PLACAS RECTANGULARES
1. PLACAS RECTANGULARES 1.1.GENERALIDADES. Matemáticamente la ecuación diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamiento de una placa se clasifica entre las de cuarto orden con coeficientes constantes. Si el término independiente es nulo, ecuación diferencial homógenea, se denomina Ecuación Biarmónica.
0 = y) w(x, D
y)q(x, = y) w(x, ∆∆∆∆
La solución de la ecuación diferencial de la placa debe satisfacer las condiciones de contorno lo que dificulta extraordinariamente el proceso en tal forma que sólo es posible encontrar dicha solución en muy pocas situaciones. Incluso en la mayoría de estos casos debe recurrirse a la linealidad de la ecuación diferencial lo que permite obtener la solución como superposición de las soluciones de la ecuación diferencial homogenea (q=0) y a una solución particular de la ecuación no homogenea (q≠ 0). Es decir: y)w(x, +y)w(x, = y)w(x, PH donde wH representa la solución de la ecuación diferencial homogénea y wP es una solución particular de la ecuacion original. Es decir:
Dy)q(x,=
yw+
yxw2+
xw 0=
yw+
yxw2+
xw
4P
4
22P
4
4P
4
4H
4
22H
4
4H
4
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
Algunas condiciones de borde permiten el uso de soluciones especiales, tal como sucede con la solución de Navier que se describe más adelante en la que wH=0 de modo que:
y)w(x, = y)w(x, P
Análisis de Estructuras 2
Las primeras soluciones básicas en la estática de Placas fueron dadas por Navier en 1821 poco después de haber deducido Lagrange su ecuación diferencial y haber estudiado Fourier las series que llevan su nombre. 1.1.1. Solución de la Ecuación Homogénea. La ecuación homogénea, término independiente nulo, puede físicamente interpretarse como la asociada a una placa sobre la que sólo actúan acciones exteriores en los bordes. La solución de la ecuación homogénea w(x,y)H , describe plenamente las condiciones de borde de la Placa y mantiene el equilibrio con las fuerzas externas en los bordes pero no considera el equilibrio de las fuerzas q(x,y). La determinación de esta solución presenta en general graves dificultades y limita el campo de aplicación de esta metodología de cálculo. 1.1.2. Solución Particular. La solución particular w(x,y)P , satisface la ecuación diferencial completa de la Placa pero no satisface completamente las condiciones de contorno. En general la solución particular tiene un mayor sentido físico y es sencilla de determinar. Por ejemplo en placas rectangulares pueden usarse como soluciones particulares la flecha de una viga con las mismas condiciones de borde y carga o la flecha de una Placa con condiciones de borde simplemente apoyados. Más adelante se presenta algún ejemplo de aplicación de esta metodología a placas de interés práctico.
1.2. SOLUCIONES BASADAS EN LAS SERIES DE FOURIER. Las series de Fourier son una herramienta indispensable para obtener una solución analítica de muchos problemas en el campo de la mecánica aplicada, tales como la
Placas Rectangulares 3
solución de las ecuaciones en derivadas parciales que originan la teoría de la elasticidad, las vibraciones, el flujo de calor, las ondas electromagneticas, etc. Los teoremas de Fourier establecen que una función arbitraria f(x) puede expresarse mediante una serie infinita de senos y cosenos es decir, la función se reemplaza por la superposición de infinitas ondas de senos y cosenos.
Tx2nsenBT
x2nA +A2
1 =f(x) n1
n1
0 + ππ ∑∑∞∞
cos 5
donde An y Bn son los coeficientes de Fourier del desarrollo que vienen dados por:
dxT
x2nf(x)senT2=B dx
Tx2nf(x)
T2=A f(x)dx
T2=A
T
0n
T
00
T
00
ππ∫∫∫ cos
siendo T el periodo de la función f(x). En 1820 Navier presentó en la Academia de Ciencias Francesa la solución de placas simplemente apoyadas en los cuatro bordes usando series de Fourier dobles. Este tipo de soluciones se denominan forzadas ya que implican automáticamente unas determinadas condiciones de borde para la Placa pero tienen la ventaja de que transforman la ecuación diferencial que rige su comportamiento en otra algebraica de fácil solución. 1.2.1. Aplicación de las series de Fourier a Flexión de Vigas. La mecánica de trabajo que incorpora el uso de los desarrollos en serie de Fourier se introduce en este capítulo con su aplicación a la flexión de vigas. Para ello se considera una viga de longitud l y rigidez EI simplemente apoyada en sus extremos y sometida a una carga variable q(x). Como es bien conocido la flecha w(x) de la viga debe satisfacer la ecuación diferencial siguiente:
EIq(x) =
xdw(x)d
4
4
Desarrollando en serie de Fourier la función w(x) :
lxm senw = w(x) m
1=m
π∑∞
8
función que satisface automáticamente las condiciones de borde simplemente
Análisis de Estructuras 4
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
apoyado ya que:
0 = xdwd EI- = M(x)0 = w(x)l=x 0=x 2
2
9 Si se desarrollan en serie las cargas exteriores usando las mismas funciones armónicas:
lxm senq = q(x) m
1=m
π∑∞
la condición de que w(x) satisfaga la ecuación diferencial nos proporciona los si-guientes valores de las amplitudes wm:
con π
π44
4m
mm
m4
44
m EIl q
= w EIq
= w l
m
dx l
xm senq(x) = ql
0m
π∫
Sí la carga q(x)=q es uniforme: )m -1 ( m2q = qm π
πcos
Representación del desarrollo de una carga uniforme
Placas Rectangulares 5
lxm sen
m2
msen 2Pl =
xdwd -EI= M(x) 2
=1m22
2 ππ
π∑
∞
lxm sen
mm -1 l2q =
xdwd EI- = M(x) 3
1=m3
2
2
2 ππ
π
cos∑∞
En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.0130711 0.1290060 3 -0.000054 -0.0047780 5 0.0000042 0.0010321 7 -0.0000008 -0.0003761 Σ 0.0130207 0.1249 Exacta 0.0130208 0.125
Variación de la flecha y del momento con el número de términos del desarrollo
Si la carga es puntual q(l/2)=P :
lxm sen
m2
msen
EIl2P = w(x)
2m sen
l2P = q 4
1=m4
3
mπ
π
π
π ∑∞
0,013
0,0130208
0,0130416
0,0130624
0,0130832
1 3 5 7 9 11 13 150,12
0,1225
0,125
0,1275
0,13
1 3 5 7 9 11 13 15
lxm sen
mm -1
EIl2q = w(x) 5
1=m5
4 ππ
π
cos∑∞
Análisis de Estructuras 6
En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.02053196 0.2026434 3 0.00025348 0.0225158 5 0.00003285 0.0081057 7 0.00000855 0.0041356
Σ 0.020827 0.2374 Exacta 0.02083 0.25
2.2. Placas rectangulares simplemente apoyada en los 4 bordes. Solución de
Navier. En una placa rectangular simplemente apoyada en los 4 bordes de longitudes a y b respectivamente, la flecha w(x,y) se puede representar con la serie doble siguiente:
byn sen
axm senw =y)w(x, mn
1=n1=m
ππ∑∑∞∞
que satisface automáticamente las condiciones de los 4 bordes simplemente apoyados:
0 =M 0 =M 0 =)yw(x, ] b=y0,=y [y ] a=x0,=x [ x] b=y0,=ya,=x0,=x [
ya que son nulas tanto la función flecha w(x, y) como sus segundas derivadas en los bordes x=0 x=a, y=0 e y=b al estar afectadas por los desarrollos de senos correspondientes. La carga q(x ,y) se desarrolla en la misma forma que w(x, y):
byn sen
axm senq =y)q(x, mn
1=n1=m
ππ∑∑∞∞
17 con :
y)dxdyq(x, ab4 =q
b
0
a
0mn ∫∫
Placas Rectangulares 7
la condición de que la función w(x, y) satisfaga la ecuación diferencial de la placa para cada término del desarrollo armónico nos proporciona la siguiente relación:
b
yn
a
xmmnq
Db
yn
a
xm
b
n
ba
nm
a
mmnw
πππππππcossen
1cossen4
44
22
42224
44=++
de donde se obtiene: 2
2
2
2
24
+
=
bn
amD
qw mnmn
π
y por tanto la flecha w(x,y) puede escribirse:
bym
axm
bn
am
qD
yxw mn
nm
ππ
πsensen1),(
2
2
2
2
2114
+
= ∑∑∞
=
∞
=
Conocida la flecha es fácil determinar los esfuerzos que derivan de ella para cada término del desarrollo armónico en función de la amplitud de la carga qmn. MOMENTOS
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
xππ
ν
πsensen1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
112
+
+= ∑∑
∞
=
∞
=
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
yππ
ν
πsensen1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
112
+
+= ∑∑
∞
=
∞
=
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
xyππ
π
ν coscos12
2
2
2
2112
+
−= ∑∑
∞
=
∞
=
Análisis de Estructuras 8
CORTANTES
byn sen
axm
bn+
am
m q a
=Q
2
2
2
2mn1=n1=m
xππ
πcos1 ∑∑
∞∞
byn
axm sen
bn+
am
n q b
=Q
2
2
2
2mn1=n1=m
yππ
πcos1 ∑∑
∞∞
CORTANTES EQUIVALENTES
( )b
ynsena
xm
bn
am
bn
am
qa
Vn
mnm
xππν
πcos
212
2
2
2
2
2
2
2
2
11
+
−+= ∑∑
∞
=
∞
=
( )b
yna
xmsen
bn
am
bn
am
qb
Vn
mnm
yππν
πcos
212
2
2
2
2
2
2
2
2
11
+
+−= ∑∑
∞
=
∞
=
Debe hacerse notar que en general mientras la flecha crece inversamente proporcional a potencias de m y n altas lo que provoca una convergencia rápida de la serie usada para su representación, los esfuerzos lo hacen más lentamente. Esta velocidad de convergencia depende del tipo de carga q(x, y) y para cada una de ellas se deben determinar los coeficientes qmn del desarrollo de Fourier correspondiente. 2.2.1. Amplitudes de una Carga Uniforme. Si sobre la placa actúa una carga uniforme de valor qo se obtienen las siguientes amplitudes para su desarrollo armónico:
)n-(1)m-(1mn
q4=dxdy
byn sen
axm senq
ab4 =q 2
00
ba
mn πππ
ππ coscos00∫∫
Placas Rectangulares 9
mnq16
=q
0 =q
20
mn
mn
π:impares enteros númerosson n y m sí
:pares enteros númerosson n y m sí
2.2.2. Amplitudes de una Carga Uniforme Parcial y Puntual. La amplitud del desarrollo armónico asociado a una carga puntual se determina como limite de la de una carga uniforme parcial que actua sobre un elemento superficial (u,v) cuando u y v tienden a cero.
uvP = q
La amplitud para una carga uniforme q0 parcial en (u,v) viene dada por:
ydxd b
ynsen a
xmsen q ba
4 =q 0
vpb
vpb
upa
upa
mnππ
∫∫+
−
+
−
2
2
2
2
que trás realizar la integración correspondiente nos proporciona:
2bvn sen
2aum sen
bbn
senaam
senmnuv
16P =q pp2mn
ππππ
π
La amplitud asociada a una carga puntual se obtiene en el límite cuando u y v tienden a 0. En este caso el seno coincide con el ángulo y se obtiene:
Análisis de Estructuras 10
bbn
senaam
senab
4P =q pp4mn
ππ
π
2.3. Placas rectangulares simplemente apoyadas en los 4 bordes. Solución de Levy. Para Placas rectangulares con dos bordes opuestos simplemente apoyados Levy propuso tomar como solución para la ecuación homogenea la serie simple:
axm sen(y)Y = )yw(x, m
1=mH
π∑∞
dónde se supone que los bordes x=0 y x=a están de forma forzada simplemente apoyados ya que cada término de la serie adoptada satisface automáticamente dichas condiciones de borde.
( )[ ] ( )[ ] 0),(),(0,,2
2
02
2
0 =
∂
∂=
∂
∂==
====
axxaxx x
yxwx
yxwyxwyxw
En este caso la amplitud del desarrollo depende de y y se determina de modo que satisfaga las condiciones de borde en y=± b/2 y la ecuación diferencial de la placa. La solución w(x, y) se puede obtener ahora como suma de la correspondiente de la ecuación diferencial homogénea wH más una solución particular wP:
)y w(x,+ )y w(x,= y)w(x, PH
Placas Rectangulares 11
Como solución particular se elige la flecha de una franja (viga con rigidez EI= D) paralela al eje x de longitud a con la carga que actúa sobre la placa. Si la carga es uniforme q(x, y)=qo
x)a+ax2-x( 24Dq
=)yw(x, 3340P
sólo función de x que satisface la ecuación diferencial de la placa y las condiciones de borde en x=0 y x=a. Esta solución particular puede desarrollarse en serie de senos para uniformizarla con la solución homogénea elegida.
axmsen
m1
Daq4
=x)a+ax2-x( 24Dq
=)yw(x, 51=m
5
403340
Pπ
π∑∞
La solución w(x, y)H debe satisfacer la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, y para ello las amplitudes Ym(y) deben cumplir:
01
=
′′∑
∞
axmsenY
am + Y
am2 -Y m4
44
m2
22IVm
πππ
Para que se cumpla para todos los valores de x:
0 = Ya
m + Y a
m2 -Y m4
44
m2
22IVm
ππ ′′
La solución general de esta ecuación diferencial para una carga uniforme q0 es de la forma:
+
+
+
=
aymCh
aymD
aymShC
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmmmm
ππππππ40)(
Si se considera la simetría de la solución respecto al eje X no quedan más que los términos impares del desarrollo de w(x,y)P y los términos Cm y Dm de w(x,y)H deben ser nulos. En este caso la flecha total w(x,y) viene dada por:
+
+= ∑
∞
=a
xma
ymSha
ymBa
ymChAmD
aqyxw mmm
ππππ
πsen4),( 55
1
40
que satisface la ecuación diferencial completa ∆∆w(x,y)=q/D y las condiciones de contorno en los bordes x=0 y x=a. Las condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x nos permiten determinar las constantes de integración Am y Bm.
Análisis de Estructuras 12
Si dichos bordes también están simplemente apoyados deben satisfacerse las dos condiciones siguientes:
( )[ ] 0),(0,
2
2
2
2=
∂
∂=
±=±= by
by yyxwyxw
De estas dos condiciones se obtienen las dos ecuaciones siguientes en Am y Bm:
0222
455 =
+
+
abmSh
abmB
abmChA
mmm
πππ
π
( ) 0222
2 =
+
+
abmSh
abmB
abmChBA mmm
πππ 31
de donde:
=
+
−=
abmChm
B
abmChm
abmTh
abm
A mm
2
2
2
222
2
5555 ππ
ππ
ππ
Obtenidas estas expresiones la flecha de la placa queda ahora representada por una serie de Fourier simple en la dirección x y por unas funciones hiperbólicas en la dirección y en la forma:
( )
+
+
−= ∑∞
=a
xma
ymSh
abmCha
yma
ymCh
abmCh
abmTh
abm
mDaqyxw
m
πππ
πππ
ππ
πsen
22
22
222
114, 51
5
40
Una vez determinada la flecha de la placa w(x,y) es fácil obtener las expresiones para los esfuerzos, momentos y cortantes, que actúan sobre el plano medio de la misma. En los apartados anteriores se presenta la solución de la misma placa, rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes, usando dos técnicas similares pero diferentes en cuanto a su desarrollo. La solución de Levy abre más expectativas pues permite representar otras condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x. Así por ejemplo sí particularizamos la solución en algún punto típico de una placa cuadrada de lado a y coeficiente de Poisson ν=0.3 , es fácil comprobar que ambas soluciones coinciden. FLECHA EN EL PUNTO MEDIO.
Placas Rectangulares 13
Daq 0.00406 =,0)
2aw( =)
2b,
2aw(
4
LevyNavier
MOMENTOS EN EL PUNTO MEDIO
aq 0.0479 =,0)2a(M =)
2b,
2a(M
aq 0.0479 =,0)2a(M =)
2b,
2a(M
2y
Levyy
Navier
2x
Levyx
Navier
33 CORTANTES MAXIMOS EN EL CENTRO DE LOS BORDES
qa 0.338 =(0,0)Q =)2b(0,Q
qa 0.338 =)2b,
2a(Q =,0)
2a(Q
y Levyy Navier
x Levyx Navier±±
3. Placas rectangulares con bordes empotrados. La respuesta tenso deformacional de una placa rectangular con los 4 bordes simplemente apoyados para cualquier tipo de carga puede obtenerse como se ha visto en apartados anteriores, con facilidad usando desarrollos en serie de senos que satisfacen automáticamente dichas condiciones de borde.
5
Si alguno de los bordes está empotrado se debe proceder siguiendo un esquema de compatibilidad similar al utilizado en vigas. Es decir se considera la placa apoyada en sus cuatro bordes y se supone que sobre el borde que está empotrado actúa un momento de empotramiento que da lugar a un giro nulo a lo largo del borde.
Análisis de Estructuras 14
( ) ( ) 0,,
=
+
ntoempotramieMApoyadaeSimplement ydyxwd
ydyxwd
Para poder superponer soluciones sería necesario conocer la flecha w(x,y) de una placa rectangular cuando sobre un borde actúa un momento variable con la coordenada que describe el mismo. 3.1. Placa rectangular con un momento distribuido en dos bordes. Sea la placa rectangular, de dimensiones a y b, de la figura de la página anterior, simplemente apoyada en sus cuatro bordes sometida a dos momentos f1 (x) y f2 (x) variables con x actuando a lo largo de los bordes y=0 e y=b (o y=± b/2 si consideramos que el eje x está situado en el centro de la placa). Con q(x,y)=0 la flecha w(x,y) debe satisfacer la ecuación diferencial homogé nea:
0 = yw+
y x
w 2 + xw
4
4
22
4
4
4
∂∂
∂∂∂
∂∂
y las condiciones de borde siguientes:
(x)f =yw D- 0=w
2b-=y (x)f =
yw D- 0=w
2b=y
0 = xw 0=w a=x 0 =
xw 0=w 0=x
22
212
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
__
__
Las condiciones en X se satisfacen automáticamente considerando desarrollos en seno. Las condiciones respecto a Y deben estudiarse más específicamente.Se supone que la solución viene representada por la serie simple:
Placas Rectangulares 15
axm sen(y)Y = y)w(x, m
=1m
π∑∞
Para que la flecha w(x,y) satisfaga la ecuación diferencial, la función amplitud Ym(y) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria:
0 = Ya
m + Y a
m2 -Y m4
44m2
22IVm
ππ ′′
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:
aymCh
aym
D+a
ym Sha
ymC+
aymCh B+
aym ShA=(y)Y mmmmm
ππππππ
Si los momentos, f1 (x) = - f2 (x) , son simétricos respecto al eje X:
Am = Dm = 0 Si los momentos, f1 (x) = f2 (x), son antimétricos respecto al eje X:
Bm = Cm = 0 En el primer caso la condición de flecha nula en el borde y=b/2 nos proporciona:
2abmTh
2abm C- = B 0 =
2abm Sh
2abm C +
2abmCh B mmmm
πππππ
En el segundo:
2abmTh
2abm
1 A- = D 0 = 2a
bmCh 2a
bm D + 2a
bm ShA mmmmπ
ππππ
Si desarrollamos las funciones f1(x) y f2(x) en serie de senos se tiene:
axmsen E = (x)f = (x)f m
1=m21
π∑∞
±
La condición de contorno en el caso simétrico viene dada por:
axm senE =
axm sen
2abmCh C
am D 2- m
1=mm2
22
1=m
ππππ ∑∑∞∞
de donde se obtiene:
2abmChm D 2
Ea - = C22
m2
m ππ
Análisis de Estructuras 16
( )
−
= ∑
∞
=a
xma
ymCha
yma
ymShabmCth
abm
abmShm
E
Dayxw m
m
ππππππππ
sen22
22
,21
2
2
( )
−
= ∑
∞
=a
xma
ymSha
yma
ymChabmTh
abm
abmChm
E
Dayxw m
m
ππππππππ
sen22
22
,21
2
2
y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como: en función de Em amplitud del momento f1 (x). La condición de contorno en el caso antimétrico viene dada por:
axm senE =
axm sen
2abmTh
2abm ShA
2abm
m a
D 2m
1=mm
2
1=m2
2 πππππ
π ∑∑∞∞
de donde se obtiene:
2abmTh
2abmSh
2abm
. D m 2
Ea = A 22m
2m ππ
π
π
y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como:
La superposición del caso simétrico y antimétrico permite obtener la solución cuando actua un momento 2 f (x), con amplitud de desarrollo en serie Em, sobre un borde. Conocida la función f1 (x) está perfectamente determinado Em y por tanto la flecha w(x, y). Si por el contrario f1 (x) fuese un momento hiperestático, su amplitud Em se determina igualando los giros en el borde considerado. Ecuación que permite determinar Em y por lo tanto el desarrollo armónico del momento reacción. Conocido este momento queda perfectamente definida la flecha w(x, y) de una placa rectangular con un borde empotrado bajo una carga q(x, y). 4. Placa Rectangular empotrada en 3 bordes y con un borde libre. Las placas rectangulares con este tipo de condiciones de borde presentan un interés especial en ingeniería ya que permiten simular el comportamiento de las paredes de depósitos rectangulares o los muros de contención. Por ello se presentan a continuación las bases necesarias para encontrar la solución a este tipo de placa cuando actua una carga exterior uniforme o hidrostática.
Placas Rectangulares 17
En ambos casos de carga la solución para la flecha w(x,y) puede expresarse de la forma siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] HP yxwyxwyxwyxw ,,,, 21 ++= Las funciones w(x,y)P y (w(x,y)1 )H tratan con condiciones de bordes simplemente apoyados en x=± a/2 y la función (w(x,y)2 )H con las coacciones adicionales que el empotramiento introduce en los mismos.
4.1. Carga Uniforme. Para una carga q(x,y)=q0 uniforme, la solución particular:
( ) ( )
( )
−
=
=
=+−=
−∞
=
∞
=
∑
∑
axm
mD
q
axm
mD
qxaxax
Dqyxw
m
m
a
m
aP
π
π
π
π
cos14
sen142
24,
52
1
15
40
51
5
403340
correspondiente al desarrollo de la flecha en una franja de ancho unidad (viga de rigidez D) de longitud a simplemente apoyada en sus extremos.
( )[ ] ( ) ( )
−=
−∞
=∑ a
xmyYyxwm
mm
Hπcos1, 2
1
,..5,3,11
donde:
Análisis de Estructuras 18
( )
+
+
+
=
aymSh
aymD
aymShC
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmmmm
ππππππ40
En ambos casos, wP y w1H , cuando x=± a/2 , el coseno de un múltiplo de /2 es cero y por lo tanto se anulan automáticamente la flecha y el momento de ella derivado ya que el coseno permanece en una segunda derivación, en estos bordes.
( )[ ]
+
+
+
+
−
=
∑
∑∞
=
∞
=
axm
aymSh
aymI
aymCh
aymH
aymShG
Daq
byn
bxnSh
bxnF
bxnCh
banTh
banF
Daqyxw
mmmm
nnn
H
ππππππ
ππππππ
cos
2sen
22244,
,..5,3,1
40
,..5,3,1
40
2
desarrollo que satisface automáticamente la condición de borde:
(w(x y)2 )H=0 en y=0 y x= ± a/2 Esta función debe también satisfacer: BORDE LIBRE y=b. GIROS NULOS EN x=± a/2.
( ) ( ) ( ) 0,,0 2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂⇒=
==
bybyx
yyxw
xyxwM ν
( ) ( ) ( ) ( ) 0,2,0 2
3
3
3=
∂∂
∂−+
∂
∂⇒=
==
bybyy
yxyxw
yyxwV ν
( ) 00
2
21
0
2 =
∂
++∂=
∂
∂
±==ax
HHP
y
Hx
wwwy
w
con estas condiciones de borde se pueden determinar las constantes de integración Fn , Gm , Hm e Im. 4.2. Carga hidróstatica. Se trata de la misma forma que una carga uniforme pero considerando que la carga es ahora función de la coordenada y.
Placas Rectangulares 19
bym sen
m1
q2 = q(y)
1=m
0 ππ ∑
∞
Desarrollando en serie de senos la función carga hidrostática q(y) se obtiene:
Sustituyendo q en las expresiones de wP , w1H y w2H del apartado anterior por la expresión algebraica q(y) o por su desarrollo armónico, se puede obtener siguiendo los pasos allí descritos la solución w(x, y) usando las mismas condiciones de borde. Estas aplicaciones ponen de manifiesto las dificultades que aparecen al resolver la ecuación diferencial de incluso placas de geometría y condiciones de carga senci-llas. De ahí que los métodos numéricos, diferencias y elementos finitos hallan alcanzado un desarrollo importante y constituyan en la actualidad la herramienta más adecuada para el análisis de Placas.
Análisis de Estructuras 20
EJEMPLO Nº 1
Obtener la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en los cuatro lados sometida a una carga uniforme q0
SOLUCION
Si la flecha w(x, y) se desarrolla en serie doble de senos:
= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xmnmwyxw
n
n
m
m
ππ sensen),(11
los desarrollos satisfacen de forma automática unas condiciones de contorno:
( ) 0sen0sen),(11
0 =
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynwyxw nm
n
n
m
mx
π
( ) 0sensen),(11
=
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynmwyxw nm
n
n
m
max
ππ
( ) 00sensen),(11
0 =
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
xmwyxw nm
n
n
m
my
π
( ) 0sensen),(11
=
= ∑∑
∞=
=
∞=
== π
π na
xmwyxw nm
n
n
m
may
x
q0
a
a q0
y
Placas Rectangulares 21
( ) ( ) 0sen0sen22
112
2
0 =
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynnmwa
DM nm
n
n
m
mxx
πν
π
( ) ( ) 0sensen22
112
2=
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynmnmwa
DM nm
n
n
m
maxx
ππν
π
( ) ( ) 00sensen22
112
2
0 =
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
xmnmwa
DM nm
n
n
m
myy
πν
π
( ) ( ) 0sensen22
112
2=
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== π
πν
π na
xmnmwa
DM nm
n
n
m
mayy
La selección de un determinado desarrollo armónico para representar la flecha w(x, y) implica que se satisfacen automáticamente unas condiciones de contorno específicas. Por ello en esta situación las condiciones se denominan forzadas ya que vienen incluidas en la solución y por tanto no se pueden alterar. En este caso las condiciones de flecha y momentos nulos en los cuatro bordes corresponden a la situación de lados simplemente apoyados. En la técnica de desarrollos en serie la carga exterior se desarrolla en la misma forma que la flecha:
= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xmnmqyxq
n
n
m
m
ππ sensen),(11
pero ahora como la función q(x, y)=q0 es conocida las amplitudes del desarrollo se pueden determinar sin más que:
dxa
yna
xmqaa
qay
y
ax
xnm
= ∫∫
=
=
=
=
ππ sensen220
00
( )[ ] ( )[ ]πππ
ππ
ππnm
nm
qa
a
yna
a
xm
n
a
m
a
a
qnmq cos1cos1
1204
0cos
0cos2
04−−=−−=
cuando m y/o n sean pares el cos (par x π)=1 de forma que:
( )[ ] ( )[ ] 0cos1/0cos1 =−=− ππ noym
sin embargo cuando m y n sean impares el cos (impar x π)=-1 de forma que:
( )[ ] ( )[ ] 2cos1/2cos1 =−=− ππ noym
por lo tanto:
=
=
L
L
,7,5,3,1116,8,6,4,20
20 nympara
nmq
nomparaq nm
π
Análisis de Estructuras 22
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
La variación de la carga a lo largo del eje x con y=0,5 a viene dada en las siguientes figuras.
Fig 1. q(x,y) considerando 1 término del desarrollo Fig 2. q(x,y) considerando 3 términos
Fig 3 q(x,y) considerando 5 términos Fig. 4 q(x,y) considerando 7 términos
Fig. 5 q(x,y) considerando 9 términos La flecha w(x, y) tiene que satisfacer la ecuación diferencial de equilibrio de la placa:
ayn
axmq
D
ayn
axm
an
an
am
amw
nm
n
n
m
m
nm
n
n
m
m
ππ
ππππππ
sensen1
sensen2
11
4
44
2
22
2
22
4
44
11
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
=
=
++
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Placas Rectangulares 23
que proporciona para cada término del desarrollo:
Dq
an
an
am
amw nm
nm ==
++ 4
44
2
22
2
22
4
442 ππππ
( )2224
4
2
2
2
2
2 nmD
aq
a
n
a
mD
qw nmnm
nm+
=
+
=π
La flecha viene dada por tanto por:
( )
+= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nm
q
D
ayxw nmn
n
m
m
ππ
πsensen),( 222
114
4
y para la carga uniforme:
( )
+= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nmnmD
aqyxwn
n
m
m
ππ
πsensen116),( 222
116
40
w(0,5 a, 0,5 a) x (q0 a4 / D)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0041606 -5,548 10-5 4,92 10-6
0,0041606 m=3 -5,548 10-5 5,707 10-6 -9,598 10-7
0,0040554
m=5 4,92 10-6 -9,598 10-7 2,66 10-7
SUMA 0,0040636
Tabla 1. Flecha en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución converge rápidamente ya que en el denominador de la flecha aparecen las quintas potencias de m y n.(Fig 6)
La solución exacta vale w(0,5 a, 0,5 a)= 0,0040624 q0 a4 /D
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 y con un D= 1.500 T m la flecha máxima vale 3,4 mm.
Análisis de Estructuras 24
0,004042
0,004062
0,004082
0,004102
0,004122
0,004142
0,004162
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Fig. 6. Convergencia de la flecha en el centro de la placa con el número de armónicos Conocida la flecha, se pueden calcular los esfuerzos que dependen de ella:
+
+∞=
=
∞=
=
=
∂
∂+
∂
∂= ∑∑ a
yna
xm
nmnm
nmn
n
m
m
aq
y
yxw
x
yxwDxM ππν
πν sensen222
22
114
2016
2),(2
2),(2
( )
+
+=
∂
∂+
∂
∂= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nmnm
nmaq
y
yxw
x
yxwDMn
n
m
my
ππν
πν sensen16),(),(
222
22
114
20
2
2
2
2
Los momentos Mx y My son nulos en los bordes y toman su valor máximo en el centro, senos máximos, de la placa y son por simetría iguales.
Mx(0,5 a, 0,5 a)
x (q0 a2) n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0533831 -0,0020258 0,0004131
0,053383 m=3 -0,0050919 0,0006591 -0,0001563
0,0469244
m=5 0,0012295 -0,0002624 8,541 10-5
SUMA 0,0482337
Tabla 2. Mx en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4 (Fig 7).
La solución exacta vale Mx=0,0479 q0 a2
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 2,4 m T/ m.
A las mismas conclusiones se llega para My que es simétrico con Mx.
Placas Rectangulares 25
0,0285
0,0295
0,0305
0,0315
0,0325
0,0335
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
0,0469
0,0479
0,0489
0,0499
0,0509
0,0519
0,0529
0,0539
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Fig. 7 Convergencia del Mx en el centro de la placa con el número de armónicos El momento torsor MXy viene dado por:
( ) ( ) ( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
aq
ayn
axm
nmnm
an
am
aqyxyxwDM
m
m
m
m
m
m
m
mxy
ππ
π
ν
ππππ
π
νν
coscos1116
coscos116,1
222114
20
222116
40
2
+
−=
=+
−=
∂∂∂
−=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
Mxy(0, 0) x (q0 a2)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0287448 0,0011498 0,0001701
0,0287448
m=3 0,0011498 0,0003549 9,946 10-5
0,0313992
m=5 0,0001701 9,946 10-5 4,599 10-5
SUMA 0,0319843
Tabla 3. Mxy en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
El momento torsor es nulo en el centro de la placa y máximo en las esquinas, cosenos máximos. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4.
Fig. 8 Convergencia del Mxy en las esquinas de la placa con el número de armónicos
Análisis de Estructuras 26
La solución exacta vale Mxy=0,0325 q0 a2 Este momento torsor activa una reacción vertical puntual en cada esquina
R= 2 Mxy=0,065 q0 a2
Para tener un orden de magnitud del momento y de la reacción, en una placa cuadrada de 5 m de lado sometida a una carga uniforme de 2 T/m2 Mxy= 1,625 m T/ m y R= 3,25 T. Si no se toman precauciones pueden aparecer problemas de anclaje de la placa al apoyo.
Los cortantes Qx y Qy vienen dados por
( ) ( )
( )
( )
+=
=
+
+=
∂∂
∂+
∂
∂=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
aym
axm
nmn
aq
aym
axm
nmnm
a
na
m
a
maq
yx
yxw
x
yxwDQ
n
n
m
m
n
n
m
mx
ππ
π
πππππ
π
sencos116
sencos16,,
2211
30
222
2
22
3
33
116
40
2
3
3
3
( ) ( )( )
( )
+=
=
+
+=
∂
∂+
∂∂
∂=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
aym
axm
nmm
aq
aym
axm
nmnm
a
n
a
ma
naq
y
yxw
xy
yxwDQ
n
n
m
m
n
n
m
my
ππ
π
πππππ
π
cossen116
cossen16,,
2211
30
222
3
33
2
22
116
40
3
3
2
3
El cortante Qx es nulo cuando x = 0,5 a e y=0 o y=a. El cortante Qy es nulo cuando x = 0 y x= a e y=0,5 a. El cortante Qx es máximo cuando x=0 o x=a e y=0,5 a. El cortante Qy es máximo cuando x=0,5 a e y=0 o y=a. Por simetría los cortantes máximos son iguales.
La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.
La solución exacta vale Qx=0,338 q0 a
3,25 T
Placas Rectangulares 27
Qx(0, 0,5 a) x (q0 a)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,2580123 -0,0172008 0,0039694
0,258012 m=3 0,0516025 -0,009556 0,0030354
0,2828579
m=5 0,0198471 -0,0050591 0,0020641
SUMA 0,3067149
Tabla 4. Qx en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 3,38 T/ m.
Fig. 9 Convergencia del Qx en centro de lado de la placa con el número de armónicos Debe hacerse notar que con 31 términos del desarrollo todavía no ha convergido el Qx.
El cortante equivalente viene dado por:
xM
QVy
MQV xy
yyxy
xx ∂
∂+±=
∂
∂+±=
Como de las expresiones anteriores se conoce el cortante, sólo es necesario calcular las derivadas del momento torsor respecto a x e y.
( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
maq
ayn
axm
nm
am
aqx
M
m
m
m
m
m
m
m
m
xy
ππ
π
ν
πππ
π
ν
cossen116
cossen116
222113
0
222114
20
+
−−=
=+
−−=
∂
∂
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
0,238
0,263
0,288
0,313
0,338
0,363
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Análisis de Estructuras 28
yM xy∂
∂
Qx
0,5 a, 0 o a
0,078
0,08
0,082
0,084
0,086
0,088
0,09
0,092
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
naq
ayn
axm
nm
an
aqy
M
m
m
m
m
m
m
m
m
xy
ππ
π
ν
πππ
π
ν
sencos116
sencos116
222113
0
222114
20
+
−−=
=+
−−=
∂
∂
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
Estas derivadas se anulan para y=0,5 a y x=0,5 a respectivamente y son máximas en los puntos medios de los lados x=0,5 a y=0 e y=a y y=0,5 a, x=0 y x=a respectivamente. Por la simetría los valores máximos son los mismos para las dos derivadas. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.
δMxy/δy
(0, 0,5 a)x (q0 a)
n=1
SUMA
n=3
SUMA
n=5 m=1 0,0903043 -0,0108365 0,0026717
0,0903043 m=3 0,0012041 -0,0011149 0,0005208
0,079557
m=5 0,0001069 -0,0001875 0,0001445
SUMA 0,0828134
Tabla 5. δMxy/δy en los puntos medios de los lados para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución exacta vale dMxy/dy=0,082 q0 a
Fig. 9 Convergencia del dMxy/dy en centro de lado de la placa con el número de armónicos
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 0,82 T/ m.
El cortante equivalente en el centro de lado vale: Vxmáxima=(0,338 + 0,082) q0 a = 0,42 q0 a
Placas Rectangulares 29
EJEMPLO Nº 2
Calcular la flecha, los esfuerzos y reacciones en un placa rectangular de lados a y 2a simplemente apoyada en sus bordes sometida a una carga uniforme q0 usando la solución de Levy
SOLUCION
La solución de Levy usa, cuando los bordes x=0 e x=a están simplemente apoyados, los desarrollos:
( )a
xmyYyxw mm
πsen),(1
∑∞
=
=
que satisface de forma forzada las condiciones de borde en x=0 y x=a.
La solución de la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, implica que Ym(y) debe satisfacer
( ) ( ) ( )02 4
4
2
2
2
22
4
44=
+−
yd
yYd
yd
yYd
a
myYa
m mmm
ππ
cuya solución general, teniendo en cuenta la simetría, es de la forma:
( )
+=
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmm
πππ40
Como solución particular se toma la flecha de una franja de placa en la dirección x de forma que para una carga uniforme q0:
( ) ( ) 51
5
403340
sen42
24),
ma
xm
D
aqxaxaxD
qyxwm
P
π
π∑∞
=
=+−=
2a
a
x
y
Análisis de Estructuras 30
( )a
xma
ymSha
ymBa
ymChAmD
aqyxw mmm
ππππ
πsen4, 55
1
40
++= ∑
∞
=
Am y Bm se determinan en base a las condiciones de contorno en y. Como los bordes y = ± a están también simplemente apoyados:
( ) 0),(0),(),(0, 2
2
2
2
2
2=
∂
∂→=
∂
∂+
∂
∂==
===
axaxyay
y
yxw
y
yxw
y
yxwMyxw ν
Como w(x,y) debe satisfacer estas dos condiciones:
( ) 020455 =++=++ ππππππ
πmShmBmChBAmShmmChA
mmmmm
dos ecuaciones que determinan:
( ))(
2
)(
2)(25555 ππππ
ππ
mChmB
mChm
mThmA mm =+
−=
( )a
xma
ymSha
ymmCha
ymChmCh
mThm
mD
aqyxwm
ππππ
ππ
ππ
πsen
)(21
)(22)(114, 5
15
40
+
+−= ∑
∞
=
La flecha máxima se produce en el centro de la placa y=0, x=a/2
( )2
sen)(2
2)(114, 51
5
40 π
πππ
π
mmCh
mThm
mD
aqyxwm
+−= ∑
∞
=
w(0,5 a, 0) x
4q0/D
m=1
0,0101788
0,0101788
m=3
-5,3741 10-5
0,0101251
m=5
4,1827 10-6
0,0101293
m=7
-7,7771 10-7
0,0101285
Tabla 1. Evolución de la flecha en el centro con el número de armónicos
La flecha converge rápidamente a la solución exacta wexacta=0,0101286 q0 a4/D
Placas Rectangulares 31
Figura 1. Convergencia de la flecha en el centro
Figura 2. Flecha en la sección (y=0, x=0, y=0 x=a/2)
Figura 3. Flecha en sección x=a/2 y=0 x=a/2 y=a
Los momentos Mx y My vienen dados por:
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂= 2
2
2
2
2
2
2
2 ),(),(),(),(
y
yxw
x
yxwDMy
yxw
x
yxwDM yx νν
Si la flecha se representa como:
0,0101086
0,0101286
0,0101486
0,0101686
0,0101886
1 3 5 7 9 11 13 15
- 0 ,0 1 0 1 3
- 0 ,0 0 8 1 0 4
- 0 ,0 0 6 0 7 8
- 0 ,0 0 4 0 5 2
- 0 ,0 0 2 0 2 6
00 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1
-0,01013
-0,0075975
-0,005065
-0,0025325
00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Análisis de Estructuras 32
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD
aqyxw mmmmmmm
ααααπ
sen114),( 51
5
40 +−= ∑
∞
=
con ( )( ) ( ) a
mmCh
BmCh
mThmA mmmπ
αππ
ππ==
+=
21
22
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD
aq
x
yxwmmmmmm
m
mαααα
α
πsen14),(
5
2
15
40
2
2+−−=
∂
∂ ∑∞
=
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChBAmD
aq
y
yxwmmmmmmm
m
mαααα
α
πsen)2(4),(
5
2
15
40
2
2++−=
∂
∂ ∑∞
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm
aqM mmmmmmmmm
x ααανανανπ
sen1211143
13
20 −+−−−= ∑
∞
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm
aqM mmmmmmmmm
y ααανααννπ
sen121143
13
20 −−−−+= ∑
∞
=
Ahora el Mx y el My ya no son iguales en el centro:
ν=0,3
Mx(0,5 a, 0) x q0a2
m=1
0,10568591
0,10568591
m=3
-0,00477469
0,10091122
m=5
0,001032047
0,10194327
m=7
-0,000376111
0,10156716
Tabla 2. Evolución del Mx en el centro con el número de armónicos
La solución converge al valor exacto Mx=0,1017 q0 a2
Placas Rectangulares 33
Figura 4. Convergencia de MX en el centro con el número de armónicos.
ν=0,3
Mx(0,5 a, 0) x q0a2
m=1
0,04755445
0,04755445
m=3
-0,001435714
0,04611873
m=5
0,000309616
0,04642835
m=7
-0,000112833
0,04631552
Tabla 3. Evolución del My en el centro con el número de armónicos
Figura 5. Convergencia de MY en el centro con el número de armónicos La solución converge al valor exacto My=0,04635 q0 a2 El momento torsor MXY viene dado por:
0,04535
0,04585
0,04635
0,04685
0,04735
0,04785
0,04835
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
0,0997
0,1007
0,1017
0,1027
0,1037
0,1047
0,1057
0,1067
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Análisis de Estructuras 34
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChyByShBAaqyxyxwDM mmmmmmmxy αααα
π
νν cos)1(4),()1( 3
20
2++−
−=
∂∂∂
−=
ν=0,3
Mxy(0ª, a) x
q0a2
m=1
0,043928186
0,043928186
m=3
0,001672301
0,04560049
m=5
0,000361217
0,0459617
m=7
0,0000131639
0,04609334
Tabla 4. Evolución del Mxy en las esquinas con el número de armónicos
El valor máximo se alcanza en las esquinas de la placa y vale Mxy=0,04626 q0 a2
Figura 6. Convergencia de Mxy en las esquinas con el número de armónicos. La reacción en las esquinas vale R= 2 Mxy = 0,0925 q0 a2 Los cortantes vienen dados por:
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm
aq
yx
yxw
x
yxwDQ mmmm
x ααπ
cos2114,,2
120
2
3
3
3−=
∂∂
∂+
∂
∂= ∑
∞
=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm
aq
y
yxw
xy
yxwDQ mmmm
y ααπ
sen2114,,2
120
3
3
2
3−=
∂
∂+
∂∂
∂= ∑
∞
=
0,043263
0,043763
0,044263
0,044763
0,045263
0,045763
0,046263
0,046763
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Placas Rectangulares 35
ν=0,3
Qx (0, 0) x q0a
m=1
0,37032214
0,37032214
m=3
0,045024369
0,41534651
m=5
0,016211384
0,4315579
m=7
0,008271117
0,43982901
Tabla 5. Evolución del Qx en centro de lado con el número de armónicos
Qx converge con mayor dificultad y su valor máximo vale: Qx=0,464 q0 a
Figura 7. Convergencia de Qy en centro de lado con el número de armónicos
ν=0,3
Qy (0,5a, a) x q0a
m=1
0,403773864
0,403773864
m=3
-0,045031637
0,35874223
m=5
0,016211389
0,37495362
m=7
-0,008271117
0,3666825
Tabla 6. Evolución del QY en centro de lado con el número de armónicos
QY converge con dificultad y su valor máximo vale: QY=0,3698 q0 a
0,3590,3740,3890,4040,4190,4340,4490,4640,479
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Análisis de Estructuras 36
Figura 8. Convergencia de QY en centro de lado con el número de armónicos Para determinar VX y VY calculamos las derivadas del momento torsor MXY
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyChyByShBAm
q
x
Mmmmmmmm
m
axyααααν
πsen
11
42
120
++−−=∂
∂∑∞
=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyShyByChBAm
q
yM
mmmmmmmm
axy αααανπ
cos2114
21
20
++−−=∂
∂∑∞
=
ν=0,3
dMxy /dx (0,5a, a) x
q0a
m=1
0,138004468
0,138004468
m=3
-0,015761069
0,1222434
m=5
0,005673986
0,12791738
m=7
-0,002894891
0,12502249
Tabla 7. Evolución de la variación de Mxy con x en centro de lado con el número de armónicos
El valor máximo de la derivada de Mxy respecto a x es: 0,126 q0 a Por tanto el valor máximo de VY= QY+ dMXY/dx (0,370 + 0,126) q0 a=0,496 q0 a
0,3498
0,3598
0,3698
0,3798
0,3898
0,3998
0,4098
0,4198
0,4298
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Placas Rectangulares 37
Figura 9. Convergencia de dMXY/dx con el número de armónicos.
ν=0,3
dMxy /dy (0, 0) x q0a
m=1
0,038300064
0,038300064
m=3
2,3975 10-5
0,03832404
m=5
2,68631 10-8
0,03832407
m=7
3,58324 10-11
0,03832407
Tabla 8. Evolución de variación de MXY respecto a y en centro de lado con número de armónicos
Figura 10. Convergencia de la dMXY/dy en centro de lado con el número de armónicos Por tanto el valor máximo de Vx= Qx+ dMXY/dy (0,465 + 0,038) q0 a= 0,503 q0 a
0,03829
0,0383
0,03831
0,03832
0,03833
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
0,116
0,121
0,126
0,131
0,136
0,141
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Análisis de Estructuras 38
EJEMPLO Nº 3
Determinar la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los opuestos sometida a una presión hidrostática pmáxima = γa.
SOLUCION ESTADO 1. Placa simplemente apoyada en los cuatro lados con carga hidrostática ESTADO 2. Placa simplemente apoyada con un M(x) en los bordes y= ± 0,5 a SOLUCION ESTADO 1 SOLUCION ESTADO 2
LEVY ( ) ( )xyYyxw mmm
αsen)(,,..3,2,1
∑∞
=
=
x
γ a
y
a
γ x
x
y
+
x
M(x) M(x)
x
y
x
Placas Rectangulares 39
ESTADO 1 ( ) ( ) ( )xwyxwyxw PH += ,, wH (x,y)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24
1=+′′−∑
∞
=
xyYyYyY mIV
mmmmmm
ααα
( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα
( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
H αααα sen,1
+= ∑∞
=
wP (x,y)
( )
( ) ( )xmD
a
xaxaax
Daxw
mm
m
P
απ
γ
γ
sen12
7103360
5
1
15
5
335
+∞
=
−=
=
+−=
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyShyByChAmD
ayxw mmmmmmm
mαααα
π
γ sen12, 55
1
1
5
++
−=
+∞
=∑
Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado en y= ± 0,5 a
( ) ( ) ( ) ( ) 05,05,05,0120, 55
1
5,0 =++−
=+
= aShaBaChAm
yxw mmmmmm
ay αααπ
( ) [ ] ( ) ( ) 05,05,05,020,
5,02
2=++=
=
aShaBaChBAyd
yxwdmmmmmm
ay
ααα
ahora mmma
ama δ
ππα ===
25,05,0
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:
x
y
xx
Análisis de Estructuras 40
( )[ ] ( )( )
( )( )m
mm
m
mmm
mChm
BChm
ThAδπδπ
δδ55
1
55
1 112 ++ −=
−+−=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyDyChCmD
ayxw mmmmmmm
mαααα
π
γ sen21, 55
1
1
5++
−=
+∞
=∑
( )
( ) ( )mm
m
mmm Ch
DCh
ThCδδ
δδ 12=
+−=
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThChmD
ay
yxwmmmmmm
m
m
may
αδδδδδπ
γ sen11,55
1
1
5
2
+∂+−−
=
∂
∂ +∞
==∑
ESTADO 2 ( ) ( )yxwyxw H ,, = wH (x,y)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24
1=+′′−∑
∞
=
xyYyYyY mIV
mmmmmm
ααα
( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα
( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
H αααα sen,1
+= ∑∞
=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
αααα sen,1
+= ∑∞
=
Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado con un momento M(x) en y= ± 0,5 a
( ) ( ) ( ) 00, 5,0 =+== mmmmmay ShBChAyxw δδδ
( ) ( ) [ ] ( ) ( ){ } mmmmmmmmmmma
y
MShBChBADxsenMxMyd
yxwdD =++→==
∑
∞
==
δδδαα 2)(, 2
12
2
2
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:
y
M(x) M(x) xx
Placas Rectangulares 41
( )
( ) ( )mm
mm
mm
mmmm
ChM
DB
ChThM
DA
δαδα
δδ22 2
121
=−=
( )( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyyChThChM
Dyxw mmmmmm
mm
m
mααααδδ
δαsen
21, 2
1+−= ∑
∞
=
( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThCh
MDy
yxwmmmmmm
mm
m
may
αδδδδδδα
sen121,
212
+−=
∂
∂ ∑∞
==
que igualado con el giro anterior permite obtener Mm
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 011
121
33
13=++−
−+
++−
+
mmmmmm
mmmmmm
ChShThm
a
ChShThM
δδδδδπ
γ
δδδδδ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )mmmmm
mmmmmm
m ChShThChShTh
maM
δδδδδδδδδδ
π
γ+−−+−
=+
1112
33
13
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) mmmm
mmmmm
m ThThThTh
maM
δδδδδδδδ
π
γ+−−+−
=+
1112
33
13
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
+−−+−
=+∞
=∑ a
xmThThThTh
maxM
mmmm
mmmmm
m
πδδδδδδδδ
π
γ sen1112)( 33
13
1
Figura 1. Convergencia del momento de empotramiento en el centro del lado con el número de
armónicos
0,0339
0,0344
0,0349
0,0354
0,0359
0,0364
0,0369
0,0374
0,0379
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Análisis de Estructuras 42
m MY (0,5 a, 0,5 a) Σ MY (0,5 a, 0,5 a) x γ a3
1 0,03691453 0,03691453 3 -0,002381746 0,03453279 5 0,00051602 0,03504881 7 -0,000188056 0,03486075 9 8,84816 10-5 0,03494923 11 -4,84621 10-5 0,03490077
Figura 2. Convergencia del momento con el número de armónicos
0
0,00818566
0,01612742
0,02352768
0,02998028
0,034914740,037543410,03681898
0,03141364
0,01973079
00
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1