Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Eduardo De la Fuente Lavalle
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PROBLEMAS BÁSICOS DE EMPUJES DE SUELOS SOBRE ESTRUCTURAS DE SOPORTE
Autor: Eduardo De la Fuente Lavalle
© 2013 Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A.C.
Producción editorial: M. en A. Soledad Moliné Venanzi
En esta publicación se respetan escrupulosamente las ideas, puntos de vista y especificaciones originales. Por lo tanto, el Instituto Mexicano del Cemento y del Concreto, A. C. no asume responsabilidad alguna (incluyendo, pero no limitando, la que se derive de riesgos, calidad de materiales, métodos constructivos, etc.) por la aplicación de los principios o procedimientos de este volumen.
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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Registro# 1052
Impreso en México
ISBN 968-464-129-X
Prefacio
Este libro es en gran medida el resultado del empeño que la Universidad Autónoma Metropolitana y particularmente el Departamento de Materiales de la Dirección de Ciencias Bá
sicas, de la Unidad U.A.M. Azcapotzalco realizan al promover la publicación de libros de texto. Durante mi estancia como profesor invitado en el año de 1998 las autoridades me alentaron para que lo hiciera y proporcionaron todas las facilidades para que lo elaborará y publicará
Cuanto mayor sea la conexión entre el aprendizaje de la teo
ría y su aplicación en la solución de problemas que se presentan en la práctica, tanto mayor será la eficacia de la enseñanza. El tener que aprender un amplio abanico de
problemas básicos es un requisito que implícitamente debe satisfacer el estudiante para poder cumplir adecuadamente
lo solicitado en los programas de estudio en el tema de Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte. Sin embargo, es un hecho que el tiempo disponible en clase para hacerlos es muy escaso y muchas veces insuficiente. Una forma de mejorar esta situación es proporcionar a los estudiantes libros de consulta complementarios con problemas resueltos, que sean lo suficientemente sencillos y claros para que puedan estudiarlos por su cuenta, convenientemente apoyados en la asesoría de sus maestros. Esta publicación pretende cumplir con este propósito y les sea de utilidad.
El libro ha sido preparado especialmente para proporcionar al estudiante de la materia de Mecánica de Suelos toda una serie completa de problemas básicos resueltos del tema de Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte, para que adquieran la destreza mínima requerida en la solución de este tipo de problemas. Aunque también puede ser de utilidad a profesionistas que deseen afianzar sus conocimientos.
Esta publicación pretende ayudar en la enseñanza de una parte de los contenidos en los programas de estudio de la geotecnia. Está dirigida a los estudiantes a nivel licenciatura de las carreras de Ingeniería Civil y Arquitectura. Se procuró
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\) 1mcyc
cubrir solamente el terreno de lo esencial y muy importante e~
el tema. Al margen quedaron el estudio de otros aspectos de detalle que pueden ser importantes o accidentales y objeto de programas de maestría o doctorado. Por otra parte, se buscó el
camino más sencillo para el aprendizaje, no el más eficiente para las soluciones. Los atajos vendrán después.
El principal objetivo del presente trabajo es proporcionar una serie completa de problemas básicos resueltos que, fortaleciendo la enseñanza de la teoría, permitan al futuro profesionista adquirir bases firmes y suficientes para poder solucionar los problemas que se le presenten durante su vida profesional. La forma de mostrarlos se estableció fuera clara y esquemática; se expusieron cada uno de los puntos principales con explicaciones y dibujos, que en ningún momento pretenden ser exhaustivos, pero sí suficientes para su comprensión.
El plan consistió en programar los problemas de tal manera que cubrieran las necesidades completamente, que siguie
ran el camino más fácil para aprender y en general añadieran al proceso de aprendizaje sólo un nuevo punto a la vez, para hacer énfasis en él, partiendo del más sencillo hasta el más difícil o complejo. Cada problema se ajusta al formato siguiente: a) Solución, con estrategias generales, instrucciones y croquis explicativos. b) Desarrollo de los cálculos, con las fórmulas requeridas y resultados. c) Comentarios, resúmenes y aclaraciones, encerrados al final en un cuadro.
Siguiendo la costumbre se utilizó principalmente el sistema métrico decimal, aunque también se incluyen problemas con el Sistema Internacional de Medidas (SI).
El ambiente de trabajo propicio es importante para desarrollar las obras intelectuales, es por ello que presento un especial y profundo tributo de agradecimiento a la Universidad Autónoma Metropolitana por su respeto irrestricto a la indispensable libertad de cátedra y de investigación, que hasta ahora ha mantenido, sin la cual estas actividades no pueden
V
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desarrollarse cabalmente; con mi ferviente deseo de que siempre siga por este fecundo camino. También, por su tesón decidido en promover la cultura, se agradece a las autoridades de la Universidad Autónoma Metropolitana, U .A.M. Azcapotzalco las facilidades otorgadas para hacer este libro, principalmente al Ingeniero Jesús Antonio Flores Bustamante y al Ingeniero José Luis Pantoja Gallegos quie-
VI
nes me ayudaron a realizarlo con sugerencias, apoyo físico y su amistoso respaldo.
Finalmente, si algún mérito tiene esta obra, quédese en el deseo de ofrecer a los estudiantes una recopilación de problemas, que pretende ahorrarles la consulta de múltiples libros.
Es a ellos a quienes con mi mayor afecto les dedico esta obra.
EDUARDO DE LA FUENTE LAVALLE.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Sinopsis
En este trabajo se presenta una serie programada de problemas resueltos y propuestos sobre el tema: Empujes del Terreno sobre Elementos de Soporte, para el nivel de licenciatura; los cuales cubren la parte solicitada en los programas de estudio de la materia de Mecánica de Suelos o de Geotecnia correspondientes.
. El escrito consta de cinco capítulos: Muros, Tablestacas, Ademes, Dimensionamiento de muros y Problemas pro_ puestos, con un objetivo común: exponer ordenada y metódicamente la forma de resolver una serie de problemas bási-cos para cada punto considerado. Se trato fueran desarrollados en forma sencilla y al menos completos en lo
esencial.
El material cubierto en el primer capítulo corresponde a los
métodos tradicionales de Rankine, Coulomb y semi-empírico de Terzaghi para diferentes tipos de suelos, condiciones y casos de aplicación; con sus respectivos procedimientos de solución, tanto gráficos como analíticos. También se incluyen var~os procedimientos para analizar el efecto del flu-jo del agua y el drenaje, métodos para tomar en cuenta la
p~esión que causan diversas sobrecargas, métodos para tomar en cuenta el efecto de la·compactación tales como los de lngold, R. B. Peck y B. Broms y métodos de análisis para cuñas con bases curvas. Por otra parte, se describe y aplica el método de Monobe-Okabe y el procedimiento de Prakash-Saran para analizar la acción de los sismos. En el se-
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
gundo capítulo, se hace un análisis de las tablestacas, tanto ancladas como en cantiliver. Se explican y aplican los procedimientos de cálculo de tablestacas más usuales: Convencional o Clásico, Simplificado, del Apoyo Libre, del Apoyo Fijo, de la Viga Equivalente y de la Reducción de Momentos de Rowe. En el tercero, se explica el procedimiento de cálculo de los empujes sobre ademes, aplicado a distintos suelos. En el cuarto, se presentan los cálculos usuales para determinar el dimensionamiento de muros y finalmente en el quinto capítulo se presentan una serie programada de problemas propuestos, similares a los resueltos para que el estudiante los haga por su cuenta.
El propósito principal de los tres primeros capítulos esmostrar como se resuelven variados y escogidos problemas de empujes activos y pasivos sobre muros, ademes y tablestacas con los procedimientos y métodos más importantes. Se busco que juntos contengan el mínimo necesario para ejercitar la correcta aplicación de la teoría en problemas reales. Posteriormente, en el capítulo cuatro se describe el procedimiento de cálculo para el dimensionamiento de muros, con el objeto de mostrar al alumn"O la utilidad e importancia real del calculo de los empujes de tierras sobre las estructuras de retención y también para que le sirvan de introducción y liga conveniente para cursos más avanzados, en los cuales se les enseñará el diseño completo de los mismos. Por último, en el capítulo cinco se proponen toda una serie de problemas para que el alumno los resuelva por su cuenta y complemente su proceso de aprendizaje.
VII
Indice:· . . ...
Método.de Rankine
.Hipótesis ..... .' .l
Problema 1.1.1 . .
,Problema 1.1.2.
Problema 1.1.3.
Problema 1 .1 .4.
Problema 1.1.5.
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11.- RELLENO DE ARCILLA: . .;_;·:
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111.- RELLENO DE LIMO ARENOSO: 14
Problema 1.1.14 .. ' .
Problema 1.1.15
Problema 1.1.16
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Problema 1.1.19 ; '':: '', _:.. . : ; ) ';
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Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras'de soporte:
Problema 1.1.21
Problema 1.1.22
Método de Coulomb
Hipótesis ....
Problema 1.2.1 ..
Problema 1.2.2 .
Problema 1.2.3 ~
Problema 1.2.4 .
Problema 1.2.5 .
Problema 1.2.6 .
Procedimiento de Culmann
- ~ -. . ,.. . ~ . .
(para suelos puramente friccionantes)
Problema 1.2.7 .
Problema 1.2.8 .
Método de las cuñas en suelos··· ,puramente friccionantes .
Procedimiento .....
Método deJas·cúnas;en.~üelOs ·'> ' - · '·; ;;.". .
con cohesión y fricción .
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. P.roblerna 1.2.1 O -· - ~ . (.; .. \
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M.etodo semiempírkode Terzag~(· " .... \ . ~.' ; ~ . ~ . ~ : ·.
Tipos de material de relleno ............ 45
Geometría del relleno y condición de cargas'. '.'o, );<45'.;
·Problema 1.3.1 .. •••• !" .•.• :·· ......
IX.
G 1mcyc
Problema 1.3.2.
Problema 1.3.3 .
Problema 1.3.4 .
Problema 1.3.5.
Cuñas con bases curvas
Problema 1 .4.1 . .
Problema 1.4.2 .:. .
Problema 1 .4.3 . .
Método gráfico del círculo de fricción
Efecto de la compactación mecánica del relleno
• Estimación de las presiones que producen los rellenos compactados . .
Problema 1.5.1 .
Problema 1.5.2 .
Problema 1.5.3 .
Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados.
Problema 1.5.4 ...... .
Efecto de los sismos
Criterio de Monobe-Okabe (1929)
Problema 1.6.1 ..
Problema 1.6.2.
Método de Prakash - Sarao
Problema 1.6.4.. . . . . . . . . . . .
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
Problema 1.7.1. . .............. .
. 50
. 51
51
53
55
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56
60
61
. . 65
68
69
. 69
.. 70
71
72
72
. 75
77
Obtención de U por medio de la red de flujo. 80
Cálculo de U por el procedimiento de H. Gray. 82
Problema 1. 7 .2 . 82
Problema 1.7.3.. . 85
Tablestacas
Tablestacas en cantiliver .............. 87
X
Tablestacas ancladas ..•............. 87
Procedimientos de cálculo de empujes de terreno sobre tablestacas . . . . . . .
Método convencional o clásico para el cálculo de tablestacas en cantiliver ..
Procedimiento para arenas ..
87
89
. 89
Método simplificado para el cálculo de tablestacas en can ti 1 iver . . . . . . . . . 90
Procedimiento para arcillas. . . 90
Problema 2.1.1. . . 91
Problema 2.1.2 .
Problema 2.1.3 ..
Problema 2.1.4 .
Problema 2.1.5 .
Problema 2.1.6 .
Problema 2.1.7 . .
Problema 2.1.8 ....... .
2.2 Métodos para el cálculo de tablestacas ancladas . . . . . .
1. Método del soporte o apoyo libre
2. Método del soporte o apoyo fijo .
Trabajos de Rowe . . . . . . . . . .
Reducción de momentos al método de soporte 1 ibre, propuesto por Rowe
Tirantes y anclajes ..
Problema 2.2.1
Problema 2.2.2
Problema 2.2.3
Problema 2.2.4
Problema 2.2.5
Problema 2.2.6
Problema 2.2.7
Ademes
Problema 3.1
Problema 3.2
Problema 3.3
Reglas de R.B. Peck para determinar el diagrama de presiones sobre Ademes .
. 94
. .. 95
96
. 98
99
99
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Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
'] '¡ .1 i>
Criterio del Instituto de Ingeniería de la UNAM para determinar los empujes sobre Ademes en las arcillas del Lago de México, cuando N ~ 4. . 134
Problema 3.4 ................... 134
Dimensionamiento de muros
Problema 4.1
Problema 4.2
Problemas propuestos
5.1.Problemas del Método de Rankine
Problema 5.1.1
Problema 5.1.2
Problema 5.1.3
Problema 5.1.4
Problema 5.1.5
Problema 5.1.6
Problema 5.1.7 .
Problema 5.1.8
Problema 5.1.9 .
Problema 5.1.1 O.
Problema 5.1.11. .
Problema 5.1.12.
Problema 5.1.13 ..
Problema 5.1.14. .
5.2 Problemas del Método de Coulomb.
Problema 5.2.1
Problema 5.2.2 .
Problema 5.2.3
Problema 5.2.4
5.3. Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi ... .
Problema 5.3.1 .... .
Problema 5.3.2 .
Problema 5.3.3
Problema 5.3.4
Problema 5.3.5
Problema 5.3.6 .
Problema 5.3.7 .
.....
.....
.....
.....
.....
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137
139
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143
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146
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Q 1mcyc
Problema 5.3.8 .......... .
5.4 Problemas de cuñas con bases curvas . .
Problema 5.4.1
Problema 5.4.2
Problema 5.4.3
Problema 5.4.4 .
147
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148
148
5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas. 148
Problema 5.5.1 ..... 148
Problema 5.5.2
Problema 5.5.3
Problema 5.5.4
5.6 Problemas del efecto de la compactación del relleno. . . .
Problema 5.6.1 ..... Problema 5.6.2
Problema 5.6.3
Problema 5.6.4
5.7 Problemas con efecto de los sismos ..... Problema 5.7.1
Problema 5.7.2
Problema 5.7.3
Problema 5.7.4 . ....... . ..... 5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua .
Problema 5.8.1 . .... Problema 5.8.2 . ........ Problema 5.8.3 .........
5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo .....
Problema 5.9.1
Problema 5.9.2
Problema 5.9.3
Problema 5.9.4
....... . ....
5.1 O Problemas de tablestacas ancladas ..
Problema 5.10.1 . .
Problema 5.10.2.
Problema 5.10.3 ..
5.11 Problemas de Ademes .
Problema 5.11.1.
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XI
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· ··. Prornema 5.11.2. .· Problema 5.11.3 ~ ·.
Solución a los problemas propuestos · ·
5.1. Problemas del Método de Rankine . . ,., •'.
Problema 5.1.2
Problema 5.1.3
Problema 5.1.4
Problema 5.1.5
Problema 5.1.6
Problema 5.1.7
Problema 5.·1.8
Problema 5.1. 9
Problema 5.1.1 O.
Problema 5.1.11
Problema 5.1.12
Problema 5.1.13 .. ..
Problema 5.1.14
5.2. Problemas del Método de Coulomb
Problema 5.2.2
Problema 5.2.3
Problema 5.2.4
5.3 Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi ...
Problema 5.3.2
Problema 5.3.3
Problema 5.3.4 .. Problema 5.3.5
Problema 5.3.6 • .. ·. Problema 5.3.7
Problema 5.3.8
5.4 Problemas de cuñas con bases curvas
Problema 5.4;1 · ·. ... . . Problema 5.4.2 . . . .
.. i 5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas;.
Problema 5.5.1 .. Problema 5.5.2 ; . Problema 5.5.3 ...
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5.6. Problemas del ef~cto de, la. compactación del relleno . . 158
Problema 5.6. 1
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5.7 Problemas con efectb de ··" · • : •• ; ·.~ ':. :;· ': ¡.
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5.8 Problemas del efecto de la lluviá y el flujo de agua ..
Problema 5.8.1
5. 9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo.
Problema 5.9.1
Problema 5.9.2 ..
.·
5.1 O Problemas de tablestacas ancladas ...
Problema 5.10.1
Problema 5;10.2
Problema 5.10.3.
· 5.11 Problemas de Ademes . .·
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Problema 5.11.4. .. ·.- . ~·.· ... 160
·Bibliografía. . . • . . . . . . : .... : .•. : •"" •. · 161
··:Problemas básicos de empujes de suelOs sobre estructuras de soporte
. ''·" ~
: Método de· Rankine
El método de Rankine establece que ·en¡·un¿úrfasá 'de súelo, . con superficie superior horizontal y a partir de un estado de
c;'reposo ideal;. con un pécfueño movimiento del paramento
·r1Iso de un múro que la contienga se alcanza la condición de
equilibrio plástico para :dos· posibles estados de fallá inci-
piente, denominados activo y pasivo.
.Al aplicar la teoría de Mohr-Coulomb a estos dos estados se · :'óbtiene~ las ·fórm.ulas que sirven para calculár los empujes
que ejercen diferentes tipos de suelos sobre estructuras de
contención.
:'? .. ¡t;"
-.:-Hipótesis :
::v. Los estados plásticos; tanto activo como pasivo,· se desa-i-rrollan po( completo en toda la masa del suelo ·cuando el
':'~müro cedeY-·sedeforma lo suficiente paraprovocarlos, para
ello se requiere un ligero desplazamiento o un pe'queño giro
en torno a su base, en el sentido conveniente.
z
1mcyc
2.- La superficie del relleno es horizontal y el respaldo del muro es vertical y liso .
Cuando la superficie del relleno es un plano inclinado a un
ángulo p con la horizontal, debe admitirse que el muro es
rugoso con un coeficiente de fricción con el suelo tal que las presiones resultantes sobre el respaldo vertical resulten in
clinadas al mismo ángulo p .
Problema 1.1.1
Determine el diagrama de presiones activa y además obtenga la magnitud y posición de lafuerza de_ empuje activa, EAI que produce un relleno de arena limpia sobre la pared
· vertical lisa interna (paramento) de un muro que tiene 5.60 m de altura.
El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3, el
ángulo de fricción interna de 29°, y el nivel de aguas freáticas, N.A.F., es profundo. (Figura 1.1.1)
ARENA LIMPIA 'Ym = 1680 kg/m
3
c=O $= 29°
NAF profundo
Figura 1.1.1
~ .. :. PUNTO" 2 . . \ . -----.li..---_., ______ .p. ................................................... '.:~~
"'Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Propósito:
Calcular el empuje de un relleno puramente friccionante por el método de Rankine. 26
Solución:
Para desarrollar el diagrama de presiones, de forma triangular, en los puntos 1 y 2 se determina la presión aplicada por la fórmula de Rankine:
crA = KAcrv = Ka y z =y z tan2 (45° -Yi\
En el punto 1:
En el punto 2:
crA2 = 1680x5.60xtan2 (45º-29º/2)
= 9 408 x tan2 (30.5 º)
= 9 408 X 0.347
cr Ai = 3 264.3 kg/m2
La fuerza EA se encuentra aplicada a un tercio de la altura:
d =5.60/3
= 1JlZ m (a partir de la base).
fA = Y2 Ka y H2
= 0.5 X 0.347 X 1 680 X 5.62
= -9...14.0 kg por metro de ancho.
También, puede determinarse el empuje considerando el área del diagrama de presiones:
EA = Yi X (O + 3 264.3) X 5.6
= -9...14.0 kg/m. l.
Figura 1.1.2 Paso a desnivel
5.60m
LOSA
Método de Rankine 1
La presión activa sobre el muro se obtiene multiplicando la presión efectiva vertical (peso efectivo del terreno por encima del punto considerado) por el coeficiente de empuje activo. Para dibujar el diagrama de presiones, por ser una envolvente lineal, sólo es necesario dos puntos que por facilidad son: el inicial, donde el peso del terreno ~
vale cero y el punto final. Por otra parte, el valor del empuje es igual al área de presiones.
Terzagui demostró que basta un pequeño movimiento, paralelo o giratorio de la pared del muro, mayor a una milésima parte de su altura para que se alcance la condición de equilibrio plástico, bien sea activo si es hacia fuera o pasivo si lo es hacia adentro.
1
Problema 1.1.2. 1
Determine el diagrama de presiones y el valor del empuje! del suelo, cuando el muro indicado en el Problema 1.1.1 anterior se usará para un paso a desnivel. (Figura 1.1.2) 1
Propósito:
Calcular el empuje de una arena sobre un muro en la condición de estado de reposo.
Solución:
PUNTO 1
\ \ \
\
\ \
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~¡ 2 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte\
¡
Método de Rankine
Solución:
Se aplicará la fórmula:
crA = Ko y z
Ko se obtiene de las tablas, que presentan frecuentemente los libros de texto.
Por otra parte, también se puede obtener por fórmulas, como la de Jaky siguiente:
= 1-sen ~
= 1- 0.48
= 0.52
En el punto 1 :
En el punto 2:
crA2 = 1 680x5.60x0.52
= 4 892 kg/m 2
La fuerza E se encuentra aplicada a un tercio de la altura
d 5.60
=--3
= 1.87 m (a partir de la base).
E = ~ Ko y H2
= 0.5 X 0.52x 1 680 X 5.62
= 13 698 kg por metro de ancho.
PUNTO 1
n 1mcyc
Se hicieron los cálculos en forma semejante al del problema anterior; solamente cambio el coeficiente de empuje que aquí fue el de reposo en lugar del activo.
Obsérvese que el valor de empuje del terreno se incrementó 1.50 veces en comparación con el del problema 1.1.1, en el cual el muro giraba libremente sin restringir su movimiento, como en este ejemplo.
Problema 1.1.3
Determine el diagrama de presión activa y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EA, que produce un relleno de arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 5.60 m de altura. El peso volumétrico seco y saturado de la arena es de 980 kg/m3 y de 1680 kg/m3 respectivamente, el ángulo de fricción interna de 29 °. El nivel de aguas freáticas es profundo. El talud del relleno es de 20°.
Propósito:
Determinar el empuje activo por el método de Rankine cuando el talud superior esta inclinado.
Solución:
Para generar el diagrama de presiones, en los puntos 1 y 2 se aplicarán las fórmulas: crA = KA crv cos p
cos P - (cos2 p - cos2 ~)X
cos p + (cos2 p - cos2 ~)X
~=20º ·----------
ARENA LIMPIA Ym = 1 680 kg/m3
Figura 1 .1 .3
, Yd = 980 kg/m3
\\\ 5.60m
_\ e= O --\\ <I>= 29°
.._ ____ \~_\_J~AF profundo \
roblemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 3
~ 1mcyc
[0.94-(0.942 -0.875 2)]){
= [0.94 + (0.942 -0.875 2 )]X
= 0.46
En el punto 1: _
()Al =·0
En el punto 2 :
En el caso que el suelo se mantuviera seco:
crA = KA y z cos p
crA2 ':= 0.46 X 980 X 5.60x 0.94
crA2 • = 2. 373.0,1 kg/m2
En el caso que el suelo se saturara completamente: ·
CJA2 , = 0.46 X 1680 ~ 5.60 X 0.94
dA2 = 4 068.02 kg/Íll2
El empuje activo, EA, se encuentra aplicado a un tercio de la altura
d 5.60
3
= 1.87 m (a partir de la base).
Se determinara considerando el área del diagrama de pre-· siones:
Para suelo completamente seco:
fA = Y2 X 2 373.01 X 5.6
= 6 644.43 kg/m.I.
Para suelo completamente saturado:
Figura 1.1.4
5.6m
4
= Y2 X 4068.02 X 5.6
= 11 390.46 kg/m.I.
Método de Rankine
En este problema el valor del coeficiente activo Üe:Ranki
ne pcira el casq,d~- un_ té'.11,ud exteri9r :!nclin~do,se o~tiene . por medio de una fórmula sencilla.
. ~ . •.
Problema i.1.4
-",l
Con los mismos datos del Problema 1.1.1: a) calcule la fuer- 1
za de empuje del terreno sobre el muro, si el ~.A.F. se en-1 cuentra localizado superficialmente en ambos' lados del . muro. Además b) calcule la fuerza cuando se abate el nivel j
exterior del agua por efecto de un bombeo. (Fig~ra 1.1.4) \:ll
Propósito: ,,
Analizar la influencia del agua en los empujes. • • ~ •. "'! . '. ;
El empuje total del relleno que actúa sobre el muro es igual a la suma del empuje que producen -las presion~s transmitidas por los granos del suelo mas el empuje ___ que p,rqducen las moléculas de agua sobre el respaldo.
La presión activa o pasiva en -Ún punt~; es igÚal al producto ;
de la presión vertical efectiva por el coeficierité·co~respon~ !1
diente, activo o pasivo. La presión vertical efectiva debe de- il terminarse adecuadamente. Si el.suelo esta parcialmente su- ' mergido debe considerir~e-el p~~o ~oium
1
etrico's~mergido, y' m, en la parte sumergida; y en la zona situada por arriba del nivel piezométrico el pe~o volumétric;p satura~o o seco, considerando su respectivo'grado de h~m~cfad.;_ a) En este problemacambiáel'pesovoluméfritó~a c:·onside- ·
rar en la fórmula; aquí es el sumergido, y' m, por estar el relleno bajo el NAF. Por otro lado, se debe analizar el efecto de
RELLENO DE J\RENA LIMPIA. C=O . <1> ~ 29°--- . ~ (KA= Ó~347)
~ 3 --'-Ym =~-l680~kg/m . .
__ a)N.A.F.sµperficial eJ\ ambo~ lados. b} N-A~~!-e#erior en er~ivel ~e la base y N.A.R interior superficial. ;
. '-~- ... ~, . . '..... : ~ ;· .. ···:~·., .. ,;., ~ ... ~· .:·~'"- .. , ... ···-·"". '·" ~: "'" . ..-'·
Problemas básicosde empUj~s de suelo; sobre estiucluras de sopórte:I
Método de Rankine
las presiones del agua que actúan sobre ambos lados del
muro y que en este caso particular se equilibran.
Solución:
Fórmulas:
E
E
E
= 0.5 X (KA X y' m X H2) + 0.5 X y w X H2
- 0.5 X y w X H2
= 0.5 X 0.347 X (1680 - 1 000) X 5.602
= 3700 kg por metro lineal de muro
b) Si se bombea el agua en el lado de afuera hasta que alcance el nivel de piso, entonces el efecto del agua que presiona
sobre el paramento interior del muro no se equilibra con el del exterior y el empuje ahora valdrá:
E = 0.5 X (KA Y' m H2) + 0.5 X Y w X H2
E = 3 700 + 1 5 680
E = 19 380 kg (por metro lineal de muro).
Comentario: Se puede observar que el empuje se incre
mentó notablemente pues el agua ejerce un fuerte efecto. Así, en estructuras, albercas, almacenamientos subterrá
neos y sótanos con NAF elevado, muelles de reparaciones a flote, entre otros, el caso mas desfavorable del em
puje se presentará cuando se vacie el agua que esta situada en la oarte exterior del muro y relleno.
ARENA C=O <t>=30°
o 1mcyc
Problema 1.1.5
Determine el empuje activo, EM de un relleno de arena limpia con superficie horizontal que actúa sobre el paramento vertical liso de un muro de mampostería de 6 m de altura. El N.A.F. esta profundo y el ángulo de fricción interna de la
arena es de 36°. y = 1.9 ton/m3•
Solución:
Se aplicará la formula:
= 0.5 X KA X y X H2
= tan2(45° - 36°/2);
KA = 0.26
= 0.5 X 0.26 X 1.9 X 62 ¡
EA = 8.89 ton (por metró lineal de muro)
Problema 1.1.6
Calcule los empujes activo y pasivo por el método de Rankine de un muro de 11 metros de altura, desplantado a 2 metros de profundidad, como se muestra en la figura. El relleno en ambos lados es una arena limpia con un ángulo de fricción interna de 30°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.9 ton/m3
• El N.A.F. se encuentra profundo. (Figura 1.1.6)
Propósito.·
Determinar el empuje por el método de Rankine en un muro con relleno friccionante y respaldo inclinado utilizando un artificio.
ZONA QUE SE CONSIDERA PARTE DEL MUR
-·--
Figura 1.1.6
'Ym = 1.90 ton/m3 -------..-·---llm
H'
'= 11.95 m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 5
\) 1mcyc
Solución:
Para aplicar el método de Rankine se utilizará el siguiente esquema: considerara que la zona del relleno comprendida
en el triángulo a, by c forma parte del muro (tal como se indica en la figura pequeña). Una vez hecho esto podrá aplicar las fórmulas correspondientes.
Fórmulas:
Caso activo para empuje horizontal:
EAH = * y H2 Ka cos (3;
Para empuje vertical:
EAv = * y H2 Ka sen (3;
cos f3 - ~ cos2 f3 - cos2 $
cos f3 + ~ cos2 f3 - cos2 $
= 0.44
Caso pasivo para empuje horizontal:
EPH = * y H2 Kp cos f3
Para empuje vertical:
EPH = * y H2 KP sen f3
cos f3 + ~ cos2 f3 - cos2 $ =
cos f3 - ~ cos2 f3 - cos2 $
=2.27
EAH = 0.5 X 1.90X11.952 X 0.44 X COS 20°
Figura 1.1.7.1
10.30m
6
Método de Rankine
== .5..6Jl2 ton por metro ancho.
EAV = 0.5 X 1.90 X 11.952 X 0.44 X sen 20°
= .2ila.42 ton/m.I.
EPH = 0.5 X 1.90 X 22 X 2.27 X COS 20°
= .8..J1 ton/m. l.
Para la resolución de este problema se utilizó el artificio de considerar una parte del relleno adyacente como si formara parte del muro, ya que para aplicar Rankine el respaldo del muro debe ser vertical. Esta forma de proceder da un resultado suficientemente aproximado.
Problema 1.1.7 Determine el diagrama de presiones activas y obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EAI que produce un relleno de arcilla sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 10.30 m de altura. El peso vovolumétrico de la arcilla es de 1900 kg/m3
, la cohesión de 1.7 ton/m2 y el ángulo de fricción interna es nulo. El nivel de aguas freáticas está profundo. (Figura 1.1.7.1)
Propósito:
Calcular el empuje de un relleno puramente cohesivo por el método de Rankine.
Solución:
En los puntos 1 y 2 se aplica la fórmula:
3.40 ton/m2
PUNTO 1
ARCILLA 'Ym = 1900 kg/m3
e = l. 7 ton/m2
<I> = oº NAF profundo
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine
Para el cálculo de la profundidad de agrietamiento:
2c z == -
y
En el punto 1: El esfuerzo es negativo lo que indica que el re
lleno de arcilla esta trabajando a tensión
.a:Al == O - 2 x 1 . 7 == :....3..A.ll ton/m2
En el punto 2:
.O:Al == 1 . 90 X 10.30 - 2 X 1 .7
crAl == 16.17 ton/m2
La profundidad del agrietamiento es:_
2 X 1.7 z =~
z == 1.79 m
El diagrama de esfuerzos se presenta en la figura 1.7.1 anterior.
d (1030 -1.79)
= 3
== 2.84 i
(1030-1.79)16.1 7
2
== .6..8.Jlil ton/m.I.
El cálculo, por el método de Rankine de muros con relle
nos puramente cohesivos se realiza en forma similar al de
los rellenos granulares, en el desarrollo de esta solución
sólo cambian las fórmulas utilizadas.
En estos problemas frecuentemente se obtienen en la
~ 1mcyc
gativos correspondientes a esfuerzos de tensión. Estos es
fuerzos en general se desprecian, pues se considera que
el suelo prácticamente no trabaja a tensión.
Observaciones realizadas tanto en el laboratorio como
en el campo en rellenos con suelos cohesivos señalan que los empujes obtenidos por el método de Rankine di
fieren de los reales del lado de la inseguridad .
Problema 1.1.8
Determine el diagrama de presiones activas y obtenga la magnitud y posición de la fuerza d~ empuje activa, EA, que produce un relleno de arena limosa sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 4.50 m de altura. El peso volumétrico de la arena limosa es de 1600 kg/m3
, la cohesión de 1.5 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 19º. Con un nivel de aguas freáticas profundo. (figura 1.1.8.1)
Propósito.·
Calcular el empuje de un relleno con cohesión y fricción por el método de Rankine.
Solución:
En los puntos 1 y 2 se aplica la fórmula:
=a, tan' ( 45º -~)-2c tan' ( 45º -~)
( 19º) == tan2 45º -2
zona superior de los diagramas de presiones valores ne aot-
PUNTO 1
t
4.SOm
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
ARENA LIMOSA Ym = 1600 kg/m3
e = 1.5 ton/m2
~= 19° NAF profundo
Figura 1.1.8.1
7
o 1mcyc
Para el cálculo de la profundidad de agrietamiento:
2cJK: z =---
y
En el punto 1: El esfuerzo obtenido es negativ9 lo que nos indica que esta trabajando a tensión.
o:Al = o - 2 x 1.5 x o.51 112
= - 2.14 kg/ml
En el punto 2.
O:az = 1.60 X 4.50 X 0.51 - 2 X 1.5 X 0.51 1'2
= + 1.53 kg/ml
La profundidad que alcanza el agrietamiento vale:
Z = 2 X 1.5 X (0.51 112 X 1.90)
= 1...13..m
Si se considera que el suelo prácticamente no trabaja a tensión o que esta es muy pequeña, por lo que se acostumbra despreciar este efecto.
La fuerza fase encuentra aplicada a un tercio de la altura del diagrama de esfuerzos a compresión.
EA = (4.50 - 1.13) X 1.53/2
= 2.57 ton/m.I.
d = (4.50 -1.13)/3
d = 1.12 m (a partir de la base).
Método de Rankine
El cálculo por el método de Rankine de muros con rellenos que presentan cohesión y fricción se hace en forma similar al de los rellenos granulares; sólo que en el desarrollo de la solución cambian las fórmulas utilizadas.
En estos problemas frecuentemente se obtienen en la zona superior valores negativos correspondientes a esfuerzos de tensión. Estos esfuerzos se desprecian, pues se considera que el suelo no trabaja a tensión.
Problema 1.1.9
Dibuje el diagrama de presiones activa que produce una arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 4.00 m de altura. La sobrecarga es de 3 ton/m2
• El peso volumétrico de la masa es de 1650 kg/m3
, la cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 35 °. Para los casos siguientes:
O Con un NAF, profundo, y
O Con un NAF, superficial.
Propósito:
Calcular por el método de Rankine el efecto de una carga externa uniformemente repartida en un relleno puramente friccionante; cuando el nivel de las aguas freáticas está alto y cuando está profundo. (Figura 1.1.9.1)
Se aplica la fórmula:
Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión del agua + Presión horizontal causada por la sobrecarga.
Solución:
Las fórmulas aplicables para cada parte son las utilizadas an
teriormente para los suelos puramente friccionantes y para
SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Figura 1.1.9.1 PUNTOl~ q
4.00m
8
--PUNT02
ARENA 'Ym = 1650 k~m3
e= O ton/m <t> = 35° q =3 ton/m2
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine
los casos en el que actúa el agua estáticamente, sólo queda
ría utilizar la correspondiente a la de la sobrecarga para suelos friccionantes:
En este caso se considera que la arena esta completamente saturada de agua el lugar de seca lo que da una condición mas desfavorable.
Para la sobrecarga se aplica:
crq = KA q
(Obsérvese que el valor del esfuerzo no depende de la profundidad, solamente del ángulo·de fricción interna y de la intensidad de la sobrecarga).
q = Carga uniformemente repartida.
= tan+s 0 -t} = 0.27
= 0.27 X 3
= .o.Jll ton/m2 constante en toda la profundidad.
Caso a) El NAF es profundo:
Presión debida al relleno:
En el punto 1,
=0
En el punto 2,
= 0.27 X 1.65 X 4
= 1 . 782 ton/m2
Presión debida a la sobrecarga:
!I.a; = 0.81 ton/ml...&
o 1mcyc
La presión debida al agua es nula, ya que el NAF esta profundo. (Figura 1.1.9.2)
El efecto sobre un muro de una sobrecarga colocada enci
de un relleno puramente friccionante es una presión horizontal constante, en toda la profundidad, que vale
cr<l = KA q.
Caso b) El NAF esta superficial.
Presión debida al relleno:
En el punto 1,
=0
En el punto 2,
= KAy, H
= 0.27 X (1.65-1) X 4
= 0.702 ton/m2•
El peso volumetrico considerado es el sumergido,
y = Ym -1
Presión debida a la sobrecarga:
Relleno + Sobrecarga = Presión total Figura 1.1.9.2 Diagrama de presiones. 0.81 0.81
=
+- t.78 ___. +- 0.81. ._ 2.59 ton/m2 ___.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 9
o Método de Rankine
1mcyc
Figura 1.1.9.3 Diagrama de presiones: Relleno + Sobrecarga + Agua = Presión total
~0.70_.,
= 0.81 ton/m2 •
Presión debida al agua:
En el punto 1,
En el punto 2,
= Yw H
=1x4
= 4 ton/m2
En este ejemplo se observa que la profundidad del NAF
no influye en la magnitud de la presión horizontal en el
muro causada por la sobrecarga, aunque se incrementa
notablemente la presión total.
Problema 1.1.10
Dibuje el diagrama de presiones activas que produce un limo arenoso sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 5.00 m de altura. La sobrecarga es de 4 ton/m2
• El peso volumétrico de la masa es de 1850 kg/m3, la
cohesión es de 2 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 15 °. Para los casos siguientes:
10
a Cuando el NAF I es profundo.
O Cuando el NAF, es superficial.
0.81 0.81
+
.-0.81 + ~4.oo--. .----5.51 ton/m2 _.,
Propósito:
Calcular el efecto de una carga externa uniformemente repartida por el método de Rankine en un relleno con cohesión y fricción, cuando el nivel de las aguas freaticas esta alto y cuando esta profundo. (Figura 1. 1. 1O.1)
Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión
del agua + Presión de la sobrecarga
La fórmula para calcular el efecto de la sobrecarga en estos
suelos es:
Donde:
q =Carga uniformemente repartida.
= tan' ( 45º -~)
= 0.59
crq =0.59 X 4
= 2.36 ton/m2
Obsérvese que el empuje causado por la sobrecarga, crq, es
constante en toda la profundidad y no es función de esta; de
pende solamente del ángulo de fricción interna y de la inten
sidad de la sobrecarga.
Caso a) El NAF esta profundo:
Presión debida al rellena:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine
5.00m
En el punto 1,
= KA y H - 2 e KA 112
= 0 - 2 X 2 X 0.77
= - 3.08 ton/m2
En el punto 2,
= 0.59 X 1.85 X 5 - 3.08
= + 2.38 ton/m2
Presión debida a la sobrecarga:
Relleno +
-3.08
._2.38•
o 1mcyc
Figura 1. l.10.1 SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
PUNTO 1 ! ! ! ! ! q
PUNT02
LIMO ARENOSO 'Ym = 1850 k~m3
c=2ton/m $= 15° q =4 ton/m2
= 2.36 ton/m2 •
La presión debida al agua es nula, pues el NAF es profundo. El diagrama de presiones resultantes se muestra en la figura 1.10.1.2.
Caso b) Cuando el NAF está superficial.
Presión debida al relleno:
En el punto 1:
= - 3.08
Sobrecarga = Presión total Figura 1.10.1.2.
+2.36 -0.72
=
._2.36• .__4,74 ton/m2 ---+-
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 11
() 1mcyc
Figura 1.1.10.3. Diagrama de presiones
En el punto 2:
= 0.59 X (1.85- 1) X 5 - 3.08
crA = -0.57ton/m2•
Relleno + -3.08
-0.57
El peso volumétrico considerado es el sumergido, y'.
Presión debida a la sobrecarga:
crq = 2.36 ton/m2 •
Presión debida al agua:
En el punto 1,
(JA = 0
En el punto 2,
=1x5
= 5 ton/m2
+
El diagrama de presiones resultantes se muestra en la figura 1.1.10.3.
Problema 1.1.11
Dibuje el diagrama de presiones activas que produce la arcilla sobre la pared vertical lisa interna de un muro que tiene 6.00 m de altura. Una sobrecarga de 2.50 ton/m2
• El peso volumétrico de la masa es de 1900 kg/m3
, la cohesión de 2.5 ton/m2 y el ángulo de fricción interna es nulo. El nivel de aguas freáticas está profundo.
Método de Rankine
Sobrecarga + Agua Presión total
+2.36 -0.72
+ =
+-2.36• +--s.oo--+ +- 6.79 ton/m2 -+
Propósito:
Calcular el efecto de una carga externa uniformemente repartida por el método de Rankine en un relleno puramente cohesivo.
Presión total = Presión efectiva del terreno + Presión del agua + Presión de la sobrecarga
La fórmula aplicable para calcular el efecto de la sobrecarga¡\ en estos estos suelos es:
=q
= Presión horizontal sobre el muro debida a la CJq
sobrecarga. 1
Obsérvese que en este caso el coeficiente de empuje horizontal K es uno y la presión no depende de la profundidad,¡ solamente de la intensidad de la sobrecarga uniformemente repartida, q.
= 1x 2.5
= 2.50 ton/m2, l l
Presión horizontal constante en toda la profundidad.(Figura 1
1.1.11.1) 1
1
Presión debida al relleno :
En el punto 1,
=yH-2c
= 0 - 2 X 2.5
= - 5.00 ton/m 2
En el punto 2,
CJA = 1.90 X 5 - 5.00
12 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine o 1mcyc
SOBRE CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA Figura 1.1.11.1
5.00m
UNT02
ARCILLA 3 'Ym = 1900 kg/m
2 e= 2.5 ton/m <!> = oº
2 q = 3.5 ton/m
Relleno + Sobrecarga Presión total
-5.00 +2.50 -2.50
=
+-2.5o•
= + 4.50 ton/m2
Presión debida a la sobrecarga:
= 2.50 ton/m2 •
La presión debida al agua es nula, ya que el NAF está profundo. (Figura 1.1.11.2)
El efecto de una sobrecarga en un relleno puramente
cohesivo es una presión constante en toda la profundidad y vale sq = q, por lo que es considerable su efecto sobre
el muro ya que para este caso K = 1.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
+-1.00 ton/m2 •
Problema 1.1.12
Figura 1.1.11.2 Diagrama de presiones.
Determine la magnitud de la presión activa sobre un muro de 1 O m de altura que ejerce un relleno de arena sobre la pared lisa interna de un muro en un punto situado a 6.80 m de profundidad a partir de la corona. La arena limpia tiene
un peso volumétrico seco deyd = 820 kg/ m3, peso volumé
trico totalmente saturado Ym = 1 980 kg/m3 y un ángulo de
fricción interna~ = 35 °. Las condiciones a la que estará sujeto el muro son:
O Caso a) El N.A.F. esta profundo.
13
\) 1mcyc
O Caso b) El N.A.F. se encuentra a dos metros de profundidad abajo de la corona, en ambos lados del muro.
O Caso c) El N.A.F. se situa a dos metros de prQfundidad abajo de la corona, únicamente del lado del relleno. En el otro lado este nivel está por abajo del desplante del muro.
Propósito:
Determinar la variación de la presión activa en un punto de contacto del muro con el relleno para diferentes posiciones del NAF.
Caso a)
N.A.F. profundo.
crA = yd x Z x KA
( 35ºJ KA = tan2 45º --
2-
= 0.27
crA = 820 X 6.80 X 0.27
qA = 1 505.5 kg/m2
Caso b)
N.A.F. a dos metros de profundidad de la corona en ambos lados
Nota: Cuando la arena se encuentre bajo el NAF, se debe considerar el peso sumergido al aplicar la formula correspondiente.
El peso sumergido es:
y'm = Ym - 1000
= 1980-1000
= 980 kg/m3
El esfuerzo efectivo vertical total en la profundidad considerada es igual a la suma de los pesos de la parte seca superior más los pesos correspondientes a la parte sumergida inferior.
Parte seca (O - 2 m de profundidad)
= 2 X 820
= 1 640 kg/m2
Parte sumergida (2 - 6.80 m)
14
= 4.80 X 980
= 4 704 kg/m2
= 6344 kg/m2
Método de Rankine
La presión sobre el muro es
= 0.27 X 6 344 :
.O:A = -1 712.9 kg/m2
Caso c)
El N.A.F. a dos metros de profundidad abajo de la corona solo del lado del relleno. El empuje total será igual al empuje del suelo en condición sumergida mas el empuje del agua. Se utiliza la Ley de las Presiones de Terzaghi:
crTOTAL = cr, EFECTIVA + U
= 1 712.9 + 4 800
.O:A = 6 512.9 kg/m2
El efecto de la posición del nivel freático en la presión total es considerable. Obsérvese que a mayor profundidad del nivel de agua es apreciablemente menor el empuje total sobre el muro, con respecto al caso del NAF superficial.
Problema 1.1.13. Un muro con paramento vertical liso en su interior sostiene el empuje activo de diferentes terrenos. Calcule el empuje por metro lineal de muro en los casos siguientes:
I.- RELLENO DE ARENA:
a) D = profundo. (Des la profundidad del N.A.F.)
b) D = 1.00 m
Cohesión c = O ;
Ángulo de fricción interna~ = 30°
II.- RELLENO DE ARCILLA:
a) D = profundo.
b) D = 1.00 m
Cohesión e = 2 ton/m2
Ángulo de fricción interna ~ = O
III.- RELLENO DE LIMO ARENOSO:
a) D = profundo.
b) D = 1.00 m
Cohesión e = 2 ton/m2 ;
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine \)
1mcyc
SOBRECARGA q = 2 ton/m2
RELLENO
"{m 1.6 ton/m3
Ángulo de fricción interna <!> = 30°
Propósito:
Verificar la variación de los empujes por el método de Rankine cuando cambia el tipo de terreno y la posición de NAF. (Figura 1. 1.13. 1)
Caso 1.a. Relleno de arena con NAF profundo.
Se utilizarán las fórmulas:
crA = KAyh
Como en este problema se considera que la parte superior se encuentra seca, se aplicara en los cálculos el peso volumé
trico seco, yd.
crq = KA q , Donde q es la sobrecarga.
Suelo + Sobrecarga =
o 2 X 0.33
~ 3.33
2.50m
0.33 X 1.6 X 5 = 2.64 2 X 0.33 = 0.66
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 1.1.13.1
N.A.F.
5m
Para calcular la posición de la resultante se determinaran las áreas particulares de los diagramas y se multiplicaran por su
brazo de palanca correspondiente, para después dividir la suma de los momentos entre el valor de la resultante. (Figura 1.1.13.2)
Elemento Área Distancia Momento (ton) (m) (ton-m)·
Suelo 6.67 5/3 = 1.67 11.13
Sobrecarga 0.33 X 2.0 X 5 ... 3.33 512 - 2.50 8.25
EA "' 10.00 ton M-19.38 ton-m
d - M/EA d .. 19.38/10 d = 19~ rn
Caso 1 b. Profundidad del NAF a un metro.
Presión total
0.66
10.0 ton
1.94m
Figura 1.1.13 .. 2 Diagrama de presiones para el caso 1 a.
2.64 + 0.66 = 3.30 ton/m2
15
o 1mcyc
Se eligen para el análisis tres puntos del punto 2 y se calcu
lan las presiones por las fórmulas (Figura 1.1.13.c):
crs = KA X (y m hl + Y, m h2 ) Presión del suelo.
crq =KA X q Presión de la sobrecarga.
crw = Yw X h. Presión del agua.
Punto Suelo Sobrecarga Agua Total
(ton/m2) (ton/m2
) (ton/m2) (ton/m2
)
1 o 0.33 X 2 - 0.66 o 0.66
2 0.33x1 .6 x1 = 0.53 0.67 o 1.20
3 0.33(1.6 + 0.6 X 4) - 1.33 0.67 4.00 6.00
Para el cálculo del empuje total, E y de su posición se puede
subdividir el diagrama en varias áreas menores y calcular el
empuje, Ei, correspondiente a cada una y a su respectiva po
sición, di. Al tomar momentos con respecto a la base se tiene
que:
= SUMA DE LAS ÁREAS
~ (~ X dn) POSICIÓN, d, igual a L.J E
T
= 14.85 ton por unidad de ancho ;
= 1.77 m
11.a. Relleno de arcilla, con N.A.F. profundo.
Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobre
carga.
Se considerará el suelo completamente saturado por las llu
vias.
Método de Rankine
crs = (ymx z) - 2 e Presión activa del
suelo cohesivo.
crq =KA X q (KA = 1) Presión de
la sobrecarga.
Punto Suelo Sobrecarga Total
(ton/m2) (ton/m2
) (ton/m2)
-2 X 2 = - 4.00 2 X 1 = 2.00 - 2.00 tensión
2 1 .6 X 5 - 2 X 2 = 4 2.00 + 6.00 com(:!resión
Nota: Como el suelo prácticamente no trabaja a tensión se
desprecia el esfuerzo presente en la zona superior.
La profundidad del agrietamiento, z, se puede obtener por
una simple regla de tres
2.00 6.00 z = (H-z) por lo que
H z =-
2
Profundidad del agrietamiento
z = 1.25 m
E =ÁREA
125 = 6x-
2
Posición d, igual a un tercio de (H - z)
E
d
= 3.75 ton por unidad de ancho:
= 1.25 m
11.b. Relleno de arcilla con nivel piezométrico alto.
Suelo+ Sobrecarga + Agua = Presión total
16
Figura 1.1.13.c Diagrama de presiones para el caso 1 b.
1.33 ton/m2 0.67
-1
2
3
4.00 0.67 + 1.33 + 4.00 + 6.00 ton/m2
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine o 1mcyc
Suelo -4.00
+ Sobrecarga +2.00
Presión total -2.00
tensión z
(+)
zona de tensión que se desprecia
(+)
diagrama de presiones finales
Diagrama de presiones para el caso 11.a.
+ 4.0 ton/m2 +2.00 + 6.00 + 6.00
Presión total = Presión del suelo + Presión del agua + Presión de la sobrecarga.
Se eligen para el análisis tres puntos y se calculan las presio
nes por las fórmulas:
Punto
2
3
= (ym z) - 2 e Presión activa del suelo.
= KA q (KA= 1) Presión de la sobrecarga.
= Yw h. Presión del agua.
Suelo Sobre-
Agua Total (ton/m2
) carga
(ton/m2) (ton/m2
) (ton/m2
)
-4.0 +2.0 o -2.00
1.6 X 1 - 4.0 = - 2.4 +2.0 o -0.40
1.6 X 5 - 2 X 2 = 4.0 +2.0 5.0 + 11.00
Suelo -4.0
+ Sobrecarga + Agua + 2.0 o
tensión
zona de ( +}
+4 ton/m2 +2.00 + 5.00
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
En el punto 2, el diagrama de presiones del suelo cambia de
pendiente al variar el peso volumétrico totalmente saturado
a un peso volumétrico sumergido.
La profundidad del agrietamiento se obtiene con base en
cálculos o gráficamente, para este caso la profundidad del
agrietamiento, z, fue de:
z = 1.25 m
El empuje E igual al área a compresión igual a:
E
d
3.75 = 11 x-2
= 20.63 ton por m.I.
= 1.25 m
111.a. Relleno de limo arenoso, con N.A.F profundo.
Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobre
carga.
= Total - 2.0
+
+ 11.00
Diagrama de presiones para el caso 11.b.
17
o Método de Rankine
1mcyc
Suelo -2.30
+ Sobrecarga = Presión total +0.66
Diagrama de presiones para el caso 111.a.
+ 0.34 ton/m2
Se eligen para el análisis dos puntos y se calculan las presiones correspondientes por las fórmulas:
Punto Suelo
- 2 X 2 X 0.57 = - 2.30
2 0.33x X1 .6 x 5 - 2.30 = + 1.70
Empuje activo del suelo.
Empuje de la sobrecarga.
Sobrecarga Total
(ton/m2)
0.33 X 2.0 = + 0.66 - 1.64 tensión
+ 0.66 + 1.00 com~.
Notas: Como el suelo prácticamente no trabaja a tensión se desprecia este esfuerzo presente en la zona superior.
La profundidad del agrietamiento, Z, se puede obtener por una simple regla de tres.
(+)
- 1.64
l zona de
z tensión que se desprecia
( +).
+0.66 + 1.00
0.64 1.00 Z = (H-z) por lo que
z = 0.562 H
Profundidad del agrietamiento
z =2.81 m
E =ÁREA
2.19 = 1x-
2
Posición d igual a un tercio de (H .. z)
diagrama de presiones finales
+ 1.00
E = 1.1 ton por unidad de ancho;
d = 0.73 m
111.b. Relleno de limo-arenoso, con N.A.F. superficial.
Presión total = Presión del suelo + Presión de la sobrecarga + Presión del agua.
Suelo + -2.30
Sobrecarga + Agua
+0.66
= Total
18
Diagrama de presiones para el caso 111.b.
- 0.98
1
(+)
3
+0.66
1.0m 1.91
+4.00 +3.68
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine
Empuje activo del suelo.
Empuje de la sobrecarga.
Punto Suelo Sobre-carga
-2.30 2 X 0.33 - + 0.66
2 1.6 X 1 X 0.33 • 2.30 - • 1.77 + 0.66
3 0.53 + 0.6 X 4 X 0.33 • 2.3 - -0.96 + 0.66
Profundidad del agrietamiento
z E
= 1.91 m
= ÁREA DE PRESIONES
3.09 = 3.68 x2
Posición d, igual a un tercio de 3.09 m
Empuje del agua
Agua Total
ton/m2
o - 1.64
o -1.11
+4 + 3.68
E = 5.69 ton por unidad de ancho;
d = 1.03 m
RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO: Para cada tipo de suelo se descompone la presión total en: presión debida al empuje horizontal efectivo del suelo, mas la presión de las sobrecargas, mas la presión del agua. Para cada una de estas presiones, dependiendo del tipo de suelo, se usan las fórmulas de los empujes con los pesos volumétricos correspondientes. Se dibujan las presiones debidas a cada una de estas acciones y finalmente se integran en el diagrama final. El empuje total se puede obtener con el área de las presiones y la posición del empuje aplicando el teorema de Varignon, que dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes.
Figura 1.1.14.a
1.smt 4m
3m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
Problema 1.1.14.
Un muro con paramento interior liso sostiene el empuje activo de diferentes terrenos, como se muestra en la figura 1.1.14.a Dibuje los diagramas de presiones, utilizando el criterio de Rankine, en los siguientes casos:
Caso a)
Estrato A:
Arena limpia: f = 30°; c = O
Peso volumétrico seco:
= 1.1 ton/m3•
= 1.9 ton/m3
Fórmulas aplicables
crq = KA x q
Estrato B:
Arcilla:~ = 0°; c = 1.5 ton/m2
Peso volumétrico seco:
yd = 1.05ton/m3•
Ym = 1.8 ton/m3
Fórmulas aplicables
crq = q
Caso b)
Estrato A: Arcilla
Estrato B: Arena limpia
Caso c)
SOBRECARGA
Posición del N .A.F.
ESTRATO A
ESTRATOB
19
o 1mcyc
· Estrato A:
Arena limosa:~ = 20º; c = 1.5 ton/m2
Peso volumétrico seco:
= 0.90 ton/m3;
= 1.7 ton/m3
Fórmulas aplicables
Estrato B: Arena limpia.
Caso d)
Estrato A:
Limo:~ = 0°; c = 1.5 ton/m2
Peso volumétrico seco
y d = 0.80 ton/m3;
Ym = 1.6 ton/m3
Fórmulas aplicables
crq = q
Estrato B: Arena limosa
Donde:
cr A = Presión activa del suelo.
crq = Presión sobre el muro debido a la sobrecarga q.
crw = Presión debida al agua
crv = Presión vertical del suelo sobre el punto con-siderado.
Propósito:
Calcular y dibujar el diagrama de presiones de un muro que soporta dos estratos de diferentes suelos, utilizando el criterio de Rankine.
En este caso, en el cálculo de los pesos de la arena se despreciara la saturación por el efecto mínimo de la capilaridad; arriba del NAF se considerara el peso volumétrico seco. En cambio, en los suelos con cohesión se tomará en cuenta el efecto de capilaridad que es apr~ciable; como consecuencia para este caso se considerara el peso volumétrico del suelo completamente saturado,ym, (en caso necesario se puede calcular la altura capilar). Para el suelo sumergido se
20
Método de Rankine
considerara, y'm .. En todo caso deberán considerarse los pesos volumétricos reales que causen el mayor empuje.
Caso a) Arena y arcilla.
Solución:
En el método de Rankine conviene trabajar sólo con los puntos que son indispensables para el análisis en general, estos son:
O Principio y final 2 puntos
O Cambio de estrato 2 puntos (uno para el superior y otro para el inferior)
O Posición del N.A.F. 1 punto
Para este ejemplo analizaremos cinco puntos, tal como se indica en la anterior Figura 1.1.14.a .
Cálculo de las presiones activas según Rankine gara el Caso a
Estrato Punto Suelo Sobrecarga Agua Total
ton/m 2
Arena o 0.33 X 1.5 - 0.5 o +o.so Arena 2 0.33 X 1.5 X 1.9 - 0.95 0.5 o + 1.45
Arena 3 0.33(1.5 X 1.9 + 2.5 X 0.9) 0.5 2.5 + 4.70 - 1.70
Arcilla 4 (1.5 X 1.9 + 2.5 X .9) - 2 X 1.5 2.5 + 6.10 1.5 - 2.1
Arcilla 5 (1.5 X 1.9 + 2.5 X .9 1.5 5.5 + 11.50 + 3x.8l- 2xl.5 - 4.5
Caso b) Arcilla y arena.
Cálculo de las presiones activas según Rankine ~ara el Caso b
Estrato Punto Suelo Sobrecarga Agua Total
ton/m 2
Arcilla -2 X 1.5 - - 3.0 + 1.5 o -1.50
Arcilla 2 1.5 X 1.8 - 2 X 1.5 - - 0.30 + 1.5 o + 1.20
Arcilla 3 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8) - 3 + 1.5 + 2.5 + 5.70 - + 1.70
Arena 4 0.33 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8) + 0.5 + 2.5 + 4.55 - + 1.55
Arena 5 0.33 (1.5 X 1.8 + 2.5 X 0.8 + 0.5 + 5.5 + 8.44 + 3 X 0.9) - + 2.44
Nota:
El empuje debido a la sobrecarga q en el estrato de arcilla puede ser cuantioso, según el criterio de Rankine, ya que el coeficiente K = 1.
El diagrama de presiones en la figura siguiente, muestra como se desprecian los esfuerzos de tensión calculados en el diagrama final. (Figura 1.1.14.c)
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine
SUELO + o
SUELO + -3.00
SOBRECARGA + AGUA = PRESIÓN ACTIVA TOTAL +0.5 +0.5
+ 1.50
+ 1.50
SOBRECARGA+ AGUA PRESIÓN ACTIVA TOTAL + 1.50 - 1.50
SUELO + SOBRECARGA +AGUA = PRESIÓN ACTIVA TOTAL - 2.10 + 0.74 ( - 1.36)
o
+2.33 +o.so
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
ZONA QUE SE DESPRECIA
+8.33
o 1mcyc
Figura. 1.1.14.b Diagrama de presiones para el Caso a)
Figura 1.1.14.c Diagramas de presiones para el caso b).
Figura 1.1.14.d. Diagrama de presiones para el caso e).
21
~ 1mcyc
Caso c) Arena limosa y arcilla.
Estrato Punto Suelo se Agua Total
Arena- 0-2 X 1.5 X 0.70 • • 2.1 0.49x 1.5 o -1.36 limosa
Arena- 2 0.49x 1.5x 1.7-2.1 --0.85 + 0.74 o - 0.11 limosa
Arena- 3 0.49 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.74 + 2.5 + 3.24 limosa 0.7). 2.1 - o
Arena 4 0.33 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.5 + 2.5 + 4.42 0.7) - + 1.42
Arena 5 0.33 X (1.5 X 1.7 + 2.5 X + 0.5 + 5.5 + 8.31 0.7 + 3 X 0.9) • + 2.31
RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO: Para el cálculo de las
presiones se eligió el menor número posible de puntos de análisis. Posteriormente se definieron las fórmulas correspondientes a cada tipo de suelo. También se considero el peso volumétrico correspondiente en cada parte. Finalmente de forma ordenada se calcularon individualmente las gráficas para efectos del suelo, el agua y la sobrecarga para sumarlas e integrarlas en una gráfica final.
Problema 1.1.15
Un muro de 9 m de altura y paramento interior vertical y liso sostiene el empuje activo que ejerce el terreno compuesto por tres estratos según se indica en la ilustración. Dibuje el diagrama de presiones activas.
Propósito:
Dibujar el diagrama de presiones activas que induce un suelo compuesto por tres estratos sobre un muro, utilizando el criterio de Rankine.
Método de Rankine
Solución:
En el método de Rankine conviene trabajar con el menor número posible de puntos, solo los indispensables para hacer el dibujo completo del diagrama de presiones, en general, estos son:
O Principio y final 2 puntos
a Cambio de estrato (2 X 2 *) 4 puntos *{uno para el superior y otro para el inferior)
O Posición del N.A.F. 1 punto
En este ejempo analizaremos siete puntos, tal como se indica a continuación, {Figura 1.1.14.e).
A ªas= KA xav ªaq =KA xav ªw=YwXh Fórmulas
aplicables B ªas= ªV - 2c ªaq = q ªw=YwXh
0.5 c a as = KA ªV - 2c x (KA ) ªaq =KA xav ªw=YwXh
Cálculo de las ~resiones activas según Rankine
Estrato Punto Suelo Sobrecarga Agua Total
ton/m 2
A o + 0.83 o +0.83
A 2 0.33 X 1.1 X 2 • + 0.73 + 0.83 o + 1.56
A 3 0.33(1.lx2 + 0.9x2) - + + 0.83 + 2.0 + 4.15 1.32
B 4 (1.lx2+0.9x2)·2x1.5 - + 2.5 +2.0 + 5.50 + 1.00
B 5 (1. lx2 + 0.9x2 + O.Bx3) + 2.5 + 5.0 + 10.90 - 2 xl.5 - + 3.40
SOBRECARGA 2
q = 2.5 ton/m
Figura 1.1.14.e ! ! ! ! ! ! ! ! . ~
2m [
• r N.A.F. ARENA LIMPIA; e= O , <j> = 3pº • 'Vd = 1.1 ton/m
4m 3 "fm = 1.9 ton/m
3 • 4 • ARCILLA; e= 1.5 ton/m2
, <j> =Oº 3
3m "fd = 1.0 ton/m 3
"fm = 1.8 ton/m 5 ... 6 • •
LIMO; e = l. O ton/m2 , <l> = 25°
2m 3 3 7 • "fd = 1.05 ton/m, "fm = 1.7 ton/m
22 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine ~
1mcyc
SUELO + SOBRECARGA + AGUA o +0.83
PRESIÓN ACTIVA TOTAL +0.83 Figura 1.1.14.f
+2.5
.41
e 6 .406(1.1 x2 +0.9x2 + 0.8x3)· + 0.41 + 5.0 + 6.73 2xlx0.406
o.s- -1.32
e 7 .406(1.1x2 +0.9x2+0.8x3. + 0.41 + 7.0 + 9.30 7x2) •
o.s- +1.89 2xlx0.406
Véase la figura 1.1.14.f
Nota: Se desprecio el efecto de la elevación del agua capilar
en el estrato de arena superior, por conocer de antemano
que es escaso.
Problema 1.1.16
Calcule el efecto de una sobrecarga lineal paralela a la corona del muro de 3 toneladas por metro lineal, ubicada a 2 metros de distancia de ésta, para el muro indicado en el problema 1.
Caso a) Utilice el criterio empírico de Terzaghi y Peck.
Caso b) Usar el criterio teórico de Terzaghi.
Propósito:
Calcular el efecto de una sobrecarga lineal sobre el relleno de un muro, utilizando los criterios empírico de Terzaghi y Peck y Terzaghi.( Figura 1.1.16.a)
Solución:
a) Procedimiento empírico propuesto por Terzaghi y Peck para calcular la carga lineal.
Considere que el empuje de la sobrecarga se encuentra apli
caao en la intersección del paramento del muro con una lí-
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
nea que parte del punto de aplicación de la carga y tiene un
ángulo de inclinación igual a 40°.
Se aplicarán las fórmulas:
Empuje debido al efecto de la sobrecarga:
Eq = Ka q
= 0.347 X 3.0;
Eq - 1.04 ton
Distancia del punto de aplicación con respecto a la corona,
dq = x x tan 40 ° dq
= 2 x tan 40°
dq = 1.68 ro
b) Criterio teórico propuesto por Terzaghi (1954).
Se aplicará la fórmula propuesta por Terzaghi que se indica
en la figuras 1.1.16.b y 1.1.16.c según sea el caso a conside
rar.
Para este problema
2.0 m
5.6
= 0.36~0.4.
Por lo que:
0.203q n
crh= H (0.16 +n2 ) 2
Para facilitar los cálculos se utilizará una tabla donde varia la
profundidad z, como se ·señala a continuación.
23
o 1mcyc
Figura 1.1.16.a
Figura 1.1.16.b
Figura 1.1.16.c
24
5.60m
Método de Rankine
q = 3 ton
ARENA LIMPIA 'Ym = 1680 kg/m3
c=O ~= 29° NAF profundo
-------1--1-----......_ ..........
z=
H
z=
H
x=mH q.- Carga lineal paralela a la
-------- corona del muro.
Para m > 0.4
Param~0.4
0203q n O' -
H - H (0.16 + n2 ) 2
x=mH Q.- Carga concentrada
l.77Q m2 n2
cr - Para m>0.4 n - H2 (m2 +n2)3
Param~0.4 +-- O'H
0.28Q n cr -H - H2 (0.16 + n2)3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
1 1
; ¡
1
.1 ¡ i
Método de Rankine
n=f 0.203 X 5~6 n O'H z (0.16+n 2
) 2
(ton/m2)
o o 0.1087S o o 0.70 0.12S 0.1087S 4.0S 0.44 1.40 0.2S 0.1087S S.04 O.SS 2.10 0.37S 0.1087S 4.1S 0.4S 2.80 o.s 0.1087S 2.97 0.32 3.50 0.62S 0.1087S 2.06 0.22 4.20 0.7S 0.1087S 1.44 0.16 4.90 0.87S 0.1087S 1.02 0.11 5.60 1.0 0.1087S 0.74 0.08
La variación de las presiones horizontales sobre el muro con la profundidad se muestra en esta tabla.
Tanto el criterio empírico de Terzaghi y Peck como el teórico de Terzaghi para calcular es efecto de una carga lineal concentrada son fáciles de utilizar.
Problema 1.1.17
Se pretende realizar un corte vertical en la arcilla de la Ciudad de México. El laboratorio reporta en la prueba de compresión simple un valor de qu = 2.3 ton/m2
• El peso volumétrico, Ymi es de 1.65 ton/m3 y el NAF localiza a 7.50 m de profundidad. Encuentre el valor de la profundidad a la que puede alcanzarse temporalmente sin soportes y derrumbes la altura crítica, según el criterio de Rankine.
Propósito:
Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando e/ método de Rankine.
Según este método para suelos puramente cohesivos la altu
ra crítica, Her, a la que puede excavarse sin que se produzca
la falla es:
4c Her -
y
e =~ 2
qu - Resistencia a la compresión simple.
(4x 2.3) =
(2x 1.65)
Se utiliza el método de Rankine para determinar aproximadamente la altura crítica en un suelo puramente cohe
sivo.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
Problema 1.1.18
Se pretende realizar un corte vertical en una arena limosa. El laboratorio reporta que la cohesión es de 1.2 ton/m2 y el ángulo de fricción interna de 20°. Un peso volumétrico, Ym, de 1.75 ton/m3 y el NAF ubicado a 9.00 m de profundidad. Encuentre el valor de la profundidad que puede alcanzarse temporalmente sin soportes y derrumbes (altura crítica), según el criterio de Rankine.
Propósito:
Calcular la altura crítica en un suelo con cohesión y fricción, utilizando e/ método de Rankine.
Según la teoría de Rankine para suelos con cohesión y fric
ción la altura crítica, Her, a la que puede excavarse sin que se produzca una falla es:
HCR
4cK¡, ){ ---
y
KA = 2.04
4 X 1.2 X 2.04){ Her 1.75
H.u = 3.92 m
Se puede utilizar el método de Rankine para determinar
aproximadamente la altura crítica, en un suelo con cohesión y fricción.
Problema 1.1.19
Se pretende realizar un corte de 7.00 m para una excavaéión en un estrato de arcilla. El laboratorio informa que tiene una capacidad a la compresión simple de qu = 12 ton/m2, un peso volumétrico Ym = 1.9 ton/m3 y el N.A.F. está profundo. Encuentre el factor de seguridad contra la falla por los criterios de:
O Caso a) Rankine
O Caso b) Fellenius
O Caso e) Terzaghi
Propósito:
Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando e/ método de Rankine con las adiciones propuestas por Fellenius y Terzaghi.
25
~ 1mcyc
Solución:
Caso a) Según la teoría de Rankine para suelos puramente
cohesivos la altura crítica a la que puede excavarse sin que se produzca la falla es:
4c
y
Por otra parte se tiene que la cohesión ces la mitad del valor obtenido qu obtenido en la prueba de compresión simple:
c qu
- 2
de donde:
= 2qu y
= (2 X 12)/1.9
=12.63m
El factor de seguridad es:
F.S.
F.S.
F.S.
Caso b)
HcR - H
12.63
7.00
= 1.80
Las observaciones de fallas en el campo demostraron que los deslizamientos ocurren a lo largo de superficies curvas, ello indujo a Fellenius a proponer una expresión más realista:
F.S.
E.S.
Caso c)
3.86c ---
y
1.93qu ---y
= 12.19 m
12.19
7.00
= 1.74
Este valor es únicamente 3.5% más bajo que el obtenido en el análisis de Rankine. Sin embargo, las experiencias en campo de muestran que ambos valores son demasiado altos cuando los esfuerzos de tensión cercanos a la superficie de
bilitan el suelo y lo agrietan en esta zona. Para este caso Terzaghi propone que la altura crítica se modifique a un valor:
26
Método de Rankine
2 H'cR ---
3 HcR
2.57c =--
y
1.29 qu
y
1.29 X 12 H'cR 1.9
= 8.13 m
8.13 F.S.
7.00
E.S = 1.16
Al utilizar la teoría de Rankine el cálculo de la altura crítica se puede quedar del lado de la inseguridad por lo cual conviene utilizar las recomendaciones de Fellenius yTerzaghi. Además se debe ser muy cuidadoso al determinar los valores de la cohesión y fricción que usará, pues la cohesión puede disminuir con el tiempo. En este caso particular por hacerle la prueba de compresión simple al suelo en su condición inicial, el factor de seguridad es el que se obtiene inmediatamente después de efectuada la excavación., únicamente.
Es conveniente hacer un análisis de la variación del factor de seguridad contra el tiempo.
Problema 1.1.20
Un corte vertical se realiza en un suelo puramente arcilloso con un peso volumétrico de Ym = 1.9 ton/m3
, cohesión de 4 ton/m2
, y ángulo de fricción interna nulo. Estos parámetros fueron obtenidos en una prueba rápida consolidada. El NAF esta profundo. Calcule la máxima altura a la cual puede estar temporalmente sin soporte. (Figura 1.1.20)
Propósito.·
Calcular la altura crítica en un suelo puramente cohesivo utilizando el método de Rankine y las adiciones propuestas por Terzaghi y Fellenius
H'cR 2
3 HcR
2.57c =--
y
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Rankine \)
1mcyc
Figura 1.1.20
EXCAVACIÓN
Her ARCILLA:
'Ym = 1.9 ton/m3
e= 4 ton/m2
<I> =o o
H'cR 2.57 X 4
1.9
= 5.41 m
En un suelo con cohesión resulta sencillo determinar la altura crítca con el método de Rankine y la adiciones de Terzaghi y Fellenius.
Problema 1.1.21
Calcule la altura crítica de una excavación similar a la del problema anterior, pero con un suelo limo-arenoso, con peso volumétrico Ym = 1.6 ton/m3
, cohesión de 2 ton/m2 y
un ángulo de fricción interna<!> = 20°.
Propósito:
Calcular la altura crítica en un suelo con cohesión y fricción
utilizando Rankine y las adiciones propuestas por Terzaghi y Fellenius.
Para analizar este caso sólo se consideran las reducciones indicadas anteriormente en el término de la cohesión.
Las fórmulas utilizadas son:
Rankine:
4cl<pX 4c =-=-!Nf
y y
2qul<pX
y
Rankine + Fellenius:
3.86 cl<pX =
Rankine + Fellenius + Terzaghi
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
HCR 2.57 cl<pX
= y
1.29 qul<pX
y
KP 1 +sen<!>
= 1- sen <!>
Kr = 2.04
K ~ p = 1.43
2 HCR = 2.57 X 1.60 X 1.43
~ =4.59 m
En un suelo con cohesión y fricción resulta sencillo determinar la altura crítica con el método de Rankine y las adiciones de Terzaghi y Fellenius, sólo se requiere la aplicación de las fórmulas adecuadas.
Problema 1.1.22
Calcule los empujes activo y pasivo por los métodos de Rankine y de Coulomb de un muro de concreto armado de 1 O m de altura como el mostrado en la ilustración. Este muro esta desplantado a 2 metros de profundidad sobre roca dura. El relleno por ambos lados es una arena fina con un ángulo de fricción interna de 36 °, cohesión nula y peso volumétrico de 1.7 ton/m3
• El N.A.F. se encuentra profundo (Figura 1.22.1)
Propósito:
Determinar los empujes activo>.:' pasivo por Rankine y Coulomb.
Rankine:
cos J3 - ~ cos2 J3 - cos2 <!>
cos J3 + .J cos2 J3 - cos2 <!> 27
o Método de Rankine
1mcyc
··-··-···-...... __ ~ !
lOm
ARENA C=O f =36° ~ = 1.70 ton/m3
H1=10+3sen(l5°)=10.78 m
La zona de relleno comprendida en el polígono a, b, c y d se considerara como si formara parte del muro.
Figura 1.22.1
~3m
Se considerara: :......----- f =36. d=O W=O b=tSº
e
cos P + ~ cos2 p - cos2 ~ cos P - ~ cos2 p - cos2 ~
=0.283
=3.53
= 0.5 X 0.283 X 1.70 X 10.782
= 27.95 ton por metro de ancho.
= 0.5 X 3.53 X 1.70 X 22
= 12.00 ton por metro de ancho.
ROCA
2 1/ 2 cos 06 - O)
=12 yH 2 í 111
2 t {sen(0+36)sen(36+15)}/2J cos Ocos(36 + O 1 -cos(O - O) cos(O - 15)
= YiyH/x 8.294
El empuje activo vale:
= 0.5 X 1.70 X 10.782 X 0.304
EA = 30.02 ton/m.I.
El empuje pasivo vale:
EP = 0.5 X 1.70 X 22 X 8.294 X 2/3
= 18.80 ton/m.I. EP
fe~~---=-1~8~.8-0.._....to~n~/~m~.I..._.
Coulomb:
Se utilizarán las fórmulas de Muller-Breslaw.
El cálculo del empuje establecido por Rankine y Coulomb es igual cuando el paramento del muro es liso y vertical con talud horizontal y difiere cuando el paramento
del muro no es liso, ni vertical y el talud está inclinado, en este último caso es preferible utilizar únicamente el mé
todo de Coulomb. cos
2 06 - O) =YiyH211-~~~~--'---'-~--=-~~~~~11
1 í 111 2 t {sen(O +36)sen(36+15)}/ij cos Ocos(36 +O 1 -
cos(O - 0) cos(O - 15)
= YiyH/x 0.376
¡
1 -28~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~P-ro_b_le_m_a_s-bá-s-ic-os_d_e_e_m_pu-j-es_d_e-su_e_lo-s-so-b-re-e-st_ru_c_tu_ra_s_d_e-so-p~orte¡
1
Método de Coulomb
Hipótesis
El empuje sobre un muro se produce debido a la cuña de suelo limitada por el paramento del muro, la superficie del relleno y una superficie de falla desarrollada dentro del mismo relleno, a la cual se supone plana.
b
[ lOm
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
Problema 1.2.1.
a) Calcule por el método de Coulomb el empuje de la cuña que actúa sobre el muro de 1 O metros de altura mostrada en la ilustración. El relleno es una arena con un ángulo de fricción interna de 36°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.9 ton/m3
• El N.A.F. se encuentra profundo.
b) Explique como se determina el empuje máximo que actúa sobre el muro. ( Figura 1.2.1.1)
Propósito:
Determinare/ empuje de una cuña de suelo friccionante por el método de Coulomb y explicar la obtención del máximo.
ARENA C=O <1>=36°
3 'Ym = 1.90 ton/m
POLÍGONO DE FUERZAS
Figura 1.2.1.1
29
~ 1mcyc
Caso a)
La cuña de suelo debe mantener el equilibrio bajo la acción
de tres fuerzas que son: el peso de la cuña, W, la fuerza de fricción, FR, que actúa en la. base de la cuña con un ángulo
en la normal igual a$ y el empuje, E que presenta un ángulo
de fricción o con la normal al respaldo del muro. La fuerza
W es conocida en magnitud, posición y dirección. La fuerza
FR solamente activa conocida en dirección. La fuerza E es desconocida. Sin embargo, la dirección de la fuerza E se puede estimar con la recomendación de Terzaghi:
!.<o<th 2 - -'!' Se propondrá que o = 20°.
El valor del peso W se obtiene multiplicando el volumen de
la cuña por el peso volumétrico.
W = 26.32 X 1 X 1.90
= 50 ton, por metro de ancho.
Obsérvese que las tres fuerzas son concurrentes, lo cual es necesario para que exista el equilibrio.
Método analítico:
¿ Fx =O
FRcos60º = Ecos30º
0.5 FR = 0.866 E
FR = 1.732E
¿ Fv =O
FR sen 60° + E sen 30° = W
0.866 FR + 0.5 E = 50
0.866 X 1.732 E + 0.5 E= 50
E = 25 toneladas por metro de ancho
Método gráfico:
A una escala conveniente, se dibuja el polígono de fuerzas,
con la W conocida totalmente y sólo las direcciones de las E y FR, lo cual es suficiente para determinar el valor del empuje E, tal como se ilustra en la figura 1.2.1.2
Caso b) Determinación del empuje máximo
Para obtenerlo se requiere analizar una serie de suficientes y diferentes cuñas, con la finalidad de que proporcione el máximo empuje. Para realizar los cálculos se tiene los caminos siguientes:
30
1. Cuando el muro tiene la geometría y condiciones de carga adecuadas se puede aplicar una fórmula; como la propuesta por Muller-Breslaw. Esta se considera la forma más sencilla de trabajar.
Método dé Coulomb
W=50ton
Figura 1.2.1.2 Polígono de fuerzas
2. Aplicar el procedimiento analítico sólo cuando sea necesario analizar un buen número de cuñas, este procedimiento resulta tardado y engorroso.
3. Utilizar un procedimiento gráfico. Se utiliza profusamente, por su sencillez.
4. Utilización de programas de computadora, se recomienda cuando se dominan los métodos comunes de cálculo y se puede estar seguro de que funcionan adecuadamente en los casos que se van a usar.
El método de Coulomb requiere analizar varias cuñas ara determinar la ue roduce el em uje máximo.
Problema 1.2.2
Por el método de Coulomb determine los empujes activo y pasivo que producen un relleno de arena limpia sobre la pared interna y externa rugosas de un muro que tiene 5.60 m de altura y una inclinación con respecto a la vertical de 10°. El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3
y el ángulo de fricción interna de 35 °. El nivel de aguas freáticas, N.A.F., está profundo.(Figura 1.2.2)
Propósito:
Calcular el empuje activo y pasivo de un suelo puramente friccionante por el método de Coulomb.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
Figura 1.2.2
5.60m
Solución:
Se aplicaran las fórmulas de Muller-Breslaw:
=YiyH211 ______ co_~_(~~-_ro_) ____ ~11
2 (!:!· )[ { sen(O+p)sen(d>-B }){J cos ro cos vrro 1+ cos(a+ ro) cos( ro-p
1/ 2 cos2 ("'+ro) =hyH 11---------'-~-----~11 2 (0- )[ { sen(O+p)sen(p+B }){J
cos rocas ro 1- cos(O-ro)cos(ro-p
Donde:
EA, Ep Empujes activo y pasivo respectivamente.
~Ángulo de fricción interna de la arena.
ro Ángulo entre el respaldo y la vertical.
p Ángulo del talud, entre la superficie plana del relleno y la
horizontal.
8 Ángulo de fricción entre muro y relleno (Yi~ :::;8:::;3{ ~).
Para este cálculo se considerará
8 = 23°.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
ARENA LIMPIA 'Ym = 1680 kg/m3
c=O <I> = 35º
NAF profundo
d
0.5 x 1680 x 5.6 2 11------c_o_s2--'-(3_5-_1 º-'-~ -----.,...11
2 [ { sen(23+35)sen(35-20) }){]2
cos (IO)cos(23+10) 1+ cos(23+10)cos(10-20)
0.5 x 1680 x 5.6 2 11------c_o_s2_(3_5+_10-~ ------11
2 (l O) (23-10,,[ { sen(23+35)sen(35+20) }){]2
cos cos ~ 1+ cos(23-10)cos(10-20)
Teóricamente el empuje pasivo vale EP = 626,580.3 kg (por metro lineal de muro), sin embargo investigaciones realizadas indican que este valor puede quedar del lado de la inseguridad, por lo cual se recomienda multiplicar el coeficiente pasivo por un factor de reducción de dos tercios. Quedando el pasivo corregido en:
Ef = 41 7 720 2 kg (por metro lineal de muro)
El empuje activo vale:
Eti = 11 590 7 kg (por metro lineal de muro)
En el método de Coulomb se requiere analizar el efecto de varias cuñas para encontrar la que produce el empuje máximo. Sin embargo, anteriormente en los casos de geometría sencilla es posible aplicar fórmulas, como se señala.
En el caso del empuje pasivo se ha observado que los valores reales del este pueden diferir significativamente del obtenido teóricamente, por el lado de la inseguridad, por lo que si no se hacen los análisis e investigaciones apropiadas es recomendable disminuir el valor teórico en una
31
.() 1mcyc
tercera parte, quedando a 2/3 partes de su valor teórico. Los valores que puede alcanzar el empuje pasivo se aprovechan positivamente en estructuras que osportan fuerzas considerables, como SOJ1 los muelles con el impacto de las embarcaciones.
Problema 1.2.3
Un muro de mampostería de 5 metros de alto y respaldo vertical sostiene el empuje de una arena fina. El terreno de cimentación es una toba dura y permeable. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico seco es de 1200 kg/m3
• La relación de vacíos igual a 0.68. La densidad relativa de 2.65. Se desea conocer la magnitud del empuje del terreno en las siguientes condiciones:
Caso a)
Arena seca. NAF profundo.
Caso b)
Arena saturada parcialmente por lluvia, con un grado de saturación G = 60%. NAF profundo.
Caso c)
Arena completamente saturada por agua de lluvia, con el nivel piezométrico por debajo de la base del muro.
Caso d)
Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con el nivel piezométrico en la corona del muro.
Propósito:
Calcular el empuje activo de una arena por el método de Coulomb, para las diferentes condiciones de saturación.
Caso a): Véase la figura 1.2.3
Figura 1.2.3.
5.00m
32
Método de Coulomb
Solución:
Se aplicará la fórmula para el determinar el empuje activo de Muller-Breslau (1906): Esta fórmula permite obtener el empuje máximo de la cuña crítica.
cos2(<j>-ro) =YiyH211~~~~~~~~~~~~~11
2 . (a+ >[ { sen(a+d>lsen(<f>-B }r]2
cos ro cos ro i+ cos(a+ ro) cos( ro-p
=YiyH2K¡,c
t< 0 <21"' 2 - -7.3'1'
Aplicando la fórmula se obtiene:
Kt. =o 256
para:
~ = 34°
o = 17°
p =Oº
(1) =Oº
Caso a) Arena seca. NAF profundo.
El valor del empuje es:
E = Yi KA yd H2
= 0.5 X 0.256 X 1.2 X 52
_E __ =_...3~8 ....... 4 ton/m.I.
Caso b) Arena saturada parcialmente por lluvia, con un grado de saturación G = 60% y NAF profundo.
El peso ym vale:
Ge+S 5
Ym 1+e Yw
corona
d
ARENA LIMPIA 'Yrl = 1200 kg/m
3
c=O <!> = 34º e = 0.68 ; Ss = 2.65 NAF profundo
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
0.6 X 0.68 + 2.65 ------1
1+0.68
= 1 .82 ton/m3
El valor del empuje es:
E = Yi KA yd H2
= 0.5 X 0.256 X 1.82 X 52
...._E _--==;;..__,,¿_5 L.\.18~2 ton/m. l.
Caso c) Arena completamente saturada por agua de lluvia, con el nivel piezométrico en la base.
Ym = 1.98 ton/m3
El valor del empuje es:
E = Yi KA yd H2
= 0.5 X 0.256 X 1.98 X 52
E = 6 34 ton/m.I
Caso d) Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con el nivel piezométrico en la corona.
Como el nivel piezométrico esta en la parte superior se debe
considera empuje del agua y el peso volumétrico sumergi
do.
y'm =ym-1
= 1.98 - 1 = 0.98 ton/m3
El empuje del suelo es:
E = Yi KA y' m H2
= 0.5 X 0.256 X 0.98 X 52
E = 3 13 ton/m.I
El empuje del agua es:
5.00m
Filtro
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
t d
o 1mcyc
= 0.5 X 1 X 52
= 12 SO ton/m.I
El empuje total será igual al empuje del relleno más el del
agua.
= E + Ew
= 3.13 + 12.50
S--=__._1.w..5 ...,..6""""3__..to...,n ........ / ....... mLL.1.1
El empuje del relleno depende de las condiciones de hu
medad y la posición del nivel piezométrico del agua, así
como de las características de permeabilidad de la ci
mentación.
En el caso c), el agua puede escurrir hacia abajo por así
permitirlo las condiciones del relleno, la cimentación
permeable y por tanto, no produce empuje de agua.
El caso d) no se presenta frecuentemente. Lo hará sola
mente en aquellos casos en que la velocidad de filtración
en la cimentación es menor que la velocidad de aporte
del agua. Esta situación requeriría de una inundación ex
traordinaria, fuerte y prolongada, o bien de una rotura en
una tubería colocada en la parte superior del relleno que
ocasione fugas importantes y suficientes para poder satu
rarlo completamente.
Problema 1.2.4 Un muro de mampostería de 5 m de alto sostiene el empuje de una arena fina. El terreno de cimentación es una roca dura e impermeable. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico seco es de 1200 kg/m3
• Se desea conocer la magnitud del empuje de la arena en las condiciones siguientes:
ARENA LIMPIA 'Yd = 1200 kg/m
3
c=O <!> = 34º e = 0.58 ; Ss = 2.65 NAF profundo
Figura 1.2.4
33
G 1mcyc
Caso a) Arena completamente saturada por agua de lluvia y por escurrimientos superficiales, sin que actúe ningún sistema de drenaje.
Caso b) Arena completamente saturada por agua de lluvia y escurrimientos superficiales, con un dren vertical en el respaldo del muro.
Propósito:
Calcular el empuje activo de una arena por el método de Coulomb, con diferentes condiciones de drenaje. (Figura 1.2.4)
Solución:
Caso a):
El caso a) es idéntico al caso d) del anterio problema 1.2.3 sólo difiere en que ahora probablemente se presente una condición de completa saturación, pues por ser impermeable la cimentación, el agua se podrá acumular fácilmente en el relleno.
En este ejemplo no existe el filtro y los tubos de drenaje en el muro.
El empuje del suelo será:
E = Yi KAcYd H2
= 0.5 X 0.256 X 0.98 X 52
E = 3.13 ton/m.I
El empuje del agua será:
= 0.5 X 1 X 52
~ = 12.50 ton/m.I
El empuje total será igual al empuje del relleno mas el empuje del agua.
= E + Ew
= 3.13 + 12.50
.Ei = 15.63 ton/m.I
Caso b):
La solución dependerá del sistema de drenaje utilizado. Un drenaje adecuado neutralizará el efecto que produce el empuje del agua.
Para este caso, consideraremos un drenaje frontal consistente en una capa de filtro pegado a todo lo largo del respaldo
34
Método de Coulomb
del muro con sus respectivos drenes, consistentes en tubos que atraviesan el muro. Se hará el drenaje con las_ dimensiones adecuadas para impedir que se acumule agua detrás del muro.
El peso volumétrico dependerá del grado de saturación alcanzado. Se considerara por seguridad un grado de saturación del 100%, se obtiene que aplicando las fórmulas para determinar los pesos volumétricos:
Ge+S 5
Ym l+e Yw
E
1 X 0.58 + 2.65 ------x1
1 +0.58
= 2.04
= 0.5 X 0.256 X 2.04 X 52
E = 6.53 ton/m.I.
El empuje del relleno saturado es la condición más desfavorable, disminuye notablemente por la construcción del sistema de drenaje, en este caso fue de 2.39 veces menor.
Problema 1.2.5 Un muro de mampostería de 6 m de alto sostiene el empuje de una arena fina y limpia. La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna de 34 °. El peso volumétrico de la masa es de 1. 90 ton/m3
• El terreno de cimentación es una roca muy dura. Se desea conocer la magnitud del empuje sobre el muro.
Propósito.·
Calcular el empuje activo de un suelo puramente friccio- · nante con el talud exterior inclinado por el método de Coulomb. (Figura 1.2.5)
Solución:
Se aplicaran las fórmulas de Muller-Breslau:
=YiyH211~----c_o_J_($~--ro_) _____ 11
2 (a+ )[ { sen(a+d>)sen(d>-B }X]2
cos ro cos ro 1+ cos(a+ ro) cos( ro-p
Para:
<f> = 34°,
p = 15°,
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte·
Método de Coulomb
Figura 1.2.5
6.00m
·----·-··-·-··--··---------~-".:'.1.f _____ , __ ,, __
ARENA LIMPIA 'Yd = 1 900 kg/m3
c=O f = 34º
NAF profundo
o 1mcyc
ROCA MUY DURA
ro = 10º
= 0.412
EA = Yi X 0.412 X 1.90 X 62
El empuje vale:
EA = 14.09 ton/mZ
Para este caso, la distancia del punto de aplicación con respecto a la base es:
d H
3
6
3
= 2.00 m
Para los casos en que la geometría resulta apropiada se recomienda la aplicación de la fórmula de MullerBreslau por su sencillez.
Problema 1.2.6
Un muro de gravedad de 6.5 m de altura sostiene un relleno de arena suelta, con superficie horizontal, que
tiene un peso volumétrico ym = 1.6 ton/m3, <!> = 32°, 8 =
20° y ro = 0°. Calcule el empuje activo:
Caso a) Utilizando la fórmula de Muller-Breslau
Caso b) Por el procedimiento gráfico de Culmann
Caso c) Por el procedimiento gráfico de Culmann, cuando existe además una sobrecarga lineal uniforme de 3.44 ton/m.I. aplicada a 3.71 m de distancia y paralela a la corona del muro
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Propósito:
Determinar el empuje activo de un suelo friccionante con una sobrecarga.
Caso a) Utilizando la fórmula de Muller-Breslaw.
1/ 2 cos2 ("'-co) =hyH 11-~~~~~--'-~~~~~~~11 2 (a+ )[ { sen(a+p)sen(p-~ }X]
2
cos co cos co 1+ cos(a+ co) cos( co-p
0.7192
[ ¡0.7880 X 0.5299ly]2
1.0xo.9396
1+ 0.9396 X 1.000
(ro = p = O)
KAC = 0.2755
EA = Yi X 1.6 X 6.52 X 0.2755
EA - 9.31 ton/m.I.
Caso b) Procedimiento gráfico de Culmann
(Véase página# 52 para seguir el procedimiento que ahí se indica)
Cuña Peso de la cuña, ton
ABC1 11.96
ABC2 18.98
ABC3 21.32
ABC4 28.08
35
o Método de Coulomb
1mcyc !k = 9.26 ton/m.l.
B Cl
De la figura 1.2.6.1, midiendo a escala, se obtiene:
EA = 9.26 ton/m.I
Caso c) Procedimiento gráfico de Culmann
Considerando una sobrecarga lineal uniforme de 3.44 ton/m.I. aplicada a 3.71 m y paralela a la corona del muro.
De la figura 1.2.6.2, midiendo a escala, se tiene:
EA ± AE = 11.00 ton/m.I.
por lo que:
L'.lE = 11.00 - 9.26
Figura 1.2.6.2
36
B
A
Figura 1.2.6.1
Ea= 9.26 t
AE - 1.34 ton/m.I.
El procedimiento de Culmann permite encontrar fácilmente el máximo empuje en una superficie irregular y determinar cuál es la cuña crítica.
Procedimiento de Culmann {para suelos puramente friccionantes) 1. Se Dibuja la línea$. A partir de la horizontal se mide un
ángulo$ y se traza una línea con esa dirección. Véase la figura 1.2.6.3 siguiente.
3.44 ton/mi C2 C3 C4
11.96 /w cp : 32 o
\
~E= 11- 9.26
ilE = 1.34 t
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
Traza de la cuña que produce el empuje máximo.
w
o 1mcyc
Figura 1.2.6.3 Procedimiento gráfico de Culmann.
Horizontal
r Línea8
2. Se dibuja la línea e. A partir de la línea~ se mide un ángulo e y se traza una línea con esa dirección.
3. Se dibujan las cuñas 1,2, ... ,n que se propongan y que tendrán un ángµlo b¡ con la horizontal, tal como se muestra en la figura 1.2.6.3.
4. Se dibujan los vectores W¡ sobre la línea~- Considerando una escala conveniente se dibujan los vectores W¡, teniendo cuidado de iniciarlos a partir del origen. Los vectores W¡ representan los pesos de las cuñas respectivas.
5. Se dibujan los vectores E¡, a partir de la punta de las flechas de los vectores W¡ con una dirección paralela a la línea e. En donde intercepta esta línea a la línea de la cuña correspondiente terminara este vector E¡; que representa el empuje de esta cuña.
6. Se determina el empuje máximo Emax. Se dibuja una curva que pase por la punta de los vectores E y se determina el empuje máximo con una paralela a la línea e tal como se muestra en la figura. Por la punta de este vector Emax pasara la traza de la cuña que proporciona el empuje máximo.
Problema 1.2.7 Calcule el empuje activo que produce un relleno de arena fina y limpia sobre el respaldo vertical de un muro de 6.20 m de alto. El relleno tiene en su parte superior una pendien
te de J3 = 10° y las propiedades siguientes:~ = 30°, c = O,
y = 2.0 ton/m3, 8 = 20°. Utilice:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Caso a) El procedimiento de Culmann
Caso b) Fórmula de Muller-Breslaw.
Caso c) El procedimiento de Culmann aplicando una sobre-carga lineal de 4 ton, a una distancia horizontal de 8 m de la corona del muro
Propósito:
Calcular el empuje activo de un suelo granular por el méto"T do de Coulomb, utilizando las fórmulas y el procedimi~nto gráfico de Culmann. Además, establezca el procedimiento para determinar el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida y lineal paralela a la corona del muro.
Caso a)
W 1 = Yi X 1.35 X 6.20 X 2
== 8.37 ton por metro lineal de muro
W2 == Yi X 2.70 X 6.20 X 2
== 16.74 ton por metro lineal de muro
W 3 = Yi X 4.05 X 6.20 X 2
== 25.11 ton por metro lineal de muro
W4 = Yi X 5.40 X 6.20 X 2.
== 33.48 ton por metro lineal de muro
W 5• = Yi X 6.75 X 6.20 X 2
37
v 1mcyc
38
Figura 1.2.7.1
Figura 1.2.7.2
Figura 1.2.7.3 Localización de E y ~p
1 6.20
j
~p queda localizado en el tercio superior de ab
cMp
l
Método de Coulomb
Línea<!>
Línea <1>
IE=16.88 ton
Empuje máximo
LOCALIZACIÓN DE E Y ~p
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
H
= 41.85 ton por metro lineal de muro
El empuje máximo vale EA = 16.30 ton por m.I. de muro y
esta aplicado a 2.00 m de altura a partir de la base. (Figura 1.2.7.1)
Caso b)
Véanse las Figuras 1.2.7.2 y 1.2.7.3.
Caso c) Utilizando la fórmula de Muller-Breslaw
= 0.464
E = Vi X 2 X 6.202 X 0.464
= 17.83 ton (por metro de ancho) Véase la Figura 1.2.7.4
El procedimiento gráfico de Culmann, permite resolver problemas con superficies superiores irregulares. Tiene la ventaja de determinar fácilmente la cuña crítica y permite considerar el efecto de las sobrecargas.
Problema 1.2.8 Calcule el empuje que produce el mismo muro del problema anterior 1.2.6 pero con el relleno de arena fina y limpia y cuando se le aplica una sobrecarga uniformemente repartida de 3 ton/m2
•
Propósito:
Calcular el empuje activo de un suelo granular por el método de Coulomb, utilizando la suposición de que la sobrecarga uniformemente repartida se pueda considerar como una
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Figura 1.2.7.4 Localización del punto de aplicación del empuje E.
porción (imaginaria) del mismo terreno, de forna que proporcione el mismo efecto que la sobrecarga.
Para resolver este caso, se puede recurrir al artificio de transformar a la sobrecarga en una porción adicional del mismo terreno.
El punto de aplicación del empuje se obtiene trazando una paralela a la base de la cuña crítica como se indica en la figura 1.2.7.4. En este caso particular es aproximadamente igual a H/3. Se despreciará el efecto del triángulo 2, 3 y 4.
Utilizando la fórmula de Muller-Breslau tenemos:
E
=0.4197
= Vi X 2 X (6.20 + 1.50)2 X 0.4197
= 24.88 ton (por metro de ancho).
Aplicada a una altura, a partir de la base de H '/3:
H' = H + 1.50
= 7.70
d = 2.57 m.
La suposición de cambiar la sobrecarga por una porción de terreno adicional que producirá un efecto igual permite simplificar los cálculos.
Método de las cuñas en suelos puramente friccionantes
Procedimiento
1. En una escala adecuada se dibujan el muro y las cuñas a analizar.
39
v 1mcyc
2 3
1 I
E
2. Determinar el área de cada cuña y multiplicar por el ancho para obtener el volumen de cada una. Este volumen se multiplica por el peso volumétrico correspondiente y obtendrá el peso de cada cuña.
3. En una escala adecuada se dibujan los pesos de las cuñas ubicadas sobre una misma vertical, como se muestra en la figura.
4. Partiendo del origen se dibujan líneas paralelas a cada una de las fuerzas de fricción, FR. Para facilitar el trabajo puede hacerse una construcción auxiliar como se ilustra en la figura.
5. A partir de la punta del vector W¡ correspondiente se traza una paralela a la fuerza de empuje E.
6. Los puntos de intersección de las fuerzas E y FR de cada cuña generaran una curva. La máxima longitud del vector E dará el Emáximo.
Método de las cuñas en suelos con cohesión y fricción
Es similar al método de la cuña para suelos puramente friccionante, pero aqui se agregan dos nuevas fuerzas:
40
Método de Coulomb
POLÍGONO DE FUERZAS
4 s 6 7
¡w~l _ ... -·······-····' t,..,~•~•·ri
auxiliar
Método de las cuñas en suelos puramente friccionantes.
1. Fuerza de cohesión que obra en el contacto del muro con el relleno, Cm, se conoce totalmente. Su magnitud es igual a la cohesión del relleno, por la longitud del respaldo por una unidad de longitud de ancho.
2. Fuerza de cohesión que obra en la base de la cuña, Cs, se conoce totalmente una vez definida la cuña. Su magnitud es igual a la cohesión del relleno por la longitud de la base de la cuña, por una unidad de longitud de ancho.
Problema 1.2.9 Un muro de paramento interior vertical de 9.00 m de altura contiene los empujes de un limo arenoso con un peso volumétrico ym = 1. 9 ton/m3
, cohesión de c = 1.45 ton/m2, y án
gulo de fricción interna $ = 25 °. Calcule el empuje activo y su punto de aplicación por el procedimiento de las cuñas.
Propósito:
Calcular el empuje sobre un muro de un relleno con cohesión y fricción por el procedimiento de las cuñas.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
Método de las cuñas en suelos con cohesión y fricción
o
o 1mcyc
Ht = profundidad de las grietas de tensión
(e J
MÉTODO DE LAS CURAS PARA UN SUELO CON COHESIÓN Y FRICCIÓN
En primer termino se calculara el efecto de la profundidad
de las grietas que se pueden producir en el suelo cohesivo.
Profundidad de las grietas
z
KA = 0.59 ;
KA112 = 0.767
z 2 X 0.767 X 1.45
1.9
= 1.17 m.
a) Método gráfico
Se utilizará el procedimiento de la cuñas.
1.17m 1 9.0m
B
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
1. Peso de la cuña, W = área x y.
2. Fuerza de adherencia entre muro y suelo
Se considerara igual a ex área del paramento vertical:
Cm = 1.45 x (9 - 1.17) x 1
= 11.35ton.
3. Fuerza de cohesión en el plano hipotético de falla
Cs = 1.45 XL;
L = longitud del plano de falla
4. Fuerza de fricción de reacción, F~, en la base de la cuña
LIMO-ARENOSO. Cl¡ = 26.60° Cl2= 18.40° Cl3=13.11°
Figura 1.2.9.1
41
~ 1mcyc
S. Empuje del terreno sobre el muro, EA,, cuya dirección for-ma un ángulo 8 = <j>, supuesto para este caso
Las magnitudes y direcciones de las fuerzas indicados en los incisos 1,2, y 3 son conocidas.~Por otra parte, también seconocen las direcciones de las fuerzas indicadas en los puntos 4 y 5 anteriores.
En el procedimiento de las cuñas se completara y cerrara el polígono de las fuerzas indicadas, para lograr el equilibrio de cada cuña. Se analizan varias cuñas y eligirá el valor mayor del empuje activo, considerando el más desfavorable y por tanto, el que deberá tomar para diseñar el muro (Figura 1.2.9.2). Los valores de las tres cuñas analizadas se mues-tran en la tabla siguiente:
Área y Peso Long.de Fuerza
Cuña (m2) (ton/m3) (ton) la base, Cs (ton)
L (m)
AB1 19.91 1.9 37.83 8.09 11.73 AB2 39.82 1.9 75.66 10.09 14.64 AB3 53.08 1.9 100.85 11.68 16.94
El procedimiento es similar al de los suelos puramente friccionantes, pero aqui se agregan dos fuerzas cohesivas totalmente conocidas.
Problema 1.2.10 Calcule los empujes activo y pasivo por el método de Coulomb que actúan sobre un muro de concreto armado de 1 O m de altura que se muestra en la figura. Esta desplantado a 2 metros de profundidad sobre roca dura. El relleno en ambos lados es de arena fina con un ángulo de fricción interna
Figura 1.2.1 O.
lOm
42
3m
Método de Coulomb
16.94
Paralela a B - 2
37.83-
3 2 Paralela a B-3 a.-.= 13.11"
75.66-
Figura 1.2.9.2
EMAX = 22.S ton
Paralela a E
de 36°, cohesión nula y peso volumétrico de 1.7 ton/m3• El
N.A.F. esta profundo.
ARENA C=O <!>=36º "(m = l. 70 ton/m
15•
3
H1=10+3sen(15°)=10.78 m
La zona de relleno comprendida en el polígono a, b, c y d se considerara como si formara parte del muro.
Se considerara: q> = 36º o= 24· ro= o (3 = 1s·
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método de Coulomb
Propósito:
Determinar los empujes activo y pasivo por Coulomb, utilizando el artificio de considerar un respaldo vertical ficticio ubicado en el relleno. (Figura 1.2.1 O).
Solución:
Para solucionar este tipo de problema se considera que las áreas ubicadas en las polígonales encerradas la primera, entre los puntos a,b,c y d y la segunda entre los puntos e,f,g y h son parte integrante del muro con el peso del relleno correspondiente.
Considerando como "muro ficticio" la parte comprendida entre los puntos a,b,e y f juntos con la parte del muro real, se aplican las siguientes fórmulas:
cos2(36-0) =Yi'yH,211--------'---..;..._-----11 2 0 (36 0,,[ {senCo+36)senC36-15}X]
2
cos cos + / l+ cos(o+O)cos(0-15
=Yi'yH,2x 0.282
cos2(36+0) = Yi yH2 2 11-------_;...--'-------11 2 0 (36_0~[ {sen(o+36)sen(36+15}X]
2
cos cos / l+ cos( o+ 0) cos( 0-15
= Yi yH2 2 X 44.65
El empuje activo vale:
= 0.5 X 1.70 X 10.782 X 0.282
= 27.86 ton/m.I.
El empuje pasivo vale:
EP = 0.5 X 1.70 X 22 X 6.71 X 2/3
Ef - 101.21 ton/m.I.
Los resultados obtenidos por el artificio son lo suficientemente aproximados, según las comparaciones teóricas,
por lo cual se usa frecuentemente sin presentar problemas.
En el cálculo del empuje pasivo se consideró un factor de
reducción de 2/3 aplicado al coeficiente de empuje.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
\) 1mcyc
ÁNGULO DE FRICCIÓN ENTRE MURO Y RELLENO
Materiales en contacto
CONCRETO O MAMPOSTERÍA CON:
- Roca dura. - Grava ,arena gruesa, mezclas de gravas y arenas limpias. - Arena media a fina, arenas gruesas limosas, gravas o arcillosa - Arena fina limpia, arena fina a media limosa o arcillosa. - Aréna fina limosa, limos no plásticos. - Arcilla preconsolidada muy dura. - Arcillas y arcillas-limosas medianamente duras.
PILOTES DE ACERO CON:
- Grava limpia, grava arenosa, rellenos de roca bien graduados con fragmentos o lajas. -Arena limpia, mezclas de gravas arenas y limos, rellenos de pedacería de roca dura. -Arena limosa, gravas o arenas mezcladas con limos o arcillas. - Arena fina limosa, limos no plásticos.
CONCRETO COLOCADO EN EL LUGAR O TABLESTACAS DE CONCRETO CON:
- Grava limpia, mezclas de grava y arena, rellenos de rocas bien graduados con fragmentos o lajas. -Arena limpia, mezclas de gravas arenas y limos, rellenos de pedacería uniforme de roca dura. -Arena limosa, gravas o arenas mezcladas con limos o arcillas.
- Arena fina limosa, limos no plásticos.
MATERIALES DIVERSOS.
Mampostería contra mampostería o contra rocas: - Roca suave acomodada sobre roca suave mamposteada - Roca dura acomodada sobre roca suave mamposteada - Roca dura acomodada contra roca dura mamposteada - Mampostería contra madera. - Acero contra acero en tablestacas. -Madera contra suelo.
Valores aproximados
~)(o)
35 29- 31
24- 29
19- 24
17 - 19 22-26 17-19
22
17
14
11
22- 26
17 - 22
17
14
35
33
29
26 17
14 -16
43
. \) 1mcyc
Método semiempírico de Terzaghi
Tipos de material de relleno l. Suelo granular grueso sin finos.
11. Suelo granular grueso, con finos limosos.
111. Suelo residual, con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos en cantidades apreciables.
IV. Arcillas plásticas blandas, limos orgánicos o arcillas mosas.
V. Fragmentos de arcilla dura o medianamente dura, protegidos de modo que el agua proveniente de cualquier fuente no penetra entre los fragmentos.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Geometría del relleno y condición de cargas 1. La superficie del relleno es plana, inclinada o no y sin
sobrecarga alguna.
2. La superficie del relleno es inclinada a partir de la corona del muro, hasta un cierto nivel, en el cual se torna horizontal.
3. La superficie del relleno es plana y sobre ella actúa una sobrecarga uniformemente repartida.
4. La superficie del relleno es plana y sobre ella actúa una sobrecarga lineal paralela a la corona del muro y uniformemente repartida.
45
~ 1mcyc
46
b
1/2KvH2
1/2KhH2 H
H/3
E -N
E
~ e • ~
Método scmicmpírico de Terzaghi
1550
1200
900
@ 600
300
o
2100-------------------------------------,-----
1 11/2KvH2
H ~KhH2 1 ---,
1 H/3
b
Los números en las curvas Indican el tipo de material.
E -N
E -.,. ~ e • .e ~
Para los materiales del tipo 5 los cálculos se realizan con una altura, H, menor que la real en 1.20 metros.
2400
2100
1800
1500
1200
300
6 3: 2:1 1112 1 º.._ _______ __.~--------.._ __ __.. ________ __.~----º 10 20 30 40
Ángulo del talud,ft
Figura 1.3.a Gráficas del método semiempírico de Terzaghi (Relleno con superficie plana)
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
"'ti g. ñ 3 e; c-e;-ñ' o tll
o. ('1)
('1)
3 "O ..::. ~ o. ('1)
tll = ('1)
[ tll o o-@
~ 2 n 8' ~ o. ('1)
tll o
"O o ::l. ('1)
.i:.. -..J
"TI ciQ' e @ ..... w OC)
~ ñ' tll UI
~ 1 1 1500 3 ro. o
H1 -~------ J. 1
fl¡ 1
1 H2 11/2 Kv H
1/2K~r 1 1
H/3 1 ______ , __ _ ~- b
SUELO TIPO 1
g- 1 1 1200 l---1---+--t--;---. UI ro 3 ¡:¡;· 3 ~-¡::)' o c.. ro -1 ro N tll
~-~ ~ ro::i o (") o ::J UI e
"O ro 3-: (") ¡:¡;·
"O pj'" ::J ~
E Ñ" 900 E -C> ~ z w ~
Kh
300 1 111 1
o o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o
H1
:.P - -·· 1
1 2
' 1/2 KvH H
E~h~ 1 : H/3 1 , ___ _
1 -----:b
SUELOTIP02
Kh
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o
Valores de la relación H1/H
a
1 1
H1 =O
• 1/2 KvH2
~KhH2 H ·n ~ H/3 ::::::i __ _ b
SUELO TIPO 3
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
§ n
~ ~-
º Q. o {/l ~
8 r;· 8
"CI s: n o Q. ~
~ ~
;:¡ ~
(l'Q
e:
~, .
~ 1mcyc
E .._ N E .._ en ~ z w ~
2700
2400
2100
1800
1500
1200
900
600
300
o o
Kh
Método semiempírico de Terzaghi ,
SUELO TIPO IV SUELO TIPO V
Talud máx. 3:1
Ky =O
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
VALORES DE LA RELACIÓN H1/H
Figura 1.3.c Gráficas del método semiempírico de Terzaghi (rellenos en terraplén). En los cálculos para rellenos del tipo V el valor de H que se debe considerar es menor en 1.20 que el real.
48 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método semiempírico de Terzaghi
Problema 1.3.1 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce una arena gruesa sobre el muro que se presenta. Con un NAF profundo.
Propósito:
Calcular el empuje activo de un material granular sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.
Figura 1.3.1
7.00
6.00m
Solución:
Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo cual se utilizará la gráfica presentada en la figura 1.3.1.
Por las características del relleno de considera un relleno tipo l.
De la gráfica se obtiene:
KH = 600 kg/m2/m.I. de muro
Kv = 290 kg/m2/m.I. de muro
Las fórmulas aplicables son:
EH = Yi X KH X H2
Ev = Yi X Kv X H 2
Eti_ = Yi X 600 X 72
= 14 ZOO kg por metro lineal de muro
E~- = Yi X 290 X 72
= 7 105 kg por metro lineal de muro
?roblemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
0.40m
Ev
RELLENO DE ARENA GRUESA
EH
H/3
NAF profundo
~ 1mcyc
Cimentación firme
KH
KV
Se escogen las curvas tipo 1
Obsérvese que no es necesario conocer los parámetros del suelo como son: el peso, la cohesión y la fricción; lo cual simplifica mucho los trabajos, pues no se necesitan hacerse pruebas de campo y de laboratorio.
En el método semiempírico de Terzaghi proporciona resultados conservadores del lado de la seguridad. No se
pide conocer los parámetros de calculo de y, c y$, pero se requiere suficiente criterio para escoger el tipo de suelo adecuado.
49
~ 1mcyc
Problema 1.3.2 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el
empuje activo que prodm;;e un relleno de pedacerías, gravas, arenas y finos arcillosos en cantidades apreciables (cascajo) sobre el muro que se presenta.
Propósito:
Calcular el empuje activo de un material granular sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.
Método semienipírico de Terzaghi
RELLENO DE CASCAJO: Bloques de piedra, gravas arenas finas y finos arcillosos
Figura 1.3.2
Ev 6.00m
H/3
Cimentación en terreno blando
Solución:
Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.a. Por sus características el relleno de considerara tipo 111.
De las gráficas se obtiene para p = O:
= 730 kg/m 2/m.I. de muro
Kv = O kg/m 2/m.I. de muro
Las fórmulas aplicables son:
EH = Yi X KH X H2
Ev = Yi x KV x H2
EH = Yi X 730 X 62
Eli =17.885 kg por metro lineal de muro
Ev = Yi x O x 62
Ey = O kg por metro de ancho.
Por estar desplantado el muro sobre terreno blando Terzaghi recomienda que los valores obtenidos de sus gráficas se incrementen en 50%. Por tanto:
EH = 17 885 x 1.5 = 26 827.5 Kg/m.I. EV = O kg/m.1.
50
EH
NAF profundo
KV
Se escogen las curvas tipo 3
Si el muro esta desplantado sobre terreno blando las deformaciones producidas pueden provocar un aumento considerable en las presiones sobre él, por lo que Terzaghi recomienda que se incrementen en un 50% sus valores.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método semiempírico de Terzaghi
Problema 1.3.3 Calcule el empuje que produce una arena limosa sobre el muro que se presenta.
Propósito:
Calcular el empuje activo de un material granular grueso, con finos limosos, sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.
Figura 1.3.3 1.00m f
).40m
7.00
6.00m
o 1mcyc
2
Arena limosa
EV
EH
H/3
NAF profundo
Terreno firme
Solución:
Se aplicará el método semiempírico de terzaghi, para lo cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.3 anterior.
Por las características del relleno de considerara un relleno del tipo 11.
De las gráficas se obtiene:
H/H 1 = 1.00/7.00
= 0.143 (con estos valores se entran en estas gráficas).
KH = 605 kg/m 2/m.I. de muro
Kv = 80 kg/m 2/m.I. de muro
Las fórmulas aplicables son:
EH = Y1 X KH X H2
= Y1 X KV X H2
= Y2 X 605 X 72
= 14 822 kg por metro lineal de muro
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
= Y2 X 80 X 72
= 1 960 kg por metro lineal de muro
En este tipo de geometría de terreno en terraplén deberá tener cuidado al calcular la altura H, indicada en las · gráficas. En caso de duda conviene acudir a las gráficas y verlas detenidamente, pues en ellas se representan claramente las variables.
Problema 1.3.4 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce un relleno de arcilla limosa sobre el muro que se presenta. Además, obra sobre el relleno una sobrecarga uniformemente repartida de 1.7 ton/m2 y otra sobrecarga lineal paralela a la corona de 7 ton/m.I. a 2.1 O m de separación.
Propósito:
Calcular el empuje activo de un material arcillo limoso sobre un muro y el efecto de sobrecargas, una
51
~ Método semiempírico de Terzaghi
1mcyc
~2
ilm~li='i"'t1 l rrtorum' Figura 1.3.4
40· y /I
' 1 P=co
6.00m l 1Ev
! H/3
1 ........
1
EH
----------------------Cimentación firme
<Jw
uniformemente repartida y otra lineal, por el método semiempírico de Terzaghi.
Solución:
Se aplicará el método semiempírico de Terzaghi, para lo
cual se utilizará las gráficas presentadas en la figura 1.3.4.
Por sus características el relleno se considera un relleno tipo IV.
De las gráficas se obtiene para p = O:
KH = 1650 kg/m2/m.I. de muro
= O kg/m 2/m.I. de muro
Las fórmulas aplicables son:
EH = Yi X KH X H2
= Yi X KV X H2
= Yi X 1650 X 62
= 29 700 kg por metro lineal de muro
= Yi X 0 X 62
= O kg por metro lineal de muro
El empuje activo horizontal debido al terreno esta aplicado
a un tercio de la altura, medido a partir de la base. Los empujes producidos por sobrecargas, se calculan de la siguiente manera.
a) Sobrecarga lineal, uniformemente repartida.
El valor del empuje es:
e = Cq
donde el coeficiente c se obtiene de la siguiente tabla
propuesta por Terzaghi:
52
ARCILLA LIMOSA
NAF profundo
KH
KV
Tipo de relleno
1
11
111
IV
V
Para este caso:
p = Cq
= 1.00 X 7
e = 7 ton/mi
Se escogen las curvas tipo 4
VALORES DE C
e 0.27
0.30
0.39
1.00
1.00
La ubicación del punto de aplicación del empuje esta en la intersección del muro y la recta que parte del punto de aplicación de la carga con una dirección de 40°.
b) Efecto de la sobrecarga uniformemente repartida.
Produce una presión horizontal constante en toda la vertical
del muro con valor:
= Cw.
El valor de C se obtiene de la tabla anterior.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método semiempírico de Terzaghi
Para este caso
= 1.00 X 1.7
= 1.70 ton/m 2•
= 1.70 ton/ml~
Terzaghi recomienda evitar en la medida de lo posible el tipo de relleno IV.
El cálculo del efecto de las sobrecargas uniformemente repartidas y lineal es bastante sencillo. Se utilizan las fórmulas en función de un coeficiente que se da en una tabla.
Problema 1.3.5 Calcule por el método semiempmco de Terzaghi el empuje activo que produce un relleno de fragmentos de arcilla dura, protegidos contra la acción del agua, sobre el muro que se presenta. Existe una sobrecarga lineal y
uniforme de 3.1 toneladas por metro lineal. El NAF esta profundo.
Propósito:
Calcular el empuje activo de un material granular sobre un muro por el método semiempírico de Terzaghi.
Solución.·
Se aplicará el método semiempírico de terzaghi, para lo cual se utilizará las gráfica presentada en la figura 1.3.5.1
Por las características del relleno se clasifica como un
relleno tipo V.
Figura 1.3.5.1
6.00m
1 .60
De las gráficas se obtiene:
= 1900 kg/m2/m.l.ide muro
= O kg/m 2/m.I. de muro
Las fórmulas aplicables sÓn:
= Yi X KH X (H-1 .20)2
= Yi X KV X (H- 1.20)2
fli = Yz X 1900 X 4.802
= 21..filIB kg por metro lineal de muro
Ev =O
v 1mcyc
Para este tipo de relleno la altura H de cálculo es igual a la altura real menos 1.20 m.
Kv
Se escogen las curvas tipo 1
Por otra parte, Terzaghi indica que en este tipo de relleno la distancia del punto de aplicación del empuje, a partir de la base, se reduce a:
d
d
= 1 /3 (H - 1.20) en metros.
= 1/3 ( 6.00 - 1.20)
1.50 ~
o
B
q = 3 ton/m.l.
A
Fragmentos de arcilla dura
¡ ,.E_v ___ EH
!
e! 1
H/3
NAF profundo
t Cimentación firme
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 53
o 1mcyc
Sobrecarga sobre el pie del muro, W1
d = 1.60 ro
El efecto de la sobrecarga es
p = Cxq
= 1.00 X 3
p = 3 ton/m.I.
54
/
Í60·\ I \
/ \
L
Figura 1.3.5.2
Método semiempírico de Terzaghi
Cuando, la sobrecarga esta en la zona OA produce una presión vertical en la base del pie del muro, BC, que debe tomar en cuenta en el diseño. Una forma de hacerlo es considerar una influencia de 60° a partir del punto de aplicación de la carga q, tal como se muestra en el croquis explicativo de la figura 1.3.5.2.
q w1 =L
3x2tan(30º) w1 6-0.6
w1 = 0.64 ton/m2
El relleno tipo V no es recomendable cuando existe el riesgo que fragmentos de la arcilla puedan humedecerse, pues la expansión y presiones generadas son demasiado grandes para que puedan ser resistidos por cualquier muro.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Cuñas con bases curvas
Procedimiento de Cuaquot y Kerisel
Círculo de Fricción
o 1mcyc
· Problema 1.4.1 Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa, EA, producida por un relleno de arena sobre la pared vertical lisa interna de un muro con 6.0 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1 700 kg/m3 y el ángulo de fricción interna de 34 °. el nivel de aguas freáticas esta profundo. El talud superior del relleno es de 20°. Utilice el método propuesto por Cuaquot y Kerisel. (NA VDOCK).
Determinar el empuje activo por el Método de Cuaquot y Kerisel para un suelo puramente friccionante.
Propósito:
6.0m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Solución:
Se utilizará la figura 1.4 (pag. 58) propuesta por los investigadores Cuaquot y Kerisel.
EA = PA
= Yí KA y H2
EAH = EA cos ()
EAV = EA sen 8
ARENA LIMPIA 'Ym = 1700 kg/m3
c=O <!>= 34°
NAF profundo
Figura 1.4.1
55
~j 1mcyc
ll ¡ = 20/34
= 0.59
= + 0.6 (supuesto)
= 0.43 obtenido de la gráfica.
= PA
= Yi X 0.43 X 1.7 X6 X 6
= 13 16 ton
= + 0.6 ~
= 20.4°
EAH = 13.16 cos 20.4º
= 12 33 ton
E: = 13.16 sen 20.4º
= 4 58 ton
aplicados a un tercio de la altura
d =20m
El método de Cuaqot y Kerisel propone utizar una
superficie curva en la base. Se aplica en suelos
puramente friccionantes, por su sencillez en la
aplicación.
Problema 1.4.2
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasivo, Er, cuando al muro indicado en el problema 1.4.1 anterior es sujetado a un estado de presiones pasivo con el ángulo de fricción entre muro y suelo negativo.
Propósito:
Calcular el empuje pasivo por el método propuesto por Cuaqot y Kerisel.
Solución:
Se utilizará la figura 1.4 propuesta por los investigadores
Cuaquot y Kerisel.
Er = Pr
= Yi Kr y H2
EPH = Er coso
EPV = Er sen o
ll = 20/34 ¡
56
Cuñas con bases curvas
= + 0.59
= - 0.6 (supuesto)
= 3.4 obtenido de la gráfica.
Obtención del factor de reducción al pasivo, R.
De la tabla mostrada en la parte superior de la figura 1.4, se
tiene:
Interpolando
R = 0.840
= PA
= Yi X 3.4 X 1.7 X 6 X 6 X 0.84
= 87 39 ton
EPH = 87.39 cos 20.4°
= 81.90....ton
= 87.39 sen 20.4°
= 30 46 ton por metro de ancho
Aplicados a un tercio de la altura
d = 2 O m
En el método de Cuaquot y Kerisel se hace una reducción al
pasivo. El factor de reducción se muestra en la figura 1.4.
Problema 1.4.3 Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva,Ep, producida por un relleno de arena limpia sobre la pared vertical de un muro que tiene 5.60 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1680 kg/m3 y el ángulo de fricción interna de 30°. El nivel de aguas freáticas, esta profundo. Utilice el método propuesto por Cuaquot y Kerisel (NA VDOCK).
Propósito:
Determinar el empuje pasivo, por el método de Cuaquot y Kerisel, cuando la superficie del talud superior r~cto esta inclinado.
Solución:
Se utilizará la gráfica propuesta por Cuaquot y Kerisel
mostrada en la figura 1.4
Cuando el ángulo o este colocado hacia arriba de la
horizontal deberá considerarse como negativo y positivo
cuando o este hacia abajo. En este caso es negativo.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Cuñas con bases curvas
5.60m
curvas para b/$ = - 1
El valor de
+ 18/30
+ 0.6
De la gráfica se obtiene que:
Kf = 12 5
Para encontrar el factor de reducción R de KP se utiliza la tabla pequeña ubicada en el margen superior izquierdo de la gráfica.
Se considerara que
o = 21 o y
= - 0.7 por lo que:
=o 878
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
ARENA LIMPIA Ym = 1680 kg/m3
c=O <t> = 30°
NAF profundo
El valor de KP reducido es:
Kp = 12.5 X 0.811
= 10.98
EP = Yi KP y H2
Figura 1.4.3
Ep = Yi X 10.98 X 1680 X 5.602
ff = 289. 240 Kg.
El empuje pasivo horizontal vale:
EPH = Ep coso
y el vertical
EPH = EP sen o
= 289,240 cos(21 º )
= 272,796 kg
= 289,240 sen(21 ° )
= 98,926 kg
La posición del punto de aplicación es
d H
3
5.60 - 3
= 1....8.Lm
Q 1mcyc
El método se aplica para suelos puramente friccionantes. En el método se considera una base curva con forma de espiral logaritmica.
57
\) Cuñas con bases curvas
1mcyc
58
68
• 10 15 20 25 30 35 40 45
FACTOR DE REDUCCION R DE Kt PARA VARIAS RELACIONES DE B
4J.7 4J.6
0.978 0.962 0.961 0.934 0.939 0.901 0.912 0.880 0.878 0.811 0.838 0.752 0.783 0.682 0.718 0.800
20.0
10.0 9.0 8.0
4J.5 4J.4 4J.3
0.946 0.929 0.907 0.881 0.862 0.824 0.803 0.759 0.746 0.688 0.674 0.803 0.592 0.512 0.500 0.414
7.0 - o-p• Kp YH
8.0 · Presión pasiva
4J.2 4J.1
0.898 0.881
90.0 80.0 70.0
4J.O 60.0
0.864 50.0
40.0
Kp 5.0 Pp • i<pYH212; PH • Pp cosQ; P v • Pp al~O ---1--"'~..Jf-...-q~;__-11/l.~-.W-:~-4-4-.~--I~
Lu curvas moatradu aon para
4.0 Ot••-1.0 Ejemplo:•• 25";J/• • • 0.2 __ ___,,,..,.~~~~~~_,,,,.~---J.-+...oiiq..---J.--1--4--1--~
Ot••·0.3 4.0 l<p•R(Kpara0t••·0.1)
R- 0.711 --~~~N~llF--2'~--t:=airfll'C.-t-f--t--i--t-~""""'lF-Jl~--I l<p. (Ot•. -1.0). 3.12
4.0 l<p • 0.711X3.12-2.50
/(IJ = +0.6
1.0l~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 0.9~
0.8 --+-~.,.
0.1 o=(IJ }- JJ/(IJ = +1 u ~
0.51---l--+--+-f--+-3lloli.~~_,..,_,,.:¡~~~,..,;¡~::::-=::~a..r..--+--J--4-..J-.1..
0.4 Ka
0.3
0.2
0.1 o 10 ~ ~ 40 45
ÁNGULO DE FRICCIÓN INTERNA, GRADOS.
Figura 1.4 Coeficientes activos y pasivos NAVFAC (1982). Caquot y Kerisel (1949) Nota: Las curvas mostradas son para valores de ;=-1, para otros valores de¡ úsese los factores de reducción indicados en la tabla superior izquierda de la figura.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Cuñas con bases curvas
MÉTODO DEL CIRCULO DE FRICCIÓN
PO LIGO NO DE FUERZAS
j
/ i
i Í
Í
/ !
\
\ \ \ \ \ \
\
E
w
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
f
/ / / / ~ <I> \
a DIAGRAMA
W.- Peso. C.- Fuerza de cohesión entre suelo y suelo, en la base del circulo. C'.- Fuerza de cohesión entre muro y relleno. FR.- Fuerza de fricción que se desarrolla en la base del circulo. E.- Empuje del relleno sobre el muro.
~· 1mcyc
59
G 1mcyc
Método gráfico del círculo de fricción 1. Determinación del valor de las fuerzas que intervienen y
de su punto de aplicación.
W Peso de la sección circular, aplicado en el centroide.
El peso de la sección se determina multiplicando su volumen,
área por ancho, por su respectivo peso volumétrico.
C Fuerza de la cohesión que actúa en la base de la sección.
Por lo que es igual a la longitud de la cuerda de la sección
circular, Le, por la unidad de ancho y por el valor de la
cohesión c. C =e Le
Actúa a una distancia X del centro, tal como se indica en la
figura, con un valor de: Le
X =-R Lª
La = Longitud del arco.
R = Radio.
C' =Fuerza· de cohesión que actúa entre el muro y el
relleno. Es igual al producto de la cohesión del terreno por
el área de contacto.
C' = e Lr ( por unidad de ancho) ,
La dirección de C' es la del respaldo del muro, si esta es recta.
EA= Empuje activo. Se conocen su dirección y su posición.
FR =Fuerza de fricción que actúa en la base circular. Se
desconocen: magnitud, posición y dirección.
2. Dibujo dél polígono funicular.
A una escala adecuada se dibuja el polígono de las fuerzas.
Conviene empezar con el peso W que es vertical. A
60
Encontrar el mínimo factor de seguridad de una sección
circular resulta laborioso y requiere la realización de
muchos tanteos para encontrarlo.
Cuñas con bases curvas
continuación se dibujan las fuerzas de cohesión e y e,¡ que
son paralelas a la dirección de la cuerda de la base circular y
del respaldo del muro, respectivamente. Con la dirección de
la resultante de estas fuerzas que esta aplicada en el punto, a,
se traza una línea que interceptara a la fuerza W en el punto b.
Es conveniente recordar que para que un sistema de fuerzas
no paralelas este en equilibrio es condición necesaria que
sean concurrentes.
La resultante1de las tres fuerzas C, C' y W, indicada en el polígono
funicular con el vector ~' en el diagrama pasará, paralelamente a
este vector, por el punto b. La suma de la fuerza resuítante anterior
con la fuerza E nos dará una nueva resultante de las fuerzas E; C; C" y W, que pasara por el punto e del diagrama. Para cerrar finalmente
el polígono y así asegurar que pueda existir el equilibrio será
suficiente conocer la dirección de la fuerza FR. Sin embargo como
esta dirección no se conoce Taylor propuso el seguimiento
delartificio descrito en el párrafo siguiente.
Obsérvese que si la fuerza es tangente a un circulo que pasa por el
centro y tiene un radio igual a R sen~ tendrá un ángulo ~ con la
dirección de la normal al círculo en el punto de aplicación de FR.
Por lo que se dibuja un círculo con el mismo centro y un radio
igual R sen~, al que se llama círculo de fricción. A continuación
se traza una línea que pase por el punto e y tenga una dirección
tal que sea tangente a este círculo de fricción. Una vez obtenido
en el diagrama la dirección de FR con esta misma dirección se
traza una línea que pase por el inicio de la fuerza e que esta
ubicado en el punto e del polígono de fuerzas. Esta líne_a
interceptará a la dirección del vector E en el punto d y con ello se
cerrara el poi ígono de fuerzas y se conocerán todas las fuerzas ..
El valor del empuje E así obtenido representa una sección,
pero no necesariamente la que produce el empuje máximo,
por lo que será necesario hacer un buen número de
secciones para lograr una aproximación suficiente, tal como
se indica.
F.S. \5!)1.4 Líneas que unen los valores de los F.S. mínimos
Para cada punto se debe encontrar el F.S. mínimo.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
Efecto de la compactación mecánica del relleno
El efecto del procedimiento de construcción en el empuje producido por los rellenos sobre los elementos de soporte es grande, sobre todo, el referente a la compactación, ya que incrementan substancialmente el valor de los empujes. Actualmente, es muy utilizada la compactación mecánica en los muros de tierra armada y los construidos con geotextiles.
Los métodos de cálculo para tomar en cuenta el efecto de la compactación, son poco conocidos y relativamente nuevos. Los más conocidos son los de Broms, Murray, lngold y R. B. Peck.
Estimación de las presiones que producen los rellenos compactados Cuando los rellenos se compactan en capas con máquinas compactadoras, placas vibratorias o bailarinas dentro del suelo la presión horizontal se incrementa. Durante la compactación las fuerzas ejercidas por el equipo aumenta las presiones horizontales y verticales con valores por encima de los que producen las cargas estáticas. Después de retirado el equipo estas presiones disminuirán, pero siempre permanecerá una cierta presión residual por encima de la que produce la condición estática, que suele ser bastante mayor que ésta.
La estimación de las presiones que ejercen los rellenos compactados sobre los muros es complicada y difícil. Principalmente por el significativo efecto del procedimiento de construcción, por ello se recurre a estimarlas con procedimientos simplificados.
Existen varios procedimientos para estimar el efecto de la compactación de los rellenos, los más importantes pueden clasificarse en:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
1.Procedimientos de cálculo en los que se propone una forma para el diagrama de presiones y conjuntamente se proporciona las fórmulas para definir las líneas envolventes. Actualmente los más usuales, entre otros, son los propuestos por:
O Broms rs Y 61 •
O Murrayr251 •
O lngoldr201 •
O Peck y Mesri¡251•
En estos procedimientos se define el diagrama de presiones que debe aplicarse determinando las líneas envolventes por medio de las fórmulas propuestas por los investigadores.
2. Procedimiento de cálculo que propone el diagrama de presiones por cartas y tablas proporcionadas por Duncan & Seed et al [l ll.
Diagrama envolvente de presiones típico, cuando existe compactación.
61
\; 1mcyc
a) Criterio de Broms
En el criterio de Broms la determinación del incremento de
carga debido al efecto del compactador, /j.crv, se realiza comúnmente utilizando los criterios elásticos de cálculo.
Se utiliza usualmente la solución de Newmark (1935) para
determinar el esfuerzo /j.crv en la esquina de un área rectangular uniformemente cargado.(véase fig. 1.5.2) Por otra parte, para el mismo caso anterior Murray, R.T. (1980) propone
otras fórmulas, C20 a C22, para el cálculo de /j.crH max que se darán en el problema 1.5.1.
Efecto de la compactación mecánica del relleno
ESFUERZO HORIZONTAL,cr8
z
Ka (s v + Os v) íC1l Z z e = L:::..:J
e K = 1/K Kc"f ----..: e o 1 C2 1
______,___~ \_K = 1 - sen f
~nea con ecuacióJ CJ 1
s =K cr H C V ~ C4
'\ B Línea con ecuación 1-----------... s = K cr
H º v 1 cs I
.ó.cr v .- Incremento de carga debido al efecto del compactador. Kc.- Coeficiente de empuje debido al efecto del compactador
Figura 1.5.1 Diagrama de presiones simplificado propuesto por Broms.
Muro
Figura 1.5.2
62 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la compactación mecánica del relleno
a '---4111-.. 11----L ----+
COMPACTADOR MURO
1 He
j z
Capas compactadas CTv = "(z
ó.av.- Efecto del compactador =
Carga estática + Carga dinámica vibratoria.
ESFUERZO HORIZONTAL,au
\\
'\
1-~--_.;:s.,A zc Zc =KA {2P" 1 c1 I t--~------~~ v-;r '\
', ' +-
(jHMAX
,, ',, t
P.- Carga por unidad de ......_ longitud, paralela al muro.
Línea con ecuación
s H = ~ ª v 1 cs I
Línea con ecuación s =K a
H A V
He = -1 fY (}" Hmax = PPy K.4 V"iiY 7t
~ 1mcyc
Figura 1.5.3Criterio lngold.
Figura 1.5.4 Criterio lngold. Envolvene de esfuerzo horizontales.
b) Criterio de lngold (1979).
Propone utiizar· las fórmulas que se presentan en las figuras
1.5.3 y 1.5.4
compactador. Con los vibradores modernos el efecto vibra
torio puede exceder de 5 a 6 veces su peso muerto.
p
p
Peso del compactador
Ancho del compactador
w L
El peso efectivo del compactador es igual a la suma del peso
muerto más el efecto de la vibración desarrollado por el
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Si el compactador tiene varias ruedas, entonces la suma de
los anchos se toma como el ancho total del compactador.
En el caso en el que la orilla del compactador este a una dis
tancia a, del muro y para un a.ncho del compactador, L, ln
gold propone usar la fórmula:
63
~ Efecto de la compactación mecánica del relleno
1mcyc
ESFUERZO HORIZONTAL,cra
Figura 1.5.5
z 1- 3/ 4sen<I>
µ= 2- sen<!>
El criterio de lngold es el más sencillo de aplicar.
c) Criterio de R.B. Peck y Mesri(1987).
Para el cálculo de ~crH propone las fórmulas de la figura 1.5.5
Notas:
Cuando la compactación se hace en sentido transversal y hacia el muro los esfuerzos se pueden incrementar notable
mente. Peck recomienda que se compacte en forma paralela a la corona del muro. La forma de hacer la compactación in-
Figura 1.5.6
64
Línea con ecuación ___ ..., crH = Kr crv = Kr Yz 1 Ct4 I
Línea con ecuación f)..crH//)..z = 'YKo/4(5-51.2 senf) 1 C15 1
crH= Ko Yz + 1/4(51.2 senf -1)/)..crH 1 C16 1
f)..crH .- Incremento de carga hori-zontal debido al efecto del com
Línea con ecuación
1 ClS 1 CRITERIO DE PECK Y MESRI
fluye mucho en el resultado final, una práctica incorrecta produce esfuerzos innecesariamente excesivos.
--------LIMITACIONES:
Los criterios de Broms, lngold y Peck se pueden utilizar en muros de hasta 9.00 metros de altura. -- -La compactación se realiza en el sentido longitudinal al eje del muro. En el sentido transversal y compactando hacia el_ muro se incrementan demasiado las presiones sobre las estructuras por lo que se considera una práctica indeseable.
P.- Carga del compactador.
X2 - X1 .- Ancho del compactador que trabaja en sentido paralelo al muro.
------------------
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la compactación mecánica del relleno
Problema 1.5.1 Dibuje el diagrama de presiones que ejerce un relleno mezcla de arena y grava compactado longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 9.00 m y esta desplantado sobre un estrato de arena. Se usara un compactador que trabajara pegado al muro y en sentido longitudinal, cuyo peso es de 7.5 ton, longitud de 2.40 m y ancho de 1.20 m. Utilice los criterios de: a) lngold. b) Broms. c) Peck.
Propósito:
Analizar el efecto de los trabajos de compactación del relleno por los métodos de análisis de lngold, Broms, Peck y comparar/os.
T 8m
lm
RELLENO :MEZCLA DE GRAVA Y ARENA. c=O 4> = 40° {KA= 0.217) 'Y= 2 ton/m2
ESTRATO DE ~RENA: e = O cj> = 35• 'Y= 2 ton/m2
Figura 1.5.1.1
a) Criterio de lngold.
Determinación del diagrama de presiones sobre el muro.
=~
=~2x711.Sx2 O"Hmax
= 3.09 ton/m 2
=0217~2;:~5
= 0.34 m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
0.34m 3.09 ton/m2
\ \ \
6.78m \ \
3.09 ton/m2
l.88m
DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.2
1 {2;7.5" = 0.217 -y-¡;;;-
= 7.12 m
La presión en la base del muro es:
crHv = KA y H
E
= 0.217 X 2 X 9
= 3.91 ton/m2
= 0.34 X 3.09/2 + 3.09 (6.78 + 1.88) +
+ 1.88/2 (3.91 - 3.09)
= 28 05 ton
El empuje activo debido a Rankine es:
= Yi kAyH 2
= Yi X 2 X 0.21 7 X 92
= 17.58 ton (por metro lineal de muro)
65
o 1mcyc
El empuje activo E de Rankine se incrementó 28.05/17.58 = 1.60 veces por el efecto de la compactación.
b) Criterio de Broms
Para el cálculo del valor del esfuerzo horizontal en el punto de quiebre A, se puede calcular el incremenento de la pre-
crH = Ko ('YH + fl.crv)
Efecto de la compactación mecánica del relleno
fl.crv se calcula haciendo una tabla para calcular los esfuerzos verticales sobre un plano horizontal para el caso de una carga uniforme sobre un area rectangular a diferentes profundidades z.
w = P/(LxB) Muro
Compactador
z
Figura 1.5.1.3
sión vertical causado por el compactador por el criterio de R.W. Fadum para la distribución de esfuerzos bajo una superficie uniformemente cargada.
Tablal Criterio de Fadum
wx 2 licrv KoC~crv + yz) cruz z m n yz Kcyz
0.10 12 12 0.248 5.20 1.29 0.20 0.54 0.55
0.12 10 10 0.247 5.20 1.28 0.24 0.55 0.67
O.lOm
0.66m
8.24m
KoYz = 0.36 x 2 x 9 = 6.48 ton/m2
DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.4
66
Se eligen los valores de z = 0.1 O m y crH = 0.55 ton/m2 para el punto A.
El valor del empuje E es:
E = 0.1 Ox0.55/2 + 0.55(0.66 + 8.24) +
+ 8.24/2(6.48 - 0.55)
E = 29 35 ton(por metro lineaD
El valor del empuje E es un poco mayor que el de 28.25
ton, calculado con el criterio de lngold.
Criterio de Broms-Murray. ·Proposición de Murray, R.T. (1980) para determinar el punto de quiebre A. Para ello, utiliza las fórmulas siguientes aplicables para una carga unifor- .. memente distribuida en un ancho de banda paralelo al muro y de longitud infinita:
P 1 x3 { 1-2 µ) l a+ l
/icr = 7tZ L RJ - R + z x J [C20] a
r '(x)3 (x)l lx 1 P 1 'R - 2 'R 1 •·L 1
zA =~-1 K 1 r [c211
l "Y l K: -l J. J
crH = Koyz + /icrHmax [C22]
Donde:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de Ja compactación mecánica del relleno
L = Ancho del compactador.
a = Distancia de la orilla del compactador a la esqui-na de la corona del muro.
R = (x2 + z2)112
Kc = 1/K0
La relación de Poissons
µ
Para este problema a = O.
p r L3 (1-2µ) i = rrz L R3 - R + z L J
µ = 0.56 ; L = 1.20 m ; P = 7.5 ton ; R = (z2 + 1.202)112
Ko = 0.36 ; KP = 2.78.
Se construye la tabla siguiente, en dónde se deben igualar
crH y Kryz.
Tablal Criterio de Murrar
z ,1crH Koyz SH KpyZ
0.25 9.64 0.18 6.11 1.39
o.so 7.10 0.36 7.46 2.78
0.61 3.01 0.44 3.45 3.39 Se elige
0.62 2.94 0.45 3.39 3.45 z = 0.61
0.63 2.87 0.45 3.32 3.50 OH = 3.45
El valor del empuje E es:
E = 0.61x3.45/2 + 3.45(4.18 +4.21) +
0.61 m
3.45 ton/m2
4.18m
3.45 ton/m2
4.21 m
Ko'Yz = 0.36 x 2 x 9 = 6.48 ton/m2
DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.5
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
+ 4.21/2(6.48 - 3.45)
E = 36 38 ton(por metro lineaD
El valores un 24 % mayor que el de 29.35 ton/m 2 calculado con el criterio de Broms.
d) Criterio de R.B. Peck
µ = (1- % sen ~)/(2 - sen ~)
= 0.38
L = 1.20 m
= 0.36
P = 7.5 ton ; x1 = O
= 1/KA
= 1/ 0.217
= 4.61
MjM = (0.36 x 2)/4(5 - 5u x o.64)
= 0.12
Determinación del punto de quiebre:
z 0.25
o.so 10.82
7.10
0.18
0.36
(1) Se aplicó la fórmula [ C19]
(2) Se aplicó la fórmula [ C16]
6.83
4.56
= 4.56 + 0.28 ( z = 0.50 m)
0.50m
8.50m
1.15
4.61 Se elige
6.94 ton/m2
1.00m ._____\ DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.6
67
~ 1mcyc
A la profundidad de 9 m
crH = 6.94 ton (por metro lineal)
E
E
= 4.56x0.50/2 + (4.56 + 6.94)8.5/2
= 50.02 ton (por metro lineall
El empuje E se incrementó 1.78 veces con respecto a lngold.
Problema 1.5.2 El relleno del mismo muro del problema anterior 1.5.1 se compactará dejando un espacio mínimo entre la corona del muro y el compactador de un metro. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.
Propósito.·
Analizar el efecto de dejar un espacio entre muro y compac
tador en las presiones que ejerce un relleno sobre un muro.
La fórmula que se aplica es:
0.34m
6.78m
l.88m
2 2.19 ton/m
2 2.19 ton/m
4.12 ton/m2
DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.7
68
Efecto de la compactación mecánica del relleno
L Longitud del compactador = 2.40 m
a Distancia de la traza del compactador al muro = 1.00 m
( L ) 2.40
a+ L = (1.00 + 2.40)
= 0.71
Los valores de crHmax encontrados anteriormente se multiplican por 0.71:
crHmax = 0.71 X 3.09
= 2.19 ton/m2
Los otros valores permanecen iguales.
E = 0.34 X 2.19/2 + 2.19 (6.78 + 1.88) +
+ 1.88/2 (4.12 - 2.19)
= 21 1 5 ton (por metro ljneall
Comparando este valor con el obtenido al compactar desde la orilla, se tiene: 21.15/28.25 = 0.75
El empuje disminuyó 25% al separar el compactador un metro de la orilla del muro.
0.34m
8.66m
15.45 ton/m2
15.45 ton/m2
4.12 ton/m2
DIAGRAMA DE PRESIONES
Figura 1.5.1.8
Problemas básicos de empujes de ~uelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la compactación mecánica del relleno
Problema 1.5.3 El relleno del mismo muro del problema anterior 1.5.1 se compactará adicionándole al compactador un sistema vibratorio que incrementa el empuje estático cinco veces. Se desea dibujar el diagrama de presiones y encontrar el valor del empuje utilizando el criterio de lngold.
Propósito:
Analizar el efecto de la compactación por vibración.
Cálculo de empuje horizontal máximo.
~'t~x2 = 5 X 3.09
= 15.45 ton/m 2
E = 0.34 X 15.45/2 + 15.45 X 8.66
K!Ka
o 1
I / I I
/ ¿ I /
/B ' I / I I
/
/
/ ¡
I I z
/ / I / I ,
I / I / I /
/ / I
I /
6.lOm
I , ¡l l'
1.5
• I / I ' I • I
/ I • I • I
/1 • I . ,
¡, ,•/
2
J) /
,i I
I I
I I
I I
I
I
o 1mcyc
E = 136 42 ton (por metro linean
Comparando este valor con el obtenido por el criterio de Rankine, se tiene:
136.42/28.25 = 4.83
El empuje se incrementó 4.83 veces con respecto a la compactación estática ..
Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados
El empuje de los suelos sobre este tipo de muros, cuyos rellenos son predominantemente granulares, dependerá principalmente del procedimiento de construcción, tipo de refuerzo y restricciones que se usen. Los tipos de refuerzo pueden ser desde rígidos hasta bastanteflexibles. Si el muro cede lo suficiente al empuje entonces la presión activa de
I I
I I
I I
I
I
/E
3 Coeficiente de empuje real
Coeficiente de empuje activo
A. Geotextil. B. Geomalla. C. Tiras metálicas. D. Mallas de barras E. Mallas de alambre
Profundidad, en metros
RECOMENDACIONES DE VALORES DE K/KA PROPUESTOS POR EL TRANSPORTATION
RESEARCH BOARD
Fig.1.5.2 Empuje de los suelos en muros de suelos mecánicamente estabilizados.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 69
~ Efecto de la compactación mecánica del relleno
1mcyc
Tabla 1.5.4.1
Punto Proff Geotextil Geomalla
o 1.0 X 0 = 0 1.50 X 0 = 0
2 1.52 1 x(1.7 x 1.52L= 2.58 1.37 X 2.58 = 3.53
3 3,05 1 X(1.7 X 3.05) = 5.18 1,25 X (1.7 X 3.05) = 6.47
4 4.57 1 X(1.7 X 4.57) = 7.77 1.12 X 7.77 = 8.70
5 6.10 1 x(1.7 x 6.1 O) = 10.37 1.0 X 10.37 = 10.37
6 8.00 1 X(1.7 X 8) = 13.60 13.60
Rankine puede ser la apropiada, como es el caso de los muros hechos con geotextiles, para otro tipos de muros con restricciones más rígidas los empujes son mayores.
Los valores recomendados por el Transportation Reseach Board (1995) para el coeficiente de empuje lateral sobre un muro me
cánicamente estabilizado se muestran en la figura 1.5.2:
Problema 1.5.4. Calcule el diagrama de presiones que ejerce el suelo pura
mente friccionante, <!> = 30°, y = 1.70 ton/m3 y 8.00 m de altura, en un muro mecánicamente estabilizado con el criterio del Transportation Reseach Board para las alternativas de:
70
A. Geotextil.
B. Geomalla.
C. Tiras metálicas.
D. Mallas de barras.
E. Mallas de alambre
Tiras metálicas Mallas de barras Malla de alambre
2.00 X 0 == 0 2.50 X 0 == 0 3.00 X 0 = 0
1.87 X 2.58 = 4.82 2.25 X 2.58 = 5.80 2.62 X 2.58 = 6.76
1.50 X 5.18 = 7.77 2.00 X 5.18 = 10.36 2.25 X 5.18 = 11.65
1.25 X 7.77 == 9.71 1.75 X 7.77 = 13.60 1.87 X 7.77 = 14.53
1.0 X 10.37 = 10.37 1.50x 10.37 = 15.55 ¡.5o x 10.37 = 15.55
13.60 13.6 X 1.50 = 20.40 13.6 X 1.50 = 20.40
Propósito:
Estimar las presiones que ejerce un suelo granular sobre un muro mecánicamente estabilizado utilizando un determinado criterio para analizar diferentes alternativas.
Solución:
Se hará la tabla 1.5.4.1 para calcular el valor de la presión en diferentes profundidades. A cada profundidad se le apli
cara la ecuación:
crH = Ky H
La K que se aplicaráerá la que nos indica la Transportation
Reseach Board para cada profundidad.
Con estos valores se puede dibujar el diagrama de presiones sobre los muros y los valores de los empujes respectivos.
El cálculo de las presiones siguiendo las recomendaciones del Transportation Reseach Board es sencillo. El pro
cedimiento de construcción, como es la compactación del relleno es muy importante y deben seguirse las reco
mendaciones al caso que proporcionan diferentes institu
ciones.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de los sismos
En 1970 durante la 2a. Conferencia Especial de la ASCE se
sugirió (Seed y Whitman) emplear la ecuacion de Monobe
Okabe como base del método estándar para el diseño de es
tructuras de contención.
En 1990 durante la Conferencia Especial de la ASCE en la
publicación, Geotechnical Special Publication no. 25, Ro
bert V Whitman en su artículo: Seismic Design And Behavoir Retaining Wal/s nos dice: "El comportamiento de Jos muros de gravedad y otras estructuras de retención es bastante más complicado que lo propuesto por el modelo físico y matemático de Monobe-Okabe, sin embargo, esta venerable ecuación cuando es bien aplicada y se introducen los parametros y factores de seguridad correctos da una sólida base de diseño de muchas estructuras de retención".
En las conclusiones afirma:"f/ resultado de las investigaciones permiten concluir que es satisfactorio el uso de la ecuación de Monobe-Okabe para el diseño de muros simples de hasta 9 metros (30 pies) de altura, para muros de mayor altura deben hacerse análisis más cuidadosos".
Como el Método de Monobe-Okabe se utiliza solamente en
suelos puramente ficcionantes se puede utilizar una exten
sión de este método para el caso de suelos con cohesión
propuesto por Prakash y Saran (1966 y 1968).
Estos dos métodos se utilizan en casos que el nivel freático
está profundo,· para el caso de NAF superficial se requieren
análisis cuidadosos bastante más complicados.
El movimiento de los terrenos durante los sismos tiende a in
crementar las presiones que actúan sobre los muros. Varios
autores, entre ellos T. H. Wu consideran que: muros con fac
tores de seguridad mayor de 1.5 para cargas estáticas pue
den soportar una aceleración horizontal de 0.2g y que para
aceleraciones mayores se deben considerar las fuerzas sís
micas adicionales.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Criterio de Monobe-Okabe (1929)
Es el más usado para considerar el efecto sísmico. Conside
ra una cuña tipo Coulomb sujeta adicionalmente a fuerzas
horizontales y verticales inducidas por el sismo, que se cal
culan por las fórmulas:
EAt = EAE + EAD
EAT Empuje activo total.
EAE Empuje activo estático.
EAo Empuje activo dinámico, actuando a 0.6 Ha partir de la base (Seed y Whitman).
Empuje activo total (estático mas dinámico):
EAT = Yz H2 (1 - k) KAD
Empuje pasivo total (estático mas dinámico):
EPT = Yz H2 (1 - k) KPD
Donde:
2 J ( sen(~+O)sen(~-0-Pl )X ]2
COS CO cos9 COS(8+9+co;¡_1 + cos!&tro+al cos!w-Pl
cos2 (~-e +co)
2 J ( sen(~+O)sen(~+O-Pl )X ]2
COS co COS 9 cos(8 + 9 - CO't_ 1- cos!l>-w+OJ cos!w-Pl
kH Coeficiente sísmico de aceleración horizontal
kv Coeficiente sísmico de aceleración vertical
componente horizontal de la aceleración sísmica g(aceleración de la gravedad)
-componente vertical de la aceleración sísmica
kv - g(aceleración de Ja gravedad)
71
~ 1mcyc
Figura 1.6.1 Empuje dinámico. Cirterio de Monobe-Okabe.
Problema 1.6.1. Un muro de retención de 4.00 m de altura soporta una gra
va arenosa con un peso volumétrico y = 1.55 ton/m3• La
cohesión es nula y el ángulo de fricción es de~ = 30º. El
muro es de respaldo vertical, co = Oº y se considerara que el ángulo de fricción entre el muro y el relleno es de
8 = ~/2 = 15º. Determine la presión sobre el muro del relleno si el sismo de diseño induce una kv = O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.
Propósito:
Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el criterio de Monobe-Okabe para un suelo friccionante.
Solución:
La componente vertical del sismo es igual a cero (kv = O).
Aplicando la fórmula de Monobe-Okabe con:
~=30º, co=P=Oº, N8=15º y 8= tan·1(kH1/1-kv) = tan-1(0.2/1) = 11.31º
obtenemos:
KAU = 0.452
El empuje total debido al empuje estático mas el del sismo
vale:
EAT = Yi y H2 (1 - k) KAD
EAT = Yi X 1.55 X 42 (1 - O) X 0.452
.EAI = 5.61 ton/m.I.
El empuje estático vale:
72
Efecto de los sismos
0.6H
l = Yi X 1.55 X 42 X 0.30 (KA = 0.30)
.EAL = 3.74 ton/m.I.
aplicado a
4/3 = 1.33 m
El empuje, debido al sismo, es igual al empuje total menos el empuje estático.
EAD = 5.61 - 3.74
.EAU = 1.87 ton/m.I.
aplicado a
0.6 X 4 = 2.4 m
La posición de la fuerza resultante de la estática y la dinámi
ca es:
d X EAT = EA H/3 + EAD X 0.6 H
= 3.74 X 4/3 + 1.87 X 0.6 X 4
= d X 5.61
d = 1.69m
El método de Monobe-Okabe es recomendado por la
A.S.C.E. (1970 y 1990) como un método estándar para
evaluar las fuerzas dinámicas sobre los muros por los
aceptables resultados obtenidos en la práctica.
Problema 1.6.2 Un muro de retención de 6.00 m de altura soporta un relleno de arena, con talud inclinado de la superficie de 1 Oº,
que tiene un peso volumétrico y = 1.75 ton/m3• La cohe
sión es nula y el ángulo de fricción es de~ = 35°. El muro es
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de los sismos
de respaldo vertical, ro = Oº y se considera que el ángulo de
fricción entre muro y relleno es de 8 = 2~/3 = 23.33º. Determine la presión del relleno sobre el muro si el sismo de diseño induce una kv = O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.
Propósito:
Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el criterio de Monobe-Okabe.
Solución:
La componente vertical del sismo es igual a cero (kv = O).
Aplicando la fórmula de Monobe-Okabe con:~= 35º, ro= Oº,
p = 1 Oº, 8 = 23.33º
y 8 = tan·1(kH1/1-kv) = tan·1(0.2/1)=11.31 º
Aplicando la fórmula obtenemos:
KAll = 0.464.
El empuje total debido al empuje estático más el del sismo vale:
EAT = Yi Y H 2 (1 - k) KaT
EAT = Yi X 1.75 X 62 (1 - O) X 0.464
.EAI = 14.49 ton/m.I.
El empuje estático vale:
EA = Yi X 1.75 X 62 X 0.271 (KA = 0.288)
.EAL = 9.07 ton/m.I.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
\') 1mcyc
aplicado a
6/3 = 2.00 m
El empuje debido al sismo es igual al empuje total menos el empuje estático.
EAD_ =14.49-9.07
.EAO.. = 5.42 ton/m.I.
aplicado. a
0.6 X 6 = 3.6 m
La posición de la fuerza resultante de la estática y la dinámi
ca es:
d X E AT = E A H/3 + E AD X o. 6 H
d X 14.49 = 9.07 X 6/3 + 5.42 X 0.6 X 6
d = 2.59 m
El método de Monobe-Okabe es muy sencillo de aplicar y ofrece resultados aceptables en la práctica.
El método de Monobe-Okabe se aplica en suelos puramente friccionantes con NAF profundo.
El efecto del agua cuando suceden sismos es importante y requiere de consideraciones cu!dadosas que estan fuera del alcance de este libro. Existen reportes de numerosas fallas por esta causa, en zonas sísmicas costeras y fluviales, sobre todo en suelos y rellenos cohesivos.
73
Método de Prakash - Saran
SOBRECARGA,q
11 .. llr, ZONA1filE 11 11 AGRIE;'rAMIENTO :1
1 :11 fü
_____ J __________ ! __________ J ___ r --------
Wkh ,,
1 e ,," :~.-" FR 1 ,. 1 ,. ;
1 ;
~ ;' ;'
; ;
" ;
f'.igura 1.6.4 Empuje Dinámico. Criterio de Prakash-Saran. Aplicable a suelos con cohesión.
H
o 1mcyc
La fórmula propuesta para calcular el empuje dinámico es: {(n + Yi)[tan(ro) + tan(xl + 4- tan( ro)]} · [cos(x + ~) + KHserl.x + ~ )]
EAo =yH2 [N Ay] +qH[N Aq]-cH[N Ac1 1.6.1
Los coeficientes NA1 , Naq y NAc se determinan aplicando las fórmulas siguientes:
n = H/H
[ cos(x + $ +ro) sec(ro) + cos($ )se(x)] N -~__:_;:...._.:..._~~~~~--'-~--'-
Ac sen(x +$+ro +8) 1.6.2
[(n+ 1) tan(ro) + tan(x)][cos(x +$) + KHsen(x +$)] NA - 1.6.3
q sen(x +$+ro +8)
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
NAy = ser( x + ~ + ro + o)
1.6.4
Problema 1.6.4. Un muro de retención de 6.00 111 de altura y respaldo inclinado ro = 10° con respecto a la vertical soporta un limo arenoso que tiene un peso volumétrico y= 1.55 ton/m3 sobre el cual existe una sobrecarga de 2 ton/m2
• La cohesión
es 1.7 ton/m2 y el ángulo de fricción es de $ = 12º. Se consi-
75
o Método de Prakash - Sacan
1mcyc
1 1 q = 2 ton/m2
11 11 1, Figura 1.6.4.1 Criterio de Prakash-Saran.
ZONA •füE 1 , 1 , ... ·r,
AGRIEif AMIENTO :,' :,' fü -----~----------! __________ ]___ --------
Wkh /
M ,' .......... e:
, , ,
-11 ...... •c.G. /:
', , ' LIMO-ARENOSO
1 ,'' <1>=12° í--c ,' F c=2ton/m2 1 .. ~, R : / ',
45º NAF Profundo
: , , ' \ kH = 0.2
H
HT =6m
_________ ........ ------ -·- ---- - --------- ----
derara que el ángulo de fricción entre muro y el relleno es
de o= ~/2 = 6. Determine el empuje activo dinámico producido sobre el muro por una cuña cuya base esta inclinada 45° con respecto a la horizontal, si el sismo de diseño induce una kv= O y una kH = 0.2. Además determine la posición de la resultante.
Propósito:
Calcular el efecto de un sismo sobre un muro utilizando el
criterio de Prakash-Saran para un suelo con cohesión y fric
ción.
Solución:
Se aplicaran las fórmulas de Prakash-Saran, donde:
La profundidad de las grietas de tensión es:
2c.ji<; HA=
y
HA y n =
H
HA = 2 X 2 X ( 0.656) 112/1.55
= 2.09 m
:. H = 6- 2.09
= 3.91 m
n = 2.09/3.91
= 0.53
o= ~12 = 12/2 = 6° ; X= 45° ;~ = 12° ; co = 10 º;
[cos(45 º + 12 º + 10 º) sec(10 º) + cos(12 º) sec(45 º)]
sen(45º +12º +10º +6º)
= 1.867
76
o o o o o o [(0534+1)tan(10 )+tan(45 )][cos(45 +12 )+0.2scn(45 +12 ))
N Aq = o o o o scn(45 +12 +10 +6 )
NAq = 0.946
NAy =
{ 0.532 }
(053 + OS)[tan(lO) + tan(45) + -2
- tan(lO)) [cos(45 + 12) + 0.2scn(45+12))
scn(45+12+10 + 6)
= 0.811
= 1.55 X 3.91 2 X 0.811 + 2 X 3.91 X 0.946+
- 2 X 3.91 X 1.867
.EAll = 12.02 ton
El empuje dinámico es de 12.02 toneladas aplicado en el
centroide de la cuña analizada y con un ángulo con la hori
zontal igual a o + co = 6° + 1 Oº = 16º. Para encontrar el em
puje máximo será necesario encontrar la cuña que produce
el empuje estático máximo y determinar su empuje para su
marle el empuje dinámico.
El método de Prakash-Saran se aplica a suelos cohesivos
como arcillas, limos, arcillas arenosas, arcillas limos y limos arenosos, entre otros.
El método pretende ser una extensión del establecido por
Monobe-Okabe que sólo se aplica en suelos puramente
friccionantes, pero no tiene todavía la suficiente compro
bación práctica del método Monobe-Okabe.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
EMPUJES DEL AGUA
Problema 1.7.1. El relleno del muro que se muestra primero esta _seco y después se satura completamente de agua a causa de fuertes lluvias y escurrimientos superficiales. Determine la presión que ejerce el agua sobre una cuña del relleno que se muestra en la figura, cuya base esta a 60° con la horizontal, para los casos siguientes: a) El relleno esta seco.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie durante un tiempo.
c) Se coloca un dren horizontal en el desplante del relleno.
d) Se coloca un dren inclinado 3~º con respecto a la horizontal.
e) Se coloca un dren vertical pegado al respaldo del muro.
77
~ Efecto de la lluvia y el flujo del agua
1mcyc
Figura 1.7.1 Suelo natural impermeable. 1
Arena fina: 'Ym = 1.60 ton/m3
'Yd = 1.05 ton/m3
<1>=30° c=O
Rjm L=0.33 muro liso.
«------1'-SUELO NATURAL IMPERMEABLE
Propósito:
Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad del muro. Además determinar la influencia de la colocación de drenes en diferentes posiciones. a) El relleno esta seco.
f = YiKAydH 2
f = Yi X 0.33 X 1.05 X 82
= 11.09 ton por metro de ancho. b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie.
f = YiKAy 'mH2
f = Yi X 0.33 X (1.60 - 1) X 82
= 6.34 ton por metro de ancho. Además se debe considerar el empuje horizontal del agua U.
.U = Yi X 1 X 82
= 32 ton por metro de ancho,
f 1_ = E + U
= 32 + 6.34
E101ª1 = 38.34 ton por metro de ancho. c) Colocación de un dren horizontal.
Figura 1.7.2
1
Solución.·
Se dibuja la red de flujo para la condición dada.
La fuerzas de filtración son verticales y no ocasionan ningún empuje horizontal sobre el muro. Por lo que el empuje vale:
f = Yi KA Ym H2
= 0.5 X 0.33 X 1.6 X 82
= 16.90 ton por metro de ancho. En esta solución se utilizo el peso volumétrico de la masa comple
tamente saturada, ym. En el caso de haber utilizado el peso volumé
trico sumergido, y·m,, adicionándole la fuerza de filtración, sucedería que: como aquí el gradiente hidráulico, i , vale la unidad
entonces la fuerza de filtración por unidad de volumen Uw= i xyw),
actuando hacia abajo y para yw = 1, evidentemente también vale
uno, por lo que quedaría: y·m + 1 = ym y el resultado seria el mismo. Puede observarse que el empuje de la condición b disminuyo hasta casi la mitad.
d) Colocación de un dren inclinado 30º
Solución:
Se dibuja la red de flujo para la condición dada.
Como las líneas de flujo son verticales y las equipotenciales horizontales igual que el inciso b) el resultado es el mismo:
f = Yi KA Ym H2
Líneas de flujo
Rlm Líneas equipotenciales
/;;;.~T=u=bº:::===JE5Eii!.llillEtEEE:as:!rEZBEE:I:iE:E!EElE~:E:EEE'E~ . ...--nren
78 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
= 0.5 X 0.33 X 1.6 X 82
= 16.....9..0. ton por metro de ancho. e) Colocación de un dren vertical pegado al respaldo del muro.
Solución:
Para la determinación del empuje del agua U, Comúnmente se uti
lizan dos procedimientos:
\) 1mcyc
Líneas de flujo
Líneas equipotenciales Figura 1.7.3
1) Utilización de la red de flujo para la cuña que produce el máxi
mo empuje, según el método de Coulomb; para lo cual se requiere probar diversas cuñas para obtener el máximo empuje.
2) Procedimiento propuesto por Gray para el caso de un muro con
dren vertical pegado al muro.
Superficie de falla
EMPUJE HIDRODIN~MICO SOBRE LA SUPERFICIE DE FALLA {Gray, 1958)
f=U/2 Y .. H2
1
04
1 1 1
1 1
1
l
~V / 0.2
/ ,.
~
o 10 20
Figura 1.7.4 Gráfica propuesta por Gray.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
/ i 1 i
y /
,,,,. 1
30 40 a, GRADOS
./
1
1 1
50
79
o 1mcyc
Obtención de U por medio de la red de flujo
El caso a) es el del polígono de relleno seco.
El caso b) es el del polígono de relleno sumergido. En el peso su
mergido W' dará el empuje del suelo y UH el del agua que es considerable.
Los casos c) y d) corresponden al caso del relleno con flujo vertical.
B
7
Sm
A
B e
e
}m m
El área se considerará igual al promedio de las Hp por el segmento ~L1 correspondiente.
Figura 1.7.5 Cálculo del empuje del agua sobre una cuña.
80
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
',,/equipoten iales
' ' ' ' ' ' ' ' ' \ \ \
~ 12m
Líneas de flyjo
PUNTO Hp {m}
o o
1 0.84
2 1.37
3 1.73
4 2.10
5 2.31
6 2.21
7 1.58
8 o
\ \ \
AL {m}
0.60
0.80
0.90
1.00
1.23
1.40
1.60
1.70
ÁREA {~HpXL}
0.25
0.88
1.40
1.92
2.71
3.16
3.03
1.34
Área total = 14.69 U =Área x ancho x Yw = 14.69 x 1 x 1 = 14.69
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
RELLENO CON OREN VERTICAL
Cuando O= O el empuje ::sobre el muro valdrá E + UH
Figura 1.7.6 Polígonos de fuerza para diferentes casos de drenaje en muros.
Para el caso e) se utilizará el polígono correspondiente al caso del relleno con dren vertical. En nuestro problema el ángulo de fricción entre muro y suelo vale cero.
LFY =O;
+ 14.69 x sen 30° + FR x sen 60° - 25.60 = O;
E
U=14.69 ton
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
POLfGONO DE FUERZA
<1Ws F~
RELLENO SECO
W'
RELLENO SUMERGIDO
RELLENO CON FLUJO VERTICAL
FR = 21.26 ton
LF =O· X I
- 14.69 X cos 30° - FR X cos 60° + E = o Resolviendo las ecuaciones:
E = 23.24 ton por metro de ancho
Figura 1.7.7
W=25.60ton
~ 1mcyc
81
"i 1mcyc
Cálculo de U por el procedimiento de H. Gray. Considerando la gráfica de la Gray con:
a = 30° -obtenemos:
f = 0.27 Aplicando la fórmula indicada f = U/2ywH 2
, obtenemos:
U = 2ywH 2f
LJ = 2 X 1 X 82 X 0.27
= 34.56 ton por metro de ancho.
LFY = O;
+ 34.56 x sen 30° + F R x sen 60° - 25.60 = O
:¿fx = O;
- 34.56 X cos 30° - F R X cos 60° + E = o Resolviendo las ecuaciones:
E = 34.73 ton por metro de ancho
Cuando la cimentación es impermeable, la introducción del agua en el relleno por lluvia intensa o por escurrimien
tos superficiales puede saturar completamente el relleno e
incrementar substancialmente el empuje sobre el muro. Por otra parte, como se vio en este ejemplo, la colocación de drenes disminuye considerablemente el empuje de re
llenos sobresaturados. La colocación de drenes horizontales son los más efectivos, pero también los más problemá
ticos de construir por lo que se prefiere por razones
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
gados al muro, pues aunque son menos efectivos disminuyen bastante el empuje. El resultado para este caso del método que utiliza el dibujo
de la red de flujo fue bastante menor el propuesto por H. Gra ara el dren vertical e ado al res aldo en 1.49 veces.
Problema 1.7.2
Calcule los empujes que se generan por presión del relleno, _del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura.
Propósito.·
Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad de la tablestaca.
Solución.·
Considerar los siguientes pasos:
1) Determinación de los empujes del agua por el flujo hidrodinámi
co. Para ello, se hace el trazo de la red de flujo partiendo de ella deberá hacer los cálculos pertinentes. Otro camino a seguir es utilizar la proposición hecha por Terzaghi.
2) Se determinara la presión activa en el respaldo debida al empuje
del suelo y la sobrecarga en diferentes puntos.
CJA = KAcr'v+ KA q
1
2.70m 1.50m t ... _____________ __ Tirante
Figura 1.7.8 Hw=2.90m
11.00 m
7.lOm E
82
Variación de las mareas
Arena gruesa: <I> =30° c=O 'Ym = 1.85 ton/m3
'Yd = 1.15 ton/m3
KA= 0.33 Kp=3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de Ja lluvia y el flujo del agua
Para calcular las presiones efectivas verticales, cr 'v, se utilizara la
Ley de las Presiones de Terzaghi que indica: La presión total es
igual a la suma de la presión efectiva y la del agua.
cr=cr'+U Por tanto es necesario determinar las presiones del agua U, previa
mente.
3) Se determina la presión pasiva hacia el frente de la tablestaca en
diferentes puntos.
4) La presión total es igual a la presión del suelo más la de la sobre
carga, más la debida al agua.
1) Determinación de las presiones del agua sobre la tablestaca por el flujo hidrodinámico.
Se dibuja la red de flujo como se indica en la figura 1.7.9
Se calcularan las presiones del agua en el respaldo del muro.
Se tienen 9 caídas de potencial y Hw = 2.90 m por lo que:
.6H = 2.90/9 = 0.32 m Para determinar las presiones en el punto considerado:
a) Se medirá la distancia entre el punto considerado y el nivel supe
rior del agua, punto 1, sobre el lado del respaldo de la tablestaca. A
esta distancia se le restara el número de caídas del potencial multi
plicado por yw.
b) Si existe presión del agua en la parte frontal de la tablestaca se le restara a la presión ejercida en la parte posterior. En la parte del suelo esta
presión es igual a la distancia medida en este punto menos las caídas de
potencial por ~Hyw correspondientes.
TABLESTACA
En el punto 1 .
u, =o En el punto de baja marea.
u2.90 = 2.90 ton/m 2
En el punto 2.
u 2 = 3.80 - 0.80 - o.32
= 2.68 ton/m 2•
En el punto 3.
U3 = 7.00 - 2 X 0.32 - 3.90
= 2 .46 ton/m 2•
En el punto 4.
LJ 4 = 8.30 - 2.6 X 0.32 - 5.40
= 2.07 ton/m 2•
En el punto 5.
LJ 5 = 9.30 - 3 X 0.32 - (930 - 8.4 X 0.32) = 1 .73 ton/m 2
En el punto 6.
LJ 6 = 11 . 10- 4 X 0. 3 2 - ( 11 . 10 + 2. 3 X 0. 3 2) = 0.88 ton/m 2
En el punto 7.
LJ 7 = 11.40 - 5.6 X 0.32 - (11.40 - 5.6 X 0.32) = O ton/m2
o 1mcyc
La determinación de las presiones del agua para suelos permeables
propuesta porTerzaghi se muestra en la figura. Como puede obser
varse es muy sencilla, el error que produce no es muy grande y esta del lado de la seguridad.
SIMPLIFICACIÓN PROPUESTA POR TERZAGHI
VARIACIÓN G---~-------,..._ ___ ....___.......,...__,...., Hw
DE LAS MAREAS
Hw
J. CIMENTACIÓN IMPERMEABLE
Figura 1.7.9 Tablestaca sujeta a presión del agua por un flujo causado por la variación de las mareas.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 83
\i 1mcyc
2) Determinación de las presiones activas provocadas por el suelo
y la sobrecarga.
Punto A~ O+ 0.33 x 3 = 1.00 ton/m2•
Punto B cm = 0.33 x 1.15 x 2.70 + 0.33 x 3 = 2.02 ton/m2•
Punto e O"AC = 0.33 X (1.85 X 5.60 - Uc) + 0.33 X 3 = 4.42 - Ud3 ton/m2
•
a.A.e--==. 4.42 - 2.90/3 = JA5. ton/m2
Punto D ~ = 0.33 x (1.85 x 11.00- Uo) + 0.33 x 3 = 7.72- Uo/3 ton/m2
•
a~ 7.72 - 2.07/3 = L0.3. ton/m2
Punto E O"AE = 0.33 x (1.85 x 14.10 - Ue) + 0.33 x 3 = 9.61- Ue/3 ton/m 2
•
a~ 9.61-0/3 = ~ ton/m2•
3) Determinación de las presiones pasivas hacia el frente de la ta
blestaca:
Punto D crro = O
Punto E crre = 3 x (1.85 x 3.1 O - Ue) = 17.21 - 3Ue ton/m2•
crPE = 17.21 - 3 x O = 17.21 ton/m2. Sin embargo, Terzaghi indica que por efecto del flujo del empuje hi
drodinámico, que en la salida es hacia arriba, se provoca una dismi
nución del peso. Para considerar este efecto propone lo siguiente:
Se considere una reducción al peso en la salida de la tablestaca, 11y.
/ly = 0.32 H)D (ton/m3)
Hw Diferencias de alturas en las mareas alta y baja.
D Profundidad de hincado.
SUELO IMPERMEABLE
SUELOS COHESIVOS IMPERMEABLES
Efecto de Ja lluvia y el flujo del agua
Por lo que en los empujes pasivos únicamente, se tiene para los
puntos:
/ly = 0.32 x 2.90/3.1 O = 0.3.0 (ton/m3)
Punto D crPo = O
Punto E me = 3 x (1.85 - 0.30) x 3.1 O = 14.42 ton/m2•
4) Determinación de las presiones totales.
Punto A crAA = 1.00 + O= 1.00 ton/m2•
Punto B ~ 2.02 + 0= 2.02 ton/m 2•
Punto e O"AC = 3.45 + 2. 90 = 6.35 ton/m2
Punto D crAo = 7.03 + 2.07 = 9.10 ton/m2
Punto E crAE = 9.01 + O = 9.01 ton/m2•
Presiones pasivas:
Punto D. crpo = O
Punto E. crre = 14.42 ton/m2•
Resumen del procedimiento:
Para calcular los empujes horizontales, cuando ocurre un flujo de
agua en un relleno que empuja una estructura de contención, es
necesario considerar que los coeficientes activos o pasivos se apli
can solo sobre las presiones efectivas verticales, esto significa que
es necesario determinar estas presiones. Por otra parte, para hacer
el cálculo de las presiones efectivas verticales se debe aplicar la Ley
de las Presiones de Terzaghi (cr' = cr - u), lo que a su vez requiere
tener como dato la magnitud de las presiones que ejerce el agua u,
en cualquier punto del respaldo de la estructura y la presión total
SUELO PERMEABLE
SUELO IMPERMEABLE
'YH
SUELO PERMEABLE EN LA PARTE SUPERIOR E IMPERMEABLE EN LA INFERIOR
PRESIONES DEL AGUA SOBRE EL RESPALDO
Figura 1.7.10.- Simplificación propuesta por Terzaghi.
84 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Efecto de la lluvia y el flujo del agua
· que se determina fácilmente con la fórmula, cr= yz. Mientras que,
para determinar las presiones del agua se debe trazar la red de flujo
pertinente o bien, en el caso, utilizar la simplificación de las pre
siones ejercidas por el agua sobre un respaldo vertical propuesta
porTerzaghi; que es conservadora y suficientemente aproximada, además de sencilla.
Cuando ocurre un flujo en una estructura de contención para poder calcular los empujes es necesario considerar que los coeficientes activos o pasivos se aplican sobre las presiones efectivas verticales. Por otra parte, para calcular las presiones efectivas es necesario aplicar la Ley de la Presiones de Terzaghi que requiere del conocimiento de las presiones del agua.
A su vez, para determinar las presiones del agua se requiere trazar la red de flujo o también utilizar la simplificación propuesta por Terzaghi, que es conservadora y suficientemente aproximada.
Problema 1.7.3.
Calcule los empujes generados por presión del relleno, del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura.
' 2.70m l.50m
l l
B
Hw=2.90m ,¡, e
11.00 m TABLESTACA
V
3.lOm
7.lOm E
Roca dura
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Propósito:
Determinar la influencia del flujo del agua en el relleno sobre la estabilidad de la tablestaca. Sobrecarga q = 3 ton/m 2
Solución:
Se seguirán los pasos siguientes:
1) Determinación de los empujes del agua por el flujo hidrodinámico.
Para ello se utilizara la proposición de Terzagui para suelos cohesi
vos impermeables, la cual se puede ver en el croquis de la fig. # de
la pagina anterior.
En el punto A.- UA = O ton/m2•
En el punto B.- Us = O ton/m2•
En el punto de baja marea.- U2.9o = 2. 90 ton/m2
En el punto C.- Uc = 2.90 ton/m 2•
En el punto D.- Uo = 2.90 ton/m2•
En el punto E.- Ue = 2.90 ton/m2
2) Determinación de las presiones del suelo y la sobrecarga.
Punto A. crAA = O + 0.33 x 3 = 1.00 ton/m2•
~~ ~-
Punto B. ~ 0.33 x 1.15 x 2.70 + 0.33 x 3 = 2.02 ton/m2•
Punto C. crAc = 0.33 x (1.85 x 5.60- Uc) + 0.33 x 3 = 4.42 - Ud3 ton/m2
•
dJ-M:; = 4.42 - 2.90/3 = .3....4.5. ton/m 2
Punto D. En la arena.
crA01 = 0.33 x (1.85 x 11.00 - U0 ) + 0.33 x 3
Tirante
Figura 1.7.11
85
~ .. 1mcyc
= 7.72 - UJ3 ton/m2.
O"AD = 7.72 - 2.90/3
= .6..15. ton/m2
Punto D. En la arcilla.
crAD2 = ªvo - 2c + q
O"A02 = (1.15 X 2.70 + (1.85-1) X 9.50)-2 X 2 + 3
= 10.18 ton/m2. Punto E
O"AE = (1.15 X 2.70 + (1.85-1) X 9.50 + 3.1X0.75)-2 x 2 + 3 = 12.51 ·ton/m2.
e) Determinación de la presión total.
Presión total = Presión del suelo + presión de la sobrecarga + presión del agua.
Punto A crrA = 1.00 + O = 1.00 ton/m2• --- -~
Punto B Q_rs.....::.. 2.02 + O = 2.02 ton/m2•
86
Punto e O'AC = 3.45 + 2.90 = 6.35 ton/m2
Punto D En la arena.
cr A1ll = 6.75 + 2. 90 = ~ ton/m2
Punto D En la arcilla.
.a:Aill = 10.18 +2.90 = 1.3.JIB. ton/m2. Punto E
.a&- = 12.51 + 2.90 = 15..Af ton/m2. Presión pasiva:
Punto D En la arcilla.
crA02 = (1.15 x 3.10) + 2 x 2 = L5l ton/m2. Punto E
cr AE = O + 2 x 2 = .4..fill ton/m2
La utilización de las simplificaciones propuestas por Terzagui facilitan bastante los cálculos ya que no requieren se dibuje la red de flujo y son conservadoras por lo que son muy usuales para resolver estos tipos de problemas.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Tablestacas
Tablestacas en cantiliver O Método convencional o clásico.
O Método simplificado.
Tablestacas ancladas O Método del apoyo libre.
O Método del apoyo fijo:
t Método del apoyo fijo.
t Reducciones propuestas por Rowe.
t Método de la viga equivalente.
Procedimientos de cálculo de empujes de terreno sobre tablestacas
Dependiendo del tipo de terreno o relleno se dividrn:i-eii.tr.a-.. blestacas ancladas dentro de:
O Suelos puramente friccionantes.
O Suelos puramente cohesivos .
O Suelos con cohesión y fricción.
Dependiendo de las características estructurales, las tablestacas pueden ser:
O Tablestacas en cantiliver o voladizo.
O Tablestacas ancladas.
O Tablestacas que sbportan losas de carga superiores.
O Coferdams.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Las tablestacas en cantiliver se calculan comúnmente por los métodos:
O Convencional o clásico.
O Simplificado.
En las tablestacas ancladas para el cálculo se pueden utilizar los métodos:
O Apoyo libre en el terreno.
O Apoyo libre con las modificaciones de Rowe.
O Apoyo fijo en el terreno.
O Apoyo fijo con la simplificación de la viga equivalente.
O Procedimiento de Brinch Hansen.
O Procedimiento de Meyerhoff.
O Reglas Danesas.
O Métodos numéricos.:elemento finito, diferencias finitas, etc.
En las tablestacas ancladas se calculan además:
O Anclas o tirantes.
O Muertos.
O Pilotes de anclaje.
O Apoyos.
O Uniones.
O Efecto de la corrosión, en las metálicas.
Véanse figuras 2.1 y 2.2
87
·~ 1mcyc
TABLESTACAS EN CANTILIVER
Deformación de la tablestaca, Elástica ~
Longitud de hincado insuficiente
j EMPUJEPASIVO
Figura 2.1 Tablestaca inestable por falta de hincado.
Deformación de la tablestaca, Elástica
Longitud de hincado suficiente
EMPUJE PASIVO EXTERIOR
TABLESTACA ESTABLE
EMPUJE ACTIVO
SISTEMA RESULTANTE DELAS DOS FUERZAS DE EMPUJE
EMPUJE ACTIVO
CONDICIÓN DE ESTABILIDAD: l:M=O I:Fx =O
LA TABLESTACA ES ESTABLE SI PUEDE DESARROLLARSE UN EMPUJE PASIVO INTERIOR DE MAGNITUD SUFICIENTE PARA PRODUCIR EL EQUILIBRIO.
Punto de cambio de signo de la pendiente de la elástica ... Pivote··.
EMPUJE PASIVO INTERIOR
SI TI ENE SUFICIENTE LONGITUD DE HINCA -DO, LA BASE PUEDE CONSIDERARSE SIMILAR A UN EMPOTRAMIENTO. La pendiente de la elástica es vertical en determinado punto.
Figura 2.2.Tablestaca estable con longitud de hincado suficiente.
88 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Método convencional o clásico para el cálculo de tablestacas en cantiliver
Procedimiento para arenas
1.Determine la presión pasiva en el frente de la tablestaca. Si es necesario tome en cuenta el efecto de disminución del peso del suelo en el frente, en el caso de que se presente un empuje hidrodinámico hacia arriba por causa de algún flujo.
2.Determine el diagrama de presiones debidos a los empujes activos y pasivos del terreno; además, los correspondientes al efecto del agua, de las sobrecargas y de todas las fuerzas que actúan sobre la tablestaca.
3.Dibuje el diagrama de presiones netas; que se obtiene al restar las presiones activas de las pasivas.
4.Determine el máximo de la presión pasiva neta que ocurre en la base de la tablestaca.
5.Cheque el equilibrio estático de las fuerzas que actúan a lo largo de la tablestaca. Si no se cumple la condición de equilibrio entonces la profundidad de anclaje es insufi-
\ \ \ i i \ \ \ \ 1
\ Empuje pasivo exterior
\
\ \
b
\ .. \
Empuje activo
Empuje pasivo interior
G 1mcyc
ciente y se debe aumentar, procediendo por tanteos hasta que se logre.
6. Una vez que se tenga la profundidad mínima suficiente para la estabilidad proporcione una longitud adicional por seguridad, en general se adiciona un 20 a 40 % de profundidad de penetración, lo que va a proporcionar un factor de seguridad entre 1.5 a 2.0 de los momentos flexionantes y fuerzas cortantes, aproximadamente. Un procedimiento alternativo también recomendable es reducir de un tercio a un medio el valor del empuje pasivo y con el hacer los cálculos.
7. Calcule el máximo momento flexionante, que ocurre donde el valor del esfuerzo cortante es cero.
8. En los catálogos de los fabricantes escoja un tipo y sección de tablestaca que pueda soportar las acciones máximas calculadas, tanto por momento flexionante como por esfuerzo cortante, considerando el efecto que la corrosión pueda causar durante su vida útil.
9. Determine si las deflexiones de la tablestacas son tolerables. Si no lo son elija una sección que cumpla con este requisito.
Presiones ..__ __ ......;;;;:=---pasivas
interiores
EMPUJES DIAGRAMA DE PRESIONES REAL
DIAGRAMA DE PRESIONES DE RANKINE
Figura 2.3 Tablestacas en cantiliver.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte . 89
o 1mcyc
Figura 2.4 Sustitución de las presiones pasivas interiores por una fuerza, en el
·método simplificado.
Presión pasiva exterior
Método simplificado para el cálculo de tablestacas en cantiliver
Se utiliza solo en arenas. -- '
Sigue los mismos pasos anteriores del método anterior pero
en este método se substituye el triángulo de presiones netas pasivas internas por una sola fuerza concentrada, que es equivalente en el efecto al que producen estas presiones, tal como se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.5 Tablestacas en cantiliver y en arcillas.
90
Presión negativa de tensión que se desprecia.
EXCAVACIÓN EN ARCILLA
Presión pasiva exterior
Fuerza que substituye al efecto de la presión pasiva interior exterior
La simplificación produce un pequeño error, comparándolo con respecto el método clásico, pero no es de consideración.
Procedimiento para arcillas
Las presiones se calculan usando las fórmulas pertinentes a
los suelos cohesivos. En estos suelos debe tener especial cuidado en considerar los cambios que con el tiempo sufren sus propiedades mecánicas. Por otra parte, se acostumbra
desechar las presiones negativas que se presentan en la par-
activa
esión pasiva interior
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
SOBRECARGA
RELLENO DE ARENA Figura 2.6 Tablestacas en arcilla con relleno de arena.
Presión activa
ARCILLA
Presión pasiva exterior
Presión pasiva interior
te superior del suelo, pues se considera que este no trabaja a tensión.
Las fórmulas de Rankine para calcular las presiones en suelos cohesivos son:
crH = crv - 2c = crH - 2c Presión activa
crH = ªv + 2c = crH + 2c Presión pasiva
Es necesario determinar adecuadamente el valor de la cohe
sión c, ya que es variable en el tiempo y además es función de los cambios que tendrá el suelo durante la vida útil de la
obra. Por ejemplo, serán diferentes las consideraciones que hay que hacer para determinar la cohesión, en el laborato
rio, si en el suelo original se hace una excavación o si se le
coloca un relleno encima. Por otra parte, también se debe to
mar en cuenta el agrietamiento y el efecto de la presión del agua dentro de las grietas.
Problema 2.1.1
Calcule la longitud de empotramiento aproximada de una tablestaca en voladizo de 4 m de altura, hincada en arena limpia media que tiene un peso volumétrico de 1.65 ton/m3
y un ángulo de fricción interna de 34°. Utilice:
a) El procedimiento de considerar la distribución de presiones netas de Rankine.
Figura 2.1.1.1 l TABLESTACA
H=4m
ARENA MEDIA LIMPIA Y= 1.65 ton/m3
Profundidad de hincado
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
<I> =34° c=O KA= 0.283 KP = 3.537
91
Q 1mcyc
Figura 2.1.1.2 DEFLEXIÓN DE . LA TABLESTACA
DIAGRAMA DE PRESIONES REAL
DIAGRAMA DE PRESIONES DE RANKINE
·---·-·t·----·-· --·-····--·-·-·-·--·--····-----·-----·---- -·----·-··--·-·---·--·-···-··--···------·-·--····-·-·-·---·-·-·--··-·-··--·-· ···--·····-··-·
PIVOTE
1
\ \ \
\ \ \ 1 1
\ \ 1
\
b) El procedimiento de la distribución simplificada.
Propósito:
Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca en voladizo utilizando la distribución de presiones propuesta por Rankine y el procedimiento simplificado. Véase figura 2.1.1.1
Procedimiento A.
Solución:
Considerar los siguientes pasos siguientes:
a) Se dibuja el diagrama de presiones netas, calculando sus elementos.
Figura 2.1.1.3 r H=4m
l
b) Se aplican las ecuaciones de equilibrio IFx =0, IM =Ó en la base de la tablestaca.
c) Se resuelve la ecuación resultante de aplicar las ecuaciones, que queda en función de la profundidad, para obtener la profundidad de hincado.
d) Se da una ampliación a la profundidad obtenida, para proporcionar un factor de seguridad conveniente.
En el punto A, se tiene que
En el punto B,
= 0.283 X 1.65 X 4
= 1.87 ton/m2
r Y-!
D l .~~J~~L ________ :.~-~ 'YK.r(H + D) - 'YDKA
92 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
En el punto C,
HKA a
(Kp -KA)
4x0183 a
3537-0183
a = Q 35 rn
Para establecer la ecuación pasemos al punto E donde se
debe cumplir que: LFx = O , LM = O, LFx = O,
EA + EPI - EPE = o
Observando que:
EP1 - EPE = (crp1 + crPE)(z/2) - crPE Y/2
y que
EA + (crp1 + crPE)z/2 - crPE Y/2 = O
de estas dos últimas ecuaciones se despeja z:
crPEy-2EA Z=
crPE +crp, ( 1 )
En la ecuación anterior se tienen dos incógnitas: z y Y.
De la figura:
= Kpy(H + Y + a) - KAy(Y + a)
= yY(Kp - KA)
H
d D
!
( 2)
( 3 )
~ 1mcyc
Tomando momentos de los empujes con respecto a la base,
LME =o.
EA(Y +Y A) + z2(crp1 + crPE)(z/2 x z/3) - crPE (Y/2 x Y/3) = O
simplificando:
( 4)
Introduciendo las ecuaciones ( 1 ), ( 2) y ( 3) en ( 4) obtene
mos:
A Y4 + BY3 - CY2
- DY - E = o
Donde:
A = 1
HKp B= -a
y(Kp -KA)
Introduciendo valores obtenemos:
A = 1, B = 4, C = - 6.05, D - 19.74, E = - 23.35
La ecuación queda:
Y4 + 4Y3 - 6.05Y2 - 19.74Y -23.35 = O
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos:
Figura 2.1.1.4
( 5)
PRESIONES ACTUANTES TOTALES DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS DE RANKINE Y SIMPLIFICADO
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 93
~ 1mcyc
l A
Figura 2.1.1.5
H=4m
1 B
d
D l R 1 Kr'Yd Kp"(d D KAY(H + d)
y = 2 60 m
D = Y+a
D = 2 95 m
D se incrementa del 20% al 40% por seguridad. También, se puede aplicar el factor de seguridad de 1.5 a los Kr y KA. Aunque el primer procedimiento es el preferido.
Aumentando la profundidad de hincado en un 20 % se tiene:
Du = 3.54 m
La solución es laboriosa, requiere establecer una ecua-ción de cuarto rado roceder a resolverla.
b) Analisis simplificado
El diagrama de presiones simplificado se presenta en la figura 2.1.1.4
El efecto de la presión pasiva interior Er1 se substituye por una fuerza R que es aproximadamente equivalente. En el
punto de aplicación de la fuerza R se considera que :EFx = O, :EM = O. Véase figura 2.1.1.5.
Tomando momentos en el punto C, tenemos:
:EM =O.
1/2Kryd2(d/3) = 1/2KAy(H +d)2x(H +d)/3
Kpd3 = KA(H +d)2 X (H +d)
3.537 d3 = 0.283 (4 +d)3
resolviendo esta ecuación cúbica se tiene:
d = 3.03 m
94
Considerando un 20% de incremento:
D = 3.64 m
La solución es menos laboriosa que la anterior en la cual se utiliza el diagrama de presiones netas de Rankine. Aunque teóricamente la profundidad de hincado se incremento un poco.
Problema 2.1.2
Calcule teóricamente la longitud de empotramiento aproximada de una viga en voladizo en material friccionante, utilizando la distribución simplificada.
Propósito:
Obtener una ecuación que permita encontrar aproximadamente la longitud de empotramiento de una tab_lestaca en arenas.
Para el análisis se supone que la tablestaca puede fallar por momento con respecto al punto C. Además, que la resistencia pasiva se genera frente al muro en el tramo B-C y detrás en el C-D. Por lo que la distribución de presiones teórica es la que se muestra. Para dar una solución sencilla bastante aproximada se acostumbra utilizar la distribución simplificada, que se analizara a continuación:
= Vi KA y (H + 0)2
= Vi KryD2
= Ep - EA
Tomando la condición de equilibrio por momentos
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
1 H
'
1.2 D ¡ Figura 2.1.2.1
:LMc =O
se tiene:
i D
!
R
c
D
DISTRIBUCION TEORICADE RANKINEO COULOMB
EPE
1/3 X EP X o = 1/3 X EA X (H + 0)
substituyendo valores:
1 /6 KA y (H + 0)3 = 1 /6 KP y 0 3
Considerando que KP = 1/KA y stmplificando se tiene:
(H + 0)3/Kp = KP X 0 3
despejando queda:
D = H l<K pm ..::...11
Generalmente se aumenta ese valor en un 20% (aunque a
veces alcance hasta el 40%) para obtener la longitud de empotramiento total E.
E = 1.2 D
Con este valor la profundidad de hincado aproximado de
la tablestaca del problema 2.1.1 anterior seria de 3.0 m,
que es una aproximación bastante aceptable.
Nota: No se tomo en cuenta la fricción del suelo contra la ta
blestaca.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
G 1mcyc
A A
\,'······.,, DISTRIBUCION SIMPLIFICADA
'\\\
\ ~-A
.\\\
\\
c \,\-••
D..._ ...... __ _
Problema 2.1.3. Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver que soporta un suelo arenoso excavado 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15 m respectivamente. La cohesión del suelo es
nula y el ángulo de fricción interna es~= 34º. El peso volu
métrico estimado es y = 1. 9 ton/m3• Por seguridad aumen
te un 20% la profundidad obtenida.
Propósito:
Calcular por el método simplificado la profundidad de em
potramiento de una tablestaca que se hinca en arenas a dife
rentes profundidades.
Solución:
Se utilizará la fórmula encontrada en el problema anterior
2.1.2:
O = H/(KP213 - 1)
= 0.28
= 3.54
95
o 1mcyc
Aplicando la ecuación se tiene:
D = H/(3.54213 - 1)
= H/1.32 m
Haciendo una tabla se tiene:
Altura Profundidad de tablestaca (m} hincadoi D. (m}
1 0.76
3 2.27
5 3.79
7 5.30
9 6.82
11 8.33
13 9.85
15 11.36
Profundidad de hincado finali E. (m}
0.91
2.73
4.55
6.36
8.18
10.00
11.82
13.64
El método simplificado nos permite deducir una fórmula para obtener fácilmente una profundidad de hincado aproximada para diferentes alturas de una tablestaca en cantiliver, en un suelo granular; posteriormente se puede ajustar aplicando un procedimiento mas detallado.
Problema 2.1.4
Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arena limpia que se muestra en la figura, considere un factor de seguridad igual a 2.
Propósito:
Figura 2.1.4.1
1 H=lOm.
Calcular la profundidad de hincado mínima de una tablestaca en cantiliver en un suelo friccionante y analizar el factor de seguridad.
Notas sobre el FACTOR DE SEGURIDAD:
Existen varias maneras de considerar el factor de seguridad:
1) Aplicarlo en el coeficiente de presión pasiva.
2) Aplicarlo sobre la presión pasiva neta, (dividiéndola entre un FS).
3) Aplicarlo en los parámetros: c y tan ~-
c = dFS;
~·=tan-'(1~~~)
4) Incrementar la profundidad de hincado, para dar mayor · seguridad.
5) Aplicarlo en los momentos flexionantes y fuerzas cortantes:
FS
FS
Momento resistente de la tablestaca
Máximo momento actuante
Fuerza cortante resistente de la tablestaca
Máxima fuerza cortante actuante
La elección depende de las especificaciones, países, costumbre, tipo de problema, habilidad del calculista, etc.
Solución:
Se dibujará el diagrama de presiones de simplificado. Figura 2.1.4.2
Relleno de ARENA: C=O <t>1=32° 'Ymt = l. 75 ton/m3
Terreno natural: ARENA LIMPIA:
. Longitud r hincado, D. C=O <t>2 = 30°
3 'Ym2 = 1.65 ton/m
96 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
l 10.0 m
d
l D
l B
e 9.98 +0.940
' La profundidad del pivote, d, se calcula por la condición de
que la suma de momentos en este punto sea igual a cero:
MPIVOTE = o ; Mp - MA = o ; Epd p- EAdA = o El factor de seguridad se considerara aplicado en el ángulo de fricción:
tan<!> - tan<j>' = -
F.S.
Para determinar los E se calcularan las áreas:
<1>1 = 32° ; <1>1, = 17.35° KA1 = 0.54; KP1 = 1.85
<1>2 = 30° ; <1>2, = 16.10° KA2 = 0.57; KP2 = 1.75
CTAA = 0.54 X 1.75 X 10
= 9.45 ton/m2
= (1.75 X 10 + 1.65 d) 0.57
(jBA = 9.98 + 0.94 d
CTBPE = 1.65 X d X 1.75
= 2.89 d
(jBPI = (10x1.75 + d x 1.65) 0.57
= 9.98+0.94d
ªcPt = (1 O x1 .75 + Ox 1.65) 0.57
= 9.98+0.940
EA = 47.25 + 9.72d + 0.47d2
EPE = 2.89/2(02)
= 1.45 d2
. Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Figura 2.1.4.2
= d/3
= 9.98(0 - d) + 0.47(0 - d)2
EPXdp = 1.45 d2 X d/3 = 0.48 d3
EA X dA = 47.25(d + 3.33) + 9.72 t +(0.94d +(9.98-9.45))f
EA = 0.31 d2 + 52.15d + 157.34
0.48d3·- 0.31 d2-52.15d-157.34 =O
d3 - 0.653 d2 - 108.65 d - 327.79 = o Resolviendo esta ecuación cubica se tiene que:
d = 11.99 m
= 47.25 + 9.72 x11.99 +0.47 X 11.992
= 231.36 ton
= 1 .45 X 11 . 992
= 208.45 ton
= 231.36.45 - 208.45
= 22.91 ton
22.91=9.98(0-11.99) +0.47(0-11.99)2
o = 14.07 m
El procedimiento de cálculo simplificado para suelos granu
lares es ampliamente usado en la Gran Bretaña y esta descri
to en: CIRIA REPORT No. 104 de 1984 y posteriores.
~
El criterio de aplicar el FS en los parámetros de esfuerzos
efectivos se usa en arenas con un FS = 1.5 a 2 para el ter
mino (tan<j>)/FS; y en arcillas con un FS = 1.2 a 1.5 para el
termino dFS .
97
~ 1mcyc
Figura 2.1.5.1
.o.
~6.6m
D
El criterio menos recomendable es el de aplicar el FS en la
presión pasiva neta.
Problema 2.1.5
Una tablestaca metálica de 6.60 m de altura se hinca en una arena con objeto de retenerla. La arena es uniforme y tiene un ángulo de fricción interna~ = 30° y cohesión nula. El peso volumétrico es de 1.90 ton/m2 y por seguridad se considerara que solamente se desarrollara dos tercios de la resistencia pasiva del terreno. Encuentre la profundidad mínima que debe ser hincada la tablestaca para poder soportar los empujes.
Propósito:
Encontrar una fórmula para determinar la profundidad de hincado de una tablestaca en cantiliver.
KA = ){
KP = 1/KA
= 3 (teórico);
KPR = 3{ X 3
= 2 (supuesto por seguridad).
=KA y H
=){y H
crP = KPR y H
= 2y D
98
EA
EP
= Vi (){ y H) x H
=Jí y H2
= Vi (2 y D) X D
=y D2
H
11/3 H
RESULTANTE ~ ·~
Para que exista equilibrio los empujes pasivo y activo deben
estar equilibrados por la fuerza resultante; que en estos pro
blemas se hace la suposición de que se encuentra situada en
la base de la tablestaca (MÉTODO SIMPLIFICADO).
- Para satisfacer la condición de momentos nulos se tiene
que:
()Í y H2 ) X (~) - (y D2) X ( °Á) = 0
()Í H2 ) X (~) = ( D2) X ( °Á)
Haciendo operaciones queda :
H/D = 1.82
En nuestro problema se tiene la condición:
H = D + 6.6 m;
por lo que:
1 + 6·%= 1.82
D - 8.05 m
El problema se resolvió aplicando únicamente las herra
mientas de la estática. El factor de seguridad se aplico en
el coeficiente de presión pasiva.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problema 2.1.6
Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver que soporta un suelo arenoso excavado 3 m. La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es ~ = 30º. El peso volumétrico estimado y = 1.9 ton/m3 y el factor de seguridad contra la fricción de 1.4.
Propósito:
Calcular aproximadamente la profundidad de hincado con la fórmula obtenida.
Solución
tan~'m --=FS tan~
tan ~' m = (1/1.4) tan ~
= 22.41°
= 2.23
= 0.448
Aplicando la ecuación
b
D
= H/(KP2' 3 - 1) se tiene:
= 3.00/(2.23 213 - 1)
= 4.24 m
La profundidad conveniente de empotramiento, considerando un 20% adicional, será
D = 1.2 X 4.24
D - 5.09 m
El cálculo fue muy simple, comparándolo con los proce
dimientos simplificado y del diagrama de presionés netas de Rankine.
Problema 2.1.7
Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arcilla que se muestra en la figura, considere un incremento del 30% en la profundidad de hincado como seguridad.
Propósito:
Calcular Ja profundidad de hincado mínima de una tablestaca en cantiliver en un suelo puramente cohesivo. Figura 2.1.7.1
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
\; 1mcyc
Solución:
1) Se establece el diagrama de presiones adecuado. Figura 2.1.7.2
2) Se aplican las ecuaciones de equilibrio :
í:Mc = 0
í:Fx = 0,
de donde:
:EFX =EA+ (EPE-EPI)
=0
De la figura se deduce que:
(EPE - Ep1) = (4c - q + 4c + q)z/2 - (4c - q)D
(EPE - Ep1) = (4c )z - (4c - q)D,
introduciendo en ( 1 ) se tiene:
EA + (4c )z - (4c - q)D = O, despejando z:
(4c-q)D-E Z A 4c
Tornando momentos con respecto a la base:
:EMC =O
EA(y + O) - (4c - q)d(%) + Bc((Yi) %' = O
Substituyendo z y simplificando obtenemos:
D2(4c - q) - 2DEA - EA(12cy + EA)/(2c + q) = O
(1)
( 2 )
( 3 )
Aplicando esta formula ( 3) que es una cuadratica podemos encontrar la profundidad de hincado D.
Nota: Esta fórmula también se puede aplicar para el caso de que el relleno sea puramente friccionante y la cimentación puramente cohesiva.
3) Se aplican las fórmulas:
r H=Sm
Longitud de hincado, D.
l Figura 2.1.7.1
Arcilla: C= 2.5 ton/m2
<!>=Oº 'Ym = l. 70 ton/m3
99
~ 1mcyc
¡ Presión negativa que se desprecia
H Presión activa
D
a
q
y
j Presión pasiva exterior
2c
y
2 x25 =1.70
= 2.94 m
= yH
= 1.70 X 5
= 8.5 ton/m2
(q - 2c)(H - a)(H - a)
2x3
= (~)(q - 2c)(H-a)2
= (~)(8.5 - 5)(5 - 2.94)2
= 2.48 ton
= (~)(H - a)
= ~(5 - 2.94)
= 1.37 m
- 2c
e
Aplicando la ecuación ( 3) tenemos:
A t a Figura 2.1.7.2
---t-q ='YH ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Presión pasiva interior
M---iiillll-[!lllllEPI
4c+q
Incrementando la profundidad un 30 % por seguridad se tiene:
0' = 4.5 X 1.30
= 5.85 m
El cálculo es similar pero más sencillo que los utilizados
para tablestacas en materiales puramente friccionantes.
El diagrama de presiones corresponde a las condiciones
iniciales, para el tiempo al final de la vida util se requiere
obtener los valores c y <!> para esta condición.
Problema 2.1.8
Encuentre la profundidad de hincado mínima de la tablestaca hincada en arcilla, que contiene un relleno de arena limpia, tal como se muestra en la figura. Considere un in· cremento del 30 % en la profundidad de hincado como seguridad.
Propósito.·
(4x2.S - 8.S)D2 - 4.96D - 2.48(12x2.Sx1 .37 + 2.48)/(2x2.5 + 8.5) Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca en cantiliver hincada en un suelo puramente cohesivo y con relleno de suelo friccionante. Figura 2.1.8.1 1.5D2 - 4.96D - 8 = O
D = 4 50 m
100 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
H=5m
Longitud de hincado, D.
Figura 2.1.8.1
Solución:
Arena limpia: C= O ton/m2
<1>=30° 'Ym = 1.60 ton/m3
Arcilla: C= 3.0 ton/m2
<!>=o· 'Ym = 1.70 ton/m3
1) Se establece el diagrama de presiones adecuado tal como se indica en la figura siguiente. Figura 2.1.8.2
2) Se establecen las fórmulas respectivas:
(4c-q)O-EA z
4c
0 2(4c - q) - 20EA - EA (12cy + EA)/(2c + q) = O
Obsérvese que son las mismas obtenidas en el problema anterior.
3) Se aplican las ecuaciones:
q = yH
= 1.60 X 5
= 8.0 ton/m2
EA = Yi X 0.33 X 1.60 X 52
= 6.67 ton
y = ){H
= %'
= 1.67 m
Aplicando la ecuación ( 3) tenemos:
o 1mcyc
(4x3 - 8.0)02 - 2 x 6.670 - 6.67(12x3x1 .67 + 6.67)/(2x3 + 8.0)
402 - 13.340 - 31.82 = o
D
D'
= 4.96 m
= 1.30 X 4.96
= 6.45 m
El cálculo es similar al que se hace con relleno del mismo material arcilloso.
1 A._------------------------------ Figura 2.1.8.2 Diagrama de
presiones para suelos cohesivos con relleno friccionante.
H
~ B
D K'YH
l Pre~ión pasiva z.¡ exterior e 4c+q
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Presión activa
EA
EPI
q =YH
i * * * *
101
o 1mcyc
Profundidad de hincado aproximada de tablestacas en cantiliver.
Numero de golpes en Densidad relativa
Profundidad de hin-la prueba de penetra-
!;JR cado
ción estándar. D
0-4 muy suelta 2.0 H
5 -10 suelta 1.5 H
11 - 30 media 1.25 H
31 - 50 densa 1.0 H
> 50 muy densa 0.75 H
2.2 Métodos para el cálculo de tablestacas ancladas
En el cálculo de las tablestacas ancladas hay que distinguir dos casos: El primero cuando la profundidad de hincado no es suficiente para producir un empotramiento .. perfecto .. y se denomina de SOPORTE O APOYO LIBRE. En el segundo, la profundidad de hincado es suficiente para producir un empotramiento .. perfecto .. y se denomina de SOPORTE O
APOYO FIJO. Se considera que alcanza la condición de ··empotramiento perfecto .. cuando la elástica es vertical.
En el cálculo de tablestacas de Soporte Libre la tablestaca puede girar alrededor del punto de anclaje. El diagrama de presiones a ambos lados depende de la amplitud de la rotación, del desplazamiento que sufra el anclaje y de la flexibilidad de la tablestaca. En el procedimiento usual estos últimos factores no se consideran y se utilizan por simplicidad los diagramas de presiones de Rankine y Boussinesq. De esta manera el problema es isostático y presenta dos incógnitas: la profundidad de hincado y la fuerza en el tirante.
El empuje pasivo es la única fuerza que impide a la pantalla fallar por rotación alrededor del punto de anclaje y por tanto es indispensable dar un factor de seguridad adecuado. Sobretodo tomando en cuenta que en numerosas investigaciones se ha obtenido diferencias del lado de la inseguridad al comparar el empuje pasivo teórico calculado por Rankine o Coulomb y el medido en las pruebas de investigación hechas tanto en los laboratorios y como en los sitios.
En el cálculo de tablestacas de Soporte o Apoyo Fijo el MÉTODO DE LA LÍNEA ELÁSTICA es el general. En el la tablestaca puede girar alrededor del punto de anclaje pero queda fijo en su base o parte inferior. Ahora hay tres incógnitas: la profundidad de hincado, la fuerza sobre el tirante y la presión pasiva interior.
El análisis de la deformación de la tablestaca flexible permite resolver la indeterminación, ya que con varias hipótesis
de partida se puede obligar a que la elástica satisfaga teóri-
102
camente determinadas condiciones, como son: a) que el pie de la tablestaca quede fijo. Aquí el momento flexionante es cero. b) La tangente a la elástica en el punto de empotramiento es vertical. c) La elástica pasa por el punto de anclaje
del tirante con la tablestaca.
Este Método de la Línea Elástica se considera demasiado laborioso, sin embargo, actualmente, la posibilidad de hacer cálculos con computadoras personales, facilita bastante el
trabajo, tal que ahora puede ser usado con ventaja; ya que se permite adicionalmente determinar con prontitud los momentos flexionantes, fuerzas cortantes y deflexiones de la tablestaca, elementos que son necesarios para el diseño.
Para facilitar los cálculos el Dr. Blum propuso para suelos puramente friccionantes un procedimiento mas rápido. La idea de Blum consistió en reducir el problema a uno isostático fijando a priori el punto de empotramiento. Aplicando el procedimiento de la línea elástica a numerosos casos que midió estableció una relación empírica entre el ángulo de . fricción interna y la profundidad en la cual se produce el punto de inflexión y por tanto donde el momento flexionante es nulo. Esta relacióp se muestra en la figura 2.8. Por otra parte, también demuestra que se puede reemplazar con muy poco error la zona de empuje pasivo interior por una
sola fuerza; que se localiza con la condición que en este
punto nuevamente :EM = O. Una vez transformado a problema isostático se procede al cálculo; a este procedimiento se le llama MÉTODO DEL APOYO FIJO o MÉTODO DEL SOPORTE FIJO.
Todavía para facilitar mas los cálculos Blum propuso el MÉTODO DE LA VIGA EQUIVALENTE que consiste en dividir por comodidad la tablestaca en dos vigas, tal como se muestra más adelante.
PUNTO DE UNIÓN
EMPUJE PASIVO
TIRANTE
GIRO
EMPUJE ACTIVO
Se permite el giro pero no el desplazamiento del punto de unión.
Figura 2.7 Tablestaca con soporte libre.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
PUNTO DE UNIÓN
EMPUJE PASIVO
Punto supuesto fijo en la vertical
TIRANTE
•~---EMPUJE ACTIVO
b, Punto de inflexión
1-----EMPUJE PASIVO INTERIOR
Se permite el giro pero no el desplazamiento del punto de unión. La posición de punto b es conocida o se calcula con la condición de que aquí el momento flexionante es nulo.
Figura 2.8 Tablestaca con apoyo fijo.
l. Método del soporte o apoyo libre
Utiliza las hipótesis siguientes:
O La tablestaca es rígida en comparación con el terreno.
O Las presiones se pueden calcular por Rankine o Coulomb.
O La tablestaca sólo puede girar en el punto de unión del tirante con ella, pero no desplazarse.
O La tablestaca falla por un movimiento de rotación con respecto al punto de unión.
~ 1mcyc
2. Método del soporte o apoyo fijo
Se puede calcular por los métodos de la línea elástica o el método de la viga equivalente.
El método clásico de cálculo es el del método de la línea elástica. En este se supone que el tablestacado se flexiona con un punto fijo en la base y uno de inflexión en h.
Utiliza la siguiente hipótesis de partida:
El punto inferior de la base de la tablestaca queda bajo la vertical por efecto de la restricción que producen las presiones del suelo que la rodea y restringe.
El problema puede resolverse por procedimientos estáticos aplicados, en general se utilizan soluciones gráficas y a veces analíticas; sin embargo, en arenas, a veces por ser muy laborioso puede substituirse con ventaja por el método de la viga equivalente, que se aplica solo en suelos puramente friccionantes.
2.a. Método de la línea elástica
El diagrama de presiones netas, los momentos flexionantes y la elástica que se calculan con este método se presenta en la figura 2.11
Blum demuestra que la profundidad total de penetración requerida es aproximadamente:
= u + (1.05 a 1 .20)x
-------·---·------·------·----·-----·---------·-··--··-- ·----·------·-··--·-·---··----·--··--.. -·---·········-·······-···--·····----···--·····-·-·······-·········
DIAGRAMA DE MOMENTOS CARGAS
Figura 2.9 Arenas
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 103
~ 1mcyc
Fuerza de anclaje
.. . 4c - Sv DIAGRAMA DE MOMENTOS CARGAS
Figura 2.1 O Método del apoyo libre.
Procedimiento de cálculo del método de la línea elástica:
1. Seleccione los valores de las presiones activa y pasiva para dibujar el diagrama de presiones netas que actúan sobre la tablestaca.
2. Determine la posición del punto de presión nula, a.
3. Determine x, que es la posición del punto de inflexión, b, utilizando la condición de que en este punto el momento flexionante es nulo. Whitlow propone la tabla siguiente:
15º 20° 25° 30° 35° 40°
0.37 0.25 0.15 0.08 0.033 - 0.01
4. Calcule la profundidad de hincado por tanteos o estableciendo una fórmula.
5. Incremente por seguridad la profundidad de hincado.
2.b. Método de la viga equivalente
Utiliza las hipótesis siguientes:
O Las presiones se pueden calcular por Rankine o Coulomb.
O La tablestaca sólo puede girar en el punto de unión del tirante con ella, pero no desplazarse.
O La tablestaca es flexible y se conoce el punto de inflexión b, debajo del nivel inferior del terreno, que es función del ángulo de fricción interna del suelo.
O La presión pasiva neta interior es substituida por una fuerz2 concentrada.
O El punto inferior de la tablestaca queda bajo la vertical por efecto de la restricción que producen las presiones del suelo que la rodea.
104
Procedimiento de cálculo del método de la viga equivalente:
1. Seleccione los valores de las presiones activa y pasiva para dibuj ar el diagrama de presiones netas que actúan sobre la tablestaca.
2. Determine la posición del punto de presión nula a.
3. Determine x, que es la posición del punto de inflexión b, utilizando la gráfica propuesta por Blum.
4. Determine la fuerza cortante horizontal en el punto de inflexión, R 'b.
S. Considere la parte superior al punto de inflexión como una viga y calcúlela como tal.
6. Considere la parte inferior al punto de inflexión como otra viga y calcúlela.
La dimensión de total de la tablestaca se determina considerando que la suma de los momentos flexionantes en él punto inferior es igual a cero. Restando a la longitud total la longitud de la viga superior se encuentra la longitud de la viga in
ferior. Puede hacerse analíticamente o bien por tanteos, en los que se puede escoger como determinar la longitud total para cada tanteo utilizando las fórmulas:
Htotal= H + D
D. Profundidad de hincado.
7. Proporcione el factor de seguridad. Puede utilizar los procedimientos siguientes:
a) Incremente de un 20 a 40% o más la profundidad de hincado D.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Sobrecarga q
A
Cambio de presión _ _.,... __
Activa a pasiva
Base >
Figura 2.11 Tablestaca anclada.
Problemas básicos de emnujes de suelos sobre estructuras de soporte
e
~ Altura equivalente por
sobrecarga q/kaY
Presión activa
Profundidad de hincado
D= u + (1.05 a 1.20) X
' o 1mcyc
H
105
~ 1mcyc
/ Sobrecarga.
N.A.F.
.: : ,\ " .. ~ :: : : : \ '• .. ---------------- ..: : .. \ - I ::: : : :, ...... •\
Momento flexionante máximo 1 >
r .: : : : : : , . s ~ :. :. :. ~ :. : l,...111111~L-----.... _,_ ... 1 " .... : :,
Diagrama de presiones
1 : : : : : : : : l ..: : .. : : , .. . . .
\ ..: : . .: :O\ " ....... \ :: : : : : : : : i .. : : .. : : . :, .. . . .
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Punto de inflexión ~ r ~ t: momento flexionante nulo ;. ~<: ~ ~ ~ \ ,,, ....... .
~ i-:~ ~n r ¡: ¡ : : ¡:: : : : ; •••••••••••••• 1 ••••
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Fuerza del tirante
.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . llllE , F ,;_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - • 1 e
/ :: C¡~ Diagrama de momentos ,,/ cuando la tablestaca F se hinc~ hasta F.
Figura 2.12 Tablestacas ancladas presiones, momentos flexionantes y elástica.
106 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
aJ ____,.. T
b·-1 -H~. Hw t:=j
1
--~
H
La posición del punto ·. -M de inflexión, C, esta a
una profundidad x que se encuentra con la gráfica de BLillvL
__ ...._..., ____ __,.-----i -----1--- En el punto de inflexión el momento flexionante X
es nulo. D' D l -~ '...;._..,; -~___.¡ ----~---~~'E-----~--L~
Iv1ETODO DEL APOYO FIJO -
1\
35 \ ' t\. \ ~
~ · Grados
~ \ 30
\
\ ~
\ ~
\ 25 \
f\
"' "" 20 ~
""-
0.lH 0..:2/-1 0.3H · VALORES DE x
Figura 2.13 Gráfica propuesta por Blum.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
\) 1mcyc
107
o 1mcyc
Figura 2.14 Método de la viga equivalente T T
punto de inflexión R VIGA INFERIOR
b) Reduzca el valor de las presiones pasivas con factores de seguridad comprendidos entre 1.5 y 2.
Trabajos de Rowe
Se ha observado que la distribución de presiones en el respaldo de una tablestaca no es la que corresponde a la ley de Coulomb o la de Rankine, sino que depende principalmente de las deformaciones que sufre la tablestaca.Sin embargo, Rowe encontró que si el anclaje cedía 0.1 % de su altura total H, la distribución de presiones se acercaba a la ley lineal de presiones; sin que por otra parte se modifique sensiblemente el empuje total. Lo anterior justifica el hecho de que en
aH H
0.9 H-" 1 1 ,__ Suelto yJ\ . ,·" ~ 0.8
Factor de 0.1
Reducción 0.6
0.5 M/Mmax
0.4
0.3
0.2
0.1
... ... --
1 1 1 ' Denso/._? ' !":--f- " ...
!'.. '
b-.R
' l'\I"
'~ ~·o .. 7'5 ~·?
'"r--.,
/ i: RC
este tipo de tablestacas se considere como una buena aproximación de la ley de variación lineal en los cálculos de las presiones activas. Pero en el caso de las presiones pasivas las investigaciones han demostrado que la distribución lineal no da buenos resultados, quedando del lado de la inseguridad, lo que se acostrumba aplicarles un factor de seguridad para adaptarlas a la presión real.
Rowe investigó las relaciones entre el momento flexionante y la flexibilidad de la tablesca cuyos resultados útiles para los cálculos proporciona en forma de gráficas, mostradas en las figuras 2.15.a y 2.15.b.
En las tablestacas ancladas en arena suelta o muy suelta se recomienda no hacer la reducción propuesta por Rowe (NAVFAC, 1982).
~ .. ~'.:!d' ~·' K-...... " ':."". " -...... r--.. .... '-':-.... ""' ....... _
.... ,..,. ....... l ....... --
r-. ~ ...... ,...... -...... r-_
~r-- -
o - 1.0 -0 .. 5 o 0.5 1.0 1.5
log10 p (m3/kN) (p = H4 /El)
Figura 2.15.a. Factor de reducción propuesto por Rowe.
108 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
,,
M Mo 0.6
0.41--~~~-+-~~~~+-~---'~~_;.::o,.~~~-.-~~~--1
a=0.8 a=0.7
0.21----+-----+----+-----+- a= 0.6
O.__~~_._~~~--~~~..__~~___...~~~_.
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5
!l. log p; p = H I EI
Para p < - 3.0, Incremente M/M0
por10%
1.0 Para arena densa
~ =o, 0.1, 0.2, 0.3 0.8
M 0.6
M o 0.4
0.2
o -4.0 -3.5 -3.0 -2.5
!l. log p; p = H I EI
Figura 2.15.b Factores de reducción de momentos para arenas curvas propuestas por Rowe.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
-2.0
H en pies. E en libras/pulg2
I en pulg4
-1.5
-2.0 -1.5
G 1mcyc
109
G 1mcyc
En teoría puede aplicarse a cualquier tipo de suelo pero del análisis de los resultados de sus pruebas Skempton (1953)
sugiere que no se use en arcillas.
Reducción de momentos al método de soporte libre, propuesto por Rowe
Debe usarse únicamente en depósitos homogéneos de arenas, de compactación media a densa y en suelos limo-arenosos densos. También puede usarse en arcillas homogéneas en obras provisionales.
1. Se hacen los cálculos en forma similar al método del soporte fijo y posteriormente se aplican los factores de corrección.
2. Se determinan los factores de corrección.
Los parámetros a considerar para determinar los factores de corrección son los siguientes:
a. La densidad relativa de los suelos granulares, suelta o densa.
b. El número de estabilidad Sn, de suelos cohesivos:
q
p
125c
q
= yH
c.- El número de flexibilidad, p:
L14
El
Lt, Long. total de la tablestaca (H + O).
E, Mod. elasticidad.
1, Momento de inercia.
Figura 2.16 Efecto de la localización del muerto
45° + $12
ANCLAJE O TIRANTE
d. Con base en estos números se obtienen en las gráficas propuestas por Rowe los factores de reducción, MIMMAX·
3. Con base en el coeficiente de reducción se calcula el momento flexionante de diseño, Mo1SEÑO, que ocurre sobre la tablestaca. En las tablas que proporcionan los fabricantes de tablestacas se obtienen los momentos que pueden resistir las diferentes secciones y tipos de tablestacas. En caso de no usar secciones comerciales se pueden calcular las características de las secciones propuestas.
MDISEÑO = Coeficiente de reducción x Momento máximo calculado.
4. Se escoge de lo que ofrece el mercado o se diseña la sección y tipo de tablestaca que convenga.
5. Se revisa el diseño para todas las acciones. Tomando especial cuidado con la corrosión, el sismo y la erosión.
Nota: Al entrar en la gráficas se debe tener especial cuidado con las unidades.
Tirantes y anclajes Los tirantes que transmiten la fuerza de tensión que en ellos actúa a determinadas estructuras que generalmente están situados a una distancia igual unas de otras. Pueden estar anclados a estructuras rígidas (pilotes, edificios, etc.) o bien a estructuras flexibles (muertos), que permiten ciertas deformaciones. Cuando están sujetas a estructuras rígidas la experiencia de muestra que las fuerzas reales actuantes sobre ellas son mayores a las obtenidas en los cálculos teóricos
Zona que no proporciona resistencia
Zona que proporciona resistencia parcial
[!] Zona que proporciona resistencia ., ____ ___.. _______ completa
Punto de movimiento nulo
110 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
por lo cual se acostumbra multiplicarlas por un coeficiente de ajuste mayor a 1.50 m para evitar su colapso. En cambio, cuando se anclan a muertos esto no sucede debido a los pequeños desplazamientos y ajustes que admite esta estructura, pero por seguridad conviene multiplicarlos por un coeficiente extra de seguridad de 1.20 m.
Los muertos deben resistir el tirón del anclaje y consecuentemente desarrollar en el terreno un empuje pasivo completo, por lo cual debe tener un espacio suficiente para desarrollarse. Para poder obtener esta fuerza pasiva el muerto debe: colocarse en una zona adecuada, darle las dimensiones necesarias y colocar el tirante correctamente (Figura 2.16).
Problema 2.2.1
Encuentre la profundidad mínima de hincado de una tablestaca hincada en arena limpia,' similar a la mostrada en el problema anterior 2.1.1 con la tablestaca en cantiliver, pero en la cual se introduce un anclaje anclado a un muerto, situado a 1.50 m por debajo de la superficie.
a) Por el Procedimiento de Apoyo Libre. Compare los resultados obtenidos en los dos problemas.
b) Utilice la reducción propuesta por Rowe.
Propósito:
Calcular la profundidad mínima de hincado de una tablestaca anclada con Apoyo Libre en un suelo puramente friccionante, aplicando la simplificación de Rowe. Además, comparar con una similar en la de condición de apoyo en cantiliver. Figura 2.2.1.1
1
~ 1mcyc
Solución:
El diagrama de presiones para la tablestaca anclada con Apoyo Libre se muestra en la figura 2.2.1.2.
Para encontrar el mínimo de hincado se puede aumentar paulatinamente la profundidad D hasta alcanzar el equilibrio o bien establecer una ecuación y resolverla, este es el procedimiento que utilizaremos. Para ello se tomaran momentos con respecto al punto de aplicación del ancla en la tablestaca.
LMB =o En primer término, calcularemos el valor de a, que es la distancia entre el fondo C y el punto donde la presión activa es igual a la presión pasiva, o sea donde la presión neta es cero. En este punto se produce el momento máximo flexionante.
KA2ªv - KP2y2a = O KA2(Y, H + Y2a) - KP2Y2ª = O
a KA2Y ,H
y 2 (K P2 - K A2 )
030X1.75 X 10
1.65(3-033)
= 1.19m
Se aplican las ecuaciones de equilibrio LMs = O, LFx = O
Tomando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:
EA,dl + EA2d2 + EA3d3 - EPEd4 = o Donde:
1.50 tp B
--------------------------------
H=lOm
e
Longitud de hincado, D.
D
Relleno de ARENA: C=O ~l = 32° 'Ymt = l. 75 ton/m3
KA= 0.31
Terreno natural: ARENA LIMPIA: C=O ~2 = 30° 'Ym2 = 1.65 ton/m3
KA = 0.33 Kp = 3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 2.2.1.1
MUERTO
111
\) 1mcyc
A.--------han el a
Figura 2.2.1.2
H
D
e
A1=1/2ScH A1 = l/2Sca AJ= 1/2Y2(KP2 - KA2)(D - a)2
dA1=5.17 m dA2 = 8.91 ffi
dp = 8.91+2/3D
PRESIONES ACTUANTES DERANKINE
DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS
= 0.31X1.75 X 10
= 5.425 ton/m2
= 1/2crcH
= 0.5 X 5.425 X 10
= 27.13 ton
= 1/2crca
= 0.5 X 5.425 X 1.19
= 3.23 ton
= 1/2y2(KP2 - KA2HO - a)2
= 0.5(3 - 0.33)(0 -1.19)2
= 1.3402-3.190 + 1.9
Por lo que la ecuación queda:
27.13 X 5.17 + 3.23 x 8.91 - (1.3402 - 3.190 + 1.9)(8.91 + 2/30) - 0
Simplificando:
0 3 + 11.02 0 2 - 30.530 - 170.91 = o Resolviendo la ecuación cúbica obtenemos:
o = 4.45 m
Incrementando la profundidad de hincado 30% por seguridad, obtenemos:
O' = 5.79 m < 13.93 m
La profundidad de hincado obtenida en la tablestaca en cantiliver de 13.93 mes considerablemente mayor que la obtenida en la solución con base en tablestaca anclada.
112
La tensión en el ancla se obtiene de
:EFx = 0
Fancla = Al + A2 - A3
Fancla = 27.13 + 3.23-(1.34x4.452 -3.19x4.45 + 1.9)
filll.W = 14.24 ton (por metro lineal de ancho)
El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo si.tuado a una profundidad de de la corona.
1/2KA1_1d/- 14.24 = 0;
0.5 X 0.31 X 1.75 X d/ = 14.24
de = 7.24 m
Tomando momentos en este punto hacia la parte superior del diagrama de presiones tenemos:
MMAX == - 14.24 X (7.24 - 1.50) + 1/2KA1Y1d/ X d/3
MMAX = -81.74 + 0.5 X 0.31X1.75 X 7.243/3 = -81.74 + 34.31
MMAx = - 47.43 ton-m (por metro lineal de tablestaca).
El momento máximo flexionante en la solución de la tablestaca en cantiliver ocurre en C' a la profundidad a y es:
MMAx= 27.13x(1.19+10/3)+3.23x(1.19 x 2/3)= +125.28 ton-m > 47.43 ton-m
El momento máximo flexionante es mucho mayor en la ta-. blestaca en cantiliver que en la anclada y por tanto, la sección transversal de la misma es bastante menor, lo cual permite una economía substancial.
b) Reducción propuesta por Rowe
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
En este caso particular, por tener anclada la tablestaca en
arena suelta, no se debe hacer la reducción propuesta por Rowe (NAVFAC, 1982).
La solución de tablestaca anclada permite obtener secciones más ligeras y menores profundidades de hincado
que las tablestacas en cantiliver y por tanto economías
substanciales, para las mismas condiciones.
Sin embargo, como adicionalmente es necesario cons
truir el sistema de anclaje se reduce la ventaja; y por otra parte, en ciertos lugares, la erosión del agua sea por co
rrientes, Tsunamis, oleajes por huracanes o por acción de las embarcaciones puede ser tan importante que para garantizar la seguridad convenga la solución de tablestacas
en cantiliver que alcanzan mayores profundidades.
Problema 2.2.2
Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una arena que presenta nula cohesión y un ángulo de fricción interna de ~ = 36º, así como un peso volumétrico de y = 1.90 ton/m2
• Deduzca por el procedimiento denominado de "soporte libre del terreno" la profundidad de hincado mínima necesaria y la segura, utilizando los coeficientes de empujes de Coulomb.
Propósito:
Calcular la profundidad de hincado utilizando el método del Soporte Libre y la fuerza que obra sobre el anclaje.
,.
~ 1mcyc
Para determinar el valor de los coeficientes de empuje se si
guió la recomendación de Terzaghi al considerar:
8 = 2/3 ~ Para el pasivo
8 = 1/2 ~Para el activo
KA y KP se obtuvieron de las ecuaciones de Muller-Breslaw, considerando
= 24° para el pasivo y
=Yix36°
= 18° para el activo.
Solución:
Se analizara un ancho de tablestaca de 2.5 m.
1) Dibujo del diagrama de presiones véase figura 2.2.2.2
2) Cálculo del punto donde la presión neta vale cero, a:
KA(yH +ya) - KPya = O
a KAH
(Kp -KA)
0236 x10
(932-0236)
=0.16m
3) Cálculo de la profundidad de hincado:
1.20m
I Anclas a 2.5 m separación
6m
~ , ..
D
',
--------------------------'~A ,
ARENA LIMPIA: C=O $2= 36° ' KA= 0.236 'Kp = 9.32 'Ym = 1.90 ton/m3
ProbI6riiás básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 2.2.2.1
113
o 1mcyc
¡ + han el a
A
B
H
e
D
1 PRESIONES ACTUANTES
DERANKINE
Figura 2.2.2.2
Se aplican las ecuaciones de equilibrio LMB =O, }2Fx =O
Sumando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:
EAldl + EA2d2 + - EPEd4 = o Donde:
ªe = KA yH
114
= 0.236 X 1.90 X 6
= 2.69 ton/m 2
= 1/2crcH
= 0.5 X 2.69 X 6
= 8.07 ton;
= 2.80 m
= 1/2crca
= 0.5 X 2.69 X 0.16
= 0.22 ton
= 4.85 m
= 1 /2y(KP - KA)(D - a)2
= 0.5 X 1.9(3.85 - 0.26)(0 - 0.16)2
= 8.6302- 2.760 + 0.22
(1)
RANCLA
O'c= 2.69 ton/m2
A1=1/2<JcH A1 = 1/20'ca AJ= 1/2'Y(Kp - KA)(D - a)2
dA1= 2.80 ffi dA2 = 4.85 ffi dr = 4.89 + 2/3D
DIAGRAMAS DE PRESIONES NETAS
= 4.89 + 2/30 m
Por lo que la ecuación (1) queda:
8.07 X 2.80 + 0.22 X 4.85 - (B.6302 - 2.760 + 0.22)(4.89 + 2/30)=0
Simplificando:
0 3 + 6.99 0 2 - 2.320 - 3.92 = o
Resolviendo la ecuación cúbica obtenemos :
D = 0.87 m
Incrementando la profundidad de hincado un 30% por seguridad, obtenemos:
D' =1.13m
4) Cálculo de la fuerza que actúa sobre el tirante:
La tensión en el ancla se obtiene de LFx = O
~
F ancla = 8.07 + 0.22 - (8.63 X 0.862 - 2.76 X 0.86 + 0.22)
= 4.06 ton/m2 (por metro de ancho)
Eilllcla = 4.53 X 2.5
= 10.15 ton (en cada ancla, separadas 2.5 m entre si)
5) Cálculo del momento máximo flexionante:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo
ubicado a una profundidad de de la corona.
1/2KAyd/ - 4.53 = 0;
0.5 X 0.236 X 1.90 X d/ = 4.53
de= 4.50 m
Tomando momentos en este punto de la parte superior del diagrama tenemos:
MMAX = - 4.53 X (4.50 - 1.20) + 1/2KAyd/ X d/3
MMAX = - 14.45 + 0.5 X 0.236 X 1.90 X 4.503/3
=-14.95 + 6.81
MMAX = - 8.14 ton-ro (por metro lineal de tablestaca).
La profundidad final de hincado obtenida con el criterio de seguridad al aumentar un porcentaje la profundidad
calculada puede, en ciertos casos, dar profundidades de
hincado demasiado reducidas e inseguras; por lo cual estas tablestacas será necesario garantizar que no exista una socavación que la sobrepase.
Problema 2.2.3
Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una arena que presenta nula cohesión y un ángulo de fricción interna de <!> = 36°, así como un peso volumétrico dey = 1.90 ton/m2
• El nivel piezométrico queda a 3 ro abajo de la corona y la variación de mareas V = 1.0 ro.
~ 1mcyc
a) Deduzca por el procedimiento denominado de Nsoporte libre del terreno" la profundidad de hincado conveniente.
Propósito.·
Calcular la profundidad de hincado utilizando el método
del Soporte Libre, así como Ja fuerza que obra sobre el anclaje.
Solución:
Se analizará un ancho de tablestaca de un metro.
1) Dibujo del diagrama de presiones totales:
Para resolver este problema se utilizara el diagrama de pre
siones totales en vez del de las presiones netas, sabiendo que los resultados finales serán los mismos.
En el problema se incluirán las presiones del agua por efecto
de la variación de mareas, que frecuentemente ocurren en las obras marítimas o fluviales.
2) Cálculo de la profundidad de hincado.
Se toman momentos con respecto al punto de anclaje B,
l:M8 = 0
- A1d 1 + A2d2 + A3d3 + A4d4 + A5d5 - A6d6 = O
- 2.22 X 1 + (10.36 + 1.4813)(3.5 + 13/2) + (0.12132 + 1.631) + 5.74)(7 X 2/3
213/3) + (0.5 X 2/3) + (7 + 13)(7/2 + 13/2)-(1.9313 2)(2/30) - 0
Simplificando y haciendo operaciones se obtiene:
0 3-2.3913 2-23.8013-70.81 =o
3.00m Anclas a 1.0 m separación
,A Figura 2.2.3.1
VM=l.O
lOm
D
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
/
ARENA LIMPIA: C=O <!>2= 36° ' KA = 0.26 ' Kp = 3.85 Ym = 1.90 ton/m3
115
v 1mcyc
A----------han el a
V
lOm
D
E"'
CALCULO DE LAS AREAS: O'AB = 0.26 X 1.9 X 3= 1.48 ton/m2
A1 = l/20'ah = 2.22 ton
A1 = O'Aa(IO + D - 3) Ai = 10.36 + 1.48D ton
A3 = l/2(KAO'VE - 1.48)(10 + D - 3) O'vE .- Presión vertical en E. O'vE = (1.9 x 3) + 0.9(10+ D -3) O'vE = 12 + 0.9D A3 = 0.12D2 + l.63D + 5.74 ton
A4 = Yi x lx 1 = 0.5 ton
As = 1 ( 10 + D - 3) As = 7 + D ton
---KAO'VE 1-
A6 = Yi 3.85 Q'D2
A6=1.9.3 D2
PRESIQNES TOTALES DE RANKINE
Figura 2.2.3.2
Resolviendo la ecuación obtenemos:
O = 713 m
Incrementando la profundidad por seguridad un 20%.
O' = 8 56 m
3) Cálculo de la fuerza que actúa sobre el tirante:
Se aplica la ecuación de equilibrio :EMEP = O en el punto de
aplicación del empuje pasivo Ep. Se puede aplicar la ecua
ción anterior en otro punto, pero por facilidad de cálculo lo
aplicaremos en éste.
-EA' d 1 - EA2 d2 - EA-3 d3· EA4 d4-EA-5 d5
+ T dT = 0 (1)
E Al = 2.22 ton;
d, = 1O+2/3x7.13-2/3x3
=12.75 m
EA2 = (10.36 + 1.63 X 7.13)
= 21.98 ton;
d2 = (7 + 7.13)/2-2/3x3
=5.07m
EA3 = (0.12 X 7.132 + 1.63 X 7.13 + 5.74)
= 23.46 ton;
d3 = (7 + 7.13)/3-2/3x3
=2.71 m
116
EA4 = 0.5 ton,
d4 = 7.13x2,/3 +4+0.33
=9.08m
E As =(7+7.13)
= 14.13 ton
ds =(4+ 7.13)12 +4-2
=4.60 m
dT = 9.20x2/3 + 7
=7.57 m
-2.22x12.75-21.98x5.07-23.46x2.71-0.Sx9.08-14.13x7.57 +FTX 13.13-0
La fuerza sobre el ancla es:
IAriCLA.lf...:= 23.20 ton
4) Cálculo del momento máximo flexionante:
El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo situado a una profundidad d, de la corona, por lo que primero
calcularemos su localización y después el momento flexionante en el mismo punto.
Considerando que el punto de cortante nulo queda entre los puntos C y O a una distancia del punto de anclaje C. Toman
do momentos flexionantes de la parte superior tenemos que la ecuación es :
A1 - T +crAB y+ (KAy'y)y/2 + A4 + Yw (y- 1) = O
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Propiedad
p
Log1op
Modulo de sección, S
Momento flexionante resistente
MRIMMAX
Unidad por pie de ancho
Pulg4
Pulg3
Kip-pie
TablestacaPZ38
280.8
1.63 'x 10·3
-2.78 1
46.8
97.50
0.65
2.22-23.20 + 1.48y+(0.26xu.9)y2 /2 +0.5+y-1=0
0.117y2 + 2.48y- 21.48 =0
Resolviendo la ecuación cuadratica obtenemos:
y= 6.10 m
·El punto en el que ocurre el máximo momento queda a 9.60 ' abajo de la corona.
La ecuación para encontrar el momento flexionante máximo es:
Al (y + ?{) + (j AB y{/{ ) + (KAy'y)/{ ~) + A/y - 3{) + y(y -33')/2 -T y = M
2.22(7.1 O) + 0.75x6.102 + 0.04(6.103) + 0.5(5.77) + 3.05(5.77) -23.20x6. 1 O =M
MMAX.: = - 68.28 ton-ro Por metro lineal de tablestaca
MMAX = -150.5 Kips-pie por pie lineal de tablestaca
Reducción propuesta por Rowe
Se hará una tabla que muestre Log10p contra la relación
M/MMAx: donde p se obtiene por la fórmula de Rowe y la relación M/MAx se encuentra a partir de los datos proporcionados por los fabricantes de tablestacas o de las propiedades de la tablestaca, además del valor de MMAX obtenido ante-
TablestacaPZ27 TablestacaPDA27
184.2
4.16x 10·3
-2.38
30.2
62.9
0.42
39.8
1.15 X 10-2
-1.94
10.7
22.29
0.15
~ 1mcyc
Obtención propiedad
Fabricante
Fórmula 2.2
TablaFabricante
cr S
riormente. Finalmente, en una gráfica se compararan los resultados obtenidos para elegir la sección más recomendable. La gráfica incluirá los datos de la tabla construida y la curva pertinente propuesta por Rowe.
Elaboración de la tabla: Se tomarán los datos del catálogo de un fabricante.
L =H+D'
p
=10+8.56
= 18.56m
=60.89 pies
(H +0) 4
El
60.89 4
= 3x10 7 /
0.458 =-,-1 en pulg4 (2.2)
5) Elaboración de una gráfica que permita comparar los resultados y elegir la sección de tablestaca mas conveniente. Se utiliza la propuesta por Rowe indicada por el número
1.Qi---~~~~-.--~~~~~.--~P-ar_a_a-rc_n_a-dc-n-sa~~~~~~~~~~
/3=0, 0.1,0.2,0.3
M 0.6
Mo 0.4 ~~~~~-+-~~_;::==-~t-=--.....=-=--==:-'-~~~~--~~~~~-1 PZ27 J. 8
- et' === o"'J::::::::::: o. 2 1-------+-----+-----;--- Q' ===ºti
PDA27 O.__~~~~_.__~~~~~'--~~~~-'-~~~~~'--~~~~-l
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 log p; p = H'?ÉI
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 2.2.3.5
117
~ 1mcyc
2.51 y se le agregan los puntos que representan a cada tablestaca analizada.
Del análisis de la figura 2.2.3.5 se concluye que la tablestaca
PDA 27 queda abajo de la cueva o sea del lado de la inseguridad, la PZ38 es la más conservadora y de las 3 estudiadas la PZ27 es la más conveniente con una reducción del momento máximo actuante del 42%.
Procediendo de esta manera se pueden analizar las tablestacas que se quieran.
La reducción propuesta por Rowe se aplica mejor en el diseño de la tablestaca y no para calcular las presiones que actúan sobre ella.
Problema 2.2.4
Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablestaca anclada que se hinca en arcilla y que contiene un relleno de arena limpia, tal como se muestra en la figura. Considere un incremento del 30 % en la profundidad de hincado como seguridad.
Propósito:
Calcular la profundidad de hincado de una tablestaca con
apoyo I ibre colocada en un suelo puramente cohesivo y con
relleno de suelo friccionante. Figura 2.2.4.1
Solución:
1) Se establece el diagrama de presiones tal como se indica en la figura 2.2.4.2 a continuación.
l.20m 1 Figura 2.2.4.1
2) Cálculo de la profundidad de hincado Se aplican las ecua- · dones de equilibrio LMB = O, LFX = O
Tomando momentos con respecto al punto de anclaje B, se tiene:
EAdl - EPEdi = o; Donde:
= 1/2KAyH2
= 0.5 X 0.33 X 52
= 4.13 ton
= (4c -yH)D
= (4 X 3 - 1.70 X 5)D
= 3.5D ton
= 2/3 X 5 - 1.20
= 2.13 m
= 5 - 1.20 + D/2
= 3.80 + D/2
Por lo que la ecuación queda:
4.13 X 2.13 - (3.5D)(3.80 + D/2)
Simplificando:
D2 + 7.6 D - 5.02 = O
Resolviendo la ecuación cuadratica obtenemos:
o - 0.61 m
Incrementando la profundidad de hincado un 30% por se-·
guridad, obtenemos:
Tirante
H=5m Arena limpia:
Longitud de hincado, D.
, ,
118
C= O ton/m2
<!> =30° Ym = 1.60 ton/m3
Arcilla: C= 3.0 ton/m2
<!>=oº Ym = 1.70 ton/m3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
H Presión activa
Tirante
~ 1mcyc
Figura 2.2.4.2
d2 q =yH
D
1
Presión . pasiva exterior
***** EPE
'---D
DIAGRAMA DE PRESIONES NETAS PARA SUELOS COHESIVOS
O' = 0.79 m
La profundidad calculada es mucho menor que la de la tablestaca en cantiliver cuya D' fue de 6.45 m.
3) Cálculo de la fuerza que obra sobre el tirante:
La tensión en el ancla se obtiene de
Lf x = O
F ancla = 4. 1 3 - 3. 5 X O. 61
fílllda = 2.00 ton por metro de ancho:
4) Cálculo del momento flexionante máximo:
El momento máximo ocurre en el punto de cortante nulo ubicado a una profundidad de de la corona.
1/2KAy1d/ - 2.0 = 0;
0.5 X 0.33 X 1.70.X d/ = 2.0
de= 2.67 m
Tomando momentos en este punto hacia la parte superior del diagrama de presiones tenemos:
MMAX = - 2.x (2.67 - 1.20) + 1/2KAyd/ x d/3
MMAX = - 2.94 + 0.5 X 0.33 X 1.70 X 2.673/3
=-2.94 + 1.78
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
MMAX = - 1.16 ton-m (por metro lineal de tablestaca).
La tablestaca anclada permitió obtener una menor profundidad y momento flexionante que la obtenida en una tablestaca similar, pero en cantiliver.
Problema 2.2.5
Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando un relleno de arena, que tiene un ángulo de fricción interna~ = 36º, cohesión nula y un peso volumétrico de y = 1.90 ton/m2
•
a) Calcule por el procedimiento denominado de "soporte fijo del terreno" la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado, utilizando el procedimiento de Coulomb para calcular los empujes.
b) Calcule por el procedimiento denominado de "fa viga equivalente" la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado.
c) Compare los resultados obtenidos.
Propósito.·
Calcular la fuerza que actua sobre el anclaje y la profundidad de hincado utilizando el método del Soporte Fijo y de la Viga Equivalente.
119
v 1mcyc
Figura 2.2.5.1 1.20m ¡ 6.0m
D"
a) Método del soporte o apoyo fijo.
Solución:
Anclas a 2.5 m separación
--------------------------~' A /
8
KP
ARENA LIMPIA: C=O <!> = 36° 'KA= 0.236 'Kp = 9.32 Ym = 1.90 ton/m3
= Yi ~ Para el activo
= 9.320
En este problema para determinar el valor de los coeficientes de empuje se siguira la recomendación de Terzagui de considerar:
KA y KP se obtuvieron aplicando la fórmula de Muller-Bres
law, considerando 8 = 3{ 36º= 24º para el pasivo y 8 = ~
36º = 18º para el activo.
8 = 3{ ~ Para el pasivo
= 0.236
Figura 2.2.5.2
6.0m
D
120
Utilizar los coeficientes de empuje por Coulomb es más ventajoso que usar los de Rankine, pues permiten analizar en forma aproximada el efecto de los movimientos del relle-
DIAGRAMA DE PRESIONES SIMPLIFICADO
t t A
1.20m
+ B -----------....
i 2.80m
1
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
no y de la cimentación sobre los valores de los empujes activo y pasivo.
1) Dibujo del diagrama de presiones.
= 0.236 X 1.90 X 6 X COS b
= 2.56 ton/m2
= 2.56 X 6/2
= 7.68 ton
2) Cálculo de la profundidad del punto de inflexión.
Para localizar la profundidad x del punto de inflexión, D, se utilizará la grafica propu~sta por Blum.
De la gráfica
X . = 0.002 H
= 0.002 X 6
= 0.012 m
3) Cálculo de la profundidad del punto de presiones nula, E.
cr a
1.90(9320-0236)
= 0.15 m
4) Cálculo del empuje EA2.
= 2.56 X 0.15/2
= 0.19 ton por metro de ancho
5) Cálculo del empuje pasivo EPE.
= y (KP - KA)(D-a)
= 1/2 y (KP - KA)(D - a)D
= Yi X 1.90 (9.32 - 0.236)(D2 - 0.15D)
=8.63D2-1.29D [1]
6) Cálculo de la fuerza en el tirante. Para ello se tomaran mo
mentos con respecto al punto de inflexión D. :EMo = O.
:EM0 = F r x dr - EA1 x (2 + x) - 0.02 x (2/3 x)
:EMD = FT (4.80 +. 0.01) - 7.68 (2.00 + 0.01) - 0.02 X 0.01 = o
FA = 3.21 ton por metro de ancho;
fA_--=-~3:..u.2.._1L..'1.x _..2 ...... 5¿_
= 8.03 ton por ancla
7) Cálculo de la profundidad de anclaje.
Tomando momentos con respecto a la_ base F, tenemos:
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
\) 1mcyc
:EMF = 0.
:EMF = FT X (D + 4.80) - EAl X (D + %') -EA2 X (D-X
a)+ EPExdPE =o
3.21x(D + 4.80)-7.68x(D + 2)-0.19x(D-0.05) + EPEx(D-0.15)/3 - O
= (4.66D - 0.04)/(D/3 - 0.5) [2]
Igualando [1] y [2] tenemos:
8.63D2 - 1.29D = ( 4.66D - 0.04)/(D/3 - 0.5)
Resolviendo la ecuación:
O = 1.49 ro
Blum propone que la profundidad se incremente de 1.05 a 1.20 veces
(D - a) y agregarle u como se indica en la figura 2.11, para este caso se considerara 1.20 veces.
1.20 (1.49 - 0.15) + 0.15 = D'
O' = 1.76 ro
= 8.69 X 1.492 - 2.59 X 1.49 + 0.02
= 1 5 .45 ton por metro de ancho.
8) Cálculo del máximo momento flexionante.
El máximo momento flexionante ocurre en donde el esfuerzo cortante que actua sobre la tablestaca es igual a cero.
FA - 1/2yKªz2 = O;
3.21- 0.5 x 1.90 z2 = O;
z = 3.38 m a partir de la corona
MMAX = 3.21(3.38 - 1.20) - 0.5 X 1.90 X 3.382 X (3.38 - 1.20)
MMAX:= 16.66 ton-ro por metro de ancho.
b) Método de la viga equivalente.
1) Dibujo del diagrama de presiones. Se realiza en la misma forma que en el inciso anterior.
2) Cálculo de la profundidad del punto de inflexión. Se hace en la misma forma que en el inciso anterior.
X = 0.012 m
pero además se calcula la presión que existe en este punto. Se puede obtener por una simple regla de tres:
crJa = crJ(a-0.01 );
cr0 = 2.56 X (0.15 - 0.01 )/0.15
= 2.39 ton/m2
3) Cálculo de la profundidad del punto de presiones nula, E. Se hace en la misma forma que en el inciso anterior.
121
\) 1mcyc
Figura 2.2.5.3
VIGA SUPERIOR
x=O.OlD~Rn cro =2.39
0.14 - - - - - - - - - - - - EAI f------------ D Rn
y VIGA INFERIOR
! L...-""'"'"'."".:-::-:-·__...... __ O"F = yY(KP - KA) F
EPI
a = 0.15 m
4) Se dibujan las vigas superior e inferior con sus respectivas cargas.
5) Cálculo de la viga superior.
Fuerza en el tirante: se toman momentos con respecto al punto D.
LMD = FT (4.80 + 0.01) - 7.68 (2.00 + 0.01) - 0.02 X 0.01 = o
Fr == 3.21 ton por metro de ancho;
f1. __ =__..._.3 • .__2_._1 ..... x ....... 2 ........ 5 ....
- 8.03 ton por anda
Cálculo de Ro. LFx = O.
= EAS - FT
= (7.68 + 0.01 X 0.5(2.56 + 2.39)) - 3.21;
= 4.49 ton
= 0.5 X 2.39 X 0.14
= 0.17 ton
6) Cálculo de la viga inferior.
Cálculo de EPF. Tomando momentos con respecto a la base
122
R0 (Y + 0.14) + EA1 (Y + 0.67 X 0.14) - EPF x Y/3 = O
4.49(Y + 0.14) + 0.17(Y + 0.09) - Vz X y X 1.90 X Y(9.32 - 0.236) X Y/3 - o
2.87 Y3 - 4.66 Y - 0.65 = O;
y
D
o
= 1.34 m
=Y+a
= 1.34 +0.15
= 1.49 ro
Siguiendo el criterio de Blum
D' = 1.20 (1.49 - 0.15) + 0.15;
O' = 1.76 ro
7) Cálculo del momento flexionante máximo. Se calcula en forma igual que en el inciso anterior.
MMAX:= 16.66 ton-ro por metro de ancho
e) Comparación de resultados.
Los resultados de los dos procedimientos son iguales.
Se utiliza con mayor frecuencia el método de la viga equivalente que el simplificado, los dos propuestos por Blum, por considerarse de fácil aplicación.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
1 • 1.50m
A
t ~B------------------------Relleno de ARENA: C=O
Figura 2.2.6.1
H=lOm $t = 32° MUERTO
e
3 'Yml = 1.75 ton/m KA= 0.31
Terreno natural:ARENA LIMPIA: Longitud de hincado, D. C=O
1 $2 = 30°
3 ym2 = 1.65 ton/m
D KA=0.33 KP=3
Problema 2.2.6
Encuentre la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado por el Método del Apoyo o Soporte Fijo de la tablestaca mostrada en la figura. Comparelo con el resultado obtenido con el método del apoyo libre en el problema 2.2.1
Propósito:
Calcular la profundidad de hincado mínima de una tablestaca con apoyo fijo en un suelo puramente friccionante. Figura 2.2.6.1
· 1) Dibujo de las presiones netas
En los puntos de anclaje, A, de pivote, B, y en la base; C, se
tiene la condición de que el momento flexionante de la ta
blestaca en estos punto es igual a cero.
En B:
= 2.67(1.75 x10+1.65 x)
CJ'PB = 46.73 + 4.41 X
En C:
crPC = (KP2-KA2 )y(D-a)
= 2.67 X 1.75 X (0-a)
crrc = 4.67 (D-a)
E Al
EA2
EPE
5.43x1 O
2
= 27.15 ton
5.43xa2
2
= crrc x (O-a)
= 2.33(0-a)2
1 1.50 m !
10.0m
D
f x t PIVOTE
ª•
1 O'PC
Considerando las áreas, tenemos: Figura 2.2.6.2
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
A T
EA2
e
\) 1mcyc
EAt
123
o 1mcyc
EPI = T-EAl - EA2 + EPE
2) Cálculo de la profundidad del punto donde las presiones son nulas:
cr a
1.65(3-.033)
=1.23 m
3) La profundidad del pivote x, se calcula utilizando la gráfica 2.13 de Blum.
X = 0.07 H
X = 0.07 X 10
= 0.7 m
X = 0.70 ID
crx = (1-Ya)5.43
= 2.34 ton/m2
4) La fuerza en el tirante se obtiene por la condición de que la suma de momentos en este punto B sea igual a cero,
LMB = O. Tomando momentos de la parte superior de la tablestaca al punto B, tenemos:
MPIVOTE = o ;
FTdT- EA1d A1-(5.43 + cr)(a-x)d8/2 =O
FT(0.70 + 1 O - 1.50) - 27.15 x(0.70 + 19{¡ + (5.43 + 2.34)(1.23 - 0.70)x03%
La fuerza en el anclaje es:
f 1 - 11.91 ton
5) Para calcular O tomamos momentos con respecto a· 1a base, _Me = O.
FTX dT- EA, X dAl - EA2X dA2 + EPEX dPE = o
FTXdT = 11.91(0+10-1.50)
= 11.91 O + 101.23
EAl X dAl = 27.15(0 + 10/3)
= 27.150 + 90.49
EA2 X dA2 = (5.43 X 1.232/2) X (O - 1.23/3)
= 4. 11 O - 1.68
EPE X dPE = 2.33(0 - 1.23)2 (O - 1.23)/3
= 0.78(0 - 1.23)3
11.910+101.23-( 27.150 + 90.49)-(4. 1 lD - 1.68) + 0.78(0 - 1.23)3 - O
124
Resolviendo esta ecuación cubica se tiene que:
D = 6.47 m
Blum propone que la profundidad se incremente de 1.05 a
1.20 veces
(O - a). Considerando 1.20 veces.
1.20 (6.47 - 1.23) + 1.23 = O'
D' = 7.52 m
La aplicación del método propuesto por Blum es relativa
mente sencillo y po ello, utilizado frecuentemente.
Problema 2.2.7
Una excavación de 7.00 m de profundidad se hará en un suelo puramente friccionante, con ~ = 28 ° y ym = 1.8 ton/m3
• La pared de soporte esta formada por una hilera de pilotes que a una profundidad de 1.20 m se sujetan por anclas a "muertos" colocados convenientemente. Sup.oniendo que la base de la ataguía esta fija y utilizando el método de la viga equivalente. Determine la longitud mínima que deben tener los pilotes para mantenerse en equilibrio y no deslizarse.
Propósito:
Calcular una tablestaca por el método de la viga equivalente y analizar la longitud de anclaje y colocación del muerto correctamente. Figura 2.2.7.1
Solución:
Para un suelo friccionante, en la práctica, si ~ queda com
prendido entre 25° y 35° entonces el punto de contrafle
xión O se recomienda quede a 0.1 H por debajo del punto C del suelo.
CD = 0.10 X H
H = 0.70 m.,
KA = 0.36,
KP = 2.77.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
o 1mcyc
A F 1 / ,, /
TIRANTE O ANCLA ,/' ·-·-·,,·,,-,,~ , ___ /,/ MUER~TO B ! / H--/-··,,-·,. ----
Í; ,/// '------.,' .. , / / ,,
// /./ ....................... . / // ·- .. , G
/ COLo/ACION DEL MUERTO / E12,gulo a debe ser igual a 45° - cj>/2 y el
/ ángulo b mínimo igual a 45 º + cj>/2 y el más / /~onveniente igual a cj>.
/ / El muerto debe quedar en la zona superior a ,,/ .// F - G. para que funcione eficientemente.
o. 7 m 1--. ----n // // ·-,,,\ A j /
'/
--------------·-x _,. ___ ,_E_l_~__.__P_---i<I\ _________ _
7.00m
1.2m 1 ..
.. e
Figura 2.2.7.1
A
T B
VIGAA-D VIGAD-E
EA
Da D Db
Da D Db Re
Figura 2.2.7.2
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 125
\) 1mcyc
Para determinar el valor de las presiones en los puntos importantes, se utilizara la tabla siguiente:
Punto Presión activa Presión pasiva
A o o e 0.36 X 1.8 X 7.0 = 4.54 o D 0.36 X 1.8 X 7.70 = 5.0 2.77 X 1.8 X 0.70 = 3.49
E 5.0 + 0.36 X 1.8 X X - 5.0 + 0.65 X X 3.49+2.77x1.Bx X- 3.49 + 5x X
Se consideraran las vigas equivalentes de la figura 2.2.7.2
EMPUJE ACTIVO ton
0.5 X 5 X 7.7.,. 19.25
EMPUJE PASIVO ton
0.5 X 3.49 X 0.7 = 1.22
VIGAA-D
PUNTO DE APLICACION MOMENTOS
. • (con respecto a B) (d1stanc1a con respecto a B)
7.7 - (7.7/3) - 1.20 = 3.94 19.25 X 3.94
MOMENTOS PUNTO DE
APLICACION (con respecto a B)
(con respecto al punto BJ
(0.7/3) = 0.23 1.22 X 0.23
Para calcular RC se tomaran momentos con respecto al punto, B, de colocación del anclaje.
RC X (7.7 -1.2) = 19.25 X 3.94 - 1.22 X 0.23
RC = 11.63 ton por m.I.
126
VIGA D-E
EMPUJE ACTIVO PUNTO DE
MOMENTOS
ton APLICACION
(con respecto a E) (distancia con respecto a E)
5 X X ~ 2.5 X X2
0.65 X~{ ~ (º·6%) X X3
EMPUJE PASIVO PUNTO DE
MOMENTOS
ton APLICACION
(con respecto a EJ (con respecto al punto E)
3.49 X X ~ (3·4~x x2
2.50 X 2 ~ e5%)
Para calcular X se tomaran momentos con respecto al punto E de todas las fuerzas, incluyendo la fuerza RC calculada anteriormente y se igualaran a cero para tener equilibrio.
11.63 X (X+ 0.7) + 2.5 X X2 + (º· 6%) X X3 - ~· 4%')x X2- (2s'.}{)x X
3 = 0
-0.725X3 + 0.75X2 + 11.63X + 8.14 = O
X = 4.84 ro
La profundidad de empotramiento será igual a
4.84 + 0.7 = 5.54 m
La longitud mínima de la tablestaca es igual a
5.54 + 7 = 12.54 m.
La colocación correcta del muerto se muestra en la figura# 2.2.7.1. Para que quede dentro de la zona G,H y Y se debe conocer las dimensiones del muerto y hacer los calculas geometricos pertinentes.
Para este caso se utilizo un diagrama de presiones totales en lugar del diagrama de presiones netas. El resultado final es el mismo.
La colocación correcta de los muertos es importante ya que si no se colocan adecuadamente puede hacer inefectiva o deficiente su función.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Ademes
El cálculo de los empujes del suelo sobre los ademes se basa en la propuesta de Karl Terzaghi de utilizar ENVOLVENTES DE PRESIONES.
Posteriormente a Terzaghi varios investigadores han propuesto diferentes envolventes de presiones.
La envolvente que debe utilizarse la que más se adapte a las presiones de los suelos del sitio, para ello se requiere experiencia y buen juicio. Lo más conveniente es utilizar los re
sultados de las instrumentaciones realizadas en los suelos del lugar.
El Instituto de Ingeniería de la Universidad Autónoma de
México ha realizado una serie de investigaciones en los sue
los de la ciudad de México y ha propuesto una serie de envolventes de presiones para aplicarse a ellos.
PUNTAL 1
0.5m
PUNTAL2
ARENA: 2.0
~ 1mcyc
Problema 3.1
Se pretende hacer una excavación y ademar en una arena fina limpia con un peso volumétrico de y = 1.8 ton/m3 y ángulo de fricción interna de ~ = 35º, con cohesión nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales, separados horizontalmente dos metros entre sí y colocados según se muestra en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales empleando las envolventes de presiones siguientes:
a) Envolvente propuesta por Terzaghi para las arenas de Berlin.
b) Envolvente propuesta por Peck para arenas (1969).
Propósito:
0.2 H Figura 3. l.1 (1.70 m)
<!>=35º ENVOLVENTE
c=O PUNTAL3 Ym = 1.8 ton/m
3 2.0m
KA=0.271 NAF Profundo
PUNTAL4
2.0m
PUNTALS 2.0m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
DE PRESIONES PROPUESTA POR TERZAGUI
0.8 yH KA
0.6 H (5.10 m)
0.2H (1.70 m)
127
G 1mcyc
P2a
P3a
P4a
Figura 3.1.2
1.13 m
0.97m
0.40m
1.00m
1.00m
1.00m
1.00m
0.15 m
0.72m
1.13 m
Figura 3.1.3
128
Ademes
PI~
P2b :i ~ _. P_2_ª..,.------.
P3a ]
PI
P2b
P3b
P4b Los puntales inferiores se calculan en forma similar
P5 CALCULO DE LOS PUNTALES
ANÁLISIS POR METRO LINEAL DE ADEME
,,.
,., ,,.
...
·~
' .. '~
·~
P2a e ~
...
f ~
....
P3b ~ ... g
P3a g ~
...
h ~
....
P4b ~ .
í:Me =O; P1(2) = 2.82 (1.37) + 2.66 (0.40); PI= 2.46 t
Yi (3.32) (1.70) = 2.82 ton (Area) = F 1
0.2 (3.32) = 2.66 ton (Area) = F2
P2b = 2.83 + 2,66 - 2.46 = 3.03 ton
P2a = P3b = 3.32 ton
_? (3.32) = 6.64 ton= f3
P3b = P3a = 3.32 ton
P3b = P3a = 3.32 ton
2 (3.32) = 6.64 ton= F 4
P4b = 3.32 ton
P4a = 2.82 + 0.99 - 1.28 = 2.59 ton
0.6 (3.32) = 1 ton= Fs
Yi (3.32) (1. 7) = 2.82 ton= F 6
Ps = 1.0 + 2.82 - 2.59 = 1.23 ton
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Ademes
Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arenas.
a) T erzaghi.
crmax = 0.8 KA Ym
H = 0.8 X 0.271 X 1.80 X 8.5
= 3.32 ton/m2
CALCULO DE LOS PUNTALES
Los puntales inferiores se calculan en forma similar
P3a
P5
P4a P4b
Superponiendo las fuerzas obtenemos:
P1
P2
P3
P4
= 2.46 ton,
= P2a + P2b = 3.03 + 3.32
= 6.35 ton,
= 3.32 + 3.32
= 6.64 ton,
= 2.59 + 3.32
= 5.91 ton,
PUNTAL 1
PUNTAL2 ARENA: <t> = 35°
PUNTAL3 · c=O y= 1.8 ton/m KA= 0.271
PUNTAL4
PUNTALS
0.2m
0.6m
3 O.Sm
2.0m
2.0m
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
P5 = 1.23.
Como los puntales estan separados dos metros entre si, debemos multiplicar por 2 los resultados anteriores que fueron obtenidos para un metro de ancho.
P1 = 4.90 ton
P2 = 12.70 ton
= 13.38 ton
= 11.82 ton
P5 = 2.46 ton
b) Utilizando la.envolvente propuesta por Peck para arenas, con NAF profundo. Figura 3.1.5
Solución:
Se calculan los volúmenes que le corresponden a cada puntal.
crmax = 0.65 X 0.271 X 1.8 X 8.5
= 2.70 ton/m 2 •
Puntal 1 [(0.5 + 1 )1 x 2.70] x 2 = 9.10 ton.
Puntal 2 [(1 + 1) 1 x 2.70] x 2 = 10.80 ton.
Puntal 3 [(1 + 1)1 x 2.70] x2 = 10.80 ton.
Puntal 4 [(1 + 1 )1 x 2.70] x2 = 10.80 ton.
Puntal 5 [(1 + 0)1 x 2.70] x2 = 5.40 ton.
Figura 3.1.4
ENVOLVENTE PROPUESTA POR PECK
-0.65KAyH
129
~ 1mcyc
La utilización de la envolvente Propuesta porTerzaghi es más conservadora que la propuesta por Peck. Sin embargo, conviene recordar que de todas las propuestas se debe utilizar la que se ajuste más al comportamiento del suelo en el sitio; para lo cual será conveniente hacer mediciones, instrumentando el sistema de ademado y con los datos reales obtenidos caracterizar el comportamiento del suelo de la zona con una envolvente mas real y precisa. Si no es posible hacer esto se debe utilizar la experiencia.
Problema 3.2
Se pretende hacer una excavación de 7 .5 m de profundidad en una arcilla blanda que tiene un peso volumétrico de
y= 1.78 ton/m3, con cohesión de 2.5 ton/m2 y ángulo de
fricción interna nulo. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales, colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas blandas (1969).
Propósito:
Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arcilla blanda. Figura 3.2.1
N = (yH + ql/c ;
q
N
= O (sobrecarga);
= 1. 78 X 7.5/2.5
= 5.34 > 4
Por lo que m < 1 y
Figura 3.2.1
PUNTAL 1
PUNTAL2
PUNTAL3
KA 4c
=1-myH
4x25 =1- 0·80 1.78x75
= 0.40
Ademes
En este problema, el valor de m = 0.8 se obtuvo de mediciones en el campo de la instrumentación de excavaciones en este tipo de suelos arcillosos.
Arcilla de la ciudad
Oslo, Noruega
Chicago, U.S.A.
México, Mex. Véase figura 3.3.4
Véase figura 3.2.2
Se analizará un metro de ancho.
E, = 5.34 X 1.88/2
= 5.02 ton
d, = 1.25 m.
Valor de m
0.40
1.00
La distancia con respecto al punto de aplicación del puntal 2
es:
= 0.62 X 5.34
= 3.31 ton.
= 0.31 m (con respecto al puntal 2).
Para el cálculo del puntal 1 se tomaran momentos con respecto al punto de aplicación del puntal 2. Para el puntal 2
con respecto al punto 1.
LM2 =O;
l.Om + 0.25H
1.5 m i
l.5m 7.5m
PUNTAL4 ARCILLA ENVOLVENTE DE PRESIONES PROPUESTA POR PECK PARA ARCILLAS BLANDAS
0.75 H
PUNTAL5
130
BLANDA 1.5 m
e = 2.5 ton/m 2
<!>=O 3 y=l. 78 ton/m 1.5 m
io.5m
KA= 1-4mc/yH m = 1 si N = yH/c E 4 m< 1 si N>4
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Ademes o 1mcyc
P3a
·--·--·--.. ·-·----------·-·
] P3b P3a
] 5.62m
l P4b E4 P4a
---------·-·---
:i P5b P5a --1 .. E'.6
P4a
P5a Es
KAyH
5.34 ton/m2 CALCULO DE LAS FUERZAS SOBRE LOS PUNTALES
· Figura 3.2.2
P1 X 1.50 + P2b X 0 - 5.02 X 1.25 - 3.31 X 0.31 = 0;
P, = 4.87 ton
:EM, =O;
P2b X 1.50 + P1 X o - 5.02 X 0.25 - 3.31 X 1.19 = o; = 3.46 ton
Por simetría:
P2a = P3a;
P3b = P4b;
P4a = P5a.
P2a = P3a
= 1.50 X 5.34/2
= 4.00 ton
P3b = P4b
= 4.00 ton
P4a = P5a
= 4.00 ton
P5b = 0.50 X 5.34
= 2.67 ton
Las fuerzas aplicadas sobre los puntales son:
= 4.87 ton
= P2a + P2b
= 3.46 + 4.00
= 7.46 ton
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
= P3a + P3b
= 4.00 + 4.00
= 8.00 ton
= P4a + P4b
= 4.00 + 4.00
= 8.00 ton
= P5a + P5b
= 4.00 + 2.67
= 6.67 ton
El criterio de aplicación de la fórmula adecuada lo da el
valor de N, que es la función del peso volumétrico, la al
tura de la excavación, la cohesión y la sobrecarga.
Problema 3.3
Se pretende hacer una excavación ademada de 8.5 m de profundidad en una arcilla dura y fisurada, con un peso vo
lumétrico de y = 1.8 ton/m3, cohesión c = 3 ton/m2 y ángu
lo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 5 puntales colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales.
Propósito:
Calcular las cargas que actúan sobre los puntales que sostienen el ademe de una excavación en arcilla, utilizando la envolvente de Peck.
131
~ 1mcyc
a PUNTAL 1 0.2 m
Figura 3.3.1
ARCILLA DURA 0.6m PUNTAL2 YFISURADA
2 e= 3 ton/m
PUNTAL3 <j>=O Ym = 1.8 ton/m
PUNTAL4 NAF profundo
PUNTALS
La forma del diagrama de presión y la magnitud de las pre
siones dependen del número de estabilidad N =(yH + q)/c. Las fórmulas para calcular las presiones y el empuje se indican en la tabla siguiente:
:: ;cj·<·N;:<.:s.'.;;:s)::/N ·¿fo7 /1o<dN:<~2o·::· f.: ~:iN·:~2ó:~:\=. ::
. ·~· ·.·· y~·~!~~i8)c.. : O;~~r;H•··~·;:~it~:~~~~t····· •· 'º•:¡;~Hr · 'ª ·0:55 H · 'o.55.H ··0:·1~o:os5N)H · · ::,:º::':;:.'/
·C ·0.46H .Q.46H· 0.3BH; ·0.33H·.··
En nuestro problema tenemos:
N = (1.8 X 8.S)/3
= S.1
q =Ü
De la tabla anterior obtenemos el valor máximo de la presión:
P3a P3b
A
0.5 m H
2.0m
2.0m
= yH-4c
ENVOLVENTE DE PRESIONES PROPUESTA PORPECKPARA ARCILLAS DU,_ RAS Y FISURA -DAS
-ah~
= 1 .8 X 8.S - 4 X 'j
= 3.3 ton/m 2
= 0.78 H O'H
= 0.78 X 8.S X 3.3
= 21.88 ton
= 0.1S H
= 0.1S X 8.S
= 1.28 m
B =O.SS H
= 4.68 m
e = 0.46 H
= 3.91 m
::: ] P4a Los puntales inferiores se calculan en forma similar.
O'max = 3.3 ton/m2
P5 CALCULO DE LOS PUNTALES
Figura 3.3.2
Ademes
b --í B
e e
1 A
+
J
132 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Ademes
Las fuerzas que están aplicadas sobre los puntales son:
1.95x15 P, = -2-
f1
= 1.46 ton
(254x33)
P2ª + P2b= 2
-1.46 + 0.96x3.3
= 3.04 ton
f 2 = 3.04 ton
p3a + p3b = 2 X 3.3
= 6.6 ton
.el = 6.60 ton
(128X3)
p4a + p4b = -2- -1.29 + 1.72 X 3.3
= 6.50 ton
P~ - 6.50 ton
P, _ (lüx~.58)
= 1.29 ton.
f1
- 1.29 ton
H
~ 1mcyc
Existen diferentes envolventes propuestas y el criterio
para elegir una de ellas lo dará la respuesta del suelo, por lo que es conveniente instrumentar para realizar los ajustes pertinentes.
En las envolventes de presiones propuestas por Peck el número de estabilidad N dará la fórmula requerida para aplicar.
Es importante considerar que las reglas empíricas propuestas porTerzaghi, Peck y otros autores para las e11vol
ventes se aplican sólo cuando el nivel freático esta profundo. En el caso de NAF superficial se requiere utilizar otros criterios.
t b1H
1
Figura 3.3.3
b2H
bJH
---------------·---·-----------· ·---·-------·---··-·--·········-·-····· .. ----··-·--······-·········---¡ EL NIVEL FREATICO ESTA PROFUNDO
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 133
I~ 1mcyc
Reglas de R.B. Peck para determinar el diagrama de presiones sobre Ademes
Véase Figura 3.3.3
Resumen de recomendaciones
Tipo de suelo b1 b2 b3 Ecuación de 13 Valor
típico de 13
Arenas o 1.0 o 13=0.65KAY 0.2y
Arcillas blandas a 0.25 0.75 o 13=0.65KAry 0.4y a O.By medias Ns > 5 ó 6
Arcillas duras y 0.25 0.50 0.25 13 = 0.2y a 0.4y 0.3y fisuradas Ns < 4
KAT = 1 - 4mS/yH ;
y = Peso volumetrico total (ym)
Su = Promedio de resistencia al corte, en prueba no consolidada, no drenada.
Criterio del Instituto de Ingeniería de la UNAM para determinar los empujes sobre Ademes en las arcillas del Lago de México, cuando N :s; 4.
Véase la figura 3.3.4
Ademes
Resumen de recomendaciones [ 1 ]:
1. Cuando el número de estabilidad, N~4, el empuje lateral sobre el muro puede dividirse en dos partes: empuje hidrostático del agua y empuje del suelo en función de los esfuerzos efectivos con un coeficiente de empuje igual a Ko = 4.
2. En caso de que N > 4 los desplazamientos de la tablestaca son grandes y ocurren concentraciones de carga en los puntales de apoyo. También se forma cerca del fondo de la excavación una zona plástica, cuyas dimensiones aumentan, al aumentar N, hasta alcanzar la falla de fondo. Por tanto, es preciso, en este caso, basarse en una teoría de falla para calcular las presiones laterales.
3. J. Al berro hace mención en reporte posterior [2] que el valor del número de estabilidad depende principalmente del procedimiento de construcción.
Problema 3.4
Se pretende hacer una excavación ademada de 7 .O m de profundidad en la arcilla blanda del Valle de México, que tiene un peso volumétrico de ym = 1.5 ton/m3
, cohesión e= 3 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta a 1.50 m de profundidad a partir de la superficie, Dibuje el diagrama de presiones de diseño que actua sobre el ademe.
Figura 3.3.4
Presión
del suelo
¡ _ _r_:__ Para calcular la presión del
suelo se utiliza el coeficiente de empuje en reposo, K.o.
H
h Presión del agua
(JH = ymh + 0.4(ymH - ywh)
Este criterio se utiliza solo cuando el número de estabilidad N ~ 4 Los valores se obtuvieron de la instrumentación de ademes en la construcción del tren metropolitano
134 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Ademes
l h= 1.5 m
~ 1mcyc
ARCILLA BLANDA DEL VALLE DE MÉXICO NAF
Figura 3.4.1
Propósito:
2 e= 2.5 ton/m <!>=o
3 "(m = 1.4 ton/m
ÑAF profundo
H=7m
Dibujar el diagrama de presiones para el diseño de un ademe que se utilizara en una excavación en arcilla del Valle de México. Figura 3.4.1
La forma del diagrama del diagrama de presión y la magnitud de las presiones dependen del número de estabilidad:
N
N
= (yH + q)/c.
= (1.4 X 7 + 0)/2.5
= 3.92 < 4
por lo que se utilizara el diagrama propuesto por el Instituto
de Ingeniería de la UNAM.
Problemas básicos de empujes de sucios sobre estructuras de soporte
d
En el punto e:
2 O"H = 1.82 ton/m
(j'H = Ywh + 0.4{ymH -ywh)
<JHC = 1.0 X 1.5 + 0.4(1.4 X 7 -1.0 X 1.5)
= 1.82 ton/m2
En el punto b:
crHb = Koyh
<JHb = 0.4 X 1.4 X 1.5
= 0.84 ton/m2
e
El diagrama de presiones propuesto por el Instituto de lneniería de la UNAM es el mas a ro iado ara este caso.
135
Dimensionamiento de muros
Muro de gravedad
Muro de concreto reforzado
Problema 4.1 Se desea determinar la seguridad del muro de gravedad que se muestra contra volteamiento (F.S. = 1.5 mínimo), deslizamiento (F.S. = 2 mínimo) y revisar la seguridad contra la capacidad de carga del terreno. La capacidad admisible de carga del terreno es de 20 ton/m2
•
Propósito:
Revisar las dimensiones de un muro de gravedad.
Solución:
El coeficiente de empuje activo del relleno
~ 1mcyc
KA = 0.316 (considerando la inclinación del talud) .
Figura 4.1.1
6.70 5.80
0.45 ~
------3.00-------
Las dimensiones están en metros. El concreto tiene Y= 2.2 ton/m3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
• 0.33 t Relleno de arena:
2 Y= 1.76 ton/m <I> = 32°
c=O
137
\í 1mcyc
Momento positivo con respecto al punto B que evita el vuelco
Punto B
Momento negativo con respecto al punto B que provoca el vuelco
Punto B
Figura 4.1.2 Cálculo de los momentos positivos que evitan el vuelco.
El empuje activo del relleno es
= Yi X 0.316 X 1.76 X 6.972
= 13.51 ton, por metro de ancho.
La componente horizontal es
EAH = 13.51 X cos 10°
= 13 31 ton
La componente vertical es
EAv = 13.51 x sen 10°
= 2 35 ton
El empuje pasivo del terreno en la parte frontal del muro es:
EPH = Yi X 3.25 X 1.80 X 1.202
= 4 12 ton
El peso del relleno en la zona 4 y 5 inmediatamente detrás del muro es:
W 4 = 6.07 X 1.55/2 X 1.76
= 8 28 ton.
W 5 = 0,32 X (6.07 + 6.13)/2 X 1.76
= 3 43 ton
138
Cálculo del momento negativo que provoca el vuelco
El momento será igual al producto del empuje activo horizontal por su brazo de palanca:
M = 13.31 X 2.32
= 30.88 ton-m
Factor de seguridad contra volteamiento
F.S. M+ M
78.44 F.S. ---
30.88
E.S. = 2.5~ > 2
Factor de seguridad contra deslizamiento
El factor de seguridad se calcula dividiendo las fuerzas que inducen un deslizamiento hacia afuera, EaH, entre las que se oponen, EPH y FR. Véanse figura 4.1.3. y 4.1.4
El factor de seguridad se calcula dividiendo las fuerzas que inducen un deslizamiento hacia afuera, Eatt, entre las que se oponen, Eptt y F R •
EaH
EpH
Punto B F F d .. fri . , R·- uerza e cc1on
entre muro y suelo
Figura 4.1.3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 4.1.4
F R = LFuerzas verticales x f
f
f
F.S.
= tan <3{ ~)
= tan(~ x 36)
= 0.444
= (3.06+5.74+ 10.35 +8.28+ +3.43 + 5.84+2.35) X 0.4444
= 19.17ton
19.17 + 4.12
1331
F.S. = 1.75 > 1.5
La fórmula que se aplica es:
V. Resultante de las fuerzas verticales.
e. Excentricidad.
Revisión por capacidad de carga:
crm . Presión máxima y mínima que produce el muro en el terreno.
e
e
M 8 =---
V 2
78.44- 30.88 ----- 1.50= - 0.28 m
39.05
- 39.05 { + 028] - 3x1 L 6x 3.0
~ = 20 30 ton/m.2.
=:20 ton/m2.
Queda un poco escaso pero aceptable.
.amin = 5 73 ton/m.2.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
La pres1on que aplica el muro excede muy poco la capacidad de carga admisible del terreno.
El muro es estable
El dimensionamiento de muros forma una primera parte de los cálculos realizados ara el diseño com leto del mismo.
Problema 4.2
Se desea dimensionar el muro de concreto que se muestra. El factor de seguridad contra volteamiento debe ser E.S. ~ 1.5, contra deslizamiento E.S. ~ 2 y revisar la capacidad de carga. La capacidad admisible de carga del terreno es de 25 ton/m2
•
Propósito:
Dimensionar un muro de concreto en cantiliver. Figura 4.2.1
Solución.·
El coeficiente de empuje activo del relleno
KA = 0.35
El empuje activo del relleno es
= Yz X 0.35 X 1.80 X (6.70 + 0.46)2
= 1 6 1 5 ton, por metro de ancho.
La componente horizontal es
EAH = 16.15 X cos 10°
= 1 5 90 ton
La componente vertical es
EAv = 16.15 x sen 10°
= 2 80 ton
El empuje pasivo del terreno de cimentación en la parte frontal del muro es:
KP = tan2(45° + 20°/2 ) = 2.04
EPH = Yz x KP x y2 x H2 + 2cH 1'2
EPH = Yz X 2.04 X 1.90 X 1.502 + 2 X 4 X (1.50)112
= 14 1 5 ton
Considerando un factor de reducción del pasivo de 213
EPH = 14.15 x 0.67 = 9 48 ton
= 0.5 X 0.2 X 6.0 X 2.4 = 1 44 ton .
139
o 1mcyc
6.70m 6.00 5.20
__ ._º.s_~ _____ =------_ITLI 0.46
Relleno: 'Y= 1.80 ton/m2
<1> = 30° c=O
Eav
1 0 r?I!
10
• Eau
01, [TI
1 ~2.72 .......... .
...-----------------------------.._; ;; O O
Ep __ .,.. '61 2 60 ---~· ;; .7 ~ · ; Terreno·
·-·-···-· ·-·····--······ .. ---··---·-···-·-·--·----·---···---···---·--·-B·--------------------------'""";; . 'Y= 1.90 ton/m2
~-------4.00------· <1>=20° Las dimensiones están en metros. El concreto tiene"{= 2.4 ton/m3
e= 4 ton/m2
Figura 4.2.1
= 0.5 x 6.0 x 2.4 = 7 20 ton.
W3 = 2.6 X 6.0 X 1.8
= 28 08 ton.
= 0.5 X 0.46 X2.6 X 1.8
= 1 08 ton
= 0.7 X 0.7 X 1.8
= 1 01 ton
= 0.7 X 4.0 X 2.4 <_;
= 6 72 ton.
Cálculo del momento resistente al volteamiento, con respecto al punto B:
140
Cálculo del momento negativo que provoca el vuelco
El momento será igual al producto del empuje activo horizontal por su brazo de palanca:
M = 15.40 X 2.72
= 43 25 ton-m
Factor de seguridad contra volteamiento:
F.S.
F.S.
M+ M_
117.16
4325
......... F ..... S...__=_2 ...... 7__._1 > 2 cumple
Factor de seguridad contra deslizamiento:
F.S.
f
f
F+ F_
= :EFuerzas verticales x f
=tan 6{ ~)
= tan (3{ x 30°)
= 0.36
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
FR = 45.56 X 0.36
FR = 16.39 ton
1639+14.15 F.S.
15.90
F.S. = 1.92 > 1.50 cumple
Revisión por capacidad de carga:
crm. Presión máxima y mínima que produce el muro en el terreno.
e
= v{1+ 6e] A -a
M B =---
V 2
M. Momento resistente menos momento actuante.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
G 1mcyc
V. Suma de fuerzas verticales que actuan en la base.
M = 117.16 - 43.25
= 73.91
117.16-4325 4 e
4553 2
= - 0.38 m
4553 { 038] ~ 1±6x 40
ª™ = + 17.87 ton/m2_ < 25 ton/m2 cumple
c:rmiu = + 4.89 ton/m2
En este caso, el muro cumple con las condiciones de seguridad. En caso que no hacerlo se proponen otras dimensiones para ir probando hasta que se cumplan las condiciones
141
Problemas propuestos
5.1.Problemas del Método de Rankine
Problema 5.1.1
Explique la teoría del Método de Rankine. Hipótesis de partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.
Problema 5.1.2
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, por metro de ancho que produce un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal sobre la pared vertical lisa interna (paramento) de un muro con la altura indicada. El peso
volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El nivel de aguas freáticas, (N.A.F.) esta profundo.
5.1.2.1. H = 3 m, <!> = 28°
5.1.2.2. H = 4 m.) -=31°
5.1.2.3. H = J m, <!> = 35°
5.1.2.4. H = 6 m, <!> = 40°
Problema 5.1.3
Dibuje el diagrama de presiones en reposo y además obten
ga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por metro de ancho que produce un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa de los muros
para pasos a desnivel con las alturas indicadas. El peso volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El nivel de aguas freáticas (N.A.F.) esta profundo.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
5.1.3.1. H = 3 m, <!> = 28°
5.1.3.2. H = 4 m, <!> = 31°
5.1.3.3. H = 5 m, <!> = 35°
5.1.3.4. H = 6 m, <!> = 40°
Problema 5.1.4
Q 1mcyc
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA), por metro de ancho producida por un relleno de arena limpia, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétri
co de la masa es ym = 1 7 50 kg/m3, el peso seco de la arena es
de yd = 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna se indica. El nivel de aguas freáticas (N.A.F.) esta a 1.50 m abajo de la corona únicamente del lado del relleno.
5.1.4.1. H = 3 m, <!> = 28°
5.1.4.2. H = 4 m, <!>=31°
5.1.4.3. H = 5 m, <!> = 35°
5.1.4.4. H = 6 m, <!> = 40°
Problema 5.1.5
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA)
por metro de ancho producidª por un relleno de arena limpia, con talud superior variable, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arena es de 1180 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se indica. El N.A.F. esta profundo.
143
\) 1mcyc
5.1.5.1. H = 3 m, <!> = 28°, p = 5°
5.1.5.2. H = 4 m, <!> = 31°, p = 10°
5.1.5.3. H = 5 m, <!> = 35°. ~ = 15°
5.1.5.4. H = 6 m, <!> = 40°. p = 20°
Problema 5.1.6
Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva (EP),
por metro de ancho producida por un relleno de arena lim
pia, con talud superior variable, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétri
co seco de la arena es de 1180 kg/m 3 y el ángulo de fricción
interna también se indica. El N.A.F. esta profundo.
5.1.6.1. H = 3 m, <!> = 28°, p = 0°
5. 1 . 6.2. H = 4 m, <!> = 31 °, p = 0°
5.1.6.3. H = 5 m, <!> = 35°. p = 5°
5.1.6.4. H = 6 m, <!> = 40°. p = 10°
Problema 5.1.7
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la · magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA) por
metro de ancho producida un relleno de limo arenoso, con talud superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna
de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco
del limo arenoso es de 1050 kg/m3• la cohesión y el ángulo de
fricción interna también se indican. El N.A.F. esta profundo.
5.1.7.1. H = 2 m, c = 0.5 ton/m2, <!> = 18°
5.1.7.2. H = 6 m, c = 0.75 ton/m 2, <!> = 17°
5.1.7.3. H = 7 m, c = 1.0 ton/m2, <!> = 12°
5.1.7.4. H = 8 m, c = 1.2 ton/m2, <!> = 10°
Problema 5.1.8
Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga la
magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva Er, por metro de ancho para cada uno de los incisos del problema anterior.
Problema 5.1.9
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga
la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, por metro de ancho producida un relleno de arcilla, con talud
144
Problemas propuestos
superior horizontal, sobre la pared vertical lisa interna de un muro con la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arcilla es de 1080 kg/m3
, el ángulo de fricción interna y la
cohesión también se indican. El N.A.F. esta profundo.
5.1.9.1. H = 5 m, c = 0.50 ton/m2, <!> = 18°
5.1.9.2. H = 6 m, c = 0.75 ton/m2, <!> = 17°
5.1.9.3. H = 7 m, c = 1.00 ton/m2, <!> = 12°
5.1.9.4. H = 8 m, c = 1.20 ton/m2, <!> = 10°
Problema 5.1.10
Dibuje el diagrama de presiones pasivas y además obtenga
la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasiva, EP por
metro de ancho para el problema anterior.
Problema 5.1.11
Dibuje el diagrama de presiones activa y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje, por metro de ancho, producida por relleno con talud superior horizontal
sobre la pared vertical lisa interna de un muro, con una altura de 5 m. El peso volumétrico seco del relleno es de 1080
kg/m3, el peso volumétrico de la masa _m = 1750 kg/m3
, el
ángulo de fricción interna y la cohesión se indican. El N.A.F. esta a un metro de profundidad. Existe una sobrecarga w = 2
ton/m 2• Los rellenos tienen los parámetros siguientes:
5.1.11.1-c = 1.20ton/m2, <!> = 0°
5.1.11.2. c = 1.00 ton/m2, <!> = 17°
Problema 5.1.12
Dibuje el diagrama de presiones activas y además obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje, por metro de
ancho.1 m
5.1.12.1
Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m2, <!> = 32°
Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, <!> = 18°
5.1.12.2
Estrato 1. Arena limosa: e = 1.2 ton/m2, <!> = 18°
Estrato 2. Arena gruesa: e =O ton/m2, <!> = 32°
5.1.12.3
Estrato 1 . Arena gruesa: e =O ton/m2, <!> = 32°
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problemas propuestos
Estrato 2. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
5.1.12.4
Estrato 1. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
Estrato 2. Arena gruesa: c =O ton/m2, $ = 32°
5.1.12.5
Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m 2, $ = 32°
Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°
Problema 5.1.13
Dibuje el diagrama de presiones activas. El muro que se muestra en la figura sostiene tres estratos diferentes de suelo.1 m
5.1.13.1
Estrato 1. Arena gruesa: c =0 ton/m2, $ = 32°
Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°
Estrato 3. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
5.1.13.2
i 3m
t 4m
12m
~ 5m
¡_
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
ESTRATO 1 3
'Ymt = 1.8 ton/m . Figura problema 5.1.12
'Ydt = 1.05 ton/m3
Ct = ?; <J>1 =? ESTRAT02 'Ym2 = 1.9 ton/m3
C2 =?; <J>2 = ?
Estrato 1 . Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
Estrato 2. Arena limosa: c = 1.2 ton/m 2, $ = 18°
Estrato 3. Arena gruesa: c =0 ton/m2, $ = 32°
5.1.13.3
Estrato 1. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°
Estrato 2. Arena gruesa: c =O ton/m 2, $ = 32°
Estrato 3. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
5.1.13.4
Estrato 1. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°
Estrato 2. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
Estrato 3. Arena gruesa: c =0 ton/m2, $ = 32°
5.1.13.5
Estrato 1. Arena gruesa: c =O ton/m2, $ = 32°
Estrato 2. Arcilla: c = 1 ton/m2, $ = 0°
Estrato 3. Arena limosa: c = 1.2 ton/m2, $ = 18°
. ESTRATO 1 3
'Ymt = 1.8 ton/m . 3
'Ydt = 1.05 ton/m Ct = ?; $1 =? ESTRAT02
3 'Ym2 = 1.9 ton/m C2 =?; $2 = ?
ESTRAT03 3
'Ym3 = 2 ton/m C3 =?; cj>3 = ?
Figura problema 5.1.13
145
~ 1mcyc
Problema 5.1.14
Calcule la altura crítica de las excavaciones hechas en cada
uno de los estratos que tienen las siguientes propiedades:
Estrato 1. limo: c = 3 ton/m2,<I> = 12°, Ym = 1.90 ton/m3
Estrato 2. Arcilla: c = 2 ton/m2,<I> = Oº,ym = 1.80 ton/m 3
Estrato 3. Arena limosa: c = 1.2 ton/m 2, <!> = 18°,
Ym = 1.70 ton/m3 •
El NAF esta profundo.
5.2Problemas del Método de Coulomb
Problema 5.2.1
Explique la teoría del Método de Coulomb. Hipótesis de
partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.
Problema 5.2.2
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa (EA) por metro de ancho, prodttcida por un relleno de are
na limpia, con talud superior de J3 = 20º, sobre la pared.
5.2.2.1 H = 3 m, <!> = 28°
5.2.2.2 H = 4 m, <!> = 31°
5.2.2.3 H = 5 m, <!> = 35°
5.2.2.4 H = 6 m, <!> = 40°
Problema 5.2.3
Obtenga las magnitudes y posiciones de la fuerza de empuje activa y la debida a la sobrecarga, por metro de ancho, producida por el relleno con superficie horizontal de arena
limpia al que se le aplica una sobrecarga lineal de 4 tonela
das, ubicada a una distancia de 2 m de la corona del muro. El
ángulo con la vertical es de w = 1 Oº y altura de 4.50 m. El
peso volumétrico seco de la arena es de 1080 kg/m3 y el án
gulo de fricción interna<!>= 36º. El N.A.F. esta profundo.
Problema 5 .2.4
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje acti
va EA, por metro de ancho, que produce un relleno de arena
limosa, con talud superior de J3 = 15º, sobre la pared interna
de un muro con un ángulo con la vertical de w = 5º y que tie
ne la altura indicada. El peso volumétrico seco de la arena es
146
Problemas propuestos
de 1100 kg/m3 y el ángulo de fricción interna también se in
dica. El N.A.F. esta profundo. Utilice el procedimiento de las cuñas.
5.2.2.1 H = 3.50 m, <!> = 29°
5.2.2.2 H = 4.50 m, <!> = 32°
5.2.2.3 H = 5.0 50 m, <!> = 37°
5.2.2.4 H = 6.50 m, <!> = 40°
5.3. Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi
Problema 5.3.1
Explique la teoría del Método semiempirico de Terzaghi. Hipótesis de partida. Desarrollo. Aplicabilidad. Limitaciones.
Problema 5.3.2
Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempiírico de Terzaghi mostrado en la fi
gura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso, sin finos.
5.3.2.1 H = 5 m; 9 = 90°; n = O (Superficie horizontal)
5.3.2.2 H = 6 m; 9= 75°; n = 2
5.3.2.3 H = 7 m; 9= 90°; n = 1
Problema 5.3.3
Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempírico de Terzaghi mostrado en la figura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo gra
nular grueso, con finos limosos.
RELLENO
Figura 5.3.2
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problemas propuestos
5.3.3.1 H = 7 m; 9 = 90°¡ n = O (Superficie horizontal)
5.3.3.2 H = 5 m; 9 = 75°¡ n = 2
5.3.3.3 H = 6 m; 9 = 90°¡ n = 1
Problema 5.3.4
Calcule el empuje horizontal y vertical sobre el muro usando el método semiempírico de Terzaghi mostrado en la figura 5.3.2 para los casos indicados. El relleno es un suelo resi
dual con cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos, en cantidad apreciable.
5.3.4.1 H = 6 m; 9 = 90°; n = O (Superficie horizontal)
5.3.4.2 H = 7 m; 9 = 75°¡ n = 2
5.3.4.3 H = 5 m; 9 = 90°; n = 1
Problema 5.3.5
Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzagui, que se muestra en la figura 5.3.5
para los casos indicados. El relleno es un suelo residual con
cantos, bloques de piedra, gravas, arenas finas y finos arcillosos, en cantidad apreciable.
5.3.5.1 H = 6 m; 9 = 90°; n = O (Superficie horizontal)
5.3.5.2 H = 7 m; 9 = 75°¡ n = 2
5.3.5.3 H = 5 m; 9 = 90°; n = 1
RELLENO
H
q , . I
Figura 5.3.5
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
~ 1mcyc
Problema 5.3.6
Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno
y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5
para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso, con finos limosos.
5.3.6.1 H = 5 m; 9 = 90°¡ n = O (Superficie horizontal)
5.3.6.2 H = 6 m; 9 = 75°; n = 2
5.3.6.3H = 7 m; 9 = 90°; n = 1
Problema 5.3.7
Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempí
rico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5 para los casos indicados. El relleno es un suelo granular grueso.
5.3.6.1 H = 7 m; 9 = 90°; n = O (Superficie horizontal)
5.3.6.2 H = 5 m; 9 = 75°¡ n = 1/2
5.3.6.3 H = 6 m; 9 = 90°; n = 213 (11/2:1)
Problema 5.3.8
Calcule los empujes horizontal y vertical debidos al relleno
y a las sobrecargas sobre el muro, usando el método semiempírico de Terzaghi, que se muestra en la figura 5.3.5. El relleno es una arcilla plástica blanda.
H = 7 m; 9 = 90°¡ n = O ( Superficie horizontal)
5.4 Problemas de cuñas con base curva
Problema 5 .4.1
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje activa EA, que produce un relleno de arena sobre la pared verti
cal lisa interna de un muro con 5.0 m de altura. El peso volumétrico seco de la arena es de 1 650 kg/m3 y el ángulo de
fricción interna de 33º. El nivel de aguas freaticas esta profundo. El talud superior del relleno es de 1 Oº. Utilice el mé
todo propuesto por Cuaquot y Kerisel. (NAVDOCK).
Problema 5.4.2
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje pasi
vo, EP, cuando al muro indicado en el problema anterior
147
~ Problemas propuestos
1mcyc
Figura 5.4.3
r----------- LIMO ARENOSO: <!> = 21 o.
' 2 e = 2.1 ton/m ; Ym = l. 75 ton/m3
NAF profundo. H=9.00m
5.4.1 se le sujeta a un estado de presiones pasivos con el án
gulo de fricción entre muro y suelo negativo.
Problema 5.4.3
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por
el método del círculo de fricción del muro indicado.
Problema 5 .4.4
Obtenga la magnitud y posición de la fuerza de empuje por el
método de Coulomb del muro señalado en el problema anterior
5.4.3 y compárelo con el obtenido por el círculo de fricción.
5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas
Problema 5.5.1
Figura 5.5.1
148
H=7.50m
0=75°
Calcule la magnitud y posición de la fuerza de empuje produci
da por el efecto de una sobrecarga lineal paralela a la corona del
muro de 5 ton por metro lineal, ubicada a X = 1, 3, 5 y 7 metros
de distancia de ésta, para el muro indicado en la figura 5.5.1.
Caso a) Utilice el criterio empírico de Terzaghi y Peck.
Caso b) Utilice el criterio de Terzaghi.
Caso c) Utilice el criterio el procedimiento de Culmann.
Caso d) Utilice el criterio del método semiempírico de Terzaghi.
Problema 5.5.2
Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente reparti
da de 5 ton/m 2, para el muro indicado en la figura 5.5.2.
Caso a) Utilice el criterio Rankine.
Caso b) Utilice el criterio de Coulomb. c) Utilice el criterio del procedimiento de Culmann. d) Utilice el criterio del método semiempirico de Terzagui.
X
e ... I
P = 5 ton/m.l.
ARENA LIMPIA: <!> = 31 o.
' 2 e= O ton/m; Ym = 1.65 ton/m3
NAF profundo. 9=70°
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problemas propuestos ~ 1mcyc
w= 5 ton/m2
ARENA LIMPIA: <!> = 31°;
Figura 5.5.2
e= O ton/m2;
e ~ I
'Ym = 1.65 ton/m3
NAF profundo. 0=70°
Problema 5.5.3
Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida de 5 ton/m2
, para el muro indicado en el problema 5.5.2, para un relleno de limo arenoso que tiene las propiedades siguien
tes:~ = 11 º; c = 1.5 ton/m2;ym = 1.65 ton/m3; NAF profundo.
Problema 5 .5 .4
Calcule el efecto de una sobrecarga uniformemente repartida de 5 ton/m2
, para el muro indicado en el problema 5.5.2, con
un relleno de arcilla que tiene las propiedades siguientes:~ = Oº; c = 3.2 ton/m2;ym = 1.65 ton/m3; NAF profundo.
5.6 Problemas del efecto de la compactación del relleno
Problema 5.6.1
Dibuje el diagrama de presiones y calcule el empuje que ejerce un relleno de arena media que se compacta longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 7 m y se desplanta sobre un estrato duro. El ángulo de fricción interna es de 36º, la cohesión nula y el peso volumétrico de 1.68 ton/m3
• Se usara un compactador que trabajara pegado al muro en sentido longitudinal, cuyo peso es de 8 ton, longitud de 2.40 m y ancho de 1.20 m.
Utilice los criterios de: a) lngold, b) Broms y c) Peck.
Problema 5.6.2
El relleno del muro anterior se compactará dejando un espacio entre la corona y el compactador de 0.80 m. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problema 5.6.3
Dibuje el diagrama de presiones y calcule el empuje que ejerce un relleno de grava arenosa que se compacta longitudinalmente en capas detrás del muro. La altura del muro es de 7 m y se desplanta sobre un estrato duro. El ángulo de fricción interna es de 35º, la cohesión nula y el peso volumétrico de 1.80 ton/m 3
• Se usara un compactador que trabajara pegado al muro en sentido longitudinal, cuyo peso es de 9 ton, longitud de 3.60 m y ancho de 1.20 m.
Utilice los criterios de: a) lngold, b) Broms y c) Peck.
Problema 5.6.4
El relleno del muro anterior se compactará dejando un espacio entre la corona y el compactador de 1.20 m. Dibuje el diagrama de presiones y encuentre el valor del empuje usando el criterio de lngold.
5.7 Problemas con efecto de los sismos
Problema 5.7.1
Un muro de retención de 5 m de altura y respaldo vertical so
porta una arena media con un peso volumétrico de y= 1.70
ton/m3• La cohesión es nula y el ángulo de fricción interna~
= 32º. Determine la presión activa sobre el muro si el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 1.80. Además determine la posición de la resultante.
Problema 5.7.2
Un muro de retención de 6 rñ de altura y respaldo vertical soporta una arena gruesa con un peso volumétrico de
y= 1.80 ton/m3• La cohesión es nula y el ángulo de fricción
interna~= 34º. Determine la presión activa sobre el muro si
149
v 1mcyc
el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 1.50. Además determine la posición de la resultante.
Problema 5.7.3
Un muro de retención de 5 m de altura y respaldo inclinado w = 15º con la vertical soporta una grava arenosa que tiene
un peso volumétrico de y= 1.70ton/m3• La cohesión es nula
y el ángulo de fricción interna~ = 35º. Determine la presión activa sobre el muro si el sismo de diseño induce un coeficiente sísmico de aceleración vertical Kv = O y un coeficiente sísmico de aceleración horizontal KH = 2.0. Además determine la posición de la resultante.
Problema 5.7.4
Al muro de retención de 5 m de altura del problema anterior 5.7.3 se le agrega una sobrecarga de 3 ton/m3
• Utilice un subterfugio para resolverlo, usted debe proponerlo.
5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua
Problema 5.8.1
Un muro de 7 m de altura y respaldo liso vertical contiene un relleno de arena gruesa, con un peso volumétrico de la
masa ym = 1.80 ton/m3 y peso seco yd = 1.1 O ton/m3• El án
gulo de fricción interna es de 32º y la cohesión nula. El relleno del muro se satura completamente de agua a causa de las lluvias y escurrimientos superficiales. Determine la presión que ejerce el agua sobre una cuña cuya base esta a 65º con la
horizontal, para los casos siguientes:
a) El relleno esta seco.
b) El nivel piezométrico del agua se mantiene en la superficie durante un tiempo.
c) Se coloca un dren horizontal en el desplante del relleno.
d) Se coloca un dren inclinado 30° con respecto a la horizontal.
e) Se coloca un dren vertical pegado al respaldo del muro.
Problema 5.8.2
Determine la presión contra la tablestaca del problema anterior cuando la base de la cuña esta a 60º con la horizontal.
150
Problemas propuestos
Problema 5.8.3
Calcule los empujes que se generan por presión del relleno, del agua y de la sobrecarga sobre la tablestaca que se muestra en la figura 5.8.3.
5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo
Problema 5.9.1
Calcule la longitud de empotramiento aproximada de una tablestaca en voladizo de 5 m de altura, hincada en arena limpia media con un peso volumétrico de 1.75 ton/m3 y angulo de fricción interna de 32º. utilizando:
a) El procedimiento de considerar la distribución de presiones netas de Rankine.
b) El procedimiento de la distribución simplificada.
Problema 5.9.2
Calcule la longitud de empotramiento de una tablestaca en cantiliver con diferentes alturas en su largo, que soporta un suelo arenoso excavado 5, 9, 11 y 15 m respectivamente. El peso vo
lumétrico estimado es y = 1.8 ton/m3• Por seguridad aumente
20% la profundidad obtenida. Para los casos siguientes:
a) La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es ~ = 28°.
b) La cohesión del suelo es nula y el ángulo de fricción interna es~ = 32°.
Problema 5.9.3
Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablestaca en arena limpia mostrada en la figura, considere un factor de seguridad igual a 2.
Problema 5.9.4
Encuentre la profundidad mínima de hincado de la tablesta-. ca del problema 5.9.3 en arcilla en lugar de la arena limpia, que contiene un relleno de arena limpia. La arcilla tiene una cohesión de 3 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El
peso volumétrico ym2 = 1.75 ton/m3• Considere un incre
mento de 30% en la profundidad de hincado como seguridad.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Problemas propuestos ~
1mcyc
2.70m 1.50 t 1----------------..illl~ Tirante
Hw=3.20
10.00m
3.00m i
8.lOm E
Variación de las mareas
Arena gruesa: <I> = 34º c=O Ym = 1.80 ton/m3
Yd = 1.05 ton/m3
SUELOIMPERMEAB
Figura 5.8.3
5.10 Problemas de tablestacas ancladas
Problema 5.10.1
rior problema 5.9.3 con la tablestaca en cantiliver, pero en la cual ahora se introduce un anclaje situado a 1.50 m por debajo de la superficie.
a) Por el Procedimiento del Apoyo Libre. Compare los resultados obtenidos en los dos problemas.
· Encuentre'la profundidad mínima de hincado de una tablestaca. en arena limpia, similar a la que se muestra en el ante-
b) Utilice la reducción propuesta por Rowe.
¡ H= 11 m
Loneitud fe hincado. D.
Relleno de ARENA: C=O <l>1=34º 'Ym1 = 1.85 ton/m3
Terreno natural: ARENA LIMPIA: C=O <l>2 = 33º 'Ym2 = l. 75 ton/m3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Figura 5.9.3
151
G 1mcyc
Problema 5.10.2
Una tablestaca anclada cuyas dimensiones se muestran en la figura esta soportando una _?rena que presenta nula cohe
sión y un ángulo de fricción interna de$ = 33º, así como un
peso volumétrico de y = 1.80 ton/m 2•
·a) Deduzca por el procedimiento denominado de "soporte libre del terreno" que profundidad de hincado, utilizando los coeficientes de empujes de Coulomb.
b) Utilice la reducción propuesta por Rowe.
Problema 5.10.3
Encuentre la fuerza sobre el tirante y la profundidad de hincado por el Método del Apoyo o Soporte Fijo y el de la Viga Equivalente de la tablestaca que se muestra en la figura 5.10.2
5.11 Problemas de Ademes
Problema 5.11.1
Se pretende realizar una excavación de 11.5 m de profundidad y ademar en una arena fina limpia que tiene un peso vo
lumétrico de y = 1.9 ton/m3 y ángulo de fricción interna de
$ = 33º, con cohesión nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 6 puntales equidistantes. Calcule las cargas que deben soportar los puntales empleando las envolventes de presiones siguientes:
a) Envolvente propuesta por Terzaghi para las arenas de Berlin.
b) Envolvente propuesta por Peck para arenas (1969).
l.20m
Figura 5.10.2
6.0m
....
D
,.,
152
Problemas propuestos
Problema 5 .11.2
Se pretende hacer una excavación de 13 m de profundidad en una arcilla blanda que tiene un peso volumétrico de
y= 1.87 ton/m3 con cohesión de 1.7 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 7 puntales, colocados a 1,3,5,7,9, 11 y 13 metros a partir de la corona. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas (1969).
Problema 5.11.3
Se pretende hacer una excavación de 13 m de profundidad
en una arcilla dura y fisurada con un peso volumétrico de
y= 1.78 ton/m3 con cohesión de 3.5 ton/m2 y ángulo de fricción interna nula. El N.A.F. esta profundo. El sistema de ademado requiere de 7 puntales, colocados según se muestran en la figura. Calcule las cargas que deben soportar los puntales utilizando la envolvente propuesta por Peck para arcillas (1969) para los casos siguientes:
a) Los puntales estan colocados a 1,3,5,7,9, 11 y 13 metros.
b) Los 7 puntales estan colocados de tal manera que todos reciben el mismo empuje.
I Anclas a 2.0 m separación
--------------------------------'--.A. ,
ARENA LIMPIA: C=O <t>2= 33º 'Ym = 1.80 ton/m3
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
G 1mcyc
Solución a los problemas propuestos
5.1. Problemas del Método de Rankine d == 1.67 m
Problema 5.1.2 5.1.3.4
Eº == 7587 kg/m.I.
5.1.2.1 d ==2.00m
EA == 1917 kg/m.I.
d == 1.00 m Problema 5 .1.4 5.1.2.2
5.1.4.1 EA == 3022 kg/m.I.
d == 1.33m EA == 3274 kg/m.I.
d ==0.94m 5.1.2.3
EA == 3997 kg/m.I. 5.1.4.2
d == 1.67m EA == 6938 kg/m.I.
5.1.2.4 d == 1.27 m
EA == 4618 kg/m. l. 5.1.4.3
d ==2.00m EA == 11067 kg/m.I.
d == 1.64m
Problema 5.1.3 5.1.4.4
5.1.3.1 EA == 15 997 kg/m.1.
Eº == 2817kg/m.I. d == 1.94m
d == 1.00 m Problema 5.1.5
5.1.3.2
Eº == 5678kg/m.I. 5.1.5.1
d == 1.33 m EA == 1949 kg/m.I.
5.1.3.3 d == 1.00m
Eº == 6290 kg/m.I.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte 153
\) 1mcyc
Solución a los problemas propuestos
5.1.5.2 5.1.7.3
EA = 3212 kg/m.I. EA = 0.23 ton/m.I.
d = 1.33 m d =0.31 m
5.1.5.3 5.1.7.4
EA = 4532 kg/m.I. EA = 0.39 ton/m.I.
d = 1.67 m d =40m
5.1.5.4
EA = 5660kg/m.I. Problema5.1.8
d = 2.00 m 5.1.8.1
Problema 5.1.6 EP = 10.39 ton/m.1.
d =1.08 m 5.1.6.1
5.1.8.2
EPH = 14708 kg/m.I. EP = 9.70 ton/m.1.
EPV = O kg/m.I. d = 1.06 m
d = 1.00 m 5.1.8.3
5.1.6.2
EPH = 29491 kg/m.I. EP = 9.11 ton/m.I.
d =1.12 m EPV = O kg/m.I.
5.1.8.4 d = 1.33 m
5.1.6.3 EP = 7.66 ton/m.I.
EPH = 53708 kg/m.1. d = 1.07 m
EPV = O kg/m.I. Problema 5.1.9
d = 1.67 m
5.1.6.4 5.1.9.1
EPH = 91673 kg/m.I. EA = 3.94 ton/m.I.
EPv = O kg/m.I. d = 1.24 m
d =2.00m 5.1.9.2
EA = 5.03 ton/m.I.
Problema 5.1.7 d = 1.37 m
5.1.7.1 5.1.9.3
EA = 0.16 ton/m.I. E..\ = 7.87 ton/m.I.
d =0.25 m d = 1.57m
5.1.7.2 5.1.9.4
EA = 0.21 ton/m.I. EA = 10.90 ton/m.I.
d =0.28 m d = 1.78 m
154 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Solución a lus problemas propuestos
Problema 5.1.10
5.1.10.1
EP = 19.14 ton/m.I.
d = 1.44 m
5.1.10.2
EP = 24.38 ton/m.I.
d = 1.66 m
5.1.10.3.
EP = 24.92 ton/m.I.
d =1.83 m
5.1.10.4.
EA = 28.27 ton/m.I.
d =2.05 m
Problema 5.1.11
5.1.11.1
EA = 35.38 ton1 m.I.
d = 2.12 m
5.1.11.2
EA = 24.22 ton/m.I.
d = 1.95 m
5.1.11.3
EA = 32.93 ton/m.I.
d =2.48 m
.Problema 5.1.12
5.1.12.1
EA = 23.88 ton/m.I.
d =2.14 m
5.1.12.2
EA = 23.62 ton/in. l.
d = 1.84 m
5.1.12.3
EA = 21.10 ton/m.I.
d = 196 m
Problemas básicos.de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
5.1.12.4
= 22.94 ton/m.I.
d =1.76 m
Problema 5.1.13
5.1.13.1
EA = 95.97 ton/m.1.
d =3.13 m
5.1.13.2
EA = 77.65 tonim.I.
d =3.43 m
5.1.13.3
E = 118.87 ton/m.I.
d =3.03 m
5.1.13.4
EA = 79.37 ton/m.I.
d =3.34 m
5.1.13.5
EA = 77.98 ton/m.I.
d = 3.50 m
Problema 5.1.14
5.1.14.1
He =5.01 m
5.1.14.2.
He =4.44 m
5.1.14.3
He =2.50 m
5.2. Problemas del Método de Coulomb
Problema 5.2.2
( Para 8 = 20°)
5.2.2.1
= 2 771.80 kg/m.I.
~ 1mcyc
155
\) 1mcyc
d = 1.00 m
5.2.2.2
EA = 4 257.40 kg/m.I. ~
d =1.3m
5.2.2.3
EA = 5 531.20 kg/m.I.
d = 1.67m
5.2.2.4
EA = 6 329.50 kg/m.I.
d =2.00m
Problema 5.2.3
(Para 8= Yi) EA = 3 411. 70 kg%m.I.
d = 1.50 m
E5
= 1 248 kg/m.I.
d = 1.68m
Problema 5.2.4
5.2.4.1
EA = 2964 kg/m.I.
d = 1.17m
5.2.4.2
EA = 4 321 kg/m.I.
d = 1.50 m
5.2.4.3
EA = 5 241 kg/m.I.
d = 1.83m
5.2.4.4
EA = 6 437 kg/m.I.
d =2.17m
156
Solución a los problemas propuestos
5.3 Problemas del Método Semiempírico de Terzaghi
Problema 5.3.2
5.3.2.1
EH = 5.75 ton/m.I.
Ev· = O ton/m.I.
5.3.2.2
EH = 13.18 ton/m.I.
Ev = 2.31 ton/m.I.
Problema 5.3.3
5.3.3.1
EH = 13.48 ton/m.I.
Ev = O ton/m.I.
5.3.3.2
EH = 11.09 ton/m.I.
Ev = 1.93 ton/m.I.
5.3.3.3
EH = 20.03 ton/m.1.
Ev = 3.90 ton/m.I.
Problema 5.3.4
5.3.4.1
EH = 12.96 ton/m.I.
Ev = O ton/m.I.
5.3.4.2
EH = 26.16 ton/m.I.
Ev = 3.15 ton/m.I.
5.3.4.3
EH = 119.09 ton/m.I.
Ev = 3.90 ton/m.I.
Problema 5.3.5
5.3.5.1
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Solución a los problemas propuestos
EH = 12.96 ton/m.I.
Ev = O ton/m.I.
p = 1.56ton
crw = 0.78 ton/m2
5.3.5.2
EH = 29.63 ton/m.I.
Ep = 12.92 ton/m.I.
p = 1.56 ton
crw = O. 78 ton/m2
5.3.5.3
EH = 27.36 ton/m.I.
Ep = 19.92 ton/m.I.
p = 1.56 ton
crw = 0.78 ton/m2
Problema 5.3.6
5.3.6.1
EH = 8.63 ton/m.I.
E· V = 4.13 ton/m.I.
p = 1.20 ton
crw = 0.60ton/m2
5.3.6.2
EH = 16.18 ton/m.I.
Ev = 7.63 ton/m.I.
p = 1.20 ton
crw = 0.60 ton/m2
5.3.6.3
EH = 40.12 ton/m.I.
Ev == 24.22 ton/m.I.
p = 1.20 ton
crw = 0.60 ton/m2
Problema 5.3.7
5.3.7.1
= 11.27 ton/m.1.
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
G 1mcyc
Ev = O ton/m.I.
p = 1.08 ton
crw = 2.54 ton/m 2
5.3.7.2
EH = 9.64 ton/m.I.
Ev = 4.82 ton/m.1.
p = 1.08 ton
crw = 0.54 ton/m2
5.3.7.3
EH = 11.27 ton/m.1.
Ev =O ton/m.1.
p = 1.08 ton
crw = 0.54 ton/m2
Problema 5.3.8
EH = 38.96 ton/m.I.
Ep· = O ton/m.I.
p =4ton
crw =2 ton/m2
5.4 Problemas de cuñas con base curva
Problema 5.4.1
P AH = 6.58 ton
PAv = 1. 75 ton
Problema 5.4.2
P AH = 60.91 ton
P A v = 16.1 5 ton
5.5 Problemas del efecto de las sobrecargas
Problema 5.5.1
5.5.1.a
= 1.37 ton
157
o 1mcyc
5.5.1.b
E q = 1.37 ton
X d
0.73
3 2.18
5 3.63
7 5.09
Problema 5.5.2
5.5.2.a
Ew = 9.38 ton
5.5.2. d
Ew = 10.13 ton
Problema 5.5.3
5.5.3. a
Ew = 12.75 ton
5.5.3. d
Ew = 7.50 ton
Problema 5.5.4
5.5.2.a
= 37.50 ton
5.5.2.d
Ew = 37.50 ton
5.6. Problemas del efecto de la compactación del relleno
Problema 5.6. 1
5.6.1.a
E = 20.01 ton/m.I.
5.6.1.b
E = 13.77 ton/m.I.
Solución a los problemas propuestos
Problema 5.6.2
5.6.2.a
E = 14.16 ton/m.I.
Problema 5.6.3
5.6.3.a
E =21.89ton/m.I.
Problema 5.6.4
5.6A.a
E = 16.80 ton/m.I.
5. 7 Problemas con efecto de los sismos
Problema 5.7.1
EAE = 6.53 ton/m2
EAD = 2.06 ton/m2
EAT = 8.59 ton/m2
d = 1.97 m
Problema 5.7.2
EAE = 9.16 ton/m2
EAD = 11.43 ton/m2
EAT = 20.59 ton/m2
d =2.32m
Problema 5.7.3
EAE = 5.76 ton/m2
EAD = 14.03 ton/m2
EAT = 19.79 ton/m2
d =2.45m
Problema 5.7.4
EAE = 10.53 ton/m2
158 Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
Solución a Jos problemas propuestos
EA0 = 25.63 ton/m2
EAT = 36.16 ton/m 2
d =3.32m
Problema 5.7.5
EA0 = 41.99 ton/m2
Problema 5.7.6
EA0 = 43.66 ton/m2
5.8 Problemas del efecto de la lluvia y el flujo de agua
Problema 5.8.1
a) E = 5.66 ton
b) E = 28.81 ton
e) E = 9.70 ton
d) E = 9.70 ton
5.9 Problemas de tablestacas en cantiliver o voladizo
Problema 5.9.1
a)D1.2 = 5.83m
b)D,,2 = 5.82m
Problema 5.9.2
a)
Altura de la tablestaca (m) Profundidad de hincado (m) 5
9
11
5.95
10.71
13.09
7 1
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
5.10 Problemas de tablestacas ancladas
Problema 5.10.1
a)
o =2.76m
O' = 3.31
T = 16.5 ton
Problema 5.10.2
a)
o = 1.02m
O' = 1.33
b)
T = 9.06 ton
Problema 5.10.3
T =5.26ton
O =0.70m
5.11 Problemas de Ademes
Problema 5 .11.1
a)
Puntal# 1 2
3
4 5
b)
Puntal# 1 2
3 4 5
Carga <ton) 2.68 7.39 8.04
8.04 7.39
Carga (ton) 5.72 6.54 6.54 6.54 6.54
\) 1mcyc
159
G 1mcyc
Problema 5.11.2
a)
160
Puntal#
2
3
4
5
6
7
Carga (ton)
13.31
38.05
43.25
43.25
43.25
43.25
43.25
Problema 5 .11.3
a)
Puntal#
1
2
3
4
5
6
7
b)
Puntal#
1
2
3
4
5
6
Problema 5 .11.4
Puntal#
2
3
Solución a los problemas propuestos
Carga (ton)
4.69
14.03
18.28
18.28
18.28
18.28
9.37
Carga (ton)
13.15
13.15
13.15
13.15
13.15
13.15
Carga (ton)
13.40
16.60
13.40 .
Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
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Problemas básicos de empujes de suelos sobre estructuras de soporte
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