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12/07/2013
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Objetivos:
• Conocer el concepto de sistema de numeración.
• Identificar los tipos de sistemas de numeración.
• Realizar conversiones entre las bases de numeración más comunes.
Universidad Católica de El Salvador
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Programación I, Sección A
Docente: Ma. Ing. Giovanni Acosta
NÚMERO VS. NUMERAL
Un número es una entidad abstracta que representa una magnitud.
El símbolo de un número recibe el nombre de numeral.
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¿QUÉ ES UN SISTEMA DE NUMERACIÓN?
Un sistema de numeración es la combinación de un
conjunto de símbolos y reglas para representar, o
nombrar, números o cantidades.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistemas de numeración
Posicionales: el valor de un dígito depende
tanto del símbolo utilizado, como de la
posición que ése símbolo ocupa en el
número.
Ejemplo:
97510
No-posicionales: los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición que ocupan en
el número.
Ejemplo:
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¿QUÉ NÚMERO O CANTIDAD REPRESENTA?
Sistemas de numeración no posicionales
¿QUÉ NÚMEROS QUEREMOS REPRESENTAR?
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¿QUÉ NÚMERO QUEREMOS REPRESENTAR CON LA SIGUIENTE TIRA DE SÍMBOLOS?
¿Será correcto lo anterior?
CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…
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CLARO EL NÚMERO REPRESENTA…
La interpretación depende del valor de cada símbolo, y de la posición que ocupa.
SISTEMA NUMÉRICO DECIMAL
En el sistema decimal, la posición de cada símbolo lo relaciona con una
potencia de 10.
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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS NÚMEROS
Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en
cualquier sistema de numeración posicional con la misma cantidad expresada
en el sistema decimal.
N es el valor de la cantidad que queremos expresar en el sistema de numeración decimal,
k es el número de dígitos de la parte entera del número.
j es el número de dígitos de la parte fraccionaria del número.
B es la base del sistema de numeración en que está expresado el número.
SISTEMAS NUMÉRICOS
Un sistema numérico consiste de un conjunto ordenado de símbolos, llamados
dígitos, con relaciones definidas entre ellos:
Suma (+)
Resta (-)
División (/)
Multiplicación (*)
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DEFINICIÓN
La base r en un sistema numérico, define el número de dígitos del sistema
numérico.
Ejemplos:
Base r Número de dígitos Dígitos
10 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
8 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
2 2 0, 1
NOTACIÓN YUXTAPOSICIONAL
En general un número N, en base r, se puede representar en notaciónyuxtaposicional (posicional) de la siguiente manera:
Una yuxtaposición consiste en poner un símbolo al lado de otro, y al finalponer un subíndice de la base: 1068
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NOTACIÓN POLINOMIAL
Un número N escrito en representación yuxtaposicional, puede ser escrito enforma polinomial, de la siguiente manera:
Se representa la cantidad usando un polinomio. Se puede omitir los ceros. Larepresentación polinomial de 410710 es:
4 x 103 + 1 x 102 + 0 x 101 + 7 x 100 = 410710
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistemas de uso común en el diseño de
sistemas digitales
• Decimal
• Binario
• Octal
• Hexadecimal
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SISTEMA DECIMAL
Sistema de numeración que se compone
de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor
dependiendo de la posición que ocupen
en la cifra: unidades, decenas, centenas,
millares, etc. Donde la Base a que usa es
la 10.
Por ejemplo el número 52810 significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades
500 + 20 + 8, en notación polinomial: 5 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 = 52810
SISTEMA BINARIO
Sistema de numeración que utiliza sólo dos dígitos, el
cero (0) y el uno (1), donde estos tienen distinto valor
dependiendo de la posición que ocupen. Usando la
potencia de base 2.
Por ejemplo el número 1012
en notación polinomial: 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1012
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CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Para convertir un número decimal al sistema binario, se puede realizar el
siguiente procedimiento:
Realizar divisiones sucesivas entre 2 y colocar los restos obtenidos, en
cada una de ellas.
Para formar el número binario se toman los restos en orden inverso al que
han sido obtenidos (de mayor a menor peso).
CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO
249 2
124
62
31
15
7
3
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
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PENSANDO EN BINARIO
EJERCICIOS
Convertir las siguientes cantidades de decimal a binario:
1. 57
2. 89
3. 135
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SISTEMA OCTAL
En el sistema octal, los números se representan mediante ocho dígitos
diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El valor de cada una de las posiciones viene
determinado por las potencias de base 8.
La conversión de un número decimal a octal, se realiza de la misma manera
que la conversión a binario, la diferencia es que se emplea como base el
número 8 en lugar del 2, colocando los restos obtenidos en orden inverso
(de mayor a menor peso).
CONVERSIÓN DECIMAL A OCTAL
249 8
31
3
0
1
7
3
8
8a0
a1
a2
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EJERCICIOS
Convertir las siguientes cantidades de decimal a octal:
1. 79
2. 134
3. 456
SISTEMA HEXADECIMAL
En este sistema, los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F
representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15
respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.
El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su
posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
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SISTEMA HEXADECIMAL
CONVERSIÓN DECIMAL A HEXADECIMAL
876 16
54
3
0
C
6
3
16
16a0
a1
a2
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EJERCICIOS
Convertir las siguientes cantidades de decimal a
hexadecimal:
1. 1345
2. 874
3. 911
INVESTIGAR
¿Cómo convertir de binario a decimal, octal a decimal y hexadecimal a
decimal?
¿Cómo convertir de binario a hexadecimal?
¿Cómo convertir entre cualquier base de numeración?