PageRank: Álgebra Lineal
aplicadaUNCPBA
Facultad de Ciencias ExactasCátedra: Álgebra II
Profesor: Mg. Sebastián TorcidaAlumno: Lucas Corrales
2006
El secreto de Google
● Fue creado por Larry Page y Sergey Brin.
● Google nació en un dormitorio en la
Universidad de Stanford.
● Un factor del éxito fue el rankeo de las
páginas...
Antes necesitamos saber algo...
Búsquedas en internet
● ¿Como funciona un motor de búsqueda?
– Localiza todas las paginas web.
– Indexa las paginas.
– Rankea las paginas.
¿Cómo rankeo?
Por número de backlinks.
12
4
3
Diagrama web.
{X1=2X 2=3X 3=3X 4=1
¿Cómo rankeo?
Por suma del peso de las páginas que me
linkean.
12
4
3
Diagrama web.
{X1=X3X 4
X 2=X1X3X4
X 3=X1X 2X4
X 4=X2
¿Cómo rankeo?Proporcional a la cantidad de links
12
4
3
Diagrama web.
{X1=
X 3
2 X4
3
X2=X1
2
X3
2
X 4
3
X3=X1
2 X2
2 X 4
3
X 4=X 2
2
Representación matricial
{X1=
X 3
2 X4
3
X2=X1
2
X3
2
X 4
3
X3=X1
2 X2
2 X 4
3
X 4=X 2
2
A=[0 0 1
213
12
0 12
13
12
12
0 13
0 12 0 0
] X=[X 1
X 2
X 3
X 4]⇒
Ax= x
Solución al problema
Ax= x
¡¡Encontrar el autovector asociado al autovalor 1!!
Resolución del ejemplo
A=[0 0 1
213
12
0 12
13
12
12
0 13
0 12 0 0
] X=[X 1
X 2
X 3
X 4]
Ax= x
⇒ {X1=
109
X 2=43
X3=149
X 4=1
Resolución del ejemplo
● Para una mejor comparación reemplazamos
∀ X i X iX i
∑j=1
4
X j ⇒ {X 1≃0,22X 2≃0,27X 3≃0,31X 4≃0,2
¡¡¡Tenemos nuestro Ranking de las paginas!!!
¿Y si 1 no es autovalor?
● Definición:
● Proposición:
Una matriz cuadrada se diceestocástica por columnassies no negativa y lasuma de los elementos de sus columnases 1.
Toda matrizestocástica por columnastiene a1como autovalor.
Dificultades
Paginas “colgadas” Sub Webs
1 24
35
1 24
3
Paginas “colgadas”
1 24
3
A=[0 0 1
212
12 0 1
2 0
12 0 0 1
20 0 0 0
]¡¡¡No es estocástica!!!
Paginas “colgadas”
● Definición:
● Proposición:
Una matriz cuadrada sedice subestocástica porcolumnas si la suma de los elementos de sus columnas
es menor o igual a1.
Toda matriz subestocástica por columnas tiene unautovalor 0≤λ≤1 yun vector asociado con
entradas no negativas
Resolución del ejemplo
χAλ = ²λ λ−12λ
12
Sλ=
12
= gen < 1 2 1 0 > {X 1=0,25X2=0,5
X 3=0,25X4=0
A=[0 0 1
212
12
0 12
0
12
0 012
0 0 0 0]1 24
3
Sub Webs
1 24
35
A=[0 1
212
0 0
0 0 12 0 0
1 12
0 0 0
0 0 0 0 10 0 0 1 0
]Sλ=1 = gen < 3
21 2 0 0 ,0 0 0 1 1>
¿Cual usamos para rankear?
Sub Webs
A=[A1 0 ⋯ 00 A2 0 00 ⋮ ⋱ 00 0 0 Ar
]
Supongamos que W seauna webcon r subwebs ,W 1, W 2, ... ,W r , entonces la matriz de A es de la forma :
Donde Ai representa la matriz deW i
Dim S λ=1 ≥ r
Modificación de la matriz A
M=1−m AmS
S=[1n
⋯1n
⋮ ⋱ ⋮
1n
⋯1n] m∈[0,1]
Reemplazamos A por M en laecuación x=Ax
Modificación de la matriz A
x=Mx
x=1−m Axms
Como ∑i
n
x i=1 ⇒ Sx=s donde s=1n⋮
1n
Resolución del ejemplo
M=0,15.[0 1
212
0 0
0 0 12 0 0
1 12
0 0 0
0 0 0 0 10 0 0 1 0
]0,85. [15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
]
Resolución del ejemplo
{X 1≃0,2
X 2≃0,19X3≃0,21X 4≃0,2X 5≃0,2
M=[0,17 0,245 0,245 0,17 0,170,17 0,17 0,245 0,17 0,170,32 0,245 0,17 0,17 0,170,17 0,17 0,17 0,17 0,320,17 0,17 0,17 0,32 0,17
]Sλ=1 = gen <1 0,93 1,07 1 1>
¡¡¡Un solo vector!!!
⇒
La matriz M
M=1−m AmS S=[1n
⋯1n
⋮ ⋱ ⋮
1n
⋯1n] m∈[0,1]
● Es estocástica
● Es positiva
● El subespacio asociado al autovalor 1
tiene dimensión 1.
¿Tiene dimensión 1?
● Proposición:Si unamatriz es positiva yestocástica por columnas ,
entonces ∀ v ∈ Sλ=1 ,v tiene todas suscomponentesdel mismo signo
Sean v y w vectores L.I.entonces existe unvector x ,combinacion lineal dev yw , que tiene componentes de
ambos signos
Siuna matriz es positiva y estocástica por columnas ,entonces Dim Sλ=1=1
● Proposición:
● Proposición:
A hacer las cuentitas...
¿Cómo calculamos el autovector?
– Power Method
Tomamos x 0 apropiado, armamosla sucesiónx k=Mx k−1 y calculamos lim
k∞
x k
A hacer las cuentitas...● Definición:
● Proposición:
∥ ∥: Rn R como ∥v∥=∑
i=1
n
∣v i∣
SeaM una matriz positiva yestocástica por columnas
y sea V ⊆S Rn / V={v∈V :∑i
n
vi=0}, entonces
∀ v∈V , Mv∈V y ∥Mv∥≤c∥v∥dondec=max1≤ j≤ n∣1−2 .min1≤i≤n Mij∣1
A hacer las cuentitas...
● Proposición:
Sea M una matriz positiva yestocástica por columnasentonces , ∃!q / Mq=q y ∥q∥=1. Además
q=limk∞
M k x0 ∀ x0 con componentes positivos
y ∥x0∥=1
Teorema
M definida por M=1−m AmS paraunaWeb sin paginas colgadas
es positiva y estocástica por columnas ,
∃!q posivito / Mq=q y ∑i=1
n
q i=1.
Además q=limk∞
x k con
x k=1−m Axk−1ms si ∥x0∥=1
Muchas gracias...
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Algunos derechos reservados
Sebastián TorcidaManuel AlonsoManuel CorralesGabriel Aníbal CarrizoPablo RavazzoliInés Rosso
...y mas que nada a los cumpas presentes
Corrales [email protected]
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