Perturbacion de matrices polinomiales
Gasteiz, Mayo 2005
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),
ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
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Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
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Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Introduccion
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:factores invariantes (finitos),ındices de Wiener-Hopf por la izquierda,estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares dematrices (A,B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbacion de matrices [Markus,Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbacion de matrices polinomiales
Notacion
K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m
Definicion
Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}
(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)
Definicion
Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)
Perturbacion de matrices polinomiales
Notacion
K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m
Definicion
Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}
(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)
Definicion
Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)
Perturbacion de matrices polinomiales
Notacion
K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m
Definicion
Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}
(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)
Definicion
Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)
Perturbacion de matrices polinomiales
Notacion
K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m
Definicion
Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}
(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)
Definicion
Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)
Perturbacion de matrices polinomiales
Notacion
K = R o C, n,m ∈ N, n ≥ m
Definicion
Σn,m = {(A,B) ∈ Kn×n ×Kn×m | (A,B) controlable}
(A,B)∼(A′,B ′): existe T ∈ Gln(K) t.q.(A′,B ′) = (TAT−1,TB)
Definicion
Kn[s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
P(s)ed∼P ′(s): existe U(s) ∈ Glm(K[s]) t.q. P ′(s) = P(s)U(s)
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definicion
P(s) ∈ Kn[s]m×m es r.p.m. de (A,B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A,C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B
con D(s) ∈ K[s]m×m.
Lema
Si P(s) ∈ Kn[s]m×m entonces existe (A,B) ∈ Σn,m del cual P(s)
es r.p.m.
Lema
Si (A,B) ∈ Σn,m entonces existe P(s) ∈ Kn[s]m×m r.p.m. de
(A,B).
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definicion
P(s) ∈ Kn[s]m×m es r.p.m. de (A,B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A,C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B
con D(s) ∈ K[s]m×m.
Lema
Si P(s) ∈ Kn[s]m×m entonces existe (A,B) ∈ Σn,m del cual P(s)
es r.p.m.
Lema
Si (A,B) ∈ Σn,m entonces existe P(s) ∈ Kn[s]m×m r.p.m. de
(A,B).
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definicion
P(s) ∈ Kn[s]m×m es r.p.m. de (A,B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A,C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1B
con D(s) ∈ K[s]m×m.
Lema
Si P(s) ∈ Kn[s]m×m entonces existe (A,B) ∈ Σn,m del cual P(s)
es r.p.m.
Lema
Si (A,B) ∈ Σn,m entonces existe P(s) ∈ Kn[s]m×m r.p.m. de
(A,B).
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)
donde P(s),P ′(s) son r.p.m. de (A,B), (A′,B ′), respectivamente.
⇓
Definicion
Σn,m/∼ = {[(A,B)] | (A,B) ∈ Σn,m}, donde[(A,B)] = {(A′,B ′) ∈ Σn,m | (A,B)∼(A′,B ′)}
Definicion
Kn[s]m×m/
ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Kn[s]m×m}, donde
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)
ed∼P ′(s)}
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)
donde P(s),P ′(s) son r.p.m. de (A,B), (A′,B ′), respectivamente.
⇓
Definicion
Σn,m/∼ = {[(A,B)] | (A,B) ∈ Σn,m}, donde[(A,B)] = {(A′,B ′) ∈ Σn,m | (A,B)∼(A′,B ′)}
Definicion
Kn[s]m×m/
ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Kn[s]m×m}, donde
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)
ed∼P ′(s)}
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
(A,B)∼(A′,B ′) ⇔ P(s)ed∼P ′(s)
donde P(s),P ′(s) son r.p.m. de (A,B), (A′,B ′), respectivamente.
⇓
Definicion
Σn,m/∼ = {[(A,B)] | (A,B) ∈ Σn,m}, donde[(A,B)] = {(A′,B ′) ∈ Σn,m | (A,B)∼(A′,B ′)}
Definicion
Kn[s]m×m/
ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Kn[s]m×m}, donde
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Kn[s]m×m | P(s)
ed∼P ′(s)}
Perturbacion de matrices polinomiales
Teorema
f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
, donde P(s) r.p.m. de (A,B).
f es una biyeccion
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema (Zaballa,1997)
(A, B) ∈ Σn,m, r1, . . . , rm ındices de una base buena. Entonces
T = [bl1 Abl1 · · · Arl1−1bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp−1blp ] ∈ Kn×n,
rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i /∈ {l1, . . . , lp}, es no singular,
T−1AT = (Aij)pi,j=1, T−1B = [B1 B2 · · · Bp]
T ,
Aii =
26664
0 · · · 0 xli li 0
1 · · · 0 xli li 1
.... . .
......
0 · · · 1 xli li rli−1
37775 , Aij =
26664
0 · · · 0 xlj li 0
0 · · · 0 xlj li 1
.... . .
......
0 · · · 0 xlj li rli−1
37775 , i 6= j ,
Bi = [bi1 · · · bim], bij =
8><>:
0, j ∈ {l1, . . . , lp} − {li}[1 0 · · · 0]T , j = lihxjli 0 xjli 1 · · · xjli rli−1
iT, j /∈ {l1, . . . , lp},
P(s) = (pij(s)), pij(s) = −riX
t=0
xjitst , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j , r.p.m. de (A, B)
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıas cociente
A = (ai ,j),||A|| =
∑i ,j |ai ,j |
Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||
Topologıa cociente enΣn,m/∼:
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonicaU abierto en Σn,m/∼⇔ π−1
Σ (U) abierto enΣn,m
p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =
∑di=0 |pi |
P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,
||P(s)|| =∑
i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d
i=0 ||Pi ||
Kn[s]m×m espacio metrico
d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||
Topologıa cociente en Kn[s]m×m/
ed∼:τ1
πK : Kn[s]m×m → Kn[s]
m×m/ed∼
proyeccion canonica
U abierto en Kn[s]m×m/
ed∼ ⇔π−1
K (U) abierto en Kn[s]m×m
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıas cociente
A = (ai ,j),||A|| =
∑i ,j |ai ,j |
Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||
Topologıa cociente enΣn,m/∼:
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonicaU abierto en Σn,m/∼⇔ π−1
Σ (U) abierto enΣn,m
p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =
∑di=0 |pi |
P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,
||P(s)|| =∑
i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d
i=0 ||Pi ||
Kn[s]m×m espacio metrico
d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||
Topologıa cociente en Kn[s]m×m/
ed∼:τ1
πK : Kn[s]m×m → Kn[s]
m×m/ed∼
proyeccion canonica
U abierto en Kn[s]m×m/
ed∼ ⇔π−1
K (U) abierto en Kn[s]m×m
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıas cociente
A = (ai ,j),||A|| =
∑i ,j |ai ,j |
Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||
Topologıa cociente enΣn,m/∼:
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonicaU abierto en Σn,m/∼⇔ π−1
Σ (U) abierto enΣn,m
p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =
∑di=0 |pi |
P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,
||P(s)|| =∑
i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d
i=0 ||Pi ||
Kn[s]m×m espacio metrico
d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||
Topologıa cociente en Kn[s]m×m/
ed∼:τ1
πK : Kn[s]m×m → Kn[s]
m×m/ed∼
proyeccion canonica
U abierto en Kn[s]m×m/
ed∼ ⇔π−1
K (U) abierto en Kn[s]m×m
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıas cociente
A = (ai ,j),||A|| =
∑i ,j |ai ,j |
Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||
Topologıa cociente enΣn,m/∼:
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonica
U abierto en Σn,m/∼⇔ π−1
Σ (U) abierto enΣn,m
p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =
∑di=0 |pi |
P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,
||P(s)|| =∑
i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d
i=0 ||Pi ||
Kn[s]m×m espacio metrico
d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||
Topologıa cociente en Kn[s]m×m/
ed∼:τ1
πK : Kn[s]m×m → Kn[s]
m×m/ed∼
proyeccion canonica
U abierto en Kn[s]m×m/
ed∼ ⇔π−1
K (U) abierto en Kn[s]m×m
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıas cociente
A = (ai ,j),||A|| =
∑i ,j |ai ,j |
Σn,m espacio metrico:d((A,B), (A′,B ′)) =||[A B]− [A′ B ′]||
Topologıa cociente enΣn,m/∼:
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼proyeccion canonicaU abierto en Σn,m/∼⇔ π−1
Σ (U) abierto enΣn,m
p(s) = pdsd + · · ·+ p0,||p(s)|| =
∑di=0 |pi |
P(s) = (pi ,j(s)) = Pdsd + · · ·+ P0,
||P(s)|| =∑
i ,j ||pi ,j(s)|| =∑d
i=0 ||Pi ||
Kn[s]m×m espacio metrico
d(P(s),P ′(s)) = ||P(s)− P ′(s)||
Topologıa cociente en Kn[s]m×m/
ed∼:τ1
πK : Kn[s]m×m → Kn[s]
m×m/ed∼
proyeccion canonica
U abierto en Kn[s]m×m/
ed∼ ⇔π−1
K (U) abierto en Kn[s]m×m
Perturbacion de matrices polinomiales
Teorema
f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
, donde P(s) r.p.m. de (A,B).
f es continua para τ1.
Dem.f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
f continua si y solo si f ◦ πΣ continua.
Perturbacion de matrices polinomiales
Teorema
f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
, donde P(s) r.p.m. de (A,B).
f es continua para τ1.
Dem.
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
f continua si y solo si f ◦ πΣ continua.
Perturbacion de matrices polinomiales
Teorema
f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
, donde P(s) r.p.m. de (A,B).
f es continua para τ1.
Dem.f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
f continua si y solo si f ◦ πΣ continua.
Perturbacion de matrices polinomiales
Teorema
f : Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
, donde P(s) r.p.m. de (A,B).
f es continua para τ1.
Dem.f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
f continua si y solo si f ◦ πΣ continua.
Perturbacion de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema (Zaballa,1997)
(A, B) ∈ Σn,m, r1, . . . , rm ındices de una base buena. Entonces
T = [bl1 Abl1 · · · Arl1−1bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp−1blp ] ∈ Kn×n,
rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i /∈ {l1, . . . , lp}, es no singular,
T−1AT = (Aij)pi,j=1, T−1B = [B1 B2 · · · Bp]
T ,
Aii =
26664
0 · · · 0 xli li 0
1 · · · 0 xli li 1
.... . .
......
0 · · · 1 xli li rli−1
37775 , Aij =
26664
0 · · · 0 xlj li 0
0 · · · 0 xlj li 1
.... . .
......
0 · · · 0 xlj li rli−1
37775 , i 6= j ,
Bi = [bi1 · · · bim], bij =
8><>:
0, j ∈ {l1, . . . , lp} − {li}[1 0 · · · 0]T , j = lihxjli 0 xjli 1 · · · xjli rli−1
iT, j /∈ {l1, . . . , lp},
P(s) = (pij(s)), pij(s) = −riX
t=0
xjitst , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j , r.p.m. de (A, B)
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıa de Kn[s]m×m/
ed∼
Lema (Helmke, 1986)
Si K = C, Σn,m/∼ es conexo y no es compacto.
Teorema
Cn[s]m×m/
ed∼ es conexo con la topologıa τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Topologıa de Kn[s]m×m/
ed∼
Lema (Helmke, 1986)
Si K = C, Σn,m/∼ es conexo y no es compacto.
Teorema
Cn[s]m×m/
ed∼ es conexo con la topologıa τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Pregunta
¿Es f −1 : Kn[s]m×m/
ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?
f −1 continua ⇔ f abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Pregunta
¿Es f −1 : Kn[s]m×m/
ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?
f −1 continua ⇔ f abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Pregunta
¿Es f −1 : Kn[s]m×m/
ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?
f −1 continua ⇔ f abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Pregunta
¿Es f −1 : Kn[s]m×m/
ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?
f −1 continua ⇔ f abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Pregunta
¿Es f −1 : Kn[s]m×m/
ed∼ → Σn,m/∼ continua para τ1?
f −1 continua ⇔ f abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m/∼ es abierta
f
Σn,m/∼ → Kn[s]m×m/
ed∼πΣ ↑ ↗ f ◦ πΣ
Σn,m
Si f −1 continua ⇒ f ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f ◦ πΣ no es abierta ⇒ f −1 no es continua para τ1.
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}
? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}
? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
Ki.p.n [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)
m×m}
[P(s)] = {P ′(s) ∈ Ki .p.n [s]m×m | P ′(s)
ed∼P(s)}Ki .p.
n [s]m×m/ed∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki .p.
n [s]m×m}? Topologıa cociente: τ1
πKi.p. : Ki.p.n [s]m×m → Ki.p.
n [s]m×m/ed∼ proyeccion canonica
U abierto en Ki.p.n [s]m×m/
ed∼ ⇔ π−1Ki.p.(U) abierto en
Ki.p.n [s]m×m
f i .p. : Σn,m/∼ → Ki .p.n [s]m×m/
ed∼[(A,B)] 7→ [P(s)]
P(s) r.p.m. de (A,B)
Lema
f i .p. es biyectivaf i .p. es continua para τ1
Perturbacion de matrices polinomiales
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