7/26/2019 Probabilidades conceptos bsicos
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PROBABILIDADES:PROBABILIDADES:
NOCIONES BSICASNOCIONES BSICAS
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2. Experimento Aleatorio:2. Experimento Aleatorio:
Es aquel que no podemos predecir su ocurrencia.
Ejemplo: Ganar un juego de azar.
Conceptos bsicos:
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Es el conjunto formado por todos los resultados
posibles de un experimento.
3. Espacio muestral (E)Espacio muestral (E)
Ejemplo:
Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
E = {, !, 3, ", #, $%
Ejemplo:
&'u(ntos elementos tiene el Espacio )uestral si se lanza una
moneda * un dado de seis caras+
samos el principio multiplicati-o:
! $ = ! elementos
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3monedas
nmonedas
!!! = /posibilidades
!!!!!= !nposibilidades
Cuando un objeto puede caer de a maneras y se lanzan
nde esos objetos, el Espacio Muestral tiene #E a n
elementos.
E = {0c,c,c1, 0c,c,s1, 0c,s,c1, 0c,s,s1, 0s,c,c1, 0s,c,s1, 0s,s,c1, 0s,s,s1%
Ejemplo:Al lanzar tres dados de seis caras, el Espacio )uestral tiene
$3= !$ elementos
En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados
posibles tambi2n se determina por el principio multiplicati!o:
moneda !posibilidades
E = {c, s%
!monedas !! = "posibilidades
E = {0c,c1, 0c,s1, 0s,c1, 0s,s1%.
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'orresponde a un subconjunto de un Espacio )uestral,
asociado a un experimento aleatorio.
En el lanzamiento de ! monedas, el Espacio )uestral es
E = {0c,c1, 0c,s1, 0s,c1, 0s,s1% * tiene " elementos.
nsucesoes que salgan dos caras, es decir {0c,c1%, quetiene elemento.
". E!ento o uceso:". E!ento o uceso:
En el lanzamiento de un dado &cu(ntos elementos tiene el
Espacio )uestral * cu(ntos el suceso que salga un n4mero
par5+
Ejemplo:
Ejemplo:
6uceso = {!, ", $%, 3 elementos
Espacio )uestral = {, !, 3, ", #, $%, $ elementos.
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$robabilidad:$robabilidad:
Una probabilidad es el clculo matemtico de las posibilidades que
existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.
7or ejemplo:
!1 8os alumnos del curso de estad9stica aplicada tienen un#; de probabilidades de aprobar el ramo.
%e&inici'n%e&inici'n
En los ejemplos, se da la medida5 de la ocurrencia de une-ento que es incierto, * 2sta se expresa mediante un
n4mero entre * , o en porcentaje.
1 8a probabilidad de que
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ntuiti-amente podemos obser-ar que cuanto m(s probable
es que ocurra el e-ento, su medida de ocurrencia estar( m(s
pr>ximo a 5 o al ;, * cuando menos probable, m(s se
aproximar( a 5.
?e aqu9 se deduce que un
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!. $robabilidad cl*sica$robabilidad cl*sica
'asos posibles 'asos fa-orables70A1 =
Ejemplo:
&'u(l es la probabilidad de que al lanzar un dado com4n salga
un n4mero primo+
6oluci>n:
El Espacio )uestral E, est( dado por:
E={, !, 3, ", #, $%, por lo tanto posee $ elementos, es decir,
$ casos posibles.6ea A, el e-ento o suceso:A: que salga un n4mero primo, entonces se tiene que:
A={!, 3, #%, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casosfa-orables.
Regla de Laplace
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70A1 =3
$
Entonces:
'asos fa-orables 0n4meros primos1: 30!, 3, * #1
'asos posibles: $0, !, 3, ", # * $1
7or lo tanto:
!
Ejemplo!:
Al lanzar ! monedas, &cu(l es la probabilidad de que las dos
sean caras+
'asos posibles: "
'asos fa-orables 0! caras1:
Entonces:
70! caras1 =
"
=
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8a probabilidad de que un sucesoocurra, o probabilidadde un suceso contrario5, se obtiene a tra-2s de:
70A1 = @ 70A1
A
E
A
3. +ipos de sucesos+ipos de sucesos
3. Probabilidad de un suceso contrario:Probabilidad de un suceso contrario:
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Ejemplo:
6i 8a probabilidad de que llue-a es , &cu(l es la probabilidad
de que llue-a+
!
#
6oluci>n:
70no llue-a1 = @ 70llue-a1
70no llue-a1= @ !
#3
#
70no llue-a1=
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6i se tiene certeza absoluta de que un e-ento Aocurrir(:70A1 =
Ejemplo:
8a probabilidad de obtener un n4mero natural al lanzar
un dado com4n es 0$ de $1.
$$
70natural1= =
'asos posibles: $0,!,3,",#,$1
'asos fa-orables: $0,!,3,",#,$1
3.2 $robabilidad de un suceso seuro:$robabilidad de un suceso seuro:
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Ejemplo:
8a probabilidad de obtener un n4mero ma*or que $ al lanzar
un dado com4n es 0 de $1.
70A1 =
'asos posibles: $0,!,3,",#,$1
'asos fa-orables:
$70ma*or que $1= =
3.3$robabilidad de un suceso imposible$robabilidad de un suceso imposible:
6i se tiene certeza absoluta de que un e-ento Aocurrir(:
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+-/01 %E $ACA+-/01 %E $ACA
El tri*nulo de $ascal en matem(tica es un conjunto infinito den4meros enteros ordenados en forma de tri*nulo que expresancoeficientes binomiales. El inter2s del ri(ngulo de 7ascal radica en suaplicaci'n en *lebra * permite calcular de forma sencilla n3meroscombinatorios lo que sir-e para aplicar el binomio de e4ton.
Cada nmero es la suma de los dos nmeros que estn sobre !l.
"
" "
" 2 "
" 3 3 "
" # $ # "
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6i se lanza una moneda una -ez, los casos posibles son: cara 0c1 > sello 0s1, que est( representado en la primera fila
del ri(ngulo de 7ascal: 5 5El total de casos posibles es 2.
6i se lanza una moneda dos -eces, los casos posibles son:'', '6, 6', 66, lo que implica que se tiene caso en queaparecen dos caras, ! casos distintos en que se obtiene una cara
* un sello, * caso en que se obtienen dos sellos, que est(representado en la segunda fila del ri(ngulo de 7ascal: 5 2 5El total de casos posibles es ".
Ejemplo:
En probabilidades el +ri*nulo de $ascal se utiliza como una t2cnicade conteo en la resoluci>n de problemas de iteraci>n de experimentossencillos, cuando el objeto considerado tiene dos posibilidades, porejemplo una moneda, sexo de un
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%&emplo:
Cul es la probabilidad de sacarexactamente tres caras con 4 monedas?
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%&ercicios:
1. Cul es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 2
monedas?
2. Cul es la probabilidad de sacar exactamente una cara con 4monedas?
3. Cul es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 6
monedas?
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". $-$E%A%E 6/CA$-$E%A%E 6/CA %E C/C1 %E%E C/C1 %E$-6A6%A%E$-6A6%A%E
#."8a probabilidad de que ocurra el suceso A > el suceso B.
Caso ":'uando A* Bson e-entos mutuamente excluyentes
est dada por:
70A
B1 = 70A1 C 70B1
70D!1 > 70#1 = 70D!1 70#1
Ejemplo:
Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de que salga un
n4mero menor que ! > ma*or que #+
6oluci>n: 70D!1 = $
= 70D!1 70#1C
70#1 = $*
$
= C $
= !$
= 3
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Caso 2:?e no ser mutuamente excluyentes:
Ejemplo:
Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de que salga unn4mero menor que # > un n4mero par+
6oluci>n:
"
$7 0menor que #1 =
'asos posibles ${,!,3,",#,$%
'asos fa-orables 0menor que #1: " {,!,3,"%
3
$
7 0n4mero par1 =
'asos fa-orables 0n4mero par1: 3 {!,",$%
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'omo 2* "son menores que #, * al mismo tiempo sonpares, se estar9an considerando como casos fa-orables
dos -eces.
7or lo tanto:
8a probabilidad de que salga un n4mero menor que # > un
n4mero par, al lanzar un dado se expresa como:
7 0D #1 > 70par1 = 70D#1 70par1 F 70D# par1 ,
= 70D #1 C 70par1 F70D# * par1
= C F"$
3$
!$
#$
=
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,A B70 1 = 70A1 70B1
En este caso, ambos sucesos ocurren simult(neamente, A * 6.
#.2 La probabilidad de que ocurra el suceso A* el suceso B,
siendo 2stos independientes.
Caso ":'uando A* Bson e-entos independientes, se cumple que:
Ejemplo:
&'u(l es la probabilidad de que al lanzar dos -eces un dado se
obtengan dos n4meros pares+
6oluci>n:
'asos posibles: $0,!,3,",#,$1 'asos fa-orables: 30!,",$1
Entonces:
70dos pares1 = 70par1 * 70par1 = P'par( ) P'par(
= 3
$
3
$=
"
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'orresponde a la probabilidad de B tomando como espacio
muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B
dado que n:
6: 6acar "
A: H4mero par = { !,",$ %
Ejemplo:
Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de obtener un "
sabiendo que
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%&ercicios:
*ol.: +,2
".
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Ejemplo:
6e tiene una bolsa con 3 pelotitas entre blancas * rojas, de
las cuales ! son blancas, todas de igual peso * tamaIo. 6i seextraen ! pelotitas al azar, con reposici>n, &cu(l es la
probabilidad de que ambas sean blancas+
6oluci>n:
'asos posibles: 3
'asos fa-orables: !
Entonces:
70dos blancas1 = 70blanca1 * 70blanca1
= 70blanca1 70blanca1
'asos posibles: 3
'asos fa-orables: !
7rimera extracci>n 6egunda extracci>n 0'on reposici>n1
#.3 Probabilidad conreposici-n.
3 3= !
!
J
""=
!#
"=
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Ejemplo:
6e tiene una bolsa con 3 pelotitas entre blancas * rojas, de
las cuales ! son blancas, todas de igual peso * tamaIo. 6i seextraen ! pelotitas al azar, sin reposici>n, &cu(l es la
probabilidad de que ambas sean blancas+
6oluci>n:
'asos posibles: 3
'asos fa-orables: !
Entonces:
70dos blancas1 = 70blanca1 * 70blanca1
= 70blanca1 70blanca1
'asos posibles: !J
'asos fa-orables:
7rimera extracci>n 6egunda extracci>n 06in reposici>n1
#.# Probabilidad sinreposici-n.
3 !J= !
/K
3!=
"#
!!=
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". Calcular la probabilidad de sacar un s de un mazo de /2 cartas en el primer
0ntento 1 luego sacar otro s, sin reposici-n.
2. *e sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otraro&a, otra erde 1 otra negra. Calcular la probabilidad de:
a(*acar una bola blanca 1 una bola ro&a, con reposici-n.
b(*acar una bola blanca 1 una bola ro&a, sin reposici-n.
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