Función exponencial• Una función exponencial f está dada por:
f(x) = ax
donde x es cualquier número real,
a > 0 y a ≠ 1. El número a se llama base.
x
y
xy 2
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
La gráfica es: Creciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; 2).
x
y
x
y21 La gráfica es:
Decreciente Cóncava hacia arriba. Pasa por el punto (0; 1); (1; ½ ).
La curva se acerca al eje x pero no lo toca ni lo corta. El eje x es una asíntota horizontal.
Muy importante!!
x
y
f(x)= a > 1
xa
);1( 1a
);2( 2a
);1( 1 a)1;0(
Función crecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
OJO!!
x
y
f(x)= 0 < a < 1
xa
)1;0();1( 1a
);2( 2a
);1( 1 a
);2( 2 a
Función decrecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Conclusiones
n
1 S/.2,00000
2 S/.2,25000
3 S/.2,37037
4 S/.2,44141
12 S/.2,61304
52 S/.2,69260
365 S/.2,71457
8760 S/.2,71813
525600 S/.2,71828
…. …..
n)n1(1A
El monto obtenido crece como puede apreciarse pero solo hasta cierta cantidad, es decir cuando n se hace muy grande…
....718281828,2
11lim
en
en
n
El número e
Gráfica de f(x) = ex
x
y
x ex
0 1
1 2,71..
2 7,38..
xey
Función crecienteRecorrido: ]0, ∞[Dominio: Asíntota: Eje xGráfica cóncava hacia arriba
Definición• Sean f y g dos funciones tales que: dominio de f es D y
recorrido C dominio de g es C y recorrido D• g es la inversa de f si se cumple:
• g(f(x)) = x para todo x en D• f(g(x)) = x para todo x en C
Guía para hallar f -1
1. Verificar que f es inyectiva (*).2. Determinar Dom (f-1) (**)3. Despejar x de y = f (x).
* Se recomienda realizar el gráfico y determinar el recorrido de f.
** Dom (f-1)= Rec (f)
Función logarítmo
log a x = y ay = x
a>1 y a≠1
• El logaritmo de un número x en una base a es el exponente y al que hay que elevar la base para obtener el número.
Ecuación logarítmicaEcuación
exponencialNMa log Ma N
2100log10 201,0log10
21
49 7log
100102 01,010 2
749 21
Exponenciales y logarítmos
x
y
xy 2log
Se observa que ahora la asíntota vertical es el eje y
La gráfica es creciente y cóncava hacia abajo y pasa por (1; 0)
¿Cómo se compara esta gráfica con la exponencial de base 2?
¿y cómo varía la gráfica al cambiar la base a?
x
y
xxf 2)(
xxg 2log)(
xy
(2; 4)
(4; 2)
Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Cada punto (a; b) de la curva exponencial tiene su simétrico de la forma (b; a) en la curva logarítmica.
x
y
xy alog
a > 1
Función crecienteDominio: (0; ∞)Rango: Asíntota: Eje yGráfica cóncava hacia abajo
base
a
Conclusiones
x
y
xy alog
0 < a < 1
Función decrecienteDominio: (0; ∞)Recorrido: Asíntota: Eje yGráfica cóncavahacia arriba
a
base
Conclusiones
Para todos los números positivos a, M y N, a ≠ 1 y cualquier número real k:
MkM
NMN
M
NMNM
ka
a
ak
a
aaa
aaa
ka
a
a
loglog.6
logloglog.5
logloglog.4
log.3
01log.2
1log.1
Leyes de logarítmos
Para cualquier número positivo x.
xx loglog10
Logarítmo decimal o común
• El logaritmo log10 x se llama logaritmo común de x y su
forma abreviada es log x.
Son aquellos cuya base es el número e ≈ 2,7182818..
Para cualquier número positivo x.
xxe lnlog
Logaritmo natural
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