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Papiroflexia: geometría con papelJosé Ignacio Royo Prieto

Universidad del País Vasco

MATEMÁTICAS EN ACCIÓN

Santander, 24 de mayo de 2006

Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)

• Se empieza con un único trozo de papel cuadrado;

• Sólo se puede plegar el papel;

• No se pueden realizar cortes;

• No se puede usar pegamento.

Modelos tradicionales

Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis CarrolBarco de papel

León, leona y cría (David Brill)

Mantis religiosa (Ronald Koh)

Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

Dos Cisnes (David Derudas)

Peces (John Montroll)

Demonio

(Jun Maekawa)

Dragón (Shatoshi Kamiya)

Insectos (Robert Lang)

Rosa (Toshikazu Kawasaki)

Eric Joisel

Jedi Master Yoda

(Fumiaki Kawahata)

• Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)

Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)

Demonio de Tasmania (J.I.R.)

Mosca (J.I.R.)

Pájaro aleteador

Origami

Ori = Doblar

Kami= Papel

“Un mago convierte hojas de papel en pájaros”

Grabado en madera japonés de 1818.

“Senbazuru Orikata”

Japón, 1789

Miguel de Unamuno (Zuloaga)

Monumento a la Pajarita (Ramón Acín),

Parque de Huesca

Akira Yoshizawa

Elefantes (Akira Yoshizawa)

Avispa (Kamiya)

Tomoko Fuse

Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang.

Sistema de símbolos de Yoshizawa-Randlett

Relación Matemáticas-Papiroflexia

• Papiroflexia modular• Teoremas de papel• Constructibilidad de puntos con Origami• Diseño de figuras con métodos matemáticos

Poliedros

• Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen:

• cada lado de cada cara es compartido con otra cara;

• en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

Poliedros convexos

Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas:

Siendo C el número de caras.

Sólidos Platónicos- Definición: Un poliedro convexo es regular si:

-sus caras son polígonos regulares;

-en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

-(Teeteto, 425-379 a.C.): Tan sólo existen cinco, y son:

Cubo OctaedroTetraedro Dodecaedro Icosaedro

Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

Icosaedro truncado, cuestión de estado.

Papiroflexia modular

• Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos)

• El interés para con las matemáticas es doble:– representación de poliedros y otras figuras;– la construcción nos acerca a las propiedades de

esas figuras.

Clases de módulos

• Por vértices;

• por aristas;

• por caras.

Problema de la coloración

• Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales

• Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

Grafos planos de los sólidos platónicos

Coloración icosaedro

Coloración icosidodecae

dro

Icosidodecaedro

6 ciclos de aristas en

un icosidodeca

edro

Coloración icosaedro estrellado Coloración triacontaedro rómbico

Triacontaedro rómbico

Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè

Dualidad de poliedros

Dualidad icosaedro-dodecaedro

Cinco Tetraedros Intersecados

Satoshi Kamiya

Balón de fútbol

• 12 pentágonos;• 20 hexágonos;• En cada vértice, se

juntan 2 hexágonos y un pentágono.

Fullerenos

• Están formados por hexágonos y pentágonos;

• Concurren 3 aristas en cada vértice

Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)

Característica de Euler

Pentágonos de un fullereno

Construcción de nuevos fullerenos

Fullereno gigante

(810 piezas)

Teorema de Steinitz

Problema de Steinitz

Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo.

Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.

El balón de la Champions

• Pentágonos• Triángulos• ¿Cuadrados?

Fórmula de Euler para 2

Dominios fundamentales

Roberto Gretter

(555 piezas)

Sergei Lupashin (120 piezas)

Sarah Belcastro (105 piezas)

Curvatura de 2 con origami

• Pentágonos: curvatura positiva• Hexágonos: curvatura cero• Heptágonos: curvatura negativa

Teoremas de papel

• Teoremas del triángulo

• División en 3 partes

• Nudo pentagonal

Trisección del ángulo con Origami

Método de Hisashi Abe

Axiomática de Humiaki Huzita

O1

O6

O5

O4

O3

O2

New York Journal of Mathematics, 2000

Métodos matemáticos de diseño

Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano

Proyección sobre la base de un modelo plano

Mapa de cicatrices y base correspondiente

Método de Kawahata-Meguro

Pliegue oreja de conejo

Hipérbola: lugar geométrico de los incentros

Figuras de Fumiaki Kawahata

Treemaker de Robert Lang

“Tree theorem” de Lang

Figura diseñada con Treemaker

Origag

(Roberto Morassi, 1984)

Bibliografía

Más bibliografía

• http://www.pajarita.org (A.E.P.)

• http://www.divulgamat.net (sección cultura => matemáticas y papiroflexia)

• http://web.merrimack.edu/~thull

• Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.

GRACIAShttp://www.ehu.es/joseroyo