UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
Instituto de Ciencias Básicas e Ingenierías
Asignatura: Cálculo Vectorial
GRÁFICAS DE FUNCIONES DE 2 VARIABLES
Presenta: M. en C. Marcos Campos Nava
Marzo de 2012
Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f (x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f
EJEMPLO 1: Hallar el dominio de las siguientes funciones:
CÁLCULO DEL DOMINIO DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
x
yxyxfa
9),()
22
Solución:
a) La función f está definida para todos los puntos (x, y) tales que y
922 yx
0x
922 yxAsí, pues, el dominio es el conjunto de puntos que están en el círculo , o en su exterior, excepto los que se encuentran en el eje y, como indica la figura siguiente:
Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS
• La superficie terrestre, no es geométrica evidentemente y por lo tanto no se puede representar con exactitud matemática. Para poder realizar los cálculos de ingeniería necesarios, dicha superficie natural se sustituye por otra convencional, denominada superficie topográfica.
• Ésta se puede representar de distintos modos:
• Perfil longitudinal: sección por plano proyectante. Permite realizar cálculos interesantes.
• Plano topográfico: curvas de nivel. Permiten cálculos con precisión suficiente
• Vista en perspectiva: no es ortográfica y es la más representativa
• Plano de relieves: proyección ortográfica representativa
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS
SUPERFICIES TOPOGRAFICAS
PLANO TOPOGRAFICO.
Curvas de nivel.
11
x
O
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).
Superficies Cilíndricas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cilíndricas.
Ejemplo : Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
44
2
x
zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)
Cortes con X (z=0)
Vértice:
44
02
x
4x
4z
ab
xv 2 0
2
0
vx
44
02
vz 4vz
X
Z
Y
Superficies Cilíndricas.
Ejemplo Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
44
2
x
zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)
Cortes con X (z=0)
Vértice:
44
02
x
4x
4z
ab
xv 2 0
2
0
vx
44
02
vz 4vz
X
Z
Y
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Superficies Cuadráticas.
Fuente: Larson Vol 2
Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos
tal que siempre que
y
0,0 f x , y L
x, y D 2 20 x a y b
x ,y a,blim f x, y L
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