ´ µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ × Ò × Ù Ò Ý Ð × × Ø Ñ × Ø Ò Õ Ù Ð Ö Ó º
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Ë × Ô Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ × m Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ð v0 Ý Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò
Ò Ù Ð Ó
α Ó Ò Ð
OX º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö L(t)
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó
× Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ò
m, v0, αº
Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò × Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ô Ö Ó ¸
x Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸
yÚ Ö Ø Ð Ý Ð
zÔ Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ó × º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ò × Ø × × Ø Ñ Ö Ö Ò ×
Ò Ó Ñ Ó L(t) = mr(t)× v(t) Ó Ò r(t)
× Ð Ô Ó × Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ò Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò
Ý v(t)× Ù Ú Ð Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ó × Ò Ý Ú Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ù Ò
Ø Ö Ó Ô Ö Ð Ó º Ó Ñ Ó × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ð Ö Ò × Ð Ú Ø Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø a = (0,−g, 0)Ð Ú Ð Ó Ý
Ô Ó × Ò × Ø Ò × Ô Ó Ö
v(t) = (v0 cos α, v0 sen α−
gt, 0)
r(t) = (v0t cos α, v0t sen α− 1
2gt2)
´ µ
Î Ñ Ó × Õ Ù Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ò Ð Ô Ð Ò Ó
x, yÝ ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ö Ò Ð Ö Ò
Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö
L(t) = m(xy − yx)ez = −1
2mgv0 cos αt2ez ´ µ
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m × Ø × Ó Ñ Ø Ð Ò Ó × Ù Ö Þ × Í Ò
Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð
F1 Ý Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò
F2 × Ô Ó Ö
F1 = f (r)r
r, F2 = −λv
Ó Ò
λ > 0Ý
v × Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ú Ø Ó Ö
r Ò Ð Ô Ó × Ò
Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ó Ó Ö Ò × Ý Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø
Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö L0 Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ó Ó Ö Ò ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó ¹
Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ø Ñ Ô Ó Ô Ó × Ø Ö Ó Ö º Ý Ù È Ö Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù Ò Ö Ò Ð
× Ö Ö Ð Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×
Lº
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ú Ø Ó Ö Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ó Ñ Ó
L = mr × vÝ × Ù Ö Ú × Ø
Ô Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ö Ð Ð ¸
dL
dt= r× F ´ µ
Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó F = F1 + F2 ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
dL
dt= −λr× v = − λ
mL ´ µ
× Ø × Ù Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Õ Ù ¸ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ¸ Ø Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ò Ù Ò Ü Ô Ó Ò Ò Ð º
Ì Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ö Ò Ð Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ¸ Ð × Ó Ð Ù Ò ×
L = e−λt/mL0 ´ µ
È Ö Ó Ð Ñ Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ù Ð Ñ × × Ø Ò Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò Ð Ò Ð × Ô Ó
Ü Ø Ö Ó Ö ¸ Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ð Ö Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ó ¸ Ñ Ó × Ñ Ô Þ Ò Ø Ö Ô Ö Ô Ó Ö Ð Ð Ð Ó Ø Ö Ó × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ø Õ Ù Ö Ù Ò
× Ù × Ø Ò Ð Ñ Ø º ú Ò Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ò Ø Ó × Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ë Ð Ð ×
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 23/71
Ñ Ù Ý Ð Ö Ó ¸ ú É Ù Ú Ð Ó Ø Ò × Ø Ö Ó Ò Ù Ø ´ × Ù Ô Ù × Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ù Ð µ Ù Ò Ó Ó Ò Ø Ø Ó Ò
Ð Ó Ø Ö Ó
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð × × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð Ó × Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ò Ó × Ø × Ó Ñ Ø Ó Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð × Ó Ò × Ö Ú Ý Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ä ×
Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ò × ´ Ð Õ Ù Ù Ò × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ó Ö Ð Ó Ø Ö Ó µ × Ó Ò Ò Ø Ö Ð × ¸ Ô Ó Ö Õ Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð
Ù Ö Þ × Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò × Ö Ú º
Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × Ò Ð Ñ Ò Ø × Ö Ù Ð Ö Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ Ó Ò Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ò Ð
Ö Ò Ö Ð Ý Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ú Ø Ó Ö
Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Õ Ù Ó Ò Ø Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ñ Ó × × Ø Ö Ó Ò Ù Ø × º Ë Ù Ñ Ù Ð Ó × Ø Ó Ô Ó Ö
L = 2mR0V 0 Ó Ò
R × Ð × Ø Ò Ò Ð Ð Ó Ö Ò Ý
V 0 Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó × Ø Ö Ó Ò Ù Ø
Ò Ð Ñ Ò Ø º
× Ô Ù × Ø Ö Ô Ö Ô Ó Ö Ð Ù Ö × Ð Ð Ð Ó Ò Ù Ö Ò Ò Ð Õ Ù Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ù × Ò Ó
Ö Ù Ð Ö º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ö
L1 = 2mR1V 1 Ó Ò
R1 = R0/2 × Ð × Ø Ò
× Ø Ö Ó Ò Ù Ø Ð Ó Ö Ò Ý V 1 × Ð Ò Ù Ú Ú Ð Ó º Ó Ñ Ó L1 = L0 ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù V 1 = 2V 0 º
Ò Ò Ö Ð ¸ Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ö Ù Ò Õ Ù
V 1 = R0
R1V 0 Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ ×
R1 → 0
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
V 1
→∞º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð × Ø × Ù Ö Ð Ù Ö Þ Ö × × Ø Ò Ð Ö Ý Ð Ö Ò Ð × × Ø Ò Ø ×
Ô Þ × Ð Ð Ø º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ø × Ù Ö Þ × × Ð Ó Ö Ñ
F =λv
Ó Ò
λ = 4 N · s/mÝ
v × Ð Ú Ð Ó Ð Ð × Ø º Ò Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ñ Ü Ñ Ó
Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð Ð × Ø Ô Ù Ò Ö Ö
600 W Ô Ó Ø Ò Ô Ö Ó Ô Ù Ð × Ò º ú Ù Ð × Ð Ñ Ü Ñ
Ú Ð Ó Õ Ù Ô Ù Ð Ò Þ Ö Ò Ð Ð Ò Ó Ý × Ò Ú Ò Ø Ó
Ë Ó Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Õ Ù Ð Ð × Ø Ô Ù Ò Ö Ö Ù Ò Ô Ó Ø Ò × Ò Õ Ù Ô Ù
Ö Ö Ù Ò Ù Ö Þ × Ó Ö × Ñ × Ñ Ó Ó Ò Ð Ý Ù × Ù × Ô Ö Ò × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð Ð × Ø Ø Ò
Ó × Ù Ö Þ × Ð × Ù × Ô Ö Ò × Ý Ð Ð Ö Ò º Ñ × Ø Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ú Ð Ó Ö Ý × Ò Ó ×
Ó Ô Ù × Ø Ó × Ù Ò Ó Ð Ð × Ø Ú Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ó Ö Ò Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð × Ô Ó Ø Ò
× Ù Ñ Ò × Ø Ö
600Û × Ö Ù Ð Ð Ô Ó Ø Ò × Ô Ô Ó Ö Ð Ö Ò Õ Ù ×
F v = λv2
¸ Ñ Ò Ö Õ Ù
v2 =600
4→ v = 12,2m/s
È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ó Ò Ò Ö
500×106 eV × Ô Ö Ó Ü Ñ Ò ×
Ð Ò Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ð Ó Ø Ö Ó Ò × Ò Ø Ó × Ó Ô Ù × Ø Ó × º Ë × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ð Ò Ò Ø Ö Ò × Ð
Ð Ø Ö Ó × Ø Ø ¸ ú Ù Ð × Ð × Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð Õ Ù Ð Ð Ò Ô Ö Ó Ü Ñ Ö ×
Ë Ó Ð Ù Ò
Ä × Ø Ò Ñ Ò Ñ × Ö Õ Ù Ð Ð Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ò Ö Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × ´ Õ Ù ×
Ö Ô Ð Ò Ó Õ Ù Ø Ò Ò Ö Ð Ñ × Ñ Ó × Ò Ó µ Ù Ð Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ
× Ù × Ò Ö × ¸
1000 × 106 eV = 16 × 10−11J º Ä Ò Ö Ð Ø Ö Ó × Ø Ø Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ð ×
(1/4πǫ0)q 2/r¸ × Ò Ó
q Ð Ö Ð Ô Ö Ó Ø Ò Ý
rÐ × Ø Ò Õ Ù Ð Ó × × Ô Ö º × ¸ Ð × Ø Ò Ñ Ò Ñ
Ú Ò Ö Ô Ó Ö
rmin = 1, 44 10−18 mº
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ñ ×
m × Ð Þ × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ö º Ä Ô Ö Ø
Ò Ø Ö Ð Ô Ó × Ù Ò Ð Ó Ò Ø Ù
Lº Ò Ð × Ô Ó Ö Ó Ò × Ò Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ð × Ù Ô Ö Ò Ó Ü × Ø
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó ×
µº
Ë Ð Ð Ó Õ Ù Ô Ö Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö
h Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ø Ö Ñ Ò Ö ´ µ Ð Ú Ð Ó Ö Õ Ù
Ø Ò Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ú Ð × Ø Ò Ò Ð Ñ Ø Ð
Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð º ´ µ Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ Ú Ð × Ø Ò Ò
Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ð Ø Ù Ö
h/2º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ù Ð Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ð Ó Õ Ù Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò
Ð Ò Ö º
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 24/71
L
h
Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ñ × Ù Ò Ó × Ø Ö Ö × ¸ Ø Ó Ñ Ò Ó Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð
Ó Ò Ó Ð × Ù Ô Ö ¸
mghº Ì Ó × Ø Ò Ö × Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ð Ð Ö Ð Ü Ø Ö Ñ Ó
Ò Ö Ó Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ù Ö Ú ´ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ð Ó Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ô Ó Ö
mgh = mv2/2
× Ö ¸
v =√
2ghµ º Ó Ö Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ð Ò × Ó Ñ Ø
Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ö
F f = µN Ó Ò
N × Ð Ù Ö Þ Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¸ Õ Ù
Ó Ò Ó Ò Ð Ô × Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð ¸
mgº Ù Ö Ò Ø Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × × Ô Ò Ö Ó
Ð Ö Ò º Ð Ø Ö Ó Õ Ù Ù Ö Þ × Ö Ö Ó Ð Ð ×
F f d Ó Ò
d × Ð × Ø Ò Ö Ó Ö Ö º È × Ñ Ó ×
Ô Ö Ø Ó
µ Ë Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù Ø Ó Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ù Ð × × Ô Ò Ù Ò × Ø Ò
d = L/2¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
mgh = F f L
2= µmg
L
2
µ =2h
L
µ Ë Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù × Ô Ù × Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Õ Ù Ø Ó Ú Ò Ö
Ô Ö × Ù Ö × Ø
h/2Ø Ò Ö Ñ Ó ×
mgh = F f L + mgh
2
µ =h
2L
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m× Ñ Ù Ú Ò Ó × Ñ Ò × Ó Ò × Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð
V (x, y) = 6x2 + 24y2 º Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ò r = 4 j × Ò Ó j Ð
Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ð
Y º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ä Ù Ö Þ
FÕ Ù Ø Ù × Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ó Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ö Ò Ø Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð ¸
× Ö ¸ Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
F(r) = −
∂V
∂x(r),
∂V
∂y(r),
∂V
∂z(r)
= − (12x, 48y, 0)
´ ½ ¼ µ
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó
r = (0, 4, 0) × Ø Ù Ö Þ Ú Ð
F = (0, 192, 0)º × ¸ Ð Ð Ö Ò × Ö
a = F/m =(0, 192/m, 0)
º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ñ ×
M Ý Ò Ù Ð Ó
α × Ò × × Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
× Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ë Ó Ö Ð Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
mÕ Ù Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð Ù Ó Ð Ù Ö Þ Ð Ö Ú º Í × Ò Ó Ð ×
Ð Ý × Ó Ò × Ö Ú Ò Ý Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ð × × Ø Ñ × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ù Ð Ö
Ð × Ú Ð Ó × Ð Ù Ý Ð Ù Ö Ô Ó Ù Ò Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ó Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ú Ö Ø Ð h× Ó Ö Ð × Ù Ô Ö º ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ò Ð × Ó M >> m
Æ Ó Ø Ê × Ó Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × Ý Ò Ó Ø Ö
Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ø Ú Ð Ù Ö Ô Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ò × Ù Ú Ð Ó
× Ó Ð Ù Ø º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 25/71
V
u
v
α
Ë Ó Ð Ù Ò
Ò Ð Ù Ö Ú Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó × Ò × Ø Ò Ø × Ø Ñ Ô Ó Ñ Ù Ý Ö Ò Ó × ¸
tÝ
t + dtº Ò × Ø Ò Ø Ö Ú Ð Ó ¸
Ð Ñ × m × Ù Ö Ù Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó vdt Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó ¸ Ó Ò v × Ð Ú Ø Ó Ö
Ú Ð Ó Ò Ó × × Ø Ñ º È Ó Ö × Ù Ô Ö Ø Ð Ù × Ù Ö Ù Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Vdtº Ð Ù Ö Ó × Ö Ú Ñ Ó ×
Õ Ù × Ø Ò Ð Ö Ð Ò Ú Ø Ó Ö Ð udt + vdt = VdtÓ ¸ × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø u + v = V º ´ Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
−u × Ð
Ú Ð Ó Ð Ñ × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ù µ º × Ö Ñ Ó × Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
Ú Ø Ó Ö
v = (−vx,−vy)
V = (V, 0)
u = (V + vx, vy)´ ½ ½ µ
Ó Ò Ñ Ó × Ð Ó vx, vy, V Ø Ó × Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú × º Ð Ö Ñ Ò Ø ¸ Ó Ñ Ó Ð Ú Ø Ó Ö u × Ø Ò Ð
Ö Ò Ð Ô Ò Ò Ø Ð Ù ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ö Ð Ò
tan(α) =uyux
=vy
V + vx´ ½ ¾ µ
Õ Ù × Ù Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Õ Ù Ò Ó × × Ö Ñ Ó Ò × Ö Ð × Ú Ð Ó × Ð Ñ × Ý Ð Ù
Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ñ × Ò Ó × × Ô Ù Ð Ù Ò × Ù Ò Ò Ð Ð º
Ó Ñ Ó Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó ´ Ô Ù × Ò Ó Ý Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó µ ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð × Ð Ý × Ó Ò × Ö ¹
Ú Ò º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù × Ý Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × ´ Ð Ö Ú Ý Ð Ù Ö Þ Ò Ó Ö Ñ Ð Õ Ù Ð × Ù Ô Ö
Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ó Ö Ð Ù Ý Õ Ù Ñ Ô Õ Ù × Ø Ð Ó Ö Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó µ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó × Ó Ò × Ö Ú Ò Ò Ö Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ø Ó × × Ø × Ù Ö Þ × Ø Ò Ò × Ð Ó Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ú Ö Ø ¹
Ð ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × × Ó Ò × Ö Ú º Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ð × × Ø Ñ × Ö Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
−mvx + M V = 0´ ½ ¿ µ
Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º Ë Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × Ù Ô Ö
Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ý Ò Ñ Ó ×
H Ó Ñ Ó Ð Ð Ø Ù Ö Ò Ð Ð Ñ × × Ó Ö × Ù Ô Ö ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ò Ö
Ò Ð Ð × × Ø Ñ × × Ð Ó Ô Ó Ø Ò Ð Ù Ð
mgH ´ Ù Ò Õ Ù ¸ Ò Ô Ö Ò Ô Ó ¸ Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ð Þ Ö Ð
Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù ¸ × Ø Ò Ó Ú Ö Ö ¸ Ó Õ Ù × Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × × Ñ Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ò
Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × Ø × Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ö Ö Ð Ú Ò Ø µ º × ¸ Ù Ò Ó Ð Ñ ×
m
Ý Ó × Ø Ù Ò Ð Ø Ù Ö
h¸ Ð Ò Ö Ð × × Ø Ñ × Ü Ô Ö × Ó Ñ Ó
m
2(v2x + v2y) +
M
2V 2 + mgh = mgH
´ ½ µ
Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ý Ð Ò Ö Ñ Ô Ð Ò Ó × Ù Ó Ò × Ô Ö Ø Ö × Ò Ò Ø ×
vx, vy, V ¸ Ô Ù × h × Ø µ º È Ó Ö × Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ù Ò Ø Ö Ö Ù Ò ¸ Õ Ù × Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø
´ ½ ¾ µ ¸ Ô Ö Ô Ó Ö × Ô Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø × º Ä Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ ¿ µ
vx = M m
V ´ ½ µ
Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø ´ ½ µ
vy = (V + vx)tan α´ ½ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 26/71
Ý × Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó × Ø × Ü Ô Ö × Ó Ò × Ò Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × Ó Ø Ò ¸ × Ô Ù × Ù Ò Ô Ó Ó
Ð Ö ¸
V 2
2
1 +
M
m
M + tan2 α(m + M )
= mg(H − h)
´ ½ µ
× Ö
V =
2mg(H − h)
1 + M m
[M + (m + M )tan2 α]
1/2´ ½ µ
Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó ´ ½ µ Ò ´ ½ µ Ý ´ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð × Ó Ð Ù Ò Ò Ð Õ Ù Ò Ó ×
vx, vy , V Ò Ù Ò Ò
h
´ Õ Ù ¸ × Ù Ú Þ ¸ × Ù Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó µ º
Ù Ò Ó M ≫ m ¸ m/M ≈ 0Ý Ð Ü Ô Ö × Ò ´ ½ µ V ≈ 0
× Ö ¸ × Ð Ñ × Ð Ù × Ñ Ù Ó
Ñ × Ö Ò Õ Ù Ð Ð Ù Ö Ô Ó ¸ × Ø Ô Ò × × Ñ Ù Ú º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ó Ö Ò Ó Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð Ù Ò
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ ¿ µ ¸ Ý Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
M V Ò Ó Ø Ò Ô Ó Ö Õ Ù × Ö Ô Õ Ù Ó ´ Ò Ö Ò ¸ Ò Ó × Ñ Ó × µ Ô Ó Ö Õ Ù
M × Ñ Ù Ý Ö Ò Ý
V Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ó Ý × Ù Ô Ö Ó Ù Ø Ó Õ Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó º
Ä Ñ Ò Ö Ô Ö Ó Ö Ò × Ø × Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö
V Ò × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
x = m/M Õ Ù
× Ù Ò Ò Ñ Ö Ó Ô Õ Ù Ó º È Ó Ñ Ó × × Ö Ö ´ µ Ò Ð Ó Ö Ñ
V = x
2g(H − h)
(1 + x) [1 + tan2 α(1 + x)]
1/2≈ x
2g(H − h)
1 + tan2 α
1/2=
m
M
2g(H − h)
1 + tan2 α
1/2´ ½ µ
Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ò
xº Ó Ñ Ô Ö Ò Ó Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ´ ½ µ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø Õ Ù
vx =
2g(H − h)/(1 + tan2 α),
Ý Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Ø ´ ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
vy
= 2g(H −
h)/(1 + tan2 α)tan α.
Æ Ø × Õ Ù Ð × Ó
α = π/2Õ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ù Ò Ð Ö ¸ Ð Ü Ô Ö × Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ö Ù
vy =
2g(H − h)º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ù Ö Ð Ó Ð Ð Ð Ö ½ Ñ ×
mÝ Ö Ó
r Ó
Ó Ò Ð × Ó Ø Ö × Ó × Ó Ð × ´ ¾ Ý ¿ µ Ö Ó R Ý Ñ × M Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º Ì Ò Ò Ó Ò
Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ó Ð ½ Ó × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ó Ò Ð × Ó Ø Ö × Ó × ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ú Ð Ó × ¸
Ö Ò Ý Ñ Ù Ð Ó ¸ × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ó Õ Ù × Ø × Ð × Ø Ó º
1
2
3
Ë Ó Ð Ù Ò Ò Ó Ñ Ò Ñ Ó ×
v1,v2,v3 Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ú Ð Ó Ó Ð Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ý
v′1,v′2,v′3 ¸ × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð
x × Ø Ò Ð Ö Ò Ð
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 27/71
Ú Ð Ó Ð Ó Ð ½ ¸ Ð
y × Ø Ò Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð × Ó Ð × ¾ ¸ ¿ Ý Ð
z ×
Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð º Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
v1 = (v0, 0, 0)
v2 = (0, 0, 0)
v3 = (0, 0, 0)´ ¾ ¼ µ
× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
v1 = (v′, 0, 0)
v2 = (V ′ cos α, V ′ sen α, 0)
v3 = (V ′ cos α,−V ′ sen α, 0)´ ¾ ½ µ
Ó Ò α × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð × Ó Ð × ½ Ý ¾ Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Õ Ù
Ô Ù Ð Ù Ð Ö × Ô Ó Ö Ø Ö Ó Ò Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ó
α = arctan Rr+R º Ð × Ö Ö Ð Ó Ö Ñ × Ø × Ú Ð Ó ×
× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ñ Ó × × Ó Ô Ö Ø Ó Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ò Ó Õ Ù Ð Ó Ð ¾ ×
Ñ Ù Ú Ó Ñ Ó Ð Ö Ü Ò × Ô Ù Ð Ö Ð ¿ Ý Õ Ù Ñ × × Ñ Ù Ú Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð ´ Ò Ð Ó ×
Õ Ù × Ø Ò Ð Ó × × Ü ¸ Ý µ
È Ð Ò Ø Ñ Ó × Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð Ý Ð Ò Ö ´ Ð × Ö Ù Ò Ó Õ Ù Ð × Ø Ó × Ó Ò × Ö Ú
Ð Ò Ö µ
mv1 = mv′1 + M v′2 + M v′3m
2v21 =
m
2v′2
1 +M
2v
′22 +
M
2v
′23 ´ ¾ ¾ µ
Ð × Ø Ö × Ù Ó Ò × Õ Ù Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ð Ó Ù Ò
× Ò Ó Ø Ö Ú Ð ¸ Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø
xº × ¸ Ü Ô Ö × × Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ù Ð Ó × ¸ Ð × Ù Ó Ò ×
Ó Ò × Ö Ú Ò Ø Ó Ñ Ò Ð Ó Ö Ñ
mv0 = mv′ + 2M V ′ cos αm
2v20 =
m
2v
′2 + M V ′2
´ ¾ ¿ µ
× Ø Ó × Ó Ò Ó × Ù Ó Ò × Õ Ù Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ò Ó Ø Ò Ö Ð × Ó × Ò Ò Ø ×
v′, V ′
V ′ =v0 cos α
1 + 2M m cos2 α
v0 =v0
1 + 2M m cos2 α
´ ¾ µ
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ð Ó Ø Ñ ×
m Ó Ð × Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ù Ñ Ö
Ò Ö Ô Ó × Ó Ñ × M × Ø Ù Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ñ Ù × Ø Ö Ð Ù Ö º Ä
Ú Ð Ó Ð Ù × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ×
V º ú Ù Ð × Ð Ð Ø Ù Ö Ñ Ü Ñ Ð Õ Ù Ð Ð
Ð Ó Ð ¸ × × Ó × Ö Ú Ó Õ Ù × Ù Ú Ð Ó × Ð × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò × Ú Ö Ø Ð
Ö Ö Æ Ó Ø Ò Ð × Ó Ð Ù Ò Ó Ò × Ö Ö × Õ Ù Ð Ñ ×
M T Ð Ì Ö Ö Ú Ö
Õ Ù
M T ≫ M Ý Õ Ù
M T ≫ m
Ë Ó Ð Ù Ò º
Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
mv = M V =⇒ V = mv/M
0 = mvf − (M + M T )V f =⇒ V f =mvf
M +M T Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö
1
2mv2 =
1
2mv2f +
1
2M V 2 +
1
2(M + M T )V 2f
=1
2mv2f +
1
2M V 2 +
1
2mv2f
m
M + M T ≃ 1
2mv2f +
1
2M V 2
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 28/71
m
L 8
Ù Ö ½
È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸
v2 = v2f +M
m(
m
M v)2 =⇒ v2f = v2
1− m
M
Ý Ð Ð Ø Ù Ö Ð Õ Ù Ð Ð Ö Ð Ô Ð Ó Ø ×
h =
v2(1
−m/M )
2g
Æ Ó Ø Ò Ó × Ò × Ö Ó Ó Ò Ó Ö
V º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ð Ó Õ Ù Ñ Ö Ñ ×
m × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ý Ù Ò Ó Ù Ò Ñ Ù Ð Ð
Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ù Ô Ö Ó Ö
kÝ Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð
lº Ð Ó Ø Ö Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ð × Ø
Ù Ò Ó Ù Ò Ô Ö ¸ Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö º Ò Ù Ò Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ ×
m4
Ý Ú Ð Ó
v0 × Ñ Ô Ó Ø Ö Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ò Ð Ð Ó Õ Ù º Ë Ò Ó Ü × Ø Ò Ò Ù Ò Ù Ö Þ
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ò Ñ × Ø Ò Ð Ô Ö Ð Õ Ù Ð Ð Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ø Ö × Ð
Ñ Ô Ø Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð × Ø Ó ´ Ô Ö Ó Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ó × Ó Ò × Ö Ú µ º È Ó Ö
Ø Ò Ø Ó
−m
4v0 =
5m
4v′
v′
= −v05
´ ¾ µ
Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð × Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ñ Ö ¸ Ð Ò Ö × × Ó Ò × Ö Ú º Ð Ñ Ù Ð Ð ×
Ó Ñ Ô Ö Ñ Ý Ð Ð Ó Õ Ù Ð Ð Ù Ò × Ø Ò Ñ Ò Ñ
x Ð Ô Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð ¸ × Ö ¸
1
2
5m
4v2f =
1
2k(x − l)2
x = l±
m
20kV 0 ´ ¾ µ
Ð × Ù Ð × × Ð Ó Ø Ò × Ò Ø Ó Ð Ö Þ Ò Ø Ú º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ö Ø Ö ¸ Ù Ò Ó 2000 kg Ñ × ¸ Õ Ù Ú
Ð × Ù Ö ¸ Ò Ó Ö × Ô Ø Ù Ò × Ð Ô Ö Ý Ó Ó Ò Ù Ò Ù Ö Ó Ò Ø
6000 kg¸ Õ Ù
Ú Ð Ó × Ø º Ð Ó Õ Ù Ù Ø Ð Õ Ù Ð Ó × Ó × Ú Ù Ð Ó × ¸ Ù Ò Ø Ó × ¸ × × Ð Þ Ö Ó Ò Ù Ö
Ð Ö Ö Ø Ö ¸ Ò Ö Ò × Ù Ó × Ø º Í Ò Ø × Ø Ó Ð Ó × Ó × Ö Ñ Õ Ù Ð Ú Ð Ó
Ð Ù Ö Ó Ò Ø Ö
80 Km/hº ´ µ ú × Ø Ù × Ø Ù Ö Ó Ó Ò Ð Ø × Ø Ó ´ Ð Ó × Ð Ù Ð Ó ×
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 29/71
Ò × Ö Ó × Ô Ö Ó Ò Ö Ñ Ö × Ù Ù Ö Ó Ó × Ù Ö Ó µ º ´ µ ú É Ù Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ø
Ò Ð × Ó Ò Ú Ö Ø Ò Ó Ø Ö × Ó Ö Ñ × Ò Ö Ù Ö Ò Ø Ð Ó Õ Ù
Ë Ó Ð Ù Ò
È Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ø Ò
m1v1 x + m2v2 y = (m1 + m2) v (sen45 x + cos 45 y)
Ù Ð Ò Ó Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ó × Õ Ù
m1v1 = (m1 + m2)v
√ 2
2
m2v2 = (m1 + m2)v
√ 2
2
Ë Ð Ú Ð Ó
v2 = 80 Km/hÓ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
v1 =m1 + m2
m1v
√ 2
2 = 240 Km/h
Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ü × Ú Ø Ó × Ð Ù × º
Ð Ù Ð Ò Ó Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ý Ò Ð × Ð Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù
E ci = 2, 67E cf ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù
Ù Ò Ô Ö Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ó × Ó × Ú Ù Ð Ó × × Ô Ö Ò Ð Ó Õ Ù º
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ö Ò Ñ ×
m × Ø Ó Ð Ó Ò Ð Ó Ö Ù Ò Ø Ð Ñ ×
M Ý
Ð Ó Ò Ø Ù
LÕ Ù Ó Ø Ð Ö Ñ Ò Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ó º Ä Ö Ò × Ð Ø Ð Ó Ø Ö Ó
Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ø Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ù Ð Ó
αÖ × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º ú Ù Ð × Ö Ð Ú Ð Ó
Ò Ð ¸
v0 ¸ Ð Ö Ò Ô Ö Õ Ù Ó Ò Ð × Ð Ø Ó Ð Ð Ù Ù × Ø Ó Ð Ó Ø Ö Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ø Ð Ë
× Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ù Ò Õ Ù Ð Ñ × Ð Ö Ò × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ñ × Ð Ø Ð ¸ Ò Ó × Ô Ù
× Ô Ö Ö Ù Ò Ö Ò Ø Ð Ó Ø Ö º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ð Ð Ò Ö Ò Ñ × Ø Ó Ø Ð
M × Ø Ù × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó
Ò Ù Ð Ó
α Ñ Ô Þ × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ð Ö Ó Ù × Ð
Ö Ú º Ô Ù × × Ô Ð Þ Ö × Ù Ò × Ø Ò
s× Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó ¸ Ù Ò Ô Ö
Ñ ×
mÑ Ó Ú Ò Ó × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ð Ô Ð º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð
Ú Ð Ó v Ð Ô Ö Ô Ö Õ Ù Ð × Ø Ò Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù º
Ó Ò × Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ý Ð × Ø Ò Ó Ò Ø Ò Ó × Ò Ù Ò
Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ð Ó Ò Ó Ù Ò Ö Ó Ð Õ Ù Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω × Ø Ù Ö Ø Ó
Ó Ò Ù Ò Ô Ð Ó Ö Ó × Ó Ö Ù Ò Ó Ö Ñ º Ô Ö Ø Ö Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó × Ö Ö Ø
× Ò Õ Ù Ð Ð Ù × Ð Ö Ù Ð Ö Ô Ò Ø º ú × Ó Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ô Ò Ø
Ñ Ý Ó Ö ¸ Ù Ð Ó Ñ Ò Ó Ö Ð Ò Ð Â Ù × Ø Õ Ù × Ù Ö × Ô Ù × Ø º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ò Ù Ø Ö Ó Ñ × × Ù Ð × × Ø Ù × Ò Ð Ó × Ú Ö Ø × Ù Ò Ù Ö Ó Ý
Ù Ò × Ô Ó Ö Ñ Ù Ð Ð × Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø
kÝ Ð Ó Ò Ø Ù Õ Ù Ð Ö Ó
Lº Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ø Ó Ò
Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø
ω Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö
Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ó º
½ º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò º
¾ º Ð Ù Ð Ö Ð Ó Ö Ñ Ò
∆L Ð Ó × Ñ Ù Ð Ð × º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 30/71
M
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó × Ô Ó Ò Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
Ó Ð Ó × Ø Ó × Ù Ò Ù Ö Þ Ó Ò × Ø Ò Ø
Fº ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ð Ô Ó Ø Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ô Ó Ö Ð
Ù Ö Þ Ò Ð Ò × Ø Ò Ø
t
È Ö Ó Ð Ñ ½ È Ö Ñ Ö Ð Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Õ Ù × Ð Þ × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó
Ò Ð Ò Ó Õ Ù Ó Ö Ñ
30o× Ó Ö Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ñ Ð Ú Ð Ó
vi Ó Ò Ð Õ Ù Ð Ù Ö Ô Ó
Ò Ð × Ù Ý Ð Ú Ð Ó
vf Ó Ò Ð Õ Ù Ú Ù Ð Ú Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó º ú É Ù × Ø Ò Ö Ó Ö Ö
× Ó Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó Ò Ø × Ø Ò Ö × ú Ù Ð × Ð Ó Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¼ Í Ò Ù Ø Ó Ñ Ú Ð × Ù Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ò Ò Ø Õ Ù Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó α Ó Ò Ð Ó Ö ¹
Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ø Ò Ó Ù Ò Ô Ó Ø Ò
P Ý × Ù Ö Ò Ó Ù Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ö Ý Ó Ò Ð Ö Ö Ø Ö
Õ Ù Ö × Ù Ð Ø × Ö Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ò Ð × Ù Ú Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ò ¸ × Ø Ó × ¸
βv(t)º Ë Ð Ñ × Ð Ó
×
M ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ñ Ü Ñ Õ Ù Ð Ò Þ
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ½ Í Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö Ð Ó Ò Ø Ù L = 0,2m × Ñ Ù Ú Ô Ó Ö × Ù Ò Ö
Ù Ò × Ñ Ô Ð Ò Ó Ó Ø Ö Ó ¸ Ø Ò Ò Ó Ù Ò Ú Ð Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ò Ð Ñ Ø Ò Ø Ö Ð Ó × Ó ×
× Ñ Ô Ð Ò Ó × º Ä Ó × Ó Ò Ø × Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ø Ð Ý Ð Ó × Ó × × Ñ Ô Ð Ò Ó × × Ó Ò
k1 = 0,2Ý
k2 = 0,7º
ú Ù Ð × Ö Ð Ú Ð Ó Ð Ø Ð Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù × Ù Ö Ò Ø Ö Ù Þ Ð Ð Ò
Ð Ñ Ø Ô Ö Õ Ù Ô × Ð × Ù Ò Ó × Ñ Ô Ð Ò Ó Ù Ò Ô Ö Ø Ð Ø Ð Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ù l = 4/5L
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¾ Í Ò Ó Ð Ð Ö Ñ Ò Ø × Ù Ò Ð Ø Ù Ö
h× Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
× Ó Ö Ð Õ Ù Ò Ó Ý Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ð Ó Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó
u
Ñ Ò Ó Ö Ð Õ Ù Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ö × Ð Ó Õ Ù Ù Ö Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ð × Ø Ó º Ó Ò Ø Ò Ù ¹
Ò × Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ð × Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó ¸ Õ Ù Ó Ö Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó
α Ó Ò
Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ò ¸ Ð Ò Ù Ð Ó β Ð Ó Ð × Ô Ù × Ð Ö Ó Ø º
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¿ Ð Ó Ò Ø Ö × Ø Ø Ù Ò
r Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ò
Ñ Ò Ø Ð Ö Ð Ò
v2f − v1f = r(v1i − v2i) Ý Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ò Ø Ö ¼ Ý ½ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð
Ô Ö Ò Ö É ¸ Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ó Ò Ø Ð Ô Ö Ð Ñ Ò Ø Ò Ð × Ø Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð
Ñ ×
m1 Ý Ú Ð Ó
v1 Ý Ó Ø Ö Ñ ×
m2 Ò Ö Ô Ó × Ó × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó
Q = (1− r2)1
2µv1
2
Ó Ò
µ = m1m2/(m1 + m2) × Ð Ñ × Ö Ù º ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð Ö
r Ò Ù Ò Ó Õ Ù
Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ð × Ø Ó ú Ù Ò Ø Ó Ú Ð É Ò Ù Ò Ó Õ Ù Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ò Ð × Ø Ó
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ñ ×
mÝ Ú Ð Ó
v = vx Ó Ó Ò Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ñ ×
M Ý Ð Ó Ò Ø Ù
lÕ Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ô Ó × Ó º × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Õ Ù
Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ð Ù Ð Ó Ñ Ò Þ Ó × Ð Ö º Ø Ö Ñ Ò Ö µ Ð Ò Ù Ð Ó Ñ Ü Ñ Ó
Ó × Ð Ò Ð Ô Ò Ù Ð Ó µ Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ó Ý Ø Ð Ô Ö Ø Ö Ð Ù Ð Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ò Ú Þ
Ó × Ð Ö Ð Ú Ù Ð Ø º
½ ¼
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 31/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ê × Ù Ð Ø Ó × Ý È Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ì Ñ
½ ½ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ô × Ò Ö Ô Ó × Ó Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ö × Ö × Ù Ð × Ö ¹
Ñ Ò Ø Ù Ò × Ò Ø Ö × Ó Ð × Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ø Ö Ö × Ö Ò Ø Ð × Ò Ø Ö Ó Ö × º Ë Ù
Ú Ð Ó V × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó × Ò Ø Ö Ó × Ð Ô × Ý × Ø Ö
Ð Ò Ø Ö Ó Ù Ò × Ù × × Ö × × Ò × Ò Ò Ð Ù Ö º Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ð ×
Ø Ö × × Ö × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ö Ó Ö Ð Ó Ð × Ò º
Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ð × Ò Ò Ð Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò × Ö Ú º Ñ × ¸ Ô Ó Ö
Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ¸ Ô Ó Ö
Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ð Ó Ö Ó × × Ò Ð Ð Ó Ö × Ó Ð Ú Ö º Î Ñ Ó × Ð Ó º
Ù Ò Ó Ð × Ö Ó Ó Ò Ù Ò Ð × × Ö × Ð Ô × ¸ Ð × Ù Ö Þ × Ù Ö Ò Ø Ð Ó Ð × Ò Ò Ø Ö Ñ ×
× Ø Ò Ü Ð Ù × Ú Ñ Ò Ø Ö × Ò Ö Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð × Ù Ô Ö Ð × × Ö × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ø ×
Ù Ö Þ × Ø Ò Ò Ö Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ò Ó Ô Ö Ó Ù Ö Ò Ò Ò Ò × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ø Ð Ð Å Ð Ô × º
Ñ Ò Ö Õ Ù × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ø Ò Ø Ó Ð × Ö Ó Ñ Ó Ð Å Ð Ô × × Ñ Ó Ú Ö Ò Ò Ð i º
Ñ × ¸ Ð × Ö Ð Ù Ö Þ Ñ Ô Ù Ð × Ú Ò Ð Ó Ð × Ò Ù Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð ´ Ú Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ò
Õ Ù Ù Ò Ð × × Ö × Õ Ù Ó Ò µ ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú º
Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Õ Ù Ø Ò Ð Ð × X Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ð Ò Ó Ð × Ò ¸ Ð
Ð ×
Y Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ô × ¸ Ý × Ù Ó Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ô × Ý Ò Ð Õ Ù Ð
Ô × × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò º
Ä Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð × × Ö Ó Ñ Ó
mV = mv + mv1 + mv2 = mv + 2mu
Ó Ò V = V i × Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð × Ö ¸ v = vi × Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð × Ö ¸ v1,2 × Ð
Ú Ð Ó Ð × Ö
1, 2 Ð Ô × Ý u = ui × Ð Ú Ð Ó Ð Å Ð Ô × × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º
Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ð Ö Ó Ð
xÐ Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ó Ø Ö Ú Ð × Ù Ò
× Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð i × Ö
mV = mv + 2mu´ ½ µ
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ó ¸ Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ×
mr×V = mr′ × v+ L ´ ¾ µ
Ó Ò r × Ð Ô Ó × Ò Ð × Ö ´ Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ð Õ Ù Ö ¸ Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò µ ¸ r′
× Ð Ô Ó × Ò
Ð × Ö ´ Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø ¸ Ù Ð Õ Ù Ö ¸ × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò µ Ý L × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ô ×
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 32/71
× Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò º × Ù Ú Þ ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù L = L p + Lcm Ó Ò L p × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Å
Ð Ô × Ý Lcm × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð Å Ð Ô × º Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ñ Ù Ú
Ò Ù Ò Ð Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ó Ö Ò Ð Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Å × Ö Ò Ù Ð Ó º Ñ × ¸ × Ñ Ó ×
Õ Ù Lcm = I·ω Ó Ò I × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ö × Ô Ø Ó Ð Å Ð Ô × Ý
ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º
È Ó Ö Ð × Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ó × Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ö Ñ Ó
Ô Ó Ö Ð × Ö Ý Ð Ô × º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ó Ò Ù Ð Ð Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ð Ò ´ ¾ µ Ø Ó Ñ Ð
Ó Ö Ñ
mRV = mRv + Iω´ ¿ µ
Ó Ò
I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ô × Ð Ö Ó Ö Ð Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Å Ð
Ô × º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ×
2/5mR2Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ð Ð Ó × ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ö Ð Ö Ó Ö
Ù Ò Ø Ò Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö ×
2/5mR2 + mR2 = 7/5mR2¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù
I = 14/5mR2º È Ó Ö Ó Ø Ö
Ô Ö Ø ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ú Ð Ò × Ø × Ó
ω = u/R
Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö × × Ö
12
mV 2 = 12
mv2 + mu2 + 12
Iω2, ´ µ
Ä Ó × Ó × Ð Ø Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ó × × Ó Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ø Ö × Ð Ò Ý Ö Ó Ø Ò Ð Ô × º
Ä × Ù Ó Ò × ´ ½ µ ¸ ´ ¿ µ Ý ´ µ Ø Ò Ò Ô Ó Ö × Ó Ð Ù Ò
v = − 1
13V
¸
u = 7
13V
Ý
ω = 5
13
V R º Ó Ò Ö × Ô Ø Ó
Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ¸ Ù × Ø Ó × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò ¸ Ð × Ö × Ù Ô Ö Ó Ö Ø Ò Ù Ò
Ú Ð Ó v′
1= ω × r1 = (0, 0, ω) × (0, R, 0) = −ωRi ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð × Ö Ò Ö Ó Ö Ø Ò Ú Ð Ó
v′
2= ω × r2 = (0, 0, ω) × (0,−R, 0) = ωRiº Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó Ð × Ú Ð Ó × × Ó Ò
v1 = v′
1+ Vcm = −ωR + u =
2
13V
v2 = v′
2 + Vcm = −ωR + u =12
13V ´ µ
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù
2l × Ø Ö Ò Ó × Ó Ö Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Ë × Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø
Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω0 Ý Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ñ × ×
µ
Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ø Ò Ö × º
Ë Ó Ð Ù Ò Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó
Ö Ó º Ð Ñ Ó × Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò Ó × Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ö Ò × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ú Ö Ð Ð ¸ Ý Ð Ô Ð Ò Ó
Ð Ñ × × Ð
XY º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Ð Ó × Ó × Ò Ð
Z º Ó Ñ Ó Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ø × Ð Ó Ö Ó × Ð Ó Ø Ò Ù Ò Ö Ó Ð Ö Ø Õ Ù
× ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º
Ä Ú Ö Ð Ð × Ø Ò Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º Ë Ù Ò
Ð Ñ Ò Ø Ó
dm Ú Ö Ð Ð × Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò
r Ð Ò Ø Ö Ó º Ë Ñ Ó × Õ Ù
ρ = m/2l × Ð Ò × Ð Ò Ð
Ð Ú Ö Ð Ð Ý
dmg = ρdrg × Ð Ô × Ó Ð Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ × º Ä Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø
Ó Ð Ñ Ò Ø Ó × Ö
F r = µdmgº
Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ø × Ó Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ø Ó
dm Ú Ö Ð Ð
× Ø Ù Ó Ù Ò × Ø Ò
r Ð Ò Ø Ö Ó ×
|dM| = |Fr × r| = µdmgr = µgρrdr,
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ò Ó Ò Ó Ò × Ö Ò Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ø Ö Ø Ù Ò
Ñ Ò Ø Ù Ú Ø Ó Ö Ð Õ Ù Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × × Ø Ò Ø Ó × Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ð Ó × Ð Ó × Ð Ò Ø Ö Ó ¸ Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ð Ð Ù Ö Þ Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ó Ð Ú Ö Ð Ð ×
M = µgρ
l0
rdr −
0
−lrdr
= µgρl =
1
2µmgl
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 33/71
È Ö × Ø Ø Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò Ð Ó × Õ Ù Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö ¸ Ð ×
Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ù Ò
M = Iα Ó Ò
α × Ð Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö Ý
I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ò Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Z Õ Ù Ò × Ø × Ó Ú Ð
I = l
−lr2dm =
2
3ml2,
Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö ´ Ó Ò × Ø Ò Ø µ Õ Ù Ö Ò Ð Ú Ö Ð Ð Ø Ò Ñ Ù Ð Ó
α =M
I =
3
4
µg
l.
Ä Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ×
ω(t) = ω0 − αtº × Ø Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × Ô Ó × Ø Ú Ý
Ú Ö Ò Ó × Ø Õ Ù × Ò Ù Ð º Í Ò Ú Þ × Ò Ù Ð ¸ Ð Ú Ö Ð Ð Õ Ù Ò Ö Ô Ó × Ó º Ð Ø Ñ Ô Ó Ð Õ Ù × Ø Ó
Ó Ù Ö Ö ×
t =ω0
α=
4
3
ω0l
µg
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ò × Ø Ó Ñ × m × Ø Ó Ð Ó Ó Ò Ð Ó Ö Ù Ò × Ó Ô Ð Ò Ó Ù Ò Ó Ö Ñ
Ñ ×
M Ý Ö Ó
R =Õ Ù × Ø Ö Ò Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω0 Ð Ò × Ø Ó
× Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ó º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ù Ò Ó × Ø Ð × Ø Ò
r
Ð Ò Ø Ö Ó ¸ Ý Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ø Ð × × Ø Ñ Ò × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó º ú Ë Ó Ò × Ö Ú
Ð Ò Ö Ñ Ò Ð × × Ø Ñ × Ó ¹ Ò × Ø Ó ú Ò Ú Ò × Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö
Ò Ø Ý Õ Ù × Ù Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó Ú Ù Ð Ú Ð Ô Ö Ö
Ë Ó Ð Ù Ò Ò × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ý Ó Ò Ó Ò Ð × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó
Ö Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ð Ó Õ Ù Ö Ø Ö Þ Ó Ò Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ó ¸ Ó Ò ¸
Ô Ó Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Õ Ù Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ò Ñ Ò Ø Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ó Ø Ò º Ð Ñ Ó × ×
Ó Ó Ö Ò Ó × Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó Ó Ö Ñ Õ Ù Ð
z × Ø Ò Ð Ö Ò Ð
Ö Ó Ø Ò º
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó × Ó · Ò × Ø Ó × Ó Ò × Ö Ú º Î Ñ Ó × Ô Ó Ö Õ Ù º Ù Ò Ó
Ð Ò × Ø Ó × Ø Ò Ð Ó Ö Ð × Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ó Ò Ö Ð Õ Ù Ö
Ó Ò Ð × Ó ¸ × Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ Ð Õ Ù Ð × Ó × Ó Ö Ð ´ Ø Ö Ú × Ð Ö Ò × Ø Ø
Ò Ø Ö Ð × Ô Ø × Ð Ò × Ø Ó Ý Ð × Ù Ô Ö Ð × Ó µ Ý Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Õ Ù Ô Ö Ô Ó Ö × Ö Ð × × Ø Ñ
Ò Ó Ò Ö Ð º Ñ × × Ø Ò Ö × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ò × Ø Ó Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ó Ý
× Õ Ù Ð Ö Ò Ü Ø Ñ Ò Ø Ô Ö Ö Ð Ò × Ø Ó Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð × × Ø Ñ Õ Ù Ö º Ê × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ
Ð Ó Ö Ø Ó Ö Ó × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó × Ð Ó Ø Ð Ù Ö Þ Ö Ò Õ Ù × Ð Õ Ù Ö Ö Ð Ò × Ø Ó º Ä Ù Ö Þ
Ö Ò Õ Ù Ð Ò × Ø Ó × Ó Ö Ð × Ó × Ù Ð Ý Ó Ô Ù × Ø Ý × Ø Ö Ð º Ó Ñ Ó Ð
× Ó Ò Ó Ñ Ð Ô Ó × Ò × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × ¸ Ñ Ó × Ò Ö Ö Õ Ù Ð × Ø Ò Ó × Ó Ö Ð
× Ó Ù Ò Ù Ö Þ Ù Ð Ý Ó Ô Ù × Ø Ð Õ Ù Ð Ò × Ø Ó × Ó Ö Ð × Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð × Ó ·
Ò × Ø Ó × Ø Ø Ù Ò Ó Ù Ò Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Õ Ù × Ø Ò Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ò × Ø Ó Ý Ð º × Ø Ù Ö Þ ¸
Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ò Ó Ò Ö Ò Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð ×
Ó Ò × Ö Ú º
Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð ¸ Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ð Ð Ò Ð Ó Ö ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð
×
I 0 =1
2M R2 + mR2
Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ø Ù Ò × Ø Ò
r Ð ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö ×
I (r) =1
2M R2 + mr2
Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ø Ò
I 0ω0 = I (r)ω(r) =⇒ ω(r) =1
2M R2 + mR2
1
2M R2 + mr2
ω0 = ω0
1 + 2mM
1 + 2mr2
MR2
Ó Ò
ω(r) × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó × Ø × Ø Ò
r Ð º
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 34/71
Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ò Ø ×
∆E c =1
2I (r)ω(r)2 −
1
2I 0ω2
0 =I 0ω2
0
2
I 0
I (r)− 1
=
I 0ω20
2
1 − r2
R2
1
2M R2 + mr2
Ä Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò ´ × Ó Ö Ð µ × Ö Ö Ó Ð Ð Ù Ò Ø Ö Ó × Ó Ö Ð × × Ø Ñ ¸ Ý Õ Ù × Ø Ö Ò × Ñ Ø Ò Ø Ö ¹
Ñ Ò Ø Ð Ò × Ø Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ð × Ù Ò Ø Ø Ö Ó
W R→r =
rRF(r) · dr =
rR
mω(r′)2dr′ =
rR
dr′mω20
1 + 2m
M
1 + 2mr′2
MR2
r′dr′
=I 0ω2
0
2
1 − r2
R2
1
2M R2 + mr2
´ µ
È Ö Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × Ô Ö × Ñ Ò Ø
∆E c º Î Ñ Ó × ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Õ Ù Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ð
× × Ø Ñ × Ò Ø Ð Ø Ö Ó Ö Ð Þ Ó Ô Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ó Ò Ø Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù º Ù Ò Ó Ð Ò × Ø Ó
Ú Ù Ð Ú Ð Ó Ö ¸ Ð Ø Ö Ó Ñ × Ò Ó Ô Ó Ö Õ Ù Ó Ö Ð Ò × Ø Ó Ú Ú Ó Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù
Ý × Ú Ù Ð Ú Ð Ú Ð Ó Ö Ò Ð Ð Ò Ö Ò Ø º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × Ò Ö Ù Ò Ù Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ð
V (r) = −W R→r × Ó Ð Ù Ö Þ Ü Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ö × Ó Ö Ð Ò × Ø Ó ´ Ø Ö Ú × Ð × Ó µ º
Ò Ø Ó Ò × Ð × Ù Ñ × Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ñ × Ð Ò Ö Ò Ø Ð × × Ø Ñ × Ó · Ò × Ø Ó ×
Ó Ò × Ö Ú º
È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ñ × ×
m1 Ý
m2 × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Ò Ü Ø Ò × Ð Ý × Ò Ñ ×
Ø Ö Ú × Ù Ò Ô Ó Ð Ñ × m0 º Ð Ù Ð Ö µ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ º µ
Ä Ð Ö Ò Ó Ò Õ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ð × Ñ × × º
1m
m2
m0
Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó ¸ Ð Ô Ó Ð ¸ × Ñ Ù Ú Ó Ò Ù Ò Ö Ó Ø Ò
Ó Ý Õ Ù Ó Ò Ó Ò Ù Ò × Ñ Ø Ö Ð × Ð Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð Ù Ò Ù Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð
I ω = M Ó Ò
I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ð Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò ¸
ω × Ð Ú Ð Ó
Ò Ù Ð Ö Ý
M × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò º Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ
Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð º
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ö Ð × Ù Ñ Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ð ×
Ñ × × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ð Ô Ó Ð Ñ × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ó Ð ¸ × Ö
L = m1r1 × v1 + m2r2 × v2 + I0 ·ω
Ó Ò r1 × Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ð Ñ ×
m1 Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ç Ý I0 × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö º
Ù Ò Ð × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × Ð Ú Ø Ó Ö L × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ô Ð Ý ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð
Ñ Ù Ð Ó L Ô Ù Ð Ù Ð Ö × Ó Ñ Ó Ð × Ù Ñ ´ Ó Ò Ð Ó × × Ò Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø × µ Ð Ó × Ñ Ù Ð Ó ×
Ó Ò Ø Ö Ù Ò º × Ö
|m1r1 × v1| = m1Rv1¸
|I0 ·ω| = I 0ω = I 0v1/R¸ Ó Ò
I 0 Õ Ù × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ò Ö º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
L = (m1 − m2)vR + I 0v/R
Ó Ò
v × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ù Ð Õ Ù Ö Ð × Ñ × × º × Ø Ú Ð Ó Ò Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ Ý Õ Ù
× Ð × Ñ × × × Ó Ò × Ø Ò Ø × × Ø Ö Ò Ð Ö × º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ñ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 35/71
Ð × Ð Ó Ö Ó Ô Ð Ð Ô Ó Ð º Ì Ö Ò Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ó × Ñ Ù Ð Ó × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ð ×
Ù Ö Þ × ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
Iα = T 1R − T 2R
Ó Ò
T 1, T 2 × Ó Ò Ð × Ø Ò × Ó Ò × Ð Ù Ö ´ Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ó × Ô × Ó × µ º È Ö Ð Ð Ö × Ø × Ø Ò × Ó Ò ×
Ô Ð Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ñ ×
m1g − T 1 = m1a
T 2 − m2g = m2a´ µ
Õ Ù Ù Ò Ø Ó Ó Ò
α = a/RÔ Ö Ñ Ø Ù Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø ×
T 1, T 2, a × Ø × Ø Ö × Ù Ó Ò × º Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
Ò Ð ×
a =(m1 − m2)gR2
I 0 + (m1 + m2)R2
Ð × Ø Ö Ð Ö × ¸ Ð Ú Ð Ó Ð × Ñ × × × Ú Þ Ñ Ý Ó Ö Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ
Ù Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó º
Ð Ð Ù Ð Ó Ð Ð Ö Ò
aØ Ñ Ò Ô Ù Ö × Ô Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö Ñ Ò Ð
× × Ø Ñ ¸ Ó Ö Ñ Ñ Ù Ý Ð Ò Ø º Ä Ò Ö Ñ Ò Ø Ó Ø Ð Ð × × Ø Ñ × Ø Ô Ó Ö
E =1
2m1v2 +
1
2m2v2 +
1
2I 0ω2 + m1g(h1 + x) + m2g(h2 − x)
Ó Ò
h1, h2 × Ó Ò Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ð × Ñ × × Ò Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø ´ Ö Ø Ö Ö Ó µ Ý
xÐ × Ø Ò Ö Ó Ö Ö
× Ô Ù × Ö Ø Ó Ø Ñ Ô Ó º Õ Ù ¸ Ø Ò Ø Ó
v Ó Ñ Ó
ωÝ
x× Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ð Ø Ñ Ô Ó Ô Ö Ó
E Ò Ó ¸ Ý Õ Ù ×
Ó Ò × Ö Ú º Ö Ú Ò Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó × Ø Ò Ö Ø Ò Ö Ñ Ó × Ô Ù ×
0 = E = m1va + m2va + I 0v
r2a + m1gv − m2gv
Ú Ò Ó Ô Ó Ö v Ý × Ô Ò Ó a × Ð Ð Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö º
Ù Ò Ó Ð Ô Ó Ð Ø Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö I 0 × Ò Ù Ð º Ò × Ø × Ó ¸
Ð Ð Ö Ò Ø Ó Ñ Ð Ú Ð Ó Ö
a = (m1−m2)/(m1 + m2)gº Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð × Ù Ó Ò ×
Æ Û Ø Ó Ò ´ µ × Ð Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
T 1 = T 2 ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ô Ó Ð Ø Ö Ò × Ñ Ø Ò Ø Ö Ñ Ò Ø Ð Ø Ò × Ò
Ù Ò Ð Ó Ð Ù Ö Ð Ó Ø Ö Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ò Ö Ó Ù Ó Ñ ×
M Ö Ó Ò Ø Ö Ó Ö
R1 Ý Ö Ó Ü Ø Ö Ó Ö
R2 ¸ Ö Ù
× Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø × Ð Þ × Ò Ö Ó Ö Ó Ò Ú Ð Ó
v0 Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ð Ò Ö Ó º Ì Ö Ò × Ù Ö Ö Ó Ù Ò Ö Ø Ó Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ø Ñ Ô Ó
∆t Ð
Ð Ò Ö Ó Ó Ñ Ò Þ Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö º Ð Ù Ð Ö
µ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö
µ Ð Ø Ñ Ô Ó Ø Ö Ò × Ù Ö Ö Ó × Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö
µ Ð Ò Ö Ô Ö Ù Ö Ò Ø × Ø Ø Ñ Ô Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó Ö Ó Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù × Ñ Ú Ð ¸
Ô Ö Ó Õ Ù × Ñ Ò Ø Ò × Ñ Ô Ö Ô Ö Ð Ð Ó Ð × Ñ Ø Ö º Ó Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ð Ó × Ñ Ù Ú ¸
× Ò × Ö Ó Ô Ö × Ø Ø Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ × Ù × Ö Ð × Ù Ò Ä Ý Æ Û Ø Ó Ò ¸ Ñ × Ð Ù Ò Ð
Ö Ó Ø Ò Ð × Ð Ó Ö Ó Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó
Iα = M º
È Ö Ñ Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ó Ö Ð × Ñ Ø Ö Ô Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó
Ù Ó º È Ó Ö Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö
I =
r2dm =
ρr2dV
Ó Ò
r × Ð × Ø Ò Ð Ý
ρ × Ð Ò × Ð Ð Ò Ö Ó º Ì Ó Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ð Ñ Ò Ø Ó Ú Ó Ð Ù Ñ Ò
Ù Ò Ó Ö Ø Þ Ð Ò Ö Ð Ð Ø Ù Ö
h¸ Ö Ù Ò Ö Ò
2πr¸ Ý × Ô × Ó Ö Ò Ò Ø × Ñ Ð
dr¸ Ó Ö Ñ Õ Ù
× Ù Ú Ó Ð Ù Ñ Ò ×
dV = 2πrhdrº Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó
dV Ò Ð Ü Ô Ö × Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ø Ò Ñ Ó ×
I = 2πρh
R2
R1
r3dr =1
2πρh(R4
2 − R4
1)
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 36/71
É Ù Ô Ù Ü Ô Ö × Ö × Ó Ñ Ó
I =1
2πρh(R2
2 − R21)(R2
2 + R21)
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ð Ò Ö Ó Ù Ó ×
V = πh(R22− R2
1)
Ø Ð Ó Ö Ñ Õ Ù
× Ù Ñ × × M = ρV = πρh(R22− R2
1)
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó
I = 12
M (R22 + R2
1)
Ù Ò Ó Ð Ð Ò Ö Ó × Ð Þ ¸ × Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ù Ö Þ Ö Ò F r Õ Ù × Ó Ô Ó Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ý Ø Ò
Ö Ò Ö Ð Ó Ó Ò Ù Ò × Ð Ö Ò
a = F r/M º Ë Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ð Ð Ò Ö Ó ×
v0 ¸ Ð Ú Ð Ó Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ô Ó × Ø Ö Ó Ö
tÚ Ò Ô Ó Ö
v(t) = v0 − at = v0 −F rM
t.
Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ö Ò Ø Ñ Ò Ô Ö Ó Ù Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ò Ö Ó ¸
Õ Ù Ö Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ó Ò Ù Ò Ð Ö Ò Ò Ù Ð Ö
αº
N = R2F r = Iα
Ó Ò × Ù Õ Ù
α = R2F r/I × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ó Ñ Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ð × Ò Ù Ð × Ø Ò
Õ Ù
ω(t) = αt
Î Ñ Ó × × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ú Ù Ñ Ò Ø Ò Ó Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ñ Ô Ó Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ú Ð Ó
Ð Ò Ð × Ñ Ò Ù Ý º Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù × Ù Ñ Ô Ð Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö
v = R2ω¸ Ð Ð Ò Ö Ó Ñ Ô Þ
Ö Ó Ö × Ò × Ð Þ Ö º Ð Ò × Ø Ò Ø
tR Ô Ö Ð Õ Ù × Ø Ó Ó Ù Ö Ö × Ø × ¸ Ô Ù ×
R2αtR = v0 −F r
M
tR.´ µ
Ù Ý × Ó Ð Ù Ò ×
tR =M v0
F r
R21
+ R22
R21
+ 3R22
´ µ
Ò × Ø Ò × Ø Ò Ø ¸ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ú Ð
v(tR) = v0 −F rM
tR = v02R2
2
R21
+ 3R22
´ ½ ¼ µ
Ù Ò Ó R1 = 0 × Ö ¸ Ð Ð Ò Ö Ó × Ñ Þ Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ö × Ù Ð Ø Ó v(tR) = 2v0/3
º Ù Ò Ó Ð R1 = R2 ¸
× Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ù Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ó × Ó Ö v(tR) = v0/2º
Ä Ò Ö Ò Ð Ð × × Ø Ñ × Ò Ñ Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ø Ö × Ð Ò Ý Ú Ð ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
1
2M v2
0 º
Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Õ Ù Ñ Ô Þ Ö Ó Ö ¸ Ð Ò Ö Ø Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ø Ö × Ð Ò
1
2M v(tR)2
Ý Ó Ø Ö
Ö Ó Ø Ò
1
2Iω(tR)2
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ú Ö Ò Ò Ö ×
∆E = E fin − E ini =1
2M v(tR)2 +
1
2Iω(tR)2 −
1
2M v20 ´ ½ ½ µ
È Ö Ó Ð Ñ Ó Ò × Ö × Ù Ò Ð Ó Ü Ð ¸ Ò Ü Ø Ò × Ð Ý Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ù Ò Ó
Ù Ý Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ø Ù Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º Ð Ð Ó × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ó Ð Ð Ó × Ó Ö Ù Ò
× Ó Ö Ó
RÝ Ñ ×
m Ù Ý Ó × × Ñ Ô Ö Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ð Ó º Ë × × Ù Ð Ø Ð × Ó
× Ø Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ð Ð Ó × Ñ Ô Ö Ú Ö Ø Ð º
µ × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ó º
µ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ø Ò × Ò Ð Ð Ó º
µ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ù Ò Ó × Ø Ý × Ò Ó Ù Ò
× Ø Ò Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ö Ù Ò Ö Ò Ð × Ó º
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 37/71
Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ò Ð Õ Ù Ð × Ð Ó Ö Ó Ö Ó Ø Ý × Ø Ö × Ð ¸ Ó Ò Ð Ö Ó Ø Ò
Ð Ö Ó Ö Ù Ò × Ñ Ø Ö Õ Ù × Ñ Ò Ø Ò × Ñ Ô Ö Ô Ö Ð Ð Ó × Ñ × Ñ Ó º È Ó Ö × Ø Ö Þ Ò ¸ Ô Ö
Ô Ð Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ò × Ö Ó Ö Ù Ö Ö Ö Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ò × Ð Ò
Ý Ð Ù Ò
Iα = M Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö º
È Ö Ö Ö Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ø Ö × Ð Ò ¸ Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ö Ð
S Õ Ù Ø Ò × Ù
x Ò Ð
Ö Ò Ð Ö Ú Ý × Ù
zÔ Ö Ð Ð Ó Ð Ð × Ó º Ë Ó Ö Ð × Ó Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ó ×
Ù Ö Þ × ¸ Ð Ô × Ó P = (mg, 0, 0)Ý Ð Ø Ò × Ò Ð Ù Ö T = (−T, 0, 0)
º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ò Ð Ý ×
Ö Ù
ma = mg − T º
Ë Ó Ð Ö Ó Ð Ù Ö Ô Ó Ð Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð
S ′ Ù Ý Ó
z′ × Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ð × Ó
Ý Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ð Ø Ó Ö Õ Ù Ó Ð Ô × Ó × Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù Ð × Ö Ù Ò Ù Ö Þ Õ Ù Ø Ô Ó Ö
Ù Ð × Ó Ö Ø Ó × Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × Ð × Ð Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Õ Ù × Ø Ù Ö Þ × Ø Ô Ð Ö Ø Ñ Ò Ø Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ð Ø Ó Ö Õ Ù Ó Ð Ø Ò × Ò Ø Ò Ñ Ù Ð Ó
M = T R¸ × ¸ Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ð Ö Ò
Ò Ù Ð Ö Ù Ñ Ô Ð
T R = Iα¸ Ó Ò
I = 1
2mR2
× Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ù Ò × Ó Ö × Ô Ø Ó × Ù º
Ó Ñ Ó Ð Ð Ø Ù Ö × Ò Ô Ó Ö Ð × Ó × Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ó × Ò Ö Ó Ð Ð Ó ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù
a = αRº È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ö × Ù Ó Ò × Ô Ö Ð × Ø Ö × Ò Ò Ø ×
a,α,T
ma = mg − T
T R =1
2mR2α
a = αR
Ä × Ó Ð Ù Ò × Ø × × Ø Ñ ×
a =2
3g
T =1
3mg
α =2g
3R´ ½ ¾ µ
É Ù Ð × Ó × Ò Ù Ò × Ø Ò Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù × Ù Ö Ù Ò Ö Ò × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Õ Ù
Ù Ò Ú Ù Ð Ø Ó Ñ Ô Ð Ø × Ó Ö × Ù º Ð Ø Ñ Ô Ó Ò × Ö Ó Ô Ö Õ Ù Ð × Ó × Ò Ð × Ø Ò
2πr ×
t =
6πr/gº È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸
V = at =
8πgr/3º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ñ Ò Ù Ö Ð Ó
a¸ Ý Ò × × Ù Ô Ö Ð Ñ ×
σ Ö Ó Ò
Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Õ Ù Ô × Ô Ó Ö
Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Ý Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó
θ Ó Ò Ù Ò Ó × Ù × Ð Ó × º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ý Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð × Ù Ö Þ × Ò × Ö Ó Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö Ð
Ö Ó Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò × Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Ó Ö Ó Ò Ð Õ Ù Ð Ö Ó Ø Ò × Ó Ô Ö Ó Ò Ó ×
× Ñ Ø Ö º Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ø × Ô Ó ¸ Ý × Ò Ó × Ô ¸ Ò Ø Ö Ó Ø Ö × Ó × × ¸ Õ Ù Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ù Ö Þ Ð Ó
Ñ Ò Ø Ò Ò º
Ð Ñ Ó × Ó × × × Ø Ñ × Ö Ö Ò ¸ Ù Ò Ó Ò Ö Ð
S Ù Ý Ó
Y × Ð Ö Ó Ø Ò ¸ Ý Ó Ø Ö Ó Ò Ó Ò Ö Ð
S ′ Ù Ý Ó × ×
X ′, Y ′× Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × Ð Ó × Ð Ó × Ð Ô Ð Ý × Ù
Z ′ × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö º Ä Ó × Ó Ö Ò ×
Ñ Ó × × × Ø Ñ × × Ø Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Õ Ù × Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × × Ø Ñ º Î Ñ Ó × Õ Ù Ô Ó Ö
× Ñ Ø Ö
S ′ × Ð × × Ø Ñ × Ô Ö Ò Ô Ð × Ò Ð Ó × Ù Ð × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö × Ó Ò Ð º Ò Ø Ó ¸ Ð
Ø Ò × Ó Ö Ò Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò
S ′
I ′xx =
a/2−a/2
y2σady =M a2
12
I ′yy = a/2−a/2
x2σadx = M a2
12
I ′zz = I ′xx + I ′yy =M a2
6
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 38/71
Ó Ò Ô Ö Ð Ù Ð Ö
I ′zz Ñ Ó × Ù Ø Ð Þ Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó × × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö × Ý Ó Ò
M = σa2º Ä ×
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ó Ó Ò Ð × × Ò Ù Ð Ò Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö º × ¸
I′ =
I ′xx I ′xy I ′xzI ′xy I ′yy I ′yzI ′xz I ′yz I ′zz
=
Ma2
120 0
0 Ma2
120
0 0 Ma2
6
´ ½ ¿ µ
Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
ω = (0, ω, 0) Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ö Ð
S º È Ö Ð Ð Ö Ð ×
Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò Ð × × Ø Ñ Ö Ö Ò
S ′¸ Õ Ù × Ð × Ô Ö Ò Ô Ð × Ð
× Ð Ó Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ò Ò Ô Ö Ñ Ò × Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ñ Ò ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò
Ò Ø Ö
S Ý
S ′º × Ø Ñ Ø Ö Þ Ö Ó Ø Ò × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ò Ù Ð Ó
θ Ð Ö Ó Ö Ð
Z
Ý Ð Ù Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ò Ù Ð Ó
ϕ = ωt Ð Ö Ó Ö Ð
Y º Ó Ñ Ó Ð × Ø Ù Ò × Ò Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö
Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ò Ó × Ô Ó Ñ Ó × Ö Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Õ Ù Ð Ó × ×
Z Ý
Z ′ Ó Ò Ò º Ò × Ø Ø Ñ Ô Ó
Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ò
S ′× Ó Ò ω
′ = ω(sen θ, cos θ, 0)º È Ö Ó Ò Ö Ð × Ø × × Ó Ò
Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ø Ö Ó Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó º Ä × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö
I ′xxω′x − (I ′yy − I ′zz)ω′yω′z = N ′extx ´ ½ µ
I ′yy ω′y − (I ′zz − I ′xx)ω′zω′x = N ′exty ´ ½ µ
I ′zz ω′z − (I ′xx − I ′yy)ω′xω′y = N ′extz ´ ½ µ
Ó Ñ Ó
ω′ = 0
Ú Ò Ò
0 = N ′extx ´ ½ µ
0 = N ′exty ´ ½ µ
−(I ′xx − I ′yy)ω′xω′y = N ′extz ´ ½ µ
Î Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ð Ñ Ò Ù Ö ¸ Ô Ö Ð Ù Ð
I ′xx = I ′yy ¸ Ø Ó × Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ð × Ù Ö Þ × Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ø Ñ
S ′× Ò Ù Ð Ò º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ø Ò Ò Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ
Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö × Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º ´ Æ Ø × Õ Ù Ô Ö Ù Ò Ô Ð Ö Ø Ò Ù Ð Ö
I ′xx = I ′yy Ý × Ö Ð Ø Ù Ò
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ù Ö Þ × µ º
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ò Ð × × Ø Ñ
S ′Ð × × Ù Ò Ø ×
L′ = I
′ω′ =
Ma2
120 0
0 Ma2
120
0 0 Ma2
6
ω sen θ
ω cos θ0
=
M
12a2ω
cos θ
sen θ0
´ ½ µ
× Ø Ú Ø Ó Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø Ý Ô Ö Ð Ð Ó ω′
º
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ Ë Ó Ö Ù Ò × Ó Ñ ×
M Ý Ö Ó
R× Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ñ Ö Ñ ×
mº
Ð × Ó Ô Ù Ö Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ó Ö × Ù Ú Ö Ø Ð ¸ Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º
Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó ¸ Ð Ó Ñ Ö Ñ Ô Þ Ñ Ó Ú Ö × × Ó Ö Ð × Ó × Ö Ò Ó Ù Ò
Ö Ù Ò Ö Ò Ö Ó
rÝ Ó Ò Ò Ø Ö Ð × Ó º ú Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð × Ó
× Ð Ó Ñ Ö × Ñ Ù Ú Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó v Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × Ó
È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ö × ¸ Ù Ò Ó Ó Ò Ù Ò Ñ ×
m, × Ø Ò Ô × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ø Ó Ö Ñ
Ö Ù Ð Ö Ö Ó R Ò Ð Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ø Ö Ó º Á Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ × Ø
Ö Ò Ó Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω0 º Ä Ó × Ó × Ó Ñ Ö × × Ö Ò × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ó
Ð Ô Ð Ø Ó Ö Ñ º ú Õ Ù × Ø Ò Ð Ö Ó Ø Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ð Ó × Ó Ñ Ö × Ð Ñ Ü Ñ
Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ò × Ù Ö Ó Ö Ö Ó Ð Ò Ø Ö Ó
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ ×
mÝ Ö Ó
R¸ × Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ö Ô Ó × Ó × Ó Ö Ù Ò
× Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ù Ò Ö Ð × Ó × Ø Ò Ó Ò Ø Ø Ó
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 39/71
Ó Ò Ð × Ù Ô Ö º Í Ò Ð Ñ ×
mÝ Ú Ð Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð
v Ó Ó Ò Ð × Ó Ý Õ Ù
Ò Ö Ù × Ø Ò Ð Ó Ö Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð Ù Ö º Ð Ù Ð Ö µ Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó
Ñ × × ¸ µ Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù ¸ Ý µ Ð Ò Ö Ò Ø
Ð × × Ø Ñ Ò Ø × Ý × Ô Ù × Ð Ó Õ Ù º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ó × Ó Ð × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × Ù Ð × Ñ ×
M × Ø Ò Ù Ò × Ñ Ò Ø Ù Ò Ú Ö Ð Ð
Ö Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ð Ó Ò Ø Ù a º Ò Ð Ú Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ö Ð Ö Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó
Ñ × × Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ωº Ò Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ø Ö Ñ Ò Ó ¸ Ù Ò Ð × Ó Ð ×
Ó Ó Ò Ó Ø Ö Ó Ð ¸ × Ø Ó Ò Ö Ý Ô Ù Ò Ø Ù Ð ¸ Ñ × Ø Ñ Ò
M Õ Ù Õ Ù Ö
Ð Ô Ö Ñ Ö º
´ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ó × Ò Ý Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ Ð × Ø Ö ×
Ô Ö Ø Ù Ð × ¸ Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Õ Ù º
´ µ ú Ù Ð × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò Ø Ó Ð × × Ø Ñ Ø Ö × Ñ × × Ö × Ô Ø Ó × Ù
Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ó Õ Ù ú Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø
Ô Ó × Ø Ö Ó Ö
´ µ ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × × Ø Ñ Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × × Ô Ù × Ð
Ó Õ Ù
´ µ ú Ù Ð × Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ý Ò Ð
M
x
z
y
a M
M
M
Ù Ö ½
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò × Ö Ñ Þ × Ö Ö Ó × Ó Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ó Ó Õ Ù
Ö × Ð Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó
v0 × Ò Ö Ó Ö º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ð Õ Ù Ð Ð Ú Ö × Ù
Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ö × Ò Ö × Ð Ö ×
v = 5v0/7º ´ Ä Ø Ö Ò × Ò Ù Ò × Ó
Ó Ø Ö Ó × Ö Ù Ð ¸ × Ö ¸ Ð × Ö Ö Ó Ö Ý Ö × Ð Ö Ð Ú Þ Ù Ö Ò Ø Ð Ò Ø Ñ Ô Ó º Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ö Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð × Ö ×
I = 2M R2/5 Ó Ò
M × Ð Ñ × Ð × Ö Ý
R× Ù Ö Ó µ º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ È Ö Ù Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Þ Ó Ñ ×
mÝ Ö Ó
RÕ Ù Ö Ó Ò Ó × Ò × Ð Þ Ö
Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ö Ð Ò Õ Ù Ü × Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ö Ò Ø
Ø Ö × Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ö Ó Ø Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º ú È Ö
Õ Ù Ù Ö Ô Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù Ñ × Ò Ö × × Ó Ò Ù Ð ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò × Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ö Ó
R¸ × Ô × Ó Ö
hÝ Ñ ×
M Ö Ó Ò Ú Ð Ó
Ò Ù Ð Ö
ω Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ð Ð Ó Ð Ð × Ó × Ô Ö Ó × Ø Ù Ò
× Ø Ò
d < Rº Ð Ù Ð Ö µ Ä Ù Ö Þ Ý Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Õ Ù Ö Ð × Ó × Ó Ö Ð
Ö Ó Ø Ò º µ Ä Ô Ó × Ò Ò Ð × Ó Ó Ò Ö Õ Ù Ó Ð Ó Ö Ù Ò Ñ ×
mÔ Ö Õ Ù Ð
Ò Ó × Ø × Ó Ñ Ø Ó Ù Ö Þ × º
È Ö Ó Ð Ñ ½ É Ù Ö Ñ Ó × Ö Ö Ö Ù Ò Ô Ù Ö Ø
20 Ñ × Ý
1Ñ Ò Ó º È Ö
Ð Ð Ó Ñ Ô Ù Ñ Ó × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ô Ù Ö Ø × Ó Ö Ð Ö × Ø Ó Ô Ù × Ø Ð
Ð × × Ö × Ó Ò Ù Ò Ù Ö Þ
200Æ Ù Ö Ò Ø Ù Ò Ñ × Ù Ò Ó º Ä Ô Ù Ö Ø
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 40/71
Ó Ö Ñ Ò Ð Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ù Ð Ó
90Ó
Ó Ò Ð Ô Ö Ý Ò Ó Ó Ò × Ö Ö Ñ Ó × Ò Ò Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó º
× Ô Ö Ò Ó Ð Ö Ó × Ó Ö Ð Ô Ù Ö Ø × Ô µ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ô Ù Ö Ø
Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð × × Ö × º µ Ð Ù Ð Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ö Ò Ö Ö Ö × Ð Ô Ù Ö Ø º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ö Ö Ö Ñ ×
mÝ Ð Ó Ò Ø Ù
l × Ð Þ ¸ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ó Ö Ð
Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò Ö Ó Ö Ó
R¸ × Ó Ñ Ø Ð Ò Ð Ö Ú º Ì Ó Ñ Ò Ó
2R ≥ l
µ ú É Ù Ø Ô Ó Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ð Þ Ð Ö Ö
µ × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ö Ö º
µ Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð Ð Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ö Ö Ò × Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ó Ó Ö Ñ
Ù Ò Ò Ù Ð Ó ¼ Ö Ó × Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð ¸ Ý Õ Ù Ð Ö Ö Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó ¸ Ð Ù Ð Ð Ú Ð Ó
Ò Ù Ð Ö Ñ Ü Ñ Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ö Ö º
½ ¼
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 41/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ê × Ù Ð Ø Ó × Ý È Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ì Ñ
¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ó Ø Ó Ñ ×
m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ó Ó º
Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ñ Ó × Õ Ù × Ñ Ù Ú Ù Ö Ó Ó Ò Ð Ù Ò
r = a exp−(bθ) Ó Ò
a, b× Ó Ò Ó Ò × Ø Ò Ø × Ý
θ × Ð Ò Ù Ð Ó Ô Ó Ð Ö º À Ð Ð Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ñ Ô Ó ´ Ü Ô Ò
Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ú µ º ´ Ý Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × ×
a =(r − rθ2) r + 1r
ddt(r2θ) θ.
µ
Ë Ó Ð Ù Ò
Í Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ð Ó Ö Ñ
F = f (r)rº È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ö Ò
r − rθ2 =1
mf (r)
´ ½ µ
d
dt(mr2θ) = 0 ´ ¾ µ
Î Ñ Ó × Ò Ø Ò Ø Ö × Ö Ö Ð Ù Ò ´ ½ µ Ò Ù Ò Ò
rº Ä Ù Ò ´ ¾ µ Ñ Ô Ð Ð Ó Ò × Ø Ò Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö
J = mr2θÕ Ù × Ô Ù × Ö Ö
θ =
J
m
1
r2
Ö Ú Ñ Ó × Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó Ð Ù Ò Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö
r = −abθe−bθ = −brθ = −Jb
m
1
r
Ý Ú Ó Ð Ú Ò Ó Ö Ú Ö
r =Jb
m
1
r2r = −
Jb
m2 1
r3
Ë Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó Ò ´ ½ µ ¸ Ø Ò Ñ Ó ×
1
mf (r) = −
Jb
m
2 1
r3− r
J
m
2 1
r4= −
J 2(b2 + 1)
m2
1
r3
Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ó Ø Ò Ò Ø Ö Ö Ð Ù Ò
−V ′(r) = f (r) = −J 2(b2 + 1)
m
1
r3
Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó
V (r) = − J 2
2m(b2 + 1)
r2
È Ö Ó Ð Ñ ¾ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó
OÔ Ó Ö Ù Ò Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð
F (r)Ô Ó Ö
Ù Ò Ñ × ¸ Ó Ò
r × Ð × Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó
Oº Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 42/71
Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ö Ó Ö
O× Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ø Ó Ù Ò Ô Ð Ò Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ô Ó Ö
Ù Ò Ñ × ×
F (r) = k
4a
r
2 − 3a
r
3´ ¿ µ
Ý Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ù Ò Ó × Ø × Ø Ù Ù Ò × Ø Ò
a
OØ Ò Ù Ò Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð
Ú Ð Ó Ú Ð Ó Ö
√ ak Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ð Ò Õ Ù Ù Ò Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ × O Ó Ò Ð Ô Ó × Ò
Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ý Ð Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ð Ú Ð Ó ¸ Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ò ¸ Ù Ð
Ú Ð Ó Ö ¸ Ð Ù Ð Ö Ð × × Ø Ò × Ñ Ü Ñ × Ý Ñ Ò Ñ × Ð Ó Ö Ò
Oº
Ë Ó Ð Ù Ò
Ì Ó Ñ Ñ Ó × Ó Ñ Ó × × Ø Ñ Ö Ö Ò Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ö Ò Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó
OÝ Ø Ð Õ Ù Ð Ô Ð Ò Ó Ð
Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ð Ý Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ó Ò × Ö Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ò
(a, 0, 0)º Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö
J = mr×v × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ó Ò × Ø Ò Ø ´ Ô Ó Ö × Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð µ Ý Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö º
Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ó Ò × Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö J = m(a, 0, 0) × (√
ak,√
ak, 0) = ma√
akkº
Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ö Ú Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð × Ø Ó Ô Ó Ö
V (r) = −km
4a2
r − 3 a3
2r2
´ µ
Ó Ñ Ó Ô Ù Ô Ö Ö × × Ò Ñ × Õ Ù Ð Ð Ò Ó Ð Ö Ò Ø × Ø Ù Ò Ò Ô Ó Ø Ò Ð º Ò Ð Ò × Ø Ò Ø
Ó Ò × Ö Ó ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ×
E =m
2v2 + V (a) =
m
2(√
ak2
+√
ak2
)− km
4
a2
a− 3
a3
2a2
= −3
2mka.
´ µ
Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ð Ô Ó × Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ô Ó Ö Ð × Ø Ò
rÝ Ð Ò Ù Ð Ó
θº
Ä × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó × Ó Ò
vr = rÝ
vθ = rθº Ä Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×
×
E c =1
2mr2 +
1
2mr2θ2.
Ó Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × J = mr2θ = ma√
ka ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó
E = −3
2mka = E c + V (r) =
1
2mr2 +
1
2mr2θ2 − km
4
a2
r− 3
a3
2r2
=
1
2mr2 + V ef (r)
Ó Ò Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð Ô Ö Ø Õ Ù Ò Ó Ô Ò Ð Ú Ð Ó Ö Ð
r
V ef (r) =1
2m
a3k
r2+ V (r) = m
−4k
a2
r+ 2k
a3
r2
Ä Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ñ Ü Ñ Ó Ý Ñ Ò Ñ Ó Ö Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ö Ò × Ö Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ø Ò Ð
Ø Ú Ó Ý Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ¸ Õ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ò Õ Ù Ð Ò Ö Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ð ´ Ó
Ð Ú Ð Ó Ö Ð ×
r = 0µ
V ef (r) = E = −3
2mka = m
4k
a2
r+ 2k
a3
r2
Ó Ò Ò Ó × Õ Ù Ð Ù Ò
3r2 − 8ar + 4a2 = 0
Ù Ý × Ö × × Ó Ò
rmin = 23a
Ý
rmax = 2aÕ Ù × Ó Ò Ð × × Ø Ò × Ô × º
Æ Ø × Õ Ù Ô Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ò Ø Ú Ý Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö Ù Ò
Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ö Ò Ø Ö
rmax Ý
rmin Ó Õ Ù Ð Ó Ò Ò Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð
× Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó
r = aÔ Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ó Ô Ù Ò Ø Ó × × Ð º È Ö × Ø × Ó Ó Ò Ö Ø Ó Ð
Ó Ó Ö Ò Ö Ð × Ø Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó rmin < r < rmax º
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Ð Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ó Ò Ð Õ Ù Ö Ù Ò Ð Ó Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö
× Ó Ö Ù Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð
mÙ Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ý
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 43/71
Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Ä Ò × Ð Ò Ð Ñ × Ð Ò Ð Ð Ó ×
λº Ü Ô Ö × Ö Ù Ö Þ Ò
Ù Ò Ò Ð × Ø Ò
h Ð Ñ × Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó º × Ù Ø Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×
Ð Ù Ö Þ Ô Ö h Ö Ò Ý h Ô Õ Ù Ó º ú Ù Ð × Ö × Ù Ú Ð Ó Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð
Ò Ð Ð Ó ú É Ù × Ø Ò Ö Ó Ö Ö Ö Ò Ð Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ò Ð Ð Ó ú × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ó
ú Ó Õ Ù Ó Ò Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ô Ð Ø Ö Ñ Ò Ö Ð
Ö Ù Ò Ò × Ø Ð Ø Ñ Ó × Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ó Ò × Ö Ñ Ó ×
Y Z Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù Ð
X Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö
Ó Ô Ð Ò Ó º
¹ Ð Ñ Ô Ó Õ Ù Ò Ö Ù Ò Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó Ñ ×
dm Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ð × Ô Ö Ó Ù Ò × Ø Ò
”x”Ô Ó Ö Ò Ñ × Ù Ô Ð Ò Ó Ú Ò Ó Ô Ó Ö
|dg| =Gdm
r2
Ó Ò r × Ð × Ø Ò Ð Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ù Ð Ó Ð Ñ Ô Ó º Ð Ú Ð Ó Ö dm × dm =mdl/L = mRdθ/(2πR) = m/(2π)dθ
× Ò Ó
θ Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ö Ö Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó
Y Z º Ä × Ø Ò Ð
Ø Ö Ó Þ Ó Ö Ò Ð Ò Ð Ð Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ð Ù Ð Ò Ó Ð Ñ Ô Ó × r = √ x2 + R2¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð
Ü Ô Ö × Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ö Ó Ô Ó Ö × Ø Ö Ó Þ Ó Ò Ð Ð Ó ×
dg =Gmdθ2π
(x2 + R2)
× Ñ Ô Ó × Ð Ó Ò Ó × Ò Ø Ö × Ð Ô Ö Ó Ý Ò × Ó Ö Ð
xº É Ù Ú Ò Ô Ó Ö
gx = gcosφ× Ò Ó
cosφ = xr = x
(x2+R2)1/2º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ù Ó × Ö Ö
dgx = dgcosφ = Gm
2π
x
(x2 + R2)3/2dθ
È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ñ Ô Ó Ø Ó Ó Ð Ò Ð Ð Ó × Ó Ø Ò
gx =
2π0
dθ
G
m
2π
x
(x2 + R2)3/2
gx = Gmx
(x2 + R2)3/2
× Ø Ñ Ô Ó Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö Ò Ð Ò Ð Ð Ó Ô Ó Ö Õ Ù × Ø Ö Ø Ú Ó ¸ Ò × Ø × Ó × Ó × Ð Ö Ò xÒ Ø Ú Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù
g = −Gmx
(x2 + R2)3/2i
Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó × Ô Ù Ó Ø Ò Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ò Ö Ø
U = −
g.dr = − −Gm
x
(x2 + R2)3/2dx = − Gm
(x2 + R2)1/2
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
U (x) = − Gm(x2+R2)1/2
º
Ù Ò Ó x ≪ R ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ü Ñ Ö
U (x) = − Gm
(x2 + R2)1/2= −Gm
R
1
1 + x2
R21/2≈= −Gm
R
1− x2
2R2
´ µ
Õ Ù × Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ù Ö Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ô Ð Ö Ù Ò
GM/2R3
º
Ù Ò Ó
x ≫ R Ð Ô Ó Ø Ò Ð × × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø
U (x) = −Gmx Ý ¸ Ö Ò × × Ø Ò × Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ð Ô Ó Ø Ò Ð
× Ñ Ù Ý Ô Ö Ó Ð Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ù Ð º
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 44/71
¹ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Õ Ù × Ñ Ù Ú Ø Ò Ù Ò Ñ ×
M º Ë Ù Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó
× Ó Ö Ð Ð Ò Ð Ð Ó Ù Ò × Ø Ò
x Ð Ó Ö Ò Ú Ò Ô Ó Ö
E p(x) = M U (x) = − GmM
(x2 + R2)1/2
Ý × Ù Ò Ö Ò Ø Ô Ó Ö E c = 12mv2 p × Ò Ó v p Ð Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ò Ð Ñ Ò Ø
× Ø Ù Ò × Ø Ò
h× Ó Ö Ð Ý Ò Ö Ô Ó × Ó × Ù Ò Ö Ñ Ò Ò Ð ×
E T (0) = E c(0) + U (x = h) = 0− GmM
(h2 + R2)1/2
Ð Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ø Ò Ö Ù Ò Ú Ð Ó
vÝ Ù Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð Õ Ù
x = 0
Ó Ò Ð Ò Ö Ñ Ò × Ö
−GmM
R+
1
2mv2
È Ù × Ø Ó Õ Ù Ò Ó Ý Ô Ö Ò Ö × Ø × Ó × Ò Ø × × Ó Ò Ù Ð ×
− GmM (h2 + R2)1/2
= −GmM R
+ 12
mv2
× Ô Ò Ó × Ó Ø Ò
v =
2
GM
R− GM
(h2 + R2)1/2
1
2
¹ È Ö Ð Ù Ð Ö Ð × Ø Ò Õ Ù Ö Ó Ö Ö Ð Ó Ø Ö Ó Ð Ó Ò Ù Ú Ó × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸
Ò × Ø × Ó × Ô Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ø Ö Ú × Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ó Ò Ø Ò Ý × Ø Ò º Ä Ó Ö Ù Ò
× Ø Ò
xm Ð Ò Ð Ð Ó Õ Ù Ò Ó Ó Ò Ó Ñ Ó × º Ò × Ø Ô Ó × Ò Ø Ó Ð Ò Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö
Ô Ó Ø Ò Ð ´ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù × Ø Ò µ ¸ Ð Ù Ð Õ Ù Ð Ó Ñ Ò Þ Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
− GM
(h2 + R2)1/2= − GM
(x2m + R2)1/2
Ó Ò × Ò Ñ Ø Ó Ú Ö Õ Ù xm = hº
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ð Ü Ñ ×
M × Ø Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ù Ò × Ø Ö Ù Ò × Ø Ö Ð Ð ×
× Ö Ö Ó
Ro º Í Ò Ò Ú × Ô Ð × Ò Ó Ñ Ù × Ø Ð × Ò Ù Ò Ø Ö Ù × Ø Ó Ò Ð Ó Ö
Ð Ð Ü Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º ú Ù Ò Ø Ó Ø Ñ Ô Ó Ø Ö Ö Ð Ò Ú Ò Ö Ù Þ Ö Ð Ð Ü ¸
× Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù × Ù Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø Ö Ø Ð Ò ú Ù Ð × Ð Ú Ð Ó Ñ ¹
Ü Ñ Ð Ò Ú Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü ú Ò Õ Ù Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ø Ò
× Ú Ð Ó
Ë Ó Ð Ù Ò
Ë Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ù × × ¸ Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò × Ø Ö Ù Ò × Ö Ó Ñ Ó ¹
Ò Ñ × Ù Ò × Ø Ò
r Ð Ò Ø Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö
g(r) = −GM (r)
r2r
Ó Ò r × Ð Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ý
M (r) × Ð Ñ × Ó Ò Ø Ò Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ð × Ö Ö Ó
rº × Ø Ñ × × Ø Ô Ó Ö
M (r) = ρ4π3 r3 = M
R3
0
r3¸ Ó Ò
ρ = M 0/(4πR30/3)
× Ð Ò × Ñ × º
Ñ Ò Ö Õ Ù
g(r) = −GM
R30
rr
Ä Ù Ö Þ × Ó Ö Ð Ò Ú Ñ ×
m× Ö F = mg(r)
Ý Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ú × Ö
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 45/71
F = ma
Ó Ò a × Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ú º Ä Ò Ú × Ö Ö Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ø Ð Ò Ý Õ Ù Ð Ù Ö Þ × Ø
Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü Ý Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó
a = rrÝ Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ
r = −GM R30
r
r + ω2r = 0
Ó Ò
ω =
GM R3
0
º × Ø × Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Ð Ó Ö Ö Ñ Ò Ó º Ä Ò Ú ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ø Ö Ú × Ð Ð Ü
Ð Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó ¸ Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó ´ Ý Ò × Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ù Ö Þ Õ Ù × Ò Ø × Ò Ù Ð µ Ð Ñ Ü Ñ
Ú Ð Ó Ý Ñ Ô Þ Ô Ö Ö × × Ø Ð Ð Ö Ð Ü Ø Ö Ñ Ó Ó Ô Ù × Ø Ó Ð Ð Ü ¸ Ó Ò Ø Ò Ö Ú Ð Ó
Ò Ù Ð × Ø Õ Ù Ú Ù Ð Ú Ö Ð Ò Ø Ö Ó º Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ú Ó Ð Ú Ö Ð Ñ × Ñ Ó × Ø Ó × Ð Ô Ö Ó Ó
T = 2π/ω ¸ Ý Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò Ô × Ö Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ö Ñ Ö Ú Þ × T /4º Ä Ú Ð Ó Ñ Ü Ñ
× Ù Ò Ó Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü º È Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ô Ö Ø Ö Ð × Ó Ð Ù Ò
r(t) = −R0 cos(ωt)r(t) = ωR0 sen(ωt)
´ µ
Õ Ù × Ø × Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ð × Ó Ò Ó Ò × Ò Ð ×
r(0) = −R0 ¸
r(0) = 0º
Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ Ü Ñ Ú Ð Ó × Ù Ò Ó
t = T /4Ý Ò Ø Ó Ò ×
vmax = r(T /4) = ωR0 =
GM R0
º × Ø
Ú Ð Ó Ô Ó Ö Ð Ù Ð Ö × Ø Ñ Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö º Î Ñ Ó × Ñ Ó º
Ä Ô Ö Ñ Ö Ø Ò Ø Ò × × Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ô Ó Ö
U = GMmR0
´ Ð Ò Ö
Ô Ó Ø Ò Ð Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó µ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ñ Ó × U = 12mv2max ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × vmax =
2GM/R0 º × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × × Ø Ò Ø Ó Ð Ó Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ó ¸ × Ò Ó Ö Ö Ø Ó º × Ø Ó ×
Ó Ð Ð Ò Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù
U = GMm
R0
× Ð Ø Ö Ó Ò × Ö Ó
Ô Ö Ð Ð Ú Ö Ù Ò Ñ ×
m × Ð Ò Ò Ø Ó Ð Ó Ö Ð Ð Ü º È Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö ¸
× Ò Ñ Ö Ó ¸ Ò Ó × Ò Ø Ö × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ô Ö Ø Ö Ð Ø Ö Ó Ò × Ö Ó Ô Ö Ð Ð Ú Ö Ù Ò
Ñ ×
m × Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ð Ü × Ù Ó Ö º Ó Ø Ö Ó × Ø Ó Ô Ó Ö
W =
R0
F (r)dr =1
2ω2mr2
Á Ù Ð Ò Ó
W = mv2max/2Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ù Ú Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ó Ö Ö Ø Ó
vmax =
GM/R0 º
È Ö Ó Ð Ñ Ù Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ù Ð × Ò Ø × Ñ ×
m × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ú Ö Ð Ð × Ö × Ý × Ò
Ñ × Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò Ù Ö Ó Ð Ó
lº Ð × × Ø Ñ Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω Ð Ö Ó Ö
Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ð Ù Ö Ó Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ñ × Ñ Ó º Ë Ð ×
Ô Ö Ø Ù Ð × × Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ø ¸ ú Ù Ð × Ö
ωÔ Ö Õ Ù Ð × Ú Ö Ð Ð × Ò Ó × Ø Ò
× Ó Ñ Ø × Ò Ò Ò Ø Ô Ó Ø Ò × Ò Ð Ð Ù Þ × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ ú × Ô Ó × Ð Õ Ù Ü × Ø Ò
Ð Ü × Ù Ø Ó Ö Ú Ø Ò Ø × Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö Ö Ó Ö Ø Ö Ö Ó
Ë Ó Ð Ù Ò
Ò Ù Ò Ò × Ø Ò Ø Ø Ñ Ô Ó Ó ¸ Ð Ñ Ó × × Ó Ó Ö Ò × Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ò
Ð Ó Ö Ò ¸ Ð ¾ × Ø Ò Ð Ô Ó × Ò
(0, l)Ð ¿ Ò Ð
(l, l)Ý Ð Ò Ð
(l, 0)º
Ä Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Õ Ù × Ò Ø Ù Ò Ñ ×
m Ò Ð Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ö × Ò Ó Ø Ö Ñ ×
M
Ù Ò
r ×
FG = GMmr3
rº ´ Æ Ø × Õ Ù Ñ Ó × Ô Ð Ó Ð Ô Ö Ò Ô Ó Ò ¹ Ö Ò µ º
È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ö Þ Ø Ó Ø Ð × Ó Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ö Ô Ó Ö
FG = Gm2
1
l3(0, l) +
1
l3(l, 0) +
1
(√
2l)3(l, l)
=Gm2
l2
(0, 1) + (1, 0) +
1
(√
2)3(1, 1)
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 46/71
=Gm2
l2
1 +
1
(√
2)3
(1, 1)
× Ø Ù Ö Þ × Ø Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó º
È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Õ Ù × Ò Ø Ð Ô Ö Ø Ù Ð ½ × Ø Ö Ð Ó Ð Ö Ó
(−1,−1)Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó × Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó ¸ Ý × Ù Ñ Ù Ð Ó × Ø Ó Ô Ó Ö F c = mrω2
Ó Ò
ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ó Ø Ò Ð × Ñ × × Ý
r = l/√ 2 × Ð × Ø Ò Ð Ñ × ½ Ð Ò Ø Ö Ó Ð
Ù Ö Ð Ø Ö Ó º Ó Ñ Ó Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ö × Ù Ð Ø Ò Ö Ò Ö Ó Ò × Ó Ô Ù × Ø × ¸ Ô Ó Ñ Ó ×
Ö × Ø Ö × Ñ Ô Ð Ñ Ò Ø × Ù × Ñ Ù Ð Ó × Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø ¸ Õ Ù ×
Gm2
l2
√ 2
1 +
1
(√
2)3
−m
lω2
√ 2
= 0
Î Ñ Ó × Õ Ù × Ñ Ô Ö Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω Ó Ö Ñ Õ Ù Ó Ò × Ñ Ó × Õ Ù × Ø
Ù Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ò Ù Ð ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð × × Ø Ò × Ö Ð Ø Ú × Ò Ø Ö Ð × Ù Ø Ö Ó Ñ × × × Ñ Ò Ø Ò Ò
Ó Ò × Ø Ò Ø × º Ò × Ø × Ó
ω = 2Gm
l3 1 +1
(
√ 2)
3 .
Ò Ù Ò Ð Ü Ò Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ó Ö Ù Ð Ö Õ Ù Ö Ó Ø Ý Ò Ù Ò × × Ø Ñ Ò Ó Ò Ö Ð Õ Ù Ö Ó Ò Ð
Ð Ü ¸ × Ó Ö × Ø Ö Ð Ð Ø Ù Ò Ó × Ù Ö Þ × ¸ Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ð × Ñ × × Ø Ö Ð Ð × ¸ Õ Ù Ô Ó Ö
× Ñ Ø Ö × Ø Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ Ý Ð Ò Ø Ö Ù Ó Ð Ö Ó Ø Ò Ð Ð Ü º È Ó Ñ Ó ×
Ü Ø Ò Ö Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ù Ö Ð Ø Ö Ó × Ø × Ó × Ò Ñ × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ý Ú Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ò
Ô Ö Ò Ô Ó ¸ × Ñ Ô Ö Ô Ó Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ò Ö Ó Ø Ð Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸
Õ Ù Ö Ó Ð Ô × Ö Ð Ð Ü Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó ¸ × Ó Ñ Ô Ò × Ó Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù º Ë Ò
Ñ Ö Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ö Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ò Ó × × Ø Ð º Ë Ô Ö Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
¸ Ù Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ð Ü ¸ × Ñ Ù Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ù Ñ Ò Ø Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý
× Ñ Ò Ù Ý Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸ Ó Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ð Ü × × Ô Ö × Ö Ð Ù Ò Ú Ö × Ó º Ë × Ñ Ò Ù Ñ Ó ×
Ð Ö Ñ Ò Ø Ð Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ù Ñ Ò Ø Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý × Ñ Ò Ù Ý Ð Ò Ø Ö Ù ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð
Ð Ü Ó Ð Ô × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ò Ð Ð Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó ¸ ¸ × Ù Ò Ð Ø Ù Ö Ò Ò Ø ¸ × Ó Ö Ð
× Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö º ú Õ Ù Ú Ð Ó Ñ Ô Ø Ö × Ó Ö × Ø ¸ × Ð Ø Ñ × Ö Ò Ó Ö Ò ×
× Ù Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó × Ö Ð Þ Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð
V (r) = − GMmr ¸ Ó Ò
M × Ð Ñ × Ð
Ì Ö Ö Ý
mÐ Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó º Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ó × Ñ Ù Ú ×
r = ∞ × Ø
r = RT ´ Ö Ó Ð Ì Ö Ö µ º
Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¸ Ô Ó Ò Ò Ó
E (r = ∞) = E (r = RT ) Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù
Ô Ö Ø Ð Ö Ô Ó × Ó Ý Õ Ù
V (r = ∞) = 0Ò Ó × Õ Ù
0 =12
mv2 − GM mRT
× Ô Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
v =
2GM
RT
× Ð Ú Ð Ó Ó Ò Õ Ù Ñ Ô Ø Ö Ó Ò Ð Ì Ö Ö º
È Ö Ó Ð Ñ ú É Ù Ô × Ö Ó Ò Ð Ö Ø Ø Ö Ö × Ø Ö ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ö Ù Ð Ö ¸ × Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð
× Ö Ù Ö Ö Ù × Ñ Ò Ø Ð Ñ Ø × Ù Ñ × Ø Ù Ð ú É Ù Ó Ù Ö Ö Ö × Ò Ú Þ Ð Ë Ó Ð
Ù Ö Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö Ð Õ Ù × Ö Ù Ö Ð Ñ Ø Ë Ð Ë Ó Ð × Ó Ð Ô × Ö Ñ Ò Ö
Õ Ù Ð Ö Ó × Ö Ù Ö Ð Ñ Ø Ó Ò × Ö Ú Ò Ó × Ð Ñ × ¸ ú Ù Ò Ø Ò Ö × Ò Ö Ò
Ð Ó Ò Ø Ö Ò
Ë Ó Ð Ù Ò Ä Ñ × Ð Ì Ö Ö Ô Ó Ö Ö Ù Ö × Ð Ñ Ø × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó Ý Ü × Ø Ó Ù Ò
Ô Ö Ó × Ó ´ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ù Ò Ü Ô Ð Ó × Ò Ø Ö Ñ Ó Ò Ù Ð Ö µ Õ Ù Ý Ô Ö Ø Ó Ò Ó × Ð Ì Ö Ö º Ò × Ø × Ó ¸
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 47/71
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×
L1
L2
Ù Ö ½ È Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ò Ù Ò Ó Ò ´ µ ¸ Ô Ö Ó × Ú Ð Ó Ö × L × Ò Ó L1 > L2 º
Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð × Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð × Ó × Ñ × × Ý Ð Ë Ó Ð Ý × Ó Ò × Ö Ú Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý
Ð Ò Ö Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ö × Ó Ð Ú Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Ò Õ Ù Ö Ò Ó × Ñ ×
Ò Ó Ö Ñ Ò Ó Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Õ Ù Ö Ò Ý Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó × × Ð Ò Ð Ó × Ó × Ø Ö Ó Þ Ó × × Ô Ù ×
Ð Ü Ô Ð Ó × Ò º
Ó Ñ Ó × Ø Ò Ó Ö Ñ Ò Ò Ó Ô Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó ×
Ô Ð Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Õ Ù Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö × Ö Ù ´ Ô Ó Ö Ö Ø
Ñ µ Ð Ñ Ø × Ò Ñ Ö × Ù Ô Ó × Ò Ò Ú Ð Ó º Ò × Ø × Ó ¸ Ò Ð Ò Ö Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ò Ù Ð Ö Ð Ì Ö Ö × Ó Ò × Ö Ú Ò Ò Ð Ô Ö Ó × Ó º Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö
L = |L| = mRvÔ ×
L′ = |L′| = m2 Rv
× Ô Ù × Ð Ö Ù Ò Ö Ù Ô Ø Ð Ñ × ¸ × Ò Ó
R Ð Ö Ó Ð Ö Ø
Ù Ð Ö Ý
v× Ù Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð º Ð Ñ × Ñ Ñ Ò Ö ¸ Ð Ò Ö Õ Ù Ø Ò
E = m2 v
2 − GMmR Ô ×
E ′ = m/22 v2 − GMm/2
R = E/2× Ò Ó
M Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð º Ú Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ Ø Ö × Ð Ö Ù Ò Ñ × ¸ Ð
Ñ ×
m/2Ñ Ò Ø Ò Ö Ù Ò Ò Ñ Ø Ô Ó Ö × Ù
E ′Ý
L′Õ Ù × Ö Ò Ñ Ò Ø Ù × Ó Ò × Ø Ò Ø × º
Ò Ð Ñ Ó × Ð Ò Ñ Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ò Ó Ù × Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º È Ö Ð Ì Ö Ö
Ñ ×
m× Ù Ò Ö × Ü Ô Ö × Ó Ñ Ó
E =m
2r2 +
L2
2mr2− GM m
r´ µ
Ó Ò Ð L × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ´ Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ñ µ ¸ × Ò Ó Õ Ù r Ð
Ó Ó Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ñ Ð × Ø Ò Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ö
Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð × Ù Ñ Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸
Ò × Ø × Ó
V ef (r) =L2
2mr2− GM m
r´ µ
Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð Ò Ñ Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m× Ó Ñ Ø Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ô Ù × Ö
Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ù Ò Ö Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð
r¸ Ò Ø Ò Ò Ó Ù Ò
Ó Ñ Ó Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ô Ð Ù Ò Ñ ×
mÕ Ù × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò × Ô Ó Ù Ò Ñ Ò × Ó Ò Ð
´ × Ò Ó
rÐ Ú Ö Ð Õ Ù Ö Ø Ö Þ × Ù Ô Ó × Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ù Ö Þ µ × Ø Ò Ó × Ó Ñ Ø
Ð Ò Ù Ò Ù Ö Þ Õ Ù Ö Ú Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º × Ö ¸ Õ Ù Ð Ù Ò Ô Ù × Ö Ö × Ö Ø
Ó Ñ Ó mr = −V ′
ef (r)º
Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ñ Ó × Ø Ö Ò Ð Ù Ö ½ º Ì Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó × Ø Ù Ó Ò
rmin Ô Ö
Ð Ù Ð
rmin =L2
Gm2M , V ef (rmin) = −G2m3M 2
2L2´ ½ ¼ µ
Ä Ò Ö Ò Ø × Ö × Ñ Ô Ö Ù Ò Ñ Ò Ø Ù Ñ Ý Ó Ö Ó Ù Ð Ö Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ø Ñ Ò Ð Ò Ö
Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ö Ò × Ö Ð Ó º Ë Ð Ò Ö
E Ø Ó Ñ Ü Ø Ñ Ò Ø Ð Ú Ð Ó Ö
Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó ¸ × Ó Ò Õ Ù × Ð Ó Ý Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ö Ø Ò Ø Ö Ñ × Ù Ö Ú × ¸ Ô Ó Ö
Ð Ó Õ Ù × Ô Ö Ñ Ø Ó Ù Ò Ò Ó Ô Ó × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð
r¸ Ð Ó Ù Ð Ò Ó × Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ö Ø
Ö × Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ö Ñ Ò Ø Ò Ö Ø Ó Ó Ø Ñ Ô Ó Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø Ò Ð Ë Ó Ð ¸ × Ö Õ Ù × Ñ Ó ×
rmin ≡ Rº È Ö Ó Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ù Ö Þ Ø Ó Ø Ð Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ô Ð × Ó Ö Ð
Ð Ñ × m × Ò Ù Ð ¸ Ô Ù × Ð Ð Ó × Ò Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý Ò Ø Ö Ù × Ø Ò Õ Ù Ð Ö × º
Ò Ð Ñ Ó × Ó Ö Ð Ò Ñ Ð Ñ × Ñ Ø
m/2º Ò Ð Ó Ñ Ò Ø Ð Ó Õ Ù Ñ Ó × Ó ¸ Ø Ò ¹
Ö Ñ Ó × Ù Ò Ò Ö
E ′ =m
4r2 +
L′2
mr− GM m
2r´ ½ ½ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 48/71
× Ö ¸
E
2=
m
4r2 +
L2
4mr2− GM m
2r´ ½ ¾ µ
Ó Ò Ú Ò Ó Ô Ó Ö Ó ×
E =m
2
r2 +L2
2mr2
−
GM m
r
´ ½ ¿ µ
× Ö ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Ü Ø Ñ Ò Ø Ð Ñ × Ñ Ù Ò Ò Ö Ø ´ Ó Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó µ Õ Ù
Ò Ð × Ó Ñ ×
mº È Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ý Ó Ø Ò Ó × º × Ö ¸ × Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ø Ø Ò Ñ Ó ×
Õ Ù Ð Ö Ø Ö Ö Ù Ð Ö Ô Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ö Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Õ Ù Ô Ö × Ö Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ö Ð
rmin ¸ Ò × Ø × Ó Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m/2Ñ Ò Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø Ö Ù Ð Ö Õ Ù
Ð Ñ ×
mÔ Ù × Ô Ö Ð Ñ × Ñ Ø Ø Ñ Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ø Ò Õ Ù Ð Ö × º
× Ø Ù Ñ Ó × Ó Ö Ð Ô Ö Ù Ò Ø Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð º Ù Ð Ñ Ò Ö ¸ Ð Ñ × Ð
Ë Ó Ð Ô Ó Ö Ö Ù Ö × Ð Ñ Ø × Ñ Ô Ö Ý Ù Ò Ó Ý Ü × Ø Ó Ð Ò Ô Ö Ó × Ó Õ Ù Ý Ô Ö Ø Ó Ò Ó × Ð
Ë Ó Ð º Ò × Ø × Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ø Ó Ø Ð × Ø Ö Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð × Ó × Ô Ö Ø × Ð Ë Ó Ð Ý Ð Ñ ×
mÝ × Ó Ò × Ö Ú Ö
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ò Ö Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ô Ö Ö × Ó Ð Ú Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Ò
Õ Ù Ö Ò Ó × Ñ × Ò Ó Ö Ñ Ò Ó Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Õ Ù Ö Ò Ý Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ó × × Ð Ò Ð Ó × Ó ×
Ø Ö Ó Þ Ó × Ð Ë Ó Ð × Ô Ù × Ð Ü Ô Ð Ó × Ò º
Ó Ñ Ó × Ø Ò Ó Ö Ñ Ò Ò Ó Ô Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ý Õ Ù Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ö Õ Ù Ð × Ø Ù Ò Õ Ù Ò Ó ×
Ô Ð Ò Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ð Õ Ù Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð × Ö Ù ´ Ô Ó Ö Ö Ø Ñ µ
Ð Ñ Ø × Ò Ñ Ö Ð Ô Ó × Ò Ò Ú Ð Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ò Ö Ð Ì Ö Ö Ò Ó
× Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ô Ö Ó × Ó º Ä Ò Ö
E = m2 v
2 − GMmR Ô ×
E ′ = m/22 v2 − GMm
2R = E + GMm2R º Ë Ò
Ñ Ö Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð × Ô Ù × Ð Ö Ù Ò Ö Ù Ô Ø
Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð × × Ó Ò × Ö Ú Ý Ñ Ò Ø Ò × Ù Ñ Ò Ø Ù
L′ = Lº
Ì Ö × Ð Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð ¸ Ð Ò Ö Ð Ì Ö Ö Ñ × m ×
E ′ =m
2r2 +
L2
2mr2− GM m
2r´ ½ µ
Ó Ò Ð L × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö ´ Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ñ ¸ Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ð Ñ × Ñ Ó
Ú Ð Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ò Ø × Ð Ö Ù Ô Ø Ù Ö µ Ý × Ò Ó Õ Ù
rÐ Ó Ó Ö Ò Ö Ð Õ Ù Ñ Ð × Ø Ò Ð
Ì Ö Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð º Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ò × Ø × Ó ×
V ∗ef (r) =L2
2mr2− GM m
2r´ ½ µ
Ù Ý Ó Ñ Ò Ñ Ó Ô Ó Ø Ò Ð × Ò Ù Ò Ø Ö Ò
r∗min = 2L2
Gm2M = 2rmin ¸ Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Ð Ð Ò Ó Ò Ø Ö Ó
Ò Ð Ô Ö Ø Ó Ö Ù Ò Ð Ñ ×
m
m/2º Ð Ú Ð Ó Ö × Ø Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ñ Ó Ú Ð
V ∗ef (rmin) = −G2m3M 2
8L2´ ½ µ
× Ö ¸
V ∗ef (rmin) = 14V ef (rmin)
Ð Ô Ó Þ Ó Ô Ó Ø Ò Ð × Ö Ñ Ò Ó × Ô Ö Ó Ù Ò Ó Ý Ð Ñ Ò Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö
× Ø Ò × Ñ Ý Ó Ö × Ð Ñ Ó ¹ Ë Ó Ð º
Ä Ó Ñ × Ò Ø Ö × Ò Ø × Ö × Ù Ò Ø Õ Ù Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ö Ù Ò Ñ × Ð Ë Ó Ð ¸ Ý Ù Ò
× Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ö Þ × ¸ Ý Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù × Ð Ð Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ó
RÝ Ú Ð Ó
Ó Ö Ø Ð
vÕ Ù Ø Ò Ò Ø ×
F c = mv2/R´ Ö Ó Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð ×
v2 = GM/Rµ ¸ × Ö ¸
Ø Ò Ñ Ò Ø Ù
F c = GMm/R2¸ Ô Ö Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ö Ñ Ò Ø Ù
F g = GmM/(2R2) =F c/2
º È Ó Ö Ð Ð Ó ¸ Ð Ì Ö Ö × Ð Ö × Ø Ò × Ñ Ý Ó Ö × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð ¸ Ñ Ò Ó Ö Ø º
Ë Ñ Ó × Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ò Ö ×
E ′ = E + GMm2R º Ë Ñ Ó × Õ Ù
rmin ≡ R Ó Ò Ô Ù
Ð Ù Ð Ö × Õ Ù
E ′ = 0º Ó Ò Ð Ð Ó ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð Ö × Ö
Ù Ò Ô Ö Ó Ð º
µ Ò Ð Ô Ö Ó × Ó Ö Ù Ò Ñ × ¸ × Ö Ù Ð Ù Ø Ó Ò Ö Ö Ú Ø Ø Ó Ö ¸ Ð Ö Ò Ó × Ù Ò
Ò Ø Ò Ö Ù Ý Ò Ø ×
∆U = − 3
5GM 2
2
R− 1
R
= −3
5
GM 2
R
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 49/71
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ø Ð Ø Ó × Ø Ó Ò Ö Ó × Ø × Ñ Ô Ö × Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ì Ö Ö º
È Ö Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ð Ð Ó × Ø Ö Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ù Ø Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ö Ó
Ó Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø 6, 6 Ú × Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º
Ë Ó Ð Ù Ò
È Ö Õ Ù Ð Ö Ø × Ó × Ø Ó Ò Ö Ð Ö Ù Ò Ö Ó Ø Ò Ð × Ø Ð Ø Ó Ò Ö Ó Ò Ð
Ð Ì Ö Ö º Ó Ñ Ó Ð Ö Ø × Ö Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ù Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ù Ò Ø Ó Ó × Ð Ó ×
Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö ¸ × Ö ¸ Õ Ù
msv2/r = GM T ms/r2¸ Ó Ò
M T × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö Ý
ms
Ð Ñ × Ð × Ø Ð Ø º Ü Ô Ö × Ò Ó Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ö Ó Ð Ì Ö Ö ¸
r = r∗RT ¸
Ð Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ø Ò Ñ Ó × v2 =
GM T /r2
= gRT /r∗ º Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ö Ù Ð Ö ×
T = 2πr/v = 2πr∗3/2
RT /gÝ Ò Ó Ð Ó Ù Ð Ù Ò × Ó Ø Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ô Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ø Ð Ø Ñ ×
m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ö Ó
R Ó Ò
Ú Ð Ó
v Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö º Ö Ô Ò Ø Ó Ð × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ô Ó Ó × Ù Ö × Ô Ð ¸
Ù Ò Ó Ø Ó Ñ ×
δmÕ Ù × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ý Õ Ù Õ Ù Ò Ö Ù × Ø Ó Ò Ð × Ø Ð Ø º Ò ¹
Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ó Ò Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø Ý ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ù Ú Ö Ø ×
Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø Ö Ù Ð Ö ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ù Ö Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò Ð × Ø Ð Ø × Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ñ Ò Ö Õ Ù
mv2
R=
GM m
R2´ ½ µ
Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
Rv2 = GM Ó Ò
M × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö º × Õ Ù Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø Ò Ö Ø
Ö Ù Ð Ö Ö Ó
R Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð
v× Ö
E =1
2mv2 − GM m
R= −1
2mv2
´ ½ µ
Ò Ð Ó Ð × Ò Ò Ð × Ø × Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ð Ò Ð º Ò × Ø Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ö × Ù Ð Ø Õ Ù Ò Ð
Ó Ð × Ò × Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ø Ñ Ò ¸ Ó Õ Ù Ò Ø × Ð Ó Ð × Ò × Õ Ù Ð × Ù Ö
× Ô Ð × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º Ò × × Ò Ø Ó × Ò Ø Ò Ò Õ Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ö Þ × Ü Ø Ö Ò × Ò Ð × × Ø Ñ
Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ð Ñ ×
mÝ Ð × Ù Ö × Ô Ð º Á Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø × Ô Ù × Ð Ó Ð × Ò Ð Ú Ð Ó Ð
× Ø Ð Ø Ñ Ô Ö Ó Ò Ó Ð × Ø Ò Ð Ì Ö Ö ¸ Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö
Ò Ø ×
L = mRvÝ × Ô Ù ×
L = (m + δm)Rv′ Ð Ù Ö Ð × Ù Ò Ø Ü Ô Ö × Ò Ô Ö Ð Ò Ù Ú Ú Ð Ó
v′ =mv
m + δm´ ½ µ
Â Ù × Ø Ó Ø Ö × Ð Ó Ð × Ò Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð Ò Ù Ú Ó Ó Ø Ó Ñ ×
m + δm× Ö × Ù Ñ Ð Ò Ö Ò Ø
Ñ × Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö
E ′ =1
2(m + δm)v′2 − GM (m + δm)
R= E − mδmv2
2(m + δm)− δmv2
´ ¾ ¼ µ
× Ø Ò Ù Ú Ò Ö × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ö Ó Ö Ò Ð ´ E ′ < E µ º Ì Ö × Ð Ó Ð × Ò Ð × Ú Ð Ó × × Ø × Ò
v′ < vÐ Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ý Ð Ò Ó × Ø Ö Ð × Ù Ö Þ ×
Ó Ñ Ô Ò × × Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ö Ø Ö Ô Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ô Ö × Ö Ö Ò Ò Ö Ð Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø º
Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ð Ñ ×
mÐ Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú × Ð × Ù Ñ Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð
Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö
V mef (r) =L2
2mr −GMm
r´ ¾ ½ µ
Ó Ò Ð
L × Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö º È Ö Ð Ñ ×
m + δm´ Õ Ù Ñ Ò Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó
Ò Ù Ð Ö
Lµ Ø Ò Ö Ñ Ó ×
V m+δmef (r) =
L2
2(m + δm)r− GM (m + δm)
r´ ¾ ¾ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 50/71
1 2 3 4 5
r
0.6
0.4
0.2
0.2
Ù Ö ¾ È Ó Ø Ò Ð × Ø Ú Ó × Ô Ö Ð × Ñ × ×
mÝ
m + δmº
Ò Ð Ù Ö ¾ Ô Ö Ò Ð Ó × Ô Ó Ø Ò Ð × Ø Ú Ó × Ô Ö Ð × Ó × Ñ × ×
mÝ
m + δmº
V mef (r)Ú Ò
Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ò Þ Ù Ð Ý
V m+δmef (r)
Ô Ö Ò Ö Ó Ó º Ä Ò Ö
E Ð Ñ ×
m Ó Ö Ö × Ô Ó Ò
Ð Ð Ò Ò Ö ¸ Õ Ù Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó × Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Þ Ù Ð Ù × Ø Ó Ô Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð
Ô Ó Ø Ò Ð ¸ Ô Ö Ù Ý × Ø Ò
rmin = R× Õ Ù Ð Ö Ò Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ô Ö Ð
Ñ ×
mº Ä Ò Ö
E ′ × Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ò Ö Ð Ô Ó Ö Ð Ð Ò Ò Ö × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Õ Ù Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó ×
Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ò Ó × Ú Ð Ó Ö × Ð × Ø Ò
rÕ Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ô Ó Ó
Ð Ö Ø Ð Ô Ø Õ Ù Ø Ö Þ Ö Ð Ó Ø Ñ ×
m + δmº Ë Ó Ò × Ù Ö Ñ Ó × Ò Ð Ó Õ Ù Ò Ð × Ø Ó
Ô Ö Ö Ü Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ø Ò Ö Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ö Ø Ò Ð Ù Ö Ö Ù Ð Ö ¸ × Ø Ö Ñ Ó × Ó Ò
Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ô Ö Ð Ò Ö
E ′Ö Ô Ö × Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ò Ú Ö ´ Õ Ù Ó Ö Ø Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó Ù × Ø Ó Ò Ð
Ñ Ò Ñ Ó Ô Ö Ð Ù Ð × Ð Ó Ý Ù Ò Ú Ð Ó Ö Ô Ó × Ð Ð × Ø Ò Ö Ð Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m + δmµ
Ó Ö Ø Ò Ó Ð Ö Ó Ö Ð Ó Ö Ò Ð Ì Ö Ö º
Ó Ñ Ó × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù
δm × Ñ Ù Ý Ô Õ Ù Ó Ý Ò Ð Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Ò Õ Ù Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð Ö Ó
Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ò Ù Ú Ö Ø × Ö Ö Ù Ð Ö ¸ Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó
V m+δmef (r)
º
dV
m+δm
ef (r)dr = 0,→ rmin = L
2
(m + δm)2GM
Ë Ü Ô Ö × Ñ Ó × × Ø × Ø Ò Ö Ð Ò Ù Ò Ò Ð Ó × Ø Ó × Ò Ð × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ø
Ö Ù Ð Ö Ô Ö Ð Ò Ù Ú Ó Ö Ó
R′ = rmin × Ö
R′ =L2
(m + δm)2GM =
m2
(m + δm)2R
× Ö ¸ Õ Ù Ð Ò Ù Ú Ö Ø Ø Ò Ö Ù Ò Ö Ó Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ð Ò Ð
R′ < R¸ Ô Ù × Ð × × Ø Ñ Ò Ð Ô Ö
Ò Ö º
Í Ò Ñ Ò Ö Ñ Ù Ó Ñ × × Ò Ð Ð Ù Ö × Ø Ö × Ù Ð Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö
Ô Ö Ð Ö Ø Ò Ð Ý Ð Ò Ð ´ × Ù Ô Ù × Ø × Ñ × Ö Ù Ð Ö × µ × Ø Ò Õ Ù Ó Ò × Ö Ú Ö Ó Õ Ù Ð × Ù Ö Þ ×
× Ó Ò Ò Ø Ö Ð × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Ö
L = mRv = (m + δm)R′v′′ Ó Ò Ð Ú Ð Ó
v′′× Ö Ð Ú Ð Ó
Ó Ö Ø Ð Õ Ù Õ Ù Ð Ö Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ó Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ù Ò Ó Ð Ñ ×
m + δm× Ò Ù Ò Ø Ö
× Ö Ò Ó Ù Ò Ö Ù Ð Ó Ð × Ø Ò
R′ Ð Ì Ö Ö º
Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö × Ø Ò
v2 = GM R Ý
(v′′)2 = GM R′ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ù × Ø Ø Ù Ý Ò Ó Ò Ð Ó Ò Ò
Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ò Ò Ð Ó × Ö Ó × Ó Ø Ò Ñ Ó ×
m√
R = (m + δm)√
R′¸ × Ö ¸ Õ Ù
R′ =m2
(m + δm)2R
´ ¾ ¿ µ
Õ Ù Ó Ò Ó Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò × Ø Ð Ø Ô × Ö Ó Þ Ò Ó Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ø Õ Ù
Ø Ò Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö º Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ð × Ø Ð Ø Ò × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ð Ó ×
× Ù Ò Ø × × Ó ×
µ Ð × Ø Ð Ø Õ Ù Ø Ö Ô Ó × Ö Ò Ó Ù Ò Ð Ô × Ð Ó ¼ Ú × Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º
µ Ä Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ð º
½ ¼
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 51/71
Ë Ó Ð Ù Ò
µ Ë Ò
mÝ
M Ð × Ñ × × Ð × Ø Ð Ø Ý Ð Ô Ð Ò Ø Ý
R Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö º Ò Ó Ñ Ò Ö Ñ Ó × Ó Ò
Ð Ó × × Ù Ò × a Ý p Ð × Ú Ö Ð × Ò Ð Ð Ó Ý Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º È Ó Ö Ó Ò × Ö Ú Ò Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ý Ð Ò Ö
mvara = mv pr p
12
mv2a −G M mra
= 12
mv2 p −GM mr p
Ñ × Ù Ó Ò × Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù
ra = 60 r p = 60 R¸ Ò Ð Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Õ Ù
v2 p =120 GM
61 R
µ Ó Ñ Ó Ò Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð º Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ð × Ø Ð Ø × Ò Ù Ð ¸ × Ø Ò Õ Ù
v2 p =2GM
R
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Ë Ð Ò Þ Ò × Ð Ì Ö Ö Ó × Ó Ø × Ò Ø Ó × Ó Ò Ð Ñ × Ò Ú Ö Ø Ö
× Ó Ö Ð Ë Ó Ð Ð Ó × Ö × Ù Ó × Ò Ù Ð Ö × Õ Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ò Ö Ò Ð Ì Ö Ö º
Ð Ó Ø ½ × Ð Ò Þ Ð Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù × Ö Ù Ò Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð
Ó Ò Ö Ó
rT Ù Ð Ð Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö º Ò Ö Ø Ó Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó × Ò Ò Ò Ð Ó × Ñ Ó Ø Ó Ö ×
Ð Ó Ø × Ø Ø Ò Ö Ð Ó Ý × Ô Ó Ö Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ë Ó Ð Ô Ó Ö Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö º
Ð Ó Ø ¾ × Ð × Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ù Ò Ú Ð Ó Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó
v1 Ò Ð Ñ × Ñ
Ö Ò Õ Ù Ò Ð Ó Ø ½ Ô Ö × Ö Ö Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø Ó Ò Ð Ë Ó Ð Ò Ù Ò Ó × Ù ×
Ó Ó × º Ò × Ø × Ó Ð Ö Ò Ó × Ö Ð Þ Ù Ò Ó Ð Ó Ø × Ò Ù Ò Ø Ö Ò
r2 ¸ Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ ×
Ð Ó Ð Ë Ó Ð ¸ Ó Ò Ð Ð Ú Ù Ò Ú Ð Ó
v2 º
Á Ò Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ö × Ò Ð Ì Ö Ö µ Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ð Ó Ó Ö Ø Ð
v Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ø º
µ Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ð Ò Ò Ø Ö Ð × Ú Ð Ó ×
v1/v2Ô Ö Ð Ö Ø Ð Ô Ø º µ Ñ Ó × Ø Ö Ö
Ó Ò Ó Ò × Ö Ó Ò × Ò Ö Ø × Õ Ù
v21 =2GM S
rT (1 + rT r2
).
Ó Ò
M S × Ð Ñ × Ð Ë Ó Ð º µ ú Ù Ð × Ð Ó Ö Ñ Ò Ö Ø Ñ Ò Ø Ñ × Ó Ò Ñ Ô Ö
× Ö Ò Ó × Ð × Ù Ö Ò Ù Ð Ö ¸ Ð Ñ Ø Ó Ó Ð Ó Ø ½ Ó Ð Ð Ó Ø ¾
r2
v2
v1
rT
Sol
v
Ë Ó Ð Ù Ò
µ Ð Õ Ù Ð Ö Ó Ð Ö Ø Ö Ù Ð Ö Ñ Ô Ð Õ Ù Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù × Ù Ð Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö
GmM S
r2T
=mv2T
rT ´ ¾ µ
Ó Ò × Ó Ø Ò Õ Ù vT =
GM SrT º
µ Ò Ð Ø Ð Ô Ø Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ý Ð Ó Ó Ò
Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × Ô Ó × Ò × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð × Ð × Ú Ð Ó × Ø Ò Ñ Ó ×
rT v1 = r2v2 ´ ¾ µ
½ ½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 52/71
Ó Ò
v1v2
=r2rT
.
µ Ó Ñ Ó Ð Ò Ö Ò Ð Ö Ø Ð Ô Ø × Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ó Ñ Ó × Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ð Ó Ý Ò Ð
Ô Ö Ð Ó
1
2 mv
2
1 −GmM S
rT =
1
2 mv
2
2 −GmM S
r2
Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù
v1 = vT
2
1 + rT r2
´ ¾ µ
Õ Ù × Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ô Ò Ñ Ó × Ø Ö Ö º
µ È Ó Ñ Ó × Ò Ó Ö Ö Ð Ò Ö Ò × Ö Ô Ö Ð Ò Þ Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Õ Ù × Ù Ð Ô Ö
Ñ Ó × Ó Ø × º × Ô Ù × ¸ Ô Ö Ó Ñ Ô Ö Ö Ð Ó × Ø Ò Ö Ø Ó × Ø Ó Ò Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ñ Ô Ð Ò
Ð Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ý Ð Ö Ò Ó º
È Ö Ð Ó Ø ½
∆E 1 = 12
mv2T + 12
mv2T = mv2T .
È Ö Ð Ó Ø ¾ Ò Ð Ð Ô × × Ú Ö Ò ×
∆E 2 =1
2mv21 +
1
2mv22 = mv2T
r22 + r2T
r22 + r2rT .
È Ö Ó Ó Ñ Ó
r2 > rT × Ø Ò Õ Ù
r22 + r2T
r22 + r2rT < 1.
Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Õ Ù
∆E 1 > ∆E 2 º
Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Õ Ù Ù Ò Õ Ù Ð Ó × Ø Ò Ö Ø Ó Ð Ð Ò Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ø ¾ × Ñ Ý Ó Ö Õ Ù Ð Ð
Ó Ø ½ ¸ Ð Ó × Ø Ö Ò Ó × Ð Ó × Ø Ò Ø Ô Õ Ù Ó Ó Ñ Ó Ô Ö Õ Ù × Ø Ð Ó Ð Ñ Ò Ø × Ð × × Ø Ñ
Ñ × Ó Ò Ñ Ó º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ò Ú × Ô Ð Ñ ×
m× Ô Ö Ó Ü Ñ Å Ö Ø × Ù Ò Ó Ù Ò Ø Ö Ý ¹
Ø Ó Ö Ô Ö Ð º Ð Ð Ð Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ô Ö Ü Ñ Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ð Ò Ø ´ Ô Ö × Ø Ö Ó µ Ò Ð
Ö Ø Ô Ö Ð ¸ × Ò Ò Ò Ð Ó × Ö Ø Ö Ó Ó Ø × Ô Ö × Ñ Ò Ù Ö Ð Ú Ð Ó ¸ × Ò Ñ Ö
× Ù Ö Ò ¸ Ò Ö Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø Õ Ù Ð Ð Ð Ú Ö Ø Ö Ö Þ Ö Ò Å Ö Ø Ø Ò Ò Ð ¹
Ñ Ò Ø × Ù × Ù Ô Ö ¸ Ø Ð Ý Ó Ñ Ó Ò Ð Ù Ö ¿ º
Ð Ù Ð Ö
µ Ä Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö º
µ Ä Ú Ð Ó Ò Ñ Ø Ñ Ò Ø Ø Ö × Ò Ò Ö Ð Ó × Ö Ø Ö Ó Ó Ø × Ò º
µ Ä Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö º ú Ë Ó Ò Ö Þ Ó Ò Ð × Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
vA, vB
µ Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù Ø Ö Ò × Ù Ö Ö × Ð Ñ Ò Ó Ö Ò × Ø Ð Ø Ö Ö Þ ´ Ñ Ö Ø Þ µ
Ò º
Ä Ó × Ø Ó × Ó Ò Ó Ó × × Ó Ò Ð × Ø Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Å Ö Ø
OA = 12000km
Ð Ö Ó Ý Ñ × Ð Ô Ð Ò Ø
R = 3400km
M = 6, 4551023kg¸ Ý Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ö Ú Ø Ò
Ù Ò Ú Ö × Ð
G = 6, 6710−11 Nm2
kg2 º
Ë Ó Ð Ù Ò
µ Ò Ø Ò Ò Ó Ô Ó Ö
E Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð ¸ Ý Ô Ó Ö
eÐ Ü Ò Ø Ö Ð Ö Ø ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ò Ù Ò
Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ô Ö Ð
E = 0 e = 1º Ó Ñ Ó Ð Ò Ú × Ù Ù Ò Ô Ö Ó Ð ¸ × Ô Ó Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ð
Ò Ò Ø Ó Ó Ò Ð Ø Ö Ò Ö Ú Ø Ø Ó Ö Å Ö Ø × Ò Ù Ð ¸ Ð Ò Ö Ø Ó Ø Ð × Ò Ù Ð Ý Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ò Ô Ó
Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ö
E total = 0 =mv2A
2− GM m
OA´ ¾ µ
½ ¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 53/71
Ù Ö ¿
Ó Ò Ð Ú Ð Ó Ð Ð Ð Ö ×
vA =
2GM
OA= 2678, 7
m
s´ ¾ µ
µ Ä Ù Ò Ô Ö Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö Ð Ò Ú Ò Ð Ð Ô × ×
r =J 2
Gm2M
1
1− ecosθ= a
1− e2
1− ecosθ´ ¾ µ
× Ò Ó
J Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ð Ò Ú Ö × Ô Ø Ó Å Ö Ø ¸ Ð Ü Ò Ø Ö
eÝ
a Ð × Ñ Ñ Ý Ó Ö
Ð Ð Ô × º
Ò Ð Ð Ô × ¸ ´
E > 0 0 < e < 1µ Ð Ü Ò Ø Ö × Ö
e =rmax − rmin
rmax + rmin=
OA −OB
OA + OB= 0,58
´ ¿ ¼ µ
a = AB/2 = 7700km´ ¿ ½ µ
Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¸
θ = 0Ý Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¸
θ = π Ó Ò
OA =J 2
Gm2M
1
1− e=
a(1− e2)
1− e= a(1 + e)
´ ¿ ¾ µ
OB =J 2
Gm2M
1
1 + e=
a(1− e2)
1 + e= a(1
−e)
´ ¿ ¿ µ
µ Ý µ Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ¸ J = cte Ò Ð Ö Ø Ð Ô Ø
OA =(OAmvA)2
Gm2M
1
1− e⇒ vA =
GM
a
1− e
1 + e= 1219,16
m
s´ ¿ µ
OB =(OBmvB)2
Gm2M
1
1 + e⇒ vB =
GM
a
1 + e
1− e= 4586,37
m
s´ ¿ µ
Ó Ñ Ó × Ð Ó Ô Ó Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò
J Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ð Ò ´
vA µ × Ñ Ò Ó Ö Õ Ù Ò ´
vB µ º
µ Ë Ð × Ñ Ñ Ò Ó Ö ×
b = a√
1 − e2¸ Ô Ð Ò Ó Ð × Ù Ò Ð Ý Ã Ô Ð Ö ¸ Ð Ó Ò × Ø Ò Ð
Ú Ð Ó Ö Ó Ð Ö ¸ Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ö Ø Ð Ô Ø
T × Ö
S elipseT
= πabT
= J 2m
⇒ T =
4π2
a3
GM = 20459,9s ≈ 5, 68h. ´ ¿ µ
Ó Ñ Ó Ð Ø Ñ Ô Ó Õ Ù × Ô Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ñ Ø Ð Ô Ö Ó Ó
t =T
2= 2,84h. ´ ¿ µ
½ ¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 54/71
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Í Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð
m× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ð × Ó Ò Ó Ó
× Ö Ò Ó Ù Ò Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ô Ö Ð Ô Ó Ö
r(t) = kθ(t)º À Ð Ð Ö Ð Ó Ö Ñ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Õ Ù
Ò Ö × Ø Ñ Ô Ó Ù Ö Þ × º Ý Ù × Ö Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ó Ò ¹
× Ô Ó Ð Ö × Ö Ó Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò × Ø × Ó Ó Ö Ò × × a = (r−rθ2)r+ 1r ddt(r2θ)θ º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ × ×
m1 = mÝ
m2 = 2m Ò Ø Ö Ó Ò Ò Ñ Ò Ø Ù Ò
Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ð Ô Ó Ö
F(r) = −
α
r+
2β
r2
r
r
× Ò Ó r Ð Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ø Ö Ý
α, β Ó Ò × Ø Ò Ø × Ô Ó × Ø Ú × º
Ð Ù Ð Ö µ Ä Ñ × Ö Ù Ð × × Ø Ñ º µ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ù Ð Ö Ú Ð Ù Ö Þ º µ
Ä Ò Ö Ø Ó Ø Ð Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×
(r, θ)º µ Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ó º ´ Ê Ó Ö Õ Ù Ò
Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ó Ù Ö Þ × Ò Ø Ö Ð × Ð Ð Ñ Ñ Ó × Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ø Ú Ø Ó Ð Ô Ö Ø
Ð Ò Ö Õ Ù Ò Ó Ô Ò
r¸ Ý Õ Ù × Ð Ó Ô Ò Ð Ó Ó Ö Ò Ö Ð
rÝ Ð
Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ó
J µ º µ Ë Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ó Ø Ó Ñ Ð Ú Ð Ó Ö
J =
2β2mα
Ð Ù Ð Ö Ð × Ô Ö Ò Õ Ù Ð Ö Ó Ò Ø Ö Ð × Ó × Ñ × × º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ù Ò Ô Ð Ò Ø Ò × Ñ ×
ρÙ Ò Ó Ö Ñ Õ Ù Ö Ó Ø Ó Ò Ú Ð Ó
Ò Ù Ð Ö ω Ð Ö Ó Ö Ù Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Í Ò Ø Ò Ð Ø Ö Ú × Ð Ô Ð Ò Ø Ð Ó
Ð Ö Ó Ù Ò Ñ Ø Ö Ó Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ø Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö
ωÔ Ö Õ Ù Ù Ò Ù Ö Ô Ó
× Ø Ù Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ø Ò Ð × Ñ Ù Ú ´ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó µ Ó Ò Ú Ð Ó Ó Ò × Ø Ò Ø º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ä Ä Ù Ò × Ø Ù Ò × Ø Ò
d Ð Ì Ö Ö Ý Ù Ò Ö Ú Ó Ð Ù Ò Ð Ö Ó Ö
Ð Ð Ò
27, 3 × º ú Ù Ð × Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ë Ù Ô Ù × Ø Ð Ö Ø Ð Ì Ö Ö Ö Ù Ð Ö ¸ ú Ù Ò Ø Ó Ù Ö Ö Ð Ó Ø Ö Ö × Ø Ö ×
Ð Ñ × Ð Ì Ö Ö × Ù Ô Ð Ö Ñ Ò Ø Ò Ò Ó × Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ö Ø Ø Ö Ö × Ø Ö
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ñ Ø Ó Ö Ø Ó Ø Ò Ù Ò Ú Ð Ó
7,0× 103Ñ » × Ò Ð Ô Ö Ð Ó Ù Ò Ó
× Ù × Ø Ò Ð Ë Ó Ð ×
5× 109Ñ º Ø Ö Ñ Ò Ö × Ù Ú Ð Ó Ý × Ø Ò Ð Ë Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ý
Ð Ü Ò Ø Ö Ð Ö Ø º Ä Ñ × Ð Ë Ó Ð × ¾
×1030 º ´ Ä × Ó Ô Ö Ó Ò × × Ô Ù Ò
Ö Ò × µ
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ó Ñ Ø Ñ ×
mc Ò Ö Ø Ð Ô Ø Ð Ö Ó Ö Ð Ë Ó Ð ´ Ñ ×
M s µ Ø Ò
Ù Ò Ú Ð Ó
10 km/s Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ò Ó Ð Ë Ó Ð Ý
80 km/s Ò Ð Ñ × Ö Ò Ó º Ë
Ð Ú Ð Ó Ð Ì Ö Ö ´ Ñ ×
mT µ Ò × Ù Ö Ø ¸ × Ù Ô Ù × Ø Ñ Ò Ø Ö Ù Ð Ö ´ Ö Ó
Rµ ¸ ×
30 km/s Ý Ð Ö Ó Ö Ø × 1,5× 108 km¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ñ Ü Ñ × Ø Ò Ra Ò
Ð Ñ Ø Ö Ó × Ð Õ Ù × Ø Ð Ó Ñ Ø Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ë Ó Ð º
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ¼ Í Ò Ó Ø Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ò Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ø º Ä × × Ø Ò ¹
× Ò Ø Ö Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ý Ð Ô Ö Ó Ý Ð Ô Ó Ó × Ó Ò
h p Ý
ha Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º
Ø Ö Ñ Ò Ö
½ º Ä Ú Ð Ó Ð Ò Ð Ð Ó Ø Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ð Ô Ó Ó ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù ha, h p << R
× Ò Ó
R Ð Ö Ó Ð Ì Ö Ö º
¾ º Ð Ñ Ó Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ô Ó Ó ¸ Ò × Ö Ó Ô Ö Õ Ù Ð Ó Ø Ô ×
Ù Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ö Ö Þ Ö ¸ × Ö ¸ Ø Ò Ò Ð Ñ Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö º
¿ º Ä Ó Ñ × Ñ Ó Õ Ù Ò Ð Ô Ö Ø Ó µ ¸ Ô Ö Ó Ö Ö Ò Ó × Ð Ô Ö Ó º
º ú Ò × Ñ Ó Ö Ñ Ô Þ Ö Ö Ò Ö ¸ Ò Ð Ô Ö Ó Ó Ò Ð Ô Ó Ó
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 55/71
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ½ Ë Ù Ò × Ø Ð Ø Ò Ö Ø Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö º Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ò Ñ × ¹
Ø Ò ¸
h Ò Ø Ö Ð × Ø Ð Ø Ý Ð × Ù Ô Ö Ð Ì Ö Ö Ó Ò Ó Ò Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ø Ó × Ð
× Ø Ò Ñ Ü Ñ ¸ H Õ Ù × Ð Ð × Ø Ð Ø Ð × Ù Ô Ö Ø Ö Ö × Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ö Ú Ó ¹
Ð Ù Ò ¸
T 1 ¸ Ð × Ø Ð Ø Ð × Ñ Ñ Ý Ó Ö ¸
R¸ Ð Ö Ø Ð Ù Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ö Ú Ó Ð Ù Ò ¸
T 2 ¸ Ð Ð Ù Ò Ð Ö Ó Ö Ð Ì Ö Ö Ý Ð Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö
R0 º
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 56/71
È Ö Ó Ð Ñ × Ê × Ù Ð Ø Ó × Ý È Ö Ó Ô Ù × Ø Ó × Ì Ñ
¿ Ó Ø Ù Ö ¾ ¼ ½ ¾
½ º È Ö Ó Ð Ñ × Ö × Ù Ð Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ À Ð Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ý Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ù Ò × × Ø Ñ Ó ×
Ñ × × ¸ m1 Ý m2 ¸ Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø k ¸ Õ Ù
× Ø Ò × Ó Ñ Ø × Ð Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ø Ö Ö × Ø Ö Ó Ò × Ø Ò Ø º Æ Ó Ø Ü Ô Ö × Ö Ð Ð Ö Ò Ò
Ò Ù Ò Ò Ð Ñ × Ö Ù ¸ Ð Ô Ó × Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ô Ó × Ò Ö Ð Ø Ú
Ò Ø Ö Ñ × Ñ × × º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ó Ò × Ö Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ð × Ñ × × Ø Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ô Ó × Ò Ó Ô Ó Ö r1 = (x1, y1, z1)Ý
r2 = (x2, y2, z2) Ò Ð × Ô Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð º
Ä Ò Ö Ò Ø Ü Ô Ö × Ò Ó Ó Ö Ò × Ö Ø × Ò × ×
T =m1
2( x2
1 + y21 + z21) +m2
2(x2
2 + y22 + z22)´ ½ µ
Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ö Ó × Ð Ö Ø Ó × Ô Ó Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ô Ð × Ð × Ñ × × º
Ð Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × × Ò Ö Ð Þ × Ð Ú Ø Ó Ö
rcm = (xcm, ycm, zcm) Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð
Ú Ø Ó Ö r = r1 − r2 = (x,y ,z) Ð × Ø Ò Ö Ð Ø Ú º Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ × Ö Ù
µ× Ò
Ó Ñ Ó
1
µ=
1
m1
+1
m2
Ý Õ Ù
rcm =m1r1 + m2r2
m1 + m2
Ó Ò
xcm =m1x1 + m2x2
m1 + m2
ycm = m1y1 + m2y2m1 + m2
zcm =m1z1 + m2z2
m1 + m2
x = x1 − x2
y = y1 − y2
z = z1 − z2
× Ô Ò Ó Ð × Ú Ö Ð × Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ù Ò Ò Ð × Ú Ö Ð × Ö Ù × Ý Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 57/71
Ø Ò Ñ Ó ×
x1 = xcm +m2
m1 + m2
x
y1 = ycm +m2
m1 + m2
y
z1 = zcm +m2
m1 + m2z
x2 = xcm − m1
m1 + m2
x
y2 = ycm − m1
m1 + m2
y
z2 = zcm − m1
m1 + m2
z
Ä Ò Ö Ò Ø × Ö Ø Ò Ð × Ò Ù Ú × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ
T =m1
2(x2
1 + y21 + z21) +m2
2( x2
2 + y22 + z22)
= m1
2[(xcm + m2
m1 + m2
x)2 + ( ycm + m2
m1 + m2
y)2 + (zcm + m2
m1 + m2
z)2]
+m2
2[(xcm − m1
m1 + m2
x)2 + ( ycm − m1
m1 + m2
y)2 + (zcm − m1
m1 + m2
z)2]
=m1 + m2
2(x2
cm + y2cm + z2cm) +m1m2
2(m1 + m2)(x2 + y2 + z2)
=m1 + m2
2(x2
cm + y2cm + z2cm) +µ
2(x2 + y2 + z2)
´ ¾ µ
Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ð
Ø Ö Ö ×
V g = m1g · r1 + m2g · r2 = m1gz1 + m2gz2 ´ ¿ µ
Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Õ Ù
V g = m1gz1 + m2gz2 = m1g(zcm +m2
m1 + m2
z) + m2g(zcm − m1
m1 + m2
z)
= (m1 + m2)gzcm ´ µ
Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × Ø ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó Ð Ñ Ù Ð Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð
l0 ×
V e =k
2(
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 − l0)2´ µ
Ù × Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × × Ü Ô Ö ×
V e =k
2(
x2 + y2 + y2 − l0)2´ µ
Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ô Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ò Ø Ö Ó Ñ × Ý × Ø Ò Ö Ð Ø Ú ×
L = T − V = T − (V e + V g)
=m1 + m2
2(x2
cm + y2cm + z2cm) +µ
2(x2 + y2 + z2)
− k
2( x
2 + y2 + y2 − l0)2 − (m1 + m2)gzcm
=m1 + m2
2r2cm +
µ
2r2 − k
2(r − l0)2 − (m1 + m2)g · rcm ´ µ
× Ò Ó
r Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ø Ó Ö
rº
¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 58/71
Ä × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò
xcm = 0 µx = −k(
x2 + y2 + y2 − l0)x
x2 + y2 + y2
ycm = 0 µy = −k(
x2 + y2 + y2 − l0)y
x2 + y2 + y2
zcm = −g µz = −k(
x2 + y2 + y2 − l0) z x2 + y2 + y2
´ µ
Õ Ù Ó Ö Ñ Ó Ñ Ô Ø × × Ö Ò
rcm = −gµr = −k(r − l0)
r
r´ µ
È Ö Ó Ð Ñ ¾ À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m¸ Õ Ù
× Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ö Ö Ñ ×
M Ý × Ø Ó Ò Ø Ó × Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð
Ñ × × Ô Ö Ð Ý Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø k º À Ð Ð Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
Ù Ò Ð × Ñ × × º Ë Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù Ð Ö Ö × Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ð × Ù Ð Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×
k
m
M
y x
Ë
yÐ Ó Ó Ö Ò Ð Ñ ×
M xÐ × Ø Ò Ð Ñ ×
m Ð × Ó Ô Ó Ö Ø Ð Ö × Ó Ö Ø Ý
l0 Ð Ð Ó Ò Ø Ù
Ò Ö Ô Ó × Ó Ð Ñ Ù Ð Ð º Ì Ò Ò Ó Ò Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ú Ð Ó Ð
M ×
yÝ Ð Ú Ð Ó
m ×
x + y¸
Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ×
L = T − V =M y2
2+
m
2(x2 + y2 + 2 xy) − k
2(x − l0)2
Ä × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò
d
dt
∂L
∂ x
=
∂L
∂x
d
dt
∂L
∂ y
=
∂L
∂y
Ô Ö × Ø × Ó × Ö Ù Ò
mx + my = −k(x − l0) M y + m(y + 2x) = 0
Ä × Ù Ò Ù Ò Ò Ó × Ñ × Õ Ù Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ò Ø Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
M y = −m(x + y)
È Ö Ó Ð Ñ ¿ Í Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ ×
m2 ¸ × Ø × Ù × Ô Ò Ó Ó Ø Ö Ó Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m1 ¸ Õ Ù Ô Ù Ñ Ó Ú Ö × × Ó Ö Ù Ò Ð Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ º
À Ð Ð Ö Ð × Ò Ø × Õ Ù × Ó Ò × Ö Ú Ò º
Ë Ó Ð Ù Ò Ë Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ð Ô Ó × Ò
s Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ö Ö Ð Ù Ö Ô Ó ½ Ý Ð
Ò Ù Ð Ó
φÕ Ù Ó Ö Ñ Ð Ù Ö Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º
Ò Ø Ó Ò × x1 = s; y1 = 0; x2 = l sen φ + s; y2 = −l cos φº
Ä Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ×
L =m1s2
2+
m2
2(s2 + 2lsφ cos φ + l2φ2) + m2gl cos φ.
´ ½ ¼ µ
¿
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 59/71
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
m2
m1
Õ Ù Ó × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ó Ö Ò
s × Ð Ô Ó Ö Õ Ù Ò Ó Ô Ö Ü Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ò Ð Ð Ö Ò ¹
Ò Ó ´ × Ð Ó × Ù Ö Ú Ø Ñ Ô Ó Ö Ð µ º È Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ó × Ø Ó Ó Ö Ò × Ó Ò × Ö Ú
ps =∂L
∂ s= (m1 + m2)s + m2lφ cos φ.
´ ½ ½ µ
Ì Ñ Ò Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú ¸ Ô Ù × Ø Ó Õ Ù
LÒ Ó Ô Ò Ü Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ø Ñ Ô Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ú Ö Ð Ð Ñ ×
mÝ Ð Ó Ò Ø Ù
L× Ñ Ù Ú Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð Ó Ð
Ô Ó Ö Ù Ò Ó × Ù × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ð Ð × Ó Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ô Ð Ò Ó º Ì Ò Ò Ó Ò
Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ð Ú Ö Ð Ð Ô Ù × Ô Ð Þ Ö × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ñ Ò Ø × Ò
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó ¸ ´ µ ú Ù Ò Ø Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø Ø Ò Ð Ú Ö Ð Ð ´ µ Ç Ø Ò Ð Ð Ö Ò Ò Ó
Ð × × Ø Ñ º ´ µ Ù Þ Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ý Ö Ù Þ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ð × Ó Ð Ù Ò
Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ò
θ
θ × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ú Ö Ð Ð Ý
Ð Ú Ö Ø Ð Ó µ
θ
Ë Ó Ð Ù Ò Ò Ò Ö Ð Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ö Ó × Ð Ö Ø ¸ Ø Ö × Ø Ö × Ð Ò Ý Ø Ö × Ö Ó Ø Ò ¸
Ô Ö Ó Ó Ñ Ó Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò × Ø Ö × Ø Ö Ó Ù Ò Ö Ò Ý Ð Ö Ó Ø Ò
× Ø Ó ¸ × Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø º Ð Ö Ñ Ó × Ð Ó Ó Ö Ò
xÔ Ö Ð × Ô Ð Þ Ñ Ò Ø Ó Ð
Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ô Ó Ö Ð Ð Ý
θÔ Ö Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ð Ö Ö Ó Ò Ð Ú Ö Ø Ð º
Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ø Ò Ó Ó Ö Ò ×
xc = x + l/2sen θ¸
yc = −l/2cos θº Ä Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó
Ñ × × × Ö
xc = x + l/2θ cos θyc = l/2θ sen θ).
´ ½ ¾ µ
Ä Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ×
v2c = x2 + l2/4θ2 + lxθ cos θº Ä Ò Ö Ò Ø Ð
Ö Ö × × Ù Ñ Ó × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × ¸ Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ö Ó Ø Ò
Ð Ú Ö Ð Ð Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ý Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
T =1
2mv2c +
1
2I cθ2,
´ ½ ¿ µ
Ó Ò
I c = 112
ml2º
Ä Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð × Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
V =
−mgl/2cos θ
Ö × Ô Ø Ó Ð Ó Ö Ò Ó Ò × Ö Ó Ò
Ð Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º
Ð Ä Ö Ò Ò Ó ×
L =m
2
x2 + lxθ cos θ +
1
3l2θ2 + gl cos θ
,
´ ½ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 60/71
Ä × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ
d
dt
∂L
∂ q i
=
∂L
∂q i,
Õ Ù Ò × Ø × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Þ Ò Ò
∂L
∂ x=
m
2
2x + lθ cos θ
∂L
∂x= 0
´ ½ µ
∂L
∂ θ=
m
2
2
3l2θ + lx cos θ
∂L
∂θ= −m
2l sen θ
θx + g
´ ½ µ
× ¸ Ð Ô Ö Ñ Ö Ù Ò Ä Ö Ò Ò Ó × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
x +l
2θ cos θ =
Ø
,
Ý Ð × Ù Ò Ù Ò × Ö Ù
θ + 32l
x cos θ + 3g2l
sen θ = 0
È Ó Ñ Ó × Ó Ø Ò Ö Ù Ò Ù Ò Ö Ò Ð Õ Ù Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ò Ñ Ò Ø
θ× Ò Ñ × Õ Ù Ö Ú Ö Ð Ô Ö Ñ Ö
Ù Ò Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ø Ñ Ô Ó
x +l
2θ cos θ − l
2θ2 sen θ =
Ø
,
× Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ò Ñ Ó ×
1
4θ + 3θ2 sen θ cos θ +
3g
2lsen θ
Ù Ò Ó Ð Ò Ù Ð Ó
θ × Ô Õ Ù Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ü Ñ Ö
sen θ
≈θ cos θ
≈1
Ý
θ2θ
≈0
Ñ Ò Ö Õ Ù Ð
Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ô Õ Ù × Ó × Ð Ó Ò × ×
1
4θ = −3g
2lθ
Õ Ù × Ð Ù Ò Ù Ò Ó × Ð Ó Ö Ö Ñ Ò Ó º
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ × m × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò Ñ × Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ù Ø Ô Ó Ö
Ù Ò Ù Ö Õ Ù × Ù Ú Þ × Ø Ù Ò Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø
k´ Ú × Ð Ù Ö µ º
Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ð Ù Ò Ñ Ô Ù Ð × Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Õ Ù Ð Ó Ù Ò Ö Ø Ó Ø Ñ Ô Ó
Ö Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó
O Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø
ωº Í × Ò Ó Ð × Ù Ó Ò ×
Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò ¸ × Ö Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ý Ó Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ó Ö
Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ý Ø Ó Ö × Ø Ó Ò Ö Ð Ô Ö Ø Ù Ð º
Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ñ × Ø Ò Ð Ù Ö Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð × × Ø Ñ Ø Ò Ó × Ö Ó ×
Ð Ö Ø º È Ó Ñ Ó × Ð Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö ×
r, θÔ Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ø Ó Ð × × Ø Ñ º Ó Ñ Ó
Ð × Ó Ó Ö Ò × Ö Ø × Ò × × Ö Ð Ó Ò Ò Ó Ò Ð × Ô Ó Ð Ö × Ø Ö Ú ×
x = r cos θ, y = r sen θ¸ Ð Ñ Ù Ð Ó
Ð Ú Ð Ó Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ
|v|2 = r2 + r2θ2º Ä Ò Ö Ò Ø Ú Ð
T =1
2m(r2 + r2θ2)
Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ð × × Ø Ñ ¸ Õ Ù Ú Ö × Ò × Ü Ø Ò Ó Ó Ñ Ô Ö Ñ Ð Ñ Ù Ð Ð ¸ ×
V =1
2
k(r
−a)2
× Ò Ó
aÐ Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ù Ö ´ × Ø Ö µ Ù Ò Ó Ð Ñ Ù Ð Ð Ò Ó × Ø Ó Ñ Ô Ö Ñ Ó Ò × Ø Ö Ó º
Ä Ù Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ú Ð Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
L = T − V =1
2m(r2 + r2θ2) − 1
2k(r − a)2
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 61/71
k
m
Ù Ö ½
Ý Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ò Ò × Ô Ó Ö Ð × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò Õ Ù Õ Ù Ò
mr − mrθ2 + k(r − a) = 0
d
dt
mr2θ
= 0
Ä × Ù Ò × Ø × Ù Ó Ò × Ò Ó × Õ Ù
θ = ω = constanteº Ä Ô Ö Ñ Ö ¸ × Ø Ò Ñ Ó × Ò Ù Ò Ø Õ Ù
Ò Ð × Ø Ó × Ø Ó Ò Ö Ó Ð Ö Ó Ò Ó Ú Ö ¸ Ò Ó ×
−mrω2 + k(r − a) = 0 =⇒ r =ka
k − mω2
Õ Ù × Ð Ó Ò Ò Ù Ð Ð Ù Ö Þ Ò Ø Ö Ù Ý Ð Ù Ö Þ Ö Ù Ô Ö Ó Ö Ð Ñ Ù Ð Ð º
È Ö Ó Ð Ñ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ó Õ Ù × Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð × Ø Ö × Ñ × × Õ Ù
Ô Ö Ò Ò Ð Ñ Õ Ù Ò Ø Û Ó Ó Ó Ñ Ô Ù × Ø Õ Ù × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð Ù Ö º Ä × Ð Ó Ò Ø Ù ×
Ð × Ù Ö × ¸ × Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ó × Ø Ö Ó Þ Ó × Õ Ù Ö Ó Ò Ð × Ô Ó Ð × ¸ × Ó Ò
2L1 Ý
2L2 º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó
Õ Ù Ð × Ù Ö × Ý Ð × Ô Ó Ð × Ø Ò Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ð Ù Ð Ð Ð Ö Ò Ù Ò
Ð × Ø Ö × Ñ × × º
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø × L1
L2
m1
m2 m3
Ë Ó Ð Ù Ò
Ð Ñ Ó × Ð Ó Ö Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö º Ä Ð Ñ Ñ Ó ×
xi Ð × × Ø Ò ×
Ò Ú Ö Ø Ð Ñ × × Ø Ð Ô Ó Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø ¸ Ó Ò × Ò Ø Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ð × Ò Ò Ø º
Ä × Ð Ó Ò Ø Ù × Ò Ø × Ð × Ù Ö × Ñ Ô Ó Ò Ò Ð Ù Ò × Ö × Ø Ö Ó Ò × Ó Ñ Ó × Ó Ò
x1 + x p = 2L1 × Ò Ó
x p Ð Ó Ó Ö Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ô Ó Ð Ñ Ú Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ð Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö º Ó Ò
x p = 2L1−x1 º Ù Ð Ñ Ò Ö × Ø Ò Ô Ö Ð Ù Ö Ò Ö Ó Ö Õ Ù
x2+x3 = 2L2 Ó Ò
x3 = 2L2−x2 º
Ò Ñ Ó × Ð × Ó Ó Ö Ò × Ú Ö Ø Ð × Ð × Ø Ö × Ñ × × Ø Ó Ñ Ò Ó Ó Ñ Ó Ö Ö Ò Ð Ó Ö Ò Ò Ð
Ô Ó Ð × Ù Ô Ö Ó Ö Ó Ñ Ó
z1 ≡ x1,
z2 ≡ x p + x2 = 2L1 − x1 + x2,
z3 ≡ x p + x3 = 2L1 − x1 + x3 = 2L1 − x1 + 2L2 − x2.´ ½ µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 62/71
Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò × Ð Ó Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø ¸ Ý Õ Ù × Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ó × Ð × Ñ × × Õ Ù
Ø Ö Ñ Ò Ð Ø Ö Ö º Ð Ñ Ó ×
x1, x2 Ó Ñ Ó Ð Ó × Ö Ó × Ð Ö Ø º
Ä × Ò Ö × Ò Ø × × Ó Ò
T 1 =1
2m1z21 =
1
2m1x2
1,
T 2 = 12
m2z22 = 12
m2(x2 − x1)2,
T 3 =1
2m3z23 =
1
2m3(x2 + x1)2.
Ä × Ò Ö × Ô Ó Ø Ò Ð × × Ó Ò
V i = −migz j ¸ Ó Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ó ´ Ô Ö Ø Ó Ò × Ø Ò Ø × µ Õ Ù
L = T − V = T 1 + T 2 + T 3 − V 1 − V 2 − V 3 =1
2(m1 + m2 + m3)x2
1 + (m3 − m2)x1x2 +1
2(m2 + m3)x2
2 + (m1 − m2 − m3)gx1
+ (m2 − m3)gx2 ´ ½ µ
Í × Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò
d
dt
∂L
∂ xi
− ∂L
∂xi
= 0, ´ ½ µ
Ó Ò
i = 1, 2 Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º
(m1 + m2 + m3)x1 + (m3 − m2)x2 = g(m1 − m2 − m3),
(m3 − m2)x1 + (m3 + m2)x2 = g(m2 − m3)´ ¾ ¼ µ
Ä × Ð Ö Ó Ò ×
xi × Ó Ò Ð × × Ó Ð Ù Ó Ò × Ù Ò × × Ø Ñ Ó × Ù Ó Ò × Ð Ò Ð × º Ê × Ó Ð Ú Ò Ó Ð Ö × Ù Ð Ø
x1 =
m1m2 + m1m3 − 4m2m3
m1m2 + m1m3 + 4m2m3
g,
x2 =
2(m1m2 − m1m3)
m1m2 + m1m3 + 4m2m3
g,
´ ¾ ½ µ
Ó Ò
M = m1 + m2 + m3 º Ä × Ð Ö Ó Ò × Ð × Ø Ö × Ñ × × × Ð Ù Ð Ò Ô Ö Ø Ö
x1 Ý
x2 ¸ Ò
Ó Ò Ö Ø Ó
m1 : z1 = x1,
m2 : z2 = −x1 + x2 =
m1m2 − 3m1m3 + 4m2m3
m1m2 + m1m3 + 4m2m3
g,
m3 : z3 = −x1 − x2 =
m1m3 − 3m1m2 + 4m2m3
m1m2 + m1m3 + 4m2m3
g.
´ ¾ ¾ µ
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò × Ó Ñ Þ Ó Ñ ×
mÝ Ö Ó
rÖ Ù × Ò × Ð Þ Ö Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó
Ò Ð Ò Ó Ô Ö Ø Ò Ó × Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ø Ó Ý × Ò Ú Ð Ó Ò Ð º Ð Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó
Ñ ×
M Ó Ö Ñ Ù Ò Ò Ù Ð Ó
α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó
Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý × Ø Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ö Ô Ó × Ó º µ Ç Ø Ò Ö Ð Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ù Ò Ò Ð ×
Ú Ö Ð ×
sÝ
x Ò × Ò Ð Ù Ö Ù Ò Ø º µ Ç Ø Ò Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó
Ô Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ð × × Ø Ñ º µ ú È Ù Ð Ð Ö Ð Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø
Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó µ Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º
Ë Ó Ð Ù Ò Ä Ò Ö Ò Ø Ð × Ó Ø Ò Ó × Ó Ò Ø Ö Ù Ó Ò × ¸ Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ò
T tras Ð
Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ý Ð Ò Ö Ò Ø Ö Ó Ø Ò
T rot Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Õ Ù Ô ×
Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × º Ä Ò Ö Ò Ø Ø Ó Ó Ð × × Ø Ñ × Ö
T =M
2V 2 + T tras + T rot =
M
2V 2 +
m
2v2cm +
I
2ω2
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 63/71
s
x
α
Ó Ò
V = x × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ù ¸
v2cm × Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó
Ñ × ¸
ω × Ð Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ð × Ó Ý
I × Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ó Ò Ö × Ô Ø Ó Ð
Ö Ó Ø Ò º Ó Ö Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü Ô Ö × Ö × Ø Ò Ö Ò Ø Ò Ù Ò Ò Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ ×
Ð × º Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó Ø Ò Ô Ó Ö Ó Ó Ö Ò ×
(xc, yc) = (x + s cos α, cte − s sen α)º
Ó Ò Ð Ù Ð Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ Ù Ð Ó Ð Ú Ð Ó Ð Ù Ö Ó ×
v2cm = x2 + s2 + 2xs cos αº Ë
θ × Ð
Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð × Ó ¸ Ð Ó Ò Ò Ö Ó Ù Ö × Ø Ö Ù Ò
s = rθº È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ð
Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ω = θ = s/rº × ¸ Ð Ò Ö Ò Ø Ð × Ó ×
T disco =m
2(x2 + s2 + 2 xs cos α) +
I
2r2s2
Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × Ó Ö × Ô Ø Ó Ð Ö Ó Ø Ò × I = 12
mr2 º Ä × Ø Ò Ú Ö Ø Ð Õ Ù
× Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð × Ó × Ð Ô Ó × Ò ×
s sen αº Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð
Ò Ð × Ö Ó ´ Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×
V = −mgs sen αº
Ð Ð Ö Ò Ò Ó ×
L = T − V =1
2(M + m)x2 + mxs cos α +
3
4ms2 + mgs sen α.
´ ¾ ¿ µ
Ó Ñ Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ð Ú Ö Ð
x× Ù Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ó Ò Ù Ó
px × Ö Ù Ò
Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º
px = ∂L∂ x
= (M + m)x + ms cos α = CT E ´ ¾ µ
Ë Ò Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ó Ð Ù Ó Ñ Ó Ð × Ó × Ø Ò Ò Ö Ô Ó × Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ó Ò × Ø Ò Ø × Ò Ù Ð º
Ñ × Ó Ñ Ó Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ð Ø Ñ Ô Ó ¸ Ð Ò Ö × Ó Ò × Ö Ú º Ó Ñ Ó Ð Ô Ó Ø Ò Ð Ò Ó
Ô Ò Ú Ð Ó × Ò × Ø × Ó ¸ Ð Ò Ö × Ø Ô Ó Ö
E = T + V º × ¸
E = T + V =1
2(M + m)x2 + mxs cos α +
3
4ms2 − mgs sen α.
´ ¾ µ
Ò Ð Ò × Ø Ò Ø Ò Ð
x = 0, s = 0, s = 0Ð Ò Ö Ú Ð
E = 0
È Ó Ö Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ö Ð × Ù Ó Ò × Ù Ð Ö ¹ Ä Ö Ò ¸
Ô Ö Ó Ó Ñ Ó Ý × Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó × Ú Ö Ð × Ó Ò × Ö Ú × ¸ × Ó Ñ Ó × Ù Ö Ñ Ó × Ò Ø Ö Ó Ù Ò Ú Þ Ò Ð
Ø Ñ Ô Ó Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º Ó ¸ Ô Ó Ñ Ó × × Ù × Ø Ø Ù Ö x = −m/(M + m)s cos α ´ Ð
Ù Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó µ Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ö Ý Ó Ø Ò Ñ Ó ×
m2
2(M + m)s2 cos2 α − m2
(M + m)s cos2 α +
3
4ms2 − mgs sen α = 0
× Ø Ù Ò × Ð Ó Ö Ñ
C
2s2 = s
× Ø Ù Ò Ö Ò Ð × Ò Ø ´ Ø Ó Ö × Ô Ö Ø µ Ð Õ Ù × Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð
Ò Ö Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ð Ö ¸ Ð Ó Õ Ù × Ù Ö Ù Ò × Ó Ð Ù Ò Ð Ø Ô Ó
s(t) = 1C
t2
È Ö Ó Ð Ñ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m× Ó Ñ Ø Ó Ð Ù Ö Þ Ö Ú Ø Ø Ó Ö × Ñ Ù Ú × Ò
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð Õ Ù Ö Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ó Ò
Ù Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö
ωº À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ º
Ë Ó Ð Ù Ò Ð Ñ Ó × Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × ¸ Ó Ö Ñ Õ Ù Ð × Ó Ó Ö Ò × Ð Ñ × × Ö Ò
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 64/71
x = ρ cos ωt
y = ρ sen ωt
z = z
Ý Ð Ú Ð Ó Ø Ò Ð × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×
x = ρ cos ωt − ρ sen ωt
y = ρ sen ωt + ρ cos ωt
z = z
Ä × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × × Ó Ò
ρ¹ Ð × Ø Ò Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ö Ô Ó Ý Ð Ö Ó Ý
z¹ Ð
× Ø Ò Ð Ó Ð Ö Ó Ð Þ º Ä Ä Ö Ò Ò
L = T − V × Ö
L =m
2(ρ2 + ρ2ω2 + z2) − mgz
´ ¾ µ
È Ö Ó Ð Ñ Ó × Ù Ö Ô Ó × Ô Ù Ò Ø Ù Ð × Ñ ×
m1 Ý
m2 × Ø Ò Ù Ò Ó × Ô Ó Ö Ù Ò Ö Ö Ö
Ð Ó Ò Ø Ù
aÝ Ñ × × Ô Ö Ð º × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ð Ó × Ô Ù Ñ Ó Ú Ö Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ú Ö Ø Ð
Ð Ù Ö ´ ¾ µ ¸ × Ó Ö Ó × × Ñ Ö Ö Ø × Ð × × Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ù Ò Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó Ò Ø Ö × Ý
Ù Ò Ð Ð × Ù Ò Ò Ù Ð Ó
π/4 Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ý Ð ×
Ù Ó Ò × Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ð × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ñ Ù Ú Ò × Ó Ñ Ø × Ð Ö Ú º
Ù Ö ¾
Ë Ó Ð Ù Ò
È Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð × Ô Ó × Ó Ò × ¾ Ñ × × Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ò × Ø Ñ Ó × Ó Ó Ö Ò × ¸ Ô Ö Ó Ð Ó
Ø Ò Ö ¿ Ð Ù Ö × ´ µ Õ Ù Ð Ñ ×
m1 × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò × Ñ Ö Ö Ø ¸ ´ µ Õ Ù Ð Ñ ×
m2 × Ñ Ù Ú
× Ó Ö Ó Ø Ö × Ñ Ö Ö Ø Ý ´ µ Õ Ù × Ø Ò Ù Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ö Ð Ð ¸ Ö Ù Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ò Ö Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ö
Ù Ò Ò Ó Ö Ó Ð Ö Ø º Æ Ó × Ó Ø Ö Ó × Ð Ö Ñ Ó × Ù Ò Ò Ù Ð Ó º
Ë Ð Ó Ö Ò Ð × × Ø Ñ Ð × Ó Ó Ö Ò × ´
XY µ Ò Ð Ú Ö Ø Ð Ò Ù Ð Ó Ý Ð Ó × × Ð × Ó Ó Ö ¹
Ò × Ó Ö Ò Ø × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó × Ð Ó × Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó º
Ò Ø Ó Ò ×
x1 = 0 y1 = a sen φ
x2 = a cos φ y2 = 0 Ó Ò
φ × Ð Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ð Ö Ö Ý Ð Ð Ó
Ö Ó Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ø Ó º
Ä Ä Ö Ò Ò Õ Ù
L =a2φ2
2(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) − ga√
2(m1 sen φ + m2 cos φ)
´ ¾ µ
Ó Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ò Ø ´ Ð Ø Ò Ö Ð Ö Ö Ù Ò Ñ × × Ô Ö Ð ¸ Ò Ó Ý Ò Ö
Ò Ø Ö Ó Ø Ò µ Ý Ð × Ù Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð Ò Ö Ô Ó Ø Ò Ð º
Ç Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ò Ø Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ´ Ø Ó Ø Ð Ñ Ò Ø Ò Ð Ó Ð Ò Ø Ö Ó Ö µ ×
Ù Ø Ð Þ Ö Ð × Ó Ñ Ô Ó × Ò Ð Ò Ö Ò Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ø Ö × Ð Ó Ò Ð Ý Ò Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ð ¸ Ø Ò Ò Ó Ò
Ù Ò Ø Õ Ù Ð Ø Ö × Ð Ò × Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó ´ Ò × Ø × Ó Ñ × m1 · m2 · Ö Ö µ ¸
Ý Ð Ö Ó Ø Ó Ò Ð × Ö Ñ Ö × Ô Ø Ó Ù Ò Ö Ó Ø Ò Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó Ñ × × º
Ä × Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò
xCM = m2a cosφm1+m2
Ý
yCM = m1a senφm1+m2
¸ Ó Ò
× Ù Õ Ù Ð Ò Ö Ø Ö × Ð Ó Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × ×
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 65/71
T t =a2φ2
2(m1 + m2)(m2
1 cos2 φ + m22 sen 2φ)
´ ¾ µ
È Ö Ð Ù Ð Ö Ð Ò Ö Ö Ó Ø Ó Ò Ð Ò × Ø Ñ Ó × Ù Ò × × Ø Ñ Ö Ö Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ó
Ñ × × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó º È Ó Ö × Ñ Ô Ð × Ð Ù Ò × × Ø Ñ
(X ′Y ′)Ô Ö Ð Ð Ó Ð × × Ø Ñ
XY ¸ Ô Ö Ó Ò Ø Ö Ó
Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º Ä × Ó Ó Ö Ò × Ù Ò Ð × Ñ × × Ò × Ø Ò Ù Ú Ó × × Ø Ñ Ó Ó Ö Ò × ×
x′
1 = −R1 cos φ¸
y′
1 = R1 sen φ
x′
2 = R2 cos φ y′
2 = −R2 sen φ¸ Ó Ò
R2 = am1
m1+m2Ý
R1 = a − R2 º
Ë Ð Ú Ø Ó Ö Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö × ω = (0, 0, φ) I × Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ´ Ñ Ø Ö Þ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × µ ¸
Ð Ò Ö Ö Ó Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ñ Ð Ó Ö Ñ
T r =1
2ωT Iω =
1
2I z′z′φ2
´ ¾ µ
Ó Ò Ð Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ð
z′z′ Ð Ø Ò × Ó Ö Ò Ö ×
I z′z′ = m1(x′2
1 + y′2
1) + m2(x′2
2 + y′2
2) =m1m2a2
m1 + m2
.´ ¿ ¼ µ
Ð × Ù Ñ Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ø Ò Õ Ù Ð Ò Ö Ò Ø Ô Ó Ö × Ø × Ù Ò Ó Ñ Ø Ó Ó ×
T = T t+T r =a2φ2
2(m1 + m2)(m2
1 cos2 φ+m22 sen 2φ)+
1
2
m1m2a2
m1 + m2
φ2 =a2φ2
2(m1 cos2 φ+m2 sen 2φ)
´ ¿ ½ µ
× Ö ¸ Õ Ù Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó Õ Ù Ò Ø × ´ Ó Ñ Ó × Ö µ º
Ä Ù Ò Ä Ö Ò Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ×
d
dt
∂L
∂ φ− ∂L
∂φ= 0
´ ¿ ¾ µ
Ó Ñ Ó
∂L∂ φ
= a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ)
∂L
∂φ= a2φ2(m1 − m2)a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) − ga√
2(m1 cos φ − m2 sen φ)
´ ¿ ¿ µ
Ä Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ò Ð Ñ Ò Ø
a2φ(m1 cos2 φ + m2 sen 2φ) + a2φ2(m2 − m1)sen φ cos φ − ga√ 2
(m1 cos φ − m2 sen φ) = 0
Ò Ð × Ó Ò Õ Ù
m1 = m2 × Ø Ù Ò × × Ñ Ô Ð
φ
−
g
2a√ 2(cos φ
−sen φ) = 0
× Ø × Ð Ù Ò Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ò Ù Ò Ô Ó Ø Ò Ð Ð Ó Ö Ñ
a√
2mg(sen φ +cos φ)º × Ø Ô Ó Ø Ò Ð
Ø Ò Ù Ò Ñ Ü Ñ Ó Ò
π/4º × Ø Ó Õ Ù Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ð Ö Ö × Ø Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ Ò Ó Ý Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó ¸
Ô Ö Ó × Ø Ô Ó × Ò × Ò × Ø Ð º Ù Ð Õ Ù Ö Ô Õ Ù Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ð Ð Ú Ð Ö Ö
φ = 0Ó
φ = π/2º
Ä Ó Õ Ù Ó Ù Ö Ö Ô Ö Ø Ö × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ó Ð Ó Ô Ó Ñ Ó × Ô Ö Ö Ó Ò × Ø × Ù Ó Ò × Ô Ó Ö Õ Ù Ñ Ó ×
Ó Ò × Ø Ö Ù Ó Ð Ð Ö Ò Ò Ó × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ñ × Ô Ö Ñ Ò × Ñ Ô Ö Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø º Ñ × ¸
Ð × Ò Ù Ð Ö Ð Ú Ö Ø ¸ × Ò × Ö Ó Õ Ù Ñ Ó × Ô Ø × × Ó Ò Ð × Ö Ð Ó Õ Ù Ó Ù Ö Ö
Ù Ò Ó Ù Ò Ð × Ñ × × Ð Ð Ð Ú Ö Ø º È Ó Ñ Ó × Ö Õ Ù Ö Ó Ø Ð Ð ¸ Ó Ò Ð Ó Ù Ð Ð × Ù Ó Ò ×
Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ó Ø Ò × × Ù Ò × Ò Ó Ú Ð × ´ Ù Ò Õ Ù Ó Ò Ò Ù Ú × Ó Ò Ó Ò × Ò Ð × µ Ó Ò Õ Ù Ð
Ú Ö Ø Ò Ö Ð × Ð Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ò Ó Ý Õ Ù Ð × Ó × Ô Ö Ø Ù Ð × × Ø Ò Ò Ð Ñ × Ñ Ö Ø ¸ Ó Ò Ð Ó
Ù Ð Ö Õ Ù Ñ Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ù Ñ Ò Ø º × Ø × Ó × × Ó Ð Ù Ó Ò × × Ø Ò Ø × × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò
× Ø Ù Ó Ò × × × × Ø Ò Ø × º Ù Ð × Ð Ó Ö Ö Ø × Ð Ó Ô Ù Ö Ñ Ö × Ø Ö Ú × Ð Ü Ô Ö Ò º Ò
Ù Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ó Ö Ð ¸ Ð × Ø Ù Ò Ñ × Ô Ð Ù × Ð × Ð Ð Ö Ó Ø º
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¼ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ð Þ Ô Ó Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ù Ò Ö Ô Ò Ø Ð × Ó Õ Ù Ø Ò Ð
Ó Ö Ñ Ù Ò × Ù Ô Ö Ö Ú Ó Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ó Ò × Ñ Ø Ö Ú Ö Ø Ð º Í × Ò Ó
½ ¼
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 66/71
Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × Ô Ó Ð Ö ×
(r,θ,z) Ó Ò Ð Ó Ó Ö Ò
zÑ Ö Ö Ð × Ø Ò ¹
Ú Ö Ø Ð × Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ó Ð Ö Ô Ò Ø ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ ¸
Ù Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º ú Ü × Ø Ð Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ë Ù Ô Ó ¹
Ò Õ Ù Ð Ù Ò Ð × Ù Ô Ö × Ø Ô Ó Ö
r2 = azÝ Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú
× Ó Ñ Ø Ð Ö Ú º
Ë Ó Ð Ù Ò
Ä × Ò × Ù Ö Þ × Õ Ù Ø Ò × Ó Ò Ð Ö Ú Ý Ð Ö Ò Ò Ó Ö Ñ Ð × Õ Ù Ð × × Ø Ñ × Ó Ò × Ö Ú Ø Ú Ó
Ó Ò Ò Ö Ô Ó Ø Ò
mgzº Ä Ò Ö Ò Ø Ò Ó Ó Ö Ò × Ð Ò Ö × Ô Ó Ð Ö × ×
T = 1
2m(r2+r2θ2+
z2)º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ð Ó Ô Ó Ñ Ó × Ù × Ö Ð × Ù Ó Ò × Ä Ö Ò × Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ ×
× Ó Ò Ò Ô Ò Ò Ø × º Ñ Ó × Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ñ Ò Ö Ó
rÓ
zÙ × Ò Ó Ð Ö × Ø Ö Ò Ó Ð Ó Ò Ñ
r2 = azº
Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ù × Ö
rÝ
θ Ó Ñ Ó Ò Ù × Ø Ö × Ó Ó Ö Ò × Ò Ô Ò Ò Ø × º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð
Ä Ö Ò Ò Ó × × Ö Ó Ñ Ó
L = T − V =1
2m(r2 + r2θ2) + 4
r2r2
a2− mg
r2
a´ ¿ µ
È Ö Ð × Ó × Ó Ó Ö Ò × Ò Ô Ò Ò Ø × Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó × Ó Ò Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø
d
dt
∂L
∂ r
− ∂L
∂r=
d
dt(mr + 4m
r2r
a2) −
mrθ2 + 4m
rr2
a2− 2mg
r
a
= 0
d
dt
∂L
∂ θ
− ∂L
∂θ=
d
dt(mr2θ) = 0
´ ¿ µ
Ä Ð Ø Ñ Ù Ò × Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ô Ð Ý Õ Ù Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ò Ó Ô Ò
θ¸ × Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó
Õ Ù Ú Ö Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ò Ó Ö Ð º È Ó Ñ Ó × Ò Ø Ö Ö Ö Ø Ñ Ò Ø
mr2θ = mJ Ó Ò
J
Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø º × Ð Ù Ò Ñ Ð Ö Õ Ù Ñ Ù × Ø Ö Ð Ó Ò × Ö Ú Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ù Ð Ö Ð Ö Ó Ö Ð
Ú Ö Ø Ð × Ñ Ø Ö º Ë × Ù × Ø Ø Ù Ñ Ó ×
θ Ò Ù Ò Ò
rÔ Ó Ñ Ó × Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ù Ò Ü Ð Ù × Ú Ñ Ò Ø
Ò Ð Ú Ö Ð
rÕ Ù × Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º
¾ º È Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö Ó Ô Ù × Ø Ó ×
È Ö Ó Ð Ñ ½ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m2 × Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó
Ñ ×
m1 ¸ Ò Ù Ð Ó Ò Ð Ò Ò
α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý Ð Ó Ò Ø Ù Ø Ó Ø Ð
LÔ Ö Ø Ò Ó
× Ù Ô Ù Ò Ø Ó Ñ × Ð Ø Ó × Ò Ú Ð Ó Ò Ð º × Ù Ú Þ ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ô Ù × Ð Þ Ö × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó
× Ó Ö Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð Ý × Ø Ò Ö Ô Ó × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø º Ó Ò Ð × Ú Ö Ð × Ò × Ò Ð Ù Ö
´ ¿ µ Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ý Ø Ö Ñ Ò Ö × Ü × Ø Ð Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ð º ú Ù Ð × Ö
Ò × Ù × Ó Ð Ð Ý Ó Ò × Ö Ú Ò Ô Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Þ Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø
Ó Ó Ö Ò
m1
m2s
q
Ù Ö ¿
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¾ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m× Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ö Ø
Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð ¸ × Ø Ò Ó Ù Ò Ó Ó Ò Ù Ò Ñ Ù Ð Ð Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Õ Ù × Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò × Ø Ò
h Ð Ö Ø ´ Ú × Ð Ù Ö µ º À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ ¸ × Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ð
Ó Ò × Ø Ò Ø Ð × Ø Ð Ñ Ù Ð Ð ×
kÝ × Ù Ð Ó Ò Ø Ù Ö Ô Ó × Ó ×
l0 º
½ ½
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 67/71
mh
Ù Ö
È Ö Ó Ð Ñ ½ ¿ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ü × Ø Ù Ò Ó Ö Ó Ø Ö Ú × Ð
Ù Ð Ô × Ù Ò Ð Ó Ð Ó Ò Ø Ù
l¸ Õ Ù Ù Ò Ó × Ù Ö Ô Ó × Ñ × × Ö × Ô Ø Ú ×
m1 Ý
m2 ´ Ú Ö
Ù Ö µ º Ð Ù Ö Ô Ó
m1 × Ø × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö ¸ Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð
m2 × Ø × Ù × Ô Ò Ó Ý ×
Ô Ù Ñ Ó Ú Ö Ò Ø Ó × Ö Ó Ò × º ´ µ × Ö Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ð × × Ø Ñ Ò Ó Ó Ö Ò ×
Ù × º ´ µ ú É Ù Ò Ø × × × × Ó Ò × Ö Ú Ò ú È Ó Ö Õ Ù ´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ô Ö
Ù Ò × × Ø Ñ Ù Ð Õ Ù Ö Ó Ò × Ñ Ø Ö Ü Ð ¸ Ð Ô Ö Ó Ý Ò Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó × Ó Ö Ð
× Ñ Ø Ö ´
zµ ×
J z =∂L
∂ φ,
´ ¿ µ
Ó Ò Ð Ó Ó Ö Ò
φ × Ð Ò Ù Ð Ó Ö Ó Ø Ò Ð Ö Ó Ö Ð
zÝ
L × Ð Ð Ö Ò Ò
Ð × × Ø Ñ º È Ö Ð × Ó Ó Ò Ö Ø Ó Ð Ò Ù Ò Ó ¸ Ð Ù Ð Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó
Ù Ö Ô Ó º ú Ë Ó Ò × Ö Ú Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ó
m
m
2
1
Ù Ö
È Ö Ó Ð Ñ ½ À Ð Ð Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ù Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
mÕ Ù × Ñ Ù Ú × Ó Ö Ù Ò
× Ù Ô Ö Ð × Ó Ö Ñ Ò Ó Ù Ò Ò Ù Ð Ó α Ó Ò Ð Ó Ö Þ Ó Ò Ø Ð º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ù Ö Ô Ó Ñ ×
m× Ñ Ù Ú × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ý Ò Ô Ö × Ò Ð Ñ Ô Ó
Ø Ö Ö × Ø Ö × Ó Ö Ð × Ù Ô Ö Ù Ò Ó Ò Ó Ú Ö Ø Ð Ý Ò Ù Ð Ó
2α¸ Õ Ù Ö Ô Ó × × Ó Ö
× Ù × º ú Ù Ò Ø × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × Ý Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ À Ð Ð Ö Ð Ù Ò Ò
Ä Ö Ò Ô Ö × Ø × × Ø Ñ º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ñ ×
m × Ø Ò × Ö Ø Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò Ø Ò Ù Ò Ð Ñ Ö
Ù Ý Ó Ö Ñ × Ø Ô Ó Ö Ð Ù Ò Ò
y = a tan2(x/a) Ó Ò
a × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ó Ò Ñ Ò ¹
× Ò Ð Ó Ò Ø Ù ¸ × Ø Ò Ó Ö Ð Ú Ö Ø Ð × Ò Ð
yº Ð Ð Ñ Ö Ö Ð Ö Ó Ö Ð
y Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö Ó Ò × Ø Ò Ø
ωº Ä Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú × Ó Ñ Ø Ð Ö Ú Ý
× Ð Þ × Ò Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ô Ó Ö Ð Ð Ñ Ö Ñ × × Ô Ö Ð º Ð Ù Ð Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Õ Ù
× Ö Ð Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ø Ù Ð º
È Ö Ó Ð Ñ ½ Ç Ø Ò Ö Ð Ù Ò Ò Ð Ö Ò Ò Ý ¸ Ô Ö Ø Ö Ð Ð ¸ Ð Ù Ò Ñ Ó Ú ¹
Ñ Ò Ø Ó Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ô Ð Ò Ó Ñ ×
mÝ Ð Ó Ò Ø Ù
l¸ Ù Ý Ó Ô Ù Ò Ø Ó × Ù × Ô Ò × Ò Ó × Ð
Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø × Ò
ys = y0 sen ωtº Ð Ù Ð Ö Ð × Ó Ð Ù Ò × Ø Ó Ò Ö Ð Ù Ò Ñ Ó ¹
Ú Ñ Ò Ø Ó º ú È Ö Õ Ù Ú Ð Ó Ö
ω Ð Ô Ò Ù Ð Ó Ö Ú Ù Ð Ø × Ó Ñ Ô Ð Ø × Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó
× Ù × Ô Ò × Ò
½ ¾
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 68/71
Å ý Æ Á ´ Ê Ç Æ Ë Á Ë µ Á Ç ½ ¼ ¾ ½ ¼
È Ê Í Î Ä Í Á Æ Á Ë Ì Æ Á ¸ Æ Ê Ç ¾ ¼ ½ ¿
× Ø È Ö Ù Ú Ð Ù Ò × Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ð Å Ó Ð
Ú Ð Ù Ò Ð × Ò Ø Ù Ö ´ Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ø Ò Ù µ º
Ì Ñ Ô Ó Ö Ð Þ Ò Ý Ô Ð Þ Ó Ñ Ü Ñ Ó Ò Ø Ö È Ó Ö Ó Ò Ø × Ø Ö ×
Ò Ð Ó × × ½ ¸ ½ Ý ½ Ò Ö Ó ¾ ¼ ½ ¿ º Ð × Ø Ù Ò Ø Õ Ù Ô Ö Ø Ô Ò
Ð Ô Ö Ù Ö Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù Ò Ò Ö Ø Ø Ö Ú × Ð Ô Ð Ø Ó Ö Ñ
Ñ Ò Ø Ð Ö Ö Ñ Ò Ø Ò Ø Ö Ì Ö Ó × º Ð Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ô Ö Ö Ò Ø
× º Ô º Ò Ð È Ð Ò Ì Ö Ó Ð Ù Ö × Ó Ú Ö Ø Ù Ð ´ È Ö Ù Ò Ø × Ñ × Ö Ù Ò Ø × µ ×
Ò Ù Ò Ø Ö Ò Ð × Ò × Ø Ö Ù Ó Ò × × Ó Ö Ñ Ó Ò Ú Ö Ð × Ö × Ô Ù × Ø × º
Ç Ø Ú Ó × × Ø Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ø Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ø Ò Ò Ù Ò Ó Ð Ó Ø Ú Ó º
Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö ¸ Õ Ù Ù × Ø Ó Ñ Ô Ö Ù Ý Ö Ü Ó Ò × Ó Ö Ð Ó × Ó Ò Ó Ñ Ò Ø Ó × Õ Ù ¹
Ö Ó × º À Ò × Ó Ð Ó × Ô Ó Ö Õ Ù Ö Ò Ô Ö Ø Ð Ó × Ó Ò Ø Ò Ó × Ñ × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø ×
Ð × Ò Ø Ù Ö º Ò × Ù Ò Ó Ð Ù Ö ¸ Ù Ò Ú Þ Ó Ø Ò Ð × Ó Ð Ù Ò ¸ Ø Ò Õ Ù Ö ¹
Ø Ö Ð º × Ø Ó × Ù Ò Ó Ô Ó Ö Ø Ù Ò Ô Ö Õ Ù Ô Ò × Ò Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Õ Ù Ø Ò Ð Ö Ó Ö
Ý Ð Ð Ö Ò Ð Ö Ò Ð Ó Ö Ö Ð Þ Ö Ð Ó × Ü Ñ Ò × º Ò Ó Ò Ô Ö ¹
× Ò Ð × Ô Ø × × Ý Ð × Ú Ö Ð × Ù Ø Ð Þ × ¸ × Ð Ó Ö Ò × Ö Ó Ò Ð Ù Ý Ù Ò Ù Ó
Ó Ò × Ö × Ù Ð Ò Ð Ó × × Ó Ó Ö Ò × ¸ Ø º Á Ò Õ Ù Ö Ú Ñ Ò Ø Ð Ó ×
Ô × Ó × Õ Ù × Ù Ò Ð × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ý × Ù Ø Ð × Ò Ó Ð × Ó Ð Ù Ò º Æ Ó Ò
Ô Ó Ö × Ó ¸ Ô Ó Ö Ñ Ù Ý Ø Ö Ú Ð Õ Ù Ð Ô Ö Þ º Á Ñ Ò × Õ Ù Ð Ó × Ø Ö Ø Ò Ó Ó Ò
Ò Ø Ó Ô Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ñ Ô Ö Ó Ô Ö Ò Ö × Ó Ð Ú Ö × Ñ × Ñ Ó Ô Ö Ó Ð Ñ º
Ö Ø Ö Ó × Ú Ð Ù Ò × Ø Ô Ö Ù × Ö Ó Ö Ö Ô Ó Ö Ð
Ô Ö Ó × Ó Ö Ø Ù Ø Ó Ö
Ò Ø Ö Ñ Ô Ù × Ð Ö Ù Ô Ó Ì Ù Ø Ó Ö Ò Ð Õ Ù × Ø Ð × Ø Ù Ò Ø × Ö Ø Ó
´ Ú Ö Ð Ó × Ó Ö Ó × Ð × Ò Ø Ù Ö µ º Ð
¾ ¿ Ò Ö Ó × Ð Ð Ñ Ø Ò Ø Ö ¹
Ð × Ð Ó Ò × ´ Ý Ó Ñ Ò Ø Ö Ó × × Ù Ö Ò Ô Ö Ø Ò Ò Ø × µ º Ð × Ø Ù Ò Ø
Ö × Ù × Ð Ò Ø Ö Ú × Ð Ö Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ò × Ð Ù Ö × Ó
Ú Ö Ø Ù Ð º Ô Ö Ø Ö Ð Ò Ó Ø Ò × Ö Ö Ù Ò Ô Ð Þ Ó Ù Ò × Ñ Ò Ô Ö
Ô Ó × Ð × Ö Ð Ñ Ó Ò × Ð Ø Ù Ø Ó Ö Ò Ø Ö Ñ Ô Ù × ¸ Ó Ò Ð Õ Ù Ô Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ò Ú Ò Ó Ð
Ù Ò Ñ Ò × Ô Ö × Ó Ò Ð º Ì Ó × Ð × Ö Ð Ñ Ó Ò × × Ø Ö Ò Ö × Ù Ð Ø × Ò Ø × Ð
Ö Ð Þ Ò Ð Ô Ö Ù Ô Ö × Ò Ð º
È Ù Ò Ø Ù Ò
È Ö Ó Ð Ñ ½ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ
È Ö Ó Ð Ñ ¾ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ
È Ö Ó Ð Ñ ¿ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ
È Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º Ô Ù Ò Ø Ó × µ
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 69/71
½ º Í Ò Ô Ö Ø Ù Ð × Ø Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó O Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ö Þ F (r) Ô Ó Ö
Ù Ò Ñ × ¸ Ó Ò r
× Ð × Ø Ò Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ð Ô Ù Ò Ø Ó
O º Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ô Ö Ø Ù Ð × Ñ Ù Ú Ð Ö Ó Ö O Ò Ù Ò
Ô Ð Ò Ó
µ × Ö Ö Ð × Ù Ò Ð Ý Æ Û Ø Ó Ò Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × (r, θ)
µ È Ö Ó Ö Õ Ù
d2u
dθ2+ u = −
F (u−1)
h2u2
Ó Ò h × Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø Ý
θ × Ð Ò Ù Ð Ó Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ð Ð Ò Õ Ù
Ú × O Ð Ô Ö Ø Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ö Ò Ò Ð Ô Ð Ò Ó º
È Ö Ð Ð Ó Þ Ù × Ó Ð Ñ Ó u = r−1
º ú É Ù × Ò Ó × Ó Ø Ò
Ð Ó Ò × Ø Ò Ø h
¾ º Í Ò Ð Ò Ö Ó Ñ Þ Ó Ó Ñ Ó Ò Ó Ñ × M
Ý Ö Ó R
× Ò ×
× Ó Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ò Ó × Ò Ò Ð Ù Ö º Ð Ó Ò Ø
Ö Ó Þ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ó Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ú Ð µ
º Í Ò Ð Ö Ö Ó Ð Ð Ó
Ð Ö Ó Ö Ù Ò Ñ Ù × Ô Ö Ø Ò Ð Ð Ò Ö Ó Ð Ó Ó Ò Ø Ù Ò
Ð Ó Õ Ù Ñ × m
º Ä Ô Ó Ð × Ó Ö Ð Õ Ù Ô × Ð Ð Ø Ò Ù Ò
Ñ × m p Ý Ù Ò Ö Ó r p º Ë × × Ù Ð Ø Ð × × Ø Ñ Ô Ö Ø Ò Ó Ð Ö Ô Ó × Ó
Ò Ð Ô Ó × Ò Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ð Ù Ö ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ð Ö Ò
Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × × Ð Ð Ó Õ Ù ¸ Ð Ð Ö Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × ×
Ð Ð Ò Ö Ó ¸ Ð × Ð Ö Ó Ò × Ò Ù Ð Ö × Ð Ô Ó Ð Ý Ð Ò Ö Ó Ý Ð ×
Ø Ò × Ó Ò × Ò Ð × Ó × Ô Ö Ø × Ð Ð º Æ Ó Ø Ä Ó × Ø Ó × Ò Ù Ñ Ö Ó ×
Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ò M = 100 kg R = 0, 4 m m = 75 kg m p = 10 kg
r p = 0, 2 m α = 30◦ º
O
Y
S
x
x.
A
B
C
D
s.
α
X
θG
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 70/71
¿ º Ò Ð Ù Ö × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ú Ö Ð Ð × Ò Ø × Ù Ò Ð Ó Ò ¹
Ø Ù l
Ý Ñ × m
Õ Ù Ó Ö Ñ Ò Ù Ò Ù Ö Ó Ô Ð Ò Ó Õ Ù × Ø Ö Ò Ó
Ó Ò Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω0 Ð Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö Ð Ý
Õ Ù Ô × Ô Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ó º Å Ò Ø Ù Ò Ñ Ò × Ñ Ó Ò Ø Ö Ò Ó k
Ð ×
Ú Ö Ð Ð × × Ô Ð Ò × Ø Ó Ö Ñ Ö Ù Ò Ö Ù Þ Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ò Ð
Ù Ö º Ó Ò × Ö Ò Ó Õ Ù Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð Ñ Ò × Ñ Ó
× (40/3)ml2 Ý Õ Ù Ò Ó Ñ ¸ Ø Ö Ñ Ò Ö
µ Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö Ð × × Ø Ñ Ò Ð × Ô Ó × Ó Ò × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ¹
Ò Ø × Ð × Ù Ö × Ý º
µ Ä Ú Ð Ó Ò Ù Ð Ö ω′
Ò Ð Ó Ò Ù Ö Ò Ò Ð º
µ Ð Ø Ö Ó Ö Ð Þ Ó Ò Ð Ô Ð Ó Ð × Ú Ö Ð Ð × º
k k k
AA B
7/28/2019 Problemas Mecánica UNED 2012-2013
http://slidepdf.com/reader/full/problemas-mecanica-uned-2012-2013 71/71
º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Õ Ù × Ø Ó Ö Ñ Ó Ô Ó Ö Ù Ò Ô Ò Ù Ð Ó Ð Ó Ò ¹
Ø Ù l
Ñ × × Ô Ö Ð Ò Ù Ý Ó Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ö × Ò Ù Ò Ø Ö
Ù Ò Ñ × Ô Ù Ò Ø Ù Ð mº Ñ × × Ø Ó Ò Ø Ô Ó Ö Ù Ò Ñ Ù Ð Ð
Ð Ò Ð Ù Ò × Ð Þ Ó Ö × Ò Ö Ò Ý Ñ × × Ô Ö Ð Õ Ù ×
Ñ Ù Ú × Ó Ö Ð Ö Ø
y = a¸ Ø Ð Ñ Ò Ö Õ Ù × Ñ Ô Ö Ð Ñ Ù Ð Ð ×
Ñ Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ð º Ë Ò Ó Õ Ù Ð Ó Ò × Ø Ò Ø Ð Ñ Ù Ð Ð × k
Ý × Ù
Ð Ó Ò Ø Ù Ò Ø Ù Ö Ð × a + l0 ¸ Ò Ô Ö × Ò Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ú Ø Ø Ó Ö Ó
Ó Ò × Ø Ò Ø
µ Ò Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × Ò Ö Ð Þ × × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ º
µ Ç Ø Ò Ö Ð Ð Ö Ò Ò Ó Ð × × Ø Ñ º
µ Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ó Ö Ò θ = 0
× × Ñ Ô Ö Ù Ò × Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ó º
Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ó Ò Ò × Ó Ö l Ô Ö Ð Ù Ð Ð Õ Ù Ð Ö Ó × × Ø Ð º
µ Ù Ö Ð × Ù Ó Ò × Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó º
µ Ê Ð Þ Ö × Ø Ù Ó Ð Ù Ò Ñ Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ô Õ Ù ×
Ó × Ð Ó Ò × Ö × Ô Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ð Ö Ó θ = 0º ú Ñ Ó Ñ
Ð × Ó Ð Ù Ò Ô Ò Ò Ó Ð Ð Ó Ò Ø Ù Ð Ô Ò Ù Ð Ó
È Ë Ö Ö Ô Ð Ñ Ò Ø ×
y
x
m
k
a
θ
Top Related