POLINOMIO DE TAYLOR
Jhonatan Chantre Andrade: 20111100845
5 de marzo de 2015
Sea f continua en [a, b] y con derivadas hasta de orden n continuas, tam-bien en este intervalo cerrado; supongase que F (n+1)(x) existe en (a, b), en-tonces se tiene:
F (x) = F (X0) + F (X0) (X X0) + F (2)(X0)2! (X X0)2 + ...
... + F(n)(X0)n!
(X X0)n + En
Cuando en el calculo de lmites usamos L-Hopital o algunos infinitesimos,estamos sustituyendo el comportamiento de la funcion cerca del punto por elde su recta tangente. Esta aproximacion que usamos, coincide con la funcionen su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylorque construiremos a continuacion se toman para que coincida con la funcionen todas las derivadas.
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Ejercicio.
Hallar la aproximacion lineal de la funcion f (x) =x + 1 en el punto
a=0, de igual forma obtener la aproximacion lineal para el punto a=1.
Solucion.
F (x) =x + 1
F (0) = 1
F (x) = 12X+1
F (0) = 12
F (x) = 14(x+1)
32
F (0) = 18
F (x) = 38(x+1)
52
F (0) = 116
F (x) = 1516(x+1)
72
F (0) = 5128
F (x) = 10532(x+1)
92
F (0) = 7256
Remplazamos en la formula de el polinomio de Taylor.
P (x) = 1 + x2 x2
8+ x
3
16 5x4
128+ 7x
5
256
2
Para a=1
F (x) =x + 1
F (1) =
2
F (x) = 12X+1
F (1) = x22
F (x) = 14(x+1)
32
F (1) = x248
F (x) = 38(x+1)
52
F (1) = 3x3
832
F (x) = 1516(x+1)
72
F (1) = 15x4384
128
F (x) = 10532(x+1)
92
F (1) = 105x5
3840128
Remplazamos en la formula de el polinomio de Taylor.
P (x) =
2 + x22 x2
48
+ 3x3
832 15x4
384128
+ 105x5
3840128
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Grafica.
Referencias
www.ma.uva.es
www.matematicasvisuales.com
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